Basic Mathematics II - Math 102 - Jimma College of Teachers Education

Gaaffilee Shaakalaa Waliigalaa Furmaata Waliin Math 102

Gaaffilee-Math-102-furmaata-waliin Download

Qabiyyeewwan
BOQONNAA 1 1
Fankishinootaa fi Hariiroowwan 1
1.1 Keessa deebii hariiroowwani 1
1.2 Qoqqoodama fankishinootaa (classifications of functions) 4
1.2.1 Fankishina tokkoo fi tokkoo 4
1.2.2 Fankishinii irrattii (onto Function) 6
1.2.3 Fankishinii tokkoof tokkoo fi Irrattii (one-to-one correspondence) 7
1.2.4. Fankishinoota Dabaloo fi Hir’isoo 8
1.2.5 Fankishinoota Guutuu fi Mangoo 8
1.3 Fankishinoota walseenoo 9
1.4 Galagaltoo fankishinii fi Giraafii isaa 11
1.5 Gosoota Fankishinootaa fi Giraafota isaanii 15
1.5.1 Fankishinii polinoomiyaalii 15
1.5.2 Fankishinoota Raashinaalii 26
1.5.3 Fankisinii Eksiponenshaalii fi logarizimikii 35
1.5.4 Fankishinoota Paaworii 41
1.5.5 Fankishinii Gatsirrii 43
1.5.6 Fankishinii Siginam (Signum function) 43
1.5.7 Fankishina Intijerii irraguddaa( Greatest integer or floor function) 43
1.5.8 Fankishinoota Tirigonometirikii 44
BOQONNAA 2 54
Siikuweensii 54
2.1 Siikuweensii 54
2.1.1 Siikuweensii Artimeetikii (Arithmetic Sequence) 57
2.1.2 Siikuweensii Ji’oomeetirikii /Geometric Sequence 63
2.2 Ida’ama Gar-tokkee Siikuweensii Ji’oomeetirikii (Partial Sum of Geometric Sequence) 64
Boqonnaa 3 69
Tuuta lakkoofsota xaxaa (the set of complex numbers) 69
3.1 Tuuta lakkoofsotaa xaxaa 70
3.2 Qoyyaboota Bu’uuraa Tuuta Lakkoofsota xaxaa irratti 71
3.3 konjugeetii fi moojulasii lakkoofsota xaxaa 74

Boqonnaa 4 80
Ji’oomeetirii Koordineeti 80
4.1 Foormulaa Fageenyaa 82
4.2. Hima wal qixaa sarara qajeelaa 89
4.3. Fageenya tuqaa fi sarara giddu jiru 92
4.4. Geengoo 94

BOQONNAA 1
Fankishinootaa fi Hariiroowwan
1.1 Keessa deebii hariiroowwani
Korsii darbee Math 101 keesstti hiika qaxxamurootaa fi hariiroo,mandhee fi Reenjii hariiroo, galagaltoo hariiroo, mandhee fi reenjii galagaltoo fi giraafii hariiroo ijaaruu ilaaltanii jirtu.Akka yaadattuuf hiikoo isaani irraa deebiin fi gochaalee dalaguun ilaala.
Qaxxamura tuutootaa, Mandhee fi Reenjii hariiroo
Hiikoo 1.1 Hariiroon tuuta tartii cimdii dha.
Hiikoo 1.2: Mee A fi B’n tuutoota haa jennu.Qaxxamuri tuutoota A fi B kan A x B mallattaa’uu, tuuta cimdoolii tartii kan seentuun jalqabaa isaa miseensa A ta’e fi seentuun lammataa isaa miseensa B ta’e dha.
Mallattoon:A x B = {(a ,b): a∈A ∧ b∈B }
Hiikoo 1.3: Mee A fi B’n tuutota haa ta’an. Citootni tuuta A x Bkamiyyuu kan H ‘n bakka bu’u, Hariiroo A irraa gara B kan jennu ta’ee yoo ta’e H A x B ta’e dha.

Gocha 1.1
Fakkeenya hariiroo bifa tartii cimdii sadii kennii, Mandhee fi Reenjii isaani ibsi.
Fakkeenya hariiroo bifa himaan ijaaramee sadii kennii, Mandhee fi Reenjii isaanii ibsi.
Mee A = { -2, -1, 0, 1, 2} fi B = { -4, 0, 3, 5, 6} tuutota haa ta’an.
AxB barbaadi
BxA barbaadi
AxB=BxAni ta’aa? Maaliif?
A={1,2,3,4,5}fiB={a,b,c,d} tuutota yoo ta’an, kanneen armaan gadii keessaa kamtu hariiroo A irraa gara B ta’a?
R_1={(1,b),(2,c),(5,d)}
R_2={(1,b),(3,3),(4,b),(4,c)}
R_3={(1,e),(1,d),(3,b),(3,d)}

 Hariiroo armaan gadiif Mandhee fi Reenjii isaani barbaadi.
H = { x , y) : y ≥ x - 2 fi x+ y ≤ 8 }      
H = { x , y) : y < x + 5 fi  x < 4 fi y > 0}
. H = { x , y) : y ≥ x2- 1 fi  y -  x < 2}

Fakkeenya
H = { x ,y)∶ y < x + 3 }haa jennu. kana irraa,
i.A = fi B =
ii. H ‘n hariiroo A irraa gara B dha. fi H A x B
Mandhee H= fi Reenjii H = ta’u hubachuu qabda.
Galagaltoo fi Giraafii hariiroo
Hiikoo 1. 4 : Mee H hariiroo A irraa gara B haa jennu. Galagaltoon H kan 〖 H〗^(-1) tiin bakka bu’u, hariiroo B irraa gara A ta’a. 〖 H〗^(-1) = { (b ,a)∶ (a,b)∈H }

Fakkeenya 3:
Mee H = { (1 ,a),( 2 ,b),(3 ,a),( 1 ,b) } haa jennu.Galagaltoo H barbaadi.
Furmaata :〖 H〗^(-1) ={ (y ,x)∶ (x ,y)∈H } = { (a ,1),( b ,2),(a ,3),( b ,1) }
Mandheen H = Reenjii 〖 H〗^(-1)= { 1,2,3} fi
Reenjiin H = Mandhee 〖 H〗^(-1) = { a,b} ta’a.
Fakkeenya 4:
Mee H = { (x ,y)∶ y = x +1 } haa jennu.H-1 barbaadi.
Furmaata 〖 H〗^(-1) = { (y ,x)∶ y = x +1 } = { (x ,y)∶ y = x -1 }
Gocha1. 2
1.Galagaltoo hariiroo armaan gadii barbaadi.
a. H = { (x , y) : y ≤ x -4 } b. H = { (x , y) : y = x2-2 } C. H ={ (x , y) : y = x }

Fakkeenya hariiroowwan galagaltoon isaani mataa isaani ta’e kenni.
Giraafii Hariiroo
Hariiroo Rirraa gara R tti kennamee, diriiroo ko’oordineetti reektangula’aa irratti agarsiisna.Yaada korsii Math-101 keessa tti barateen, gochaalee armaan gadii hojjechuun yaadadhu.
Gocha 1.3
Giraafii armaan gadii ijaarii
a. H={(-2,4),(-1 ,-3),(0 ,2),( 0 ,-3),(1 ,4),( -1 ,1)}
b.H = { (x ,y)∶ y ≥ x }
c. H = { (x ,y)∶ y≤ x – 2 ∧ y < -x+3 }

Gilgaala 1.1
Mee A = { 1,2,3} fi B = {3,4,5} fudhuu, kanneen armaan gadii barbaadi.
a.A x A b.B x A
C.A x B danaa veeniin agarsiisi.
d.A x B ko’oordineetii reektangula’aa irratti agarsiisi.

Mee A = {2,3,4} fi B = { (x ,y)∶ y ≤ x } A x A haa jennu.
a.H barbaadi b.〖 H〗^(-1) barbaadi
c.Mandhee 〖 H〗^(-1) fi mandhee H barbaadi.
3.Giraafii hariiroowwan armaan gadii ijaaruun Mandhee fi Reenjii isaani barbaadi.
a. H = { (x ,y)∶ y = x – 2}
b. H = { (x ,y)∶ y ≥x2 +1 }
c. H = { x ,y)∶ y -4≥ 2x + 2 }
d. H = { x ,y)∶ y≥ -x + 3 fi y > x -5}
e. H = { x ,y)∶ y ≥ x2 – 1 fi y – x < 4}
f. { (x ,y)∶ y -1≤x≤2 fi 0≤y≤4}
Galagaltoo hariiroowwanarmaan gadii barbaaduun giraafii isaanii ijaari.
a.H = {(x ,y): y = 3x + 2}
b. H = {(x ,y): y-3>x }
c. H = { (x ,y)∶ y = 2 – x}
Giraafii kana irraa
a. HimaHariiroo H
b. Mandhee H fi
c. Reenjii H barbaadi.

1.2 Qoqqoodama fankishinootaa (classifications of functions)

Math 101 keessatti hiikoo fankishinii fi giraafii isaani murasaa barattee ni yaadattaa ?Mata duree kana jalqabuu keen duraa irraa deebiite ilaaluun barbaachisaa ta’a.
Gocha 1. 4
1.Hiikoo fankishinii kenni.

Giraafii f(x) = x+ 2 ijaari, qaxxamuroota siiqqeewwani yoo jiraatan barbaadi.
3.Giraafii f (x) = 3x^2-11x-4 ijaari
i. qaxxamuroota siiqqeewwanii
ii. verteeksii isaa fi
Reenjii isaa barbaadi
1.2.1 Fankishina tokkoo fi tokkoo
Gocha 1. 5
Fankishinii tokkoof tokkoo yeroo jennuu kanneen akkamiiti?
Kamtu fankishinii tokko fi tokkoo dha? Maaliif?
f={(a,1),(b,3),(c,3),(d,2)}
g={(a,4),(b,2),(c,3),(d,1)}
Hiikoo: Fankishina tokkoo fi tokkoodha kan jennuu tokkoon tokkoon miiseensota reenjii miseensota mandhee tokko qofaa waliin kan hidhaman ta’ee yoo ta’e qofaadha. Kunis,
f(x_(1 ) )=f(x_2 )⟹x_(1 )=x_2 ,∀x_(1 ),x_2∈A
Karaa biroox_(1 )≠x_2⟹f(x_(1 ) )≠f(x_2 ) jechuu dha.
Fkn fankishinnif: R→R kan f(x)=3x tiin kenname fankishinii tokkoo fi tokkoo ta’uu agarsiisi.
Furmaata: mee x_(1 ),x_2∈R miseensota kamiyyuu kanf(x_(1 ) )=f(x_2 ) taasisu haa ta’u.
⟹3x_(1 )=3x_2
⟹x_(1 )=x_2
Kanaaf f(x)=3x fankishinii tokkoo fi tokkoo dha jenna.
Fkn f: R→Rkanf(x)=x^2 tiin kenname fankishina tokkoo fi tokoo akka hin taane agarsiisi.
Furmaata
Mee x_(1 )=2 fi x_2=-2 haa fudhannu.
f(x_(1 ) )=f(2) 〖=(2)〗^2=4
f(x_(2 ) )=f(-2) 〖=(-2)〗^2=4
Kanarraa kan hubannu f(x_(1 ) )=f(x_2 ) yoo x_(1 )≠x_2 ta’ee dha. Kanaaf fankishinni f tokkoo fi tokkoo ta’uu hin danda’u.
Karaa biroon fankishiniin kenname tokko tokkoo fi tokkoo ta’uu isaa agarsiisuuf giraafii fankishinichaa erga ijaarreen booda sarara dalgeen mirkaneessuun ta’a.
Kunis sararri dalgee tokko giraafii fankishina kennamee tokkoo iddoo tokkoo olitti kan kutu yoo ta’e, fankishinichi fankishinii tokkoo fi tokkoo ta’uu gonkumaa hin danda’u.
Yoo iddoo tokko qofatti kan kutu ta’e ammo giraafichi giraafii fankishina tokkoof tokkoo ta’uu agarsiisa.
Gocha 1.6 Giraafii fankishinoota armaan olitti kennaman ijaaruun fankishinii tokkoof tokkoo ta’uu fii dhiisuu isaanii agarsiisi.
Gilgaala1.2
Kanneen armaan gadii keessaa kan fankishinii tokkoof tokkoo ta’ee fi hin taane adda baasi. Kan hin taaneef sababa kenni.
f={(1,5),(2,6),(3,7),(4,8)}
f={(-2,2),(-1,3),(0,1),(4,1),(5,6)}
f={(x,y): y’n abbaa x ti}
h: R→R,h(x)=3x-2
f: R→R,f(x)=|x-1|
1.2.2 Fankishinii irrattii (onto Function)
Hiikoo: Fankishinni f:A→B fankishina irrattii dha kan jennu Reenjiin f=B ta’ee yoo ta’ee dha.
Fkn.Mee fankishina f danaa veeniitiin akka armaan gadiitti kenname haa ilaallu.
A B
f
Fankishinii irrattii dha

f
A B

fankishina irrattii miti. Sababiin isaas reenjiin f≠B waan ta’eef.
Kunis Reenjiin f={1 ,2,4} ≠B
1.2.3 Fankishinii tokkoof tokkoo fi Irrattii(one-to-one correspondence)
Hiikoo: Fankishinni f:A→B fankishina tokkoof tokkoo fi fankishina irrattii ta’ee yoo ta’e fankishina tokkof tokkoofi irrattii (one to one correspondence) jedhama.
Fkn.A={a,b,c,d,e}B={1,2,3,4,6}
f:A→B={(a,2),(b,1),(c,3),(d,4),(e,6)}fankishinii tokkoof tokkoo fi irrattii dha
Fkn.Mee f: R→R fankishinaf(x)=5x-7 tiin kenname haa ta’u.fankishinnif tokkoof tokkoo fi irrattii ta’uu agarsiisi.
Furmaata: Mee x_(1 ),x_2∈Rkan f(x_(1 ) )=f(x_2 )haa ta’u
⟹5x_(1 )-7=5x_2-7
⟹5x_(1 )=5x_2
⟹x_(1 )=x_2
kanaaf f^’ nfankishinii tokkof tokkoo dha.
Mee amamoo f fankishina irrattii ta^’ uu agarsiisuuf y∈R haa fudhannu.
lakkoofsi x∈R kan y=f(x) taasisu ni jiraa?
yoo jiraate kan argannu y=f(x)=5x-7 furuun ta^’ a.
⟹y=5x-7
⟹y+7=5x
⟹x=(y+7)/5
kanaaf lakkoofsay∈R ta’e kamiifuu x=(y+7)/5∈Rta’e ni jira.
kanaaf f(x)=f((y+7)/5)=5((y+7)/5)-7=y
⟹f fankishina irrattii dha.
Kanaaf iyyuu f fankishina irrattii fi tokkoof tokkoo dha jechuudha.
Gilgaala 1.3
Fankishinootni armaan gadii fankishinoota irrattii ta’uu fi ta’uu dhiisuu isaanii agarsiisi.
f: R→R,f(x)=3x+5
g:[0,∞)→R,g(x)=3-√x
f: R→R,f(x)=x^3
h: R→R,h(x)=|x-2|
Fankishinootni armaan gadii tokkoof tokkoo fi irrattii ta’uu isaanii agarsiisi.
f: R→R,f(x)=(3x+1)/5
g:[0,∞)→[0,∞),g(x)=√x
h: R→(0,∞),h(x)=5^x
f:[1,∞)→[0,∞),f(x)=(x-1)^2+1
1.2.4. Fankishinoota Dabaloo fi Hir’isoo
Fankisinni tokko dadabaloo kan ta’u mandhee isaa irratti giraafiin isaa bitaa gara mirgaatti yeroo deemnu ol ka’aakan deemu yoo ta’ee dha. Bitaa gara mirgaatti yeroo deemnu gadii bu’aa kan deemu yoota’e immoo hir’isoo ta’a.
Yoogiraafiin fankishinichaa sarara dalgee kan ta’u ta’e ammo dadabaloos hir’isoos jedhamuu danda’a. Karaa bira akka gatiin x dabalaa deemuun gatiin y ni dabalaa yoo ta’e dadabaloodha yookiin immoo akka gatiin x dabalaa deemuun gatiin y hir’acha deema yoo ta’e hir’isoo ta’a. Haali kun akka armaan gadii tti hiikama.
Hiikoo
Fankishiniin tokko intervaalii (a , b) irratti dadabaloo dha kan jenu yoo c fi d ‘n lakkoofsota intervaalii (a , b) keessaa ta’ani hundaaf,yoo c ≤ d ta’eef, f( c ) ≤ f( d ) ta’e dha.
Fankishiniin tokko intervaalii (a , b) irratti hir’isoo dha kan jenu yoo c fi d lakkoofsota intervaalii (a , b) keessaa ta’ani hundaaf,yoo c ≤d ta’eef, f( c ) ≥ f( d ) ta’e dha.
Fakkeeya
f (x ) = x^(1/2) mandhee isaa hundaa irratti dadabaloo dha.
f(x) = x^2 Mandhee isaa irratti yoo ilaale, (-∞,0] irratti hir’isoo fi [0,∞) irratti immoo dadabaloo dha.
1.2.5 Fankishinoota Guutuu fi Mangoo
Yaadni mangoo fi guutuu jedhu kan mandhee fankishinoota tumsuun hikaamu dha.
Hiikoo: Tuutni tokko simeetiriikii dha kan jennu ta’ee yoo ta’e, x∈T fi -x∈T ta’e dha.
Kan kanaan alaa al-simeetiriikii dha.
Fakkeenya 1 . Tuutootni, [-5 , 5], (-4 , 4), (-∞,∞) fi kkf simeetiriikii dha.
2. Tuutootni [-3 , 7], (-6 , 3), [-5 , 5) fi kkf al-simeetiriikii dha.
Hiikoo: Fankishinni f guutuu dha kan jennuu ta’ee yoo ta’e mandheen isaa tuuta simeetiriikii ta’ee fi f (x) = f (-x) ta’ee dha.
Fakkeenya f ( x) = x^2+1 fankishinii guutuu ta’u agarsiisi.
i.Mandheen isaa lakkoofsota waliigalaa waan ta’eef, simeetiriikii dha.
ii. 〖f(-x)=(-x)〗^2+1=x^2+1=f(x)
∴ fankishinii guutuu dha.
Fakkeenya f(x)=x/(x^2-9) guutuu ta’u dhisuu isaa agarsiisi.
Mandheen isaa x≠-3,3 waan ta’eef, simeetiriikii dha. Garuu,
ii. f(-x)=(-x)/(〖(-x)〗^2-9)=(-x)/(x^2-9) ≠f(x)
∴ fankishinii guutuu miti.
Hiikoo: Fankishinii f ‘n mangoo dha kan jennuu yoo ta’ee ta’e mandheen isaa tuuta
simeetiriikii ta’e fi f(-x) = -f(x) ta’e dha.
Fakkeenya 4: f ( x) = x^3 fankishinii mangoo ta’u agarsiisi.
i. Mandheen isaa lakkoofsota waliigalaa waan ta’eef, simeetiriikii dha.
ii. 〖f(-x)=(-x)〗^3 =〖-x〗^3=-f(x)
∴ fankishinii mangoo dha.
Fakkeenya 5: f ( x) = x+5 fankishinii mangoo ta’u dhisuu isaa agarsiisi.
i.Mandheen isaa lakkoofsota waliigalaa waan ta’eef, simeetiriikii dha. Garuu;
ii. f(-x)=-x+5≠-f(x)
∴ fankishinii mangoo miti.
Hubachisa: Fankishinootni guutuu yookiin mango hin taanee ni jiru.
Fakkeenya 6: f(x)=x^2+x+6 yoo fudhane;
i.Mandheen isaa lakkoofsota waliigalaa waan ta’eef, simeetiriikii dha.Garuu;
ii.〖f(-x)=(-x)〗^2+(-x)+6=x^2-x+6≠f(x)⟹fankishinii guutuu miti.
iii. 〖f(-x)=(-x)〗^2+(-x)+6=x^2-x+6≠-f(x)⟹ fankishinii mangoo miti.
Gocha 1.7

Fankishinoota armaan gadii guutuu, mangoo yookiin lamaanuu kan hin taane ta’uu isaanii ibsi.
a.f(x)=x^3 b. f(x)=5x e. f(x)=〖-x〗^2+2x-1
2.Fankishinoota armaan gadii Intervaalii isaan irratti dadabaloo ykn hir’isoo ta’an ibsi
a. f(x)=x^2+2 b. f(x)=xc. f(x)=x^2+x-6
Fankishinoota walseenoo
Hiikoo: Mee f:A→B fi g: B→C fankishinoota haa ta’an.
Kanaaf fankishinni walseenoo kanf’n g tti seenu gof tiin mallattaa^’ a.
Innis gof(x)=g(f(x)) tiin ibsama.
g(f(x))kan ibsu fankishinnii f fankishina g tti seenuu isaati.
Fkn1 . f:R→[0,∞), akka f(x)=2^x fi g:[0,∞)→[0,∞), g(x)=√xyoo kennaman, gof(x) barbaadii mandhee isaa ibsi.
Furmaatag(f(x))=g(2^x )=√(2^x )=2^(x/2)
mandheen g(f(x))=mandhee f=R
Fkn 2.f(x)=5x+4fig(f(x))=7x-1 yoo ta’e, g(x) barbaadi.
Furmaata
f(x)fig(f(x)) fankishinoota liinerii waan ta’aniif fankishinnii g(x) fankishina liinerii foormii g(x)=ax+b qabbu ta’a.
⟹g(f(x))=g(5x+4)=a(5x+4)+b
⟹a(5x+4)+b=5ax+4a+b
g(f(x))=7x-1 waan nuuf kennameef an armaan olii
Waliin wal qixxeessuun gatii a fi b barbaaduun xumurra.
kanaaf,g(f(x))=7x-1=5ax+4a+b
⟹7=5a fi 4a+b=-1
⟹a=7/5 fi b=-1-4a
⟹b=-1-4(7/5)
⟹b=-33/5
kanaaf g(x)=7/5 x-33/5arganna.
Gocha 1.8
Mee f(x)=x+1 fi g(x)=√x haa ta’an.
gof(x) fi fog(x) barbaadi
Mandhee fi reenjii fankishinoota walseenoo armaan gadiibarbaadi

i. gof(x)
ii. fog(x)

Mee f(x)=x^2-1 fi g(x)=|x| haa ta’u
gof fi fog barbaadi
Mandhee fi reenjii fankishinoota walseenoo armaan gadiibarbaadi

i. gof
ii. fog

Gilgaala 1.4
Mee f(x)=3x-2;g=5x+1 yoo ta’an kanneen armaan gadii barbaadi.

(fog)(3)
(gog)(-7)
(fof)(0)
(gof)(-5)
(fogof)(2)

Fankishinoota armaan gaditti cimdii cimdiin kennamaniif 

(fog)(x)
(fof)(x)
(gof)(x)
(gof)(x)yoo iraatan.

f(x)=2x-1;g(x)=4x+2
f(x)=x^2;g(x)= √x
f(x)=1-5x;g(x)=|2x+3|
f(x)=3x ;g(x)=2^x
Mee f(x)=4x+1 fi g(x)=3x+k haa ta’u. Gatii kkan(fog)(x)=(gof)(x) taasisu barbaadi.
Mee f(x)=ax+b,a≠0 haa ta’u. fankishinii g kan gof(x)=x taasisu barbaadi.
f(x)=2x+1 fi g(f(x))=〖4x〗^2+4xyoo ta’e, g(x) barbvaadi.

1.4Galagaltoo fankishinii fi Giraafii isaa
Gocha 1. 9
Galagaltoo kanneen armaan gadii kenni
f={(x,y):y=3x-4}.f^(-1)fankishinii ni ta’aa?
R={(x,y):y≥3x-4}.R^(-1) fankishinii ni ta^’ aa?
f={(x,y):y=x^2 }.f^(-1)fankishinii ni ta’aa?
Gocha armaan olii irraa kan hubannu f^(-1) fankishinii ta’uu kan danda’u f fankishinni tokkoof tokkooyoo ta’e qofaa ta’uu isaati.
Hub: galagaltoon f dhaa g dha yoo ta’e,yeroo barreessinu g kana f^(-1) tiin bakka buusna. Yeroo kana f’n galagaltoo qabaata jenna.
Tarkaanfilee bu’uuraa galagaltoo fankishinii f ittiin barbaannu
Foormulaa f keessatti gatiiwwan x fi y wal jijjiiruun
Gatii y furuun x dhaan ibsuu
Kana booda y=f^(-1) (x) tiin barreessu ta’a.
Fkn.galagaltoo fankishinoota armaan gadii barbaadi
a.f(x)=4x-3
b.f(x)=1-3x
c.f(x=x/(x-1),x≠1
Furmaata
f={(x,y):y=4x-3}
⟹f^(-1)={(x,y):x=4y-3}…….gatiiwwan x fi y wal jijjiiruun
⟹{(x,y):(x+3)/4=y}……….Gatii y furuun x dhaan ibsuu
⟹f^(-1)=(x+3)/4
f(x)=1-3x⟹f={(x,y):y=1-3x}
⟹f^(-1)={(x,y):x=1-3y}={(x,y):y=(1-x)/3}
kanaaf f^(-1) (x)=(1-x)/3
f={(x,y):y=x/(x-1),x≠1}
f^(-1)={(x,y):x=y/(y-1),y≠1}
⟹x(y-1)=y
⟹xy-x=y
⟹xy-y=x
⟹y(x-1)=x
⟹y=x/(x-1),x≠1
Kanaaf f^(-1)=x/(x-1),x≠1 ta’a.
Fankishina kenname tokkofi galagaltoo isaa giraafiin siiqqee tokko irratti ibsuun hariiroo isaan waliif qaban hubachuun ni dandaa’ama.
Fkn1. Giraafii f(x)=x^3+2 fi galagaloo isaa g(x) haaarmaan gadiin ilaaluu dandeenya.

Fkn 2. Giraafii f(x)=x^2fi g(x)=f^(-1) (x)=±√xkan armaan gadii ta’a

Gocha: 1.10
Fakkeenyota armaan olitti giraafiin isaanii kennaman irraa:
Sarara dalgee fayyadamuun galagaltoon isaanii fankishinii ta’uu fi dhiisuu isaanii adda baasi.
Mandhee fi reenjii fankishinoota kennamanii fi kan galagaltoo isaanii adda baasuun hariiroo isaan waliif qaban ibsi.
Hiikoo: fankishinni g’n galagaltoo fankishinii f ti kan jennu ta’ee yoo ta’e
g(f(x))=f(g(x))=x
Fkn. Cimdiin fankishinoota armaan gadii galagaltoo waliita’uu agarsiisi.
f: R→ R , f(x)= 2x+1 tiin kenname.
g: R→R , g(x)=1/2 x-1/2 tiin kenname.
furmaata
g(f(x)=1/2(2x+1)-1/2=x fi f(g(x))=2(1/2 x-1/2)+1=x
Kanarraa kan hubannu f(x) fi g(x) galagaltoo walii ta’uu isaan ti.
Gocha. 1.11
Cimdooliin fankishinoota armaan gadii galagaltoo waliita’uu agarsiisi
f(x)=(x+1)/(x+2),x≠-2 fi g(x)=(1-2x)/(x-1),x≠1
f(x)=(x+5)/(x+1),x≠-2 fi g(x)=(5-x)/(x+21),x≠-2
kanneen armaan gadiif giraaf f fi f^(-1) koordineetii tokko irratti kaasi.
f(x)=2x+3
f(x)=x^3
Gilgaalaala 1.5
Galagaltoo fankishinoota armaan gadii barbaadi. Galagaltoon fankishinoota kanaa fankishinii ta’uu fi dhiisuu isaa adda baasi.

f(x)= 2x
h(x)=-5x+13
g(x)=1+√x
g(x)=〖(x-2)〗^2




Galagaltoo fankishinoota gaaffii 1ffaa oliitiif mandhee isaanii kenni. 
Cimdooliin fankishinoota armaan gadii galagaltoo walii ta’uu fi hin taanee isaanii mirkaneessi.
f(x)=3x+2;g(x)=(x-2)/3
f(x)=x^2;g(x)=∛x
f(x)  =√(x )  ;g(x)=x^2
f(x)=x^3-8;g(x)=∛(x+8)
Kaneen armaan gadii keessaa kan galagaltoon isaanii fankishina ta’e kami?
f(x)=x^3
g(x)=〖4-x〗^2
h(x)=-1/3 x+5
f(x)= x^2

Gosoota Fankishinootaa fi Giraafota isaanii
Hiikoo 1 Ibsamni Aljebiraa bifa an xn +an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + . . .+a1 x + ao ,n ∈W , x ‘n jijjiiramaa fi an, an-1, an-2, . . . a1,a0 lakkoofsota dhaabbataa ta’aniin barreeffame polinoomiyaalii jedhama.
Fankishinii polinoomiyaalii
Ibsa hiikoo polinoomiyaalii
an, an-1, an-2, . . . a1,a0 maxxantootapolinoomiyaalii jedhamu.
Paaworii x keessaa inni guddaan maxxantuun tarmichaa zeeroon ala ta’e digirii polinoomiyaalicha jedhama.
Maxxatuun paaworii guddaa x kan zeeroo hintaanee maxxantuu dursiituu polimoonomiyaalicha jedhama.
Fakkeenya 1:
4×3 +9 +ox +2×8– x4 + 0x5 +5×6 +7×2 polinoomiyaalii dha. Kana keessatti
i. digiriin isaa 8 dha.
ii.Maxxantootni 2,5,-1,4,7 fi 9 dha.
iii. 9 tarmii dhaabbataa jedhama. Iv. Maxxantuu dursiituun 2
Yoo ida’ama polinoomiyaalii bifa cxk tti ibsine, c= an, an-1, an-2, . . . a1,a0fi k = n, n-1, n-2, . . ., 1,0 ta’a. Yoo n= 0 ta’e, xn = 1 ta’a.kanaafu, cx0 = c ta’a. Kun immoo tarmii dhaabbataa dha.Yoo k = 0 ta’e, immoo polinoomiyaaliichi, poliinomiyaalii dhaabbataa zeeroo jedhama.
Hub: Polinoomiyaalii zeeroon digirii hin qabu.
Maxxantoota isaanii irratti hundaa’uun polinoomiyaaliin bakka sadiitti qoodama.
Yoo maxxantuun hundinu lakkoofsa intiijarii ta’an, polinoomiyaalii tuuta intiijarii irrattii(Z[x]) jenna. Yoo maxxantuun hundinu lakkoofsa Raashinaalii ta’e, polinoomiyaalii tuuta raashinaalii irrattii(Q[x]) jenna.Yoo maxxantuun hundinu lakkoofsa waliigala ta’e, polinoomiyaalii tuuta lakkoofsa waliigalaa irratti (R[x])jenna.
Hubadhu:-Z Q waan ta’eef, Z[x] Q[x] R[x] ta’a.
Fakkeenya 2:
Gabatee digirii,maxxantuu dursiituu fi tarmii dhaabbataa
T.L Polinoomiyaalii digirii Maxxantuu dursiituu Tarmii dhaabbataa
1 -4×7+2×2-x+3 7 -4 3
2 X8 +x4 +√3 8 1 √3
3 9×4 +2×3 +3x 4 9 0
4 0x12 +3×5 -4x +2 5 3 2
5 0x6 —- — 0
6 32 0 32 32

Fakkeenya 3:
i.4x^6 -2x +6 polinomiyaalii tuuta lakkoofsa intiijarii ,raashinaalii fi lakkoofsa waliigalaa irraati
ii.3x^5- 1/2 x +3polinomiyaalii tuuta raashinaalii fi tuuta lakkoofsa waliigalaa irraati .
iii.√(3 ) x^2+ 2x-8polinomiyaalii tuuta lakkoofsa waliigalaa irraati.
Gocha 1. 12

Kanneen armaan gadii polinoomiyaalii dha yookiin miti jedhi fo’i.
a. 1 + x4 b. -5 c.(x-2)(x3 +1) d.3x +5x +1 e. √(x^2+1 )
f.|x^2+1| g.(4x+8x^3)/4xh.(7x+3x^4)/2 i.(x^2-1)/(x+3) j. x576 – 8
k.x2 +5x+1 l. x- 2 m.(x^2+1)/(x^2+1)n. x-3 +x2 +1 o. x/x
Polinoomiyaalii armaan gadiif, a. Digirii b. Maxxantuu dursiituu fi c.Tarmii dhaabbataa isaa barbaadi.
a. 3×2 +2x +6 b. √(2 ) x + 5 c.1/3 x3 – 5x – 4 d.2×3 – 5x + 1 e. x28 –x19 +x
f.√(2 )(x – √(2 )) – √(2 )x +5 g. 2( x + 5/2 ) + 8 h. x i. 2006 j . 4×7
1.5.1.1 Fankishinii polinoomiyaalii fi qoyyaboota bu’uuraa
Hiikoo Mee n ∈W fi an, an-1, an-2, . . . a1,a0 lakkoofsota waliigalaa haa jennu.Fankishinni P’n bifa y = p(x) = an xn +an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + . . .+a1 x + ao tiin ibsame fankishinii polinoomiyaalii jedhama.
Hub: Mandheen fankishinii polinoomiyaalii kamiiyyuu lakkoofsa waliigalaa dha.
Fakkeenya 4: Fakkeenyoota fankishinoota polinoomiyaalii digirii isaanii waliin.
a. f (x) = 2×4-6×3 +5×2 + x +2 , digirii 4 b. f (x) =x +1, digirii 1,
c. f (x) = √((〖x^2+1)〗^2 ) , digirii 2
d. f (x) = √2-5 , digirii 0 e. f (x) = (x^2+1)/(x^2+1), digirii 0 f. f (x) = 0, digirii hinqau.
Gocha 1.13
Kanneen armaan gadii keessaa kan fankishinii polinoomiyaalii ta’uu hin dandeenye kami? Maaliif?
a.f (x) = √(2-x) b.f (x) = (x^2+1)/(x^2-1) c. f (x) = (x+1)/(x+1) d. f (x) = √((〖x+1)〗^2 )
e.f (x) =〖2x〗^(-3)-6×2+5x +5 f. f (x) = 1/x g. f (x) = (x^2-1)/(x+3) h. f(x)=0
i. f(x)=√2
Qoyyaboota bu’uura fankishinoota polinomiiyaalii irratti.
1.Ida’uu fi Hir’isuu fankishinoota polinoomiyaalii
Mee p (x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+. . . +a1x + a0 fi q (x) = bnxn + bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +. . . +b1x + b0
i.p (x) + q (x) = (an +bn)xn + (an-1+bn-1) xn-1 + (an-2 + bn-2)xn-2 +. . . +(a1 +b1) x + (a0 +b0)
ii. p (x) – q (x) = (an -bn)xn + (an-1-bn-1) xn-1 + (an-2 – bn-2)xn-2 +. . . +(a1-b1) x + (a0 -b0)
Fakkeenya 5: Mee p (x) = 2×4– 3×3 +5×2– x +1 fi q (x) =3×3– 2x +1 haa jennu,
p (x) + q (x) = (2×4– 3×3 +5×2– x +1 ) + (3×3– 2x +1)
= 2×4+(-3+3)x3 + 5×2 + (-1-2)x + (1+ 1)
=2×4 + 0x3 + 5×2 + -3x + 2
= 2×4+ 5×2-3x + 2
p (x )- q (x) =(2×4–3×3 +5×2–x +1 )-(3×3–2x +1)
= 2×4+(-3-3)x3+ 5×2 + (-1–2)x + (1- + 1)
=2×4-6×3 + 5×2 +1x +0
= 2×4-6×3 + 5×2 + x
Hub:Ida’uu fi hir’isuun maxxantoota tarmoota walfakkaataan walitti ida’uu fi wal irraa
hir ‘isuun raawwataa.
Gocha1.14
1.Kanneen armaan gadiif i. P (x) + q (x) ii. P (x) – q (x) shallagi.
a. p (x) = 2x^2-1/2 x+1 fi q (x) = 3x^2+x-2
b. p (x) = x^3+2x^2-5x+1 fi q (x) = x^4+3x^3-2x^2-3x-1
c. p (x) = 4x^5-5x^2+x+1 fi q (x) = 〖4x〗^5+2x^2-x-8
d. p (x) = 2x^3-5x^2+2x+2 fi q (x) = 8-x+5x^2-2x^3
2.Yoo digiriin p(x) “n” fi digiriin q(x) “m” ta’e, digiriin p(x) + q(x) maal ta’a?
i.yoo n > m ta’e b.Yoo n < m ta’e c. yoo n = m fi a) a ≠ b ta’e b)yoo an = -bn ta’e.
Yoo digiriin p(x) “n” fi digiriin q(x) “m” ta’e, digiriin p(x) + q(x) maal ta’a?
i.yoo n > m ta’e b.Yoo n < m ta’e c. yoo n = m fi a) a ≠ b ta’e b)yoo an = -bn ta’e.
Baay’isuu fankishinoota polinoomiyaalii.
(ax^n )(bx^m )= abx^(n+m)
Fankishinoota polinoomiyaalii p(x) fi q(x) yoo baay’isnuu tokkoo tokko tarmoota p(x) fi q(x) waliin baay’isuun walitti ida’uu dha.
Fakkeenya 6:- Mee p(x) = 2x^2+6x+8 fi q(x) = 2x-3 haa jennu.
P (x) q (x) = (2x^2+6x+8)( 2x-3) = 〖2x〗^2 (2x-3)+6x(2x-3)+8(2x-3)
= 4x^3-6x^2+12x^2-18x+16x-24
= 4x^3+(-6+12) x^2+(-18+16)x-24
=4x^3+6x^2-2x-24
Hiruu fankishinoota polinoomiyaalii.
Yoo polinoomiyaaliin p(x), polinoomiyaalii zeeroo hintaanee h(x) tiif hiramuu, gahee q(x) fi haftee r(x) qabachuu danda’a.kunis hiruu algoorizimiin akka p(x) = q(x)h(x) + r(x) ta’a.
Hiruu Karaa dheeraa (Long division method)
Kunis kan raawwatuu tarmii dursiituu hiramaa, tarmii dursiituu hirmaataaf hiruun gahee argachuun, itti fufuun haaluma hiruu lakkoofsota hundaan raawwataa.
Fakkeenya 6:〖2x〗^5+5x^4-4x^3+8x^2+1 ÷2x^2-x+1 hiri.
〖 x〗^3+3x^2-x+2 …..gahee
2x^2-x+1 〖2x〗^5+5x^4-4x^3+8x^2+1 …………..hiramaa
– (2x^5-x^4+x^3)
6x^4-5x^3+8x^2+1
-(6x^4-3x^3+3x^2)
-2x^3+5x^2+1
-(-2x^3+x^2-x)
4x^2+x+1
4x^2-2x+2
3x- 1…………………haftee
Hubadhu! Hiruun kan xumuramuu yeroo digiriin haftee digirii hirmaataa gadii ta’u ykn yeroo hafteen zeeroo ta’u dha.
Adeemsa armaan olii irraa gahee, q(x) =x^3+3x^2-x+2fi hafteen r(x) = 3x-1 ta’a.
Kanaafu, P (x) = q(x) h(x) + r(x)
〖2x〗^5+5x^4-4x^3+8x^2+1=〖(x〗^3+3x^2-x+2)( 2x^2-x+1)+(3x-1)
Gocha 1.15
Kanneen armaan gadii keessatti f(x) , g(x) dhaaf hiruun gahee fi haftee isaa barbaadi.
f(x) = x^3+2x^2-5x-6, g(x) = x^2+3x-1
f(x) = x^5+x^4-81x-81, g(x) = x^2+9
f(x) = 3x^4-6x^3+2x-1, g(x) = x+1
f(x) = x^3+2x^2-5x+1, g(x) = x+3
f(x) = x^3+x^2-4x+4, g(x) = x-2
f(x) = x^5+2x^4-6x^3+x^2-5x+1, g(x) = x^3+1
Tiyooramoota fankishinoota polinoomiyaalii irrattii.
Tiyooramii 1. [Tiyooramii haftee]
Yoo polinoomiyaalii p(x), polinoomiyaalii “x-c” tiin hiramee, hafteen isaa lakkoofsa p(c) ta’a.
Mirkana:Mee polinoomiyaalii p(x), polinoomiyaalii liniyarii “x-c”’n hiramee, algoorizimii hiruun gahee q(x) fi haftee r(x) qaba haa jennu.Kunis p(x) = (x-c)q(x) + r(x) ta’a.Digiriin r(x) digirii (x-c) gadii waan ta’uuf, r(x) = 0 yookiin r(x) digiriin isaa zeeroo ta’a.kanaafu,r(x) lakkoofsa waliigalaa ta’a jechuu dha.Mee r (x) = d haa jennu.
Yoo gatii p(x), x = c irratti barbaadne, p( c ) = (c-c)q(x) + d = d ta’a. ∴p (c) = d = r (x) ta’a.
Fakkeenya 9: a .yoo(x^8+2x^3+5) ÷(x-1) haftee isaa barbaadi.
Furmaata: x-1=0 irraa x = 1 =c ta’a.
∴p (c) = p (1) = 1^8+2.1^3+5=8 , hafteen isaa 8 dha.
b .yoo〖(2x〗^4-3x^2+5x-1) ÷(x+2) haftee isaa barbaadi
Furmaata:x+2=0 irraa x = -2 =c ta’a.
∴p (c) = p (-2) = 〖2(-2〗^4)-3(-2^2 )+5(-2)-1= 9
c. Yoox^3-4x^2+2x+3 ibsama x-3tiif hirame, haftee isaa maal ta’a?
Furmaata:x-3=0 irraa x = 3 =c ta’a. ∴p (c) = p (3) = 3^3-4(3^2 )+2(3)+3=0
Fakkeenya C irratti waan hafteen isaa 0 ta’ef,“x-3“ hirmaataa x^3-4x^2+2x+3 tti jenna.
Akkasumas, c = 3 , ruutii (zeeroo); x^3-4x^2+2x+3 tti jenna.
Kana jechuun yoo f (x), x-c ‘n hiramee hafteen isaa zeeroo ta’e, c’n ruutii (zeeroo) f (x) ta’a.
Tiyooramii 2. [Tiyooramii hirmaataa]
Lakkoofsi C’n ruutii polinoomiyaalii p (x) ta’ee yoo ta’e, x-c ‘n hirmaataa p(x) ta’a.
Mirkana [ shaakala]
Fakkeenya 10: f(x) = x^3+4x^2-x-4 fudhuu hirmaatoota isaa hunda barbaadi.
Furmaata:-f (1) = 1^3+4〖(1〗^2)-1-4=0∴x-1 ‘n hirmaataa f(x) ta’a.
f (-1) = 〖-1〗^3+4〖(-1〗^2)–1-4=0∴x+1 ‘n hirmaataa f(x) ta’a.
f (-4) = 〖-4〗^3+4〖(-4〗^2)–4-4=0∴x+4 ‘n hirmaataa f(x) ta’a.
Gocha1.16
f(x)yoo g(x)hirame, haftee fi gahee isaa barbaadi.
a. f(x) = x^6-3 ; g(x) = x-2 b. f(x) = 〖3x〗^4-6x^3+2x-1; g(x) = x +1
c. . f(x) = x^3+2x^2-5x+1; g(x) = x +3 d. . f(x) = x^28+x^20; g(x) = x – 1
Kanneen armaan gadiif g(x) hirmaataa f(x) ta’u yookiin dhiisuu isaa adda baasi.
a. g(x) = x-1; f(x) = x^5+1 b. g(x) = x-1/2; f(x) = 〖2x〗^4+x^3+x-3/4
c. g(x) = x-1; f(x) = 12x^10+〖46x〗^8+34 d. g(x) = x-2; f(x) = x^3+x^2-4x+4
3.kanneen armaan gadiif gatii k barbaadi.
a. Yoo x-2 hirmaataa x^3+〖3x〗^2+kx-2 ta’e.
b. Yoox-3 hirmaataa x^4-5x^3-kx^2+18k+18 ta’e.
c. Yoo x-1 hirmaataa 〖k^2 x〗^4-2kx^2+1 ta’e.
d. Yoo x+2 hirmaataa x^3-kx^2+3x+7k ta’e.
Yoo polinoomiyaalii p(x) = 〖ax〗^4+〖bx〗^3+cx-8 ; “x-1″ ‘n hiramee hafteen isaa 2 ta’a.Yoo “x+1” fi “x-2” hirmaatoota p(x) ta’an, gatii a,b, fi c barbaadi.
5.Yoo polinoomiyaalii p(x), “x+2” ‘n hiramee hafteen isaa 3 fi yoo “x-1” hiramee immoo 2 ta’a.Yoo polinoomiyaaliin kun (x+2)( x-1)’n hiramee haftee isaa barbaadi.
Ruutii [zeeroo] fankishinoota polinoomiyaalii
Polinoomiyaaliin digirii 2 [kuwaadiraatikii] furuuf, formulaa akka qabu korsii Math-101 keessatti barateetta.Polinoomiyaalii digirii 3 fi ol ta’an furuuf foormulaa hinqabu. Haa ta’u malee toftaa adda addaa kan akka tiyooramii hirmaataa fi yaalii hirmaatoota ±a_0/a_n dhaan furu dandeenya.
Fakkeenya 11: Ruutii fankishinoota Polinoomiyaalii armaan gadii barbaadi.
a. f(x)=(x- 1)(x+2)(x+27) b. f(x) = x^3-3x^2-x+3
c. f(x) = x^3+4x^2+4x+3
Furmaata
a. (x- 1)(x+2)(x+27)=0 x-1 = 0 v x + 2 =0 v x +27=0
x=1 v x=- 2 v x= -27
∴ T.F = {-27 , -2,1}
b. Himaatoota±a_0/a_n = ±3/1 = ±3 fudhachuun yaalii tiyooramii hirmaataa gaggeessuu dha.
Isaanis, ±1,±3 dha.
f(-1) = 〖(-1)〗^3-3〖(-1)〗^2-(-1)+3 = 0 ∴-1 ruutii dha.
f(1) = 〖(1)〗^3-3〖(1)〗^2-(1)+3 = 0 ∴ 1 ruutii dha.
f(-3) = 〖(-3)〗^3-3〖(-3)〗^2-(-3)+3 =-48≠ 0 ∴-3 ruutii miti.
f(3) = 〖(-1)〗^3-3〖(-1)〗^2-(-1)+3 = 0 ∴ 3 ruutii dha.
Yookiin erga ruutii tokko -1 argate booda, akka kana tti fufee jiruu tti hojjedhu
Karaa dheera yookiin mala sinteetikiin hiruun, x^3-3x^2-x+3 = (x-2)(x^2-4x+3) ta’a.
Formulaa waliigalaa kuwaadiratikiin, ruutoota 1 fi 3 arganna. Kanaafu, T.F = { -1, 1, 3}
c. Hojii daree
Tiyooramii 3 [Yaalii ruutii raashinaalii]
Yoo polinoomiyaaliin p(x) = an xn +an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + . . .+a1 x + ao , maxxatoota intiijarii ta’an qaba ta’ee fi yoo lakkoofsi bifa salphaa r/s zeeroo polinoomiyaalii ta’ee, r hirmaataa a0 fi s hirmaataa an ta’e dha.
Fakkeenya 12: 〖4x〗^4-4x^3-25x^2+x+6=0 furi
Furmaata:- Yaalii ruutii raashinaalii tiin, an = 4 fi a0 =6 ta’a.Hirmaatootni,a0 ;±1,±2,±3,±6 fi hirmaatootni an ; ±1,±2,±4 dha. kanaafu,r/s=±1,±1/2,±1/4,±2,±3,±3/2,±3/4,±6 ta’a. kanneen 16 keessa, yoo baay’atee 4 qofa tu tiyooramii hirmaataan ruutii ta’u danda’uu.
Mee tiyooramii hafteen ilaali;
f (1) = 〖4(1)〗^4-4〖(1)〗^3-25〖(1)〗^2+1+6=-18≠0 ∴hirmaataa f(x) miti.
f (-1) = 〖4(-1)〗^4-4〖(-1)〗^3-25〖(-1)〗^2-1+6=-12≠0 ∴hirmaataa f(x) miti.
f (2) = 〖4(2)〗^4-4〖(2)〗^3-25〖(2)〗^2+2+6=60≠0 ∴hirmaataa f(x) miti.
f (-2) = 〖4(-2)〗^4-4〖(-2)〗^3-25〖(-2)〗^2-2+6=0 ∴hirmaataa f(x) ta^’ a.
f (3) = 〖4(3)〗^4-4〖(3)〗^3-25〖(3)〗^2+3+6=0 ∴hirmaataa f(x) dha.
f (-3) = 〖4(-3)〗^4-4〖(-3)〗^3-25〖(-3)〗^2-3+6=6≠0 ∴hirmaataa f(x) miti.
Algoorizimii hiruu fayyadamuun, f (x) = (x + 2)(X-3)(4x^2-1) = (x + 2)(X-3)(2x-1)(2x +1) ta’a.
∴ T.F = {-2,-1/2,1/2,3}
Polinoomiyaaliin ruutii raashinaalii hintaane qabu ni jira.Isaan kana immoo naannoo itti argama isaani lakkoofsota lama x = a fi x = b gidduu jiraachuu isaani mirkaneessuu dandeenya.
Tiyooramii 4 [Tiyooramii argama naannoo ruutii ]
Mee p(x) polinoomiyaalii dha haa jennu.Yoo a fi b ‘n lakkoofsota waliigalaa ta’anii fi, f(a) fi f(b) mallattoo masaanuu ta’e qabaataan fankishiniin p(x), x = a fi x = b gidduu tti yoo xiqqaate zeeroo tokko ni qabaata.
Fakkeenya 13:- p(x)=x^4-6x^3+x^2+12x-6 naannoo argama ruutii isaa barbaadi.
Furmaata:- Gabatee qopheessuun ilaali.
X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
y 210 38 -10 -6 2 -10 -42 -70 -44 102

Gabatee kana irraa, -2 fi -1 gidduu tti, 0 fi 1 gidduu tti, 1 fi 2 gidduu tti, fi 5 fi 6 gidduu tti ruutii qaba.
Gocha 1.17
Polinoomiyaaloota armaan gadii furi.
x^3-27=0
x^4-125x=0
f. x^3+8=0
〖x^3-3x〗^2+3x-1=0
6〖x^4-7x〗^2-3=0
10〖x^4+3x〗^2-1=0
〖x^3+3x〗^2-x-3=0
〖x^4-x〗^3=x^2+x+2
〖x^4-2x〗^3-5x^2+18x-36=0
〖x^4-x〗^3-x-2=0
x^3-3x^2-4x+12=0
Yoo “n” digiriin fi “r” ruutoota ta’an,hima polinoomiyaalicha barreessi.
a. n = 3; r=1, 3 fi -2 b. n = 6; r=1, 2 fi -2 c. n = 5; r= 3 d. n = 3; r=2 fi -2

Mee p(x) polinoomiyaalii digirii 3 haa jennu.Yoo f(2) = 48 fi ruutootni isaa -4, -2 fi 1 ta’an,p(x) barreessi.
Yoo polinoomiyaalii g(x) digirii 4 ta’e, ruutoota 0,-1, 3, fi 4 qaba ta’e fi g(5) = 20 ta’e, g(x) barreessi.
-2, -1, 1, fi 1/2 ruutoota 2x^3-x^2-2x+1 ta’u yookiin dhisuu isaani mirkaneessi.
6.Naannoo argama ruutoota x^5-2x^2-1 ibsi.

Giraafii fankishinoota polinoomiyaalii
Giraafii fankishinoota liniyaarii fi fankishinoota digirii 2ffaa korsii darbee keessatti ilaaltee jirta.Mee akka yaadattuuf gocha armaan gadii dalagi.
Gocha 1.18
1.Giraafii f(x)= x + 2 ijaari, amala giraafii f(x) = ax + b ibsi.
2.Giraafii f(x) = x^2+5x+6 ijaari, amala f(x) = 〖ax〗^2+bx+c ibsi.[ qaxxamuroota siiqqeewwani, verteeksi, reenjii fi kkf ] ibsi.
3.Giraafiioota armaan gadii ijaaruun, waa’ee verteeksii isaani maal jeta ?
a. f(x) = (x-2)^2 b. g(x) = (x+2)^2 c. . f(x) = (x-1)^2 d. . f(x) = x^2
Amaloota giraafoota fankishinii polinoomiyaalii
1.Mandheen fankishinii polinoomiyaalii lakkoofsota waliigalaa dha.kanaafu, giraafiin isaa gara bitaa fi mirgaatti dhuma malee itti fufa.
2.Yoo gatiin |x| guddachaa deemu,giraafiin f(x) siiqqee-x irraa bitaa fi mirgaan fagaachaa deema
3.Yoo x = c ruutii f(x) ta’e, giraafiin f(x) siiqqee x, x = c irratti qaxxamura yookiin tuqa.
4.Giraafiin polinoomiyaalii digirii n ta’ee,yoo baay’atee si’a “n” siiqqee x tuquu danda’aa.
5.Yoo 〖(x-c)〗^k, hirmaataa f(x) ta’e, giraafiin f(x),
i.yoo k guutuu ta’e x = c irratti siiqqee x tuqaa malee hin qaxxaamuru.
ii.Yoo k mangoo ta’e garuu x = c irratti siiqqee x ni qaxxaamura.
6.Giraafiin polinoomiyaalii digirii “n” ta’e,yoo baay’atee marfataa “n-1” qaba.
7.Maxxantuu dursiituu fi digirii isaa irratti hunda’uun fiixeen isaa kallatti armaan gadii qabaata.

Maxxantuu dursiituu poozativii  Maxxantuu dursiituu negativii

Digirii guutuu

Digirii mangoo

Fakkeenya 14:Giraafii f(x)=x^3+3x^2-x-3 ijaarii.
Tarkanfii 1:- hirmaateessuun ruutoota isaa barbaadi.ruutootni isaa qaxxamura siiqqee x ta’u.
f(x) = x^3+3x^2-x-3 = (x +3)(x + 1)(x – 1) ta’a. Kanaafu ruutootni isaa -3, -1, 1 ta’u.
Tarkanfii 2:- qaxxamura siiqqee y tarmii dhaabbataa ta’a. y = -3
Tarkanfii 3:- Amala 7 armaan oliin waan giraafiichi fakkatuu tilmami. Gama bitaan fiixeen isaa gadii fi gama mirgaan immoo fiixeen isaa ol deema.
Tarkanfii 4:- Ruutoota isaa irraa Intevaaloota x < -3, -3 < x < -1, -1 < x < 1, fi x > 1 uumamuu.Inatervaloota kana irratti siiqqee x gadii yookiin siiqqee x ol jiraachuu isaa mirkaneefanna.Tiyooramii naannoo argama ruutii fayyadamuun, lakkoofsa yaalii intervaalii keessa kan barbaade filachuun, siiqqee x gadii yookiin ol jiraachuu isaa ibsi. Mee intervaalii
x < -3 keessa, x =-4 fudhuu, f(-4)= -15 kanaafu, x < -3 keessa tti siiqqee x gadii jira jechuu dha. haaluma kana gabateen walitti qabuun ifaa taasisa.

Intervaalii Lakkoofsa yaalii Gatii f(x), lakkoofsa yaaliif Mallattoo f(x) Bakka giraafii
X < -3 -4 F(-4) = -15 – Siiqqeex gadii -3 < x < -1 -2 F(-2) = 3 + Siiqqeex ol -1 < x <1 0 F(0) = – 3 – Siiqqeex gadii X > 1 2 f(2)= 15 + Siiqqeex ol

Tarkanfii 5:- Giraafii isaa ijaari

Gocha 1.19
Giraafii fankishinoota armaan gadii ijaari.
f(x) = (x -1)(x+5)(x+2)
f(x) = -x(x -1)(x+2)2
f(x)=x^4-5x^2+4
f(x)=x^3-3x^2-x+3
f(x)=x^4-4x^3+4x-1
1.5.2Fankishinoota Raashinaalii
Hiikoo :Mee p(x) fi q(x) ibsama polinoomiyaaliiti haa jennu. Ibsamni bifa p(x)/q(x) ,q(x)≠0 tiin ibsamu, ibsama Raashinaalii jedhama.p(x)/q(x) keessatti, P(x) waamamaa fi q(x) waamsisaa jedhamu
Hub: Yoo q(x) = 1 ta’e,p(x)/q(x) =p(x)/1= p(x) ta’a.Kanaafuu polinoomiyaaliin hundinu raashinaalii ta’u.
Fakkeenya 1: a.(〖 x〗^3+2x^2-1)/(x+3) b. (2x^2-√2)/(x^2+1) c. x^2+5x+2 d. -4
fi kkf ibsama raashinaalii dha.
Hiikoo: Fankishiniin ulagaalee ibsama raashinaalii guutu fankishinii raashinaalii jedhama.
Fakkeeya 2: a. f(x)=1/(x-2) b. h(x)=(2x^3+2)/(x^2+2) c. f(x)=1/x
d.p(x)=3 fi e. 〖g (x)=x〗^2+5x+2 fankisinoota raashinaalii dha.
Hubachiisa: Mandheen fankishinii raashinaalii R(x)=p(x)/q(x) , tuuta lakkoofsota waliigalaa kanneen ruutii q(x) hintaane dha.
Fakkeeya 3:Mandhee fankishinoota armaan gadii barbaadi.
a. f(x)=x/(4x-2) b. g(x) = x^(-4) c. k(x)=2x/(x^2+1) d. h(x)=(x^2+3)/(x^2-9)
Furmaata: zeeroo waamsisaa dursani hubachuun barbaachisaa dha.
a.4x – 2= 0 x = 2 ∴ Mandhee = { : x ≠ 2}
b. g(x) = x^(-4) = 1/x^4 ; ∴ Mandhee = { : x ≠ 0}
c. x^2 +1 = 0 ruutii hinqabu. ∴ Mandhee =
d.x^2 – 9 = 0 x = -3 v x = 3 ∴ Mandhee = {-3, 3}
Gocha 1.20
1.Kanneen keessa kamtu ibsama raashinaalii hin ta’u ?
a.1/2 x^2+1/2 b.(x^2+3x-1)/2^x c.x^(-3) d.((x+2)(x-2))/xe. 8^3 f.1/√(x-2)
2.Mandhee fankishinoota raashinaalii armaan gadii barbaadi.
a. . f(x)=x/(3x-2)b. h(x)=2/(x^2+3x+2) c. g(x)=(x+3)/(x+3) d.x^(-2)
e. g(x)=2x/(x^2+1) f. p(x)=(x+1)/(〖x^3-x〗^2+x-1) g. h(x)=(x^2+3x+2)/(x^2-4)
Salphisuu ibsamoota Raashinaalii
Ibsamni raashinaalii tokko salphate kan jedhamu yoo ibsamichi ibsama walgituun bakka bu’ee dha.Kana jechuun ida’uu, hir’isuu, baay’isuu, fi hiruu ibsamicha keessa jiran amma danda’aamee tti qoyyabamanii xumuramanii dha.
Fakkeeya 4:Kanneen armaan gadii tuuta waliigalaa isaa ibsuun salphisi.
a.x^2/(x-1)-x/(x-1) b.(3x-9)/x÷(x-3)/3xc.(x^2-6x+8)/(x^2-5x+6) d.(2x+8)/(x^2-16)-2x/(x^2-8x+16)

Furmaata:
a.x^2/(x-1)-x/(x-1) =(x^2-x)/(x-1) = (x(x-1))/(x-1) = x ; x≠0
b. (3x-9)/x÷(x-3)/3x = (3x-9)/x x 3x/(x-3) = (3(x-3))/x x 3x/(x-3) = 9; x≠0,3
c.(x^2-6x+8)/(x^2-5x+6) = ((x-4)(x-2))/((x-2)(x-3)) = ((x-4))/((x-3)) ; x≠2
d.(2x+8)/(x^2-16)÷2x/(x^2-8x+16) = (2(x+4))/((x+4)(x-4))÷2x/((x-4)(x-4)) = (2(x+4))/((x+4)(x-4)) x ((x-4)(x-4))/2x= (x-4)/x ; x≠-4,4
Gocha 1.21
1.Kanneen armaan gadii salphisi.
a.x/(x^2-1)+2/(x^2+2x+1) b.(x+3)/x+5/(x^2-6x)+x/(6x-36)c. (3/(x+1)-4/(x+2))((2x+1)/(x-3))
d.((x^2+3x-10)/(5x-10))/((x^2-25)/(x+5)) e.(1/(x-2)+2/(x+3))/(3/(x^2-4x+3)+4/(x-2))
Himoota walqixa raashinaalii fi himoota walcaalmaa raashinaalii furu.
A. Himoota walqixa raashinaalii furuu
Fakkeeya 5: Kanneen armaan gadii mandhee isaa ibsuun furi.
a.2/(x+1)=3/(x+2) b. 2/x+1/(x+1)=2x/(x+1)c. 3/x-1/(x+2)=14/5
Furmaata:-
a. 2/(x+1)=3/(x+2); U= {-1, -2}
2(x + 2)= 3(x + 1) 2x + 4 = 3x +3 x = 1
b.2/x+1/(x+1)=2x/(x+1) (2(x+1)+x)/(x(x+1)) = 2x/x1 (3x+2)/x = 2x 3x + 2=2x^2 2x^2-3x-2=0
(2x+1)(x-2) = 0 x =(-1)/2 v x = 2
c.3/x-1/(x+2)=14/5 (3x+6-x)/(x(x+2))=14/5 (2x+6)/(x^2+2x)=14/5 10x + 30 = 14x^2 +28x
14x^2 +28x -10x – 30=0 14x^2 + 18x -30 =0 7x^2 + 9x -15 =0
∴x=(-9±√(81+420))/14=(-9±√501)/14
Gocha 1.22
Kanneen armaan gadii Mandhee isaanii ibsuun furi.
a. 20/x+5/2x=9/2 b. 1/(x-1)=(-1)/(x+2) c. 2/(x-4)-3/(x^2-16)=5/(x+4)
d. 5/x+4/(x+1)=3/(x-2) e. 4/(x-1)+5/(2(x+1))-3/(2(x-1))=8/(x^2-1)
B.Himoota walcaalmaa raashinaalii furu
Himootni walcaalmaa raashinaalii kan jedhaman kanneen <, >, ≤ , ≥ , fi ≠ of keessa tti qabatanii dha.
Fakkeeya 6:Kanneen armaan gadii mandhee isaani irratti furi.
a.(x+1)/x< 3 b.(x+2)/(x-1)≥x + 2
Furmaata:-a. (x+1)/x< 3 (x+1)/x – 3 (x+1-3x)/x<0 (1-2x)/x< 0
Zeeroon waamsisaa 1- 2x = 0 x = 1/2 fi x = 0 ta’u.Chartii mallattoo fayyadamuun hojjedhu.
0 1/2
-2x+1 + + –
X + +
(-2x+1)/x – + _

∴ T.F = (-∞,0) ∪(1/2,∞)
b. (x+2)/(x-1)≥x + 2 (x+2-(x-1)(x+2))/(x-1)≥0 (x^2-4)/(x-1)≤0 ((x-2)(x+2))/(x-1) ≤0
-2 1 2
x- 2 – – – +
X + 2 – + + +
(x- 2)( x+ 2 + – – +
x-1 – – + +
((x-2)(x+2))/(x-1) – + – +

  T.F = (-∞,-2] ∪(1,2]

Gocha 1.23
Kanneen armaan gadii furi
a.(x-2)/(x-1)<1b. (3x+1)/(2x-4)≥ 0 c.1/(x-1)<(-1)/(x+2)d. (x^2+x-2)/(x^2-2x-3)< 0 e.(〖2x〗^2+x-1)/(x^2-4x+4)≥0

Giraafii fankishinoota Raashinaalii
Giraafii fankishinii raashinaalii f(x) ijaaruuf,gabatee gatiiwwan x filatamaniin qopheessuun, kanneen armaan gadii xiyyeeffannaa keessa galchuun barbaachisaa ta,a.
Qaxxamura siiqqee x yoo jiraate barbaaduu.
Qaxxamura siiqqee y yoo jiraate barbaadu.
Amala giraafiichi naannoo tuqaalee itti hiika dhabsiisanii tti qabu hubachuu.
Amala giraafichi gatii |x| guddaaf qabu qorachuu.
Mallattoolee:-
x a^+ jechuun akka x ‘n gara “a” tti gama mirgaan siqaa deemu jechuu dha.
x a^-jechuun akka x ‘n gara “a” tti gama bitaan siqaa deemu jechuu dha.
y ∞jechuun gatiin y yeroopozativii infinitiitti siqu (pozaativii guddaa ta’u) jechuu.
y -∞ jechuun gatiin y yeroo negativii infinitiitti siqu (nagetiivii guddaa ta’u) jechuu
Mee giraafii bifaf (x) = 1/x^n qaban ilaalla.
Fakkeeya 7:Giraafii a. f (x) = 1/x b. f (x) = 1/x^2 ijaari.
Furmaata: a. f (x) = 1/x
Tarkanfii 1 :Gabatee isaa qopheessi.
x -5 -2 -1 -(-1)/2 (-1)/5 (-1)/9 (-1)/10 0 1/10 1/9 1/5 1/2 1 2 5
f(x) (-1)/5 (-1)/2 -1 -2 -5 -9 -10 ∞ 10 9 5 2 1 1/2 1/5

Tarkanfii 2: Tuqaalee 1 hanga 4 irraa:-
1.qaxxamura siiqqee x hinqabu. 2. qaxxamura siiqqee y hinqabu.
3.Amala isaa naannoo x = 0 tti ilaaluun
i.Yoo x > 0 ta’e, f ( x) > 0 ta’a fi akka x ‘n dabalaa deemuu tti, f ( x) hir’iataa deemaa.Kanas mallattoon akka, x ∞ , f (x) 0^+ fi akka x 0^+, f (x) ∞
ii. yoo x < 0 ta’e, f ( x) < 0 ta’a fi akka x hir’ataa deemuun, f (x) dabalaa deema.kanas
mallattoon akka, x -∞ , f (x) 0^- fi akka x 0^-, f (x) -∞
Qabxiilee kana fayyadamuun giraafii f (x) = 1/x ijaari.

f (x) = 1/x

Furmaata:-b. f (x) = 1/x^2 ijaari
Tarkanfii 1 :- Gabatee isaa qopheessi.
x -5 -2 -1 -(-1)/2 (-1)/5 (-1)/9 (-1)/10 0 1/10 1/9 1/5 1/2 1 2 5
F(x) 1/25 1/4 1 4 25 81 100 ∞ 100 81 25 4 1 1/4 1/25

Tarkanfii 2:- Tuqaalee 1 hanga 4 irraa:-
1.qaxxamura siiqqee x hinqabu. 2. qaxxamura siiqqee y hinqabu.
3.Amala isaa naannoo x = 0 tti ilaaluun
i.Yoo x > 0 ta’e, f ( x) > 0 ta’a fi akka x ‘n dabalaa deemuu tti, f ( x) hir’iataa deemaa.Kanas mallattoon akka, x ∞ , f (x) 0^+ fi akka x 0^+, f (x) ∞
ii. yoo x < 0 ta’e, f ( x) > 0 ta’a fi akka x hir’ataa deemuun, f (x) hir’ataa deema.kanas
mallattoon akka, x -∞ , f (x) 0^+ fi akka x 0^-, f (x) ∞
Qabxiilee kana fayyadamuun giraafii f (x) = 1/x^2 ijaari

f (x) = 1/x^2
Gocha 1.24 Fakkeenya armaan olii irraa ka’uun ,amala giraafii f (x) = 1/x^n
a. yoo n mango ta’e b.yoo n guutuu ta’e

Fakkeeya 8:- Giraafii f (x) = 1/(x+2) ijaari.
Furmaata:a.f (x) = 1/(x+2)
Tarkanfii 1 :- Gabatee isaa qopheessi.
x -4 -3 -2.5 -2.8 -2.9 -2.99 -2 -1.99 -1.9 -1.8 -1.5 -1 0 1
F(x) -0.5 -1 -2 -1.25 -1.1 -1.01 ∞ 100 10 5 2 1 1/2 1/3

Tarkanfii 2:- Amaloota giraafii naannoo x = 2 ibsi.
1.qaxxamura siiqqee x hinqabu. 2. qaxxamura siiqqee y; 2 dha
3.Amala isaa naannoo x = 0 tti ilaaluun
i. Yoo x ∞ , f (x) 0^+ fi akka x 0^+, f (x) ∞
ii. yoox -∞ , f (x) 0^- fi akka x 0^-, f (x) -∞
x = – 2
f (x) = 1/(x+2)

Haqaaqota
Fankishniin raashinaaliin bakka waamsisaan zeeroo itti ta’un alatti itti fufaa dha.jecuun
f(x)= (p(x))/(q(x)) kan x=a itti hin fufnee yoo q(a)=0 ta’e dha. fakkeenyaf f(x)=(x+1)/(x^2-1) ; x= -1 fi x=1 irratti itti fufaa miti.
Hiikoo 3 sararri bakka giraafii f(x)= (p(x))/(q(x)) itti hiin qaxxamure,aqaaqa jedhama.
Haqaaqni sarara olee,dalgee,shafaxaa ykn golboo ta’u danda’a mata duree kana jalatti kanneen sarara dalgee,olee fi shafaxaa ta’an qofa Ilaala .

Hiikoo4. (Haqaaqa olee)
Fankishinii f(x)=(p(x))/(q(x)) , q(x)≠0 , yoo q(a)=0 fi (x-a) hirmaata p(x) fi q(x) miti ta’e, sarara oieen x=a haqaaqa olee jedhama.
Kara bira sarara x=a aqaaqa olee yoo ta’e , f(x) ∞ yookiin f(x) ∞ gama bitaa ykn
gama mirgaa a tiin ta’a.
Hubadhu: i.Mandheen f(x) = {a ∈ : q(a)=0}
ii) tuqaan (a, f(a)) giraafiicha irra jiraachuu hundanda’u
Fakkeeya 9:haqaaqa olee a) f(x)=x/(x^2-4) B)f(x)= (x-1)/(x^3+x) barbaadi.
Furmaata:- A) x= -2 fi x=2 B) f(x) =(x-1)/(x^3+x) =(x-1)/(x(x+1))∴ x= -1 fi x=0haqaaqa olee dha
Hiikoo 5. Mee fankishinii raashiinaalii f(x) =(p(x))/(q(x)) =(a_(n ) x^n+a_(n-1 ) x^(n-1)+a_(n-2 ) x^(n-2)+⋯+ax+a_(0 ))/(b_(m ) x^m+b_(m-1 ) x^(m-1)+b_(m-2 ) x^(m-2)+⋯+bx+b_(0 ) )
haa jennu
1) yoo nm ta’e, f(x) haqaaqa dalgee hin qabu.
Fakkeeya 10:-a) y=0 Haqaaqa dalgee , f(x) = (x+2)/(x^2+3 ) dha.
b) y=3/2Haqaaqa dalgee , f(x) =(3x^2-1)/(2x^2+2) dha.
Hiikoo 6 f(x) =(p (x))/(q (x)) kennameef, yoo digiriin p(x) digirii q(x) tokkoon Caalee, karea dheeraa hiruun f(x)= (ax+b) + (r(x))/(q(x)), yoo digiriin q(x) irraa guddaa digirii r (x) ta’e, sarari qajeelaan y= ax+bHaqaaqa shafaxaa giraafii f (x) jedhama.
Fakkeeya 11:- f(x)=(x^2+2x-3)/(x-2) yoo fudhanee karaa dheeraa hiruun
f(x)= (x+4) +5/(x-2) ta’a. ∴ y= x+4 haqaaqa shaffaxaa dha.
Fakkeeya 12:- Giraafii a. f(x)=(3x-1)/(x-1) b. f(x)=(x^2+1)/(x-1) ijaari.

furmaata
Giraafii f (x) = (3x-1)/(x-1) ijaaruuf haqaaqoota, qaxxamuroota, fi amalaa isaa naannoo haqaaqa fi |x| guddaaf beekuun ga’a dha.
Qaxxamua siiqqee x, x = 1/3 fi qaxxamura siiqqee y , 1 ta’u, x = 0 fi y =0 taasisuun argachuu dha.
Aqaaqa Olee; x = 1 fiHaqaaqa Dalgee; y = 3 ta’a.
iii.|x|guddaaf i. Yoo x ∞ , f (x) 3^+ fi akka x 1^+, f (x) ∞
ii. yoox -∞ , f (x) 3^- fi akka x 1^-, f (x) -∞

f (x) = (3x-1)/(x-1)

b. f(x)=(x^2+1)/(x-1) ijaari.
b.Giraafii f (x) = (x^2+1)/(x-1) ijaaruuf haqaaqoota, qaxxamuroota, fi amalaa isaa naannoo aqaaqa fi |x| guddaaf beekuun ga’a dha. i.qaxxamua siiqqee x, hinqabu fi qaxxamura siiqqee y , -1 ta’a.
ii.Haqaaqa Olee; x = 1 fi Haqaaqa Shaffaxaa; y = x + 1 ta’a.(hiruun)
iii.|x|guddaaf i. Yoo x ∞ , f (x) ∞ fi akka x 1^+, f (x) ∞
ii. yoox -∞ , f (x) -∞ fi akka x 1^-, f (x) -∞

Gocha 1.25
Giraafii fankishinoota armaan gadii ijaari
a. f (x) = x/(x-1) b. f (x) = (2-x)/(x-1) c. f (x) = (x^2-x-6)/(x-2)
d. f (x) = (〖2x〗^2+4)/(x^2+1) e. f(x) = (x^2+x-2)/x
1.5.3 Fankisinii Eksiponenshaalii fi logarizimikii
Kanaan dura seeroota eksiponenshaalii barate ni yaadata ?Seeroota eksiponenshaalii armaan gadii yaadadhu.
Seeroota Eksiponentii jahaan.
Mee x fi y Lakkoofsa waliigalaa fi a fi b lakkoofsa waliigalaa poozativii haa jennu.
1.a^x a^y=a^(x+y) 2.a^(-x)=1/a^x 3.a^x/b^y = a^(x-y)
4.〖(a〗^x )^y= a^xy 6.a^x b^x= 〖(ab)〗^x 6.a^x/b^x = (a/b)^x

Hubadhu: 1. a^0=1,a≠0 2. 2^4= 2 x 2 x 2 x 2 jechuu dha. 3.(a/b)^(-x)= (b/a)^x
Gocha 1.26
1.Kanneen armaan gadii salphisi
a.((5ab)^3 (4ab)^5)/(10ab)^2 b. (6^2×〖10〗^2)/(5^4×9) c.(x^8 y^11 z^25)/(x^4 y^15 z^12 ) d.5^4×5^8 e. 3^6×5^6
2.Kanneen armaan gadii keessatti gatii m barbaadi.
a. 5^m×3^4=25×81 b. 3^m×3^4 = 27 c 2^m×3^n=8×6^10 yoo ta’e, n – m barbaadi
Raadikaaloota
Kanneen armaan gadii yeroo hundaa dhugaa ta’u.
Yoo a > 0, a∈ , fi n,m ∈N ta’e, i. =√(n&a) ii. = (√(n&a) )m
Gocha 1.27
Ibsamoota armaan gadii salphisi.

∛(-27)
〖16〗^(3/2)
((3^√2 )^2 x9^(-√3))/3^(-√12)

Hiikoo
Fankishiniin bifa f (x) = a^x, a∈ , a > 0, a ≠0 ibsamu fankishinii eksiponenshaalii jedhama.

Giraafii Fankishiniieksiponenshaalii
Fakkeeya 1:- Giraafii a. f (x) = 2^x b. g (x) = 3^x diriiroo ko’oordineetii tokko irratti ijaari.
Gabatee isaa qopheessuun ijaaru dandeenya.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
2^x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
x -3 -2 -1 0 1 2 3
3^x 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27

                                                             Y       g (x) = 3^x

f (x) = 2^x

Amaloota giraafii fankishinii eksiponenshaalii
1.Mandhee f = Mandhee g = 2.Reenjii f = Reenjii g = { y: y > 0 }
3.Siiqqeen x yookiin y = 0 aqaaqa dalgee ta’a. 4.f fi g tuqaa (0 , 1) irratti wal kutuu.
5.Yoo x < 0 ta’e, i. 0 < f(x) < 1 ii. 0< g(x) < 1 6.Yoo x > 0 ta’e, i.f(x) > 1 ii. g(x) > 1

Yoo x = 0 ta’e, i. f(x) = 1 ii. g(x) = 1 8. Fankishinii dadabaloo dha.
9.Giraafiinf (x) = a^x yoo a > 1 ta’e, akka ‘a’ ‘n guddachaa deemuu ti siiqqeewwaan irraa fagaata.
Gocha 1.28
Giraafii a. f (x) = (1/2)^x b. g (x) = (1/3)^x diriiroo ko’oordineetii tokko irratti ijaara ti amaloota isaani gareen mari’adha dareef ibsaa.
Himoota walqixa fi walcaalmaa eksiponenshaalii
Tiyooramii 1 Mee a > 0 fi x,y ∈
a.Yoo a > 1 ta’e, i. a^x=a^y yoo ta’e, x = y ta’a. ii.a^x>a^yyoo ta’e, x > y ta’a.
b.Yoo 0 < a < 1 ta’e, i. a^x=a^y yoo ta’e, x = y ta’a. ii. . a^x>a^yyoo ta’e, x < y ta’a. Fakkeeya 2: a. 8^(x-3)=2^(x+1) b. 9^(x-2)>3^xc. (1/8)^(x-1)=(1/2)^(x+4) d.(1/25)^(x-1)<(1/5)^(x+4)furi. Furmaata: a. 8^(x-3)=2^(x+1) 2^(3(x-3))=2^(x+1) 3(x – 3) = x+1 x= 5 b.9^(x-2)>3^x 3^(2(x-2))>3^x 2(x – 2) = x x= 4/3
c. (1/8)^(x-1)=(1/2)^(x+4) 2^(-3(x-1))=2^(-(x+4)) -3(x – 1) = -(x+4) x= 7/2
d.(1/25)^(x-1)<(1/5)^(x+4) 5^(-2(x-1))<5^(-1(x+4)) -2(x – 1) = -1(x+4) x= 6 Tiyooramii 2: Mee a > 0, b > 0 fi x,y ∈ aa jennu.
i.Yoo x > 0 ta’e, a^x>b^x a > b ii. Yoo x < 0 ta’e, a^x>b^x a < b iii. Yoo x = 0 ta’e, a^x=b^x Fakkeeya 3: a. (5x+2)^3>(2x+11)^3b.(5x+3)^(-10)>(x+15)^(-10)furi.
Furmaata: a. (5x+2)^3>(2x+11)^3 5x + 2 > 2x+11 x > 3
b.(5x+3)^(-10)>(x+15)^(-10) 5x + 3 < x+15 x < 3 Gocha 1.29 Kanneen armaan gadii furi a.5^2x = 125 b. 〖16〗^3x = 8^(2x-1) c. 8^(2x+5)= 1 d. 5^(x^2+x) = 1 e. ∛128 = 4^2x f.3^2x<〖27〗^(-3x) g. 〖16〗^(2-x)<2^(x-2) h. (〖0.25)〗^(x-1)>(1/8)^(2x+1)
i.3^2x 〖-12(3〗^x)+27=0 j.3^(x+2) 〖-3〗^x-72>0

Fankisinoota Logaarizimikii
Fankishinootni logaarizimikii galagaltoo fankishinoota eksiponenshaalii tti.
Hiikoo fi Seeroota logaarizimii
Hiikoo 3:- Yoo a > 0 fi a ≠ 0 ta’e, log_a⁡x , x >0 logaarizimii x hundee a ttin jedhama.Fankishin
f (x)= log_a⁡x fankishinii logaarizimikii jedhama. f (x)= log_a⁡x bifa eksiponentiin yoo ibsamu a^y= x ta’a.
Fakkeeya 4: a.log_2⁡4 =_ b. log_3⁡81 = c. log_5⁡x=4 ; x = _ d.log_(4/9)⁡〖27/8〗 =
Furmaata: a. Bifa eksiponentiitti deebisuun hojjenna.
Mee log_2⁡4=nhaa jennu,⇒〖 2〗^n= 4
〖 2〗^n= 〖 2〗^2 n = 2 ∴log_2⁡4 = 2 ta’a.
b. Mee log_3⁡81=m haa jennu; 〖 3〗^m =81 〖 3〗^m= 〖 3〗^4 m = 4.log_3⁡81= 4 ta’a.
c.log_5⁡x=4 5^4=x x = 625
d.Mee log_(4/9)⁡〖27/8〗 = n haa jennu. (4/9)^n = 27/8 (2/3)^2n = (3/2)^3= (2/3)^2n = (2/3)^(-3) 2n = -3 n =(-3)/2
Seeroota logaarizimii
Mee a,b,k,x, y lakkoofsota waliigalaa fi a≠ 1, b≠ 1 haa jennu.
1.log_a⁡xy = log_a⁡x + log_a⁡y 2.log_a⁡〖x/y〗 = log_a⁡x-log_a⁡y
3.log_a⁡〖〖 x〗^k 〗 = k log_a⁡x 4. log_(〖 a〗^k )⁡x = 1/k log_a⁡x
5.log_y⁡x=log_a⁡x/log_a⁡y 6. log_a⁡x = 1/log_x⁡a

log_a⁡〖1/x〗=-log_a⁡x 8.log_(1/a)⁡x = -log_a⁡x
9.a^log_a⁡x =x
Fakkeeya 5:- a.log_(3√3)⁡81 + 3^〖1+log〗3⁡4 b.log_2⁡〖5√8〗-log_2⁡15salphisi a.log(3√3)⁡81 + 3^〖1+log〗_3⁡4 = log_3⁡81/log_3⁡〖3√3〗 +〖 3〗^1×3^log_3⁡4 = log_3⁡〖〖 3〗^4 〗/log_3⁡〖3^(3⁄2) 〗 +3×4=4 x 2/3+12= 44/3
b.log_2⁡〖5√8〗-log_2⁡15=log_2⁡〖((3√8)(5√8))/15〗 = log_2⁡〖(15×8)/15〗 = log_2⁡8=3
F (x) = log_e⁡〖x=lnx〗 ; e’n lakkoofsa al-raashinaalii e = 2.7118281828459045… logaarizimii uumamaa jedhama.
Hub:- y= lnx⟺〖 e〗^y=x

Gocha 1.30 kanneen armaan gadii salphisi.
1.log_7⁡∛49 2.log_(1/8)⁡∛(1/32) 3. log_(1/4)⁡∛8+log_(1/2)⁡√8-log_(1/2)⁡√32
4.log_2⁡∛(64/16)-log_(1/2)⁡√32 5.log_12⁡27(log_10⁡4+log_10⁡〖3)log_3⁡10 〗

Himoota walqixa fi walcaalmaa logaarizimii furu.
Himoota walqixa Logarizimikii yoo furu mandhee isaa irraatti xiyyeeffachuun barbaachisaa dha.
Fakkeeya 6: Yoo log_2⁡x=2/3 log_2⁡〖27+2〗 log_2⁡2-log_2⁡3ta’e, gatii x = _
Furmaata:log_2⁡x=2/3 log_2⁡〖27+〗〖2log_2〗⁡2-log_2⁡3=log_2⁡〖〖27〗^(2/3)+〗 log_2⁡〖〖 2〗^2 〗-log_2⁡3
= log_2⁡9+log_2⁡4-log_2⁡3 = log_2⁡〖(9×4)/3〗
= log_2⁡12
∴T.F={ 12}waan Mandhee = { x: x > 0} ta’eef. (maaliif ?)

Tiyooramii 3: Mee x > 0, y > 0 haa jennu.
Yoo a > 1 fi log_a⁡x y ta’a.
iii. Yoolog_a⁡x=log_a⁡y ta’e, x = y ta’a. a > 0 , a ≠ 1

Fakkeeya 6:a. log_3⁡〖(2x-3)〗=0 b.log_4⁡〖〖 x〗^2 〗=2c. log_2⁡〖(2x-4)〗<0 d. log_2⁡〖(x-1)〗=3-log_2⁡〖(x-1)〗 FurmaataBifa eksiponenti tti deebiisuun fuuun ni salphata a. 3^0=2x-3 2x =4 x=4 ; w aan mandhee= {x: x >3/2 } ta’eef ∴T.F = { 4 }
b. x^2 = 4^2 x^2 =16 x = -4 v x=4 ; Mandhee = {x : x∈ } , ∴T.F={-4,4}
c.log_2⁡〖(2x-4)〗<0 log_2⁡〖(2x-4)〗 2 } waan ta’eef, kipha Mandhee fi furmaata argame barbaadu ta’a.
∴T.F={x:2 1 } ta’eef, T.F={1+2√2 }

Gocha 1.31.Kanneen armaan gadii furi.
1.log_3⁡x=2/3 log_3⁡8 + 1/2 log_3⁡〖9-〗 log_3⁡6 2.log_9⁡4x=log_4⁡9x
3.log_2⁡x+log_2⁡〖(x〗-2)=log_2⁡〖(2〗-2x) 4.log_3⁡〖(1〗-x)=1

log_2⁡〖(x+1)〗>log_2⁡〖(2x〗-3) 6. .log_2⁡〖(x+3)〗<3 7.log_4⁡〖(3x-2)〗=log_2⁡〖(x〗-2) 8.log_10⁡〖(3x+1)〗>log_2⁡5x

Giraafii fankishinoota logaarizimikii.
Fakkeeya 7:- Giraafii a. f (x) = log_2⁡xfi b. g (x) = log_(1/2)⁡x diriiroo tokko irratti ijaari amaloota isaani ibsi.
Furmaata:-
x 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16
log_2⁡x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x 16 8 4 2 1 1/2 1/4 1/18 1/16
log_(1/2)⁡x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f (x) = log_2⁡x

g (x) = log_(1/2)⁡x

Kana irraa amaloota giraafii f (x) = log_a⁡x, a > 1 fi g (x) = log_(1/a)⁡x 0 <1/a< 1 waliitti qabna. Amaloota f (x) = log_a⁡x, a > 1 Amaloota g (x) = log_(1/a)⁡x 0 <1/a< 1 1.Mandheen = { x : x >0} 1.Mandheen = { x : x >0}
2.Reenjiin = R 2.Reenjiin = R
3.Giraafiin isaa golboo fi itti fufaa dha. 3.Giraafiin isaa golboo fi itti fufaa dha.
4.Siiqqee y hinqaxxamuru 4.Siiqqee y hinqaxxamuru
5.Aqaaqa Olee isaa x = 0 dha. 5.Aqaaqa Olee isaa x = 0 dha.
6.Qaxxamura siiqqee x; (1,0) dha. 6.Qaxxamura siiqqee x; (1,0) dha.
7.fankishinii dadabaloo dha 7.fankishinii hir’isoo dha
8.i. yoo 0 < x < 1 ta’e, f (x) < 0 ta,a. ii.Yoo x = 1 ta’e, f (x) = 0 ta,a. iii. Yoo x > 1 ta’e, f (x) > 0 ta,a. 8.i. yoo 0 < x < 1 ta’e, g (x) > 0 ta,a.
ii.Yoo x = 1 ta’e, g (x) = 0 ta,a.
iii. Yoo x > 1 ta’e, f (x) < 0 ta,a.

Gocha 1.32
Garaagarummaa fi walitti dhufeenya amaloota giraafii f (x) = log_a⁡x fi
g (x) = log_(1/a)⁡x ,a > 1 ibsi.
1.5.4Fankishinoota Paaworii
Fankishinoota paaworii ta’an, kan akka f(x)=x^2 , f(x)= x^3,f(x)= x^(-2) fi kkf mata dureewwaan darbee keessatti ilaaleerra. Mee amma immoo bifa sirnaawaa ta’een, waliitti qabna.
Hiikoo: Fankishiniin bifa f(x)=〖kx〗^r tiin barreeffamee,k ,r∈Rta’efankishinii paaworii jedhama.
Akka hubachuuf si ta’utti, amaloota giraafii isaani tokko tokko ilaala.
1.Giraafii f (x) = 〖kx〗^r yoo k > 0 fi r intiijarii poozativii guutuu ta’u.
Fakkeeya 1:Giraafii f (x) =x^2 fi f (x) =x^4 diriiroo tokko irratti ijaari.
X -3 -2 -1 0 1 2 3
x^2 9 4 1 0 1 4 9
x^4 81 16 1 0 1 16 81
Y f (x) =x^4

f (x) =x^2

Gocha 1.33
1.Yoo paaworiin isaa guddaacha deemu maal hubatee? Mandhee fi Reenjii isaa hoo ?tuqaa walii qabu ? Amala isaa kan bira itti dabalaa tti gareen mar’iadha dareef ibsa.

Yoo k < 0 ta’e, giraafii isaa ijaari, amala isaa ibsi.

Fakkeeya 1:-Giraafii f (x) =〖-x〗^3 fi f (x) =-x^5 diriiroo tokko irratti ijaari.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
〖-x〗^3 27 8 1 0 -1 -8 -27
〖-x〗^5 243 32 1 0 -1 -32 -243
Y
f (x) =〖-x〗^3 f (x) =-x^5

Gocha 1.34
1.Yoo paaworiin isaa guddaacha deemu maal hubatee? Mandhee fi Reenjii isaa hoo ?tuqaa walii qabu ? Amala isaa kan bira itti dabalaa tti gareen mar’iadha dareef ibsa.

Yoo k > 0 ta’e, giraafii isaa ijaari, amala isaa ibsi.
3.Haalumma kanaan yoo r firaaksinii ta’e, giraafii isaa ijaari, amala isaa ibsi.

1.5.5Fankishinii Gatsirrii
Hiikoo 1.:Gat sirriin lakkoofsa walii gala x, |x| tiin mallatteeffamee hiikoon isaa:
|x|={█(x,yoo x≥0@-x,yoo x<0)┤
Fankishiniin bifa f(x)=|x| tiin ibsame fankishinii gat-sirrii jedhama.
Gocha 1.34Giraafiifankishinoota armaan gadii ijaari.

f(x)=|x|
g(x)=|x-2|
h(x)=|3-4x|
k(x)=|3x-8|

1.5.6Fankishinii Siginam (Signum function)
Fankishinni signum lakkoofsa waliigalaa x, sgn(x) tiin mallattaa’eehiikoon isaas akka armaan gadii ta’a.
f(x)=Sgn(x)={█(1,yoo x>0@0,yoo x=0@-1,yoo x<0)┤ta’a.
Gocha1.1.35:
Gabatee armaan gadii guuti.
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Sgn(x)

 Giraafii fankishinii siginam ijaaruun mandhee fi reenjii isaa dareef ibsi.

1.5.7Fankishina Intijerii irraguddaa( Greatest integer or floor function)
Intiijeriin irra guddaa lakkoofsa waliigala x,[x] tiin mallattaa’ee hiikoon isaa:
[X]=n, n’n intiijerii irra xiqqaa ykn walqixa x ta’a.kunis[x]’n intiijerii guddaa x gad ykn x waliin wal qixa ta’e jechuu dha.

Fkn. [3.45]=3
[-2.13]=-3
[7]=7
[0]=0
Fankishinni bifa f(x)=[x] tiin ibsamu, Fankishiniin intiijerii irra guddaa(greatest integer function or floor function) jedhama.
Fkn. Fankishinni f(x)=[x] , -2≤x<3 irratti akka armaan gadiin ibsama.
f(x)={█(-2,yoo-2≤x<-1@-1,yoo-1≤x<0@0,yoo 0≤x <1@1,yoo 1≤x<2@2,yoo 2≤x<3)┤ ta’a
Fkn. f(x)=[x], -4≤x<4 giraafiin yeroo ibsinu akka armaan gadii ta’a.

Gocha:1.36
Fakkeenya armaan olii irraa mandhee fi reenjii isaa baasi.
1.5.8Fankishinoota Tirigonometirikii
Gocha1.37Maalummaa ibsamoota armaan gadii gareen irratti mari’achuun dareef ibsi.

Kofa iddoome
Kofa wabii
Kofa akkiyuutii
Kofa obtiyuusii
Kofa sirrii
Kofoota lakkuu
Kofoota rifileksii
Kofoota hirtaa I, II, III fi IV
Rogsadee wabii

Fankishinoota Tirigonomeetirikii jahanii fi amaloota isaanii
Hiikoo: Yoo θ’n kofa iddoome kan rogi ga’umsaa isaa siiqqeewwan ko’oordineetii irra hin taanee fi tuqaan P(x,y) diriiroo ko’oordineetii keessa kan handhuura irra hin taane fi r fageenya handhuura O(0,0) fi tuqaa P(x,y) jidduu jiru ta’efankishinootni tirigonomeetirii jahan haala armaan gadiin hiikamu.
Fankishinni saayinii sinθ tiin bakka bu’ee
sinθ=y/rtiin kennama.
ii) Fankishinni kosaayiniicosθ tiin bakka bu’ee
cosθ=(x )/rtiin kennama.
Fankishinni taanjentii tanθ tiin bakka bu’ee
tanθ=y/xtiin kennama.
Fankishinni koseekaantiicscθ tiin bakka bu’ee
cscθ=y/rtiin kennama.
Fankishinni seekaantiisecθ tiin bakka bu’ee
secθ=x/rtiin kennama.
Fankishinni kotanjentiicotθ tiin bakka bu’ee
cotθ=x/ytiin kennama

Hub.⊿OPQrog-sadee kofa sirrii waan ta’eef tiyooremii Paayitaagoorasiin fayyadamuun,
r=√(x^2+y^2 )ta’a.
Fkn. θ’nkofa fi P(3,4) tuqaa roga gahumsaa θ irra jiru yoo ta’e gatii fankishinoota tirigonomeetirii jahaan barbaadi.
Furmaata: Fageenyi r=√(3^2+4^2 )=√25=5 ta’a
Kanaaf : i. sin θ=4/5ii. cosθ=3/5iii. tanθ=4/5
iv. cscθ=5/4 V. secθ=5/3vi. cotθ=3/4
Gocha:1.38θ^’ n kofa iddoomee fi P(x,y) tuqaa roga ga’umsaa θ irra jiru yoo ta’e, gatii fankishinoota tirigonomeetirikii tuqaalee armaan gadiitiif barbaadi.

P(3,-4)
P(-6,-8)
P(1,-1)
P(4√5,-2√5)

Gatiiwwan fanishinoota tirigonomeetirikii kofoota armaan gadii barbaadi.
(siiqqeewwan ko’oordineetii fayyadamuun deebii keef ibsa laadhu)
a. θ=0^0
b. θ=90^0
c. θ=〖180〗^0
d. θ=〖270〗^0
e. θ=〖360〗^0
f. θ=〖-180〗^0 Amala fankishinootni Tirigonomeetirii hirtaa I, II, III fi IV keessatti qaban ibsi.
Fankishinoota Tirigonometirikii kofa akkiyuutii
Rogsadee kofa sirrii ABC kamiyyuu keessatti verteksoota A,B fi C yoo fudhanne, yeroo mara safarri kofa C= 90^0 yoo ta’e, ida’amni safara kofoota A fi B ammo 90^0 ta’a.
.
Fakkii armaan olii irraa

sinA=a/c=cosB
cosA=b/c=sinB
tanA=a/b=cotB
cotA=b/a=tanB
secA=c/b=cscB
sinA=a/c=cosB
cscA=c/a=secB

Kun kan agarsiisu kofoonni ida’amni safara isaanii90^0 ta’u hariiroo gatiin fankishinoota tirigonomeetirikii isaanii waliif qabanii dha.
Hojii daree Mandhee fi reenjii fankishinoota tirigonomeetirikii ibsi

Waaltina Tirigonomeetirikii fi Hariiroowwan bu’uuraa
A. Hariiroowwan bu’uuraa
Hariiroowwan armaan gadii gatii θkan mandhee fankishinichaa kennaman keessatti hammataman hundaaf dhugaadha.
i. Hariiroo fuggissoo
Cscθ=1/sinθ
Secθ=1/cosθ

ii. Hariiroowwan gahee
tanθ=sinθ/cosθ
cotθ=cosθ/sinθ
iii. Hariiroowwan Paayitaagoorasii
〖sin〗^2 θ+〖cos〗^2 θ=1
1+〖tan〗^2 θ=〖sec〗^2 θ
1+〖cot〗^2 θ=〖csc〗^2 θ

Gocha 1.39
Hariiroowwan armaan olii fayyadamuun kanneen armaan gadii hanga dhumaatti salphisi.
Cscθ.secθ
cosθ.tanθ
Hariiroowwan Paayitaagoorasii armaan olitti kennaman mirkaneessi.
Waaltina Tirigonomeetirikii
Hariiroon ykn himni walqixaa fankishinoota tirigonomeetirikii of keessadtti hamate yoo gatiiwwan kofichaa kanneen mandhee fankishinootaa hundaaf dhugaa ta’e, waaltina tirigonomeetirii jedhama.
Fkn. θ mandhee ankishinoota kanaa keessatti argamu hundaaf
sinθ.secθ=tanθta’a.
Mirkana:
Sinθ.Secθ=sinθ.1/cosθ
=sinθ/cosθ
=tanθ………hariiroo gahee irraa
Hariiroon sinθ=cosθ garuu mandhee sinθ fi cosθ hunda irratti dhugaa waan hin taaneef waaltina tirigonomeetirikii ta’uu hin danda’u.
Giraafii fankishinoota tirigonomeetiriikii
Mee tuqaan P geengoo tokkee handhuurri sisaa O(0,0) irra siiqee x pozatiivii irraa ka’uun gara bitaatti naannofti haa jennu. Sochii kana keessatti yoo θ’n kofa siiqee x poozatiivii fi sarara dhaabbataa OP gidduutti uumamu ta’e, safarri isaa〖 0〗^0 gara 360^0 ol guddataa kan deemu ta’a. kanumaan walqabatee jijjiiramni gatiiwwan fankishinoota tiriigonometirikii irratti jiru kan gabatee armaan gadiin ibame ta’a.
Jijjiiramaa θ 0^0 gara 90^0 〖90〗^0 gara 180^0 〖180〗^0 gara 270^0 〖270〗^0 gara 360^0
sin θ 0 gara 1 1 gara 0 0 gara -1 -1 gara 0
cos θ 1 gara 0 0 gara -1 -1 gara 0 0 gara 1
tan θ 0 gara∞ -∞ gara 0 0 gara∞ -∞ gara 0
cot θ ∞ gara 0 0 gara-∞ ∞ gara 0 0 gara-∞
sec θ 1gara ∞ -∞ gara -1 -1 gara-∞ ∞ gara 1
csc θ ∞ gara 1 1gara ∞ -∞ gara -1 -1 gara-∞

Gocha 1.40
Safaroota θ kanneen fankishinoota tirigonometirikii jahan hiika dhabsiisan tarreessi
Gosoota haqaaqotaa fankishinootni tirigonomeetirii kun qabaachuu danda’an ibsi.

Giraafii Fankishinii saayinii fi kosaayinii

Giraafii armaan olii irraa akkuma hubannu mandheen fankishinii saayinii fi fankishinii kosaayinii tuuta lakkoofsa walii gala yammuu ta’u reenjiin isaanii
Mandheen fankishinii f(x)=sinx; {x: x∈R}
Mandheen fankishinii f(x)=cosx; {x: x∈R}
Reenjiin fankishinii f(x)=sinx ;{ x∈R:-1≤x≤1}
Reenjiin fankishinii f(x)=cosx;{ x∈R:-1≤x≤1}
Giraafii fankishinii taanjentii

Giraafii fankishina y=cscx

Giraafii fankishinii y=secx

Giraafii y=cotx

Gocha 1.41
Giraafota armaan olii ilaaluun mandhee fi reenjii fankishinoota
y=tanx,y= cscx,y=secx fi y=cotxbarbaadi.
Fankishinoota tirigonomeetirikii kofoota lamaa
A. Foormulaa Ida’uu fi Hir’isuu
Mee α fi βkofoota kamiyyuu haa ta’an.
sin(α+ β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α- β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+ β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α- β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+ β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α- β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
Gocha 1.42
α fi βkofa akkiyuutii poozatiivii ta’e fudhachuun Hariiroowwan armaan olii mirkaneessi.
Gatii fankishinoota tirigonomeetirikii kofoota kennamanii yeroo barbaannu hariiroowwan kanneen armaan gadiis dabalataan hubachuun barbaachisaadha.
gatii fankishinii kofa hirtaa II keessaa barbaaduuf

sin⁡(〖180〗^0-θ)=sinθ
cos(〖180〗^0-θ)=-cosθ
tan(〖180〗^0-θ)=-tanθ
csc(〖180〗^0-θ)=cscθ
sec⁡(〖180〗^0-θ)=-secθ
cot(〖180〗^0-θ)=-cotθ

gatii fankishinii kofa hirtaa III keessaa barbaaduuf

sin⁡(θ〖-180〗^0 )=-sinθ
cos(θ〖-180〗^0 )=-cosθ
tan(θ〖-180〗^0 )=tanθ
csc(θ〖-180〗^0 )=-cscθ
sec⁡(θ〖-180〗^0 )=-secθ
cot(θ〖-180〗^0 )=cotθ

gatii fankishinii kofa hirtaa IV keessaa barbaaduuf

sin⁡(〖360〗^0-θ)=-sinθ
cos(〖360〗^0-θ)=cosθ
tan(〖360〗^0-θ)=-tanθ
csc(〖360〗^0-θ)=-cscθ
sec⁡(〖360〗^0-θ)=secθ
cot(〖360〗^0-θ)=-cotθ
Kofoota safarri isaanii〖 360〗^0 ol ta’an: n∈W fi θ kofa akkiyuutii yoo fudhanne

sin⁡(〖θ+n x360〗^0 )=sinθ
cos(〖θ+n x360〗^0 )=cosθ
tan(〖θ+n x360〗^0 )=tanθ
csc(〖θ+n x360〗^0 )=cscθ
sec⁡(〖θ+n x360〗^0 )=secθ
cot(〖θ+n x360〗^0 )=cotθ

θ’n kofa iddoome haa ta’u.

sin⁡(-θ)=-sinθ
cos⁡(-θ)=cosθ
tan⁡(-θ)=-tanθ
Foormulaawwan kofa dacha fi kofa walakkaa
Mee θ kofa kamiyyuu haa fudhannu.

sin2θ=2sinθcosθ
cos2θ={█(〖〖cos〗^2 θ- sin〗^2 θ@1-2〖sin〗^2 θ@2〖cos〗^2 θ-1)┤
tan2θ=2tanθ/(1-〖tan〗^2 θ)
sin⁡〖θ/2=±√((1-cosθ)/2)〗
cos⁡〖θ/2=±√((1+cosθ)/2)〗
tan⁡〖θ/2=±√((1-cosθ)/(1+cosθ))〗

Gocha 1.43
Foormulaawwan armaan olitti kennaman dhugaa ta’uu isaanii mirkaneessi
Himoota Walqixaa fankishinoota Tirigonomeetirikii furuu
Himni walqixaa fankishinoota tirigonomeetirikii of keessatti hamate yoo gatiiwwan kofichaa kanneen mandhee fankishinootaa keessatti hammataman hundaaf dhugaa ta’uu baate himni kun hima walqixaa fankishinoota tirigonomeetirikii haala irratti hundaa’e jedhama.

Fkn: =cosθ , [0, 2π] irratti furi.
Furmaata
sinθ=cosθ
⟹sinθ/cosθ=1
⟹tanθ=1
⟹θ=π/4 ykn θ=5/4 π
Fkn2.sinx+2=3,0^0≤x≤〖360〗^0keessati furi.
furmaata sinx+2=3⟹sinx=1
⟹x=π/2
Fkn 3.cos2(x) + cos(x) = sin2(x) , 0° < x < 360° keessatti furi.
cos2(x) + cos(x) = sin2(x)
cos2(x) + cos(x) = 1 – cos2(x)
2cos2(x) + cos(x) – 1 = 0
(2cos(x) – 1)(cos(x) + 1) = 0
cos(x)=1/2 or cos(x) = –1
cos(x) = 1/2 ⟹x=〖60〗^0 ykn x=〖300〗^0
cos(x)= –1⟹x=〖180〗^0
kanaaf x=〖60〗^0,〖〖180〗^0,300〗^0ta’a.
Gilgaala 1.7
Hima walqixaa fankishinoota tirigonomeetirikii armaan gadii furi.
Sinx= sin2x,0^0≤x≤〖360〗^0 irratti
Sinx+cosx=1,0^0≤x≤〖360〗^0
〖sin〗^2 (x) – sin(x) – 2 = 0,0^0≤x≤〖360〗^0
BOQONNAA 2
Siikuweensii
Seensa
Boqonnaa kana jalatti siikuweensii akka fankishiniitti, siikuweensii artimeetikii, siikuweensii ji’oometrikii, siikuweensii daangeffamaa fi hin daangeffamne ilaalla. Dabalataanis jireenya guyyaa guyyaa keessatti akkaataa itti fayyadama siikuweensii ni baranna.
Kaayyoo
Xumura boqonnaa kanaatti barattootni:-
Yaad-rimee siikuweensii ni hubatu.
Hiikoo siikuweensii ni kennu.
Tarmoota siikuweensii barbaaduu ni danda’u.
Tarmoota kennaman irratti hundaa’uun foormulaa siikuweensii ni kaa’u.
Garaagarummaa siikuweensii artimeetikii fi siikuweensii ji’oometrikii addaan ni baasu.
Ida’amtoota siikuweensii mallattoo ida’amaa siikuweensiin ni barreessu.
Ida’ama siikuweensii gar-tokkee fi hin daangofnee ni shallagu.
Beekumsa siikuweensii gonfataniin pirobleemota jireenya oolmaa fi haala qabatamaa jiruu waliinii ni furu.
Siikuweensii

Siikuweensii Lakkoofsaa (Number Sequence)
Mee tuuta lakkoofsota lakkaawwii = haa fudhannu. Mee ammas Nn tuuta lakkoofsa lakkaawwii baayyinni isaa n ta’e haa jennu.N’n lakkoofsa miseensotaa hin daangeffamne qaba.Nn immoo lakkoofsa miseensonni isaa hanga n ta’e qaba.
Gocha 2.1
Fankishinii jechuun maal jechuu dha?
Fankishinni fudhu.
Foormulaa f barbaadi.
Yoo f(1)= f1, f(2)= f2, f(3)= f3, … ta’e f1, f2, f3, f7,f10, f20 fi fn barbaadi.
Mandheen f maal ta’a?
Mee sadii irraa ka’ii shan shaniin lakkaa’aa deemi.
Adeemsa kanaan lakkoofsi sadaffaa eenyu?
Lakkoofsi jahaffaa hoo?
Lakkoofsi dhibbaffaa meeqa?
Foormulaa lakkoofsi nffaa barbaadi.
Ida’ama lakkoofsota duraa
Kurnan
Digdamaa
Soddomaa barbaadi.
Siikuweensii armaan gaditti hiikameef tarmoota duraa shanan barbaadi.
A1= 2, An= nAn-1, yoo ta’e.

Hiikoo 2.1: yoo fi N’n tuuta lakkoofsa lakkaawwii ta’e fankishiniin; ta’u siikuweensii jedhama.

Hub:
S= yoo ta’e siikuweensiin f lakkoofsa waliigalaa jedhama.
C yoo ta’e siikuweensii f siikuweensii tuuta lakkoofsota xaxaa jedhama.
Mandheen f =N yoo ta’e f’n siikuweensii hin murtoofne (infinite sequence) jedhama.
Mandheen f=Nn lakkoofsa murtaa’aa yoo ta’e siikuweensiin f siikuweensii murta’aa (finite sequence) jedhama.
Xiyyeeffannaan boqonnaa kanaa siikuweensii lakkoofsa waliigalaa ykn mandheen lakkoofsa lakkaawwii ta’e dha.
A1, A2, A3, … An tarmoota siikuweensii yoo ta’an duraa duubaan tarmii tokkoffaa, tarmii lammaffaa, tarmii sadaffaa, … fi tarmii nffaa siikuweensii jedhama.
Fakkeenya 2.1. a) Siikuweensii foormulaa An=5n+1 tiin kenname tarmoota jalqabaa shanan
barbaadi.
Furmaata: A1 argachuuf, n=1 fudhadhu.
Kanaafuu, A1=5(1) +1=6 ta’a.
A2= 5(2) +1=10+1=11 tarmii lammaffaa.
A3=5(3) +1=15+1=16 tarmii sadaffaa.
A4=5(4) +1=20+1=21 tarmii arfaffaa.
A5= 5(5) +1=25+1=26 tarmii shanaffaa.
b) Siikuweensii akka armaan gaditti hiikameef tarmoota duraa arfan
barbaadi. A1=3 fi An+1= nAan yoo n= 1, 2, 3…
Furmaata: Gilgaala
Gilgaala 2.2
Kanneen armaan gadii keessaa isaan kamtu siikuweensii dha?
An= 2n2+3
An= An+1+1 fi A1= 1, n 2
An’n iskuweerii sirrii nffaa ti.
A1= , A2= 3 fi An= (An-1)(An-2), n 3
A1=A2=1, An+2=2An+An+1; n 1
Gocha. 2.2
Siikuweensii armaan gadiif tarmoota jalqabaa barbaadi.
An= b. An= c. An= d.
e. 5-(-1)n f. An= 5 g. An= An siikuweensii lakkoofsa xaxaa yoo ta’e.

Hiikoo 2.2: Siikuweensiin tarmootni isaa hundi lakkoofsa tokko (walfakkaataa) ta’e qabu siikuweensii dhaabbataa (constant sequence) jedhama.
Fakkeenya: 2.2An=3, yoo n 1ta’e.
Tarmootni isaa 3, 3, 3, . . . dha.
Kanaafuu, A1=A2= … = 3= … = An-1 = An ta’a jechuu dha.
2.An= k, k
Mallattoon siikuweensii yoo ta’u = A1, A2, A3, … , An tarmii siikuweensii yoo jedhamanuu duraa duubaan tarmii tokkoffaa, lammaffaa, sadaffaa fi —- tarmii nffaa jedhamu.

Gocha 2.3
Siikuweensiin tokko tarmoota jalqabaa muraasa tarreessuudhaan tarmii
nffaa argachuu dandeenyaa? Gareen irratti mari’adhaa.
Lakkoofsota kophxii 2,3,5,7,11, . . . foormulaa tarmii nffaa argachuu dandeenyaa? Gareen mari’adhaa.
Yoo fankishinni ; f(n)=1- tiin hiikame tarmoota siikuweensii kanaa barbaadi.
Siikuweensii Artimeetikii (Arithmetic Sequence)
Gocha 2.4
Siikuweensii artimeetikii jechuun maal jechuu dha?
Yoo 1, 3, 5, 7, 9, . . . siikuweensii ta’e
Garaagarummaan tarmoota walitti aanan gidduu meeqa? a10, a12, a20 barbaadi.
Foormulaa tarmii nffaa siikuweensii kanaa barbaaduuf gargaaru argachuu dandeenyaa? Gareen irratti marii’adhaa.
Siikuweensota armaan gadii keessaa kanneen sikuweensii artimeetikii ta’an adda baasi. Caalmaa tarmoota walitti aanan gidduu jiru barbaadi.
5, 8, 11, 14,. . .
8, 5, 2, -1, -4, -7, . . .
13, 9, 5, 1, -3, . . .

2, 8, 14, 20, . . .

Hiikoo 2.3: Siikuweensii caalmaan tarmoota walitti aanan kamiyyuu gidduu jiru lakkoofsa dhaabbataa yoo ta’e Siikuweensii Artimeetikii (Arthimetic Sequence or Arithmetic Progression) jedhama.
{An} siikuweensii artimeetikii yoo ta’e n kamiifuu, tarmiin An-1 itti aanu An fi caalmaan An-An-1 =d ti. Ka naafuu, An-An-1=d An=An-1+d ta’a. d’n caalmaa kan walii (Common difference) siikuweensii artimeetikii jedhama.
Hub: Caalmaan tarmoota walitti aanan gidduu jiru dhaabbataa waan ta’eef
An – An-1 = An-1 – An-2=…= A3-A2= A2-A1
Walii galatti An – An-1 = A2-A1 ta’a jechuu dha.
An = An-1+d (n )
A2 = A1+d
A3 = A2+d = ( A1+d)+d = A1+2d
A4 = A3+d = (A1+2d)+d = A1+3d

An = A1+d+d+d + . . . +d
(n-1)d
An= A1 + (n-1)d ta’a.
Tiyeeramii 1: Tarmiin nffaa siikuweensii artimeetikii {an} tarmiin tokkoffaa isaa a1 fi caalmaan kan walii d ta’e an= a1 + (n-1)d, n ta’a.
Hub: 1. Yoo d > 0 ta’e {An} siikuweensii dabaloo (increasing sequence) dha.
2.Yoo d = 0 ta’e {An} siikuweensii dhaabbataa dha.

Yoo d < 0 ta’e {An} siikuweensii hir’isoo (decreasing sequence) dha.
Gocha 2.5
Siikuweensota armaan gadii dabaloo, hir’isoo ykn dhaabbataa jechuun adda baasi.
2, 6, 10, 14, . . . b. an= 4-2n c. an=k,
Fakkeenya: 2.3
Tarmiin tokkoffaa siikuweensii artimeetikii 10 fi caalmaan kan walii 5 ta’ee tarmii nffaa isaa barbaadi.
A1= 10 fi d=5
An= A1 + (n-1)d tiyeeramii 1 irraa
An= 10 + (n-1)5
10+5n-5= 5n+(10-5)= 5n+5 ta’a.
Kanaafuu, tarmiin nffaa siikuweensii kanaa An= 5n+5 ta’a.
b) Siikuweensii artimeetikii keessatti yoo A2=10 fi A5=25 ta’e
a. Caalmaa kan walii d barbaadi.
b. Tarmii 10ffaa fi tarmii nffaa siikuweensii kanaa barbaadi.
Furmaata: Hub: An = Ai+(n-i)d yoo ta’e.
A5 = A2+3d ,n = 5, i=2 b. i) A10=A2 + 8d n=10, i=2
3d = A5- a2 =10+8(5)
=25-10 =10+40
3d = 15 =50
d = 5 ii) An = A1+(n-1)d, i=2
= A i+(n-i)d
= A2+(n-2)5
=10+5n-10
An= 5n ta’a.
c.Tarmiin duraa sadan siikuweensii 5, 9, 13 yoo ta’e tarmii 30ffaa barbaadi.
Furmaata: A1=5,A2=9, A3=13
d = A2-A1=A3-A2 9-5=13-9=4 d=4 ta’a.
A30 = A1+29d =5+29(4)=5+116=121 ta’a.
Gilgaala: 2.3
{An} siikuweensii artimeetikii yoo ta’ee fi A2=21 fi A7=66 ta’an foormulaa An barbaadi.
Yoo 2+x, 3+2x fi 8+5x tarmii walitti aana siikuweensii artimeetikii ta’an gatii x barbaadi.
Mee fi v2-1, v, v2+1 tarmoota walitti aanan sadii siikuweensii artimeetikii yoo ta’an v, a1, d fi an barbaadi.
Yoo , fi siikuweensii artimeetikii ta’an gatii 2x barbaadi.
Yoo 2x, 5 fi 6-x tarmoota duraa sadan siikuweensii artimeetikii ta’an calmaa walii d barbaadi.
Siikuweensii artimeetikii armaan gadiitiif d fi an barbaadi.
1,4,7, . . . d. -20, -15, -10, . . .
-8, -6, -4, . . . e.
8, 4, 0, . . . f.
Gatii giddu gala artimeetikii (arithmetic mean) jechuun maal jechuu dha? Gatii giddu gala artimeetikii a, b barbaadi.
Gatii gidduu gala artimeetikii afur 6 fi 16 giddii galchi.
a, b fi c tarmii siikuweensii yoo ta’e b’n gatii giddu gala artimeetikii ta’uu agarsiisi.
Mee A6=57 fi A10=93 yoo a1 fi foormulaa nffaa barbaadi.
Yoo 6, 9, 14, 21, 30, 41, . . . siikuweensii ta’e tarmiin itti aanee dhufu meeqa? Foormulaa tarmii nffaa maal ta’a?
Mallattoo Ida’amtootaa (Summation Notation)
Qubee guddaa Giriikii sigimaa “ ” mallattoo ida’amaa (summation symbol) jedhama.
Ida’ama Gar-tokkee Siikuweensii Artimeetikii
Mee A1, A2, A3, . . ., An, tarmoota siikuweensii artimeetikii haa ta’an. Ida’amni duraa “n” akka armaan gadiitti kennama.
Sn = (i=1, 2, 3, . . . ), i= indeeksii ida’amtootaa
Fakkeenya: 2.4

Amaloota ida’amtootaa
iii.

Ida’amtoota armaan gadii mallattoo ida’amaa fayyadamuun ibsi.
Gocha 2.6
1+2+3+4+5+6+7+8+9
13+23+33+43+53+63+73

2+4+6+8+ . . . 
1+3+5+7+ . . .

Mee Sk ida’ama gar-tokkee kffaa siikuweensii artimeetikii haa ta’u;
Sk =
Sk= A 1 + A 2 + A 3 + . . . + Ak
Sk= A k + Ak-1 + Ak-2 + . . . + A 1
2Sk= (A1+ Ak)+( A2+ Ak-1)+( A3+ Ak-2) + . . . + (A 1+ A k)
A2+ Ak-1 =A1+d+(Ak-d) = A1+Ak
A3+Ak-2= A1+2d+(Ak-1-d) = A1+2d+(Ak-d-d) = A1+Ak
Haaluma kanaan yoo itti fufne cimdiiwwan ida’ama kana keessa jiran walqixa (A1 +Ak) ta’u.
Kanaafuu, 2Sk= (A1+Ak)+ (A1+Ak)+ (A1+Ak)+ . . . + (A1+Ak)
=k(A1+Ak)
Sk= ta’a.
Ak = A1 + (k-1)d
Sk=

     ta’a.

Fakkeenya 2.5: Ida’ama gar-tokkee 12ffaa siikuweensii artimeetikii 4, 1, -2,-5,… barbaadi.
Furmaata: a1=4, a2=1 waan ta’eef d=a2-a1=1-4= -3 ta’a.
, k=12

=6(8+(11(-3))) =6(8-33)=6(-25)= -150

Ida’ama hiramoota 4 lakkoofsa 4 fi 400 gidduu jiru barbaadi.
Furmaata.Gilgaala – haata’u.
Gilgaala.2.4
Ida’ama gar-tokkee Kffaa siikuweensii artimeetikii {an} caalmaan walee d ta’ee barbaadi.
K=6, a1=2 fi d=5 c. k=6 , a2=-2 fi a6=14
k=10, a2=10/3 fi a1=0
Siikuweensii 6.5+5.75+5+ . . . tiif
Tarmii 50ffaa barbaadi.
Ida’ama gar-tokkee duraa 100 barbaadi.
Siikuweensii artimeetikii 489+483+477+ . . . tarmii meeqaffaa irratti Sn<0 ta’a?
Ida’ama gar-tokkee (sk) lakkoofsota:
Mangoo b. Guutuu maal ta’a? Mirkaneessi?
Intijeroota hiramoota 13 meeqatu 10 fi 1000 gidduutti argama?
Qixxooma artimeetikii (gatii gidduu gala artimeetikii) 5 lakkoofsota 4 fi 16 gidduu galchi.
Ida’ama lakkoofsota intiijarii poozatiivii duraa 300 barbaadi.
Tarmoota jalqabaa saddet siikuweensii artimeetikii kan ida’amni tarmii tokkoffaa fi tarmii torbaffaa 40 fi baayataan tarnii tokkoffaa fi tarmii arfaffaa isaa immoo 160 ta’ee barbaadi.
Galmi barnootaa tokko toora jalqabaa irratti minjaala 6, toora lammaffaa irratti minjaala 8, toora sadaffaa irratti minjaala 10 fi haaluma wal-fakkaatuun yoo itti fufe, garuu toora 12ffaa hanga 20ffaa tti minjaala walqixa ta’een yoo ta’ame minjaala meeqatu galma kana keessa jira?
Ida’amni sikuweensii artimeetikii duraa n yoo foormulaa armaan gadiin kenname tarmii nffaa siikuweensii {an} kanaa barbaadi.
Sn=2n2-n b. c.
{an} siikuweensii artimeetikii yoo ta’e kanneen armaan gadii barbaadi.
a3=9 fi a9=24 yoo ta’e a20 barbaadi.
a30 barbaadi yoo 6, 12, 18, . . . tarmoota muraasa siikuweensii artimeetikii ta’an.
S30 barbaadi yoo a10=28 fi a20=58 ta’e.
Ida’ama S barbaadi yoo
S = ii.
Siikuweensii Ji’oomeetirikii /Geometric Sequence
Gocha 2.7
Siikuweensii ji’oomeetirikii jechuun maal jechuu dha?
Mee siikuweensii 1, 3, 9, 27, . . . fudhu.
Tarmii tokko fudhannee tarmii itti aanee dura isaa jiruuf yoo hirre reeshoon isaa maal ta’a? kan hundaa wal fakkaataa? Reeshoon kun maal jedhama?
Tarmoota 10ffaa, 20ffaa fi nffaa siikuweensii kanaa barbaadi.
Hiikoo 2.4: Tarmiisiikuweensii gaheen(reeshoon) tokkoon tokkoo isaa fi tarmii dursaa dhaabbataa r walfakkaatu yoo ta’e Siikuweensii Ji’oomeetirikii (Pirogreeshinii Ji’oomeetirikii) jedhama. Lakkoofsi dhaabbataa rreeshoo walii siikuweensii ji’oomeetirikii (common ratio) jedhama.
Mee g1, g2, g3, . . . , gn tarmoota siikuweensii ji’oomeetirikii haa ta’an. Reeshoo walii tarmoota walitti aananii g_2/g_1 =g_3/g_2 =⋯=g_n/g_(n-1) dhaabbataa dha.
Kanaafuu, g_n/g_(n-1) =g_2/g_1 =r ta’a.
Mee {Gn} siikuweensii ji’oomeetirikii reeshoo walii isaa r, n ≥1qabu haa ta’u.
g_2/g_1 =rdhaabbataa dha.
g2=rg1
g3=rg2=r(rg1)=r2g1
g4=rg3=r(r2g1)=r3g1
gn=rgn-1= r(rn-2g1)= rn-1g1 ta’a.
Tiyooramii 2. Mee {gn} siikuweensii ji’oomeetirikii tarmii duraa g1fi reeshoo walii isaa r,
n qabu haa ta’u. Tarmiin nffaa siikuweensii ji’oomeetirikii gn= rn-1g1 ta’a.
Fakkeenya 2.6:
a) 2, 4, 8, 16, 32, . . . siikuweensii ji’oomeetirikii dha.
g1=2, g2=4, g3=8, g4=16 haa jennu.
waan ta’eef siikuweensiin kun siikuweensii ji’oomeetirikii dha.
b) Mee tarmoota lamaan siikuwensii ji’omeetirikii g1=2 fi g2=8 yoo ta’an tarmii nffaa{gn}
barbaadi.
Furmaata: r= =4
gn=g1rn-1= 2(4n-1)= ½ (4n)
c) Siikuweensii = siikuweensii ji’oomeetirikii reeshoo
walii isaa r= ¼ ta’e dha. Sababiin isaa ,
2.2 Ida’ama Gar-tokkee Siikuweensii Ji’oomeetirikii (Partial Sum of Geometric Sequence)
Gocha 2.8
Ida’amni siikuweensii dhaabbataa g1, g1, g1, . . . , g1 maal ta’a?
Reeshoo kan walii siikuweensii ji’oomeetirikii r=1 yoo ta’e tarmiin nffaa maal ta’a? Ida’amtootni isaa meeqa ta’a?
Siikuweensii ji’oomeetirikii 3, 9, 27, 81, . . . 3n ida’amtootni gar-tokkee isaa akkamitti arganna?

Reeshoon kan walii siikuweensii ji’oomeetirikii r=1 yoo ta’e
gn= rn-1g1 =1n-1g1=g1, ta’a. Kanaafuu, siikuweensii kun siikuweensii dhaabbataa tarmoonni isaa g1, g1, g1, . . . , g1 ta’e dha.
Lakkoofsa intiijerii poozatiivii k kamiifuu, ida’amni gar-tokkee kffaa siikuweensii dhaabbataa
g1 + g1 + g1 + . . . + g1 =kg1 ta’a.

        al-k

Hub: Ida’amni gar-tokkee kffaa siikuweensii dhaabbataa ji’oomeetirikii baayyataa k fi tarmii dhaabbatichaa ta’a.
Fakkeenya 2.7: Ida’amni gar-tokkee 20ffaa (20th partial sum) siikuweensii
3, 3, 3, . . . barbaadi.
K=20 fi g1=3 waan ta’eef Sk=kg1 S20=20(3)=60 ta’a.
Ida’amni gar-tokkee kffaa (Sk) kan siikuweensii ji’oomeetirikii {gn} reeshoon kan walii r ta’ee Sk = ta’a.
Mee Sk ida’ama gar-tokkee kffaa siikuweensii ji’oomeetirikii gn haa ta’u.
Sk= g1 + g2 + g3+ . . . + gn
Sk = g1 + rg1 + r2g1 + . . . + rk-1g1 , yoo gama lachuu r’n baayyifne
rSk = rg1 + r2g1 + r3g1 + . . . + rk-1g1 + rkg1
⟹Sk –rSk = g1-rkg1
⟹Sk(1 – rk)= g1 (1 – r)
⟹
Fakkeenya 2.8: barbaadi.
Reeshoo kan walii r = 1/2

Kubbaan ol-fageenya 64m irraa lafa buute ol-ka’insa tokko tokkoof 3/4 gadi bu’insa isa dursu fudhatti. Kubbaan tun al shanaffaf lafa yeroo rukuttu hammam deemtee jirti?
Kubbaan kun jalqaba yeroo lafa rukuttu 64m gadi buutee 3/4 (64)m=48m ol kaate 48m gadi deebiti. Yeroo lammaffaaf kubbaan kun lafa yoo rukuttu 3/4 (48)m =36m ol kaatee 36m gadi deebiti. Yeroo sadaffaaf kubbaan kun lafa yoo rukuttu 3/4(36)m=27m ol kaatee 27m gadeebiti. Yeroo arfaffaaf lafa yoo rukuttu 3/4 (27)m ol kaatee 3/4(27) m gadi deebitee yeroo shanaffaaf lafa rukutti. h=64m g3 g4 . . . . . 1ffaa 2ffaa 3ffaa 4ffaa 5ffaa</code></pre>Fageenya d= h+g1+g2 +g3 +g4=h+ =64 + = 64m + m= m = 64m+262.5m=326.5m

Qixxoomina (gatii Giddu Gala) Ji’oomeetrikii (Geometric Means)
Mee a , b fi m1, m2, m3, . . . , mk lakkoofsa waligalaa yoo ta’an fi a, m1, m2, m3,…, mk, b siikuweensii ji’oomeetrikii uumu ta’e m1, m2, m3,.. ., mk qixxooma (gatii giddu gala) ji’oomeetirikii k a fi b gidduu jiran jenna.
Fakkeenya 2.9.Gatii giddu gala ji’oomeetirikii lama gidduu 8 fi 27 galchi.
Furmaata: Mee m1 fi m2 gatii giddu gala ji’oomeetirikii 8 fi 27 gidduu haa ta’u.
Kanaafuu, 8, m1, m2, 27 tarmoota siikuweensii ji’oomeetirikii ta’u.
g1=8, g2=m1, g3=m2 fi g4=27
g4=g1r3 8r3= 27 r3= r= =
m1= g2=rg1=3/2(8)= 12 fi m2=g3=rm1=3/2(12)=18
Gilgaala. 2.5
Kanneen armaan gadii keessatti tarmii g1 fi reeshoo kan walii r siikuweensii ji’oomeetrikii kennamee jira. Tarmii kurnaffaa fi foormulaa tarmii nffaa barbaadi.
g1=5, r=2 b. g1=1, r=-2
Yoo kenneen armaan gadii kennaman,tarmii nffaa siikuweensii ji’oomeetirikii {gn} barbaadi.

g1=2 fi g2= 
 g2= fi g5= 
 g3=4 fi g6=-32
g4=27 fi g7=1       
 g5=2 fi g9=32         
 g2=6 fi g7=19 

Yoo 6.5 fi 6 duraa duubaan gatii giddu galaa artimeetikii fi ji’oomeetirikii lakkoofsota a fi b yoo ta’an, a fi b barbaadi.
Lakkoofsotni sadii siikuweensii ji’oomeetrikii yoo ta’anii fi ida’amni isaanii 14 fi baayataa isaanii immoo 64 yoo ta’e lakkoofsota kana barbaadi.
Tarmoota siikuweensii 4, 2, 0, -2, -4, -6, . . .  kanaa meeqatu walitti ida’amee -50 kenna.

Yaada waliigalaa
Siikuweensiin tuuta duwwaa hin taane S fankishina ta’e dha.
Siikuweensiin funkishinii mandheen isaa tuuta lakkoosa lakkaawwii ta’e dha.
Siikuweensii a1, a2, a3, . . . tiif yoo ta’e an tarmii nffaa siikuweensii jedhama.
Siikuweensii dhaabbataan siikuweensii tarmootni isaa hundi lakkoofsa dhaabbataa walfakkaatu ta’e dha.
Ida’amni kffaa siikuweensii {an}’n a1 + a2 + a3+ . . . ta’a.
Siikuweensiin caalmaan tarmoota walitti aanan lama gidduu jiru tokko (walfakkaataa) ta’e siikuweensii artimeetikii jedhama.
Tarmiin nffaa siikuweensii artimeetikii {an} caalmaa kan walii isaa d ta’e an = a1 + (n-1)d, ta’a.
Yoo {an}’n siikuweensii artimeetikii caalmaan kan walii isaa d ta’ee fi k fi ida’amni kffaa siikuweensii kanaa foormulaa armaan gadiin kennama.

 nta’a. 
Yoo a,b, m1, m2, m3, .  .  . ,mklakkoofsa waliigalaa ta’an fi a, m1, m2, m3, .  .  ., mk, b siikuweensii artimeetikii ta’an, m1, m2, m3, -  -  - , mk  qixxooma (gatii giddu gala) artimeetikii k gidduu a fi b jedhamu. 
Siikuweensii gaheen (reeshoo) tarmoota lama walitti aanan walfakkaatan (tokko) ta’e siikuweensii ji’oomeetrikii jedhama. Reeshoon dhaabbataa kun reeshoo kan walii r siikuweensii ji’oomeetirikii jedhama.
Yoo {gn} siikuweensii ji’oomeetrikii reeshoo kan walii r ta’e tarmii nffaa     gn= rn-1g1, n .
Ida’amni gar-tokkee kffaa siikuweensii ji’oomeetrikii {gn} reeshoon kan walii r ta’e.


Yoo a, b, m1, m2, m3, .  . .  , mk lakkoofsota walii galaa ta’anii fi a, m1, m2, m3, .  .  .  , mk, b siikuweensii ji’oomeetirikii ta’an  m1, m2, m3, . . . mk‘n  qixxooma (gatii giddu gala ) ji’oomeetirikii k  gidduu a fi b jedhamu.

Boqonnaa 3
Tuuta lakkoofsota xaxaa (the set of complex numbers)
Seensa
Wa’ee lakkoofsa xaxaa ibsuun dura mee fakkeenyoota sasalphoo maaliif lakkoofsi haaraan kun akka barbaachisee haa’ilaallu.
Lakkoofsa namni yeroo jalqabaaf itti fayyadamaa ture lakkoofsota lakkawwiiti(1,2,3,…). Kunis gaaffilee muraasa akka “meeqa?”kan jedhuuf salphaatti deebii kennuuf ta’a. Lakkoofsota lakkaawwii walirraa hir’isuu keessatti firiin isaanii kan lakkoofsa lakkaawwii hintaane uumamuu ni danda’u. Fakkeenyaaf 2-5= -3 miseensa tuuta kanaa miti. Kanaafuu lakkoofsi intiijariin akka uumamu ta’e. Lakkoofsa intijaroota kamiyyu wal-irra hir’isuu fi ida’uun tuuta kana keessatti hojii irra ni oola. Garuu lakkoofsota intiijarii lama yoo waliif hirru kan intiijarii hintaane numudachuu danda’a. Fakkeenyaaf 2÷3intiijarii miti. Kanaaf tuuta lakkoofsa garabiraa raashinaaliin akka uumamu ta’e . Ammas gaaffileen tuuta lakkoofsa raashinaaliin keessatti furamuu hindandeenye nijiru .Fakkeenyaaf x^2-2=0. Tuuta lakkoofsa raashinaalii keessatti furmaata hin qabu. Kanaafuu lakkoofsi raashinaalii hintaane (alraashinaaliin) akka uumamu ta’eera. Tuutni lakkoofsa raashinaalii fi alraashinaalii hammatu lakkoofsa waliigalaa jedhama .Tuuta kana keessatti himni akkax^2 +2=0 furmaata hinqabne ilaaltaniittu. Kanaafuu himootni akkax^2+2=0 furmaata kan qabaatan tuuta lakkoofsa xaxaa keessatti ta’a.
Baqonnaa kana keessatti hiikoo lakkoofsa xaxaa, lakkoofsa xaxaa qoyyabuu,lakkoofsa xaxaa diriiroo irratti agarsiisuu,muujulasii fi koonjugeetii lakkoofsa xaxaa ibsuuf ni kennama.
Kaayyoolee boqonnaa kanaa:
Boqonnaa kana erga baratanii booda leenjifamtootni:
Yaad-rimee lakkoofsa xaxaa ni hubatu.
Hiikoo tuuta lakkoofsa xaxaa ni kennuu.
Lakkoofsa xaxaa ni qoyyabuu.
Lakkoofsota xaxaa ni salphiisu.
Lakkoofsa xaxaa kenname bifa giraafiin diriiroo irratti ni mul’isu.
Muujulasii fi konjugeetii lakkoofsa xaxaa kennamee tokko ni shallagu.
Lakkoofsa xaxaa bifa reektangulaa’an kenname bifa poolaariin ni ibsu.
3.1 Tuuta lakkoofsotaa xaxaa
3.1.1 Yaad rime lakkoofsota xaxaa
Gochaa 3.1
Walitti dhufeenyaafi garagaruumaa tuuta lakkoofsa lakkawwii,lakkoofsa hundaa,lakkoofsa intiijarii,raashinaalii fi lakkoofsa waliigalaa gareen irratti mari’achuun dareef ibsaa.
Tuuta lakkoofsa waliigalaa keessatti himni x^2+1=0 maaliif furmaata hinqabuu?

Hiikoo 3.1 x fi y’n lakkoofsota waliigalaa lama kamiyyuu ta’anii, i=√(-1)yoo ta’e ibsaabni bifaa x+yi kennamee lakkoofsa xaxaa jedhaama. Ibsaama kana keessatt x’n damee lakkoofsa waliigalaa(real part) yoo jedhaamu y’n immoo damee lakkoofsa yaadaa (imaginary part) jedhaama.
Mallattoon tuuta lakkoofsa xaxaa immoo akka armaan gadiitti ibsaama.
C={z:z=x+yi; x,y∈R fi i=√(-1)}
Hub.i=√(-1)⇒ i^2=-1
∀x∈R,x=x+0i waan ta’eef , lakkoofsi waliigalaa kammiyyuu lakkoofsa xaxaadha.akkasuumasi √(-1)∈C fi √(-1) R irraa R⊂ C .
Fakkeenyaa 3.1. Tuuta lakkoofsa xaxaa keessatti himaa x^2+3=0 furi.
Furmaata :x^2+3=0
⇔x^2+3-3=0-3
⇔x^2=-3⇔ x=√(-3)=√(-1×3)=√(-1) √3=i√3 ta’a.
Kanaafuu tuutni fuurmaata, T.F= {√(3 ) i} ta’a.
Fakkeenya 3.2.i^99salphiisi
Furmaatai^99=i(i^2 )^49=i(-1)^49=-i
Hiikoo 3.2Yoolakkoofsotni xaxaa〖z_1=x〗_1+y_1 i fi z_2= 〖 x〗_2+y_2 i ta’an,z_1=z_2⟺x_1=x_2 fi y_1=y_2 ta’a.
Fakkeenyaa 3. 33a -2bi=4+5i yoo ta’e gatii a fi b barbaadi.
Furmaata 3a -2bi=4+5i
⇔ 3a=4 fi -2b=5
⇔ a=4/3 fi b=-5/2
Gilgaala 3.1
Himaa 〖5x〗^2+8x+5=0 tuuta lakkoofsa xaxaa keessatti furi.
Gatiiwwaan paawoorota armaan gadii salphiisi

i^15
i^27
i^1000
i^66

 Yoo    i^2n fi i^(2n+1) ta’e,haala itti  salphatu  yaada waliigalaa  kaa’i.
Lakkoofsa   xaxaa  3+√(-2) bifa  x+yi  tiin  barreessi.
Lakkoofsa   2-5i  keessatti damee  lakkoofsa  waliigalaa  fi  damee  lakkoofsa  yaadaa  ibsi.
Lakkoofsotaarmaan  gadii  bifa  x+yi  tiin  barreessi.
4              b)   -9           c)√17       d) 2+√(-12)
Qoyyaboota  Bu’uuraa  Tuuta  Lakkoofsota  xaxaa  irratti
Ida’uu  fi  hir’isuu

Gochaa 3.2
Kanneen armaan gadii qoyyabi.
(2x+3y) +(5x-7y) b. (5x+2)-(3x-6) C) (3x+4y)-(6x-2y)

Hiikoo 3.3 Mee Z_1=x_1+y_1ifi Z_2=x_2+y_2i lakkoofsa xaxaa lama kamiyyuu haa ta’an
Z_1+Z_2=〖(x〗_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2) +(y_1+y_2)i ta’a.
〖 b) Z_1-Z_2= (x〗_1+y_1i)- (x_2+y_2i)=x_1-x_2) +(y_1-〖 y〗_2)i ta’a

Fakkeenya 3.4
(7+10i)+(2+4i)= (7+2)+(10+4)i=9+14i
(7+10i)-(2+4i)=( 7-2)+(10-4)i=5+6i
(1+i)-(3-3i)=(1-3)+(1+3)i=-2+4i

Baay’isuu   lakkoofsota   xaxaa

Hiikoo 3.4 Mee z_1=〖 x〗1+y_1ifi z_2=x_2+y_2ilakkoofsota xaxaa lama haa ta’an. 〖z_1 z_2=(x〗_1+y_1i)(x_2+y_2i)= (〖 x〗_1 〖 x〗_2-〖 y〗_1 〖 y〗_2)+〖( x〗_1 〖 y〗(2 )+〖 x〗_2 〖 y〗_1)i ta’a.
Fakkeenya 3. 5
(3-2i)(4+5i)=(3×4-(-2)x5) +(3×5+4x(-2))i
=(12+10)+(15-8)i
=22+7i
(2+3i)(2-3i)=2(2-3i)+3i(2-3i)
=4-6i+6i-9i^2
=4+0-9(-1)
=4+9
= 13
Hiruu lakkoofsa xaxaa
Hiruun adeemsa galagaltoo baay’isuu ta’uu isaa kutaalee darban keessatti barachuu keessan ni yaadattu. Sababni isaa lakkoofsa waliigalaa a fi b, b≠0kamiifuu, a hiruu b bifa a/b=a×1/btiin ibsama.
Haaluma walfakkaatuunyoo Z_1=x+yi〖 fi Z〗_2=a+bi lakkoofsota xaxaa ta’an;
Z_1/Z_2 =Z_1×1/Z_2 =(x+yi)(1/(a+bi))
Garuu 1/(a+bi)=(1/(a+bi))((a-bi)/(a-bi))=(a-bi)/(a^2+b^2 )=a/(a^2+b^2 )-b/(a^2+b^2 ) i
Kanaafuu:Z_1/Z_2 =Z_1×1/Z_2 =(x+yi)(1/(a+bi)) =(x+yi)(a/(a^2+b^2 )-b/(a^2+b^2 ) i) ta’a.
Hiikoo 3.5Mee Z_1=x+yi fiZ_2=a+bi ≠0lakkoofsota xaxaa kenname haajennu, hiikoon Z_1 hiruu Z_2 bifa Z_1÷Z_2 ykn Z_1/Z_2 kenname Z_1/Z_2 =(ax+by)/(a^2+b^2 )+(ay-bx)i/(a^2+b^2 ) ta’a.

Fkn. 3.6: 1/(2+3i) =(1/(2+3i))((2-3i)/(2-3i))
=(2-3i)/13
=2/13-3i/13
Gocha 3.2
Qoyyaboota bu’uuraa “+”, “-’ ‘x” fi “÷” tuuta lakkoofsa xaxaa irratti tokko tokkoon isaanii amaloota armaan gadii yoo qabaatan ibsi
Amala al- alagoomsuu
Amala jijjiirraa iddoo fi Amala jijjiirraa cuftuu
Amalaa miseensa of taasisaa
Galagaltoo
3.2.1 Amaloota ida’uu tuuta lakkoofsa xaxaa irratti.
∀〖 Z〗_1,Z_2∈C,Z_1+ Z_2∈C ida’uun tuuta C irratti amala al-alagoomsuu ni qaba
∀Z_1,Z_2∈C , Z_1+ Z_2=Z_2+ Z_1Amala jijjiraa iddoo ni qaba.
∀Z_1,Z_2 ,Z_3∈C , Z_1+(Z_2+ Z_3 )=(Z_1+Z_2)+Z_3 Amalaa jijjiraa cuftuu ni qaba
0=0+0i , miseensa oftaasisaa qoyyaba “+” irratti jedhama.
∀ (x+yi)∈Cgalagaltoon ida’uu isaa -x-yi ta’a.
Gochaa 3.3 a) Amaloonni ida’uu armaan olii tuuta lakkoofsa xaxaa irratti ibsaman dhugaa ta’uu mirkaneessi.
b) Masaanuu (5+3i)+(1+i) barbaadi.
3.2.2 Amaloota baay’isuu tuuta lakkoofsa xaxaa irratti.
∀Z_1,Z_2∈C,Z_1.Z_2∈C baay’isuun tuuta C irratti amala al-alagoomsuu ni qaba
∀Z_1,Z_2∈C , Z_1.Z_2=Z_2.Z_1Amala jijjiraa iddoo ni qaba.
∀Z_1,Z_2 ,Z_3∈C , Z_1.〖(Z〗_2 .Z_3))=( Z_1.Z_2).Z_3Amalaa jijjiraa cuftuu ni qaba
1=1+0i, miseensa oftaasisaa qoyyaba “×” irratti jedhama.
∀ (x+yi)≠0+0i∈Cgalagaltoon baay’isuu isaa (x-yi)/(x^2+y^2 )ta’a.
Gochaa 3.4 a) Amaloonni baay’isuu armaan olii tuuta lakkoofsa xaxaa irratti ibsaman dhugaa ta’uu mirkaneessi.
Fuggisoo5+3i barbaadi.
Gilgaala 3.2
Kanneen armaan gadii bifa x+yi tiin barreessi

(-3+4i)(2-2i)
2i(5+4i)
(i+2)/(3-2i)
i^20-i^24+i^15
(2-3i)/(3+2i)+6+9i

(2+5i)-(6+3i) salphisi
Fuggisoo  1/(5-3i) barbaadi
Mee  Z_1=5-i  fi   Z_2=2+3i yoo ta’e  kanneen  armaan gadii  barbaadi.
Z_1.Z_2      b)Z_1÷Z_2     c) Z_1.Z_1

konjugeetii  fi  moojulasii  lakkoofsota  xaxaa

Hiikoo 3.6
Konjugeetiin lakkoofsa xaxaa Z=x+yi akka Z ̅=x-yitiin hiikama.
Fakkeenya 3.7
Z= 4+5i yoo ta’e ,Z ̅= 4-5i
Z= (3-i)/(2+i) yoo ta’e
Z= ((3-i)/(2+i))((2-i)/(2-i)) =(6-5i-1)/(4+1)=(5-5i)/5=1-i
Z ̅= 1+i
Hiikoo 3.7 Gat-sirrii (Moojulasii) Lakkoofsaa xaxaa Z=x+yi akka
|Z|= |x+yi|=√(x^2+y^2 )tiin hiikama
Fakkeenya 3.8 Z= √3 +i yoo ta’e |Z|=√(〖√3〗^2+1^2 )=2
Amaloota konjugeetii
Z= x+ yi ∈C yoo ta’e:
Z ̅ ̅= Z ta’a.
Z+Z ̅=2x ta’a.
Z-Z ̅=2yita’a.
Z.Z ̅=|Z|^2=x^2+y^2 ta’a.
Gochaa 3.5
Amaloota konjugeetii armaan olii (a)-(d) jiran mirkaneessi
Z_1=x_1+y_1 i fi Z_2=x_2+y_2 i lakkoofsa xaxaa yoo ta’an
(Z_1+Z_2 ) ̅ = (Z_1 ) ̅ +(z_2 ) ̅ ta’a
(Z_1-Z_2 ) ̅ = (Z_1 ) ̅- (〖 Z〗_2 ) ̅ ta’a
(Z_1.Z_2 ) ̅ = (Z_1 ) ̅ . (〖 Z〗_2 ) ̅ ta’a
Mirkana (a)
(Z_1+Z_2 ) ̅ = (〖(x〗_1+y_1 i)+(x_2+y_2 i)) ̅
=(〖(x〗_1+x_2)+(y_1+y_2)i) ̅
=(x_1+x_2)-(y_1+y_2 )i=(x_1-y_1 )i +(x_2-y_2 )i =(Z_1 ) ̅ +(Z_2 ) ̅
Mirkana: b fi c gilgaala
Gochaa 3.6
|Z_1 Z_2 |=|Z_1 ||Z_2 |ta’u mirkaneessi
|Z_1/Z_2 |=|Z_1 |/|Z_2 | mirkaneessi

Lakkoofsa xaxaa salphisuu
Fakkeenya 3.9
Amala konjugeetii armaan olitti ilaalle fayyadamuun kanneen armaan gadii mirkaneessi.
Z=x+yi≠0∈C yoo ta’e galagaltoon baay’isuu (fuggissoon) isaa
Z^(-1)=1/Zyoo ta’e, Z^(-1)=x/(x^2+y^2 )-yi/(x^2+y^2 ) ta’u mirkaneessi.
Mirkana:
Z^(-1)=Z ̅/|Z|^2 =(x-yi)/(x^2+y^2 ) =x/(x^2+y^2 )-yi/(x^2+y^2 ) ta’a.
Yoo Z= 3-4i ta’e,Z^(-1) barbaadi.
Furmaata:Z^(-1) =1/Z=1/(3-4i)=1/(3-4i) ((3+4i)/(3+4i))=(3+4i)/(9+16)=(3+4i)/25=3/25+4i/25
Z_1=x_1+y_1 ifiZ_2=x_2+y_2 i,Z_2≠0 yoo ta’e
Z_1/Z_2 =(x_1+y_1 i)/(x_2+y_2 i) = (x_1.x_2+y_1.y_2)/(〖x_2〗^2+〖y_2〗^2 )+(y_1.x_2-x_1.y_2 )i/(〖x_2〗^2+〖y_2〗^2 )ta’uu mirkaneessi.
Z_1/Z_2 =(Z_1 Z ̅_2)/(Z_2 Z ̅_2 )
=(x_1+y_1 i)(x_2-y_2 i)/(x_2+y_2 i)(x_2-y_2 i)
=(x_1 x_2-x_1 y_2 i+y_1 x_2 i+y_1 y_2)/(〖x^2〗_2+〖y^2〗_2 )
=(x_1 x_2+y_1 y_2)/(〖x^2〗_2+〖y^2〗_2 )+(y_1 x_2-x_1 y_2 )i/(〖x^2〗_2+〖y^2〗_2 )
Yoo Z_1= 3+2i fi Z_2= 1+i ta’e Z_1/Z_2 salphisi
Furmaata :Z_1/Z_2 =(3+2i )/(1+i )
=(3+2i )/(1+i ) ((1-i)/(1-i))
=(5-i)/2=5/2-i/2
(2+3i)(4-3i)/(2-i)(1+2i) salphisi.
Furmaata(2+3i)(4-3i)/(2-i)(1+2i) =(2(4-3i)+3i(4-3i))/(2(1+2i)-i(1+2i) )
=(8-6i+12i+9)/(2+4i-i+2)
=(17+6i)/(4+3i)
=((17+6i)/(4+3i))((4-3i)/(4-3i))=(68-51i+24i+18)/(16+9) =(86-27i)/25=86/25-27i/25
Gilgaala 3.3
Himoota armaan gadii salphisuun bifa x+yi tiin ibsi.

  (1-i)+(4+3i)
   (6+2i)-(5i-3)
   (1-6i)(2+i)
1/(9+i)
1/(3+i)+(5+i)/(4-i)
   3(2+4i)-2(5-3i)
(1-i)(3+i)/(2+i)(3-i) 

Himoota   walqixaa   armaan  gadii  tuuta  lakkoofsa  xaxaa  keessatti  furi.

〖2x〗^2+3x+1=0
x^2-x+1=0
5-4i=2x+yi
10x+4yi=5i
x+2yi=7
 (√2+i)(√2-i)=2x+4yi
(x+yi)(4-3i)= 5i +10

Lakkoofsota  xaxaa  armaan  gadiitiif  galagaltoo baay’isuu(fuggisoo)  isaanii   barbaadi

5+i
 -5
(3+i)/(2-i)

7
5i
 (2-i)(1+i)

Konjugeetii  lakkoofsota  xaxaa  armaan  gadii  barbaadi.
4+6i       b) (2-i)/(3+i)        c)  1/2i      d) 5        e) 3i
 Moojulasii  lakkoofsota  xaxaa  armaan  gadii  barbaadi
√3 +i      b) ) (2-i)/(3+i)      c) 2   d) 2i 
Lakkoofsota  xaxaa  lamaan Z_1=3+4i  fi Z_2=6-8i  kennaman  irraa  kanneen armaan  gadii  barbaadi.
|Z_1 |       b) |Z_2 |        c)|Z_(1.) Z_2 |        d)|Z_(1.) ||Z_(2.) |   e) |Z_(1.)/Z_(2.) |    f) |Z_(1.) |/|Z_(2.) |

Cuunfaa Boqonnaa sadaffaa
x fi y’n lakkoofsa waliigalaa fi i=√(-1) ta’ee lakkoofsi bifa x+yi tiin kenname lakkoofsa xaxaa jedhama.
Tuutni lakkoofsa waliigalaa cita sirrii tuuta lakkoofsa xaxaati.
x+yi=a+bi ⇔ x=a fi y=b ta’a.
Tuuta lakkoofsa xaxaa keessatti qoyyaboonni “+”,”-“ fi “×” amala al-alagoomsuu qabu.
(x+yi)+(a+bi)=(x+a)+(y+b)iakkasumas
(x+yi)-(a+bi)=(x-a)+(y-b)ita’a.
(x+yi)×(a+bi)=(xa-yb)+(xb+ya)i
(x+yi)/(a+bi) =(x+yi)/(a+bi) ((a-bi)/(a-bi))=(xa+yb)/(a^2+b^2 )+(ya-xb)i/(a^2+b^2 ) ta’a
Konjugeetiin lakkoofsa xaxaa Z= x+yi, Z ̅=x-yita’a.
Moojulasiin lakkoofsa xaxaa Z=x+yi, |Z|=√(x^2+y^2 )ta’a.
Gilgaala waliigalaa
Lakkoofsa Z= 3-5i keessatti damee lakkoofsa waliigalaa fi damee lakkoofsa yaadaa adda baasi.
2x+3yi= (2+x)+6iyoo ta’e, gatii x fi y barbaadi.
Lakkoofsa xaxaa Z=3+4i kenname irraa kanneen armaan gadii barbaadi.
Konjugeetii Z
Moojulasii Z
Moojulasii konjugeetii Z barbaadi.
Konjugetii fimoojulasii ibsamoota armaan gadii barbaadi.
(3+i)/(5-4i) b) (i+2)(3-4i)(5+3i)/(2i+1)(4i+3)(5i-3) c) 3-3i
Kanneen armaan gadii tuuta lakkoofsa xaxaa keessatti furi.
x^3+〖2x〗^2+x-4=0 b) x^4+〖2x〗^2+2=0
Z1=2-3i fi Z2=1+2ilakkoofsota xaxaa yoo ta’an kanneen armaan gadii shallagi.
|Z_1+Z_2 | b) |Z_1-Z_2 | c) |Z_1.Z_2 | d)|Z_1÷Z_2 | e) 〖Z_1〗^2 f)|Z_1.(Z_2 ) ̅ |

Boqonnaa 4
Ji’oomeetirii Koordineeti
Seensa
Barnootni Aljeebiraa fi Ji’oomeetrii hariiroo guddaa kan qaban yoo ta’an yeroo jalqabaaf barnoota kanneen walkeessa makuudhaan kan hojii irra oolche beekaa Herregaa Reen Deeskraartii (1596-1650) jedhamudha. Barnoota kans ji’omeetrii Ko’oordineetii jechuun moggaase.
Ji’omeetrii ko’oordineetii yookin ji’omeetrii Analaayitii dame barnoota Herregaa ta’e pirobileemota Aljebiraadhaan gargaaramuun furuu jechuudha.
Boqonnaa kana keessatti diriiroo irratti fageenya tuqaalee lama giddu jiru, sarara dhjaabbataa reeshoon gargar qooqoduu dhundhulaa fi kofa jalinsa sarara shaffaxaa (inclination), sararoota wal tarree fi parpandikulaarii, kofa sararoota lama giddu jiruu, fageenya tuqaa fi sarara, sararoota wal tarree fi maalummaa geengoo kan ilaalu ta’a.

Kaayyoo
Xumura barnoota boqonnaa kannatti leenjifamtoonni
Foormulaa fageenya tuqaalee lama giddu jiru ni hubatu.
Sarara dhaabbataa reeshoon akkamiin akka gargar hiramu ni hubatu.
Akkaataa hima sararaa ittin barbaadan ni hubatu.
Akkaataa fageenya sararaa fi tuqaa gidduu jiru itti barbaadamu ni hubatu.
Maalummaa koonik seekshinii ni hubatu.
Hima walqixaa koonikii adda ni baasu.
Muraa koonii hiikuu.
Hiikoo geengoo kennu.
Hima wal-qixa geengoo barreessu.
hima wal-qixa geengoo irraa Handhuura fi raadiyasii geengoo barbaadu.
Geengoo fi sararri tuqaa irratti wal-qaxaamuran qabaachuu fi dhiisuu isaanii murteessuu danda’u.

4.1 Foormulaa Fageenyaa
Fageenya Tuqaalee lama giddu
 Gocha 4.1
Ko’ordineetii jechuun maal jechuudha?
Danaa 4.1 irra Ko-oordineetota qubeewwan jiranii barbaadi

Fageenya jechuun maal jechuudha?
Danna 4.1 irraa fageenya tuqaalee itti aanan barbaadi.
H fi G         b. B fi J           c.  G fi J      d. F fi K

Mee P(x1, y1) fi Q(x2, y2) tuqaalee gara garaa lama ta’ee (PQ) ⃡’n sarara qajeelaa tuqaalee Pfi Q keessa darba haa jennu. Fageenyi tuqaa P hanga Tuqaa Q giddu jiru dheerina sarara dhaabbataa PQ wajjin wal qixadha. Fageenya kan (d) barbaaduuf harbaaduuf haala armaan gadii fayyadamna.

Yoo (PQ) ⃡’n wal-tarree siiqqee x- ta’e

d=PQ
d=|x_2-x_1 | ykn
d=|x_1-x_2 |

Hub. Fageenyi tuqaalee lama kenname giddu jiru yeroo hunda lakkoofsa pozativaa waligaala
kamiyyu ta’a.
Yoo (PQ) ⃡’n wal-tarree siiqqee Y ta’e.
d=PQ
d=|y_2-y_1 | ykn d=|y_1-y_2 |
Yoo (PQ) ⃡’n sarara shafaxaa ( Kan siiqqee lachuuf wal-tarre hin taane.)
Fageenya d barbaaduuf ∆PRQ irraa tiyooramii Paayitaagoras fayyadamna.
Innis
d=PQ
PR=|x_2-x_1 |akkasumas QR=|y_2-y_1 |
〖PQ〗^2=〖PR〗^2+〖QR〗^2
〖PQ〗^2=|x_2-x_1 |^2+|y_2-y_1 |^2
〖PQ〗^2=〖(x_2-x_1)〗^2+〖(y_2-y)〗^2
PQ=√(〖(x_2-x_1)〗^2+〖(y_2-y)〗^2 )
∴d=√(〖(x_2-x_1)〗^2+〖(y_2-y)〗^2 )

Hubachiisa
Fagenyi tuqaalee lama kamiyyuuP(x1, y1) fi Q(x2, y2) giddu jiru PQ=√(〖(x_2-x_1)〗^2+〖(y_2-y)〗^2 )
Fakkeenya 1
Fageenya tuqaalee (-5,3 ) fi (6,-4) giddu jiru barbaadi.
Furmaata
Mee tuqaalee kennaman P(x1, y1)= (-5,3 ) fi Q(x2, y2)= (6,-4) haa jennu.
Fageenyi isaan giddu jiru
d= √(〖(x_2-x_1)〗^2+〖(y_2-y)〗^2 )
=√(〖(6-(-5))〗^2+〖(-4-3)〗^2 )= √(〖(11)〗^2+〖(7)〗^2 )=√(121+49)=√170 ta’a.
Sarara dhaabbataa Reeshootiin qoqqooduu
Gocha 4.2
Walakkesaa tuqaalee armaan gadii barbaadi.
(0,0) fi (4,4) b. (-2,3) fi (6,9)
Sarara dhaabbataa reeshoon r_1:r_2 akkamiin gargar qaqqoodna? Gareen mari’adha.
Mee P(x1, y1) fi Q(x2, y2) tuqaalee diriiroo kan fiixeewwan (PQ) ̅ ti haa jennu.Ko’oordineetii R(x0,y0) kan (PQ) ̅ bifa PR/RQ=r_1/r_2 tiin gargar qoodu haa jennu. Ko’oordineetii R(x0,y0) akka armaan gadii ta’a.
Danaa kana irraa ∆PTR~∆RSQ akkamiin?
Walfakkaatina kana irraa PT/RS=TR/SQ=r_1/r_2 ta’a.
Garuu PT=|x_0-x_1 |RS=|x_2-x_0 |, TR=|y_0-y_1 | fi SQ=|y_2-y_0 |
waan ta’eef

(x_0-x_1)/(x_2-x_0 )=(y_0-y_1)/(y_2-y_0 )=r_1/r_2 gatii x0 fi y0 yoo x1 , x2, y1, y2, r1 fi r2 gargaaramuun ibsinu
R(x_0,y_0 )=( (r_1 x_2+r_2 x_1)/(r_1+r_2 ), (r_1 y_2+r_2 y_1)/(r_1+r_2 ) )ta’a.
Fakkeenya 2
Ko’oordineetii R(x0, y0) kan ko’ordineetota P(3,2) fi Q(1,-2) bifa reeshoo r1:r2=2:3 tiin qoodu barbaadi.
Furmaata P(x1, y1) = P(3,2) , Q(x2, y2)= Q(1,-2) r_1:r_2=2:3
R(x_0,y_0 )=( (r_1 x_2+r_2 x_1)/(r_1+r_2 ), (r_1 y_2+r_2 y_1)/(r_1+r_2 ) )
R(x_0,y_0 )=( (2(1)+3(3))/(2+3), (2(-2)+3(2))/(2+3) )
R(x_0,y_0 )=( 11/5, 2/5 ) ta’a
Gocha 4.3
Foormulaa asiin olitti jiru irraa foormulaa walkkeessa ko’oordineetota lamaa ittin argannu barbaadi.
Foormulaa argatte kana fayyadfamuun walakkessa tuqaalee itti aanee jiru barbaadi
(4, 8) fi (4, 12) b. (-3,6) fi (6,-8)
P(2, -4) fi Q(4,8) yoo ta’e Ko’oordineetota (PQ) ̅ kan bakka 3 walqixatti qoodan barbaadi.
Jal’insa sarara dhaabbataa( inclination)
Gocha 4.4
Dhundhula jechuun maal jechuudha?
Dhundhulli hariiroo kofa sarara kennamee fi siiqee X giddutti argamuu waliin qabu maali?
Jallinsa sarara shaffaxaa jechuun maal jechuudha? Akkamiin barbaaduu dandeenya?
Hiikoo:.sarari shaffaxaan tokko siiqee X Poozativaa waliin kofa uumee sararichi jallinsa sarara shaffaxaa l (inclination line) yoo jedhamu taanja ntiin isaa immoo dhundhula jedhama.

Danaa 4.6 irra θ’n kofa sarar l fi siiqee-X poozativii gidduu jiru haa ta’u.
Dhundhulli sarara l =tan θ ta’a.
Dhundhulli sarara l tuqaalee (x1, y2) fi (x2, y2) keessa darbu haala armaan gadii barbaana.

Dhundhulli sarara l = tan θ=∆y/∆x= (y_2-y_1)/(x_2-x_1 ) ta’a.
Fakkeenya 3
Dhundhula(m) sarara tuqaalee (1,-19) fi (-2,-7) giddu jiru barbaadi.
Furmaata
Mee (x1, y2) = (1,-19) (x2, y2) =(-2,-7)
Dhundhula (m)=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )=(-7-(-19))/(-2-1)= -4
Sararoota wal tarree fi parpandikulaarii
Gocha 4.5.
Sararoota wal tarre jechuun maal jechudha?
Sararoota parpandikulaarii jechuunoo maal jechuudha?
Hiikoo
Sararroonni olee hin taane lama wal tarree kan ta’an yoo dhundhulli isaanii wal qixa ta’edha.
Sararootni olees dalgees hin taane lama parpandikulaarii kan ta’an yoo baay’ataan dhundhula isaanii -1 ta’edha.
Gocha 4.6
Sararri tuqaalee P(1,1) fi Q(-2,3) keessa darbuu fi sarara tuqaalee R(3, 2) fi S(-3, 6) keessa darbu waltareedha? Maalif?
Sararri l1 kan tuqaalee P(4,2) fi Q(6, 1) keessa darbuun l2 tiif parpandikulaarii yoo ta’e dhuldhula sarara l2 barbaadi.

Kofa sararoota lama giddu
Hiikoo
Kofti sararoota wal qaxxaamuran lamaa l1 fi l2 giddu safara kofa l1 irraa gara l2 tti karaa faallaa adeemsa sa’aatii safaruun argamudha.

Danaa 4.8 irraa θ=α+β Yoo θ>α ta^’ e θ-α=β ta’a.
Kan jechuun tan⁡(θ-α)=tanβ
tanβ=(tanθ-tanα)/(1+tanθtanα)garuu tanα=m1 sarara L1 akkasumas tanθ=m2 sarara L2 waan ta’eef
tanβ=(m_2-m_1)/(1+m_1 m_2 )yoom_1 m_2≠-1 ta’e.
Hubachiisa:
Sararootni l1 fi l2 tartiibaan dhundhulli isaanii m1 fi m2 yoo ta’ee fi β’n kofati sararoota kana lamman giddu yoo ta’e tanβ=|(m_2-m_1)/(1+m_1 m_2 )| ta’a.

Fakkkeenya 4
Dhundhulli sararootni l1 fi l2 tartiibaan m1 = -3/5fi m2 =1/4 kofa sararoota kana jiru barbaadi.
Furmaata. m1 = -3/5fi m2 =1/4
tanβ=|(m_2-m_1)/(1+m_1 m_2 )|=|(1/4-(-3/5))/(1-3/5 (1/4) )|=1 sababa 0≤β<1〖80〗^0 waan ta’eef
β’nkofa akkiyutii yoo ta’e 450ta’a. akkasumasβ’n kofa obtiyusii ta’e immo 1350 ta’a.
Hima wal qixaa sarara qajeelaa
Hima wal qixaa sarara bifa tuqaa lamaan
Yoo P(x1, y1) fi Q(x2, y2) tuqaalee lama sarara l irra jiru ta’e dhundhulli sarara kanaa
m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 ) , x1 ≠x2
Dhundhula kanaa fi tuqaalee P(x1, y1) yookaan Q(x2, y2) keessa tokkosararicha kan irra jiru fayyadamun hima wal qixa sarara l bifa tuqaa lamaan akka itti aanu ta’a.
(y-y_1)/(y_2-y_1 )=(x-x_1)/(x_2-x_1 )⇔ ( -y_1)(x_2-x_1 )=(y_2-y_1)(x-x_1)
Yoo x1 = x2 ta’e sararri l’n siiqqee –Y waliin wal tarredha. Himni sarara kanaas x=x1 ta’a.
Fakkeenya 5
Hima wal qixa sarara tuqaalee P(1,5)fi R(-3,8) keesa darbu barbaadi.
Furmaata.
Mee P(x1, y1) =(1,5) fi R(x2, y2)=(-3,8) haa jennu. Tuqaalee lamman kana fayyadamuun hima wal qixa sarara kanaa ibsuun ni danda’ama.
(y-y_1 )(x_2-x_1 )=(y_2-y_1 )(x-x_1 )
(y-5)(-3-1)=(8-5)(x-1)ykny=-3/4 x+23/4 ta’a
Hima wal qixaa sarara bifa dhundhula-tuqaa
P(x1, y1) fi Q(x2, y2) tuqaalee sarara l dhundhulli isaa m ta’e himni sarara l bifa dhundhula-tuqaan yommu ibsamu y-y_1=m(x-x_1 ) ta’a.
Fakkeenya 6
Hima wal qixa sarara l tuqaalee P (2, 3) fi Q (5, 9) bifa dhundhula-tuqaan barreesi.
Furmaata
P(x1, y1) =(2,3) fi Q(x2, y2)=(5,9)
Dhundhula(m)=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )=(9-3)/(5-2)=6/3=2
P(x1, y1) =(2,3) yoo fudhanne y-3=2(x-2) ta’a.haaluma kanaan Q(x2, y2)= (5,9) yoo fudhanne himni arganu y-9=2(x-5). Himni lamman argame kun garaagarumma hin qabu.
Hima walqixa sarara bifa Dhundhulaa- qaxxaamuraa
Himni walqixa sararaa dhundhulli isaa mtuqaalee P(x1, y1) fi Q(x2, y2) keesssa darbu dhundhula- qaxxaamuraan yoomu barrefamu
y-y_1=m(x-x_1 )
y-y_1=mx-mx_1
y=mx-mx_1+y_1, m,x_1,y_1,ϵ R waan ta’eef b=-mx_1+y_1 haa jennu.
y=mx+bbifa dhundhula -qaxxaamuraan
Fakkeenya 7
Hima wal qixa sarara l tuqaaleeT(-2,-3) fi V(1,0) bifa dhundhula- qaxxaamuraan barreesi.
Furmaata
T(x1, y1) =(-2,-3) fi V(x2, y2)=(1,0) haa jennu
Dhundhula(m)=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )=(0-(-3))/(1-(-2))=3/3=1
y-(-3)=1(x-(-2))bifadhundhula-tuqaan irraa
y+3=1(x+2)
y=(x+2)-3
∴y=x-1bifa dhundhula –qaxxaamuraan yoo barrefamu.
Hima wal qixaa sarara bifa qaxxamura siiqqeewaniin
Gocha 4.7

Hima wal qixa sarara l tuqaaleeT(0,a) fi V(b,0) keessa darbuuf
i. bifa dhundhula-tuqaan barreessi.
ii. bifa waliigalaan barreesi.
Hubachiisa
Himni wal qixa sarara l qaxxaamurri siiqee-x fi siiqee-y tartiibaan yoo (a,0) fi (0,b) ta’e himni x/a+y/b=1 kun hima wal qixaa sarara bifa qaxxamura siiqqeewanii jedhama.
Fakkeenya.8
Hima 2x+4y-12 =0 kanaa bifa qaxxaamura siiqqeewwaniitin ibsi
Furmaata
2x+4y-12 =02x+4y=12 gama lachuun 12f hiruun 2x/12+4y/12=1
x/6+y/3=1
∴qaxxamurri siiqqqee –x=(6,0) fi Qaxxaamurri siiqee-y =(3,0) ta’a. Hima wal qixaa sarara bifa waligalaa
Mee P(x1, y1) fi Q(x2, y2) tuqaalee sarara l irra jiran haa jennu. Hima walqixa sarara bifa tuqaalee lamaa irraa (y-y_1 )(x_2-x_1 )=(y_2-y_1 )(x-x_1 ) qabna. Kunis
(y-y_1 )(x_2-x_1 )-(y_2-y_1 )(x-x_1 )=0
y(x_2-x_1 )-y_1 (x_2-x_1 )+x(y_1 〖-y〗_2 )+x_1 (y_2-y_1 )=0
x(y_1 〖-y〗_2 )+y(x_2-x_1 )-y_1 (x_2-x_1 )+x_1 (y_2-y_1 )=0, Sababa x1, x2, y1 fi y2 dhaabbataa waan ta’eef A=y_1 〖-y〗_2, B=x_2-x_1 C=-y_1 (x_2-x_1 )+x_1 (y_2-y_1 ) haa jennu.
∴Ax+By+C=0 hima waliigalaa sarara qajeelaati.
4.3. Fageenya tuqaa fi sarara giddu jiru
Gocha 4.8
Fageenya tuqaaleen armaan gadii siiqqeewwan irraa qaban barbaadi.
(3, 4) b. (-2, 5) c. (-4,-4)
Fageenya sararaa fi tuqaa kenname kamiyyuu argachuun argachuuf mee fakeenya armaan gadi haa ilaalu.
Fakkeenya 9
Fageenya sarara 2x-y+6=0 fi tuqaa P(3, 2) giddu jiru barbaadi.
Furmaata.
Mee jalqaba hima walqixa sarara l’ tuqaa P(3,2) keessa darbuun sarara l: 2x-y+6=0 f tuqaa Q(xo, yo) irratti parpandukulaarii ta’e qaxxaamuru barbaana.
Dhundhulli sarara l m1 =2 ta’a.
Dhundhulli sarara l’ :m2= -1/2 sababa m1. m2=-1 waan ta’eef
Himni walqixa sararaa l1; y-2=-1/2 (x-3) yookin x+2y-7=0 ta’a.
Itti aansuun bakka himni walqixaa sarara lachuu itti walqaxxamuran barbaadhudha.
{█(2x-y+6=0@x+2y-7=0)┤haa furru
Himoota kan lachuu irraa x=-1 fi y=4 arganna. Kanaafuu Q(x_o,〖 y〗_0)=(-1,4) ta’a.
Foormulaa fageenyaa fayyadamuun fageenya tuqaalee P(3,2) fi Q(-1,4) giddu jiru barbaadina.
d= √(〖(x_2-x_1)〗^2+〖(y_2-y)〗^2 )
d= √(〖(3-(-1))〗^2+〖(2-4)〗^2 )⇒ d= √20 ta’a
∴fageenyi P(3,2) hanga sarara 2x-y+6=0 giddu jiru √20 ta’a.
Hubachiisa:-
Fageenyi sarara Ax+By+C=0 fi tuqaa Q(x_o ,y_0) giddu jiru |(Ax_0+By_o+C)/√(A^2+B^2 )| ta’a.
Fakkeenya 10
Fageenya sarara -2x+y+6=0 fi tuqaa R(2,1) giddu jiru barbaadi.
Furmaata.
Hima -2x+y+6=0 kana irraa A=-2 B=1 fi C=6 fi Q(x_o ,y_0) =R(2,1)ta’a.
d=|(Ax_0+By_o+C)/√(A^2+B^2 )|
d=|(-2×2+1×1+6)/√(〖(-2)〗^2+1^2 )|
= |(-4+1+6)/√(4+1)|
= |3/√5|
= (3√5)/5
Gocha 4.9
Fageenya sarara y=-2x+1 fi taqaalee armaan gadii giddu jiru barbaadi
A(0, 1) b. B(1,-1) c. C(-1/2 ,2)
Gaaffii 1ffaa irratti fageenyi argate meeqa? Maal hubatte?
Tuqaaleen asiin gaditti eeraman miseensa hima 2x-3y-6=0 kanaa waan ta’aniif gatii jijjiramaa jiru barbaadi.
E(0,t) b.K(u,2) c. P(1/2 , m)
Fageenya sararoota waltarree lama giddu akkamiin barbaada?
Fageenya sararoota lama giddu jiru barbaaduuf hiima sarara isa tokko irraa tuqaa tokko fayyadamuun hima sarara isa lammaffaa waliin foomulaa asiin olitti eerame gargaaramuu ni danda’ama.
Gocha 4.10
Fageenya sararoota y=3x+5 fi y=3x-1 giddu jiru barbaaduuf.
Tuqaale lama miseensay=3x+5 ykn y=3x-1 kanaa kan ta’e barbaadi.
Hima tuqaa irra hin fudhanne fi tuqaa isa 1ffaa argatte waliin gargaaramuun fageenya tuqaa fi sarara giddu jiru barbaadi.
Irra deebi’uun tuqaa isa 2ffaa argatte hima isa tarkaanfii 2ffaa irratti fayyadamte waliin fageenya isaan giddu jiru barbaadi.
Fageeni yeroo lachuu argate walqixaa?
4.4. Geengoo
Hiikoo:
Diriiroo tokko irratti tuutni tuqaalee tuqaa kenname tokko irraa fageenya wal-qixaa qabu Geengoo jedhama.
Tuqaa murtaahaan kenname Handhuura Geengoo jedhama.
Fageenyi handhuura geengoo irraa hanga tuqaa fiixee geengoo irra jiruu raadiyasii geengoo jedhama.
Gocha 4.11
Hima walqixa geengoo handhuurri isaa C(h,k) fi raadiyasii r barbaadi.
C(-2,3) , r = 4 b) C(3,-1) , r = 5 C) C(-4,2) , r = 8
Hima walqixa geengoo handhuurri (1,-3) fi tuqaa armaan gadii keessa darbu barbaadi. a) (7,5) b) (5,0) C) (-3,1)
Himoota walqixa armaan gadii keessaa kan hima walqixa geengoo ta’ee fi hintaane adda baasi. Hima walqixa geengoo kan ta’eef immoo handhuura fi raadiyasii barbaadi.
X2 +y2 -8x +10y -12 =0 b) x2 + y2 = 0 C) 3×2 + 3y2 -4x +2y +6 =0
Hima walqixa geengoo handhuurri isaa C(-2,3) fi sarara taanjantii 20x-21y-42 =0
Hima walqixa geengoo tuqoota sadii armaan gadii keessa darbu barbaadi.
(1,1),(1,3) fi (9,2) b) (-4,3),(-1,-7) fi (0,0)
Hima wal-qixa Geengoo
Mee H(a,b) tuqaa handhuura geengoo irraa fi r raadiyasii geengoo haa jennu.
P(x,y) tuqaa geengoo irra jiru kamiyyuu yoo ta’e HP = Raadiyasii = r ta’a.

Danaa 4.10 Geengoo handhuurri isaa H fi raadiyasiin isaa r ta’e,
r=HP= √((x-a)^2+(y-b)^2 ) (foormulaa fageenyaa tiin.)
(x-a)^2+(y-b)^2= r^2hima wal- qixa geengoo jedhama.
Yoo H(a,b) = (0,0) tuqaa handhuura geengoo irraa ta’e, himni walqixa geengoo
x^2+y^2=r^2 ta^’ a.
Fakkeenya 11
Handhuurri geengoo H(4,-3) yoo ta’ee fi P(1,2) tuqaa geengoo irraa yoo ta’e hima geengoo kanaa barbaadi.
Furmaata
(x-a)^2+(y-b)^2= r^2waan ta’eef jalqaba r barbaaduu qabna.
r= √((x-a)^2+(y-b)^2 )
r= √((4-1)^2+(-3-2)^2 ) =√((3)^2+(-5)^2 )=6 ta^’ a.
(x-a)^2+(y-b)^2= r^2 (x-4)^2+ (y+3)^2= 6^2 ta^’ a.
Kanaafuu himni walqixa geengoo (x-4)^2+ (y+3)^2= 36 ta^’ ajechuu dha.
Kana irratti hundaa’uun himni wal-qixaa waliigalaa geengoo (x-a)^2+(y-b)^2= r^2 ta’a.
x^2-2xa+a^2+y^2-2yb+b^2-r^2=0
x^2+y^2-2xa-2yb+a^2+b^2-r^2=0
Mee D=-2a,E=-2b fi F=a^2+b^2-r^2 haa ta^’ an.
Kana irratti hundaa’uun x^2+y^2-2xa-2yb+a^2+b^2-r^2=0
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
x^2+y^2+Dx+Ey=-F
x^2+Dx〖+y〗^2+Ey=-F
(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 (mala iskuweerii sirrii fayyadamuun)

Hubadhu.
〖 D〗^2+E^2-4F >0 yoo ta^’ e himni walqixaa kun hima walqixa geengoo isaa [(-D)/2,(-E)/2] ta^’ a.
〖 D〗^2+E^2-4F=0 yoo ta^’ e himni walqixaa kun hima walqixa geengoo tuqaa
jedhama. (r =0)
〖 D〗^2+E^2-4F <0 yoo ta^’ e himni walqixaa kun hima walqixa geengoo hin ta^’ u.
Fakkeenya 12
Himni walqixa geengoo tuqaan handhuura H(-3,5) fi raadiyasiin 7 qabu barbaadi.
Furmaata:
Mee hima walqixaa geengoo haa fudhannu.
(x-a)^2+(y-b)^2= r^2
〖(x+3)〗^2+(y-5)^2= 7^2
〖(x+3)〗^2+(y-5)^2= 49
x^2+y^2+6x-10y-15= 0
Hima walqixa geengoo armaan gadiif handhuura fi raadiyaasii isaa barbaadi.
4x^2+〖4y〗^2-16x+12y+13= 0
Furmaata:
Mala iskuweeirii sirrii/ guuchisoo gargaaramuun akka armaan gaditti barreeffama.
4x^2+〖4y〗^2-16x+12y+13= 0
4x^2-16x+(16-16)+〖4y〗^2+12y+(9-9)+13= 0
 4 [x^2-4x+(4-4)]+4[y^2+3y+(9/4-9/4)]+13= 0
 4 [(x-2)^2 ]-16+4[(y^2+3/4)^2 ]-9+13= 0
 4 [(x-2)^2 ]+4[(y^2+3/4)^2 ]=12
[(x-2)^2 ]+[(y^2+3/4)^2 ]=3
Kan armaan olii irraa tuqaan handhuura geengoo H(2,-3/4fi raadiyasiin geengoo
r=√(3 ) ta^’ a.
Gocha 4.12
Handhuuraa fi raadiyasii hima geengoo x^2+y^2-x+3y+1=0 barbaadi.
P(4,3) fi A(2,5) tuqaalee fiixee diyaameetirii geengoo yoo ta’an hima walqixa geengoo barbaadi.
Hiikoo
Sararri qajeelaan geengoo tuqaa tokko qofa irratti tuqee darba yoo ta’e sararichii geengichaaf taanjantii ta’a.
Tuqaan sararichi geengoo irratti tuqee darbu tuqaa taanjantummaa jedhama.
Hubadhu.
Sararri qajeelaan tokko geengoo tokkoof taanjantii yoo ta’e, sararri handhuura geengoo fi tuqaa taanjantummaa keessa darbu sarara taanjantiif parpeendikulaarii ta’a.

Danaa 4.11

Fakkeenya 13
Hima walqixa geengoo handhuurri isaa H(3,7) fi sarara L: 2y-x-16 = 0 taanjantii ta’ee barbaadi.
Furmaata
Kana furuuf mala lama gargaaramna.
Mala 1ffaa
Jalqaba tuqaa taanjantummaa murteessina.
Mee P(x_o ,y_o ) tuqaa taanjantummaa haa jennu. Sababa P(x_o ,y_o ) sarara L irra ta’eef 2y_o-x_o+16 = 0 ——————————————(1)
Kanaafuu sararri (l^’) tuqaa H(3.7) fi P(x_o ,y_o ) keessa darbu, sarara L tiif parpeendikulaarii dha. 2y_o-x_o-16 = 0 y_o=-x_o/2+8
Dhndhulli (l^’ )x Dhndhulli (L)= -1 ta^’ a.
kanaafuu Dhndhulli (l^’ )x 1/2= -1 Dhndhulli (l^’ )=-2
Karaa gara biraa immoo dhundhulli sarara kanaa tuqaa Handhuuraa H (3,7) fi tuqaa taanjantummaa P(x_o,y_o ) fayyadamuun hojjetama.
Dhndhulli (l^’ )=-2=(7-y_o)/(3-x_o )
-2(3-x_o )=7-y_o
-6+2x_o=7-y_o
y_o+2x_o=13——————————————(2)
Hima 1 fi 2 walfaana yoo furru, {█(2y_o-x_o = 16@y_o+2x_o=13)┤
{█(2y_o-x_o = 16@〖-2y〗_o-4x_o=-26)┤/█(0-5x_o=-10@x_o=2 ta^’ a.)
Hima 1 irraa 2y_o-x_o- 16=0
2y_o-x_o- 16=0
2y_o-2- 16=0
2y_o=18
y_o=9kanaafuu P(x_o,y_o)=(2,9) tuqaa taanjantumaa ta’a.
Kanaafuu raadiyasiin geengoo (HP)= r = √((3-2)^2+(7-9)^2 )=√(1+4)=√5
himni walqixa geengoo (x-3)^2+(y-7)^2=5 ta’a.
Mala 2ffaa
Mala 1ffaa irratti raadiyasiin geengoo raadiyasiin geengoo tuqaa handhuuraa fi fiixee geengoo fayyadamuun barbaadame.
Karaa biraa immoo foormulaa fageenyaa kutaa kanaa fayyadamuun
r=d=|(Ax_o+By_o+C)/√(A^2+B^2 )| ,(x_o,y_o )=(3,7)
r=d=|(Ax_o+By_o+C)/√(A^2+B^2 )|=|(2×7-3-16)/√(2^2+〖(-1)〗^2 )|=|(-5)/√5|=√5
Kanaafuu himni walqixa geengoo (x-3)^2+(y-7)^2=5 ta’a.

Gilgaala waliigalaa
Fageenya tuqaalee armaan gadii giddu jiru barbaadi.
(2,4) fi (3,-5) b) (3,4) fi (-1,-1) c) (√2,√(3 )) fi (2√2,3√(3 ))
Dhundhula sarara tuqaalee cimdii itti aanan keessa darbu barbaadi.
(19,-16) fi (-7, -15) b. (17,-13) fi (17, 8) c. (19, 3) fi (20, 30
P(-2, 6) fi Q(2,-2) yoo ta’e ko’oordineetii (PQ) ̅ bakka 4 walqixati kan qoodu barbaadi.
Hima wal qixa sararaa kan tuqaalee Y(-4, 1) fi Z(2,7) keessa darbuuf
Bifa tuqaalee lamaan barreesi.
Bifa tuqaa- dhundhulaan barreesi.
Bifa tuqaa-qaxxaamuraan barreesi
Bifa waliigalaan barreesi.
Bifa qaxxaamura siiqqeewaniin barreesi.
Hima walqixa sarara l tuqaa P(x0,y0) keessa darbuun sarara l1 f parpandikulaarii ta’u barbaadi
L1: x-5y+3=0 ; P(-1,-2)
L1: y+3x+3=0 ; P(4,-8)
Hima walqixa sarara l tuqaa P(x0,y0) keessa darbuun sarara l1 f wal tarree ta’u barbaadi
L1: 2x-5y+3=0 ; P(-1,2)
L1: 3x+3=0 P(4,-8)
Yoo fageenyi (b,4) fi (0, -2) giddu jiru 10 ta’e gatii b barbaadi.
Ko’oordineetii walakkeessa tuqaalee asiin gadii jiranii barbaadi
(1, 4) fi (-2, 2)
(0, 0) fi (a, b)
(-1/2, √2) fi (√2,-1/2)
a. Fageenya sarara 3y+x-2=0 fi tuqaa (2,-1) giddu jiru barbaadi.
Fageenya sarara y-4x+2=0 fi tuqaa 2y-8x+2=0 giddu jiru barbaadi
Dhundhulli sararoota lamaa (1-m)/(1+m) fi –m ta’e m∈R yoo raroota kofa akkiyuutii sararoota kana giduu jiru barbaadi.
Yoo himni sararoota lamaa ax-2y-1=0 fi 6x-4y-b=0 kan itti aanu yoo qabaatan gatii a fi b barbaadi.
Tuqaa waliin tokko qofaa yoo qabaatan
Wal taree ta’anii sararoota garagaraa yoo ta’an
Tuqaalee heduu yoo waliin qabaatan
Yoo waliif parpandikulaarii ta’an.

Kitaabilee wabii:
“An introductory mathematics course Alemayehu Haile and Yismaw Alemu”
Project 17000, coordinate geometry andtrigonometry, Distance Education, Educational media Gency, Ministry of Education, Addis Abeba,2000.
Mathematics student textbook grade 9-12 , MOE (2002 e.c)

Basic Mathematics II – Math 102

Gaaffilee Shaakalaa Waliigalaa Furmaata Waliin Math 102

Leave a Comment Cancel Reply