Plane and Solid Geometry - Math 112 - Jimma College of Teachers Education

Maqaa koorsii – Jiyoomeetrii Jaboo fi dhuqunqulaa
Lakkoofsa Koorsi – Math 112
Kan dura fudhatamuu qabu (Prerequisite) – Math 111
Baayina kireeditii – 3
Torbeetti sa’aa baratamu – 4
Kanneen Barachuu qabu – Barattoota Herregaa kanneen sagantaa Dippilooma.

Diskiripshinii Koorsichaa.
Koorsii kana keessatti Jalqabinsa fi Hiikoolee termoota Jiyoomeetrii Jaboo keessaa: Sararootaa fi Diriiroo Samii Irratti bakka (koorjineetii) tuqaa samii irratti Ibsuu: Danaa Jaboo fi Gosoota isaanii; Bal’inaa fi Qabee fuulota isaanii; poolii Hedraa Regulaarii ta’e (the regular polyhedral) Naannessuu danaa Jaboo fi bal’ina fuulota isaani fi Qabeen isaanii koorsii kana keessatti ni ilaalama.

Kaayyoolee Koorsichaa
Xumuura koorsii kanaa booda barattootni
 Termoota Jiyoomeetrii Jaboo keessaa jiru ni hiiku.
 Hariiroo Jiyoomeetrii Diriiroo fi Jiyoomeetrii jaboo jidduu jiru ni himu.
 Gosoota danaalee Jaboo ni ibsu (Classify the common solids)
 Poolihedrooniin Regulaarii ta’e maal akka ta’e ni ibsu.
 Qabee fi bal’ina fuulotaa danaalee jaboo ni shallagu.
 Waa’ee naannessuu dandaalee Jaboo ni hubatu (understand about solids of revolutions)

Qabiyyee Koorsichaa
Qabiyyee Koorsichaa
Boqonnaa I Seensa
1.1. Jiyoomeetrii Jaboo
1.2. Sami fuulota (Space, surface)
Boqonnaa II: Seensaa fi hiikoolee Tarmoota Jiyoomeetrii Jaboo keessaa
2.1. Tuqaa, sarara, Diriiroo, sararoota Skiilsii
2.2. Kofoota Jaboo (Solid angles) fi kofoota dihedraali (dihedral angles)
Boqonnaa III: Sararootaa fi Diriirota Samii irratti
3.1. Sararootaa fi Diriirota samii irratti wal-tarree ta’an
3.2. Sararootaa fi Diriirota samii irratti waliif parpendikulaarii ta’an.
3.3. Tiyooramoota bu’uuraa Sararootaa fi Diriiroo samii irraatti.
3.4. Koorjineetota (Seentota) tti fayyadamuudhaan samii irratti bakka tuqaan jiru himuu
Boqonnaa IV: Danaalee Jaboo (Common Solids)
4.1. Hiikoolee fi Gosoota danaalee Jaboo kanneen akka Hedron baayyee (Polyhedron) kubooydota (Cuboids), prizimoota, piiraamidoota, paaraallel, ipodota (parallelepiped)
4.2. Bal’ina fuulootaa fi Qabee danaalee Jaboo
4.3. Frastamoota Piiraamidotaa fi koonotaa (Frustums of pyramids and cones)
Boqonnaa V : Hedron-Baayyee (Regulaarii )(The Regular polyhedron)
5.1. Hedron- sadee wal’qixxaa’aa (regular tetra hedron)
5.2. hedron- jahee wal’qixxaa’aa (regular hexa hedron)
5.3. hedron –saddeet wal’qixxaa’aa(regular octa hedron)
5.4. Hedron- kudha lamee wal’qixxaa’aa (regular dodeca hedron)
5.5. Hedron- digdma wal’qixxaa’aa(regular icosa hedron)
Boqonnaa VI : Naannessuu Danaalee Jaboo
6.1. Silindarootaa
6.2. Koonota
6.3. Isfaroota
6.4. Qabee fi Bal’ina fuulota danaalee kanaa

Boqonnaa I
Seensa
Kitaabni kun kan Qophaa’e koorsii Jiyoomeetrii Jabootif dha. Koorsiin kunii Barattoota Herregaa kanneen koorsii Jiyoomeetrii diriiroo Baratanif ta’a.

Koorsii kana keessatti Amalootni danaalee Jaboo ilaalamaniiru. Tiyooramootni waa’ee Jiyoomeetrii Jaboo ilaalaa bal’inna dhiyaataniiru. Kana Gochuufis duraan dursamee waa’ee danaalee salphoo Jiyoomeetrii kanneen Aksiyamoota hin mirkaneeffamneen ibsaman kanneen akka tuqaa, sara fi diriiroolee irraa ka’uudhaan ta’a.

Jiyoomeetriin haaluma uumama isaa irraa hojii hedduu hojjachuu barbaachisa yeroo kana kana waa’ee Jiyoomeetrii sirritti Namaaf Galuu danda’u.

Wantoota waayee Jiyoomeetrii jaboof barbaachisan hunda korsii kana irraa qofa Argachuun hindanda’amu ta’a, kanaafuu kitaaboolee adda addaa kannneen mata duree kana qaban dubbisuun barbaachisaa dha.

Kitaabni kun Boqonnaalee Jaha qaba. Boqonnaan duraa waa’ee Jiyoomeetrii Jaboo yoo ta’u kana jalattis waa’ee Jiyoomeetrii jaboo fi samii (space) fi fuulotaa (surfaces) ni ilaalama.
Boqonnaa 2ffaa keessatti waa’ee Hiikoolee termoota jiyoomeetrii jaboo yoo ilaalanu Boqonnaa sadaffaa keessatti waa’ee sararootaafi diriiroolee sammii irrattiitu ilaalama Boqonnaa Afraffaa keessatti kan ilaalamu waa’ee danaalee jaboo beekamoo ta’a.
Boqonnaa shanaffaa keessatti Garuu waa’ee Hedron baayyee wal-qixxaa’oo (regular poly hedron) ta’a, Boqonnaa Jahaffaa keessatti kan ilaallu. Waa’ee danaalee jaboo dandaalee didraroo sarara kenname irra naannessuudhaan uumaman (Solid revolution) ilaalla.
1.1. Jiyoomeetrii Jaboo:-
Jiyoomeetrii jaboon Gosa barnootaa kan waa’ee danaalee, dheerina, bal’inaa fi furdina qabanii kan qo’atuu dha.

Gocha

Fakkeenya danaalee, dheerina, bal’inaa fi furdina qaban kenni.
Fakkeenyota dandaalee Jaboo kenni
Jiyoomeetrii jaboon Gosa barnoota Herregaa keessaa kan waa’ee dandaalee Jaboo samii (space) keessatti Qo’atuudha.

1.2. Samii, fuulota (Space, surface)
Samii (space):- Samiin tuuta tuqootaa kanneen dheerina, bal’ina fi furdina qabani dha, samiin kal-sadee fi bal’inaa fi dheerina hammana hinjedhamne kan –bakka irraa jalqabuu fi bakka itti dhumu hinqabne qabu .
Tuutni tuqoota kanneen amala akkanaa qabu samii jedhama
Fuulota (surface):- Tuutni tuqootaa kan dheerinaa fi bal’ina qabn, garuu kan furdina hin qabne fuula (surface) jedhama.

Fuulli (Surface)
Baay’ee bal’ataa, bakka irraa ka’uu fi bakka itti dhumu hin qabu.
Garuu diriiroon fuula kophaa kan diriiraa ta’ee dha.
Tarmootni hiika hinqabne kun tarmoota bakka waan tokkoo ibsaniidha. (Terms of location) akkasumaas tarmoota dheerinaa fi fuulotaa fi qabatamoo dhaan kaasuun (drawn) hin danda’amu. Garuu qaamotni qabatamaadhaan isaan fakkaatu ni jiru.

Gocha
Kanneen armaan gadii keessaa

hariiroo diriiroofi fuulotni qaban maal ta’u.
Fakeenyoota diriiroo fi fuulotaa sadii kenii

Boqonnaa II
Seensaa fi Hiikoolee Tarmoota jiyoomeetrii Jaboo
Kaayyoo:- Barnoota kana booda Barattootni
 Tarmoota Jiyoomeetrii Jaboo keessaa kanneen hiika dhabeessa ta’an ni Ibsu.
 Tarmoota Jiyoomeetrii Jaboo keessaa kanneen bu’uura ta’anif hiika ni kennu.
 Pirobleemota adda addaa tif hiika ni kennu.

2.1. Tuqaa, Sarara, Diriiroo , Sararoota Iskiiwii ta’an.
Jiyoomeetrii diriiroo yeroo Barannu, tarmootni akka tuqaa, sararaa fi diriiroo tarmoota hiika hinqabne ta’uu ni yaadanna, Garuu tarmootni kun amaloota qabaniin Ibsamu. Qabiyyee kana keessatti tarmoota armaan olii kana fi tarmii biraa “Samii” idaana
Gocha:

Amaloota tuqaan, sararootni Diriiroo fi sararootni Iskiwii qaban gareen mariyachuudhaan Gabaasa Daree keessatti dhiyeessaa.
Fakkeenyota sadi sadi kanneen qabatamaan naannoo keessan jirani fi kanneen yaada tuqaa sararaa fi dhriiroo Ibsan kenni.
Garaa garummaa Sararoota wal-tarree fi Iskiwii Ibsi.
Diriiroon Maali?
Kanneen armaan gadii hubdhu
 Tuqaan hamma hinqabu kana jechuunis tuqaan dheerina, bal’inaa fi furdina hinqabu.
 Sararri dheerina qaba. Garuu bal’inaa fi furdina hinqabu.
 Fuulotni (fuulli) (Surface) dheerinaa fi bal’ina qaba garuu furdina hinqabu.
 Dandaan Jaboon dheerina, Bal’inaa fi furdina ni qaba.
Kanaafuu
o Tuqaan kakl-dhabee dha
o Sararri kal-tokkeedha
o Fuulotni (Surfare) kal-lameedha
o Jaboon (danaa Jaboon) (Solid) kal-sadeedha.
 Jaboon (Solids) ,fuulota (Surface), sararootaa fi tuqaaleen hariiroo Armaan gadii qabu
o Jaboon fuulotaan Marfama (Bounded)
o Fuulotni sararootaan marfamu (bounded)
o Sararootni tuqaaleen Marfamu (bounded)
Hiikoo:- Diriiroon fuula (Surface) ta’ee yoo tuqaaleen lama fuula kana irra
jiraatan, sararri tuqaalee lamaan kana wal-qabsisu Guutumatti fuula
kana irra kan jiraatu ta’ee dha.
 Sararootni diriiroo tokko irra jiran ykn kanneen diriiroon tokko keessa dabru sararoota Diriiroo tokko irraa (Co-planar) jedhama.
 Sararootni diriiroo tokko keessa bahuu hin dandeenye sararoota Iskiwii (Skew lines) jedhama.
Gocha: Qabeessaa sadii minjaala irraa dhaabi. Fiixeen isaanii verteeksii Rog-sadee tokko ta’u kitaaba tokko tuqaalee kana gubbaa kaa’i. Amma maal hubatta? Amma immoo Qubeessaa tokko jalaa kaasi, Ammoo hoo maal hubatta? Qubeessa kan jalatti deebisuudhaan Qubeessaalee sadeenuu bifa sararaatiin Qindeessiti kitaaba Gubbaa kaa’i.Amma hoo maal hubatta?
Gaaffilee armaan olii eega deebiste booda Aksiyoomii Armaan gadii hubadhu
A. 1.1. Tuqaalee sadii kanneen adda addaa fi kanneen sarara tokko irra hinjirre
yoo fudhanne, diriiroon tuqaalee sadan kana qabatu tokkoo fi tokko
qofaa dha.
Fakkeenyaaf tuqaalee sadan A, B, fi C danaa armaan gadii irra jiran haa ilaallu. Pooschuleetii A 1 . 1 kan jedhu, tuqaaleen kun (A, B fi C’n) diriiroo — uumu, Akkasumaas diriiroon kun diriiroo kophaati ta’a (diriiroon biraa hinjiru)

Gocha Tuqoota lama diriiroo tokko irraa yoo fudhatte, Hariiroon diriiroon kuni fi sararri tuqaalee lamaan kana walqabsiisuu maal ta’a.?
A. 1.2 tuqaaleen lamaan sarara tokko, diriiroo tokko irratti ni argama yoo ta’e tuqaaleen sarara kanaa hundinuu diriiroo kana irratti argamu.
Gocha: 1. Yoo tuqaaleen lama A fi B’n kennaman, sararri tokkoo fi tokko qofti
akka tuqaalee lamaan kana keessa dabru Agarsiisi

Tuqaaleen sarara kana irra Jiran hundinuu diriiroo tokko irrati
argamuu Agarsiisi
A 1.3. Sarara kenname tokko keessa diriiroo baay’ee (baay’inni isaa hammana
hinjenne) (infiniti) keessa dabruu danda’a
Mee kitaaba tokkoo fi sarara tokko haa fudhannu akka dandaa armaan gadiitti Ilaallutti
Kitaaba baname

Tokko tokkoo fuulota akka diriirootti yoo fudhanne diriirota baay’inni isaanii baay’ina fuulotaa ta’ee tu sarara kenname kana keessa dabra.

Gocha : Kitaabota meeqaatu sarara kana irra haala kanaan taa’uu danda’a?
A 1.4 diriirooleen lama tuqaa tokko kan walii yoo qabaatan, yoo xinnaate tuqaa
tokko kan biro waliin ni qabaatu?
Gocha: Diriirooleen lama maaliin wal-qaxxaamuru?
Danaa kaasuun Fakkeenya kenni.

A 1.5 kan ibsu yoo fakkeenyaaf diriiroon λ1 fi diriiroon λ2 tuqaa A irratti kan walqaxxaamuran ta’e, yoo xiqqaate tuqaan biro B’n kan irratti Ittiin walqaxxaa muran ni jiru.

                        1
                          A

Aksiyamoota armaan olii kanatti fayyadamuudhaan, Tiyooramoota armaan gadii haa ilaallu.

Tiyooramii 1.1.
Sararootni wal-qaxxaa muran lama diriiroo tokkoo fi tokko qofa uumu.
Gocha. Tiyeeramii 1.1. Mirkaneessi (mirkaana isaa kaa’i)
(Yaadannoo: Jiyoomeetrii Diriiroo keessatti yaadadhu)

Tiyooramii 1.2.
Diriirooleen lama wal-qaxxaamuran taannan, sararaan, wal-qaxxaamur yokiin wal-hin qaxxaamuran
Gocha Tiyeeramii 1.2. mirkaneessi (Jiyoomeetrii Diriiroo keessatti waan
yaadattu qabdaa?)

Sararoota Iskiwii.
Gocha I. Sararootni lama wal-tarree dha kan jedhamu ulaagaa maal yoo
guutanidha?
II Sararootni wal-hin qaxxaamurre. Hundi sararoota wal-tarreedhaa moo miti?
Hiikoo:- Sararootni lama kanneen diriiroo tokko irra hinjirre ykn kanneen
diriiroon tokko sararoota lamaan keessa dabruu hin dandeenye
sararoota Iskiiwii Jedhamu.
ℓ1

Danaa Armaan olii irratti ℓ’ guutumatti diriroo λ irra yoo jiraatu, Garuu l1 kun diriiroo λ tuqaa tokkoon qofa qaxxaamura.
Tuqaan kunis tuqaa wal-qaxxaamura λ fi ℓ miti. Kanaafuu sararootni lamaan kun diruroo tokkoon haammatamuu hindanda’aman. (hin haammataman) sararootni lamaan kun, wal-hinqaxxaa muran, akkasummatti wal-tarree miti kanaafuu sararootni kun sararoota Iskiwii dha.

Gocha: Danaa armaan gadii ilagluun
a. Sararoota Iskiwii ta’an hunda tarreessi
b. Sararoota wal-tarree ta’an hunda tarreessi.

                                               A                                              B

         C                                           DD                                         



                                E


                                  G                                               F

Gocha: Kanneen armaan gadii “dhugaa” ykn “soba” jechuudhaan deebisi.

Sararri tuqaalee diriiroo irra jiran lama keessa dabaru guutummatti diriiroo kan irratti Argama .
Tuqaalee adda addaa lama keessa diriiroo baay’inni isaa hammana hinjedhamneetu keessa dabaruu danda’a.
Sararri tokko diriiroo kophaa tokko uumuu danda’a.
Diriiroon lama yoo wal-qaxxaamuran bakki qaxxaamurinsaa yoo xiqqaate sarara ta’uu danda’a.
sararootni wal-qaxxaamuran lama diriiroo kophaa tokkoo fi tokko qofa uumuu danda’u.
sararootni wal-tarree lama diriiroo tokko fi tokko qofa uumu.
sararri tokkoo fi tuqaan tokko diriiroo tokkoo fi tokko qofa uumu.

Gocha:-

Diriiroo tokko uumuuf tuqaalee meeqaatu barbaachisa?
Diriiroolee meeqaatu sararoota waltarree sadii kannee hundi isaanii diriiroo tokko irratti hin argamneetu uumama?
Samii uumuuf tuqaalee meeqaatu barbaachisa?
diriiroo meeqaatu tuqaalee Afur kanneen hundi isaanii diriiroo tokko irratti hin argamneen uumamuu danda’a?
Sararoota meeqaatu tuqaalee Afur kenneen-sadan isaanii diriiroo tokko irratti hin argamneen uumamuu danda’a?
Hariroo diriiroo fi samii Ibsi.

2.2. Kofoota Jaboo (Solid angles) fi kofoota dhihedraalii (dihedral Angles)
Mata duree kana Jalatti kofoota danaalee adda addaatin sami (space) irratti uumaman ilaalca. Jalqaba kofoota dhieedraaliif, hiikoo isaanii, Gosoota isaanii fi safarootaa fi akkaataa itti safaraman ilaalla.

Itti aansuudhaan waa’ee kofoota jaboo, hiikoo isaanii, Gosootaa fi safaroota isaanii ilaaluudhaan tiyooramoota tokko tokko mirkaneessuu yaalla.

Kaayyoo Gooree
Xumuura Mata duree kana booda barattootni
Hiikoo kofoota dheedraalii ni kennu.
Kufa diruroo fi kofa dhiheedraalii ni hiiku.
Tiyooramoota mata duree kanaan walqabate tokko tokko ni mirkaneessu.
Probleemota mata duree kanaan wajjin wal qabate tokko tokko ni furuu.
2.2.1. Kofoota Diheedraalii
Gocha 1 Mee waraqaa tokko bakka wal-qixa ta’etti cabsi, kofti bakka cabina
waraqaa kanatti uumamu, kofa akkamii dha?
2. Kofti sararootni lama yeroo wal qunnama tuqaa wal-qunnamtii irratti
kan uumamuu ta’uu ni hubanna, Garuu sarara diriirooleen lama irratti
wal-qaxxaamuraniin kofti ni uumamaa? Yoo uumame kofa akkamtu
uumama.
Hiikoo
Diriirooleen lama sarara irratti yeroo wal-qaxxaamuran, kofa dihedraalii uumu jedhama.

Diriirooleen lamaan fuulota kofa kanaa yoo Jedhaman sarartichi Immoo fiixee(qarqara) kofa kanaa ta’a.

Goocha Wantoota Naannoo kee keessa jiran keessaa mee Fakkeenya kofa dihedraali
ta’u kenni.

                   B                         . P           λ1


.Q            
                       λ2
A

Danaa Armaan olii irratti diriirooleen walakkaa λ1fi λ2 sarara AB waliin ta’uudaan kofa diheedraalii uumu fuulotni kofa kanaa λ1fi λ2 yoota’an qarqarri (edge) kofa kanaa immoo sarara AB ta’a.

Yoo P fi Q’n tuqaalee Diriiroolee adda addaa irra Jiraatan, fi AB immoo qarqera ta’e kofti dihedraalii kun yoo mallatteeffamu “<P – – Q” ta’a.

Gocha 1. Kofti dihedraalii akkamitti saffarama?
2. Kofti diriiroo maal akka ta’e yaadattaa?
Kofti dihedraalii kofa diriirootiin saffarama. Kofti diriiroon kofa dihedraalii tokkoo xiyyaalee lamaan uumama. Xiyyaaleen kun fuulota adda addaa lamaan irratti kan Argaman yoo ta’u lamaanuu sarara ykn qerqera kofa dihedraalii kanaaf tuqaa tokko irratti parpandikulaarii ta’u.

Λ1
  B    P        ,Y

           X
.Z    Λ
                    A                                        Q
  .            2

Yoo fi dhaaf parpandikulaarii tuqaa X irrati ta’an <YXZ kofa diriiroo kofa dihedraahii < P – AB –Q ta’a.

Yoo S(<YXZ) = 800 ta’e, safari kofa diheedraalii <P –AB – Q kunis 800 ta’a. Saffarri kofa dihedraa lii mallattoodhaan S(<P – AB – Q). ta’a, kanaafuu S (<P – AB – Q) = 800 ta’a jechuudha.

Gocha:- Hiikoolee Gosa kofoota diriiroo Armaan gadii kenni.
A. kofa Akkiyuuti E. Kofoota waliin duubaa
B. kofa sirrii F. Kofoota hirkoo
C. kofa obtiyuusi G. Kofoota complimentary D .kofoota maddii

Akkuma Jiyoomeetrii Diriiroo keessatti kofootni maqaa adda addaa qabaatan, kofootni dihedraalii tis maqaalee adda addaa qabu, kanaafuu mee kofa dihedraalii Akkiyuuti, kofa dihedraali obtiyuusii kufoota diheraalii wal-maddii kofoota dihedraaliwaliin duubaa fi kkf yoo ilaalle,
Y

danaa armaan olii irraa kan hubannu
< A – XY – B fi < B – XY – C kofoota dihedraalii wal-maddii ta’u.
Yoo  , kofti diriiroo < COB fi <AOB’n kufoota ?? (Complimantary) ta’u kanaafuu < A- XY – B fi < B – XY – C kofoota dihedraalii complimantarii ta’u.

Yoo fi xiyyoota kallattii faallaa qabaatan ta’an, kofootni diraroo <COB fi < AOB’ kofoota hirkoota’u. Kanaafuu <A – XY – B fi < B – XY – C kofoota diheedraalii hirkoota’u.

Akkuma xiyyaan yokn sararri kofoota diriiroo wal-qixatti hirmatti diriiroon walakkaa (half-plane), kofoota dihedraalii wal-qixatti kutuu danda’an, dandaa Armaan olii irratti diraroon walakkaa λ2 kun kofa dihedraalii < A-XY – C bakka lama wal-qixatti kuta. Kana Kan jennu yoo S(<A-Xy-B) = S(<B – XY – C) ta’eedha.
Gilgaala: 1. Tuqaaleen kam-iyyuu kannneen diriiroo kofa diheedraalii wal-qixatti hiru
irra jiraan fuulota kofa dihedraalii kana irraa wal-qixa fagaachuu isaanii
Agarsiisi.

Danaa Armaan gadii hubachuudhaan gaafiilee armaan gadii deebisi. B Y D

a. Kofoota Dehedraalii waliin duuba hunda tarreessi
b. Kofoota diheedraalii waliif hirkoo hunda tarreessi.

Hiikoo kofoota diheedraali obtiyuusii, akkiyuutii, sirrii, Refleksii kenni
Fkn
Kofa dihedraali tokko kan saffarrii isaa kofa dihedraali koomplimantii (complimant) isaa si’a sadii ida’uu 100’n caalu barbaadi.
Furmaata
Saffarri koomplimaantii isaa 900 – x0 ta’a
Garuu 3 (900 – x0) = x0 + 10
= 2700 – 340 = x0 +10
4×0 = 2600
= x0 = 650
Tuqaan diriiroo kofa diheedraalii tokko bakka lama wal-qixatti hiruu irra jiru, qorqara (edge) kofa dihedraali kana irraa 6cm fagaata. Yoo ta’e Fageenyi tuqaa kana fuulota kofa dihedraalii kana irraa qabu meeqa ? 1 P B A Q 2
R S (<P – AB – R) = 900 S (< Q- AB – R) = 450 kanbarbaadamu QR dha Sin 450 = QR/AB QR = AQsin 450 =3 ta’a

Gocha

Kofti diheedraalii tokkoo fi koompleimantiin isaa tartiibaan saffarrii isaanii 3×0 fi (5x+2)0 yoo ta’an , saffara koofoota diheedraalii lamaanuu barbaadi.
Tuqaan “P” diriiroo kofa diheedraali saffaru isaa740 ta’e bakka lamatti kutu irra yoo jiraatee fi qarqara (edge) kofa diheedraalii kana irraa 10cm yoo fagaate, fageenya tuqaan kun fuulota kofa diheedraalii kana irraa qabu barbaadi.
Tuqaan Q tokko 4cm fuulota lamaan kofa diheedraalii tokko irraa yoo fagaatee fi 8cm qarqara (edge) diheedraalii kana irraa yoo fagaate, saffara kofa dihedraali kanaa barbaadi.

2.2. Kofoota Jaboo
Yoo diriirooleen sadii ykn sadii ol ta’an tarttiibaan sararoota tuqaa tokko irratti wal-qaxxamuran irratti kan wal-qaxxaamuran ta’e; Danaan haala kanaan uumamu kofa jaboo jedhama. Tuqaan sararootni kun irratti wal-qaxxaamuran verteeksii kofa jaboo jedhama, Sararootni diriiroolee walitti aanan wal-kipsiisuu qarqara (edge) kofa jaboo jedhama Diriiroonni kun Immoo fuulota kofa jaboo kanaa ta’u. Kofti fuulota walitti aanan jidduu jiru kofa diheedraalii kofa Jaboo kanaa jedham. Kofootni diriiroo qarqaroota (edges) walitti aananiin hojjatamu kofoota fuulaa(face angles) Jedhama.
O O

          E
                                                   C    A
A                   B   
                                                                                                 B         C        D
                                                A                                                         b

Danaa a irratti Diriirooleen AOB, BOC, AOC qorqaroota , fi irratti yeroo wal-qzxxaamuran kofa jaboo kan verteeksiin isaa O ta’e uumu. Kofti jaboon kunis (O, ABC)’a mallatteeffama.
Gocha:- Wantoota Naannoo kee jirani keessa kofa Jaboof fakkeenya kan ta’u tokko
Kenni
Hiikoo kofti Jaboon fuulota sadii irraa uumamu. Kofa Jaboo hedron sadee (tri hedral
solid angles) jedhama
Kofti jaboon fuulota sadii olin hojjatamu kofa Jaboo hedroon baa’ee jedhama
(poly hedral solid angles)
Gocha : 1 Danaalee Armaan oli A fo B irratti Argaman irratti tokko tokkoo kofootaa
jaboo saanii fuulota meeqa qabu?
2. Kofootni Jaboo lama walitti galoo dha kan jedhaman ulaagaalee akkami
yoo guutani dha?
Tiyoorami:- yoo kofootni diheedraalii lama (S, ABC) fi (S’, A’B’C’) kofoota fuulota sadii<ASB, <BSC fi <ASC tartiibaan <A’S’B, <B’S’C’ fi <A’SC’ waliin walitti galoo ta’an kofti dehedraalii kan kofa jaboo duraa fi kofti dihedraali kan kofa jaboo danaa lammaffaa waltti galoo ta’u.
Raggaasa Mee kofoota Jaboo (S,ABC) fi (S’,A’B’C) akka armaan gadii haata’u
S S’

 C                                   A      C’    A’

   B

Kan agarsiisuu Barbaannu
)
Kun kan agarsiisu dhuma irratti ABC fi A’B’C’ yoo claalle,
ABC A’B’C’ (maalif?)
<BAC <B’A’C
kofootni diheedraalii < B – SA – C fi
< B’-S’A’ – C’ saffara tokko qabu
Gocha Akkuma armaan olitti kofootni dhedraalii kanneen hafanis safara tokko
qabaachuu isaanii Agarsiisi.
Hiikoo Yoo muramni (Cross – section) fuulota kofa jaboo-tokko Rog – baay’ee
konveeksii uume, kofti Jaboon kun kofa Jaboo konveeksii jedhama. Yoo kana
hin taane garuu kofa Jaboo Riifleeksii jedhama

Tiyoorami:- Ida’amni safaroota kofti fuulotaa kan kofa Jaboo hedral sade (Tri
hedral) Irra guddaa safara kofa sadaffaa ta’a
Gocha Mirkaneessi
Gocha
1) Diriirooleen lama kofa safari isaa 600 ta’e irratti wal-qaxxaamuru. Tuqaan kofa dihedraali keessa jiru tokko diriiroolee lamaan irraa 10 cm yoo fagaate, fageenya tuqaan kun qarqara (edge) irraa- qabu – barbaadi
Waa’ee diriiroo tuqaa kanaa fi qarqara kofa dihedraaliin uumamuu maal jetta?
2) Ida’amni safari kofoota fuulotaa kofa jaboo konveeksii irra xiqqaa 3600 ta’uu isaa Agarsisi
3) Yoo kofootni sadan fuulota kofa hedral sade (tri-hedral) kofoota sirrii ta’an, waa’ee kofoota diheedraalii sadanii maal jettu?
4) Kanneen armaan gadii keessaa kamtu kofa hedral baay’ee (poly hedral) uumuu danda’u.
a. Rog-sadeelee Ikulaateraalii sadii
b. Iskuweerota Afur
c. Rog-sadoota –ikulaataraalii Afur
d. Rog-sadoota ikulaataraalii shan
e. Rog-sadoota ikulaataraaliijaha
f. Iskuweerota sadi
g. Rog-shanoota (Pentagons) walqixxaa’aa Afur
5) Yoo dirooleen lama wal-qaxxaa muran kofoota dheederaalii meeqaatu uumamu?
6) Yoo diruroleen wal-qaxxaamuran lama waliif perpendikulaarii ta’an safari kofa diheedraalii isaanii meeqa ta’a?
7) Kufootni fuulotaa fi kofootni diheedraalii kan kofa jaboo tokko kofoota fuulotaa fi kofoota diheedraali kan kofa Jaboo biro wajjiin tartiibaan walitti galoo yoo ta’an, kufootni Jaboon lamaan walitti galoo Jettuu? Maalif?

Boqonnaa sadii
Sararootaa fi diriiroolee Samii (space).
Seensa: Boqonnaan kun bakka saditti qoodama kutaan 1ffaa waa’ee sararootaa fi diriirota samii irratti waliif parpandikulaarii ta’an yoo ta’u kunis diriiroo fi sararoota walif parpandi kulaarii ta’anii fi diriirota waliif parpandi kulaarii ta’an qabata.
Kutaan 2ffaa waa’ee sararootaa fi diriirolee wal-tarree ta’ani yoo ta’u, kunis waa’ee sararootaa fi diriiroolee wal-tarree ta’ani fi Diriiroolee wal-tarree ta’an qabata.

Kutaa 3ffaa immoo waa’ee bakka tuqaalee samii keessatti Ibsuu ta’a. Kanaafii siiqqeelee sadeen X, Y fi Ztti fayyadamna.

Kaayyoo Xumuura Boqonnaa kanaa booda barattootni
 Hariiroolee sararootaa fi Diriirooleen samii irratti qabanii ni Ibsu.
 Wantoota barbaachisaa ta’an waa’ee sararootaa fi diriiroolee samii irratti ni tarreessu.
 Tiyooramoota tokko tokko waa’ee sararootaa fi diriirota samii irratti ni mirkaneessu
 Bakka tuqaan kenname tokkuo sami irratti qabu ni ibsu.
 Wantoota qabatamaa ta’anitti fayyadamuun probleemota Jireenya isaanii keessatti isaan mudatan ni furu
3.1. Sararootaa fi Diriiroolee Samii irratti walif parpandikulaarii ta’an
Kutaan kun-waa’ee sararoota diriirooleef parpandikulaarii ta’ani fi ‘Diriiroolee waliif parpandikulaarii ta’anii Ilaala

Kaayyoo:- Barattootni kutaa kana booda
 Hiikoo sararoota diriiroo kennameef perpandikulaarii ta’anii ni kennu.
 Parpandi kulaarummaa diriiroolee lamaa ni ibsu.
 Tiyooramoota parpandikulaarrummaa tokko tokko ni mirkaneessu
 Hiikoo sarara sarara kenname tokko samii irratti wal-qixotti qooduu ni kennu (perpendicular bisector)
 Tiyooramoota waa’ee sarara sarara kenname tokko samii irratti wal-qixatti qooduu ni mirkaneessu(perpendicularbsector) Hiikoo Sararri tokko diriiroo tokkoof parpendikulaarii dha. kan jedhamu yoo sarartichi kun sararoota Diriiroo kana irra jiran h
undaaf parpendikulaarii ta’eedha.

Hiikoo Sararri tokko diriiroo tokkoof parpendikulaariidha kan jedhamu yoo
sarartichi kun sararoota Diriiroo kana irra jiran hundaaf
parpendikulaarii ta’eedha.
l

                                                                        
                                                     p

L’n sararoota dirooroo irra jiran hundaaf P irratti perpandikulaarii dha
L’n dhaaf parpandikulaarii dha
Tuqaan P kun miila parpandikulaarii sarara L jedhama
Tiyooramii:- Yoo sararri tokko sararoota lama kanneen tuqaa kenname tokko irratti wal-qaxxaamuranif parpendikulaarii ta’e sarartichi kun diriiroo sararoota lamaan kana qabateefis parpandi kulaarii ta’a.
Ragaas (Mirkaneessa) D

Mee sararoota AB fi dhaaf parpandikularrii haata’u

Kan Agarsiisuu barbaannu, ’n diriiroo XY ‘f parpandikulaarii ta’uu isaati
Diriiroo XY irratti sarara kam Iyyuu tuqaa A keessa kan bahu kaasi, Akkasumatti Ammaas sarara kan , , tuqaalee B, E, C tartiiibaan qaxxaamuru kaasi.
hanga F tti AF = AD taasisuun dheeressi.
, , fi , , kaasi
Mirkaneessa
BAD , BAF keessatti ’n dhaaf parpandikulaarii ta’e waliqixatti hira (Maalif?)
(Maalif?)
akkasumatti
Kanaafuu yoo  BFC hundee irra naannawe hanga verteeksiin F diriiroo BDC irra dhufutti jedhuu dha, F fi D wal-irra ta’u (BFC fi  BDC walqixa waan ta’anif)

Rog-sadoota  DAE fi  FAE keessatti
DA, AE, ED = FA, AE, EF duraa duubaan ta’u
< DAE < FAE
DA sarara AE kam iyyuufuu kan diriiroo XY ( ) irra Jiruuf
parpandikulaarii ta’a.
 Diriiroo sararoota , qabateef parpandikulaarii ta’a.
Tiyooramii Sararootni hundinuu kan sarara kenname tokkof tuqaa kenname tokko irratti parpandikulaarii ta’an sararoota diriiroo tokko irratti argamanii dha

Mee sararootni , , sarara dhaaf tuqaa B irratti parpendikulaarii haata’an

Kan mirkaneessuu barbaannu sararootni , , diriiroo tokko irratti argamuu isaanii ta’a
Mirkaaneessa
Mee XY’n diriiroo , keessa bahu haa ta’u
Mee HF’n diriiroo , keessa baha haata’u
Mee Diriirooleen HF fi XY sarara irratti wal-haa qaxxaamuran
Garuu  fi 
 ta’a.
immoo , diriiroo fi qabate irratti qaxxaamura
Kanaafuu < ABE fi < ABF kofoota kofa sirrii ta’an kanneen diriiroo HF irratti ARgamanii dha
o fi ’n wal irra oolu
o , , diriiroo tokko XY irratti argamu
Tiyooramii Mee XY ‘n diriiroo tokko haata’u mee P’n tuqaa kenname tokko haa ta’u P XY ykn P XY ta’uu danda’a
Tuqaa kenname P kana irraa sararri XY dhaaf parpandikulaarii ta’e. Tokkoo fi tokko qofaatu jira
Mirkaneessa:
Mee sararootni diriiroo XY dhaaf perpandikulaarii ta’an lama fi haaijaaraman
Mee diriiroo fi keessa dabru tokko tuqaa P irraa Diriiroo XY irratti haaijaaramu A B
L L P
Y Y

Mee diriiroon , keessa darbuu tokko diriiroo XY sarara irratti haa qaxxaamuru.

Kana irraa kan hubannu  fi  fi hundi isaanii diriiroo tokko irratti argamu kunis waan dhugaa irraa fagaate ta’a. Maalif? (Jiyoomeetrii diriiroo keessatti yaadadhu):

Tiyooramii Sararri tokko L fi tuqaan tokko P kan L iira jiru yoo kenname,
diriiroon tokkoo fi tokko qofaatu jira kan sarara kanaaf tuqaa kana
irratti parpandikulaarii ta’e
Gocha

Tiyoorami kana mirkaneessi
diriiroo tokko keessatti, sarara tokko irra tokko kenname tokko keessa sararoota meeqaatu kanneen sarara kenname kanaaf parpandikulaarii ta’an. Ijaaramuu danda’an.

Tiyooramii:- yoo sararri kenname tokko diriiroo kenname tokkoof parpandikulaarii ta’e diriiroon kam iyyuu kan sarara parpandikulaarii parpandikulaarii ta’e kana keessa dabru, diriiroo kenname kan duraa kanaaf parpandikulaarii ta’a.

Mee sararri diriiroo XY dhaaf parpandikulaarii haata’u
Mee CB’n diriiroo kam iyyuu kan keessa dabru haata’u

Kan mirkaneessuu barbaannu diriiroon CB parpandikulaarii diriiroo XY ta’uu isaati
Mirkaneessa:- Mee diriiroo XY keessaa ’f parpandikulaarii ta’ee haa ijaaramu. ( sarar walqaxxaamurinse diriroolee XY fi CB ti)
diriiroo XY dhaaf parpandikulaarii ta’a
o  fi  ta’a
o <PQR kofa dihedraalii ta’a
kunis kan ta’ef fi lamaanuu sarara wal-qaxxaamurinsa diriiroo lamaanii kan ta’e dhaafi parpandikulaarii waan ta’eef dha
kanaafuu Diriiroon CB’n Diriiroo XY dhaaf parpandikulaarii ta’a
Tiyooramii:- diriirooleen wal-qaxxaamuran lama diriiroo sadaffaa tokkoof parpandikularii yoo ta’an, sararrii wal-qaxxaamurinsaa kan diriiroo lamaanii diriiroo sadaffaa kanaaf parpandikulaarii ta’a.

                                                  A                         D
                                     P



Y

Mee diriirooleen AB fi CD kanneen sarara irratti walqaxxaamuran kun diriiroo xy dhaaf parpandikulaarii haata’an
Kan mirkaneessuu barbaannu diriiroo XY dhaaf parpandikulaarii ta’uu isaa ti

Mirkaneessa mee tuqaa tokko P kan diriiroolee lamaan AB fi CD irra jiru. Irraa sarara perpandikulaarii tokko diriiroo XY Irraatti ijaarame, sararii parpandikulaarii kun diriiroolee AB fi CD irra ta’a.
Sababni isaas diriiroolee AB fi CD diriiroo XY dhaaf parpandikulaarii waan ta’e fidha.

Kanaafuu sararri parpandikulaarii kun sarara waliin tokko ta’a
kun diriiroo XY dhaaf parpandikulaarii dha

Hiikoo:- Diriiroon sarara dhaabbataa tokko samii irratti tuqaa walakkeessaa irratti parpandikulaarii ta’e, qixa hira parpandikulaarii (perpendiculari bisector) sararticha jedhama
Gocha

diriiroo irratti qixa hara parpandikulaarii sarara dhaabbataa tokkoo meeqa qabna
TiyooramiiArmaangadiimirkaneessi tuqaaleen kam-iyyuu kan diriiroo qixe hiraa parpandikulaarii sarara kennamee tokko irra jiran, tuqaalee fixee sarara dhaabbataa kanaa irraa walqixa fagaatu

3.2. Sararootaa fi diriiroolee samii irratti wal-tarree ta’an
Kaayyoo:- xumuura kutaa kanaa booda barattoonni
Hiikoo sarara diriiroo kenname tokkoof wal-tarree ta’ee ni kennu
Hiikoo diriiroolee waliif wal-tarree ta’anii ni kennu.
Tiyooramoota waa’ee sararootaa fi diriiroolee wal tarree ta’ani ni mirkaneessu
Hiikoolee fi tiyooramoota waa’ee sararootaa fi diriiroolee wal-tarreetti faayyadamuu dhaan pirobleemota tokko tokko ni furu
Hiikoo:- Diriirooleen lama ykn lamaa ol ta’an kanneee wal-hinqaxxaamurre, diriiroolee wal-tarree jedhamu

λ1 // λ2// λ3 ta’e diriirooleen
λ 1 ,λ 2 ,λ 3
sadanuu wal-tarreedha

Gocha :- waantoota Naannoo kee jiru irraa mee kanneen Diriiroolee wal-tarreef
fakkeenya ta’an ibsi
Hiikoo:- Sararri kenname L fi diriiroon kenname λ wal-terree dha kan jennu yoo wal-hin qaxxaa murree dha.

L

λ  // L ta’e yoo isaan lamaanuu
tuqaa walii hin qabaanne

Gocha: Wantoota Naannoo keessan jiran keessaa kan fakkeenya diriiroo fi sarara wal-
tarree ta’anii kenni.
Tiyooramii : Yoo diriiroon tokko diriiroolee wal-tarree lama qaxxaamure, sararootni
wal- qaxxaa murinsaa sararoota wal-tarree ta’u.
Mirkaneessa:- mee E1 fi E2 diriiroolee wal-tarree lama haata’an, mee diriiroon λ diriiroolee lamaan sararoota L1 fi L2 tartiibaan haa qaxxaamuru.

L1

L2

Kan agarsiisuu barbaannu, L1 fi L2 wal-terree ta’uu isaanii ti.
L1 fi L2 diriiroo tokko irratti argamu
L1 fi L2 wal-hin qaxxaamuran
L1 fi L2 diriirii λ irratti argamu
L1 fi L2 wal-hinqaxxaamuran, sababni isaas
L1 E1 yoo ta’u L2 E2 waan ta’eef
Kanaafuu L1// L2 ta’a
Tiyooramii:- Sararri diriiroo kenname tokko irra hinjirre yoo sarara diriiroo kana irra jiru tokkoof wal-tarree ta’e, sarartichi kun diriiroo kanaa waliin wal-tarree ta’a

Mirkaneessaa:- Mee L1 sarara diriiroo λ irra hinjirre haata’u L1 immoo sarara diriiroo λ irra jiru tokko haata’u. L1
E

Mee E diriiroo sararoota L1 fi L2 keessa dabru haata’u.
L2 sarara wal-qaxxaamurinsaa diriiroolee E fi λ ta’a
Yoo L1 tuqaa walii diriiroo λ waliin kan qabaatu tja’e; tuqaan kun tuqaa sarara L2 irra jiru ta’uu qaba. Kunis L2 E fi L2 En λ

Garuu L1 fi L2 wal-tarree ta’uu isaanii kennamee jira kanaafuu, L1 diraroo λ hin qaxxaamuru
L1 // λ
Gilgaala kanneen armaan gadii mirkaneessi

Yoo sararootni lama kanneen samii irratti sarara kenname tokkoo waliin wal-tarree ta’an sararootni lamaan wal-tarree dha
Yoo sararri tokko diriiroo kenname tokkon wal-taree ta’e sararootni diriiroo kana irra jiran kanneen sarara kenname kanaa waliin wal-tarree ta’an ni jiru.
Yoo sararri kenname tokko diriiroolee lamaaf parpandikulaarii ta’e diriirooleen kennam lamaan wal-tarree ta’u
yoo sararootni wal-qaxxaamuran lama sararoota wal-qaxxaamuran kannee biro fi kanneen diriiroo biraa irratti Argamaniin wal-tarree ta’an, cimdoonni sararoota duraa fi cimdoonni sararoota booda kofoota walitti galoo uumu
Yoo sararri kenname tokko diriiroolee waltarree ta’an keessaa tokkoof parpandikulaarii ta’e, diriiroo lammafaa fii parpandikulaarii ta’a.
Tiyooramii:- Sararoonni kennamaa kam-Iyyuu lama diriiroolee wal-tarree ta’an sadiin yoo muraman, Reeshoon saffara sararoota dhaabbataa muramanii kun tartiibaan wal-qixa ta’u

Merkaneessa:- mee l1, l2 sararoota diriiroo E!,E2, fi E3 tuqaale A,B,C fi D,E,F tartii ban Qaxaamuran haata’an
Kan agarsiisuu barbaannu

          AB    =  DE           ta’a
  BC         EF   
                                                        L1           l2



E2


E3

Mee diriiroo E2 tuqaa G irratti haaqaxxaamuru
// ta’a (maalif?)
Diriiroo E2 keessatti
< ABG < ACF ……. (Maalif?)
kanaafuu
Δ ABG  Δ ACF ……. (Maalif?)
AC = AF ……. (Maalif?)
AB AG
Amma Ac = AB + BC fi
AF = AG + GF
Kana kan armaan olii keessatti bakka buusuudhaa
AC = AB + BC = AB + BC = 1 + BC
AB AB AB AB AB
AF = AG + GF = AG + GF = 1 + GF …….
AG AG AG AG AG

Kanaafuu
AC = AF 1 + BC = 1 + GF
AB AG AB AG
BC = GF
AB AG
AB AG
BC GF ………….. (1)
Akkuma kanatti diriiroon A D fi F qabate diriiroolee E1 fi E2 sararoota wal-tarree ta’an fi irratti qaxxaamura
diriiroo kana irratti <FEG < FDA ….. maalif?
Kanaafuu FEG ΔFDA ——- maalif?
FD = FA ….. maalif?
EF FG
DE + EF, FD bakka buusuudhaan fi AG + Gf bakka AF buusuudhaan kan argannu
…………… (2)
(1) fi (2) tti fayyadamuudhaan
AB = DE
BC EF

3.3. Koorjineetii (Seentota) tti fayyadamuudhaan samii(space) irratti bakka tuqaan kenname tokko jiru Ibsuu
Kutaa kana keessatti seentotatti fayyadamuudhaan gargaarsa suqqeewwan sadan X,Y fi Ztti fayyadamuudhaan bakka tuqaa kenname tokko samii irratti Itti ibsinu ilaala.

Kaayyoo Barnoota kutaa kanaa booda barattootni
o Siqqeelee X,Y fi Z samii irratti ni ijaaru
o Diriiroolee XY , XZ fi YZ gargar baasuudhaa ni himu
o Siqqeelee X,Y fi Z tti fayyadamuudhaan bakka tuqaa kennamee tokko samii irrattini ni ibsu.
Mee sararoonni waliif parpandikulaarii ta’an lama diriiroo irratti haa kennaman, mee sararoota kana akka siiqqeetti haa fudahnnu, tuqaalee diriiroo kana irra jiran kam-iyyuu bakki isaanii siiqqeelee kanatti fayyadamuudhaan. iIbsuun nidanda’ama. Kunis kan ta’u fageenya tuqaan kenname tokko siiqqeelee lamaan irraa qabutti fayyadamuu dahan ta’a.
Y

P (x,y)


X

Tuqaan P siqqee Y irraa Saffara x yoo fagaatu. Siiqqee X irraa Ammoo saffara y fagaata. Kanaafuu siiqqeeleen X fi Y waliif parpandikulaarii ta’u.

Kan armaan olii akkaataa, tuqaan kkenname tokko dirriiroo irratti bakka isaa itti Ibsuu dandeenbyuu dha.

Amma moo akkaataa tuqaan kenname tokko samii irratti bakka isaa ibsinu ilaalla. Diriiroo irratti sararoota waliif parpandikulaarii lamatti akka siiqqeewwanitti fayyadamuudhaan bakka tuqaa kennamee tokko ibsina.

Samii irratti garuu sararoota sadii kanneen waliif parpandikulaariitti fayyadamuu dhaan bakka tuqaa tokko Ibsina
Mee fi sararoota lama kanneen tuqaa O irrattti waliif parpandikulaarii ta’an yoo ta’an, sarara kan diriiroo sararoota fi dhaan uumameef Parpandikulaarii ta’e ijaari
Kana jechuun
diriiroo XOY dhaaf kan parpandikulaarii ta’e jedhuudha
Gocha: Hariiroon sararootni sadan , fi qaban maal sitti fakkaata?
Sararoota , fi akka siiqqee reeferansiittii(reference) fudhachuudhaan bakka tuqaa kenname P tokko samii irratti akka armaan gaditti Ibsina. Tuqaan O madde suwweewwanii jedhama
Z

  P (x,y,z)

O                                            M      
X

Y
N
Mee N mi’la sarara dhaabbataa diriiroo XOY dhaaf parpandikulaarii ta’ee haata’u
Gocha diriiroon XOY sararoota kamiin uumame?
Mee OM fi MN Seentota ykn keerjineetota tuqaa N siiqqeewwan fi tti tartiibaan fayyadamuudhaan haata’an

Mee x,y fi z dheerina sarara dhaabbataa , fi tartiibaan bakka haabu’an yeroo kana x, y fi z tartiibaan koorjineetota (Seentota) tuqaa P jedhamu. Kunis yoo mallattaa’u P(x,y,z) ta’ee fi
Hub: X’n fageenya tuqaan P diriiroo XOZ irraa qabuudha
 Y’ n fageenya tuqaan P diriiroo XOZ irraa qabu dha.
 Z’n fageena tuqaan P diriiroo XOY irraa qabuu dah

Dirrirooleen sadan wal-qaxxaamuraa samii(space) bakka sadeetiffi hiru, bakki saddeettan kunis “octant” jedhamu, tuqaan O, madda siiqqeewanii yoo ta’u koorjineetii (seentuun isaas) (0,0,0) ta’a
 X’n pozativii kanta’u Gara mirgaa diriiroo YOZ tiin ta’a Negativii kanta’u gara bitaa dirriiroo YOZ ta’a
 Y’n Pozativii kan ta’u karaa xiyyaan Agarsiisu xoota’u Negativii kanta’u fallaa isaatiin ta’a.
 Z’n pozativii kan ta’u diriiroo XOY gubbaa irraan yoo ta’u, Negativii kan ta’u driiroo XOY jalaanidha.
 Yoo tuqaan P diriiroo YOZ irra jiraate koorjineetiin isaa bifa (0,y,z) ta’a
 Yoo tuqaan tokko diriiroo YOX irra jiraatu tuqaa kun koorjineetii bifa (x,y,0) qaba.
 Yoo tuqaan tokko diriiroo XOZ irra jiraate tuqaan kun koorjineetii bifa (x,0,z) qabaate Z
P2(0,0,z)
P5(x,0,z)
P0(0,0,0) Y
P1(0,y,0)

        X                                    p4(x,y,0)

Gocha Tuqaaleen armaan gadiidiriiroo kam irratti akka argaman ibis
Tuqaalee kennaman keessaa kan diriiruu sadan irratti argamu ni jiraa?
P2 (0,y,0) P4 (x,y,0)
P2 (0,0,z) P5 (x,0,z)

Mee Amma tuqaalee kaariineetiin isaanii pozativii fi negativii qabaan kan haa ilaallu Z
P7 (-y,0,z) E X

(0,0,z)
             P1 (-x,0,0)    P5 (-x,y,0)
P3 (0,y,0)
   Y    Y
F
C

P4 (x,-y,0) P2 (0,0,-Z)

       X            A                 P6 (x,0,-z)

-Z

Gocha – Tuqaalee A,B,C,D,E,F hundaaf koarjineetii isaanii bifa armaan olittikennameen kaa’i

                                                  Z                                               X
K

I
                          G

Y Y

E              D    C
                           D
                       h
                                    A                    -Z                        B

Danaan armaan olitti kenname kun yoo kiyuubii dheerinni Roga isaa safarra “a” ta’e , koirjineetii tuqaalee armaan olii barbaadi
Akn 1. D (o,o,-a) 2. A (a,o,-a)
Itti fufi
tuqaalee armaan gaditti kennaman samii irratti bakka isaanii Agarsiisi
a. p(3,7,2) d. (-4,-5,-6)
b. P (4,-3,5) e. (-5,-6,7)
c. P (-2,3,-4) f. (8,10,-7)
Yoo P’n tuqaa korjineetii (x,y,z) dhaan ibsamu ta’ee fi O’n madda
siiqewwanii yoo ta’e, (OP)2 = X2 + y2+z2 ta’uu isaa Afarsiisi
gaaffii 3ffaa tti fayyadamuudhaan OP barbaadi yoo P’n koorjineetii (3,4,12) kan Ibsamu ta’e
mee p’n koorjineetii (6,8,10) haa ibsamu yoo tuqaan Q tuqaa walakkeessaa kan ta’e (O’n madda siiqqeewwanii) koordineetii tuqaa Q barbaadi
Koorjineetota tuqoota sarara bakka sadii wal-qixatti kutanii barbaadi yoo O’n madda siiqqeewwani ta’ee fi P(4,10,6) ta’e
Boqonnaa afur
Danaalee Jaboo beekamoo (Common Solids)
Danaalee jaboon hundi isaanii qarqarrii isaanii diriirooleedha. Kutaa kana keessatti kan itlaallu Hiikoolee pirizimootaa, piraamidootaa fi Gosoota isaanii fi qaamootni isaanii kutaa 1faa keessatti claalla. Kutaa 2ffaa keessatti kun ilaallu saffara bal’ina fuulota isaanii fi Qabee isaanii ta’a. Kutaa 3ffaa keessatti kan ilaallu, Hiikoolee fi neetwoorkii heddra baay’ee (Poly-hedra) sirrii fi hedron-sadeef sirrii (Regular octa hedron) fi kkf dha
Kaayyoo:- Xumuura boqonnaa kanaa booda barattootni
 Hiikoolee fi Amaloota pirizimootaa fi piiraamidootaa ni kennu
 Foormuulaa bal’ina fuulotaa fi Qabee Ittiin barbaadan ni kaayyatu
 Foormuulaa kanatti fayyadamuu dhaan bal’ina fuulotaa fi qabee danaalee jaboo kanaa ni shallagu
 Hiikoo hedron baayyee walqixaa’aa (regular polyhedron) ni kennu.
 Tiyooramii waa’ee hedron-baayyee sirrii ni mirkaneessu

4.1. Hiikoolee fi Gosoota danaalee Janboo kanneen akka Hedron-baayyee (polyhedron ) kiyuubota (cuboids) pirzimoota, piiraamiidoota, paaraallel pipidoota (paraallelpeped)

hiikoolee fi Gosootni dandalee jaboo beekamoo (comman solids) kanneen akka Hedra-baayyee (poly hedra) paaraalal pipidootaa, kiyuubotaa, pirizimootaa fi piraamidotaa kutaa kana keessatti ni ilaalamu

Kaayyoo: Barattootni xumuura kutaa kanaa booda
 Hiikoolee danaalee jaboo beekamoo kanneen akka pirizimootaa, piraamidootaa kiyuubotaa kkf ni kennu
 Garaagarummaa danaalee jaboo beekama kennaman lamaa kanneen akka pirizimootaa fi piraamidoota jidduu jirani ni himu
 Gosoota danaalee jaboo beekamoo amaloota isaaniitti fayyadamuudhaan gar-gar ni baasu.
Gocha:- Garaagarummaa fuulaa (surface) fi diriiroo (plane) ibisi
Hiikoo:- qaamni ykn kutaan samii(space) irraa kanneen fuullota ykn diriiroo tokkoo fi tokkoo oliin marfaman ykn daangeffaman (bounded) danaa jaboo jedhama
Gocha- Wantoota Naannoo kee keessa jiran keessa dandaalee Jaboo kan ta’an.
Fakkeenya Afur kenni

Qaamni danaalee Jaboo fuulota danaalee jaboo jedhama. Sararootni fuulotni maddii lama irratti itti wal-qaxxaamuran qarqaroota ykn (edges) jedhamu, tuqaan qarqaroonni kun irratti wal-qaxxaamuran immoo verteeksii jedhama.

Hiikoo:- dandaan jaboon fuulota diriiroo qofaan margfame. Hedron-baayyee
(paly hedron) jedhama.
Gocha Mee kanneen armaan gadii keessaa kamtu hedron baayyee (poly hedron)
miti?

Fuula                                                                                       fuula                       fuula


       A        
                                             B                                                             c

Hiikoo Hedron-baayyeen fuulota cimdii sadii kanneen waltarree ta’aniin
uumamu. Paraalalpipidii Jedhama
Gocha – Wantoota Naannoo keessan keessa jiran keessaa Fakkeenya paaraalelpipidii kanneen ta’an sadii kenni
H G

    E
Paraalel pipayipidii




C

A   B

Diraroon BFEA diraroota –wal-tarree ta’an ABCD fi EFGH. ni qaxxaamura
// ta’a (maalif?)
BA = ta’a (maalifi?
Kanaafuu kanneen armaan gadii hubaadhu
 Tokkoo tokkoo fuulota jahan paraalalpaayipidii paaraalologiraamii dha
 Fuulotni wal-fuullee walitti galoo dha
 Qorqoroonni 12’n garee saditti qoodamu
 Tokkoo tokkoo garee qarqaroota Afur qabu
 Qarqaroonni Afran garee tokko keessa jiran walitti galoo fi waliif wal-tarree ta’u.
Gocha:- Sarboonni Afran paaraalalpipidi tuqaalee walakkeessa isaanii irratti
wal-qaxxaa muruu isaanii mirkaneessi
Hiikoo:- Paaraalal pipiliin fuulotni isaa hundi nuu Reektaanguloota ta’an.
Kiyuu booyidii (cuboid) ykn. Danaa jaboo Reektaangulaawaa jedhama
yoo immoo fuulotni isaa hundinuu. Iskuweerota ta’an kiyuubii
jedhama.
Gocha:- Kiyuubooyidota hundaa kiyuubii ta’a moo kiyuubota hundaaf
kiyuuboojido ta’a?
B C B C

A A

F
F   H
G
G

H
Kiyuubooyidii Kiyuubii

Gocha:- Kunneen armaan gadii Agarsiisi
a. tokko tokkoo qarqarootaa (edge) fuulota wal-tarree lamaaf parpandikulaarii ta’a
b. tokko tokkoo fuulotaa fuulota Afur kanneen wal-tarree ta’aniif parpandi kulaarii ta’a.
c. fuulli kam-iyyuu fuulota afuriif parpaandikulaarii ta’a.
Iskuweeriin sarbii (diagonal) kiyuubooyidii tokkoo ida’ama iskuweerota qarqaroota wal-qaxxaamuran sadii waliin wal-qixa.

C                                 S
R


A

B   Q

Mee Sarbii kiyuubooyidii tokkoo haata’u kan qarqarootni (edges) , , qarqaroota wal-qaxxaamuran ta’ee saffarotni isaanii tartiibaan a,b,fi c ta’n. mee O fi Q wal-qabsiisuun ijaari yeroo kana ’ n fuula AB dhaaf parpandikulaarii waan ta’eef, OQ dhaaf ta’a kanaafuu
(OP) 2 = (OQ)2+ (PQ)2+ C2 Garuu (OQ)2 = (OA)2 + (AQ)2 = a2+b2 ta’a (maalf?)
(OP)2 = (OA)2 = a2+b2+c2 ta’a
Gocha:- kiyuubii dhaaf yoo saffarrii qarqaroota kiyuubii “a” ta’e deerinni sarbii
= a ta’uu Agarsiisi
Pirizimoota
Hiikoo Danaan Jaboon fuulota diriirooleetiin marfamee fi kanneen fuulota kana
kessa fuulotni lama wal-terree fi walitti galoo ta’an pirizimii Jedhama.
Fuulotni lamaan wal-tarree fi walitti galoo ta’an kun hundeelee piriyim
fichaa jedhamu

                    S                       R                                                                       S               R
                                                                                                          T
          P                      q                                                                              P                              


                                                                                                            E          D             C
                                                C
                                                                                                                    A                              
       A                             B

Hundeeleen prizimoota , Rog-sadoota, Rog-afroota ykn Rog-baayyee kam-iyyuu ta’uu danda’an yeroo kana tartiibaan prizimii Rog-sadaawaa prizimii Rog-afree fi prizimii Rog-baayyee jedhamu
Mallattoo prizimootni hundee isaaniin ibsamuu danda’u, prizimoota armaan
oliitif (ABCD, PQRS) fi (ABCDE, PQRST) ta’anii ibsamuu danda’u

Gocha:

qarqarootni fuulota dirra cinaachaa hariiroo akkam qabu?
fuulotni dirra cinaachaa danaalee diriiroo Gosoota kami dha?
hariiroo diriirooleen lamaan hundeeleen lamaan irratti argamanii ibis
Fuulotni prizimii tokkoo hundeelee lamaanif parpandikulaarii ta’uu dnnda’uu laataa?
Hiikoo:- Prizimiin tokko piriizimii sirrii ti kan jedhamu yoo qarqaroonni dirraa
kan pirizimtichaa kun hundeelee lamaaniif parpandiikulaarii ta’eedha
Gocha- yeroo kana fuulotaa ciuaachaa kan pirizimicha kun danaalee diriiroo keessaa gosa kam-ta’a?
(Reekaangeli’ moo, paraaleloogramii, Iskuweerii)
Fayeenyi hundeelee prizimii tokko jidduu jiru hojjaa prizimtichaa jedhama. Kunis yoo mallattaa’u “h” ta’a h prizimii sirrii fuulota
cinaachaa isaa hubadhu l

Prizimiin prizimii sirrii hintaane prizimii shafaxaa jedhama (oblique jirym)

Prizimii shafarxay

Gocha:
 prizimiin shafxaa fuulotni isaa kan dirraa danaalee diriiroo akkam ta’u?
 hundeeleen prizimii shafaxaa wal-tarree moo miti?

Piiraamidoota
Hiikoo:- Danaan Jaboon fuulota diriiroo ta’aniin marfamee fi fuulli tokko
kan huudee jedhamu fuula danaalee diriiroo kam-iyyuu ta’eef
fuulotni cinaachaa hundinnu rog-sadoota tuqaa waliiqaban ta’an.
Piraamiidii Jedhama. Tuqaan walitti kan Rog-sadoota kanaa
veerteeksii yoo jedhamu tuqaan kun diriiroo hundee qabate irraa
ala jira.
O O’n verteksii dha

                                                                          ABCDEF  hundee dha

F        
E


A   D

B                         C

Piiraamidiin tokko maqaa isaa verteeksii fi hundee isaatiin kennamaafi puraamidiin armaan olii kun yoo mallatteeffam (O,ABCDEF) dhaan ta’a
O’n Verteeksii piiraamidichaa yoo ta’u ABCDEF’n hundee piiraamidichaa ta’a Fuulotni cinaachaa. Kan piiraamiidichaa immoo Rog-sadoota ta’u

Hiikoo: piiraamiidiin tokko piiraamiidii sirriiti kan jedhamu yoo veerteeksiin isaa sarara hundee isaatif tuqaa walakkaa hundee irratti parpandikulaarii ta’u irratti argamee dha

                                                               O


Hojjaa (uroo)

h
piiraamiidii sirrii
D
C
Tuqaa walakkeessaa kan
hunda

A   B

Piiraamidiin tokko piraamiidii wal qixxaa’aa kan jedhamu yoo hojjaan isaa hundee isaatif tuqaa walakkeessaa irratti parpandikulaarii ta’ee fi hundee isaas Rog-baayyee wal qixxaa’aa yoo ta’ee dha.
Piraamiidiin piiraamiidii sirrii hintaane piiraamiidii shafaxaa jedhama
O

H = hojjaa


h
C



A                                         B
                                                         Piraamiidii shafaxaa

Hub- hojjaan hundeedhaaf tuqaa walakkeessaa irratti parpandikulaarii miti

Tiyooramii:- Muramni piraamiidii kam Iyyuu kan diriiroo hundee isaa waliin wal-tarree ta’een murame hudee piiraamidichaa waliin wal-fakkaata. (similar) Akkasumaas Reeshoon Bal’ina murama kanaa kan bal’ina hundeetiin wal-qixa ta’a .reeshoo Iskuweer fageenya muramni kun verteeksii irraa qaru kan Iskuweerii hojjaa piiraamidichaa waliin wal-qixa ta’a.
Mirkaneessa: Danaa armaan gadii hubadhu
O
Murama (cross-section)
D’
C’

Al               B’


C



A   B

Mee (O, ABCD) piiraamiidii kam iyyuu haata’u , mee A’B’C’D’ murna (murama) diriiroo kam-iyyuu kan hundee ABCD waliin wal-tarree ta’e haa ta’u
i. jalqaba A’B’C’D’ fi ABCD walfakkaachuu isaanii mirkaneessina (A’B’C’D’ ABCD) O

Diriiroo kan ABCD fi A’B’C’D’ wal-tarree waan ta’aniif // , // // fi // ta’u
Kanaafuu < DAB < D’A’B’
< ABC < A’B’C’ fi < BCD < B’C’D’ ta’u
Karaa biraatiin // , // , // fi // ta’uun kan nu agarsiisu
OA’B’~ OAB
OB’C’~ OBC
OC’D’~ OCD
OD’A’~ ODA ta’uu dha
Wal-fakkeenya armaan olii irraa kan argannu
= = = = = = ta’uudha
(Wal-fakkeenya Jiyoomeetrii diriiroo keessaa yaadadhu)
Kan armaan olii irraa kan argannu
= = = ta’a
Kana irraas
ABCD ~ A’B’C’D’ ta’uu hubanna
ii. lammaffaa irratti kan mirkaneessuu barbaannuu waa’ee Reshoo dubbatamee ta’a
Mee sarara dhaabbataa tuqaa O irraa diriiroo ABCD dhaaf parpandikulaarii ta’e haata’u.

Mee sararri dhaabbataan kun diriiroo A’B’C’D’ tuqaa P’ irratti haa qaxxaamuru
fi A’P’ ijaari
Garuu ABCD A’B’C’D’ waan ta’eef fi kunisii jiyoomeetrii diriiroo irraa waan yaadaanuun (maal yaadanna?)

Hub a(A’B’C’d’) kan bakka bu’u bal’ina diriiroo A’B’C’d’ ta’a
a(ABCD) kan bakka bu’u bal’ina diriiroo ABCD ta’a
~ APO waan ta’eef
= ta’a
Akkasumatti A’B’O ~ ABO waan ta’eef
= ta’a
Kanneen armaan olii irraa kan-argannu
=
Kanaafuu =
= ta’a jechuudha
Gocha:- kan armaan gaditti kenname mirkaneessi.

Piiraamidotni lama bal’inni hundee isaanii wal-qixa yoo ta’an fi dheerinni hojjaa isaanitis wal-qixa yoo ta’an, muramooni (plane section) piraamiidoota kanaa kanneen hundeelee isaanii waliin wal-tarree ta’ani fi verteeksota isaanii irra wal-qixa fagaatan bal’ina wal-qixaa qabu.

Gocha

Peeraalalpipidiin qarqaroota meeqa qaba?
qararrii kiyuubii tokkoo yuunitii 6yoo ta’e dheerinni sarbii (digonali) isaa meeqa ta’a?
Yoo O’n madda siiqqeewwanii ta’ee fi kor jineetii tuqaa P, (x,y,z) yoo ta’e,
OP = ta’uu isaa Agarsiisi
4.2. Bal’ina fuulotaa fi Qabee danaalee Jaboo beekamoo
Barattootni koorsii kana dura koorsii jiyoomeetrii diriiroo irratti akkaataa Itti bal’ina dandaalee diriiroo Ittin barbaaddan barattanii jirtu. Amma immoo kutaa kana keessatti akkaataa bal’ina dirra cinaachaa, bal’ina fuulotaa fi Qabee danaalee jabboo Ittin barbaannu ilaalla.

Kaayyoo:- Barattootni Barumsa kutaa kanaa booda
 Foormuulaa bal’ina dirra cinaachaa fi bal’ina fuulota danaalee jaboo ittiin barbaadan ni himu (ni mirkaneessu)
 Bal’ina cinaachaa kan danaalee jaboo beekamoo ni shallagu
 Bal’ina fuulota kan dandaalee jaboo beekamoo ni shallagu
 Foormuulaa Qabee dandaalee jaboo beekamoo ittin barbaadan ni uummatu
 Qabeelee dandaalee jaboo beekamoo ni shallagu
 Pirobleemota kanneen waliin wal-qabate ni furu
4.2.1 bal’ina fuulota danaalee jaboo
Hiikoo:-
Bal’inni fuulota cinaachaa kan pirizimi ida’ama bal’ina tokkoo tokko fuulota cinaachaa ta’a.
Bal’inni fuulota pirizimii Ida’ama bal’ina fuulota cinaachaa fi bal’ina hundee lamaanii ta’a.

Mee Amma: Pirizimii sirrii tif bal’ina fuulota cinaachaa haa barbaannu
Fuulotni cinaachaa kan pirizimii sirrii ta’ee Reektaanguloota ta’u isaanii ni yaaddanna.

Mee prizimii sirrii (ABCDEF, PQRSTV) haa ilaallu.
Mee dheerinni Rogoota fi diiraa duubaan a,b,c,d,e fi f saffarraan haata’u, mee hojjaan pirizimtichaa dheerinni isaa h haata’u

Prizimtichi prizimii sirrii waan ta’eef, qarqaroonni (edge) hundinuu dheerinni isaanii saffaraan h ta’uu, fuulotni cinaachaa hundinuu Reektaangloota ta’u.

                        U                                T


P
        S

        Q                        R




F   E

 A                                                                     D


B     C

b(ABQP)= a.h (maalif?)
b (BCRQ) = b.h
haaluma kanaan itti fufuudhaan bal’inni fuulota cinaachaa kan prizimtichaa
ah+bh+Ch+dh+eh+fh ta’a
 (a+b+c+d+e+f) h ta’a
 Bal’inni fuulota cinaachaa = (Naannoo hundee) x h ta’a jechuudha
Gocha
 Bal’ina fuulootaa kan pirizimii Armaan olii barbaadi
Mee Ammoo bal’ina fuulota cinaachaa kan prizimii shafaxaa (oblique) haailaallu
Gocha
 Fuulotni cinaachaa kan prizimii shafaxaa danaalee diriiroo keessa Gosa kam-ta’a?
 Fuulotni cinaachaa kan prizimii shafaxaa paraalelograamota ta’u kanaafuu Bal’inni fuulota cinaachaa “b dc” kan ta’u
Bdc= (Naannoo hundee) h
Garuu h’ hojjaa akka armaan olitti prizimii sirrii irraa argannee miti
Gocha
h’ maal akka ta’e ibis
h’ akka armaan oliitti dheerina qerqaroota pirizimichaa nita. Kanaafuu akkaataa h’ ittiin barbaadaa hiriyoota kee waliin ta’uudhaan daree keetiif dhiyeessi
Hiikoo
Bal’inni fuulota cinaachaa kan piiramidi ida’ama bal’ina fuulota Rog-sadoota hundaa ta’a .bal’inni fuulotaa kan piiraamidii ida’ama bal’ina fuulota cinaachaa fi bal’ina fuula hundee piiraamidichaa ta’a.
Hiikoo
Sararri dhaabbataan verteeksii piiraamidii sirrii irraa qarqaraa hundee isaatti parpandikulaarii ta’e hojjaa shafaxaa kan piiraamidichaa jedhama

Tiyoorama
Bal’inni fuulota cinaachaa kan piiraamidii waliqixaa (regular) ta’e tokkoo ½ 1/2(naannoo hundee) x hojjaa shafaxaa ta’a

Mirkaneessa:-
Mee piiraamidii wal-qixaa (Regular) kan hundeen isaa Rogoota shan qabu haa fudhannu
Mee (O, ABCDE) piiraamidii sirrii haata’u mee hojjaa shafaxaa haa ta’u fi hojjaa piiraamidichaa haa ta’u.
O

   E                        D           
A   S
C

B

Danaa armaan olii irratti fuulotni Rog-sadooni Rog-sadoota ayisosilasii ta’u (maalif?)

Gocha
Hojjaan safaxaa kan Rog-sadoota hundaa wal-qixxaa? Maalif?

Mee dheerina Rogoota hundee saffera m haata’u (maalf hundinuu m ta’u?) dheerinni hojjaa shafaxaa l haata’u b ( AOB) = ½ ml ta’a.
Kanaafuu bal’inni fuulota cinaachaa kan piiraamidichaa
= ½ ( m +m+m+m+m) l
= ½ (5m) l = 5/2 m l ta’a
= ½ (naannoo hundee) x l ta’a
Gilgaala

Piiraamidiin hundeen isaa Rog-sadee Ikulaataraalii ta’e tokko dheerina qarqara oto fuulota cinaacha isaa 8cm yoo ta’ee fi dheerinni qarqara hundee isaa 6 cm yoo ta’e
a. bal’ina fuulota cinaachaa barbaadi
b. bal’ina fuulotaa barbaadi
hundeen piiraamidii sirrii tokkoo iskuweerii dheerinni Rogoota isaa 6cm ta’e yoo ta’eefi fuulottni cinaachaa isaa hundinuu Rog-sadee Ikulaataraalii yoo ta’e.
a. bnal’ina fuulota cinaachaa barbaadi
b. bal’ina fuulotaa barbaadi
paraamidiin sirrii tokko hundee Rog-jahee wal qixxaa’aa tokko irra yoo dhaabbatee jiraate dherinni Rogoota Rog-jahee kanaa 5cm yoo ta’ee fi fuulotni cinaachaa isaa gara hundee isaaniitti 600 yoo jallatan
a. bal’ina fuulota cinaachaa barbaadi
b. bal’ina fuulotaa barnaadi
Hub Gaafilee armaan olii danaaleen isaani lakka armaan gadiitti kenname O 8 888 8 A 6 B S 6 A
C
6
B 6 S 5 A D</code></pre>5 5 B 5 C
Verteeksonni hundee piiraamidii sirrii tokkoo tuqaalee (9,5,0) (-9,5,0) , (9,-5,0) fi (-9, -5,0) irra yoo ta’ani fi verteeksiin piiraamidchaa immoo tuqaa (O,0,12) irra yoo ta’e
a. bal’ina fuulota cinaachaa barbaaddi
b. bal’ina fuulotaa barbaadh.
4.2.2 Qabee Danaalee jaboo
Hiikoo
Qabeen Danaa jaboo saffara wanta danaa jaboo kana keessatti haammatamee qabatamuu danda’uu dha

Saffarri Qabeen danaa jabboo tokko ittiin saffarame saffara kiyuubii (cube unit) jedhama
Pooschuleetota Qabee
A1. Danaa jaboo kam iyyuufu lakkoofsi pozatiivii tokko ni jira kan saffara Qabee isaa ta’e.
A2 yoo dandaan jaboon tokko danaalee jaboo lamaa fi lamaa ol ta’an kanenee bakka walii hin qabaanne irraa umama ta’e Qabeen dandaa kana ida’ama Qabeelee dandaalee inni irraa uumame ta’u
A3. Qabeen pirizimii Reektaangulaawaa ykn kiyuuboyidii kan safaroota (dheerinni) qar qaroota isaa a,b, fi c ta’e a.b.c kiyuubik yunitiiisaa ta’a.
Tiyooramii
Qabeen pirizimii sirrii kan hundeen isaa Rog-sadee walqixxaa’aa ta’e tokkoo
V = (bal’ina hundee) x hojjaa ta’a
Gilgaala:-
Tiyooramii kana mirkaneessi
Tiyooramii:0
Qabeen pirizimii sirrii kan hundeen isaa Rog-sadee kam iyyuu ta’e tokko
V = (bal’ina hundee) x hojjaa isaa ta’a

Gilgaala:
Tiyooramii kana mirkaneessi
Gocha

Qabeen pirizimii sirrii kam iyyuu kan hundeen isaa rog-baayyee kam oyyuu ta’e tokkoo
V = (bal’ina hundee) x hojjaa isaa ta’uu isaa mirkaneessi
pirizimootni lama kanneen hojjaa gosa tokko qabaatanif bal’inni hundee isaanii wal-qixa ta’e, Qabeeleen isaani wal-qixa ta’u Agarsiisi
Fakkeenya
Qabee pirizimi sirrii kan hundeen isaa Rog jahee walqixxaa’aa ta’ee dheerinni hojoota isaa yuunitii 6 ta’ee fi hojjaan isaa yunitii 8 ta’ee barbaadi 8 6 6 6
Qabee V = (bal’ina hundee) x hojjaa ta’a
Bal’inni hundee, = ½ nr2 sin ta’a
n = baay’ina rogootaa yoo ta’u
r’ immoo maal’ sitti fakkaataa?
B hundee = ½ (6) r2 sin
= 3r2 sin 60
= 3r2 = r2 ta’a
Garuu 5 = deerina Roga hundee
= 2r sin 180 (maalf?
S= 2r sin = 2r sin = 2rsin 30 = 2r (1/2 ) =r
s = r = 6 ta’a (maalf?)
Kanaafuu bal’ina hundee = bh =
=
=
= )
= Isku, yuntii ta’a
Kanaafuu Qabeen V = (bal’ina hundee) x hojjaa
= (54 ) x hojjaa
= (54 8
= 43 kiyuubiki yuunitii ta’a.
Fkn: Qabee Danaa Armaan gadii barbaadi 2 3 8

Danaan armaan olii pirizimii Sirrii hundeen isaa Rog-sadee Aysosilasii ta’ee dha.

Qabee = V = 1/3 (bal’ina hundee) x hojjaa ta’a
Bal’ina hundee = bal’ina Rog-sadee Ayisosilasii ta’a.
B
’n hundee AC wal-qixaztti
2 2 qaxxaamura (waalif?)

A D C
3

AD = = DC
(AD)2 + h2 = 4
2 + h2 = 4
h2 = 4- = =
h = ta’a
Kanaafuu bal’inni hundee ½ (AC) h ta’a
= ½ (3)
= Isku. Yuni
Qabeen = V = (8) = (3 ) (2) = 6 kub. yuu

Gilgaala
Danaalee Armaan gadiif Qabee isaanii barbaadi
a
4 4

4   8

                                      5


5                                          5
5

Qabee piiraamidii
Tiyooramii:- Qabeen piiraamidii kam-iyyuu
V = 1/3 (bal’ina hundee) x hojjaa ta’a
= 1/3 (bhu) h ta’a
h = hojjaa
bh = bal’ina hundee
Mirkaneessa:- danaalee armaan gadii hubadhu
Q
P
S Q
P

A   C


B              A

S
            Q   C
S


A   C   A
            B

Mee (S, ABC) piiraamidii Rog-Sadaawaa hojjaan parpandikulaarii h ta’ee haa ta’u
Tuqaalee A fi C keessa sarara dhaabbataa dhaaf wal-tarree ta’e ijaari. Sararoota kana diriiroo S keessa dabruu fi kan hundee ABC dhaaf waltarree ta’een muri (kuti) kunis piirizimii Rog-sadaawaa kan qabeen isaa Q = V = b( ABC) x h ta’ee uuma.

Sarara shafaxaa ijaari kan paaraalelogramii ACQP ta’e.
Amma piirizimtichi kun piraamidpta (S, ABC) kana hundee ABC irra dhaabbatee fi (S, ACQP) kan hundeen isaa paaraalelograamii ACQP irra dhaabbateetti caccaba

Ammaas piraamidiin (S, ACQP) kun piiraamidii lama(S,APQ) fi (S, ACQ) kanneen Qabeen isaanii walqixa ta’annitti caccaba ( APQ ACQ) waan ta’eef karaa biraatin (A, PSQ)
(S, ABC) ta’a (maalif?)
Kanaafuu pirizimtichi piiraamidota Sadii kunneen Qabeen isaanii wal-qixa ta’etti qoodama
Qabeen piiramidii = 1/3 (Qabee pirizimtichaa) ta’a
= 1/3 (bal’ina hundee) x (hojjaa perpandikulaariii)
= 1/3 bhi . h ta’a
Kanaafuu Qabeen piiraamidii hundeen isaa Rog-baayyee kam-iyyuu ta’e
V = 1/3 (bhu) xh (h = hojjaa) ta’a
Fkn bal’ina fuulotaa cinaachaa fiqabee piiraamidii sirrii kan hojjaan isaa 15 yunitii ta’eefi hundeen isaa Iskuweerii dheerinni Rogoota isaa yuunitii 16 ta’ee barbaadi S

C
D O B
P

A


OS = 15
AB = AD = 16
OP = ½ (AB) = 8(maalif ?)

Rog-sadee SOP’n Rog-sadee kofa sirrii ta’eedha
< POS kofa sirrii dha
(SP)2 = (OS)2 + (OP)2
= (15)2+ (8)2 = 289
SP = = 17
Bal’inni fuula SDA = ½ (AD x SP) maalif?
= ½ (16 x 17) =
= 136 isk. Yun

Bal’inni fuulota cinaachaa 4 x bal’ina fuula SDA ta’a (Maalif?)
Kanaafuu bal’inni fuulota cinaachaa 4 x 136 = 544 isk yn. ta’a

Qabeen Piiraamidichaa 1/3 (bhu) x h ta’a
Bhu = bal’inni hundee = 16 x 16 = 256 isk. Yu ta’a
Qabee = V = 1/3 (256 x 15)
= 1280 kiyu. Yunitii ta’a.
Gilgaala

Qabee piiraamidii kan hundeen isaa Rog-sadee dheerinni Rogoota isaa 15cm, 14 cm fi 13 cm ta’ee fi hojjaan isaa 10 cm ta’ee barbaadi
piiraamidii sirrii kan hojjaan isaa 9cm ta’eefi hundeen isaa iskuweerioi dheerinni rogoota isaa 8cm ta’an tokkoof
a. hojjaa shafaxaa (slant height)
b. qarqara shafaxaa (slant edge)
c. bal’ina fuulota
d. Qabee isaa barbaadi Hojjaa shafaxaa

Qarqara shafaxxaa
8

Danaa armaan gadii ilaali E e F h C
A D b
a B
Danaan armaan olii kun qottoo hundeen isaa Reektaanglii Rogoonni maddii lamaan dheerinaan “a” fi “b” ta’anidha
Fuulotni cinaachaa isaas EAD, FBC fi kanneen hafan lamaan Immoo traapiziyamoota AEFB fi DEFC yoo ta’an traapiiziyamoonni lamaan Rog-walii
qabu. // fi // ta’u yoo FE = e, hojjaan = h ta’e Qabeen qottoo kanaa
V = (2a+e) ta’uu mirkaneessi
Piiraamidii sirrii kan hundeen isaa Rog-jahee walqixxaa’aa dheerinni Rogoota isaa 6cm ta’ee fi hojjaan isaa 10cm ta’eef
a. Bal’ina fuulota cinaachaa barbaadi
b. Bal’ina fuulotaa barbaadi
c. Qabee piiraamidichaa barbaadi
P h = 10 h

A D

6                       6   
B   6              C

Danaa Armaan gadii hubadhu 5 7 5 8 10
a. Bal’ina fuulotaa barbaadi
b. Qabee isaa barnaadi 4.2.3 Frastamii piiraamidotaa fi koonotaa)
Hiikoo
Yoo piraamidiin tokko diriiroo hundee isaa waliin wal-tarree ta’een murame qamni piraamidii kanaa kan hundee isaa fi bakka itti murama jiduu jiru frastamii piiraamidichaa jedhama
O D L C’ hojjaa shafaxaa A’ L B’ C
D M
A B
Frastamizin piiraamidii (O, AB CD) qaama Jaboo hundee ABCD fi Diriiroo ABCD waliin wal-tarree ta’e A’B’C’d’ jidduu jiruu dha.

ABCD fi A’B’C’d’ hundeelee frastamtichaa jedhamu.

Fageenyi parpandikulaariin hundeelee lamaan jidduu jiru furdina (thickness) frastamichaa yoo ta’u, fageenyi parpandikulaaricha qarqaroota lamaan walitti dhufoo Akka fi jidda jiruu hojjaa shafaxaa frastamii jedhama.

Fuulotni cinaachaa kan frastamticha Immoo Traapiziyamoota ta’u

Mee bal’inni hundeelee ABCD fi a’b’C’D’ E1 fi E2 duraaduubaan haata’an.

Mee sararri dhaabbataan parpandikulaarii verteeksii O irraa ABCD tuqaa M irratti fi A’B’C’D’ tuqaa l irratti haa qaxxaamuru
= (maalif?)
Mee Amma bal’ina fuulota cinaachaa kan murama piiraamidii sirrii kan hundeen isaa Rog-baayyee walqixxaa’aa Rogoota n qabuu haa ilaallu

Mee K’n furdina (thicknes) bakka haabu’u mee a1 fi a2 dheerina Rogoota walitti dhufoo akka fi hundeelee lamaanii haata’u Mee l’n fageenya parpandikulaarii fi jidduu jiruu haata’u

Bal’inni fuulota cinaachaa kan frastamtichaa (1/2 (a1+a2)l) x n fuulotni waan fraapiziyamoota ta’aniif fi n’ baay’ina fuulota cinaachaa waan ta’eef
= (1/2 (na1+na2) l
= ½ (Ida’ama Naannawa hundeelee lamaanii)
X (fageenya qarqaroota walitti dhufoo jidduu jiruu (slant
thickness))
mee Amma Qabee frastamii piiraamidichaa haa ilaallu
Mee OM = h1 fi OL = h2 haata’an
= = m haatau
E1 = b (ABCD)
E2 = b (A’B’C’D’)
Garuu lakkoofsa tokko m dhaaf
E1 = h12m, E2= h22 m ta’a (maalif?)
Qabeen frastamii piraamidichaa
V (O, ABCD) – V (O, A’B’C’D’) ta’a
= 1/3 E1h1 – 1/3 E2h2
= 1/3 (mh12) h1 – 1/3 mh22 (h2)
= 1/3 mh13 – 1/3 mh23
= 1/3 m (h13 – h23)
= 1/3 m(h1-h2) (h12+h1h2+h22)
= 1/3 m (h1 – h2) (mh12 +mh1h2+mh22)
Garuu K = h1 – h2
 1/3 k (h12m+ , . m + mh22) (maalif?)
 1/3 k (mh12 + + mh22)
 1/3 K (E1 + + E2)
Kanaafuu Qabeen frastamii piraamidii sirrii tokko
V = 1/3 k (E1 + + E2) kiyuubic yuunitii ta’a.
Gilgaala
Frastami Armaan gadii kan hundeen isaa Rog-baayy’e walqixxaa’aata’e baay’inni Rogoota isaa 5 ta’e fi hojjaan isaa hn yuunitii 8 ta’eef 4 4 4 4 4 8 yuniti 10 10 10 10 10
a. Qabee
b. bal’ina fuulotaa (dirraa) barbaadi

c. bal’ina fuulotaa (dirraa) barbaadi

2
2
6
4

a. bal’ina fuulotaa barbaadi
b. qabee barbaadi

Piiraamidiin hundeen isaa Rog-sadee Ikiyuulaataraalii ta’e tokko dheerinni Rogoota hunde isaa 6 cm ta’ef dheerinni qarqaroota shafaxaa isaa 8 cm yoo ta’e
a. Bal’ina fuulota (dirra) cinaachaa
b. Bal’ina fuulotaa (bal’ina dirraa)
c. Qabee
d. Yoo diriiroon tokko kan diriiroo hundee piraamidii irraa 3cm fagaatu if peeralaleeita’e paraalalii ta’e piraamidii kana mure.
i. Frastamii uumamuuf bal’ina dirra cinaachaa barbaadi
ii. Frastamii uumamuuf bal’ina dirraa barbaadi
iii. Frastamii uumamuuf qabee barbaadi O 8 C’ A’ B’ 6 C 6 3 A 6 B</code></pre></li>Dheeriini qarqarri shafaxaa kan paaraalal pipidii sirrii ta’ee tokko dheerinni isaa 5cm dha dheerinni Rogoota walmadii kan hundee isaa duraa duubaan 6cm fi 8cm yoo ta’e fi sarbiin (diagonal) hundee isaa tokko 12 cm a. dheerina sarboota paaraalal pipidii kanaa barbaadi b. Bal’ina dirraa isaa barbaadi c. Qabee isaa barbaadi hundeen pirizimii tokkoo reektaanglii dheerinni rogoota wal-maddii 8 cm fi 12 cm ta’aniidha qarqarn onni shafaxaa (lateral edges) dheerinni isaanii 6 cm. Fuulotni cinaachaa keessaa kanneen wal fuullee lama Reektaanguloota hundee pirizimichaa waliin kofa dihedraalii safari isaa 600 uumamaniidha a. bal’ina dirra cinaachaa barbaadi b. bal’ina dirraa barbaadi c. qabee isaa barbaadi BOQONNAA SHAN Hedron Baayyee Wal-qixaa’aa (Regular Poly hedron) Kutaa kana keessatti kan ilaallu, Gosootn hedronbaayyee wal-qixaa’aa ta’an shani dha Kaayyoo:- Xumuuraa kutaa kanaa booda barattootin  Hiikoo hedra-baayyee (polyhalra) wal qixxaa’aa ni kennu.  Garaagarummaa hedra-baayyee fi hedra=baayyee wal-qixxaa’aa ni himu  Gosoota hedra-baayyee wal-qixxaa’aa ni himu  Hariiroo baay’ina fuulotaa, verteeksotaa fi qarqaroota heddraa-baayyee wal-qixxaa’aa qaban ni himu.  Bal’ina dirraa, Qabee hedra-baayyee wal-qixxaa’aa ni barbaadu.

Hiikoo Danaan Jaboon fuulota diriirroo ta’aniin marfame Hedron baayyee (poly hedron) jedhama. Hiikoo:- Hedron-baayyeen tokko hedron-baayyee wal-qixaa’aa dha kan jedhamu yoo dirroorri (fuulotni) isaa fuulota Rog-baayyee wal-qixaa’aa walitti galoo ta’aniidha fi kofootni Jaboon verteeksota hunda irraatti argaman kofoota baayinni fuulota irraa itti uumamanni walqixa ta’eedha. i. Fuulotni isaa Rog-baayyee wal-qixaa’a ii. Rog-baayyee walitti galoo dha 5.1 hedron sadee wal qixxaa’aa Hiikoo:- Hedron baayyeen tokko tokkoo koofa Jaboo isaa Rog-sadoota Ikulaateraalita’an sadiin uumame, Hedron sadee (tera hedron) wal-qixaa’aa jedhama Hedroon Sadeen  Fuulota Afur qaba  Verteeksota Afur qaba  Qarqaroota (edges) jaha qaba  Kofoota Jaboo Afur qaba Gilgaala Kofoota dihedraalii meeqa qaba? Yoo hedron sadeen tokko fuulota Rog-sadee Ikulaataraali dheerenni Rogoota isaa yuunitii 8 ta’e irraa yoo uumame a. Bal’ina dirraa barbaadi b. Qabee isaa barbaaduu dandeessaa? 5.2 Hedron saddeet walqixxaa’aaron Hiikoo:- Hedron baayyeen tokko tokkoo koofa jaboo isaa Rog-sadoota Ikulaataraalii ta’an Afuriin uumamee, Hedron saddeet wal-qixxaa’aa (Regular octa hedron) jedhama Hedron Saddeet wal-qixxaa’aa  Fuulota saddeet qaba  Verteeksota jaha qaba  Qarqaroota 12 qaba Danaan hedron-saddeet yoo caccabsinee kan diddiriirsnu ta’e neetiin (Net) isaa Akka armaan gadii ta’a. Rog-sadoota meeqa qabna? Qarqaroota meeqa qabna? Fkn Hedron saddeet wal-qiixxaa’aa kan dheerinni qarqara (edge) isaa meetra 2 ta’ef a. dheerina sarbii isaa (diagonal) b. bal’inna dirraa (fuulotaa) c. Qabee d. Safara kofa dihedraalii isaa barbaadi P A D C B Mataa ngubbaa qofti yoo ilaalame Q P D A O C R B Danaa hedron-saddeet irraa kan hubannu Hedron saddeet puraamidota lama kanneen waliif fullee irraa hojjatama isaan lammaanuu hundeen isaanii iskuweerii ABCD ta’a. Mee ’n Sarara dhaabbataa tuqaa P irraa O irratti parpandikulaarii ta’ee ijaarame haata’u. O’n tuqaa walakkeessaa kan Iskuweerii ABCD ta’a.(maalif?) n dhaaf parpandikulaarii ta’ee wal-qixatti kuta(maalif?). Amma AB = 2m kennameera RB = m fi RO = m ta (maalif?) PR = RB tan 600 = m ta’a Rog-sadee kofa sirrii POR irraa (OP)2 = (PR)2 – (OR)2 = 3m2 –m2 = 2m2 OP = m Kanaafuu a. Sarbiin (diagonal) hedron-saddeet kan 2OP = 2 m ta’a b. Bal’inni dirra (fuulotaa 8 b(PAB) (b( PAR) = bal’ina PAB ta’a) = 8. RP. RB (maaf? = 8x m x m = 8 m2 ta’a. c. Qabeen = 2(Qabee piiraamidii verteeksii isaa P ta’ee dha) = 2[ 1/3 OP x (bal’ina hundee)] = 2 (1/3 m x(2m)2 = kiyuubi yunitii ta’a. d. Kofti dihedraalii = 2 x s(<PRO) ta’a Garuu tan s(< (PRO) = = = Kana gabatee trigonomeetrii irraa yoo ilaallu S (<PRO) = 54044’ ta’a. Kanaafuu safari kofa dihedraalii 2 x (540 44’) = 109028’ ta’a 5.3 Hedron digdama walqixxaa’aa (regular icosahedron) Hiikoo:- Hedron baayyeen tokkoo tokkoo kofootni jaboo isaa Rog-sadee Ikulaateraalii ta’e shaniin uumamu Hedron digdama (Icoshelron) jedhama. Kunis  Fuula digdama qaba  Verteeksota 12 qaba  Qarqaroota 30 qaba Neettiin ykn caccabinsi fuulotaa akka armaan gadii ta’a Fuulota 20 verteeksota 12 qarqaroota 30 qabaachuu isaa hubadhu Fkn Hedron digdama wal-qixxaa’aa ta’e kan kofootni jaboo isaa Rog-sadoota ikulaataraalii dheerinni rogoota isaanii yunitii 4 ta’eef a. bal’ina dirraa b. qabee barbaadi a. Rog-sadootni fuulota ta’an hundinuu Rog-sadoota Ikulaataraali waan ta’anii fi dheerinni Rogoota isaanii yunitii 4 waan ta’eef mee bal’ina fuula tokkoo haa barbaannu b ( ABC) = ½ (4x4) sin 60 (maalif?) A = sin 60 4 4 = 8 sin 60 B C = 8 = 4 iskiyu ta’ 4 Garuu walumaa galatti Rog-sadoota 20 qabna. Kanaafuu bal’inni fuulotaa 20 x (4 ) = 8 0 isku. Yuunitii ta’a b. Hedron digidamni kun dandaalee jaboo ta’an saditti qoodamuu danda’a. kanneen keessaa Lamaan isaanii piiraamidota walitti galoo ta’an. Kan hundeen isaanii Rog-shanee (Pentagon) wal-qixxaa’aa ta’e fi dheerinni Rogoota isaa yuunitii 4 ta’eedha Inni sadaffaa immoo pirizimii sirrii kan hundeen isaa Rog-shanee wal-qixxaa’aa ta’e fi dheeronni Roga-hundee isaa yuunitii 4 ta’ee dha Gocha danaalee sadeenuu kaasi Rog-baayyee wal-qixxaa’aa baay’inni Rogoota isaa n ta’e hundaaf bal’inni isaa A = ½ nr2 sin ta’a. (maalif?) Rog-shanee wal-qixxaa’aa dhaaf A = ½ x 5 xr2 sin = r2 sin 720 ta’a Dheerinni Rogootaa yoo s ta’e S= 2r sin ta’a (maalif?) Garuu S = 4 Kanaafuu 4 = 2r sin 2 = r sin 360  r’n dheerina raadiyesi geengoo Rog-baayyee kana marsee ta’a (circumscribing) Kanaafuu A = sin 720 Garuu hojjaan ykn iiron h2+r2 = 42 hojjaan pirizimtichaa hojjaa Rog-sadee Ikulaataraalii fuula pirizimtichaa ta’a (maalif?) 4 Cos 30 = h = 4 cos 30 4 4 300 Hojjaa pirizimii = h = ta’a. Hojjaan piiraamidichaa immoo yoo h’ ta’e h’2+ r2 = 42 h’2 = 42 –r2 h’ = = kanaafuu Qabeen piiraamidii tokkoo Qabeen piiraamidota lamaanii 2x Amma Immoo mee Qabee pirizimtichaa haabarbaannu Qabeen = (bal’ina hundee) x (hojjaa pirizimtichaa) = = 5 Kanaafuu Qabeen Hedron digidamaa kan ta’u = 5 ta’a = 5 ta’a Gilgaala hedron saddeet wal-qixxaa’aa dheerinni qorqarri isaa 4 cm ta’eef a. qabee b. dheerina shafaxaa (diagonal) c. Bal’ina dirraa barbaadi hedron digdame wal-qixxaa’aa dheerinni qaraqrri isaa 6cm ta’eef a. Bal’ina dirraa b. dheerina shafaxaa (diagonal) C. qabee barbaadi 5.4 kiyuubii Hiikoo hedroon baayyen kofootni jaboon isaanii fuulota iskuweerii ta’an sadiin uumamu kiyuubii jadhama kiyuubii fuulota jaha qaba verteeksota saddeet qaba qarqaroota kudha lama qaba neetiin isaa akka armaan gadii ta’a Hiikoo 5.5 hedron kudhalamee walqixxaa’aa(regular dodeca hedron) Hedroon baayyeen tokkotokkoo kofa jaboo isaanii fuulota Rog-shanee wal-qixxaa ta’an sadiin uumame Hedron – kudha lama (dodeca hedron) jedhama Fuulota 12 Verteeksota 20 Qarqaroota 30 qaba Neetiin hedron kudha lame kanaa akka armaan gadii ta’a. Gilgaala Hedron kudhalamee kofootni jaboo isaa Rog-shanee walqixxaa’aa dheerinni Rogoota siaa 6 cm ta’eef a. bal’ina dirra cinaachaa barbaadi b. bal’ina dirraa barbaadi. Gilgaala Hedron kudhalamee kofootni jaboo isaa Rog-shanee walqixxaa’aa dheerinni Rogoota siaa 6 cm ta’eef c. bal’ina dirra cinaachaa barbaadi d. bal’ina dirraa barbaadi. Tiyooramii Hedron – baayyee Gosoota shan qofa qabna Mirkaneessuu Hub – yoo xinnaate fuulota sadii kannen Rog-baayyee wal-qixxaa’aa ta’anitu walitti dhufuudhaan kofa jaboo Hedron baayyee uumuu danda’a.  Ida’amni safara kofoota diriiroo (plane angles) kan veerteeksii Hedron-baayyee irratti uumamuu 3600 caaluu hinqabu.  Safari kofa Rog-baayyee wal-qixxaa’aa kan kan akka fuula Hedron-baayyee wal-qixxaa’aa ta’u caaluu hin qabu Kanaafuu safari tokkoo tokkoo kofa Rog-baayyee wal-qixxaa’aa baay’inni Rogoota isaa n ta’e kan qabnu Kanaafuu  3n -6 <2n  3n – 2n<6  n<6 Kanaafuu baay’inni Rogootaa kan Rog-baayyee wal-qixxaa’aa kan akka fuula Hedron baayyee wal-qixxaa’aa ta’u. baay’inaan irra xiqqaa 6 ta’a. Kanaafuu Rog-baayyonni akka fuulotaatti ta’uu danda’an Rog-sadee Ikulaataraalii iskuweerii Rog-shanee wal-qixxaa’aa ta’u Yoo Rog-sadoonnin ikulaataraalii akka fuulota Hedron baayyee wal-qixxaa’aa ta’an i. Saffarrii tokkoo tokkoo kofa keessoo 600 waan ta’eef, baay’inni Rog-sadoota kan akka fuulota Hedron-baayyeetti ta’an himuun ni danda’ama Mee K baay’ina Rog-sadootaa haa ta’u Kanaafuu K X 60=saffara digrii kofa jaboo hedron baayyee kanaa ta’e K X 60 < 360 K < 6 Waan kana ta’eef baay’inni Rog-sadootaa kanneen Verteeksii kenname irratti kufa Jaboo Hedron baayyee uuman 6 irra xinnaatu. Kanaafuu a. K = 3 (maalif 3 irraa jalqaba?) b. K = 4 c. K = 5 ta’u a. Yoo K = 3 ta’e Rog-sadoota Ikulaataraalii 3 tu kofa jaboo Hedran baayyee tokkoo uuma. Yeroo kana Hedron-baayyee kun Hedron- sadee wal-qixxaa’aa (Regular tetra hedron) ta’a. b. Yoo K = 4 Rog-sadoota Ikulaateraalii 4 tu kofa Jaboo Hedron baayyee tokkoo uumu. Yeroo kana Hedron baayyeen kun Hedron saddeet wal qixxaa’aa (Regular octa hedron) ta’a. c. Yoo K = 5 Yeroo kana kan argannu Hedron-baayyee wal-qixxaa’aa kan koffi Jaboo isaa Rog-sadoota. Ikulaataraalii ta’an shaniin uumamanii dha. Hedron-baayyeen akkanaa kuni Hedron digdama wal-qixxaa’aa (regular Icosa hedron) ta’a. ii. Yeroo Iskuweeroonni fuulota Hedron baayyee ta’an Mee amma baay’ina Iskuweerotaa kanneen Verteeksii Hedron baayyee tokkoo irratti kofa Jaboo uuman haa ilaallu safari tokkoo tokkoo kofa keessoo iskuweerii 900 ta’a. Mee w’n baay’ina Iskuweerota kanneen kofa Jaboo hedron baayyee tokkoo uumanii haata’u Wx 900 < 360 ta’a (maalif?)  W < 4  W = 3 ta’a (maalif?) Kanaafuu Iskuweerota 3 tu kofa jaboo Hedron-baayyee tokkoo uumuu danda’a yeroo kana Hedron baayyeen kunis kiyuubii ta’a. iii. Yeroo Rog-shaneen wal-qixxaa’aan akka fuulota Hedron-baayyee wal-qixxaa’aa ta’u Saffarri tokkoo tokkoo kofoota keessoo kan Rog-shanee wal-qixxaa’a = = = 108 Mee K’n baay’ina Rog-shanoota wal-qixxaa’aa kanneen kofa Jaboo Hedron-baayyee tokkoo uuman haata’u K x 180 < 3600 K < = = =  K < K = 3 ta’a (maalif?) Kanaafuu Rog-shanoota wal-qixxaa’aa 3 tu kofa Jaboo Hedron-baayyee tokkoo uumuu danda’a. Yeroo kana Hedron baayyeen kunis Hedron kudhalamee wal-qixxa’aa (Regular dedoca hedron) ta’a. Kanaafuu waluumagalatti Hedron-baayyota wal-qixxaa’oo Gosoota shan qofa qabna Tiyooramii (Euler’s Theorm) Hedron-baayyee kam-Iyyuufu yoo F, V fi E duraa dubaan baay’ina fuulotaa, baay’ina Verteeksotaa fi baay’ina qarqaroota isaanii ta’an. V + F – 2 = E ta’a Glgala Tiyoorami kana mirkaneessi Boqonnaa Jaha Naannessuu danaalee Jaboo (Solid Revolutions) Kutaan kun kutaalee lama qaba. Kutaan 1ffaa waa’ee silindaroota geengawoo sirrii fi koonotaa yoo ta’u kutaan 2ffaa waa’ee Isfarii ta’a. Isaan kunis dandaalee jaboon danaalee diriiroo akka Reektaangli, Rogsadee sirrii , fi geengoo walakkaa sarara ykn Roga akka siiqqeetti filataman irra Naannessuudhaan argamanii dha. Kutaalee hunda keessatti, Hiikoolee, qaamota isaani fi saffaroonni isaanitis ni ilaalama. Akkasumaas firastamoota isaanii kutaa kana kessatti ni ilaalla Kaayyoo Xumuura kutaa kanaa booda  Hiikoolee silindaroota geenga’oo sirrii, koonotaa fi qaamota isaanii ni kennu.  Hiikoolee isfarii fi qaamota isaa ni kennu.  Formuulaa bal’ina dirraa fi Qabee danaalee Jaboo Naannessuu dhaan uumamanii ni kaa’u.  Pirobleemota kanneen walin wal-qabatan ni furu 6.1. Silindaroota Kaayyoo: Xumuura Mataduree kanaa booda barattootni  Hiikoo silindarii geengawoo sirrii ni kennu  Akkaataa silindariin geengawoon sirrii itti uumamu ni himu  Farmuula Bal’ina dirra cinaachaa bal’ina dirraa fi Qabee ittin barbaadatan ni kaa’u  Bal’inna dirraa, bal’ina dirra anaachaa fi Qabee silindarii geengawoo sirrii ni shallagu. 6.1.1 Silindarii geengawoo sirrii (Right circular Cylinder) Mee Reektaanglii ABCD fudhadhu A D B C Yoo Reektaangliin kun Roga irra naannawa ( n siiqqee Naannessuu ta’e) , Rogni ’n maal uuma? Yeroo Reektaangliin ABCD , Roga akka siiqqee Naannessuu ti fudhate irra Naannawe dandaa akka armaan gadii Arganna. D A C B Rogoonni n geengota walitti galoo fi walif wal-tarree ta’an uumu (maalif?) Hiikoo Danaan jaboon Reektaanglii tokko Rogoota isaa keessaa Roga tokko akka siiqqeetti fudhachuudhaan Roga-kana irra Naannesuudhaan Argannu Silindarii geengawoo sirrii jedhama. Kanaafuu Silindariin geengawoo sirrii kan marfamee  Geengota wal tarree fi walitti galoo ta’an lamaan  Fuulli cinaachaa isaa Reektaanglii (dabaa) Jallatte (curved Rektangle) ta’a Danaa Armaan olii irratti hojjaa siilindartichaa yoo Jedhamu, geengonni gubban fi jala jiran lamaan hundeelee silindartichaa jedhamu Gocha Mee wantoota Naannoo keessan keessa jiran keessaa wantoota silindaroota bakka bu’uu danda’an sadii kenni Mee waraqaa bifa Reektaanglii qabu tokko fudhadhuuti Rogoonni lamaan waliif fuullee ta’an hanga wal-tuqanitti Reektaanglii kanda dabsi yeroo kana waraqaan kun dirra cinaachaa kan silindaro geengawoo sirrii ta’ee tokko uuma. Kana booda Gubbaa fi jala isaa geengota walitti galoo ta’aniin yoo cufte silindarii geengawoo sirrii ta’e tokko uumte jechuudha r . hundee gubbaa D C h h fuula cinaachaa A B b b r warqaa fudhate silindarii umte hundee jalaa silindariin uumame yoo hiikame 6.1.2 Bal’ina dirra cinaachaa kan silindarii geengawoo sirrii Bal’inni dirra cinaachaa kan silindarii geengawoo sirrii ta’ee kun Bal’ina waraqaa Reektaangulaawaa fudhachuudhaan silindarticha irraa hojjattee ti ta’a. D C A B ’n yeroo walitti dhufu hundee jalaa waan uumuuf fi hundeen jalaa kun geengoo waanta’eef AB = b = naannawa geengichaa ta’a = 2 ( r = radiyasii hundee)  b = = 2 ta’a Karaa biraatiin Bal’inni waraqaa Reektaanglichaa kan ta’u b h. dha bh = 2 h. ta’a kunis Bal’ina Reektaanglichaa ti garuu akka armaan olitti ibsametti fuulli cinaachaa kan uumamu reektaanglichaa irraa waan ta’ef bal’inni dirra cinaachaa ta’a h = hojjaa silindartichaa r = raadiyasii hundee silindarticha ta’u Balinni dirraa kan silindarii geengwoo sirrii ta’e Ida’am bal’ina dirra cinaachaa fi bal’ina hundee lamaanii ta’a. Bd = (Bal’ina dirraa) Bd = 2 + 2( (hundeelee wal-qixaa lama waan qabnuuf) = 2 (h + r) ta’a Mee pirizimii tokko kan hundeen isaa Rog-baayyee wal-qixxaa’aa ta’e fudhadhu Rog-baayyeen wal-qixxaa’aan kun yoo baay’ini Rogoota isaa haalaan dabalaa deeme, rog-baayyeen kun maal fakkaachaa deema? Qabeen h danaa kana Baay’inni Rogoota Bhxh hundee yoo baay’atu (Bal’ina hundee)X (hojjaa) ta’a Baay’inni Rogoota hundee yoo baay’atu Rog-baay’ichii geengoo fakkaataa deema. Kana jechuunis pirizimtichi gara silindariitti siqqaa deema kanaafuu Qabeen silindarii geengawoo sirrii tokkoo V = (Bal’ina hundee) x (hojjaa) ta’a = r2h ta’a (h = hojjaa) Fkn 1. silindarii geengawoo sirrii kan bal’inni hundee isaa 64 cm2 ta’eef fi hojjaan isaa 10cm ta’eef a. Bdc b. Bal’ina dirraa (Bd) c. Qabee barbaadi a. Bdc = 2 rh ta’a Garuu bal’inni hundee r2 = 64 cm2 r2 = 64 cm2  r = +8cm  r = 8cm (maalif?) Bdc= 2 rh = 2 (8) (10) = 16 (10) = 160 cm2 b. Bd = 2 rh + 2 r2 = 2 r (h+r) = 2 (8cm) (10cm+8cm) = 16 cm (18cm) = 288 cm2 ta’a c. Qabee V = r2h = (64cm2) x (10cm) = 640 cm3 ta’a Diippoon Zeeyitii kan bifa silindaraawaa qabu tokko dheerinni isaa 10 m fi naannoon hundee isaa 400 cm yoo ta’e. a. Bdc b. Bd c. Qabee barbaadi Naannoon hundee dippii kanaa 400 cm = 4 m ta’a Garuu Naannoon isaa 2 r ta’a 2 r = 4 m r = = 2m r = radiyasiin hundee 2m ta’a Garuu Bdc = 2 rh = 2 (2m) (10m) = 4 m (10m) = 40 m2 b. Bd = 2 r (h+r) = 2 (2m) (10m+2m) = 2 (2m) (10m+2m) = 4 m (12m) = 48 m2 ta’a c. Qabee = (Bhunde x (hojjaa) = r2h = (2m)2 (10m) = 4 m2 (10m) = 40 m3 ta’a Hiikoo silindariin shafaxaa (oblique) silindarii Qaami isaa hundee isaatif parpandikulaarii hin taaneedha. h = hojjaa silindar tichaa ta’a h h’, hojjaa silindarii miti Qabeen silindarii shafaxaa bal’ina hundee isaa hojiiaa isaatin baay’isuudhaan arganne. V = (bh) x (h) = r2h ( r = radiyasii hundee) ta’a h= hojjaa parpandikulaarii ta’a Gilgaala Waraqaan bifa iskuweerii dheerinni Rogoota isaa 14cm ta’e tokko maramee bifa silindarii yoo qabaate silindarii kanaaf a. marsaa (naannoo) hundee isaa barbaadi b. Bdc c. Bd d. Qabee barbaadi Meeshaan caalaan Nyaata isaa Ittin mana Barumsaa geeffatu tokko bifa Armaan gadii yoo qabaate 8cm 6cm 10cm a. Bdc b. Bd c. Qabee isaa barbaadi Yoo pirizimiin wal-qixxaa’aa hundeen isaa Rog-shanee wal-qixxaa’aa dheerinni Rogoota isaa 7cm ta’e tokko silindariidhaan yoo marfame Qabee bakka prizimtichaa fi silindarticha jidduu jiruu barbaadi. Geengoon Al-marfamoo (circumscribed) 8cm Rog-baayyee ta’e 4 Danaa armaan gadi hubadhu 3 cm 3 cm a. Bal’ina qaama siilindarticha ala jiruu 4 cm b. Qabee qaama siilindartichaa ala jiruu barbaadi 3 cm Geengoon itti marfamee Rog-baayyee ta’a (insiribed) Silindariin geengwwo sirrii ta’e tokko diriiroo tokkoon akka armaan gaditti yoo murame h1 h2 a. Balinni dirra cinaacha isaa 2 r ( ) ta’uu isaa agarsiisi b. Qabeen isaa r2 ( ) ta’uu isaa agarsiisi 4 3 10 5 a. Bal’ina dirra cinaachaa barbaad. b. Bal’ina dirraa barbaadi c. Qabee barbaadi 6.2 Koonota Mata duree kana duraa keessatti pirizimiin maalif danaa jaboo naannessuun uumame (solid of revolution) akka ta’e ilaalleera. 9Reektaangliin tokko Rogoota isaa keessaa isa tokko irra yoo naannawe silindarii geengawaa sirrii akka uumu ilaallee jirra. Amma garuu bakka Reektaanglii mee Rog-sadee kofa sirrii tokko fudhannee, miilota isaa keessaa mila tokko irra yoo naannessine danaa jaboo Akkam arganna? A h l C Danaan kun Roga irra kan naanna’u, yoo ta’e ykn ABC. akka siiqqee tti fudhatee yoo irra Naannawe Rogni danaa akkam uuma? Rogni hoo danaa akkam uuma? Akka danaa armaan olii irraa ilaallutti fuula dabae (curved surface) yoo uumu ammo Geengoo Radiyasiin isaa BC ta’e uuma .Danaan akka armaan olitti uumamee kun koonii geengawaa sirrii jedhama (Right circular cone) Hiikoo dandaan jaboon Rog-sadee kofa sirrii ta’e tokko miilota isaa keessaa mila tokko irra Naannessuun argamu koonii geengawoo sirrii jedhama. Kooniin geengawoon dandaa jaboo a. geengoo b. seektarii jallatte (curved sector) kan fuula cinaachaa isaa ta’en marfame ykn dangawee (bounded) dha. Gocha- Wantoota Naannoo keessan keessa jiran keessaa kanneen koonii geengwoo sirrii bakka bu’uu danda’an sadii Ibsi A C  A’n Verteeksii koonichaa ta’a.  BC’n Radiyasii geengoo hundee koonii kanaa ta’a  AC immoo hojjaa shafaxaa (slant heght) kooni jedhama Kunis mallattoodhaan yeroo baayyee “l” ta’a l = hojjaa shafaxaa (slant height)  AB’n hojjaa koonichaa yoo ta’e yeroo baayyee “h” dhan bakka bu’a 6.2.1 Bal’ina dirra cinaachaa bal’ina dirraa Bal’ina dirra cinaachaa mee koonii geengwaa sirrii tokko fudhaanee haa ilaallu A l C B Kooni kana mee karaa hojjaa shafaxaale murree gargar haabannu Yeroo kooniin kun uumamu hypothuasiin ABC jechuun AC yeroo irra Naanna’u seektarii geengoo tokkoo kan Radiyasiin isaa “l” ta’e uuma (l hojjaa shafaxaa kan koonichaa ta’a) Rogni (hundeen ABC ) yeroo Naanna’u garuu geengoo Raadiyasiin isaa r r = BC ta’e uuma. Kunis Akka armaan gadiitti ilaalamuu ni danda’ama. A A l l l h C B Gocha Bal’ina dirra Cinaachaa kan koonis geengawaa sirri akkamitti argatta (danaa (b) ilaali) Bal’ina dirraa kan koonii geengawaa sirrii akkamitti argatta (danaa ( ilaali) Danaa armaan olii irra akka arginutti fuulli cinaachaa (dirri cinaachaa) kan koonii geengawoo sirrii ta’e tokko seektarii (sector) geengoo raadiyasiin isaa r ta’ee fi safari kofa hunduraa isaa ta’ee dha. Kanaafuu bal’inni dirra cinaachaa kan koonii geegawoo sirrii ta’ee tokko bal’ina seekterii argamee kana ta’a jechuudha. Bal’inni seektarii geengoo radiyasiin isaa “r” ta’eefi safari kofa handuraa isaa “ ” ta’ee tokko B = ta’a (akkamitti?) Kanaafuu Bal’inni dirra cinaachaa kan koonii geengawoo sirrii tokko kan ta’u Bdc = (maalif?) Marsaan hundee kun dheerina Galboo kan seektartichaa kan raadiyasoota lamaan dhaan dangeffameedha. Garuu dheerinni seekterii tokko kan kofa of keessaa qabuu yoo C ta’e. a. C = (Jiyoomeetrii diriiroo keessatti yaadadhu) C = ( ‘n Radiyasii geengoo seektarraa irraa uumame b. Garuu ammaas C = (r’n radiyasii hundee koonichaa ta’a) (a) fi (b) irraa kan argannu = 2 r (maalif?) = = r (maalif?) Bal’inni dirra cinaachaa kan koonichaa kan ta’u ta’a, kana irraa kan irraa BdC = = = = = ta’a. Kanaafuu bal’inni dirra cinaachaa kan koonii geengawoo sirrii ta’e raadiyasiin hundee isaa r ta’e fi hojjaan shafaxaa isaa l ta’e Bal’inni dirraa kan koonii geengawoo sirrii ta’e. Bd = Bdc + (bal’ina hundee) = = ta’a Bal’inni fuulotaa kan koonii geengawoo sirrii raadiyasiin hundee isaa r ta’e fi hojjaan shafaxaa isaa l ta’e Bd= ta’a Qabee koonii geengawaa sirrii Mee piiraamidii wal-qaxxaa’aa kan hundeen isaa Rog-baayyee wal-qixxaa’aa ta’e tokko fudhadhuu ti baayina rogoota hundee isaa dabalaa deemi Danaan yeroo baay’inni hundee piraamidii wal’qixxaa ta’e baayyee dabalaa deeme, danaa koonii geengawoo sirriitin wal-fakkaachaa deema. Kana jechuun yoo baay’inni Rogoota Rog-baayyee wal-qixxaa’aa ta’ee tokko gar-malee dabalaa deeme, Rog-baay’ichi kunis geengoo fakkaachaa deema. Kanaafuu Qabeen koonii geengawoo sirrii ta’ee tokko Qabee piiraamidii wal-qixxaa’aa ta’e irraa Argamuu danda’a. Q = V = x (bal’ina hundee) x (hojjaa) = x ( x (h) = h ta’a Kanaafuu Qabeen koonii geengawoo sirrii ta’ee tokko ta’a r = raadiyasii hundee yoo ta’u h = hojjaa koonichaa ta’a Fkn 1. marsaan hundee koonii geengawoo sirrii kan hojjaan isaa 6 cm ta’ee tokko 16 cm yoo ta’e a. Bdc l 6 b. Bd r c. Qabee barbaadi. r a. Bdc = Garuu r fi L’n waan hinbeekammneef haa barbaanu Marsaa hundee = 2 = 16 cm = V = = 8 cm r = 8cm Ammaas r2 + h2 = l2 = 2 = (8cm)2 + (6cm)2 = 64 cm2 + 36cm2 = 100cm2  = 10 cm ta’a. a. Bdc = = (8) (10) = 80 cm2 b. Bd = (r+ ) = (8 cm) (8cm+10cm) = 8 cm (18cm) = 144 cm2 c. Qabee = (64cm2) (6cm) = (384cm3) = 128 cm3 ta’a. koonii geengawaan sirrii tokko raadiyasiin hundee isaa 5 cm yoo ta’e fi Bdc isaa 30 cm2 yoo ta’e hojjaa fi Qabee isaa barbaadi kennamni r = 5 cm Bdc = 30 cm2 Kan barbaannu h ta’a Bdc = l h 30 cm2 = (5 cm) 30 cm2 = 5 cm r  = 6cm ta’a Garuu = r2+h2  (6cm)2 = (5cm)2 + h2  36cm2 = 25cm2 +h2  h2 = 36cm2 – 25cm2 = 11 cm2  h = cm ta’a Qabeen r2h = (5cm)2 ( = (25cm)2 ( = cm3 ta’a. Gilgaala Yoo S bal’ina dirra cinaachaa. V’n Qabee r’n Raadiyasii hundee ’n walakka kofa verteeksii koonii geengawoo sirrii irratti uumam uu(semi vertical angle) ta’e h = hojjaa koonichaa yoo ta’e kanneen armaan gadii mirkaneessi a. S = b. V = taan2 c. S = d. V = e. S = f. V = 6.2.2 Frastamii Koonii Hiikoo Frastamiin kooni geengawoo sirrii tokko kan jennu qaama kan hundee isaa tifi diriiroo hundee isaa waliin wal-tarree jiddutti muramee dha. R1 r1 hundee l k h frastamii r2 hundee Gocha Wantoota Naannoo keessan keessa jiran keessaa kan frastamii koonii geengawo sirrii bakka bu’uu danda’an kenni  Hojjaan shafaxaa l (Slant height) kan frastamii koonii geengawoo sirrii ta’ee tokko hojjaa shafaxaa kan koonichaa keessaa isa hundeelee lamaanii daangeffamee dha.  Dirri cinaachaa kan frastamii kanaatis qaamota frastami kanaa hundee lamaan osoo hin dabalatanii dha  Fageenyi hundeelee lamaan jidduu jiru furdina (thickness) frastam tichaa jedhama kuni “k” dhaan mallatteeffame. Mee Amma frastamii koonii geengawoo sirrii ta’e tokko fi frastami piiraamidii wal-qixxaa’aa ta’ee waliin haa ilaalu. 6.2.3 bal’ina dirra frastamii koonii Yoo baayyinni Rogoota hundeelee frastamii piiraamidii wal-qixxaa’aa tokko gar-malee baay’ate, frastamiin piraamidii wal-qixxaa’aa kun maal fakkaachaa deema? Yoo sirritti ilaalle, frastamii piraamidichaa frastamii koonii geengawoo sirrii ta’ee fakkaataa deema. Kanaafuu Bal’ina dirra cinaachaa kan frastamii koonii geengawoo sirrii bal’ina dirra cinaachaa kan frastamii piiraamiidii wal-qixxaa’aa ta’ee irraa Arganna. Bdc = ½ (Ida’ama Marsaa hundee lamaanii) x hojjaa shafaxaa (l) ta’a = ½ (2 r1 + 2 r2)l = (r1+r2) l Gocha Foormuulaa bal’ina fuulotaa (bal’ina dirraa) kan frastamii koonii geengawa sirrii ta’ee tokko Ittin barbaannu eega barbaade booda barattoota daree keetif dhiyeessi. 6.2.4 qabee frastamii konnii Qabeen frastamii koonii geengawoo raadiyasii hundee jalaa fi hundee gubbaa duraa duubaan r1 fi r2 ta’ee fi furdinni isaa K ta’e tokkoo V = [ E1+ tiin kennama E1 fi E2 duraa duubaan bal’ina hundee jalaa fi bal’ina hundee gubbaa ta’u Garuu V = (E1+ = = Kanaafuu Qabeen frastamii koonii geengawoo raadiyasiin hundee jalaa fi gubbaa duraa duubaan r1 fi r2 ta’anifi furdinni (thickness) isaa “K” ta’ee tokko Fakkeenya Yoo r1 fi r2 raadiyasoota hundeelee frastamii koonii tokkoo ta’ani fi h nis hojjaa isaa ta’e, Qabeen isaa ida’ama Qabeelee silindarii tokkoo fi koonii tokkoo kanneen hojjaan isaanii h ta’ee fi raadiyasiin hundee isaanii duraaduubaan ½ (r1 + r2) fi ½ (r1-r2 )ta’ee ta’uu. Isaa Agarsiisi r2 h h ½ (r1+r2) r1 ½ (r1-r2) Qabeen frastamii koonichaa Vfr = (r12+r1r2+r22) Qabeen silindartichaa Vsi = = Qabeen koonichaa = = Kanaafuu Vsi + Vko = = = [ ] = [3(r1+r2)2 +(r1-r2)2 ] = (3 (r12+2r1r2+r22) + (r12-2r1r2+r22)) = (3r12+6r1r2+3r22+r12-2r1r2+r22) = (4r12+4r1r2+4r22) = (r12+r12+r22) = (r12+r1r2+r22) Kuniis Qabee frastamii kooniichaa ta’a. Gilgaala Frastamii koonii geengawoo sirrii ta’ee tokko diyarmeetriin hundee gubbaa fi jalaa duraa duubaan 8cm fi 6cm yoo ta’ee fi qabeen isaa 200 cm3 yoo ta’ee. a. furdina isaa barbaadi ( K barbaadi) K b. Balina dirraa cinaachaa barbaadi c. Bal’ina didrraa barbaadi 4cm 5cm 15 cm 3cm a. Bal’ina dirra cinaachaa barbaadi b. Bal’ina fuultoaa barbaadi c. Qabee barbaadi 3 2 4 4 5 a. Bal’ina dirra cinaachaa b. Bal’ina dirraa c. Qabee barbaadi 3 4 5 5 15 3</code></pre></li> a. bdc b. Bd 2 c. Qabee barbaadi 6.3 Isfaroota Kutaa kana keessatti Hiikoolee Isfarootaa fi qaamota isaanii ni ilaalla, akkasumatti akkaataa formula Bal’ina dira isfarii fi Qabee isaa Ittin argannu ni ilaalla. Formula kanneen itti fayyadamuudhaan Bal’ina dirraa fi Qabee Isfarii fi qaamota isaa ni shallagna. Kaayyoo, Barattootni xumuura kutaa kanaa booda.  Hiikoo Isfarii ni kennu  Hiikoo qaamota isfarii ni kennu  Foormuulaa Bal’ina dirra Isfarii fi Bal’ina qaamota Isfarii ittin barbaadaa ni kaa’atu.  Bal’ina dirra Isfarii fi bal’ina qaamota ykn kutaalee isfarii ni shallagu.  Foormuula Qabee isfarii fi Qabee qaamota Isfarii Ittin barbaadattan ni kaa’u.  Qabee isfarii fi qaamota Isfarii ni shallagu. Hiikoo:- Isfariin Danaa jaboo walakkaa geengoo(semi circle) dyaameetrii isaa irra Naannessuudhaan Argamuu dha. A P o o B Geengoon walakkaan APB diyaameetrii irra yoo Naanna’u, APB qaama Isfarii uuma. Yoo geengoon walakkaan (APB) diyaametrii irra Naanna’u, tuqaan kam’iyyuu kan geengoo walakkaa kana irra jiran handhuura “O” irra wal-qixa fagaatan. Kanaafuu Isfarii akka tuuta tuqootaa kanneen sami (Space) irratti tuqaa kenname tokko irraa walqixa fagaataniitti hiikamuu ni danda’a. tuqaa tuqoonni isfarii irraa jiran hundi wal-qixa irraa fagaatan kun handhura isfarii jedhama. Fageenyi tuqaaleen isfarii irraa handhura isfarii irraa qaban, Raadiyasii isfarii jedhama.  Diyaameetriin isfarii sarara dhaabbataa handhura isfarii keessa dabruudhaan tuqaalee lama kanneen isfarii irra jiran wal-qunnamsiisuu dha.  Yeroo geengoo walakkaan diyaameetrii irra Naanna’u tuqaan p kophaa isaatti geengoo uuma.  Kanaafuu tuqaaleen kamiyyuu kanneen geengoo walakkaan APB irra jiran yeroo Naanna’an geengota uumu A C D B  Radiyasiin walakkaa geengoo kan diyaametri dhaaf parpandikulaarii ta’e. geengoo guddaa (great circle) uuma, geengonni tuqaalee birootin uumaman hundinuu geengoo kana irra xiqqaatu.  Geengoon guddaan isfarii bakka lama wal qixatti qooda. Isaan kunis Hemsfarii (hemispheres) jedhamu.  Tuqaaleen C fi D yoo diyaametrii irra Na’an geengoolee xifinnoo uumu kana jechuun koordin handhura keessa hin bane fi kanneen diyaametrii dhaaf parpandikulaarii ta’an yeroo Naanna’an geengota xiyinnoo uumu jechuudha. Mee isfarii tokko haa fudhanuu, yoo diriroon tokko isfarii kana fageenya handhura isfarii irraa h ta’etti Akka armaan gaditti kutame (murame) A B Geengoon uumamu raadiyasiin isaa r kan ta’u r = ta’a (maalif?) Bal’inni Geengoo kanaatis r2 = (R2-h2) ta’a. Bal’inni geengoo uumamee kun. r2 ta’a kunis r2 = = (R2-h2) = R2 - h2 ta’a Kunis Bal’ina bakka geengoolee lamaan walkeessa jiranii jidduu jiru waliin wal-qixa ta’a. R2- h2 ta’a 6.3.1 Bal’ina Isfarii Mee O’n handhura Isfarii raadiyasiin isaa r ta’e haa ta’u. mee isfariin kun geengoo walakkaa APB sarara AB irra Naannessuun kan argamu haata’u. Mee roga rog-baayyee, walakkaa Rog-baayye tokkoo (half Regular polygon) kan baay’inni Rogoota isaa lakkoofsa Guutuu ta’e haata’u . Q P M A p m q O B kan dhaaf parpandikulaarii ta’eefi kan walqixatti hiru kaasi. , , kanneen dhaaf parpandikulaarii ta’an kaasi Yeroo geengoon walakkaan irra naanna’u Rogni qaama frastamii koonii uuma kanaafuu. Bal’inni dirra cinaachaa kan frastamticha uumamuu kan ta’u. 2 x Mm.x PQ. Ta’a (maalif?) Yoo ’n safara kofa pq fi pQ jidduu jiruu ta’e Pq = PQ cos ta’a (wal fakkeenya rogsadootaa yyadadhu) Pq = PQ cos = PQ. ta’a Garuu Mm pq fi MO PQ Kanaafuu Mm x PQ = OM x PQ (Maalif?)  Bal’inni dirra cinaachaa kan frastamtichaa kan ta’u 2 x OMxpq ta’a. (maalif?) Yoo baay’inni Rogootaa gar-malee kan dabalu ta’e fi garmalee kan xinnaatu ta’e qaamni frastamtichaa, qama beeltii (belt) isfarii kan galboo PQ tiin uumamee fakkaachaa dhufa. Kanaafuu OM = r ta’a. Garuu bal’inni beeltichaa (belt) = 2 x (Gaadiduu kan irratti) (projection if on ) ta’a. Garuu Bal’inni qaama isfarii Ida’ama bal’ina beeltota (belts) hunda kanneen haala kanaan uumamanii ta’u Ida’amni gaaddiduulee , irratti hundi 2r ta’u (maalif?) Kanaafuu Bal’inni qaama Isfarii = 2 r + 2r- = 4 r2 ta’a. 6.3.2 Qabee isfarii Dirri isfarii bakka xixinnotti goodhamuun ni danda’ama akka armaan gaditti ilaallutti jechuudha. o Yoo qoodamni xixinnoon kun baayyee xinnaacha deeman, diriiroo xixinnoo fakkaachaa deemu. Diriirooleen kunis akka hundee piiraamidii kan verteeksiin isaanii handhura isfarii O ta’eetti fi hojjaa piraamidichaa raadiyasii isfarichaatti ta’eetti ilaalamu. Qabeen tokkoo tokkoo puraamidichaa kannen haala kanaan uumamanis Q = (bal’inna diriiroo kannaa) xr ta’a. Garuu ida’amm bal’ina diriiroolee kanaa hundinuu yoo walitti ida’aman bal’ina dirra isfarichaa ta’a. Akkasumatti Ida’amni Qabee puraamidoota haala kanaan uumaman hundaa Qabee isfarichaa ta’a. Kanaafuu Qabeen isfarii (bal’inna diriiroo Isfarii) x r ta’a = ((4 r2), r = r3 ta’a Kanaafuu V = r3 ta’a 6.3.3 Frnstamii Isfarii Hiikoo a. Yoo isfariin tokko diriiroolee walterree ta’an lamaan murame, Qaamni isfarii kan murame lamaan jidduu jiru frastamii isfarii jedhama zoonii b. Fuulli jallataan frastamii kanaa (curved surface) Zoonii (Zone) ykn baltii (belt) jedhama c. Yoo isfariin tokko diriirroo tokkoon kan muramu ta’e tokkoo tokkoo muramoota lamaanii segamantii (segment) jedhama. Kaapii(cap) Qaamni yoking fuulli jallataan segmantii immoo kaap (cap) jedhama. Bal’inni Zoonii Isfarii 2 r x (fageenya diriiroolee lamaan isfarii jidduu jiruu ta’a) yoo k = fageenya diriiroolee lamaan jidduu jiruu ta’e; bal’inni zoonii = Bz = 2 rk ta’a r = raadiyasii isfarii k = furdina frastamii Akkasumatti Ammaas Bal’inni Qaama seegamantii 2 rh ta’a. r =raadiyasii isfarii yoota’u h = hojjaa segamantichaa ta’a. h 6.3.4 Seektaroota isfarii fi qabee isaanii Hiikoo Seektariin isfarii tokkoo Qaama jaboo isfarii kan seegamantii isfarii fi koomi verteeksiin isaa handhura isfarii ta’eefi hundeen isaa murame isfarichaa ta’een marfameedha. Seektariin isfarii akka danaa armaan gaditti ta’a. A h Q P Qabee seektarii isfarii Akkuma ammaandura Bal’ina Qaamaa isfarii barbaannetti, Qabeen seektarii barbaadamuu ni danda’ama. Gocha mee Qabeen seektarii isfarii tokkoo i. v = x (bal’ina segmantii) x r ta’uu Agarsiisi r = raadiyasii isfarii ta’a. ii. V = (2 rh) . r. ta’uu Agarsiisi kuniis V = r2h. ta’a h = furdina segmantichaa ta’a. Qabee Seegmantii A h Q P Mee Danaa Armaan oli kana haa ilaallu. Mee koonii (O, POQ) , seektarii (O, APQ) keessaa haa baafnu. Yeroo kana danaan nuti Argannu seegmantii isfarii PAQ ta’a. (Hub. Keessi isaa duwwaa dha) Kanaafuu Qabee segmantii PAQ kan ta’u garaagarummaa Qabee seektarii (O,APQ) fi koonii (O,POQ) ta’a. Kana jechuunis Qabee (seg (PAQ)) = Qabe (Sek (O, PAQ) – qab (Koon (O,POQ)) = r2h - r12 (r-h) r-h = hojjaa koomichaa waan ta’eef … 1 Garuu r12 = r2-(r-h)2 (maalif?)  .. 2 (1) fi (2) tti fayyadamuudhaan kan argannu V seg = (2r2h – r12 (r-h)) = (2r2h- (h(2r-h) (r-h)] = [ 2r2h – 2r2h +3rh2-h3] = (3rh2-h3) = rh2 (r- ) …. 3 Qabee kana r1 fi h tti fayyadamuudhaan yoo barbaannu. V seg = (2r2h – r12 (r-h)) = Kana yoo salphistu VSeg = ta’a 6.3,5Qabee Frastamii Isfarii Mee danaa Armaan gadii ilaali. h2 h1 r1 Qabeen frastamii isfarii kan furdinni isaa k ta’ee tokko kan ta’u garaagarummaa (Caalmaa) Qabeelee segmantoota hojjaaleen isaanii h1 fi h2 duraa duubaan ta’e fudhachuudhaan Garuu Vseg = ta’uu ni yaadanna. Kanaafuu Qabeen frastamii isfarichaa kan ta’u Vfr. Isf. = - = = = Kana salphisuudhaan kan argannu. Ta’a. K = h1 – h2 ta’a r1 fi r2 raadiyasoota hundeelee frastanii ta’u Kanaaffuu, kanneen Armaan olii keessaa kan hubannu. a. Bal’inni Zoonii isfarii = 2 rk b. Bal’inni kaap(segmantii) Isfarii = 2 rh c. Qabeen seekterii isfarii r2h d. Qabeen segmantii isfarii h2 (r- ) e. Qabeen frastamii isfarii (3r12+3r22+k2) k = furdina frastamii r = radiyasii isfarii r1fi r2 raadiyasoota hundeelee frastamii ta’u. Fkn Danaan jaboon tokko jalaan hemisfarii raadiyasii isaa 9 cm. ta;eefi gubbaan isaa immoo koonii geengawoo sirrii hojjaa isaa 6 cm ta’eef a. Qabee b. Bl’ina dirraa barbaadi 6 9 cm Danaan armaan olii kun danaalee lama irraa uumama. Inni duraa koonii geengawoo sirrii yoo ta’u inni lamaffaan Qaama Isfarii keessaa segmantii (kaappii) ta’a. kanaafu Qabeen V = Vkoonii + VSegmanti Garuu Qkoo = r2h = (9cm)2 (6cm) = 162 cm2 Vseeg = h2(r- ) = (9cm)2 (9cm- ) , r = h = 9cm(maalif?) = 486 cm2 Kanaafuu Qabee V = 162 cm3+ 486 cm3 = 648 cm3 b . bal’ina Dirraa (Gilgaalahaata’u) Gilgaala Gamoon tokko Qaamn isaa siliindarii fiixeewwan lamaan isaa hernisfarii (walakkaa – isferii) ta’ee dha. Yoo dheerinni silindartichaa 6 cm ta’ee fi dheerinni waliigalaa 16cm ta’a. a. Qabee b. Bal’ina dirraa barbaadi Bal’inni dirra isfarii tokko, Bal’ina geengoolee isaa keessatti uumamu keessaa Bal’ina geengoo guddaa si’a Afur ta’uu isaa agarsiisi yoo marsaan geengoo guddaa kan isfarii tokkoo 12 cm ta’e a. Qabee isfarii b. Bal’ina dirra isfarii – barbaadi 4.Yoo isfariin tokko kiyuubii dheerinni rogoota isa 6cm ta’een marfame(circumiscribed ) a. qabee isaa barbaadi b. ba’lina dirraa barbaadi 5.Yoo kubbaan tokko silindarii bishaan qabate kan raadiyasiin hundee isaa 5cmta’e keessa bu’e , bshaan 2cm ol ka’e a. qabee kubbaa kanaa barbaadi b. bal’ina dirra kubbaa kanaa barbaadi 6.Meeshaan bifa hemisfarii qabu tokko diyaameetriin qaama keessaa isaa . 10cm ta’e bishaan qabatee jira . Yoo gadi fgeenyi bishaanii 1cm ta’e a. Bal’na geengoo kan gubbaa bishaan kanaatiin uumamuu barbaadi b. Qabee bishaan kun qabaatu barbaadi

Plane and Solid Geometry – Math 112

Leave a Comment

Leave a Comment Cancel Reply

Leave a Comment