Solid Geometry – Math 312

Leave a Comment / Department of Mathematics / By

JI’OMEETIRII JABOO FI DhUQUNQULA
(SOLID GEOMETRY AND SPHERE)
Math 211
Sagantaa Dippiloomaa 10+3
QOPHEESSITOONNI:

  1. AMAAN AADAM
    2. MILIYOON BAYYANAA
    3. TAADDASAA RATTAA
    4. KABBADAA SHUGGUXEE
    (K.B.B CIROO)
    Gulaalaan: Sanbatoo Gurmuu(KBBN) Bara 2007

Qabiyyee
Boqoonnaa Tokko 1
1 Sararootaa fi Diriiroowwan Samii Keessaa 1
1.1 Yaad-rimeewwanii fi Hiikoo Tarmoota Bu’uuraa Ji’oomeetrii Jaboo 2
1.1.1 Tuqaa, Sararaa fi Diriiroo 4
1.1.2 Sararoota Diriir-tokko(Co-plannar Lines) fi Sararoota Iskiwii (Skew Lines) 10
1.1.3 Kofoota Diheediraalii (Dihedral Angles) and Kofoota Jaboo (Solid Angles) 10
1.2 Sararoota wal-tarree fi Dirriiroowwan wal-tarree Samii Keessaa 16
1.3 Sararoota fi Diriiroowwan walii parpeendiikulaarii Samii Keessaa 20
1.4 Tiiramoota Bu’uuraa Sararoota fi Diriiroowwan samii keessaa Muraasa 24
1.5 Ko’ordineetii(Seentota)tti fayyadamuun Samii keessatti Bakka Tuqaan Kenname Tokko Jiru Ibsuu 26
BOQONNAA 2 31
DANAALEE JABOO BEEKAMOO(COMMON SOLID GEOMETRY) POOLIIHEDIROONOTA (POLYHEDRONS) 31
2.1 HIIKOO FI QOQQOODAMA POOLIIHEDIROONOTAA 32
2.1.1 paraleelpaapdii, kiyuubooydii, kiyuubii, piriizimii fi piraamidii 32
2.2 Firaastamii piraamidootaa 42
2.2.1.BAL’INA FI QABEE FIRAASTAMII PIRAAMIDII SIRNAAWAA 43
2.3 Heediroonii baay’ee sirnaawaa(regular polyhedron) 44
BOQONNAA SADII 53
Danaalee Jaboo Diriiroowwan Naanneessuun uumaman (solids of revolution) 53
3.1. Hiikoo Silindarii, Koonii fi Dhunqunqulaa(isfeerii) 53
3.1.1 Silindarii geengawaa Sirrii (right circular cylinder) 53
3.1.2. Bal’ina Dirra Cinaachaa, Bal’ina Dirra fi Qabee silindarii Geengawaa Sirrii 55
3.2. koonota 61
3.2.1. Bal’ina dirra cinaachaa fi bal’ina dirraa 62
3.2. 2. Qabee koonii geengawaa sirrii 64
3.2.3 koonii Muuramaa(Frstum of cone) 67
3.3. Dhuqunquloota 74
Bal’ina Dhuqunqulaa 76
Farastamii dhuqunquula 77
Seektaroota dhuqunqula fi qabee isanni 78
Kitaabilee Wabii 86

Ibsa Koorsichaa
koorsiin kun mata-duree ” Ji’oomeetirii Jaboo” jedhu irratti qophaa’uun kan barbaachiseef barattooti leenjifamtootni danaalee jaboo irratti hubanoo sirrii qabaatanii jiruu fi jireenya isaanii gageessuu keessatti akka itti gargaaramaniifi dha. kanuma bu’uura godhachuun mata-dureewwan ijoo ta’an: sararootaa fi diriiroowwan samii, pooliihediraalota(polyhedrons) fi naannessaan jaboowwanii koorsii kana keessatti ni ilaalamu.
Kaayyoolee Koorsichaa
Leenjifamtootni erga koorsii kana baratanii xumuraniin booda:
Hiikoowwan tarmoota bu’uuraa ji’oomeetrii jaboo keessa jiranii ni beeku.
Hariiroo diriiroo fi samii ni hubatu.
Hiikoowwan danaalee jaboo ni beeku.
Akkaataa fageenya tuqaa fi diriiroo, sararaa fi diiriiroo akkasumas diiriiroowwan lama gidduu itti barbaadan ni beeku.
Akkaataa itti jaboowwan beekamoo gosa gosa isaaniitiin qoodan akkasumas maalummaa pooliihedroonii reegulaarii (regular polyhedron) ni hubatu.
Shallaguu bal’ina fuulota fi qabeewwan jaboowwan beekamoo ni beeku.
Akkaataa formulaawwan bal’na fuulotaa fi qabeewwan jaboowwan beekamoo itti argatan ni beeku
Boqoonnaa Tokko
Sararootaa fi Diriiroowwan Samii Keessaa
Seensa
Ji’oomeetrii keessatti artimeetikii fi aljeebraatti gargaaramuun utuma jiruu, xiyyeeffannoon guddaan waa’ee danaalee ji’oomeetrii irratti dha.
Mata-dureen boqonnaa kanaa mata-dureewwan xixiqqoo shanitti qoodama. Mata-dureewwan xixiqqoo kunis tartiibaan waa’ee Yaad-rimeewwanii fi Hiikoo Tarmoota Bu’uuraa Ji’oomeetrii Jaboo Keessaa, waa’ee sararoota wal-tarree fi dirriiroowwan wal-tarree samii keessaa, wa’ee sararoota waliif parpeendiikulaarii fi diriiroowwan waliif parpeendiikularii, wa’ee tiyooramoota bu’uuraa sararootaa fi diriiroowwan samii keessaa fi wa’ee ko’oordineetota (seentota) gargaaramuun samii keessatti bakka tuqaan tokko jiru ibsuu fa’aa dha.
Kayyoolee Gooroo
Barattootni leenjifamtootni erga mata-duree boqonnaa kanaa baratanii xumuraniin booda:
Hiikoowwan tarmoota bu’uuraa ji’oomeetrii jaboo keessa jiranii ni beeku.
Hariiroo diriiroo fi samii ni hubatu.
Hiikoowwan danaalee jaboo ni beeku.
Akkaataa fageenya tuqaa fi diriiroo, sararaa fi diiriiroo akkasumas diiriiroowwan lama gidduu itti barbaadan ni beeku.

Yaad-rimeewwanii fi Hiikoo Tarmoota Bu’uuraa Ji’oomeetrii Jaboo
Kaayyoo Gooree
Barattoonni erga mata-duree kanaa baratanii xumuraniin booda:
Hiikoowwan tarmoota bu’uuraa ji’oomeetrii jaboo keessa jiranii ni kennu.
Gocha
Samii, ji’oomeetrii jaboo fi dirri maali?
Ji’oomeetrii keessatti artimeetikii fi aljeebraatti gargaaramuun akkuma jiruuti ta’ee xiyyeeffannoon guddaan waa’ee danaalee ji’oomeetrii irratti dha. keessumaayyuu koorsii kana keessatti xiyyeeffannoon guddaan danaalee ji’oomeetirii keessaa waa’ee danaalee ji’oomeetirii jaboo irratti dha. waa’ee danaalee ji’oomeetirii jabootti utuu hin seenin dura yaad-rimeewwan bu’uuraa arfan armaan gadii ilaaluun barbaachisaa dha.
Samiin tuuta tuqaalee ta’ee kan dheerina, dalgee fi furdina hin daangeffamne qabu dha. Samiin nuti keessa jiraannu, , dheerina, dalgee fi furdina hin daangeffamne qabaatuyyuu, qaamoolee adda addaatti qoodamuu ni danda’a. Fiizikaalli jaboon qaama samii daanqeffamaa kan qabatu dha. Qaamni samii daangeffamaa qaama fiizikaalaa jaboon qabamu kun Ji’oomeetirii Jaboo jedhama.
Ji’oomeetirii jaboo jechuun gosa ji’oomeetirii ta’ee wa’ee amaloota danaalee tuqaaleen(qaamni) isaanii guutumaan guutuutti diriiroo tokko qofa irra hin oollee kan qu’atu dha. Karaa biraatiin, kana jechuun ji’oomeetirii jaboon gosa ji’oomeetirii ta’ee wa’ee amaloota danaalee dheerina, dalgee fi furdina daangeffamoo qabanii kan qu’atu jechuu dha. Daangaan danaalee dheerina, dalgee fi furdina daangeffamoo qabanii dirra jedhama.
Dirri qaama danaalee dheerina, dalgee fi furdina daangeffamoo qabanii miti. Dirri dheerina fi dalgee qaba garuu furdina hin qabu. dirri qaamolee adda addaatti qoodamuu danda’a. Daangaan dirraa sarara.
Sararri qaamolee adda addaatti qoodamuu danda’a. Tuqaan qaamolee adda addatti hin qoodamu. Ofumasaatii qobaatti iddoo qabatee taa’a.
Gocha:
Yoo tuqaan, sararrii fi dirrii samii keessa adeemsifaman, tokkoon tokkoon isaanii maal uumama?
Jaboo ji’oomeetiraawaan maal? Hariiroon dirra wajjin qabu hoo?
Ji’oomeetirii keessatti akka seerota bu’uuratti wantootni irratti waliigalamuu danda’an maal jedhamu?
Axyoomii jechuun maali? Pooschuleetiin hoo?
Danaalee ji’oomeetiraawaan maali? Ji’oomeetiriin hoo?
Danaalee jaboo jechuun maali?
Wantoota naannoo keetti argaman keessaa kan fakkeenya danaalee jaboo
Jaboo ji’oomeetiraawaa fi dirra akka itti aanutti ibsuun ni danda’ama.
Jaboo ji’oomeetiraawaan bakka murta’aa samii keessa jiru dha.
Dirri daangaa jaboo ji’oomeetiraawaa tokko daangessu dha. Kara biraaatiin dirri daangaa jaboo ji’oomeetiraawaa tokko jaboo ji’oomeetiraawaa itti aanee jiru irraa yookiin naannoo keessa jiru irraa adda baasu dha.
Ji’oomeetiriin kan barbaachiseef amaloota danaalee ji’oomeetiraawaa qu’achuufidha. Ji’oomeetirii keessatti qixa amansiisaa ta’een akka seerota bu’uraatti wantooti irratti waliigalamuu danda’an hiikoowwanii fi ta’innaawwan jedhamu. ta’innaawan ammoo bakka lamatti qoodamu. Isaanis: agziyoomiiwwanii(axioms) fi pooschuleetota (postulates) jedhamu.
Pooschuleetii jechuun ta’innaan qoyyaba ji;oomeetiraawaa tokko akka sirri ta’uu danda’uutti fudhachuu dha.
Pooschuleetii Dabarsoo(Transference Poostulate) jechuun danaa ji’oomeetirawaa tokko osoo hamma isaa yookiin boca isaa hin jijjiirin iddoo tokkoo gara iddoo biraatti sochoosuun ni danda’ama jechuu dha.
Danaalee ji’oomeetiraawan tuqaalee , sararoota, dirroolee fi jaboolee dha.
Ji’oomeetiriin saayinsii waa’ee amaloota danaalee ji’oomeetiraawaa qu’atu dha.
Danaaleen dheerina, dalgee fi furdina daangeffaman qaban danaalee jaboo (danaalee kal-sadee) jedhamuun beekamu. Gama biraatiin, danaa jaboon danaa diriiroo tokkoo fi sarara diriiricha irra hin jirre kan ofkeessatti qabatu jechuu dha. Fakkeenyaaf, wanta akka sanduuqaa kan keessi isaa duudaa ta’e, dhagaa fi kanneen kana fakkaatan fa’aa dha.

Danaa 1.1:Wanta akka sanduuqaa kan keessi isaa duudaa Danaa 1.2: Dhagaa

Wa’ee danaalee jaboo gadi fageenyaan ibsuuf maalummaa tarmoota akka tuqaa, sarara fi diriiroo amaloota isaanii irratti hunaa’uun beekuun barbaachisaa dha.
Tuqaa, Sararaa fi Diriiroo
Kayyolee Gooree
Barattoonni leenjifamtootni erga mata-duree kanaa baratanii xumuraniin booda:
Amaloota tuqaan, sararrii fi diriiroonn qaban ni ibsu.
Wantoota naannoo isaanii jiran keessaa kanneen yaada tuqaa, sarara fi diriiroo qabatamaan modeelota ta’uun ibsuu danda’an kennu.
Hariiroo tuqaa, sararaa fi diriiroo ni ibsuu.
Agziyoomiiwwan tuqaa, sararrafi diriiroon wal-qabatan muraasa ni ibsu.
Tiyooramiiwwan tuqaa, sararrafi diriiroon wal-qabatan muraasa nimirkaneessu.
Ji’oomeetirii diriiroo keessati tarmoonni akka tuqaa,sararaa fi diriiroo hiikoo akka hin qabne ni beekna. Garuu, tarmoonni kun amaloota qaban irratti hundaa’uun ibsamuu ni danda’u. kanaafuu, qabiyyee kana keessatti amaloota isaanii irratti hundaa’uun wa’een tarmoota kana sadanii ibsama.
Gocha:
Amaloota tuqaan, sararrii fi diriiroon qaban ibsi.
Wantoota naannoo kee jiran keessaa kanneen yaada tuqaa, sarara fi diriiroo qabatamaan modeelota ta’uun ibsuu danda’an tokkoo tokkoo isaaniitiif lama lama kenni.
Tuqaa, sarara fi diriiroo akkaataa armaan gadiitiin ibsuun ni danda’ama.
Tuqaan:
Hamma hin qabu. Kana jechuun tuqaan dheerina, dalgee fi furdina hin qabu jechuu dha.
waan dheerina, dalgee fi furdina hin qabneef kal-dhabee dha.
wanta iddoo qofa qabu dha.
Sararri:
Dheerina qaba garuu dalgee fi furdina hin qabu.
dheerina qabuuf kal-tokkee dha.
Tuqaaleen ni ijaarama.
Diriiroon kallattii qabu hundumaarrattuu jalqabnii fi xumurri isaa utuma kan hin daangeffamne ta’ee jiruu isa ibsuuf garuu kan akka paraleeloogiraamii, yookiin danaalee diriiroo kallattii qaban hundaan daangeffamoo ta’aniin bakka bu’ama. Danaalee diriiroo daangefamoo kanneen biroo caalaa paraleeloogiraamiitu diriiroo ibsuun beekama.

Danaa 1.3: Paraleeloogiraamii
Diriiroon qubeewwan laatiinii gurguddootti gargaaramuun mogaafama. Akkaataan moggaasa diriiroo kunis kanneen armaan gaditti ibsaman keessaa tokkoon raawwatama.
Qubee laatiinii guddaa tuqaa diriiroo irra jiru tokko bakka bu’uun diriirichi moggaafama.
Qubeewwan laatiinii gurguddoo adda addaa lama kan tuqaalee fiixeewwan paraleeloograamii walii faallaa ta’an irratti argaman lama bakka bu’aniin moggaafama.
Qubeewwan laatiinii gurguddoo adda addaa sadii kan tuqaalee sadii diriiroo tokko irra jiraatanii sarara tokko irra hin oollee bakka bu’aniin moggaafama.

Danaa 1.4

Fakkeenyaaf danaa diriiroo(danaa 1.4) armaan olii karaa adda addaa sadan armaan olitti ibsaman keessaa karaa tokkoon moggaasna. kanaafuu, diriiroo(danaa1.4) kana “diriiroo M” yookiin “diriiroo PQ” yookiin “diriiroo ABC” jechuun moggasuu dandeenya.
Diriiroon:
Dheerinaa fi dalgee qaba garuu furdina hin qabu.
waan dheerinaa fi dalgee qabuuf kal-lamee dha.
Sararootaan ni ijaarama.
Tuqaaleen lama danaalee kal-lamee kamiyyuu irra jiran hundumumtu guutumaan guutuutti kan irra ooluu danda’ani dha. Karaa biraatiin, kana jechuun qaamni danaa kal-lamee kamiyyuu guutumaan guutuuti kan irra ooluu dha jechuu dha.
Hubadhu: Dirri hundi diriiroo dha jechuu hin dandeenyu.
Hariiroon tuqaa, sararaa fi diriiroo akkanatti ibsuu dandeenya. Yoo tuqaa sararri tokko yookiin diriiroon tokko qabu fudhannee ilaalle, tuqichi sararicha irra jira yookiin diriiricha irra jira jenna akkasumas sararichi yookiin diriirichi tuqicha keessa darba jenna. Yoo tuqaaleen sarara tokko hundi guutummaatti diriiroo tokko irra jiraatan, sararichi diriiricha irra jira jenna akkasumas diriirichi sararicha keessa darba jenna.
Gocha:
Yoo tuqaaleen lama kan sarara tokkoo diriiroo irra oolan ta’e hariiroon tuqaalee sarara kanaa hundaa fi diriiroo kana gidduu maal ta’a?
Agziyoomii(Axiom)1.1.
Yoo tuqaaleen sararaa tokkoo lama diriiroo irratti ni argamu ta’e tuqaaleen sararichaa hundumtuu diriiricha irratti argamu.

             Danaa1.5

Gocha:
Tuqaalee adda addaa sadii kan sarara tokko irra hin jirre keessaa diriiroo meeqatu darbuu danda’a? Fakkeenya fudhachuun ibsi.

Agziyoomii(Axiom)1.2.
Tuqaalee adda addaa sadii kanneen sarara tokko irra hin jirre keessa diriiroon darbuu danda’u tokkoo fi tokko qofa dha.
Fakkeenyaaf danaa armaan gadii yoo ilaalle, diriiroon tuqaalee sarara tokkoo irra hin jirre sadan: A, B fi P keessa darbuu danda’u diriiroo M qofa.

 Danaa 1.6

Gocha: Sarara tokko keessa diriiroo(wwan) meeqatu darbuu danda’a?
Agziyoomii(Axiom)1.3.
Sarara kenname tokko keessa diriiroowwan lakkaawamanii hin xumuramnetu (infinite planes) darbuu danda’a.
Fakkeenyaaf akka danaa armaan gadii irraa arginutti, diriiroowwan lama: M fi ‘N’tu sarara l keessa darba. Bifuma kanaan utuu itti fufnee sarara l keessa diriiroowwan sadii yookiin afur yookiin shaan………yookiin diriiroowwan lakkaawamanii hin xumuramnetu darba. Kanaafuu, Sarara l keessa diriiroowwan lakkaawamanii hin xumuramnetu (infinite planes) darbuu danda’a.
Danaa 1.7
Agziyoomii(Axiom)1.4.
.Diriiroowwan lama tuqaa tokko yoo waliin qabaatan, yoo xiqqaate tuqaa kan biraa waliin ni qabaatu.
Fakkeenyaaf diriiroo MN fi ‘diriiroo RS’n tuqaa A irratti wal-qaxxaamuran ta’e ,yoo xiqqaate tuqaan biraa ‘B’n kan irratti wal-qaxxaamuran ni qabaatu

                                                                    Danaa 1.8

Agziyoomiiwwan(1.1 – 1.4) kana irraa tiiramoota armaan gadii bu’uureessuun ni danda’ama.
Gocha:
Sararootni wal-qaxaamuran lama diriiroo ni uumuu? Deebiin kee eyyee yoo ta’e meeqa uumu?
Tiiramii(Theorem) 1.1
Sararootni wal-qaxaamuran lama diriiroo tokkoo fi tokko qofa uumu.

Danaa 1.9
Mirkaneessa:
Mee (AB) ⃡ fi (AC) ⃡ tuqaa A irratti wal-qaxxaamuru haa jennu.
Tuqaaleen A, B fi ‘C’n sarara tokko irra akka hin jirre beekamaa dha.
‘Agziyoom 1.2’n tuqaalee: A, B fi C keessa diriiroo tokko, diriiroo N qofatu darba ……….() () dhaan tuqaleen A fi ‘B’n kan (AB) ⃡ fi tuqaaleen A fi ‘C’n kan (AC) ⃡ diriiroo N irra jiru.
(AB) ⃡ fi (AC) ⃡ ‘Agziyoom 1.1’ n diriiroo N irra jiru.
Kanaafuu, (AB) ⃡ fi (AC) ⃡ tuqaa A irratti wal-qaxxaamuran diriiroo N qofa uumu.
Tiyooramii 1.2
Diriiroowwan lama wal-qaxxaamuran taanaan, sararaan wal-qaxxaamuru.
Gocha:
Tiyooramii 1.2 mirkaneessi.
Sararoota Diriir-tokko(Co-plannar Lines) fi Sararoota Iskiwii (Skew Lines)
Gocha:
Sararoota diriir-tokkee (Co-planar lines) jechuun maali?
Hiikoo1.1 Sararoota diriir-tokkee jechuun sararoota gutumaan guututti diriiroo tokko irraa jiran jechuu dha.

                                    Danaa 1.10

Sararootni guutumaan guutuutti diriiroo MN irra jiru. sararootni kun sararoota diriir-tokkee dha.
Hiikoo1.2: Sararootni Iskiwii sararoota lama kanneen diriiroo tokko irra hin jirre yookiin sararoota diriiroon tokko keessa darbuu hin dandeenye dha.
Gocha: Danaa armaan gadii ilaaluudhaan
Sararoota Iskiwii ta’an hunda tarreessi
Sararoota wal-tarree ta’an hunda tarreessi
Danaa 1.11
Kofoota Diheediraalii (Dihedral Angles) and Kofoota Jaboo (Solid Angles)
Mata duree kana jalatti kofoota danaalee adda addaatiin samii keessatti uumaman ilaalla. jalqaba hiikoo kofa diheediraalii, gosoota isaanii fi safaroota isaanii fi akkaataa itti safaraman ilaalla. Itti aansuun waa’ee hiikoo kofoota jaboo, gosoota isaanii fi safaroota isaanii ilaaluudhaan tiiramoota muraasa mirkaneessuu yaalla.
Kaayyoo Gooree
Barattoonni leenjifamtootni erga mata-duree kanaa baratanii xumuraniin booda:
Hiikoo kofa diheediraalii ni kennu
Hiikoo kofa diriiroo kofa diheediraalii ni kennu.
Tiiramoota muraasa mataduree kanaan wal-qabatan ni mirkaneessu.
Tiiramoota mataduree kanaan wal-qabatan tokko tokko ni furu.
Kofoota Diheediraalii
Gocha:
Mee waraqaa tokko walitti dachaasi. Kofti bakka dacha’ina waraqaa kanaatti uumamu kofa akkamii dha?
Sararootni lama yeroo wal-quunnaman tuqaa wa-quunnamtii isaanii irratti kofti kan uumamu ta;uu ni beekna garuu sarara dirriiroowwan lama irratti wal-qaxxaamuranii diriiroowwan kana gidduutti kofti ni uumamaa? yoo uumame kofa akkamii dha?
Hiikoo1.3: Kofti Diheediraalii kofa diriiroowwan sarara irratti wal-quunnaman lama gidduutti uumamu dha. Diriiroowwan lamaan kun fuulota kofa kanaa jedhamu. Akkasumas sararri diriiroowwan lamaan kun irratti wal-qaxxaamuran qarqara kofa kanaa jedhamu.
Gocha: Wantoota naannoo keetti argaman keessaa mee kan fakeenya kofa diheediraalii ta’u tokko himi.

                        Danaa 1.12

Danaa kana irraa akkuma hubatamu, diriiroowwan AB fi CD n sarara BC irratti kofa diheediraalii uumaniiru. Diriiroowwan AB fi CD n kofa kanaaf fuulota isaa yommuu ta’an sararri ‘BC’ n ammoo qarqara isaati. kofti kun diriiroowwan AB fi CD tti gargaaramuun kofa AB-CD jedhamuun moggasamuu danda’a. Mallattoodhaan ta’a. yookiin ammoo kofa kana tuqaa A diriiroo AB fi tuqaa D diriiroo CD irra jiranii fi sarara CB tti gargaaramuun kofa A-BC-D jedhamuun moggaasamuu danda’a. Mallattoodhaan ta’a. Asiitti waan kofti diheediraalii biraa qarqarri isaa BC ta’e hin jirreef kofti kun kofa BC jedhamuun moggaasamuu danda’a. Mallattoodhaan ta’a
Gocha:
Kofti diheediraalii akkamitti safarama?
kofti diriiroo maal akka ta’e ni yaadattaa?
Kofti diheediraalii kofa diriirootiin safarama. Kofti diriiroo kofa diheediraalii kofa xiyyaalee lama kan fuula adda addaa kofa diheediraalii irra jiraatanii tuqaa qarqara kofa diheediraalichaa irra jiru irratti wal-quunnamaniin uumamu dha. Xiyyaaaleen lamaan kun tuqaa qarqara diheediraalii kan irratti wal-quunnaman irratti qarqara kofa diheediraalii kanaaf parpeendiikulaarii ta’u.
Danaa 1.12 armaan olii irraa akka hubatamutti, fi tuqaa F irratti dhaaf parpeendiikulaarii dha. kanaafuu ” “n kofa diriiroo kofa diheediraalii, ta’a.
Fakkeenya: Yoo ta’e, meeqa ta’a?
Deebii
Akkaataa hiikoo armaan olii irraa beekamutti,
Kanaafuu, ta’a.
Hubadhu: safari kofa diriiroo kofa diheediraalii tokkoo safara kofa diheediraalichaa wajjin wal-qixa.
Tiiramii(Theorem)1.3
Yoo safarootni kofoota diriiroo kofoota diheediraalii lamaa wal-qixa ta’an, safarootni kofoota diheediraalii lamaanis wal-qixa.
Gocha:
Tiiramii (Theorem)1.3 mirkaneessi
Hiikoowwan gosoota diriiroo armaan gadii kenni
A. Kofa Akiyuutii D. Kofa Obtiyuusii
B. Kofa Sirrii E. Kofoota Waliin duubaa
C. Kofoota Hirkoo F. Kofoota Guuchisoo
Akkuma ji’oomeetirii diriiroo keessatti kofootni maqaa adda addaa qaban, kofootni diheediraaliitis maqaa adda addaa qabu. Isaanis: Kofa Diheediraalii Akiyuutii, Kofa Diheediraalii Obtiyuusii, Kofa Diheediraalii Sirrii, Kofoota Diheediraalii Waliin duubaa, Kofoota Diheediraalii Hirkoo fi Kofoota Diheediraalii Guuchisoo fa’aa dha.

                                               Danaa 1.13

Danaa 1.13 irraa akka hubatamutti:
kofoota wal-maddii diheediraalii dha.
Yoo ta’e, kofooti diriiroo kofoota guuchisoo(complementary) dha.
Kanaafuu, kofoota diheediraalii guuchisoo dha.
Yoo xiyyoota kallattii faallaa qaban ta’an, kofooti diriiroo kofoota hirkoo(suplementary) dha. Kanaafuu, kofoota diheediraalii hirkoo(suplementary) dha.
Akkuma xiyyi tokko sarara iddoo wal-qixa ta’etti qoodu danda’u,diriiroon walakkaan(half plane) kofoota diheediraalii iddoo walqixatti qoodu danda’a.
danaa armaan olii irratti diriiroo walakkaan, B kofa diheediraalii bakka wal-qixa ta’e lamatti qooda yoo ta’e ta’a jenna.
Gilgaala:
Tuqaaleen kamiyyuu kanneen diriirroo kofa diheediraalii iddoo wal-qixa ta’etti hiru irra jiru yoo ta’e fuulota kofa diheediraalii kana irraa wal-qixa fagaachuu isaanii agarsiisi.
Danaa armaan gadii hubachuudhaan gaafilee armaan gadii deebsi.
Kofoota diheediraalii waliin duubaa hunda tarreessi
Kofoota diheediraalii waliif hirkoo hunda tarreessi

          Danaa 1.14
Hiikoon kofoota diheediraalii obtiyuusii, akkiyuutii, sirrii fi refleksii kenni
Kofa diheediraalii tokko kan safarri isaa kofa diheediraalii koomplimeentii isaa si'a sadii ida'uu 100 n caalu barbaadi
kofti diheediraalii tokkoof guuchisoon isaa tartiibaan safarriisaanii 3x0 fi (5x+2)0 safara kofoota kana lamaanii barbaadi.
Tuqaan Q tokko 4cm fuulota lamaan kofa diheediraalii tokko irraa yoo fagaatee fi 8cm qarqara (edge) diheediraalii kanaa irraa yoo fagaate, safara kofa diheediraalii kanaa barbaadi.

Kofa Jaboo
Gocha:
Kofti jaboon maali?
Yoo diriiroowwan sadii yookiin sadii ol ta’an tartiibaan sararoota tuqaa tokko irratti wal-qaxxaamuran irratti wal-qaxxaamuran ta’e, danaan haala kanaan uumamu kofa jaboo jedhama.Tuqaan sararooti kun irratti wal-qaxxaamuran varteeksii kofa jaboo jedhama.
Sarari diriiroowwan walitti aanan wal-kiphisiisuu qarqara(edge) kofaa jedhama.
diriiroowwan kun ammoo fuulota kofa jaboo kanaa ta’u. Kofti fuulota walitti aanan jidduu jiru kofa diheediraalii kofa jaboo kanaa jedhama.
Kofooti diriiroo qarqaroota walitti aananiin hojjataman kofoota dirraa jedhamu.

                                  Danaa 1.15

Danaa1.15 irraa akka hubatamutti, diriiroowwan AOB, BOC fi AOC tartiibaan tuqaa wal-qaxxaamura sararoota , fi irratti yommuu wal-qaxxaamuran kofa jaboo varteeksiin isaa O ta’e akka uumani dha. Kofti jaboon kunis ‘(O, ABC)’ n mallatteeffama.
Gocha:
Wantoota naannoo keetti argaman keessaa fakkeenya kofa jaboo tokko kenni.
Hiikoo 1.4: Kofti jaboon fuulota sadii qabu kofa jaboo hedroon sadee(Trihedral solid angles) jedhama. Kofti jaboon fuulota sadii ol qabu kofa jaboo hedroon baayee(polyhedral solid angles) jedhama.
Sararoota wal-tarree fi Dirriiroowwan wal-tarree Samii Keessaa
kaayyoolee Gooree:
Barattoonni leenjifamtootni erga mata-duree kanaa baratanii xumuraniin booda:
Hiikoo sararoota samii keessatti wal-tarree ta’anii ni kennu.
Hiikoo sarara fi diriiroo wal-tarree ta’ani ni kennu.
Hiikoo diriiroowwan wal-tarree ta’anii ni kennu.
Tiiramoota waa’ee sararootaa fi diriiroowwan wal-tarree ta’anii ni mirkaneessu .
Gocha:
Sararootni wal-tarree samii keessaa, sararaa fi diriiroo wa-tarree samii keessaa fi diriiroowwan wal-tarree samii keessaa jechuun maal jechuu dha?
Hiikoo1.5: Sararootni wal-tarree samii keessaa sararoota samii keessatti diriiroo tokko irra jiran ta’anii kan wal-hin qaxxaamurre dha.
Hiikoo1.6:
Sarara fi diriiroo wal-tarreen sarara tokkoo fi diriiroo tokko kanneen wal hin qaxxaamurre dha.
Yoo diriiroo fi tuqaa waliin hin qaban ta’e diriroo AB fi (AB) ⃡ waltarree jedhamu.
Gocha:
Wantoota naannoo keetti argaman keessaa kanneen diriiroo fi sarara wal-tarree ta’aniif fakkeenya ta’an kenni
Hiikoo1.7: Diriiroowwan wal-tarree samii keessaa diriiroowwan samii keessatti wal-hin qaxxaamurre dha.

                                                  Danaa 1.18

Danaa 1.18 irraa akkaa hubatamuutti, Diriiroo AB, Diriiroo CD fi Diriiroo EF n wal hin qaxxaamuran. Kanaafuu, dha.
Gocha:
Wantoota naannoo keetti argaman keessaa kanneen diriiroowwan wal-tarreef fakkeenya ta’an kenni
Tiiramii(Theorem)1.4
Yoo diriiroon tokko diriiroowwan wal-tarree lama qaxxaamure, sararootni wal-qaxxaamuriinsaa sararoota wal-tarree dha.

                                                                      Danaa 1.19

Mirkaneessa:
Mee fi n diriiroowwan wl-tarree lama haa ta’an…………..() Mee diriiroon diriiroowwan lamaan fi , fi irratti tartiibaan haa qaxxaamuru………………….() Kan agarsiisuu barbaannu: . fi ……………. () dhaan fi …………….. () dhaan fi wal hin qaxxaamuran….'(1) fi (2)’ n fi diriiroo irra jiru …….() fi () n
……………………………………..(3), (4) fi hiikoo sararoota wal-tarree lamaatiin(Hiikoo 1.5)
Tiiramii(Theorem)1.5
Sararri diriiroo kenname tokko irra hin jirre yoo sarara diriiroo kana irra jiru tokkoof wal-tarree ta’e, sararichi kun diriiroo kana wajjin wal-tarree dha.
Mirkaneessa:
Mee diriiroo irra hin jiru haa jennu…………..() Mee diriiroo irra jira haa jennu…………………() Mee (AB ) ̅ //(CD) ̅haa ta’an…………………………………………..()

                                        Danaa 1.20

Mee n fi keessa darba haa jennu………………….() Kan agarsiisuu barbaannu: . (AB ) ̅ //(MN) ̅ ……………. () fi ()dhaan
fi ……………. () dhaan n diriiroo hin qaxxaamuru……………………….(1), (2) fi () dhaan
………… (AB ) ̅ //Diriiroo MN…………………………………………(3) fi hiikoo sarara fi diriiroo wal-tarreetiin(Hiikoo 1.6)
Tiiramii(Theorem)1.6
Sararootni kennaman kamiyyuu lama diriiroowwan wal-tarree ta’an sadi’iin yoo muraman, reeshoon safara sararoota dhaabbataa muramanii kun tartiibaan wal-qixa dha.
Mirkaneessa:
Mee diriiroowwan wal-tarree tartiibaan tuqaawwan A, E fi B fi tuqaawwan C, H fi D irratti qaxxaamuran haa ta’an.

      Danaa 1.21

Kan agarsiisuu barbaannu:
kan diriiroo tuqaa F irratti qaxxaamuru mul’isi.
, , fi mul’isi.
(EF ) ̅ //(BD) ̅fi (FH ) ̅ //(AC) ̅……………….Tiyooramii 1.4 dhaan
fi ……….
…………(4) fi amala darbaa darbootiin

Gocha:
Danaa keessatti:
yoo , fi ta’an, barbaadi
yoo , fi ta’an, fi barbaadi
Gilgaala: Kanneen armaan gadii mirkaneessi.
Yoo sararootni lama kanneen samii irratti sarara kenname tokko waliin wal-tarree ta’an, sararootni lamaan wal-tarree dha.
Yoo sararri kenname tokko diriiroo kenname tokkoon wal-tarree ta’e, sararootni diriiroo kana irra jiran kanneen sarara kenname kanaa waliin wal-tarree ta’an ni jiru.
Sararoota fi Diriiroowwan walii parpeendiikulaarii Samii Keessaa
Mata-duree kana jalatti waa’ee sararootaa fi diriiroowwan parpeendiikulaarii ta’anii fi diriiroowwan waliif parpeendiikulaarii ta’anii ilaalla.
kaayyoolee Gooree:
Barattoonni leenjifamtootni erga mata-duree kanaa baratanii xumuraniin booda:
Hiikoo sararoota samii keessatti diriiroo kennameef parpeendiiikulaarii ta’anii ni kennu.
Parpeendiikulaarummaa diriiroowwan lama ni ibsu.
Tiyooramoota parpeendiikulaarummaa tokko tokko ni mirkaneessu.
Hiikoo sarara sarara kenname tokko samii keessatti wal-qixatti qooduu(perpendicular bisector) ni kennu.
Tiiramoota waa’ee sarara sarara kenname tokko samii keessatti wal-qixatti qooduu(perpendicular bisector) ni mirkaneessu.
Hiikoo 1.8:Sararri tokko diriiroo kenname tokkoof parpeendiikulaarii dha kan jedhamu yoo sararri kun sararoota diriiroo kana irra jiran tuqaa parpeendikulaarii keessaa lufan hundaaf parpeendiikulaarii ta’e dha.

                                                      Danaa 1.22

Tiiramii(Theorem)1.7
Yoo sararri tokko sararoota lama kanneen tuqaa kenname tokko irratti wal-qaxxaamuraniif parpeendiikulaarii ta’e sararichi kun diriiroo sararoota lamaan kana qabateefis parpeendikulaarii dha.
Mirkaneessa:
Mee fi haata’u…………….() Mee diriiroo n fi keessa darba haajennu………(*)
Kan agarsiifnu:

Danaa 1.23
fi tuqaa irratti wal-qaxxaamuru…………………….() Kanaafuu, ……………….(), (*), () fi Hiikoo 1.6 dhaan.
.
Tiiramii(Theorem)1.9
Sararootni hundinuu kan sarara kenname tokkoof tuqaa kenname tokko irratti parpeendiikulaarii ta’an sararoota diriiroo tokko irratti argamani dha.

Mirkaneessa:
Mee diriiroon MN fi n f tuqaa B irratti parpeendiikulaarii haata’an…………(*)

                                                      Danaa 1.24

Kan agarsiifnu: n diriiroo MN irratti argama.
Diriiroo AF kan fi keessa darbu mulisi….
‘Diriiroo AF’ n diriiroo MN fi peerpeendiikulaariidha.
Garuu, …………() dhaan. ……Hiikoo Haaluma wal-fakkaatuun , . Diriiroo MN keessatti tuqaa B irratti . fi wal-irra oolu. Garuu, diriiroo MN irra jira. Kanaafuu, n diriiroo MN irra argamuun dirqama ta’a. Tiiramii(Theorem)1.10 Yoo sararri kenname tokko diriiroo kenname tokkoof parpeendiikulaarii ta’e diriiroon kamiyyuu kan sarara parpeendiikulaarii ta’e kana keessa darbu, diriiroo kenname kan duraa kanaaf parpeendikulaarii ta’a. Mirkaneessa: Mee diriiroo dhaaf tuqaa B irratti parpeendikulaarii haata’u………..()
Mee n diriiroo kamiyyuu kan keessa darbu haata’u.

             Danaa1.25

Kan agarsiifamu :
Mee diriiroo keessaa kan ‘f parpeendikulaarii ta’e haaijaarru( sarara wal-qaxxaamuriinsa diriiroowwan fi ti)
fi …………() fi Hiikoo 1.8 ‘ ‘n kofa diriiroo … ……….waan ta’eef. …..waan ta’eef. Kanaafuu, dha. Tiiramii(Theorem)1.11 Diriiroowwan wal-qaxxaamuran lama diriiroo sadaffaa tokkoof parpeendiikulaarii yoo ta’an sararri wal-qaxxaamuriinsaa kan diriiroo lamaanii diriiroo sadaffaa kanaaf parpeendiikulaarii ta’a. Mirkaneessa: Mee diriiroo fi diriiroo kanneen sarara irratti wal-qaxxaamuran, diriiroo dhaaf parpeendiikulaarii haata’an……………….()

                 Danaa 1.26

Kan agarsiifnu: .
Tuqaa kan diriiroowwan sadan , fi irratti wal-qaxxaamuran keessa sarara diriiroo parpeendiikulaarii ta’e ijaari.
Sararri diriiroo dhaaf parpeendiikulaarii ta’e kun dirqama diriiroo fi diriiroo irra jiraata…………………….(*)dhaan.
Kun ammoo sararri diriiroo dhaaf parpeendiikulaarii ta’e kun dirqama akka irra oolu agarsiisa.
.
Hiikoo 1.10: Diriiroon sarara dhaabbataa tokkoof samii keessatti tuqaa walakkeessaa sarara kanaa irratti sarara kanaaf parpeendiikulaarii ta’e, qixa hiraa parpeendiikulaarii (perpendicular bisector) sararticha jedhama.
Gocha:
Diriiroo irratti qixa hiraa parpeendiikulaarii sarara dhaabbataa tokkoof meeqatu jira?
Tuqaaleen kamiyyuu kan diriiroo qixa hiraa parpeendiikulaarii kenname tokko irra jiran, tuqaalee fiixee sarara dhaabbataa kanaa irraa wal-qixa fagaatu(Mirkaneessi)
Tiiramoota Bu’uuraa Sararoota fi Diriiroowwan samii keessaa Muraasa
Mata-duree kana jalatti tiyooramootabu’uuraa sararootaa fi diriiroowwan samii keessaa muraasa ilaalla.
Kaayyoo Gooree
Barattoonni leenjifamtootni erga mata-duree kanaa baratanii xumuraniin booda:
Tiiramootabu’uuraa sararootaa fi diriiroowwan samii keessaa muraasa akkaataa itti mirkaneessan ni beeku
Tiiramii(Theorem)1.12
Sararootni qajeeloon diriiroo tokkoof parpeendiikulaarii ta’an wal-tarree dha.
Mirkaneessa: Mee fi haata’an.

                                                   Danaa 1.27

Kan agarsiifamu: .
ijaari akkasumas diriiroo irratti tuqaa keessa kan f parpeendiikulaarii ta’e ijaari.
ijaari.
……………………..Ijaaruun

Tuqaa irratti , fi .
, fi diriiroo tokko irra jiru………….Tiyooramii 1.9
fi diriiroo tokko irra jiru.
Garuu, fi

Tiiramii(Theorem)1.13
Diriiroowwan sarara tokkoof parpeendiikulaarii ta’an wal-tarree dha.
Mirkaneessa:
Mee fi haata’an.
Kan agarsiifamu:
Mee ∦ haajennu.
kun ammoo diriiroowwan, fi samii keessatti waan daangaa hin qabneef, iddoo itti wal-qaxxaamuran ni qabaatu.
Kana irraa diriiroowwan fi n ‘f parpeendiikulaarii miti.
Kun ammoo ” fi haata’an” isa jedhame faallessa.
Ta’innaan ” ∦ ” jedhu doggoggora dha.

Gocha:
Yoo sararri kenname tokko diriiroowwan lamaaf parpeendiikulaarii ta’e, diriirooleen kennaman lamaan wa l-tarree dha.
Yoo sararri kenname tokko diriiroowwan wal-tarree ta’an keessaa tokkoof parpeendiikulaarii ta’e, diriiroo lammaffaaf parpeendiikulaarii ta’a.
Ko’ordineetii(Seentota)tti fayyadamuun Samii keessatti Bakka Tuqaan Kenname Tokko Jiru Ibsuu
Mataduree kana jalatti seentotatti fayyadamuun gargaarsa siiqqeewwan sadan X, Y fi Z tti fayyadamuun bakka tuqaan kenname tokko samii keessatti itti ibsamu ilaala.
Kaayyoo gooree
Barattoonni leenjifamtootni erga mata-duree kanaa baratanii xumuraniin booda:
Siiqqeewwan X, Y fi Z samii irratti ni ijaaru.
Diriiroowwan XY, XZ fi YZ gargar baasuun ni himu.
Siiqqee X, Y fi Z tti gargaaramuun bakka tuqqaa kennamee samii keessatti ni ibsu.
Driiroo keessatti bakki tuqqaan tokko itti argamu sararoota qajeeloo lama kan waliif parpeendiikulaarii ta’anitti gargaaramuun lakkoofsota lama, yommuu ibsamu samii keessatti ammoo bakki tuqqaan tokko itti argamu sararoota qajeeloo sadii kan waliif parpeendiikulaarii ta’anitti gargaaramuun lakkoofsota , ibsama. Kuni ammoo akkaata itti aanutti ta’a.

                                                  Danaa 1.28

Mee fi sararoota qajeeloo tuqaa O irratti waliif parpeendiikulaarii ta’an haajennu. Tuqaa wal-qaxxaamura fi , O kan handhuura jedhamu keessa sarara qajeelaa kan diriiroo XOZ tiif parpeendiikulaarii ta’e mul’isuun (kaasuun) sararoota qajeeloo waliif parpeendiikulaarii ta’an sadii, kan siiqqeewwan ko’oordineetii reektaangulaawaa jedhaman qabaanna. (Diriiroo ‘XOY’ n kan sararoota fi qabate akka diriiroo waraqaan irra jiruutti haayaadnu. Akkasumas sarara OY akka gara nama dubbisaa jiruutti kaallatteefateettiI fi sarara OY’ akka gara duuba waraqaatti kaallatteefateetti haayaadnu. Kaallattiiwwan siiqqeewwanii poozatiiviin akkuma fiixee siiqqeewwanii irratti ibsaman ta’u.
Siiqqeewwan sadan kana lama lamaan fudhachuun diriiroowwan sadii, XOY, YOZ fi ZOX (yookiin XY, YZ fi ZX) kan waliif parpeendiikulaarii ta’antu uumama. Diriiroowwan sadan kunis diriiroowwan ko’oordineetii reektaangulaawaa jedhamu.
Samii keessatti tuqaa P kamiyyuu keessa diriiroowwan sadii kan wal-tarree driirowwan ko’oordineetii sadanii ta’anii siiqeewwan A, B fi C keessa darban tuqan mul’isi(kaasi).
Mee , fi haa jennu.
Lakoofsonni kan tuqaa ‘P’ n ibsaman ko’ordineetota(seentota) P jedhamu. Siiqqeewwan irratti tuqaa O irraa ka’uun kallatti itti safaraman irratti hundaa’uun poozatiivii yookiin nageetiivii ta’uu danda’u.
Garagaltoo kanaa,yoo lakkoofsonni sadii, kennaman ta’e tuqaa P ko’ordineetotni isaa akkaataa armaan gadiitiin argachuu ni danda’ama.
Tartiibaan OA, OB fi OC kan wajjin wal-qixa ta’an safari.
Tartiibaan diriiroowwan A, B fi C keessa darban kan wal-tarree diriiroowwan YZ, ZX fi XZ ta’an mul’isi. Iddoon itti diriiroowwan kun wa-qaxaamuran tuqaa P ta’a.
Hubadhu:
Diriiroowwan ko’ordineetii samii bakka saddeetitti hiru. Tokkoon tokkoon bakkeewwan saddeettan kanaa ooktaantii(octant) jedhamu. Bakki isaan irratti wal-qaxaamuran tuqaa ‘O’ n madda siiqqeewwanii yoo ta’u ko’ordineetotni(seentotni) tuqaa kanaas ta’a.
Diriiroowwan tuqaa P keessa darban sadanii fi diriiroowwan ko’ordineetii sadan,
paraleeloopipdi(parallelopiped) jiraachuun isaa gara ijaarsota biroo ko’ordineetota P argachuuf gargaaraniitti geessan argachuuf gargaaru.
Gocha:
Paraleeloopipdiin, danaa 1.28 fuulota meeqa qaba?
Paraleepipdiin armaan olii fuulota ja’a: qaba.
fageenya parpeendiikulaarii tuqaa n diriiroo YZ irraa qabu dha.
fageenya parpeendiikulaarii tuqaa ‘p’ n diriiroo ZX irraa qabu dha.
fageenya parpeendiikulaarii tuqaa ‘p’ n diriiroo XY irraa qabu dha.
Walumaa gala seentoti tuqaa kamiiyyuu, p, fageenyota parpeendiikulaarii tuqaa ‘P’ n tartiibaan diriiroowwan YZ, ZX fi XY irraa fagaatu dha.
Waan ‘PA’ n diriiroo PAMN kan sarara f parpeendiikulaarii ta’e irra jiruuf, dha.
Adeemsuma wal-fakkaataadhan , fi dha.
Walumaa gala seentoti n tuqaa kamiiyyuu(p), fageenyota handhuura, O kan mila parpeendiikulaarotaa A, B fi C tii gara tuqaa P ttii irraa tartiibaan gara siiqqeewwan ko’ordineetiitti jirani dha.
Gocha:
Tuqaalee armaan gadii diriiroo kam irratti akka argaman ibsi.

Q(x, y,0)
S(0, 0, z)                                          
T(x, 0, z)

Hubadhu: Sararri diriiroo tokkoof parpeendiikulaarii ta’e tokkoo tokkoo sararoota diriiricha irra jiraniif parpeendiikulaarii dha.
Gocha : Fageenyi tuqaalee lama gidduu jiru samii keessatti akkamitti barbaadama?
Samii keessatti fageenyi tuqaalee lama fi gidduu jiru ta’a.

                                                                   Danaa 1.29

Gocha:
Fageenya tuqaalee (4, 3, -6) fi (-2, 1, -3) gidduu jiru barbaadi.
Tuqaaleen (-2, 3, 5), (-1, 6, 6) fi (-4, 9,6) rog-sadee sirrii umuu isaanii agarsiisi.
Seentota tuqaa tuqaalee afur: (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c) fi (0, 0, 0) irraa fageenya wal-qixa ta’e irratti argamuu barbaadi.
Tuqaalee armaan gaditti kennaman samii keessatti bakka isaanii agarsiisi.
i) (3, 7, 2) ii) (4, -3, 5) iii) (-2, 3, -4)

Guduunfaa Boqonnaa
Danaalee ji’oomeetiraawan tuqaalee , sararoota, dirroolee fi jaboolee dha.
Ji’oomeetiriin saayinsii waa’ee amaloota danaalee ji’oomeetiraawaa qu’atu dha
Sararoota diriir-tokkee jechuun sararoota gutumaan guututti diriiroo tokko irraa jiran jechuu dha.
Sararootni Iskiwii sararoota lama kanneen diriiroo tokko irra hin jirre yookiin sararoota diriiroon tokko keessa darbuu hin dandeenye dha.
Kofti Diheediraalii kofa diriiroowwan sarara irratti wal-quunnaman lama gidduutti uumamu dha. Kofti jaboon fuulota sadii qabu kofa jaboo hedroon sadee(Trihedral solid angles) jedhama.
Sararootni wal-tarree samii keessaa sararoota samii keessatti diriiroo tokko irra jiran ta’anii kan wal-hin qaxxaamurre dha.
Sarara fi diriiroo wal-tarreen sarara tokkoo fi diriiroo tokko kanneen wal hin qaxxaamurre dha.
Diriiroowwan wal-tarree samii keessaa diriiroowwan samii keessatti wal-hin qaxxaamurre dha.
Sararri tokko diriiroo kenname tokkoof parpeendiikulaarii dha kan jedhamu yoo sararri kun sararoota diriiroo kana irra jiran hundaaf parpeendiikulaarii ta’e dha.
Diriiroon sarara dhaabbataa tokkoof samii keessatti tuqaa walakkeessaa sarara kanaa irratti sarara kanaaf parpeendiikulaarii ta’e, qixa hiraa parpeendiikulaarii (perpendicular bisector) sararticha jedhama.

BOQONNAA 2
DANAALEE JABOO BEEKAMOO(COMMON SOLID GEOMETRY) POOLIIHEDIROONOTA (POLYHEDRONS)
Seensa: Danaalee jaboon hundi isaanii qarqarri isaanii diriirooleedha. Boqonnaa
kana keessatti kan ilaallu hiikoolee pirizimootaa, piraamidootaa,
qoqqoodama fi qaamota isaanii, bal’innaa fuulotaa fi qabee isaanii,
hiikoolee heediraa baay’ee sirnaawaa (regular polyhedron)fi kkf ilaalla.
Kaayyoo: xumura boqqonnaa kanaa booda barattootni:
Hiikoolee fi amaloota pirizimootaa ni kennu
Foormulaa bal’ina fuulotaa fi qabee ittiin barbaadan ni hubatu.
Foormulaa kanatti fayyadamuudhaan bal’ina fuulotaafi qabee danaalee kanaa ni shallagu.
Heekoo heediroon baay’ee sirnaawaa (regular polyhedrons) ni kennu.
Gosoota hediroon baay’ee sirnaawaa ni himu
2.1 HIIKOO FI QOQQOODAMA POOLIIHEDIROONOTAA
Gocha 2.1
Yoo bal’inni dirra cinaachaa pirizimii sirrii tokkoo 24cm2 ta’ee fi oleen piriizimichaa 3cm ta’e, naannawa pirizimichaa barbaadi
Bal’inni hundee fi oleen pirizimii tokkoo walduraa duubaan 48cm2 fi 18cm yoo ta’e, qabee pirizimichaa barbaadi.
Yoo qabeen kiyuubooyidii 128cm3 , naannawaan hundee 10cm fi oleen kiyuubooyidii 8cm ta’e, bal’ina dirra cinaachaa fi bal’ina dirraa kiyuubooyidichaa barbaadi.

kutaaleen(portions) diriiroowwanii kan diriiroon marfaman fuulota(faces) pooliihediroonii jedhama. Bakki fuulotni lamaan itti walkiphan qarqaroota(edges) pooliihediroonii jedhama.
Bakki qarqarootni lamaan itti walkiphan varteksii pooliihediroonii jedhama.
2.1.1 paraleelpaapdii, kiyuubooydii, kiyuubii, piriizimii fi piraamidii
2.1.1.1) piriizimii
Hiikoo:- piriizimiin pooliihedroonii hundeewwan isaa lamaan walitti galoo ta’anii dha.

Amaloota Piriizimii
Hundeewwan piriizimii waltarree waan ta’aniif rogootni walitti dhufoon hundeewwanii walitti galoodha.
Tokkoon tokkoon cimdiiwwan rogoota cinaachaa waltarree ta’an walitti galoodha.
Cimdooliin qarqaroota cinaachaas walitti galoodha, akkasumas waltarree dha.
Hiikoo: piriizimii sirriin(right prism) piriizimii rogootni cinaachaa hundi hundeewwaniif
Parpendikulaarii ta’anii dha. Rogootni cinaachaa pirizimii sirri hundi reektaangilii dha.

                                                                              Fakkii 3 pirizimii sirrii

Piriizimii sirrii keessatti:
Rogoonni cinaachaa hundinuu hundeef parpandikularii dha.
Fuullonni cinaachaa hunduu rektaangilii dha
Oleen roga cinaachaa waliin walqixaa dha
2.1.1.2 Paraleelpaapdii: Paaralelpaapidiin piriizimii hundeen isaa paraleeloograamii ta’ee dha.

Fakkii 4 Fakkeenyota paraleelpaapdotaa

2.1.1.3. Kiyuubooyidiin(paraleelpaapdii rektaangularawaa) : danaa jaboo hundeen isaa
reektaanglii ta’ee fi qarqarootni cinaachaa hudeewwaniif parpeendiikulaarii
ta’anii dha. fakkii 5 kiyuubooydii
Fakkkii 5 irraa ABCDEFGH’n kiyubooyidii hundeewwan isaa ABCD fi EFGH yoo ta’an, rogootni cinaachaa(fuulota cinaacha) HDCG, ABFE, ADHE fi BCGF ta’u.
Bal’inni dirra kiyuubooydii walqixa ida’ama bal’innoota fuulota rektaangulaawaa waltarree ta’aniiti. Kunis fakkicha irraa bal’inni dirraa = 2ab + 2bc + 2ac = 2(ab+bc +ac)
Qabeen kiyuubooyidii(V) = abc ta’a.
2.1.1.4. Kiyuubii: kiyuubiin danaa jaboo hundeen isaa iskuweerii ta’ee dha.
Fakkii 6 kiyuubii
Yoo dheerinni roga kiyuubii s ta’e,saarbiin d=s√3 fi bal’inni dirra cinaachaa AL=4s2 , bal’inni dirraa AT = 6s2 fi qabeen immo V = s3 ta’a.
Fakkeenya: Qabeen kiyuubii yoo 64sm3 ta’e,dheerina roga cinaachaa,bal’ina dirra cinaachaa
fi dheerina saarbii isaa barbaadi.
Furmaata: yoo s’n dheerinna roga kiyuubichaa ta’e, qabeen V = s3 64cm3 = s3
 s  s = 4cm
Bal’inna dirraa = 6s2  AT = 6(4cm)2 = 6(16cm2) = 96cm2 ta’a.
Saarbiin isaa(d) = s√3 = 4√3 cm
Bal’inaa fi Qabee piriizimii
Bal’ina dirra cinaachaa fi Bal’ina dirraa piriizimii
Bal’inni dirra cinaachaa piriizimii ida’ama bal’ina fuulotaati.
Yoo p’n naannawa hundee fi h’n olee pirizimii ta’e:
Bal’ina dirra cinaachaa = ph
Ba’inni dirraa pirizimii ida’ama bal’ina dirra cinaachaa fi bal’ina hundeewwaniiti.
Bal’inni dirraa = bal’ina dirra cinaachaa + 2 bal’ina hundee ta’a.
Qabee piriizimii
Qabeen piriizimii baay’ataa bal’ina hundee fi olee(hojjaa) piriizimichaati.
Qabeen = bal’ina hundee X olee(hojjaa)  V = Bh
Fakkeenya 1) bal’inna dirra cinaachaa, bal’ina dirraa fi qabee fakkii armaan gaditti
kennamee barbaadi.

Furmaata: bal’inni hundee(B) = AB X BC = 7×5 = 35 sq. yuunitii
Naannawa hundee = 7 + 5 +7+5 = 24 yuunitii
Bal’inni dirra cinaachaa = ph
= 24×4 = 96 sq.yuuniti
Bal’inni dirraa = B(dirra cinaachaa) + 2B
= 96 sq.yuunitii + 2×35 sq.yuunitii
= 96 sq.yuunitii + 70 sq.yuunitii
= 166 sq.yuunitii
Qabeen(V) = Bh = 35×4 = 140 kiyuubiki yuunitii

  1. Fakkii armaan gadii keessatti ABC fi A’B’C’ Hundeewwan Piriizimii sirrii D’n tuqaa BC irraa fi , AB = 10cm , AC = 10cm, BC = 12cm, AD = 8cm, BB’ = 15cm yoo ta’e; bal’inna dirra cinaachaa, bal’ina dirraa fi qabee piriizimichaa barbaadi.

Furmaata: bal’inni hundee(B) = ½ BCXAD = ½ X12cmx8cm = 48cm2
Naannawaan (p) = 10cm +10cm+12cm = 32cm
Bal’inni dirra cinaachaa = ph = 32cm x 15cm = 480cm2
Bal’nni dirraa = bal’ina dirra cinaachaa + 2B
= 480cm2 + 2 x 48cm2
= 480cm2 + 96cm2
= 576cm2
Qabeen (V) = Bh = 48cm2 x 15cm = 720cm3
Gilgaala 2.1
Hundeewwan piriizimii sirrii heeksaagonii sirnaawaa dha. Yoo tokkoon tokkoon rogoota hundee 5cm ta’an fi oleen piriizimichaa 8cm ta’e; kanneen armaan gadii barbaadi.
a) bal’ina dirra cinaachaa b) bal’ina dirraa C) qabee piriizimichaa barbaadi.
2. Hundeewwan pirizimii sirrii rog-sadee Ikulaateralii dha. Yoo rogni hundee tokko 4cm fi
olee(hojjaan) piriizimichaa 5cm ta’e;
Piriizimiin kun rogoota cinaachaa meeqa qaba?
Bal’ina dirra cinaachaa piriizimichaa barbaadi.
Bal’ina dirraa pirizimichaa barbaadi.
Qabee pirizimichaa barbaadi.
bal’inaa dirra cinaachaa, bal’ina dirraa fi qabee kiyuubooyidii dheerinni, dalgee fi oleen
walduraa duubaan akka armaan gaditti kennamanii barbaadi.
5cm, 8cm fi 3cm b) 15cm, 10cm,fi 2cm c) 2.5cm, 8cm fi 12cm
Hundeewwan pirizimii sirrii rog-sadee ayisoosilasii dha. Yoo rogootni hundeewwanii 5cm,5cm fi 6cm ta’anii fi dheerinni olee gara hundee dheeraatti 4cm ta’ee fi olee(hojjaan) piriizimichaa 12cm ta’e;
Piriizimiin kun rogoota cinaachaa meeqa qaba?
Bal’ina dirra cinaachaa piriizimichaa barbaadi.
Bal’ina dirraa pirizimichaa barbaadi.
Qabee pirizimichaa barbaadi.
Dheerinni qarqarootaa kiyuubii 8cm yoo ta’e, kanneen armaan gadii barbaadi.
Bal’ina dirra cinaachaa piriizimichaa barbaadi.
Bal’ina dirraa pirizimichaa barbaadi.
Qabee pirizimichaa barbaadi.
2.1.1.5. Piraamidoota
Gocha: 1 qarqaroonni cinaachaa piraamidii sirnaawaa hundeen isaa rog-sadee ikulaateraalii
ta’e walitti galoo ta’uu mirkaneessi.

Piraamidii Sirnaawaa
Gocha: 1. Yoo dheerinni roga hundee piraamidii sirnaawaa iskuweerii 8sm fi dheerinni roga fuula cinaachaa piraamidichaa ammoo 12sm yoo ta’e bal’ina dirra cinaachaa(AL) , bal’ina dirraa(AT) fi qabee piraamidicha kanaa barbaadi.
Dheerinni roga hundee piraamidii sirnaawaa iskuweerii 8sm fi dheerinni roga cinaachaa piraamidichaa 12sm yoo ta’e, A_L fi A_T barbaadi.
Piraamidii sirnaawaa heksaagoonii keessatti,bal’inni hundee 54√3 〖sm〗^2 dha.Yoo oleen piraamidichaa 10sm ta’e, A_Lfi A_T fi qabee piraamidichaa barbaadi

Bal’ina dirra cinaachaa, bal’ina dirraa fi qabee piraamidii
Bal’inni dirra cinaachaa piraamidii ida’ama bal’inoota fuulotaati.
Yoo p – naannawa hundee fi l – olee shaffaaxa ta’e;
Bal’ina dirra cinaachaa = ½ pl
Bal’inni dirraa piraamidii ida’ama bal’ina dirra cinaachaa fi bal’ina hundeeti.
Bal’ina dirraa = bal’ina dirra cinaachaa + b(hundee)
Qabee piraamidii tokko sadaffaa baay’ataa bal’ina hundee fi olee piraamidichaati.
Qabee(V) = 1/3 Bh

Fakkeenya:
hundeen piraamidii sirnaawaa tokkoo iskuweerii fi rogootni cinaachaa afran rog-sadee ayisoosilasii dha. Yoo rogootni hundee 10cm ta’anii fi oleen piraamidichaa 12cm ta’ee fi oleen shaffaaxaa piraamidichaa 13cm ta’e, kanneen armaan gadii barbaadi.
bal’ina dirra cinaachaa b) bal’ina dirraa c) qabee piraamidichaa barbaadi.

Furmaata: l = 13cm, h = 12cm, rogootni hundee (s) = 10cm
Naannawa hundee = 10cm +10cm+10cm+10cm = 40cm
Bal’ina hundee(B) = s2 = (10cm)2 = 100cm2
Bal’inni dirra cinaachaa = ½ p l
= ½ x40cm x 13cm
= 20cm x 13cm
= 260cm2
Bal’ina dirraa = bal’ina dirra cinaachaa + B
= 260cm2 + 100cm2 = 360cm2
Qabee (V) = 1/3 Bh = 1/3 x100cm2 x 12cm = 400cm3
Amaloota piraamidii sirnaawaa
Fuulotni cinaachaa piraamidii sirnaawaa rog-sadee ayisoosilasii dha.
Fuulotni cinaachaa piraamidii sirnaawaa walitti galoo dha.

                Gilgaala 2.2
Piraamidiin sirnaawaan hundeen isaa rog-jahee(heexaagonii) ABCDEF  fi varteksiin isaa V yoo ta’ee fi dheerinni roga hundee tokkoo 2.5cm fi hojjaan shaffaaxni 6cm ta’e:
Bal’ina dirra cinaachaa   b) bal’ina dirraa   c) qabee piraamidichaa barbaadi.
Yoo l  - hojjaa shaffaaxaa fi s- dheerinna rogaa hundee piraamidii tokkoo ta’an, gaaffiilee a – b Jiraniif bal’naa dirraa cinaachaa fi bal’ina dirraa barbaadi. 
Yoo hundeen iskuweerii ta’ee, s = 12cm fi l =10cm
Yoo hundeen rog-sadee ta’ee, s = 8ft fi l =10ft
Yoo h - hojja fi s- dheerinna rogaa hundee piraamidii tokkoo ta’an, gaaffiilee a – b Jiraniif qabee piraamidichaa barbaadi.
Bal’inni hundee 144cm2 fi h = 12cm
Yoo hundeen iskuweerii ta’ee, s = 22cm fi h=14cm
Qabee piraamidii kan hundeen isaa rog-sadee dheerinni rogoota  isaa 15cm, 14cm fi 13cm ta’ee fi hojjaan isaa 10cm ta’ee barbaadi.
Bal’ina dirra cinaachaa, bal’ina dirraa fi qabee piraamidii sirnaawaa kan hojjaan isaa 15cm fi hundeen iskuweerii dheerinni rogoota isaa 16cm ta’ee barbaadi.

Teramii: muramni piraamidii kamiiyyuu kan diriiroo hundee isaa waliin wal-tarree
ta’een murame hundee piraamidichaa waliin walfakkaata.
Reeshoon bal’ina murama kanaa gara bal’ina hundeetti walqixa ta’a
reeshoo iskuweerii fageenya muramni kun varteksii irraa qabuu gara
iskuweerii hojjaa piraamidichaati.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Mirkaana: i) ABCD A’B’C’D’ ta’uu agarsiisuuf ABCD fi A’B’C’D’ waltarree waan ta’aniif

Kana irraa <DAB <D’A’B’, <ABC <A’B’C’ fi <BCD <B’C’D’ ta’a.
Gama birootiin ta’a.
Kana irraa:
Kanaafuu ta’a.
 ABCD A’B’C’D’ ta’a.
ii) mee sarara dhaabbataa tuqaa O irraa diriiroo ABCD dhaaf parpendikulaarii
ta’e haata’u.
mee sararri dhaabbataan kun diriiroo A’B’C’D’ tuqaa P’ irratti haa qaxxaamuru.
fi ijaari. ABCD A’B’C’D’ waan ta’eef, Ji’oomeetirii diriiroo irraa
(a(A’B’C’D’))/(a(ABCD)) = 〖(A’B’)〗^2/〖(AB)〗^2 ta’a.
Amma immoo  A’P’O ~ APO waan ta’eef
Akkasumas  A’B’O ~ ABO waan ta’eef
kanneen lamaan irraa ta’a.(darbaadarboo)
kanaafuu:  (a(A’B’C’D’))/(a(ABCD)) = ta’a.

 Firaastamii piraamidootaa

Hiikoo: yoo piraamidiin tokko diriiroo hundee isaa waliin waltarree ta’een murame, qaamni piraamidii kanaa kan hundee isaa fi bakka murama isaa gidduu
jiru firaastamii piraamidichaa jedhama.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Firaastamiin piraamidii qaama hundee ABCD fi A’B’C’D’ gidduu jiruu dha.

ABCD fi A’B’C’D’ hundeewwan firaastamii piraamidichaati. Fageenyi S hanga S’
jiru hojjaa shaffaaxa fi fageenyi p hanga p’ jiru hojjaa firaastamichaa jedhama.
Fuulotni cinaachaa kan firaastamichaa tiraappiziyeemotaa dha.
Hub:
Oleen firastamii piraamidii sarara parpandikularii hundeewwani gidduuti.
Fuulonni cinaachaa firastamii piraamidii tiraappiziyamii.
Fuloonni cinaachaa firastamii sirnaawaa piraamidii tiraappiziyamii ayisoosilasii walitti galoo dha.
Oleen shafaxaa firastamii sirnaawaa piraamidii olee fuulota cinaachaa kamiiyyuuti.
Bal’inni fuulota cinaachaa, A_L’n ida’ama bal’ina fuulota cinaachaati.
Bal’inni dirra cinaachaa, A_T’n ida’ama bal’ina hundeewwanii fi A_L ti.

2.2.1.BAL’INA FI QABEE FIRAASTAMII PIRAAMIDII SIRNAAWAA
Bal’inni fuulota(dirra) cinaachaa firastamii piraamidii sirnaawaa walakkaa baay’ataa olee shafaxaa fi ida’ama naannawaa hundeewwaniiti.
Yoo P fi P’ naannaawaa hundee jalaa fi hundee gubbaa firastamii piraamidii sirnaawaa duraa duubaan ta’an:
〖 A〗_L=1/2 L(P+P^’) ta’a.
Bal’inni dirra cinaachaa firastamii piraamidii sirnaawaa ida’ama A_L fi bal’ina hundee gubbaa fi jalaati.
〖 A〗_T=A_L+A_B+A_B’
Bal’inii hundeelee firastamii B fi B’ fi oleen isaa h yoo ta’e, qabeen isaa 1/3 h(B+√(BB^’ )+B’) ta’a.
Fakkeenya:Hundeen jalaa fi gubbaa firastamii piraamidii sirnaawaa yoo iskuweerii dheerinni roga isaa 4sm fi 2sm duraa duubaan ta’ee fi oleen shafaxaa isaa 6sm yoo ta’e, A_L,A_T fi V barbaadi.
Furmaata: A_L=1/2 L(P+P^’ )=A_L=1/2 6((4+4+4+4)+(2+2+2+2))=72sm^2 ta’a.
〖 A〗_T=A_L+A_B+A_B’=72sm^2+〖(4)〗^2+〖(2)〗^2=92sm^2 ta’a.
Gilgaalaa:

  1. Qabeen firastamii piraamidii sirnawaa rog-sadawaa hundeewwan isaanii 10sm fi 8sm fi olee 12sm barbaadi.
  2. piraamidii hundeen isaa iskuweerii rogni isaa 5cm ta’e tokko oleen isaa 8cm yoo ta’e kanneen armaan gadii barbaadi.
    a) bal’ina muraa fageenya: i) 3cm hundee irraa qabu
    ii) 3cm varteksii irraa qabu barbaadi
    b) qabee firaastamii oleen(hojjaan) isaa 5cm ta’ee barbaadi.
  3. hundeen jalaa firastamii piraamidii sirnaawaa iskuweerii rogni isaa
    8cm fi hundeen irraa immoo iskuweerii rogni isaa 5cm ta’ee fi
    oleen shaffaaxaa isaa 6cm yoo ta’e;
    Bal’ina dirra cinaachaa b) bal’ina dirraa
    c) qabee firastamichaa barbaadi.
  4. Firaastamiin oleen isaa 4cm ta’e tokko piraamidii sirnaawaa hundeen isaa iskuweerii fuulotni cinaachaa isaa rog-sadee ikkulaateraalii rogni isaa 4 ta’e irraa tolfame yoo ta’e;
    a) qabee firaastamii b) qabee piraamidii tokko
    c) bal’ina dirra cinaachaa firaastamii
    d) bal’ina dirra firaastamii barbaadi.
    Heediroonii baay’ee sirnaawaa(regular polyhedron)
    Hededirooniin baay’ee sirnaawaan danaa fuulotni isaa hundi fuulota rog-baay’ee sirnaawaa walitti galoo rogoota rog-baay’ee safari isaanii walqixa ta’anii varteksii irratti walqunnamaniin uumamuudha.
    Kana jechuun: 1. Fuulotni isaa rog-baay’ee walqixxaa’aa dha
    2. Fuulotni isaa Rog-baay’een walitti galoo dha.
    Hededirooniin baay’ee sirnaawaan bakka shanitti qoodama.
    Isaanis: teetiraahediroonii, kiyuubii, oktaahediroon, duu-deekaaheediroonii fi ayikosaahediroonii dha. Rog-baay’een sirnaawaan kunniin jaboo pilaatoonikii jedhamu Fakkeenyota hediroonii baay’ee sirnaawaa Kiyuubii
    Hiikoo: Hedrooniin baay’een kofootni jaboon isaanii fuulota iskuweerii ta’an sadiin
    uumamu kiyuubii jedhama.
    kiyuubii
    Kiyuubiin:
    i. fuulota jaha qaba. ii. Qarqaroota kudha lama qaba iii. Varteksoota saddeet qaba.
    Yoo dheerinni roga kiyuubii s ta’e,saarbiin d=s√3 fi bal’inni dirra cinaachaa AL=4s2 , bal’inni dirraa AT = 6s2 fi qabeen immo V = s3 ta’a.
    Gocha: 1. yoo saarbiin kiyuubii 12cm ta’e;
    a) bal’ina dirra cinaachaa b) bal’ina dirraa c) qabee kiyuubii kanaa barbaadi.
    2. Qabeen kiyuubii yoo 64sm3 ta’e,dheerina roga cinaachaa,bal’ina dirra cinaachaa
    fi dheerina saarbii isaa barbaadi.
    3. Bal’nni dirra kiyuubii xcm2 yoo ta’ee fi qabee isaa yoo ta’e, saarbii
    kiyuubichaa barbaadi.
    Hedroon sadee sirnaawaa(Tetrahedron)
    Hiikoo: Hedroon baay’een tokkoon tokkoon kofa jaboo isaa rog-sadee ikkulaateraalii
    ta’an sadiin uumame hedroon sadee jedhama.
    Hedroon- sadee Hediroon-sadee sirnaawaan:
    i. fuulota afur qaba. iii. Qarqaroota jaha qaba
    ii. Varteksoota afur qaba. Iv. Kofoota jaboo afur qaba
    Gocha:
    heedroon-sadeen danaa jaboo rog-sadee ikulaateraalii walitti galoo ta’an afur irraa uumamee dha. Yoo dheerinni roga rog-sadichaa 10.7cm, hojjaan shaffaaxaa 9.27 fi hojjaan piraamidichaa 8.74cm ta’e, kanneen armaan gadii barbaadi.
    Bal’ina hundee hedroon-sadichaa c) bal’ina dirraa hedroon-sadichaa
    Bal’ina dirra cinaachaa hedroon-sadichaa d) qabee hedroon-sadichaa
    Yoo heedroon-sadeen tokko rog-sadee ikulaateraalii dheerinni rogoota isaa 8cm irraa yoo uumame ta’e, kanneen armaan gadii barbaadi.
    Bal’ina hundee hedroon-sadichaa c) bal’ina dirraa hedroon-sadichaa
    Bal’ina dirra cinaachaa hedroon-sadichaa d) qabee hedroon-sadichaa
    Hedroon-saddeet sirnaawaa (regular octahedron)
    Hiikoo: Hedroon baay’een tokkoon tokkoon kofa jaboo isaa rog-sadee ikkulaateraalii ta’an
    afuriin uumame hedroon saddeet jedhama.
    hedron-saddeet
    Hedroon-saddet sirnaawaan:
    i. Fuulota saddeet qaba
    ii. Varteksoota jaha qaba
    iii. qarqaroota 12 qaba
    Fakkeenya: Heedroon-saddeet sirnaawaa kan qarqarri isaa 2m ta’eef;
    Dheerinna saarbii isaa b) bal’ina dirraa c) qabee
    d) safara kofa daayhedraalii isaa barbaadi. Heedroon-saddeet piraamidoota lama kanneen waliif fuullee ta’an irraa hojjetama. Isaan lamaanuu hundeen isaanii ABCD ta’a. Isaan lamaan keessaa Karaa gubbaa qofti yoo ilaallame
    Mee fi O’n tuqaa walakkeessaa iskuweerii ABCD haa ta’u,
    walqixatti kuta.
    AB = 2m waan ta’eef, RD = 1m fi RO = 1m
    PR = RDtan600 = ta’a.
    Rog-sadee kofa sirrii irraa
    (OP)2 = (PR)2 – (OR)2 = ( )2 – (1m)2 = 3m2 – 1m2 = 2m2
    (OP)2 = 2m2 OP =
    Saarbiin hedroon-saddeet kun 2OP = 2 ta’a.
    b) Bal’inni dirraa = 8bal’ina = 8 (1/2 )(2m)( ) = 8
    c) Qabeen(V) = 2(qabeen piraaamdii varteksiin isaa p ta’e dha.
    = 2(1/3(OP)xbali’ina hundee)
    = 2[1/3 x x (2m)2
    =
    Kofti daayhedraalii = 2s(<PRO)
    Garuu tan(<PRO) =
    s(<PRO) = 54.70 ta’a.
    Kanaafuu safari kofa daayhedraalii = 2×54.70 = 109.40
    Hedron-kudha lamee sirnaawaa(Regular Dodecahedron)
    Hiikoo : Hedroon baay’een tokkoon tokkoon kofa jaboo isaa fuulota rog-shanee walqixxaa’aa ta’an sadiin uumame hedroon- kudha lama jedhama.
    Hedroon- kudha lamee
    Hedroon- kudha lamee sirnaawaan:
    i. Fuulota 12 qaba ii. Varteksoota 20 qaba iii. qarqaroota 30 qaba
    Heedroon-digdam sirnaawaa(Reegulaar Icosahedron)
    Hiikoo : Hedroon baay’een tokkoon tokkoon kofa jaboo isaa fuulota rog-sadee ikulaateraalii ta’an shaniin uumame hedroon- digdam jedhama.
    Hedroon-digdam Hedroon- digdam sirnaawaan:
    i. Fuulota 20 qaba
    ii. Varteksoota 12 qaba
    iii. qarqaroota 30 qaba
    Fakkeenya: Hedroon- digdam sirnaawaa ta’e kan kofootni jaboon isaa rog-sadoota ikkulaateraalii dheerinni rogoota isaanii 4cm ta’eef;
    Bal’inna dirraa b) qabee isaa barbaadi Furmaata: a) Rog-sadootni fuulota ta’an hundinuu rog-sadoota ikkulaateraalii waan ta’anii fi dheerinni rogoota isaanii 4cm waa

n ta’aniif bal’inna dirra tokko fudhachuun:
b(ABC) = ½ (4×4)sin600 = 2x4sin600 = 8x(√3)/2 = 4 ta’a.

                                       A
                4cm        4cm
            B                     4cm               C

Walumaagalatti rog-sadoota 20 waan qabnuuf, bal’inni dirraa = 20(4 )
= 80 ta’a.
Hedroon digdamni kun danaalee jaboo ta’an saditti qoodama. Isaan keessaa lama piraamidoota walitti galoo ta’anii fi sadaffaan pirizimii sirrii hundeen isaa rog-shanee sirnaawaa ta’e fi dheerinni rogoota isaa 4cm ta’ee dha.
Hub. Rog-baay’een baay’inni rogoota isaa n ta’e hundaaf bal’inni isaa
A = ½ nr2sin ta’a.
Kanaafuu bal’inni rog-shanee sirnaawaa(A) = ½ x5xr2 sin =
Dheerinni rogootaa yoo S ta’e, S = 2rsin ta’a. Garuu S = 4cm waan ta’eef;
4 = 2rsin  2 = rsin360  r =
Kanaafuu: A = 2rsin
Hojjaan pirizimichaa hojjaa rog-sadee ikkulaateraalii dirra pirizimichaa ta’a.
4cm cos300 = h/4  h = 4 cos300 = 2
4cm h hojjaan pirizimichaa h’ yo ta;e, h’2 + r2 = 42 ta’a
300 4cm h’2 = 16 – r2  h’ =
h’ =
qabeen piraamidii tokko(V) =
qabeen piraamidii lamaanii(V) = 2
qabeen pirizimichaa immoo(V) = bal’ina hundee hjjaa pirizimichaa
=
=
Kanaafuu qabeen heedrn-digdama kan ta’u
V = 2
V =
V =
Moodela hediroonii baay’ee sirnaawaa hojjechuuf saaphana(net) armaan gadii fayyadamuu dandeessa.
Tartiibni `isaa:
1. Fakkii kenname waraqaa qulqulluu irra ijaari.
2. Bakka sarara gurraachaa(solid line) tti mumuri(kukuti). Bakka sarara ciccitatti dachaasi,
3. bakka dacha’etti walqabsiisi.

CUUNFAA BOQONNAA
Poolii hedirooniin danaa jaboo ta’ee makoo dirroota(surfaces) diriiroon
marfamaniin kan uumamuu dha.
piriizimiin pooliihedroonii hundeewwan isaa lamaan walitti galoo ta’anii dha.
piriizimii sirriin(right prism) piriizimii rogootni cinaachaa hundi hundeewwaniif
Parpendikulaarii ta’anii dha. Rogootni cinaachaa pirizimii sirri hundi reektaangilii dha.
Piriizimii sirrii keessatti:
Rogoonni cinaachaa hundinuu hundeef parpandikularii dha.
Fuullonni cinaachaa hunduu rektaangilii dha
Oleen roga cinaachaa waliin walqixaa dha
Paaralelpaapidiin piriizimii hundeen isaa paraleeloograamii ta’ee dha.
Kiyuubooyidiin(paraleelpaapdii rektaangularawaa) danaa jaboo hundeen isaa
reektaanglii ta’ee fi qarqarootni cinaachaa hudeewwaniif parpeendiikulaarii ta’anii dha.
kiyuubiin danaa jaboo hundeen isaa iskuweerii ta’ee dha.
Fuulotni cinaachaa piraamidii sirnaawaa rog-sadee ayisoosilasii dha.
Fuulotni cinaachaa piraamidii sirnaawaa walitti galoo dha.
yoo piraamidiin tokko diriiroo hundee isaa waliin waltarree ta’een murame, qaamni piraamidii kanaa kan hundee isaa fi bakka murama isaa gidduu jiru firaastamii piraamidichaa jedhama.
Hededirooniin baay’ee sirnaawaan danaa fuulotni isaa hundi fuulota rog-baay’ee sirnaawaa walitti galoo rogoota rog-baay’ee safari isaanii walqixa ta’anii varteksii irratti walqunnamaniin uumamuudha.
Hedrooniin baay’een kofootni jaboon isaanii fuulota iskuweerii ta’an sadiin
uumamu kiyuubii jedhama.
Hedroon baay’een tokkoon tokkoon kofa jaboo isaa rog-sadee ikkulaateraalii
ta’an sadiin uumame hedroon sadee jedhama.
Hedroon baay’een tokkoon tokkoon kofa jaboo isaa rog-sadee ikkulaateraalii ta’an
afuriin uumame hedroon saddeet jedhama.
Hedroon baay’een tokkoon tokkoon kofa jaboo isaa fuulota rog-shanee walqixxaa’aa ta’an sadiin uumame hedroon- kudha lama jedhama.
Hedroon baay’een tokkoon tokkoon kofa jaboo isaa fuulota rog-sadee ikulaateraalii ta’an shaniin uumame hedroon- digdam jedhama.

BOQONNAA SADII
Danaalee Jaboo Diriiroowwan Naanneessuun uumaman (solids of revolution)
Kaayyoo: xumuura boqonnaa kana booda
Hiikoolee silindaroota geengawoo sirri, koonotaa fi Dhuqunqulaa akkasumaas qaamota isaanii ni keennu.
Akkaataa silindarii geengawoon sirri, koonota sirri fi dhuqunqullii itt uumaman ni himu
Foormuulaa Bal’ina dirraa fi qabee danaalee jaboo naanneessuudahan uumaman ni kaa’u.
Piroobleemota kanneen waliin walqabatan ni furu.
3.1. Hiikoo Silindarii, Koonii fi Dhunqunqulaa(isfeerii)
3.1.1 Silindarii geengawaa Sirrii (right circular cylinder)
Mee Reekitaanglii ABCD haa fudhannu

                  Fakkii 3.1

Yeroo Rekitaangliin ABCD, Roga AB akka siiqqee naanneessu ti fudhate irra naannewe danaa armaan gadii arganna.

              Fakkii 3.2

Rogoonni CB fi DA’n geengota walitti galoo fi walif waltarree ta’an uumu.
Hiikoo
Danaan jaboo reektaangilii tokko Rogoota isaa keessaa tokko akka siiqqeetti fudhachuudhaan Roga kana irra naanneessuudhaan argannu silindarii geengawoo sirrii jedhama.
Danaa armaan olii irratti AB hojjaa silindarichaa yoo jedhamu geengonni guubbaa fi jala lamaan hundeelee silindarichaa jedhamu.
Gocha:/
Mee wantoota Naannoo keessan keessa jiran keessaa wantoota silindaroota bakka bu’uu danda’an sadii tarreessi
Mee waraqaa bifa Reekitaangilii qabu tokko fudhadhuuti rogoonni lamaan waliif fuullee ta’an hanga waltuqanitti kana marii yeroo kana waraqaan kun dirra cinaachaa kan silindari geengawoo sirrii ta’a. Gubba jala isaa geengota walitti galoo ta’an uuma.
Fakkii 3.3
3.1.2. Bal’ina Dirra Cinaachaa, Bal’ina Dirra fi Qabee silindarii Geengawaa Sirrii
Bal’inni dirra cinaachaa kan silindarii geengwoo sirrii ta’ee kun bal’ina waraqaa Reekitaangulaawaa fudhachuudhaan silindarticha irraa hojjattee ti ta’a.

                     Fakkii 3.4

AB’n yeroo walitti dhufu hundee jalaa waan uumuf fi hundeen jalaa kun geengoo waanta’eef AB = b = naannawaaa geengichaa ta’a
b=2πr ta’a
Karaa bal’inni waraqaa Reektaangilichaa kan ta’u bh dha.
bh=2πrh ta’a.
bh’n bal’ina reektaangilichaa ti garuu akka armaan olitti ibsametti dirra cinaachaa silindarii kan uumamu reektaangilihaa irra waan ta’eef bal’inni dirra cinaachaa bh ta’a jechuu dha.
Kanaafuu, balina dirra cinaachaa (Bdc) silindarii geengawaa sirrii

Bal’inni dirraa( Bd) kan silindarii geengawaa sirrii ta’e ida’ama bal’ina dirra cinaachaa fi bal’ina hundeewwaan lamaanii ta’a.
Bal’inni hundeewwaan(Bh) lamaanii = 2πr^2 dha.
Kanaafuu, bal’inni dirraa ( Bd) silindarii geengawaa sirrii
Bal’inni dirraa( Bd) = Bdc + Bh
B_d=2πrh+2πr^2
B_d=2πr(h+r)

Mee piriizimii tokko kan hundeen isaa Rog – baayy’ee sirnaawaa ta’e fudhadhu. Rog – baayy’een sirnaawaan kun yoo baay’inni rogoota isaa haalaan dabalaa deemee rog – baayyeen kun maal fakkaacha deema? Fakkii armaan gadii ilaali

          Fakkii 3.5

Qabeen silindarii geengawoo sirrii tokko
Q = (Bal’ina hundee silindarichaa ) x (hojjaa silindarichaa)
Bal’ina hundee (Bh) silindarii geengawoo sirri = πr^2 dha.
Kanaafuu, qabeen silindarii geengawoo sirrii

                                     Q=B_h x h
                             Q=πr^2 h  ta’a.

Gocha
Yoo siilidarii geengawa sirrii irrati r’n raadiyasii hundee , d’n diyaametiiri hundee , h’n hojjaa , Bdc’n bal’ina dirra cinaachaa ,Bd’n bal’ina dirraa fi Q’n qabee yoo ta’e, kanneen armaan gadii barbaadi.

  1. Yoo d=7cm ,h=2cm ta’e Bdc fi Bd barbaadi.
  2. Yoo h= 7cm ,Bd= 924cm2 ,ta’e r fi Bdc barbaadi.
  3. Foormulaa Bd=2rh+2r2 jedhu irraa Bd fi Bdc fayyadamuun barbaadi, akkasumas r fi Bdc fayyadamuun h barbaadi.
    4.yoo r=2cm,h=2r cm ta’e Bdc ,Bd fi Q barbaadi.
    Fakkeenya
    Silindarii geengawoo sirrii kan bal’inni hundee isaa 81π〖cm〗^2ta’eef fi hojjaan isaa 10cm ta’eef
    Bal’ina dirra cinaachaa (Bdc)
    Bal’ina dirraa (Bd)
    Qabee barbaadi
    Furmaataa
    B_(dc )=2πrh ta’a
    Garuu bal’inni hundee Bh = πr^2 81π〖cm〗^2= πr^2
    81 cm2 = r2 `
    81 cm2 = r2
    9cm = r
    Kanaafuu, B_dc=(2π 9cm)10cm
    B_dc=180π〖cm〗^2 B_d=2πr(r+h)=(2π 9cm)(9cm+10cm) = 342π〖cm〗^2
    Q= πr^2 h
    Q= π〖(9cm)〗^2 10cm
    =810π〖cm〗^3
    Dippoon zayitii kan bifa silindarawaa qabu tokko dheerinni isaa 10m fi naannoon hundee isaa4πm yoo ta’e
    Bal’ina dirra cinaachaa (Bdc)
    Bal’ina dirraa (Bd)
    Qabee barbaadi
    Furmaataa
    B_dc=2πrh
    Garuu naannoon hundee N = 2πr
    4πm=2πr
    r=2m
    Kanaafuu, B_dc=2π(2m)10m=40πm^2 ta’a B_d=2πr(r+h)
    =2π(2m)(2m+10m)
    =48πm^2
    Q= πr^2 h
    = π(2m)^2 (10m)
    =40πm^3 ta’a
    Hiikoo : Silindarii shafaxaa (oblique) silindarii qaamnii isaa hundee isaatiif parpeendikulaarii hintaanee dha. Fakkii 3.6

Qabeen silindarii shafaxaa bal’ina hundee isaa hojjaa isaatiin baay’isuudhaan arganne.
Q = (Bh)(h)
ta’a (r – raadiyasii hundee silidarii ta’a)
(h – hojjaa parpeendikulaarii ta’a)
Gilgaala
Waraqaan bifa iskuweerii dheerinni rogoota isaa 21cm ta’e tokko rogaa isaa tokko irra naannessuun bifa silindarii yoo qabaate silindarii kanaaf
Marsaa (naannoo ) hundee isaa barbaadi
Bal’ina dirra cinaachaa (Bdc)
Bal’ina dirraa (Bd)
Qabee barbaadi
Danaa armaan gadii irratti pirizimii sirnaawaa hundeen isaa rog – shanee sirnaawaa dheerinni rogoota isaa 7cm ta’e tokko silindarii geengawoo sirrii tiin yoo marfamee Qabee bakka piriztichaa fi silindartichh jidduu jiruu barbaadi.

Fakkii 3.7

Meeshaan Caalaan nyaata isaa ittin mana barumsaa geeffatu tokko gubbaan isaa walakkaa silindarii geengawaa sirrii ta’e jallii isaa pirizmii reekitaanglawaa yoo ta’u bifa armaan gadii yoo qabaate

Fakkii 3.8
Bal’ina dirra cinaachaa (Bdc)
Bal’ina dirraa (Bd)
Qabee barbaadi
Danaa armaan gadii hubachudhan deebii keenni.

            Fakkii 3.9     
Bal’ina qaama silindarticha ala jiruu barbaadi 
Qabee qaama silindarticha ala jiruu barbaadi. 
Silindariin geengawoo sirri ta’e tokko diriiroo tokkoon akka armaan gadditt yoo  murame.

Fakkii 3.10
Bal’inni dirra cinaacha isaa 2πr(h_(1+h_2 )/2) ta’uu isaa agarsiisi.
Qabeen isaa πr^2 (h_(1+ h_2 )/2) ta’uu isaa agarsiisi.
Danaa armaan gadii hubachuudhan deebii keenni.

  Fakkii 3.11 
Bal’ina dirra cinaachaa (Bdc) silindartichaa
Bal’ina dirraa (Bd) silindartichaa
Qabee silindarticha barbaadi 
Bal’ina dirraa qaama pirizmii  ala jiruu barbaadi 
Qabee qaama pirizmii ala jiruu barbaadi

3.2. koonota
Mee rog – sadee kofa nsirrii tokko fudhannee miloota isaa keessaa miila tokko irra yoo naanneessine danaa jaboo akkam argannaa?

Fakkii 3.12
Akka danaa armaan olii irraa ilaallutti AC dirra dabe (curved surface) yoo uumu BC ammo geengoo raadiyasiin isaa BC ta’e uuma. Danaan akka armaan olitti uumamee kun koonii geengawaa sirrii jedhama.
Hiikoo :- Danaan jaboo rog – sadee kofa sirrii ta’e tokko miilota isaa keessaa miila tokko irra naanneessuun argamu koonii geengawoo sirrii jedhama.
Gocha:- wantoota naannoo keessa keessa jiran keessaa kanneen koonii geengawoo sirrii bakka bu’uu danda’an sadii ibsii.
Fakkii 3.13
Bal’ina dirra cinaachaa fi bal’ina dirraa
Mee koonii geengawaa sirrii tokko fudhannee haa ilaallu.

                      Fakkii 3.14

Yeroo koonii armaan olii uumamu haayippootnasii ΔABC jechuun AC yeroo AB irra naana’u seektarii geenggoo tokko kan raadiyasiin isaa “l” ta’e uuma (l hojjaa shafaxaa kan koonichaa ta’a).
Rogni BC (hundee ΔABC) yeroo naana’u garuu geengoo raadiyasii isaa r ta’e , r = BC

Fakkii 3.15
Gocha
Bal’ina dirra cinaachaa kan koonii geengawaa sirri akkamitti argatta?
Bal’ina dirra cinaachaa kan koonii geengawaa sirri akkamitti argatta?
Bal’ina dirra cinaachaa koonii geengawoo sirrii ta’e raadiyasiin hundee isaa r ta’e fi hojjaan shafaxaa isaa l ta’e:
B_dc=πrl ta^’ a.
Bal’ina dirraa koonii geengawoo sirrii ta’e raadiyasiin hundee isaa r ta’e fi hojjaan shafaxaa isaa l ta’e akkasumaas hojjaan koonii h ta’e :
B_d= B_dc+B_h
= πrl+〖πr〗^2
=πr(l+r) ta^’ a.
3.2. 2. Qabee koonii geengawaa sirrii
Mee piraamidii sirnaawaa kan hundeen isaa rog – baayyee sirnaawaa ta’e tokko fudhdhuu ti baay’ina rogoota hundee isaa dabalaa deemi. Maal argattaa?

Fakkii 3.16
Danaa armaan ol irratti akka hubannuutti yeroo baay’inni hundee piraamidii wal – qixxaa ta’e baayyee dabalaa deeme danaa koonii geengawoo sirriitiin wal – fakkaachaa deema. Kana jechuun yoo baay’inn rogoota rog – baayyee sirnaawaa ta’e tokko gar – male dabalaa deeme, rog – baay’ichi kunis geengoo fakkaachaa deema. Kanaafuu, Qabeen koonii geengawoo sirrii ta’ee tokko qabee piraamidii sirnaawaa ta’e irraa argamuu danda’a.

Fakkeenya
Marsaan hundee koonii geengawaa sirrii kan hojjaan isaa 6cm ta’ee tokko 16πcm yoo ta’e:
Bal’ina dirra cinaachaa (Bdc)
Bal’ina dirraa (Bd)
Qabee barbaadi
Furmaata
Bdc= πrl garuu r fi l ‘n waan hinbeekamneef haa barbaanu
marsaa hundee = 2πr
r=8cm
ammaas r2+h2=l2
l2=h2+r2
=(8cm)2+(6cm)2
=64cm2+36cm2
= 100cm2
L=10cm ta’a.
Bdc=πrl
=π(8cm)(10cm)
=80π〖cm〗^2
Bd =π r(r+l)
= (8πcm)(8cm+10cm)
=144π〖cm〗^2
Qabee = 1/3 πr2h
= 1/3 π(8cm)2(6cm)
=1/3 π (384)cm3 =128πcm3
koonii geengawaan sirri tokko raadiyasiin hundee isaa 5cm yoo ta’e fi Bdc isaa 30πcm2 yoo ta’e hojjaa fi qabee isaa barbaadi.
Furmaata
Kennamni r=5cm , ,Bdc =30 cm2
Bdc = πrl
30 πcm2 = (5cm) πl
= 6cm
Garuu = r2 + h2
(6cm)2=(5cm)2+h2
h2= 36cm2 – 25cm2
h =√11cm
Qabee = 1/3 π(5cm)2(√11cm)
=(25√11 π〖cm〗^3)/3
Gilgaala
Hojjaan koonii geengawa sirnaawaa tokkoo 8cm dha. Yoo raadiyaasiin hundee isaa 6cm ta’e kanneen armaan gadii barbaadi.
hojjaa shaffaxaa
bal’ina dirraa cinaachaa
bal’ina dirraa
qabee koonii
Hojjaan shaffaxaa koonii geengawa sirnaawa tokkoo 8√2cm dha.yoo raadiyaasiin hundee isaa 8cm ta’e kanneen armaan gadii barbaadi.
bal’ina dirraa cinaachaa
bal’ina dirraa
qabee koonii
Hojjaanii fi raadiyaasiin koonii geengawa sirnaawa tokkoo duraa dubaan 12cm fi 5cm ta’e bal’ina dirraa isaa fi qabee koonii barbaadi.
koonii Muuramaa(Frstum of cone)
Hiikoo : Koonii muramaan geengawoo sirrii tokko kan jennu qaama hundee isaa tiif diriiroo hundee isaa waliin wal – tarree jiddutti muramee dha.
Fakkii 3.17
Hojjaan shafaxaa (slant height) kan Koonii muramaa geengawoo sirrii ta’ee tokko hojjaa shafaxaa kan koonichaa keessaa isa hundeelee lamaaniin daangaffame dha.
Dirri cinaachaa kan Koonii murama qaamota Koonii muramaa hundeelee lamaan osoo hin dabalatiin dha.
Fageenyi hundeelee lamaan jidduu jiru furdina (thikness ) Koonii murama jedhama kunis “k” dhaan mallatteeffame.
Bal’ina dirraa farastamii koonii
Yoo baayy’inni rogoota hundeelee farastamii piiraamidii sirnaawaa tokkoo gar-malee baayy’ate, farastamii piiraamidii sirnaawaa kun maal fakkaachaa deema?

Fakkii 3.18
Yoo sirritti ilaalle, farastamii piiraamidichaa(piraamidii muramaa) farastamii koonii( koonii murama) geengawoo sirri ta’e fakkaata deema.
Hojii garee
Danaa keenname ilaaluun kanneen armaan gadii barbaadi.

     Fakkii 3.19
  1. Bal’ina hundeewwaan
    2.Naannawa hundeewwaan farastamii
    3.Bal’ina dirraa cinaacha koonii guddicha
  2. Bal’ina dirraa cinaacha koonii xiqqicha
  3. Bal’ina dirraa cinaacha koonii farastamii
  4. Bal’ina dirraa frastamii
    7.Qabee farastamii
    Bal’ina dirraa cinaachaa kan farastamii koonii geengawoo sirri Bal’ina dirraa cinaachaa kan farastamii piiraamidii sirnaawaa ta’ee irraa arganna.
    Bdc =1/2 (ida’ama marsaa hundee lamaanii)x hojjaa shaffaaxaa ta’a.
    = 1/2(r1+r2)πl
    = (r1 +r2)πl ta’a.
    Gocha
    Wantoota naannoo keessaan keessa jiran keessaakan farastamii koonii geengawaa sirrii bakka bu’uu danda’an kenni.
    Foormuulaa bal’ina fuuloota(bal’ina dirraa) bal’ina dirraa kan farastamii koonii geengawaa sirrii ta’e tokkoo ittiin barbaannu erga barbaade booda barattoota daree keetiif dhiyeessi.
    Qabee farastamii koonii(Koonii muramaa )
    Qabeen farastamii koonii geengawaa sirrii raadiyasiin hundee jalaa fi hundee gubbaa duraa dubaan r1 fi r2 ta’ee fi furdinnii isaa k ta’e tokkoo
    Q =k/3[E1+√(E_1 E_2 )+E2] tiin kennama. E1 fi E2 duura duubaan bal’ina hundee jalaa fi bal’ina hundee gubbaa ta’u.
    Garuu Q = k/3[E1+√(E_1 E_2 )+E2]
    =k/3 [〖πr_1〗^2+√(〖πr_1〗^2 〖πr_2〗^2 ) +〖πr_2〗^2]
    = kπ/3 [r_1^2+ r_1 r_2+r_2^2 ] ta’a.
    Fakkeenya
    Yoo r1 fi r2 raadiyasoota hundeelee Koonii muramaa tokko ta’nii fi hojjaa isaa h ta’e qabeen isaa ida’ama qabeelee silindarii tokkoo fi koonii tokkoo kanneen hojjaan isaani h ta’ee fi raadiyasiin hundee isaanii duraaduubaan 1/2(r_1+ r_2) fi 1/2(r_1- r_2) ta’ee ta’a.
    Fakkii 3.20
    Qabeen Koonii muramaa Qfr = hπ/3 [r_1^2+ r_1 r_2+r_2^2 ]
    Qabeen silindartichaa Qsi = π(1/2(r_1+r_2))^2 h=π/4 (r_1+r_2 )^2 h
    Qabeen koonichaa Qko = π/3 (1/2(r_1-r_2))^2 h =π/12 (r_1-r_2 )^2 h
    Kanaafuu, Qsi + Qko = π/4 (r_1+r_2 )^2 h + π/12 (r_1-r_2 )^2 h
    = πh/4((r_1+r_2 )^2 + π/3 (r_1-r_2 )^2)
    = πh/4 ((〖3(r_1+ r_2)〗^2+〖(r_1- r_2)〗^2)/3)
    = πh/12(〖3(r_1+ r_2 )〗^2+(r_1- r_2 )^2)
    =kπ/3 [r_1^2+ r_1 r_2+r_2^2 ](
    = Qfr
    Kanaafuu, Qfr = Qsi + Qko ta’a. Gilgaala
    Farastamii koonii sirnaawaa tokkoo raadiyasiin hundeewwaan isaa 8cm , 12cm fi hojjaan shaffaxaa isaa 10 cm yoo ta’e kanneen armaan gadii barbaadi.
    bal’ina dirraa cinaacha koonii farastamii
    bal’ina dirraa koonii farastamii
    qabee farastamii
    Farastamii hojjaan isaa 12cm ta’e tokkoo koonii geengawa sirnaawa hojjaan isaa 16cm ta’e irraa yoo uumamee fi raadiyaasiin hundee isaa 8cm ta’e kanneen armaan gadii barbaadi.
    bal’ina dirraa cinaacha koonii farastamii
    bal’ina dirraa koonii farastamii
    c. qabee farastamii Fakkii 3.21 Danaa armaan olii irraa bal’ina dirraa cinaacha koonii farastamii barbaadi.
    Farastamii koonii geengawaa sirri armaan gadii diyaametriin guubbaa fi jalaa dura duubaan 8cm fi 6cm yoo ta’ee fi oleen koonichaa 10cm ta’ee gaaffilee keennamaniif deebii kenni. Fakkii 3.22
    Furdina isaa barbaadi.(k barbaadi).
    Bal’ina dirra cinaachaa barbaadi.
    Bal’ina dirraa barbaadi. Fakkii 3.23 Fakkii 3.23 armaan olii ilaaluudhan gaaffilee dhiiyaataniif deebii kenni
    Bal’ina dirra cinaachaa barbaadi.
    Bal’ina dirraa barbaadi.
    Qabee barbaadi. Fakkii 3.24
    Fakkii 3.24 armaan olii ilaaluudhan gaaffilee dhiiyaataniif deebii kenni
    Bal’ina dirra cinaachaa barbaadi.
    Bal’ina dirraa barbaadi.
    Qabee barbaadi

Fakkii 3.25
Fakkii 3.25 armaan olii ilaaluudhan gaaffilee dhiiyaataniif deebii kenni
Bal’ina dirra cinaachaa barbaadi.
Bal’ina dirraa barbaadi.
Qabee barbaadi
Dhuqunquloota
Hiikoo:Dhuqunqulli danaa jaboo walakkaa geengoo (semi circle )diyaameetrii isaa irraa naannessuudhaan argamuu dha.

Fakkii 3.26
Geengoo walakkan (APB) ̂ diyaameetirii (AB) ̅ irra yoo naanna’uu (APB) ̂ qaama dhuqunqulaa uuma.
Tuuqaan kamiyyuu kan geengoo walakkaa kana irra jiran handhuura “O” irra walqixa fagaatan. Kanaafuu, dhuqunqula akka tuuta tuqoota kanneen samii (space) irratti tuqaa keennamee tokko irraa walqixa fagaatanii hiikamuu ni danda’ama.
Fageenyi tuqaaleen dhuqunqula irra handhuura dhuqunqula irraa qaban, raadiyasii dhuqunqula jedhama.
Diyaameetriin dhuqunqula sarara dhaabbataa handhuura dhuqunqula keessa darbuudhaan tuqaalee lama kanneen dhuqunqula irra jiran wal – qunnamsiisuu dha.
Geengoon guddaan dhuqunqula bakka lama wal – qixatti qooda. Isaan kunis Walakkaa dhuqunqulaa (hemisphere) jedhama.

    Fakkii 3.27

Mee dhuqunqula tokko haa fudhannu, yoo diriiroo tokko dhuqunqula kan fageenya handhuura dhuqunqula irra h ta’etti akka armaan gaditti kutamee (murame).

     Fakkii 3.28

Dhuqunqula ‘a’ handhuura isaa irra fageenya’ h’tiin yoo murame geengoo raadiyasii ‘r’ ta’e uumama.
Dheerina raadiyasii geengoo uumame r = ta’a. (maaliif?)
Bal’inni geengoo kanaatis ta’a.

Bal’ina Dhuqunqulaa
Raadiyeesiin dhuqunqula tokkoo r yoo ta’e ball’inni dhuqunqula kanaa 4πr2 ta’a .
B = 4πr2 ta’a.
3.5.2 Qabee dhuqunqulaa
Dirri dhuqunqul bakka xixinnotti qoodamuun nidanda’ama. Mee danaa armaan gadii haa .laallu.

   Fakkii 3.29

Yoo Dhuqunqula diriiroo waltarree ta’an murama deeman akka danaa armaan olii qoodamnii dhuqunqula xiqqachaa deemaa. Yoo qoodamni xixinnoon kun baayyee xinnaachaa deeman, diriiroo xixinnoo fakkaachaa deemu. Diriiroolee kunis akka hundee piraamidii kan verteeksiin isaanii handhuura dhuqunqula O ta’ee fi hojjaa piraamidichaa raadiyasii isfarichaatti.
Qabeen tokkoo tokko piraamidichaa kanneen haala kanaan uumamuunis
Q= 1/3 (bal^’ ina diriiroo Kanaa )x r ta’a
Garuu ida’amni bal’ina diriiroolee kanaa hundinuu yoo walitti ida’aman bal’ina dirra isfarichaa ta’a. Akkasumatti ida’amni qabee piraamidoota haala kanaan uumaman hundaa qabee isfarichaa ta’a.
Kanaafuu, Qabee dhuqunqula Q= 1/3 (bal^’ ina diriiroo Kanaa )x r ta’a
= 1/3 (4πr^2 ).r= 4/3 πr^3 ta’a.
Kanaafuu, qabee dhuqunqula Q = 4/3 πr^3 ta’a.
Farastamii dhuqunquula
Hiikoo
Yoo dhuqunqulli tokkoo diriiroolee waltarree ta’an lamaan murame,qaamni dhuqunqula kan murame lamaan jidduu jiruu farastamii dhuqunqulaa jedhama.

      Fakkii 3.30    
Fuulli jallataan farastamii kanaa (curved surface)  zoonii (zone) ykn beeltii(belt) ykn  fuula   murama  dhuquunqulaa  jedhama.
yoo dhuqunqulaan tokkoo diriiroo tokkoon kan murame ta’e tokkoom tokkoon muramoota lamaanii segmaantii(segment) jedhama.qaamni ykn fuulli jallataan segmaantii immoo kaap (cap)  jedhama.

Fakkii 3.30
Bal’ina zoonii , Bz=2rk , r ‘n raadiyasii dhuqunqulaa fi k’n fageenya diriiroolee lamaan jidduu jiruu ta’a.

Fakkii 3.31
Balinna seegmaantii, Bs =2rh , r ‘n raadiyasii dhuqunqulaa fi h’n hojjaa seegmaatii ta’a.
Seektaroota dhuqunqula fi qabee isanni
Hiikoo:- Seektaariin dhuqunqula tokkoo qaama dhuqunqula kan seegmantii dhuqunqula fi koonii verteeksiin isaa handhuura dhuqunqula ta’ee fi hundeen isaa muraa isfarichaa ta’een marfamee dha.

              Fakkii 3.32

Qabeen seegmantii dhuqunqula

Fakkii 3.33
Mee Danaa armaan olii kana haa ilaallu .mee koonii (O,POQ) ,seektarii(O,APQ) keessaa haa baafnu .yeroo kana danaan nuti argannu seegmantii dhuqunqula PAQ ta’a.(Hub.keessi isaa duwwaa dha.)
Kanaafuu qabeen seegmaantii PAQ kan ta’u garaagarummaa qabee seektarii (O,APQ) fi koonii (O,POQ) ta’a.kana jechuunis :
Qabeen(seeg(PAQ))=Qabee(seek(O,PAQ))-Qabee(koon(O,POQ))
=2π/3r2h – 1/3r12 π(r – h) , r-h=hajjaa koonii waan ta’eef
=π/3 (2r2h-r12(r-h))———1
Garuu r12=r2 – (r – h)2
=h(2r – h)…………2
Fi (2) tti fayyadamuudhaan kan argannu
QS= =π/3 (2r2h- r12(r-h))
=π/3 (2r2h- h(2r-h)(r-h)) kana yoo salphifnu
Q=(h^2 π)/( 3)(3r – h)———-3
Qabee kana r1 fi h tti fayyadamuudhaan yoo barbaanu
QS =π/3(2r2h- r12(r-h)) yoo bakka r=(〖r^2〗_1+h^2)/2h
Bakka busine salphifne
QS=πh/6 (3 r1 2+h2) ta’a.
Qabee farastamii dhuqunqulaa
Mee danaa armaan gadii ilaali

Fakkii 3.34

Qabeen farastamii dhuqunqulaa kan furdinni isaa k ta’e tokkoo kan ta’u garaagarummaa(caalmaa)qabeelee segmantoota hojjaaleen isaanii h1 fi h2 duraa duubaan ta’e fudhachuudhaan .
QS=πh/6 (3 r1 2+h2) ta’uu ni yaadanna.
Kanaafuu qabeen farastamii dhuqunqulaa (Qfar.)
kan ta’u
Qfar =. (πh_1)/6(3r_1^2+h_1^2) -(πh_2)/6(3r_2^2+h_2^2 )
= π/6 [3(h_1 〖h^3〗_1 -h_2 〖r^2〗_2)+ 〖h^3〗_1 -〖h^3〗_2] kana salphisuudhaan kan argannu
=πk/6 [3〖r^3〗_1 +3〖r^2〗_2+ k2] ta’a. k=h1-h2 ,r1 fi r2 raadiyasoota hundeelee farastamii ta’u.

Fkn
Danaa jaboo tokko jalaan hemidhuqunqula raadiyasii isaa 9cm ta’ee fi gubban isaa immoo koonii geengawoo sirri hojjaan isaa 6cm ta’ee

Fakkii 3.35
Qabee barbaadi.
Bal’ina dirraa barbaadi.
Furmaata
Qabee danaa Q = Qkoonii + Qhemisfarii
= 1/3 πr2h + 2/3 πr^3
= 1/3 π(〖9cm)〗^2 6cm+2/3 π(〖9cm)〗^3
= 162π〖cm〗^3+ 486π〖cm〗^3
= 648π〖cm〗^3
Bal’ina dirraa = Bal’ina dirra cinaachaa koonii + bal’ina hemisfarii
= πrl+2πr^2 (l= √(r^2+ h^2 )= √(〖(9cm)〗^2+ 〖(6cm)〗^2 )= 3√13cm)
= π(9cm)(3√13cm) + 2π (〖9cm)〗^2
= 27√13 π〖cm〗^2+ 162π〖cm〗^2
= 27π(√13 +6)〖cm〗^2 ta’a.

CUUNFAA BOQONNAA
Danaan jaboo reektaangilii tokko Rogoota isaa keessaa tokko akka siiqqeetti fudhachuudhaan Roga kana irra naanneessuudhaan argannu silindarii geengawoo sirrii jedhama.

                                                                                                Fakkii 3.36

Danaan jaboo rog – sadee kofa sirrii ta’e tokko miilota isaa keessaa miila tokko irra naanneessuun argamu koonii geengawoo sirrii jedhama

                                                                                                                      Fakkii 3.37

Frastamiin koonii geengawoo sirrii tokko kan jennu qaama hundee isaa tiif diriiroo hundee isaa waliin wal – tarree jiddutti muramee dha.
                             Fakkii 3.38

Dhuqunqulli danaa jaboo walakkaa geengoo (semi circle) diyaameetrii isaa irraa naannessuudhaan argamuu dha.

                                                                                Fakkii 3.39

Yoo dhuqunqulaan tokkoo diriiroolee waltarree ta’an lamaan murame,qaamni dhuqunqula kan murame lamaan jidduu jiruu farastamii dhuqunqulaa jedhama.
Fakkii 3.40

Gilgaala
Gamoon tokko qaamnii isaa silindarii fixeewwaan lamaan isaa hemisfarii dhuqunqula akka armaan gadii yoo ta’e

                                                               Fakkii 3.41
Qabee barbaadi. 
Bal’ina dirraa barbaadi.  
Yoo marsaan geengoo guddaa kan dhuqunqula tokkoo 12 ta’e 
Qabee dhuqunqula barbaadi 
Bal’ina dirraa dhuqunqula barbaadi
Yoo dhuqunqulaan tokko kiyuubii dheerina rogoota isa 6cm ta’een mafamee 
 Qabee dhuqunqula barbaadi 
Bal’ina dirraa dhuqunqula barbaadi
Qabee kiyuubii fi dhuqunqula gidduu jiru barbaadi. 
Yoo kubbaan tokko silindarii bishaan qabate kan radiyasii hundee isaa 5cm ta’e keessaa bu’ee bishan kun 2cm yoo ol ka’e 
Qabee kubbaa kanaa barbaadi. 
Bal’ina kubbaa kanaa barbaadi. 
Koonii geengawaa sirrii hemisfarii dhuqunqula(walakkaa dhuqunqula) raadiyasiin isaa 8cm ta’een yoo marfamee akka armaan gadiitti mul’atutti ta’e qaamni koonii hemisfarii keessaa yoo baasnee

                                          Fakkii 3.42

Qabee hemisfarichaa hafe barbaadi
Bal’ina dirra hemisfarichaa hafebarbaadi.

Kitaabilee Wabii
C. A. Hart, D. D. (2013). Plane and SOLID Geometry. Newyork, Cicinnati, Chicago: Forgotten Books.
H. E. Slaught, N. J. (1919). Solid Geometry with Problems and applications. Newyork, Boston, Chicago: Allyn and Bacon.
William Betz, A. M. (1919). Solid Geometry. Boston, Newyork,Chicago : GINN and Company .

Share this

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *