Calculus I – Math 362

Moojulii Kaalkulasii (Calculus I)
(Math362)
Sagantaa Dippiloomaa (10+3)f kan Qophaa’e

Qopheessitootni:
Darrajjee Guutamaa …………………KBB D/Dolloo
Darrajjee Isheetuu …………………KBB D/Dolloo
Gammachiis Etana …………………KBB D/Dolloo
Gammadaa Tolasaa …………………KBB D/Dolloo
Mulgeetaa Raggaasaa …………………KBB D/Dolloo
Simaa Waaqumaa …………………KBB D/Dolloo

                               Gulaalaan:

              Fiqiruu  Gurmuu  . ……….  KBB  Shaambuu      








                                                                     BBO, Finfinnee

Guraandhala, 2008
BAAFATA
Qabiyyee Fuula
BOQONNAA TOKKO 1

1. Limiitii fi Itti Fufiinsa 1
   1.2 Hiikoo Idilee Limiitii 5
   1.3 Tiramii Bu’uuraa Limiitii ( Basic Limit Theorems) 7
   1.4 7
   1.3. Limitii Gam-tokkee 9
   1.5. Itti fufiinsa 13
   1.5.1 Itti Fufiinsa Intarvaalii Irratti 16
   Fakkeenya: 16
   1.6 Tiiramii Gat-Gidugalummaa (Intermediate Value Theorem) 17
   Cuunfaa Boqonnaa 21
   2.1. Hiikoo Dariveetiivii 26
   2.2. Fankishinoota dariveetawoo fi dariveetiivii intervaalii irrattii 32
   2.3. Dariveetiivii Fankishinoota Makoo (Derivatives of combination of functions) 36
   2.4. Seera Walseenoo (Chain Rule) 44
   2.5. Dariveetiivii Olaanoo (Higher Derivatves) 47
   2.6. Dariveetiivii Keessoo (Implicit Derivative) 51
   Cuunfaa Boqonnaa 53
   BOQONNAA SADII 58
   FAYYADA DARIVEETIVII (Application of Diferentiation) 58
   Seensa 58
   3.1. Tiiramii gat-fiixee 59
   3.2. Gat-fiixeewwan giraafiin ibsuu (Graphical representation of extreme value) 63
   3.3. Tiiramii Roolee fi Tiiramii Gat-qixxoomaa 66
   Tiiramii 3.4 Tiiramii Gat- qixoomaa (Mean-Value Theorem) 68
   3.4 Faankishinoota Monotoniikii (monotonic Function) 71
   3.6 Yaaliiwwan Dariveetiive Tokkooffaa fi Lammaffaa 72
   3.6 Golbummaa fi Tuqaa infileekshinii (concavity and inflection points) 76
   3.7. Piroobilemoota Gat-fiixeewwanii 78
   Yaada Guduunfaa 82
   Gilgaala Waliigalaa 85
   BOQONNAA AFUR 86
   INTEGIREESHINI 86
   Seensa 86
   4.1 Qoqqodama , Ida’amoota Jalaa fi Irraa ( Partition , Lower and Upper sums) 87
   4.1.1 Qoqqoodama (Partition) 88
   4.1.2. Ida’amoota Jalaa fi Irraa 90
   4.1.2.2 Ida’ama irra ( upper sum) 93
   Kutaa kana jalaatti maalummaan Ida’ama irraa (upper sum) akkasumas garaagarummaa ida’ama jalaa fi ida’ama irraa kan ilaallu ta’a. 93
   4.2 Integiraalii Murtaa’aa (Definite Integral) 95
   4.3 Amaloota integiraalii Murtaa’aa 97
   4.4 Tiiramii Bu’uuraa Kaalkulasii 98
   4.5 Inteegiraalii hin murtoofnee fi seerota isaanii 101
   4.5.1 Integiraalii hin murtoofne 101
   4.5.2 Seerota inteegiraalii hin murtoofnee 102
   4.6 Logaarizimii Uumamaa 105
   Guduunfaa Boqonnichaa 106
   BOQONNAA SHAN 108
   MALA INTEEGIREESHINII 108
   5.1 Mala Inteegireeshinii Gar-tokkeessuu 108
   5.2.1 Inteegireeshinii Fankishinoota Tirigonomeetirikii 112
   5.2.2 Mala Bakka buusuu Inteegireeshinii tirigonomeetirikii 112
   5.3 Mala Firaakishinii Gar-tokkeessuun Inteegireessuu 114
   5.4 Tiraapizooyidii fi Siimpoosoonii Inteegireeshinii 116
   5.5.1. Seera Tiraapizooyidii Inteegireeshinii 116
   5.5.2.Seera Siimpoosoonii Inteegireeshinii 117

BOQONNAA TOKKO

Limiitii fi Itti Fufiinsa

Seensa
Hiikoo al-idilee (informal definition of limit) limiitii fi itti fufiinsaa Herreega Math-262 keessatti ilaaltee jirta.Boqonnaa kana keessaatti yaad-rimee gurguddo kaalkulasii ta’an barbaachisoo limiitii fi itti fufiinsa ilaala.Yaad-rimee kunneen darivaativii fi intagreeshiniifis yaadota bu’uuradha.Boqonnaa kana keessatti hiikoo limiiti fi itti fufiinsa idilee( formal definition of limit) ta’e barattu.
Kaayyoo Boqonnaa:- Xumura boqonnaa kana booda kaadhimamtoonni barsiisota:
Jireenya limitii nihuubatu.
Limiitii fankishinii kennamee tokko ni-xinxaalu.
Tuqaa fankishiniin tokko irratti itti fufaa hin taane ni-agarsiisu.
Itti fufiinsa gam-tokkee maal akka ta’e ni-himu.
Limiitii infiniitii fi limiitii inifiniitii irratti ni-shallagu.
Haqaaqoota fankishinii kennamee ni-barbaaduu.
Teeramii gat-giddugaleessaa maal akka ta’e ni-xinxaalu.

1.1 Hiikoo al-idilee limiitii
Hiikaa al-idilee limiitii herrega math-262 keessatti barattan maal akka jedhu ni yaadatu?
Gocha 1:1 (Shaakala garee)
Kaneen armaan gadii barbaadi.
lim┬(x→2 )⁡〖(2x-1)〗 3. lim┬(x→ – 2 )⁡〖(x^2+x-2)/(x+2)〗
lim┬(x→0 )⁡〖|x|/x〗 4. lim┬(x→4 )⁡〖(√x-2)/(x-4)〗

5. Yoo {█( 0 ,x∈Z@ 1, x∉Z)┤ ta’e,
   a) lim┬(x→ -2 )⁡〖f(x)〗barbaadi?
   b) 〖lim┬(x→0.3 ) f〗⁡〖(x)〗 barbaadi?
   c) ∀c∈R, 〖 lim┬(x→c ) f〗⁡〖(x)〗=1 ni-ta’a?
   d) Yoo 〖lim┬(x→c ) f〗⁡〖(x)〗=f(c)=1 ta’e, c maal ta’a?

Fakkeenya:

1. Yoo f(x)=(x^2-4)/(x-2) ta’e, lim┬(x→2)⁡〖f(x)〗 barbaadi?
   Furmaata:
   f(x)={█(x+2,yoo x≠2@∄ yoo x=2)┤ta’a.
   Kanaafuu, yoo hamuma x’n 2 tti siqaa deemu f(x)’n 4 tti siqaa deema.
   Kana jechuun; lim┬(x→2)⁡〖f(x)=lim┬(x→2)⁡〖(x+2)=4〗 〗
2. Limiitii fankishinii armaan gadii barbaadi.
   a) lim┬(x→2)⁡〖(2x-1)〗 b) lim┬(x→0)⁡〖|x|/x〗 c)lim┬(x→ -2)⁡〖(x^2+x-2)/(x+2)〗
   Furmaata:
   lim┬(x→2)⁡〖(2x-1)〗=2(2)-1=3
   lim┬(x→2)⁡〖|x|/x〗 kana jechuun, |x|/x={█(1, yoo x>O@∄, yoo x=0@-1, yoo x<0)┤
   Kanaafuu, lim┬(x→2)⁡〖|x|/x〗 hinjiru.
   lim┬(x→ -2)⁡〖(x^2+x-2)/(x+2)〗= lim┬(x→ -2)⁡〖((x+2)(x-1))/(x+2)〗=lim┬(x→ -2)⁡〖(x-1)= -3〗
   Gocha:
   Limiitii fankishinii armaan gadii barbaadi?
   lim┬(x→0)⁡〖2^x 〗 c) lim┬(x→1)⁡〖(∛x-1)/(x-1)〗 e) lim┬(x→0)⁡〖(x-4|x|)/x〗
   lim┬(x→2)⁡〖(x-2)/(x^2-x-2)〗 d) lim┬(x→4)⁡〖(√x-2)/(x-4)〗 f) lim┬(x→0)⁡〖x^3/|x| 〗

Hub!
Yoo p(x) fankishinii polinomiyaalii ta’e, lim┬(x→a)⁡〖p(x)=〗 p(a) ta’a.

Fakkeenya:

1. lim┬(x→3)⁡〖(x^4-2x^3+5x^2+7x+1)=3^4-2(〖3)〗^3+5(〖3)〗^2+7(2)+1=94.〗

Fakkeenya:

1. lim┬(x→1)⁡〖(x^2-1)/(x-1)〗barbaadi?
   Furmaata:
   (x^2-1)/(x-1)=x+1,x≠1
   Mee f(x)=(x^2-1)/(x-1) fi g(x)=x+1 yoota’an, f(x)=g(x),∀x≠1 ta’a.
   Kanaafuu, lim┬(x→1)⁡〖f(x)=lim┬(x→1)⁡〖g(x)〗 〗⇒lim┬(x→1)⁡〖(x^2-1)/(x-1)〗=lim┬(x→1)⁡〖(x+1)=2〗
2. Mee yoo lim┬(x→a)⁡(f(x)+g(x)) jira ta’e, lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗 fi lim┬(x→a)⁡〖g(x)〗 limiiitii qabu?
   Furmaata:
   Mee Yoo f(x)=1/(x-1) fi g(x)=1/(1-x^2 ) ta’an, lim┬(x→1)⁡〖f(x)〗 fi lim┬(x→1)⁡〖g(x)〗 hinqaban.
   Garuu, lim┬(x→1)⁡〖(f(x)+g(x))=lim┬(x→1)⁡〖(1/(x-1)+1/(1-x^2 ))=lim┬(x→1)⁡〖(1-x)/(1-x^2 )=lim┬(x→)⁡〖1/(x+1)=1/2〗 〗 〗 〗
3. lim┬(x→ -3)⁡〖(√(1+√(4+x)) -√2)/(x+3)〗barbaadi?
   Furmaata:
   lim┬(x→ -3)⁡〖(√(1+√(4+x)) -√2)/(x+3)〗=lim┬(x→ -3)⁡((√(1+√(4+x)) -√2)/(x+3))((√(1+√(4+x)) +√2)/(√(1+√(4+x)) +√2))
   〖=lim┬(x→ -3)〗⁡〖(√(4+x)-1)/((x+3)(√(1+√(4+x)) +√2) )〗
   〖=lim┬(x→ -3)〗⁡〖(x+3)/(x+3)(√(1+√(4+x)) +√2)(√(4+x)+1) 〗
   〖=lim┬(x→ -3)〗⁡〖1/(√(1+√(4+x)) +√2)(√(4+x)+1) 〗
   =1/(4√2)

Gocha:

1. Limiitii armaan gadii barbaadi.
   a) lim┬(x→ 3)⁡〖(x-3)/√(x^2-6x+9)〗 d)lim┬(x→2)⁡〖(√x-√2)/(x-2)〗
   b) lim┬(x→0)⁡〖(√(x^2+1)-1)/x^2 〗 e) lim┬(x→0)⁡〖(sinx+1)/(x+cosx)〗
   c) lim┬(x→ -2)⁡〖(x^3-8)/(x+2)〗 e) lim┬(x→0)⁡〖x^3/(|x|+x)〗 Hiikoo Idilee Limiitii
   Hiikoo idilee limiitii keessatti lakkoofsa baay’ee xiqqoo taate ε (epsilon) kan fageenya f(x) fi L gidduu jiru ibsitu fudhanna. As keessatti ε>0 ta’e hundaaf yoo x’n baay’ee a siqee fi x≠a yoo ta’e fageeyni f(x) fi L gidduu ε ta’a.Al tokko ε>0 erga filanne booda lakkoofsa δkan hanga x fi a walitti siqan ibsu barbaaduun garaagarummaan f(x) fi L gidduu ε gadi ta’uu qabu mirkaneessu qabna. Kana jechuun
   ε>0ta’e hundaaf, δ>0 kan ta’enijira, yoo fageenyi x fi a,giddu x≠aδgadi ta’e, fageenyi f(x)fi L gidduu gadi ta’a.

Danaa limiitii: iddoo argama limiitii L.

Fkn: Hiikoo limiitii idilee fayyadamuun limiitii armaan gadii mirkaneessi.

lim┬(x→1)⁡〖(2x-3)〗=-1
lim┬(x→10)⁡〖 (3x+5)〗=35
lim┬(x→3/2)⁡〖 (1-4x)〗=7
lim┬(x→1)⁡〖(x^2+3)〗=4 

Furmaata:
lim┬(x→1)⁡〖(2x-3)〗=-1
∀ε>0 kennameef, δ>0 barbaaduuf
0<|x-(-1)|<δ yoo ta^’ e|(2x-3)-(-1)|<εni-ta’a.
|(2x-3)-(-1)|<ε⟺|2x-3+1|<ε
⟺|2x-2|<ε
⟺|2||x-1|<ε
⟺2|x-1|<ε
⟺|x-1|<ε/2
Kanaafuu, yoo δ=ε/2 filanne, 0<|x-1|<ε/2 taanan |(2x-3)-(-1)|<ε ta’a.

lim┬(x→10)⁡〖 (3x+5)〗=35

∀ε>0kennameef, δ>0 barbaaduuf
0<|x-10|<δ yoo ta^’ e|(3x+5)-35|<εni-ta’a.
|(3x+5)-35|<ε⟺|3x-30|<ε
⟺|3||x-10|<ε
⟺3|x-10|<ε
⟺|x-1|<ε/3
Kanaafuu, yoo δ=ε/2 filanne, 0<|x-10|<ε/3 taanan |(3x+5)-35|<ε ta’a.

lim┬(x→ -  3/2)⁡〖 (1-4x)〗=7

∀ε>0kennameef, δ>0 barbaaduuf
0<|x-(- 3/2)|<δ yoo ta^’ e|(1-4x)-7|<εni-ta’a. |(1-4x)-7|<ε⟺|-4x-6|<ε ⟺|4||x+3/2|<ε ⟺4|x+3/2|<ε ⟺|x+3/2|<ε/4 Kanaafuu, yoo δ=ε/4 filanne, 0<|x-((-3)/2)|=|x+3/2|<ε/4 taanan |(1-4x)-7|<ε ta’a. lim┬(x→1)⁡〖(x^2+3)〗=4 ∀ε>0kennameef, δ>0 barbaaduuf
0<|x-1|<δ yoo ta^’ e|(x^2+3)-4|<εni-ta’a.
|(x^2+3)-4|<ε⟺|x^2-1|<ε
⟺|(x-1)(x+1)|<ε
⟺|x+1||x-1|<ε ………… sababa |ab|=|a||b|
Ibsama |x+1| lakkoofsa madaalu danda’uun bakka buusuun tarmii |x-1| qofaatti hambisuu.
Kana hojjechuf yoo δ<1 jenne, |x-1|<δ≤1⟹-1<x-1<1⟹0<x<2.
Kanaafuu ,0<x<2⟹1<x+1<3⟹|x+1|<3 ta’a.
|x+1||x-1|<3|x-1|<ε
ta’ee yoota’e 3|x-1|<ε
ta’ee yoota’e |x-1|<ε/3
Yoo δ=xiqqaa(min){1,ε/3} filanne, 0<|x-1|<ε/3 taanan |(x^2+3)-4|<ε ta’a.

Mirkaana: ∀ε>0, mee limiitiin f(x) tuqaa a irratti l fi m yoo ta’u.
KAB: L=M ta’uu.
Yoo 0<|x-a|<δta’e, |f(x)-l|<ε fi 0<|x-a|<δta’e, |f(x)-m|<ε ta’a.
|L-M|=|L-f(x)+f(x)-M|≤|L-f(x)|+|f(x)-M|<ε/2+ε/2=ε
|L-M|<ε . Kanaafuu, L=M ta’a.
Limiitiin fankishinii yoo jira ta’e, limiitiin isaa tokko (unique) qofa ta’a.
Tiramii Bu’uuraa Limiitii ( Basic Limit Theorems)
Kutaa darbe keessaatti limiitiiwwaan fankishinoota adda addaa hojjenne jira.Kanneen armaan gadii fayyadamuu limiitii fankishinoota adda addaa shallaguun nidanda’ama.

Mirkaana:
〖lim┬(x→a) k〗⁡〖f(x)=k lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗 〗
i. Yoo k=0 ta’e, 〖lim┬(x→a) 0〗⁡〖×f(x)=0×lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗 〗⟹0=0×L=0 ta’a.
ii. Yoo k≠0 ta’e, fi lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=L taanan
∀ε>0,
Yoo 0<|x-a|<δ ta’e, |kf(x)-kL|<ε |kf(x)-kL|<ε ta’ee yoota’e |k||f(x)-L|<ε ta’ee yoota’e |f(x)-L|<ε/|k| Yoo δ=ε/|k| filanne lim┬(x→a)⁡〖kf(x)〗=kl=k lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗ta’a. lim┬(x→a)⁡〖(f(x)+g(x))=lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗+lim┬(x→a)⁡〖g(x)〗 〗 ∀ε>0, mee |f(x)-L|<ε/2 fi |g(x)-M|<ε/2 ta’’an
Yoo 0<|x-a|<δ ta’e, |(f(x)+g(x))-(L+M)|<ε
|(f(x)+g(x))-(L+M)|=|(f(x)-L)+(g(x)-M)|≤|f(x)-L|+|g(x)-M|<ε/2 +ε/2=ε
Kanaafuu, lim┬(x→a)⁡〖(f(x)+g(x))=lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗+lim┬(x→a)⁡〖g(x)〗 〗 ta’a.
Mirkaana 3, 4 fi 5 gilgaala.

Mirkaana:
Yooε>0 ta’e, ni-jira δ>0 kan
Yoo 0<|x-a|<δ ta’e, |f(x)-c|=|k-k|=0<ε ta’a.Kanaafuu, δ lakkoofsaa δ>0 ta’e hundaaf lim┬(x→a)⁡〖k=a〗 ta’a.
Gilgaala
Hub!
Gattin δ gatii ε tiin murtaa’a. ε>0egaaluun kan mijaata ta’e gatiinδ>0 barbaadama. Gatiin δ baay’een hojjechuu nidanda’u. Kana jechuun gatii δ dhugoomsu argannan kan lakkoofsi gatii δargamee gadii ta’e hunduu dhugaa taasisu.
Limiitiin fankshinii f(x) tuqaa a irratti gatii f(x)’n tuqaa irratti qabu ta’uu dhiisu mala.
Fkn: f(x)={█(1 yoo x≠0@2 yoo x=0)┤ ta’e, lim┬(x→0)⁡〖f(x)=1〗 yommu ta’e f(0)=2 ta’a.Kanaafuu, lim┬(x→a)⁡〖f(x) ≠f(a)〗 ta’u nidanda’a.
Gocha 1:2 Kanneen armaan gadii hiikoo idilee limiitii fayyadami mirkaneessi
lim┬(x→0)⁡〖√x=0〗 2. lim┬(x→2)⁡〖1/x=1/2〗
lim┬(x→1)⁡〖(2x+3)=5〗 ( 4. lim)┬( x→0)⁡〖√x=0〗
lim┬(x→4)⁡〖(7-3x)=-5〗 6. lim┬(x→3)⁡〖x/5=3/5〗
lim┬(x→6)⁡〖(x/4+3) =9/2〗 8. lim┬(x→ -2)⁡〖(x^2-1)=3〗

9. lim┬(x→1)⁡〖(4+x-3x^2 )=2〗, gatiiδyoo ε=1fiε=0.1ta’e barbaadi?
   1.3. Limitii Gam-tokkee
   Limiitii gam-tokkee keessatti yoo fankishinii f(x)=√x ilaalle lim┬(x→0)⁡f(x) hinqabu.Sababni isaa √x lakkoofsa x<0 ta’niif hiikaa hinqabu. Yaata’u malee lakkoofsa yoo x>0 ta’e,
   lim┬(x→0)⁡〖f(x)=0〗 ta^’ a.
   Fankishiniin akkasii limiitii gam-tokko qofaan qaban jedhamu. Kanaafuu walcaalmaa
   0<|x-a|<δhikaa 1:1 gara 0<x-a<δ ti jijjiirra jechudha.

Fakkeenya:
lim┬(x→0^+ )⁡√x=0ta’u mirakaneessi?
Mirkaana: ∀ε>0,
0<x-0<δ yoo ta’e|√x-0|<ε
|√x-0|<ε⟺√x<√δ=ε
Kanaafuu yoo δ=ε^2 ta’e, lim┬(x→0^+ )⁡√x=0 ta’a.
Hub!Limiitii gam-tokkeen jira taanan tokko fi tokko qofa (unique) ta’a.

Fakeenya:

1. lim┬(x→0^+ )⁡〖(x^2-3x+2)/(x-2√x+1)=(0-0+2)/(0-0+1)=2〗
2. Mee fankishiniin f(x)={█(0 ,yoo x<0@1, yoo x≥0)┤ ta’e
   lim┬(x→0^+ )⁡〖f(x)=〗 lim┬(x→0^+ )⁡〖1=〗 1
   lim┬(x→0^- )⁡〖f(x)= 〗 lim┬(x→0^- )⁡〖0= 0〗
   Kanaafuu, limiitiin gam-tokkee mirgaa fi bitaa lachuu kan walqixa hintaane nijiru. Fankishiniin f(x) limitii gam-lamaa tuqaa 0 irratti walqixa ta’e hinqabu.

Fakkeenya:

1. Yoo f(x)={█(2x+1 ,yoo x>2@x+3, yoo x<2)┤ ta’e,lim┬(x→2)⁡〖f(x)〗 barbaadi?

Furmaata:
lim┬(x→2^+ )⁡〖(2x+1)=5〗filim┬(x→2^- )⁡〖(x+3)=5〗
Haluma kanaan,lim┬(x→2^+ )⁡〖f(x)〗=lim┬(x→2^+ )⁡〖(2x+1)〗=5 fi lim┬(x→2^- )⁡〖f(x)〗 (=lim)┬(x→2^- )⁡〖(x+3)=5〗 ta’a.
Kanaafuu,lim┬(x→2^+ )⁡〖(2x+1)〗 (=lim)┬(x→2^- )⁡〖(x+3)=5〗
lim┬(x→2)⁡〖f(x)〗=2ta’a.
Gocha:
Yoo f(x)={█(e^x ,x≤2@(e-1)x+3,x>2)┤ fi g(x)={█(x^2-x, |x|≤1@1/x, |x|>1)┤ ta’an kanneen armaan gadii barbaadi?
a) lim┬(x→2^+ )⁡(f(x)+g(x)) b) lim┬(x→2^- )⁡(f(x)-g(x))
c)lim┬(x→1^+ )⁡〖f(x)g(x)〗 d) lim┬(x→1^+ )⁡((f(x)-g(x))/(f(x)g(x)))

Limitii infiniiti fi Haqaaqa olee

Fankishinniin f(x) limiitii hinqabu tanaan, kun kan ta’u danda’u yoo x’n tuqaa a karaa mirgaa siqaa deemu gatiin f(x) gara ±∞ siqaa deemu danda’a. Karaa gama bitaaniis akkanuma ta’uu danada’a.

Hub!
Yoo limiitiin fankishinii f(x) tuqaa a irratti inifinitii ta’e, fankishiniin f(x) limiitii hinqabu.
Fkn:
lim┬(x→0)⁡〖1/x^2 =∞〗
δ>0barbaaduuf, lakkoofsi M>0 yoo kenname, ∃δ>0
1/x^2 >M⟺0<|x-0|<δ 1/x^2 >M yoo ta^’ ex^2<1/M x^2<1/M⟺0<|x|<δ |x|<1/√M⟺0<|x|<δ Yoo δ=1/√M filanne, lim┬(x→0)⁡〖1/x^2 =∞〗 ta’a. i. lim┬(x→0^+ )⁡〖1/x=∞〗 ii. lim┬(x→0^- )⁡〖1/x=-∞〗ta’uu mirkaneessi? Mirkaana: N>0 yoo kenname, ∃δ>0
1/x>N yoo ta^’ e 0N⟺x<1/N Yoo δ=1/Nfilanne ,lim┬(x→0^+ )⁡〖1/x=∞〗 ta’a. N<0 yoo kenname, ∃δ>0
-δ1/N x>-δ yoo ta^’ e x>1/N
δ=-1/N filadhu.
lim┬(x→0^- )⁡〖1/x=-∞〗ta’a.

Gocha 1:4
lim┬(x→ -3)⁡〖1/〖(x+3)〗^2 =∞〗 mirkaneessi.
lim┬(x→0^+ )⁡〖lnx=-∞〗 ta’uu mirkaneessi.
lim┬(x→π/2)⁡tanx
lim┬(x→1)⁡〖x/(x^2-1)〗
Fankishininii armaan gadii kennamaan keessatti tuqaan kenname haqaaqaa olee ta’uu agarsiisi.
a) f(x)=x/(x+5) ;x=-5
b) f(x)=x^3/(x+1) ;x=-1
c) f(x)=x/sinx ;x=π
d) f(x)=|x^2-1|/(x-1) ;x=1

1.5. Itti fufiinsa

Mee fankishiniin f tuqaa a irratti hiikaa qaba yoo ta’e kanneen armaan gadii guuta taanan tuqaa a irrattin itti fufaadha.
f(a)hiikaa qaba ta’e.
lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗jiraate.
lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=f(a) ta’eedha

Fakkeenya:

1. Yoo f(x)={█(3x-5, x≠1@2, x=1)┤ ta’e, fankishiniin f(x) tuqaa x=1 irratti itti fufaa ta’uu mirkaneessi?
   Furmaata:
   i. f(1)=2 ta’a.Kanaafuu, f tuqaa x=1 irratti hiikaa qaba.
   ii.lim┬(x→1)⁡〖f(x)=lim┬(x→1)⁡〖(3x-5)=3(1)-2=-2〗 〗. Kanaafu, lim┬(x→1)⁡〖f(x)=-2〗.
   iii. lim┬(x→1)⁡〖f(x)〗≠f(1)
   walumaagalattif(x) tuqaa x=1 irratti itti fufaa miti.
2. Yoo f(x)={█(x^2+2x, x≤-2@x^3-6x, x>-2)┤ ta’e, tuqaax=-2 irratti itti fufaadha?

Furmaata:
i. fankishiniinf tuqaa x=-2 irratti hiikaa qaba. Sababni
f-2)=(-2)^2-2(-2)=4-4=0
ii. lim┬(x→ -2^- )⁡〖f(x)〗=lim┬(x→ -2^- )⁡〖(x^2+2x)=〖(-2)〗^2+2(-2)=4-4=0〗
lim┬(x→ -2^+ )⁡〖f(x)〗=lim┬(x→ -2^+ )⁡〖(x^3-6x)=〖(-2)〗^3-6(-2)=-6+12=4〗
Kanaafuu, lim┬(x→ -2)⁡〖f(x)〗 hinjiru
Walumaagalatti f(x) tuqaa x=-2 irratti itti fufaa miti.

Fakkeenya

1. Fankishiniin f(x)=x lakkoofsa waliigalaa x=a iratti itti fufaa ta’uu mirkaneessi.
   Furmaata:
   ∀ε>0, δ>0ni jira ta’e, kan ta’e |f(x)-f(a)|<ε=|x-a|<ε yoo |x-a|<δ ta’e.
   δ=εfilachuun, f(x)=x tuqaa x=a irratti itti fufaadha.
   Amaloota Fankshinii itti fufaa

Mirkaana:
ffig tuqaa x=a itti fufaadha. Kuniis,

lim┬(x→ a)⁡〖f(x)=f(a)〗filim┬(x→ a)⁡〖g(x)〗=g(a) ta’a.
Kanaafuu,
〖lim┬(x→ a) (〗⁡〖f+g)(x)=〖lim┬(x→ a) (〗⁡f(x) 〗+g(x))
〖=lim┬(x→a)〗⁡〖f(x)〗+lim┬(x→ a)⁡〖g(x)〗
=f(a)+g(a)
=(f+g)(a)
Kun kan agarsiisu f+g itti fufaa ta’uudha.
Mirkaana: ii, iii, iv, v (gilgaala)
Fkn: Mee f(x)=xsinx+1 yoo ta’e, f(x) tuqaa hundaa irratti itti fufaa ta’u mirkaneessi?
Furmaata:
Fankishiniin x,sinx,1 itti fufaadha.Kanaafuu, akaataa tiirami 1:1 tiin f itti fuffadha.

Mirkaana: (gilgaala)

Mirkaana:
Fankishinnin g(x) tuqaa f(a) irrattiitti fufaadha.
Kanaafu, lim┬(x→a)⁡〖g(f(x))=g(〗 f(a)) ta’a.
Fankishiniin walseenoo g(f(x)) tuqaa a irratti itti fufaadha.
Fakkeenya:

1. Yoo fankishiniin h(x)=√(x-1) ta’e tuqaa x=2 irratt itti fufaadha?
   Furmaata:
   Mee f(x)=x-1 fi g(y)=√x yaata’an.Yoo h=g(f(x)) ta’e, f’n x=2 irratti itti fufaadha.Akkasuma g’n f(2)=1 irratti itti fufaadha.
   Kanaafuu, h(x)=g(f(x))=√(x-1) tuqaa x=2 irratti itti fufaadha.
   1.5.1 Itti Fufiinsa Intarvaalii Irratti

Fakkeenya: Mee f(x)=√(4-x^2 ) ta’e, f intarvaalii [-2,2] irratti itti fufaadha.
Furmaata: 4-x^2≥0 ta’ee yoo ta’e -2≤x≤2. Kanaafu, Mandhee isaa [-2,2]
lim┬(x→ 2^- )⁡〖f(x)= 〗 √(4-x^2 )=0=f(2)
lim┬(x→ – 2^+ )⁡〖f(x)= 〗 √(4-x^2 )=0=f(2)
Kanaafuu, f’n intarvaalii [-2,2] irratti itti fufaadha.
1.5.2 Itti fufiinsa Gam-tokkee
Mee lim┬(x→0)⁡√x yoo ilaalle fankishiniin kun lakkoofsa waliigala pozativii ta’an hundaaf itti fufaadha.

Fakkeenya:

1. Mee f(x)={█(0, x<0@1, x≥0)┤ yoo ta’e, f(x) gama mirgaan itti fufaa yoota’u gama bitaan itti fufaa miti?
   Furmaata:
   lim┬(x→0^+ )⁡〖f(x)〗=1=f(0)
   Kanaafu f(x)gam-tokkee mirgaatiin itti fufaadha.
   lim┬(x→0^- )⁡〖f(x)=〗 0≠f(0)
   Kanaafu f(x) gam-tokkee bitaatiin itti fufaa miti.
2. Mee f(x)={█(x^2, x≤1@x, x>1)┤ ta’e, f(x) itti fufaa ta’u mirkaneessi.
   Furmaata:
   lim┬(x→1^+ )⁡〖f(x)=lim┬(x→1^- )⁡〖x^2=1=f(1)〗 〗
   lim┬(x→1^- )⁡〖f(x)=lim┬(x→1^- )⁡〖x=1=〗 〗 f(1)
   Akkuma ilaallu f gam-tokkee mirga fi gam-tokkee bitaan itti fufaadha.Kanaafuu, f fankishinii itti fufaadha.
   1.6 Tiiramii Gat-Gidugalummaa (Intermediate Value Theorem)
   Tiiramiin kun fankishiniin itti fufaa ta’e iddo fankishinichi pozativii, nagaativii fi zeeroo ta’u barbaaduuf nugargaara.

Fakkeenya:
Yoo f(x)=x^3+x+1 taanan x=-1 fi x=0 gidduutti ruuti niqaba
Furmaata: k=0,a=-1,b=0
f(-1)=-1<0 f(0)=1>0
f(-1)<0<f(0)
Akkaata Tiiramii 1:4⟹∃c∈[-1,0]kanf(c)=0 taasisu nijira.
Gocha
Yoo f(x)=x^3-x^2+x ta’e, lakkoofsi c∈R kan f(c)=10 taasisu jirachu mirkaneessi?
Tiiramii Gat-Giddummaa fayyadamuun himonni walqixa armaan gadii intarvaalii kenname irratti ruutii qabaachu mirkaneessi.
x^4+x-3=0 ,(1,2) ii. cosx=x, (0,1)

1.7 Limiitii infinitii irratti fi haqaaqoota dalgee
Kutaale keessatti limiitii fankishinii f tuqaa a irratti: lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗, lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x)〗, lim┬(x→a^- )⁡〖f(x)〗 qabu ilaalle jira. Kutaa kana keessatti limiitii fankishinii yoo |x| lakkoofsa guddaa siqe ykn gara ∞ titti siqe ilaalla.

Limiitii infinitii irratti, Limiitii inifiniitii fi Haqaaqoota

Fakkeenya:
i. lim┬(x→ ∞)⁡〖1/x〗=0
ii. lim┬(x→ -∞)⁡〖1/x=0〗ta’uu mirkaneesi?
Furmaata:
Mee ε>0 yaata’u. lakkoofsa M barbaaduuf
yoox>M ta’e, |1/x-0|=|1/x|<ε kanaaf Yoo x>1/ε ta’e, |1/x|<ε
Kanaafuu, yoo M=1/ε ta’e, lim┬(x→ ∞)⁡〖1/x〗=0.
lim┬(x→ -∞)⁡〖1/x=0〗agarsiisuf yoo M=-1/ε filanne, M<0 ta’a.
Yoo x<M ta’e, |1/x-0|=(-1)/x<(-1)/M=ε
Kanaafu, lim┬(x→ -∞)⁡〖1/x=0〗
Walumaagala, y=0 haqaaqa dalgee ta’a.
Hub!
〖lim┬(x→- ∞) [〗⁡〖f(x)+g(x)] =lim┬(x→ -∞)⁡〖f(x)+lim┬(x→ -∞)⁡〖g(x)〗 〗 〗
lim┬(x→ ∞)⁡〖f(x)g(x) =lim┬(x→ ∞)⁡〖f(x) lim┬(x→ ∞)⁡〖g(x)〗 〗 〗

Fakkeenya:

1. Limiitii armaan gadii barbaadi.
   lim┬(x→ ∞)⁡〖(x^2+2x-5)/(2x^2-6x-1)〗
   lim┬(x→- ∞)⁡〖(x-1/2)/(1/2 x+1)〗

Furmaata:
lim┬(x→ ∞)⁡〖(x^2+2x-5)/(2x^2-6x-1)〗= lim┬(x→ ∞)⁡〖((x^2+2x-5)/x^2 )/((2x^2-6x-1)/x^2 )= lim┬(x→ ∞)⁡〖(1+2/x-5/x^2 )/(2-6/x-1/x^2 )= (1+0-0)/(2-0-0)=1/2〗 〗
lim┬(x→- ∞)⁡〖(x-1/2)/(1/2 x+1)〗=lim┬(x→- ∞)⁡〖((x-1/2)/x)/((1/2 x+1)/x)〗=lim┬(x→- ∞)⁡〖(1-1/2x)/(1/2+1/x)〗=(1-0)/(1/2+0)=2

3. lim┬(x→∞)⁡〖(3x^2-5x+4)/(2x^2+4)〗barbaadi?
   Furmaata: Yoo wamaama fi waamisiisa isaanii x^2 dhaan hiruudhan
   lim┬(x→∞)⁡〖(3x^2-5x+4)/(2x^2+4)〗=lim┬(x→∞)⁡〖((3x^2-5x+4)/x^2 )/((2x^2+4)/x^2 )〗=lim┬(x→∞)⁡(3-5/x+4/x^2 )/lim┬(x→∞)⁡(2+4/x^2 ) =(3-0+0)/(2+0)=3/2
4. 〖lim┬(x→∞) (〗⁡〖(1-3x)/(6x+5)〗+(2x+1)/(x^2+7x+1)) barbaadi?
   Furmaata:
   〖lim┬(x→∞) (〗⁡〖(1-3x)/(6x+5)〗+(2x+1)/(x^2+7x+1))=lim┬(x→∞)⁡((1-3x)/(6x+5))+lim┬(x→∞)⁡((2x+1)/(x^2+7x+1))=lim┬(x→∞)⁡〖(1/x-3)/(6+5/x)+0=(-1)/2〗

Gocha: Limiitii armaan gadii barbaadi.
lim┬(x→∞)⁡〖sinx/x〗
lim┬(x→∞)⁡〖4/(2-x)〗
lim┬(x→∞)⁡〖x/(3x+2)〗
〖lim┬(x→-∞) x〗⁡tan⁡(1/x)
lim┬(x→-∞)⁡〖cosx/√(x^2-1)〗
lim┬(x→∞)⁡sin⁡(π/x) barrbaadi?
lim┬(x→∞)⁡cosxbarbaadi?

Cuunfaa Boqonnaa

Limiitii fankishinii (idilee)

∀ε>0,∃δ>0kan
0<|x-a|<δ ta’ee yoo ta’e |f(x)-l|<ε taanan, lim┬(x→a)⁡〖f(x)=l〗 ta’a. Fankishinii f limiitii qaba taanan limiitii isaa tokko fi tokko qofa qaba. Limiitii gam-tokkee 3.1 ∀ε>0,∃δ>0kan
00,∃δ>0kan
δ0,∃δ>0kan
0<|x-a|<δ ta’ee yoo ta’e |f(x)-f(a)|<ε .
Ykn i. f(a) hiikaa qaba ta’e.
ii. lim┬(x→a)⁡f(x)jiraate.
iii.lim┬(x→a)⁡〖f(x)=f(a)〗.
Tiraamii Gat-giddugalumma (Intermediate Value Theorem)
Yoo fankishinii f intarvaalii [a,b] irratti itti fufaa ta’ee, k∈R giduu f(a) fi f(b) jira ta’e fi f(a)≠f(b) taanan yoo xiqaate lakkoofsi tokko c∈R gidduu a fi b kan f(c)=k taasisu nijira.

Gilgaala waliigala

1. Hiikoo ildilee limiitii (ε,δ) fayyadamuun limiitii armaan gadii mirkaneessi.
   a) lim┬(x→1)⁡〖(3x+2)/10=1/2〗 g) lim┬(x→ -2)⁡〖(x^2-1)=3〗
   b) lim┬(x→3)⁡〖(2x+1)=7〗 h) lim┬(x→3)⁡〖x^2=9〗
   c)lim┬(x→-1)⁡〖3x=-3〗 i) lim┬(x→ -4)⁡|2x+5|=3
   d) lim┬(x→1)⁡〖(2x+3)=5〗
   e) lim┬(x→-3)⁡〖(1-4x)=13〗
   f) lim┬(x→2)⁡〖(x^2-4x+5)=1〗
2. Mee lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=3 fi lim┬(x→a)⁡〖g(x)=5〗 ta’an
   i. lim┬(x→a)⁡(f(x)+g(x))
   ii. lim┬(x→a)⁡〖2f(x)〗barbaadi.
3. Mee lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=-2 fi lim┬(x→a)⁡〖g(x)=3〗 ta’an
   i. lim┬(x→a)⁡〖f(x)g(x)〗
   ii. lim┬(x→a)⁡〖(f(x))/(g(x))〗barbaadi.
4. Limiitii armaan gadii barbaadi.
   a) lim┬(x→1/2)⁡〖(8x^3-1)/(2x-1)〗 g) lim┬(x→2)⁡〖(1/x-1/2)/(x-2)〗
   b) lim┬(x→1)⁡〖(x^3-1)/(x-1)〗 h) lim┬(x→3)⁡〖(x-9)/(√x-3)〗
   c) lim┬(x→0)⁡〖(〖sin〗^2 x)/(1-cosx)〗 i) lim┬(x→2)⁡〖(1-2/x)/(1-4/x^2 )〗
   d) lim┬(x→0)⁡〖sinx^2 〗 j) lim┬(x→0)⁡〖sin3x/(5x^2-4x)〗
   e) lim┬(x→0)⁡〖xsin 1/x〗 k) lim┬(x→4)⁡〖(√(x+5)-3)/(x-4)〗
   f) lim┬(x→3)⁡〖(x^2-x-6)/(x-3)〗 l) lim┬(x→2)⁡〖f(x)〗yoo f(x)={█(x+1, x<1@3x-x^2, x>1)┤ta’e.
5. lim┬(x→-2)⁡〖f(x)〗yoof(x)={█(3+x,x<-2@5, x=-2@x^2-3, x>-2)┤ ta’e barbaadi.
6. Fankishinii armaan itti fufaa ta’uu agarsiisi
   a) f(x)={█(1/〖 x〗^2 , x≠0@1, x=0 )┤
   b) f(x)={█((x^2-x-2)/(x-2 ), x≠2@1, x=2 )┤
7. Yoo f(x)={█(1+cx, x<2@c-x, x≥2 )┤ itti fufaa ta’e, gatii c barbaadi?
8. Yoo fankishiniin f(x)={█(cx^2-3, x≤2@cx+2, x>0 )┤mandhee (-∞,∞) irratti itti fufaa ta’e gatii c barbaadi?
9. Yoo fankishiniin f(x)={█(c^2 x, x<1@3cx-2, x≥1 )┤mandhee (-∞,∞) irratti itti fufaa ta’e gatii c barbaadi?
10. Tiiramii Gat-giddugalumma fayyadamuun intarvaalii kenname keessatti ruutiin jiraachu mirkaneessi.
    a) x^3-2x-4=0, [2,3]
    b) 2cosx-x+1=0, [1,2]
    c) x^3-4x+1=0, [1, 2]
    d) x^3-x^2-2x=1, [-1,1]
    e) x^2+4x+4, [0,1]
    f) x^2-x, [-1,3]
11. Dhugaa ykn soba jedhi deebii kenni.
    a) Yoo f(a)=l ta’e lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=l ta’a.
    b) Yoo lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗 jira ta’e, lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x)〗 fi lim┬(x→a^- )⁡〖f(x)〗 niqaba.
    c) Yoo ,lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x)〗 fi lim┬(x→a^- )⁡〖f(x)〗 qaba ta’e, lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗 niqaba.
    d) Yoo lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x)=∞〗 ta’e, f(a) hiikaa hinqabu.
12. Limiitii armaan gadii barbaadi
    a) lim┬(x→∞)⁡ln⁡(1/x) g) lim┬(x→∞)⁡〖(3x^3+5x^2-11)/(2x^3-1)〗
    b) lim┬(x→∞)⁡〖1/(2+sinx)〗 h) lim┬(x→∞)⁡〖(√(x^2+1)-10)/(√(x^2+1)-9)〗
    c) lim┬(x→∞)⁡〖x sin⁡(1/x) 〗
    d) lim┬(x→∞)⁡〖x^2 sin〗⁡(1/x^2 )
    e) lim┬(x→∞)⁡〖sinx/x〗
    f) lim┬(x→0)⁡sin⁡(1/x)
13. Balinni rogbaay’ee roga n geengoon marfame B=1/2 nr^2 sin 2π/n ta’a. Yoo n→∞ balinni geenoo itti marfamee B=πr^2 ta’uu mirkaneessi?
14. Limiitii armaan gadii barbaadi.
    a) lim┬(x→0^+ )⁡〖|x|-3x〗
    b) lim┬(x→3^+ )⁡√(3-x)
    c) lim┬(x→0^+ )⁡lnx
    d) lim┬(x→5^+ )⁡〖x/〖(x-5)〗^3 〗
    e) lim┬(x→2^+ )⁡√(1-√(x-1))
    f) lim┬(x→5^- )⁡√(25-x^2 )
    g) lim┬(x→7^- )⁡〖(x^2 |x^2-49|)/(x-7)〗
    h) lim┬(x→0^+ )⁡〖sinx/√x〗

BOQONNAA LAMA
DARIVEETIIVII
Seensa
Ta’insa qabatamaa addunyaa kana keessaatti hedduun isaanii kan qabatan, jijjirama hanga waantotaa (changing quantities) kanneen akka saffisa rookkettii, vooltajjii elektiriikaa, baay’ina baakteeriyaa bakkoota garagaraa, jijjiirama reettii wantootaa, ariitii, guula, ikonomicsii fi kkf fa’i. Ta’insoota akkanaa kana dameen herregaa qo’atu kan handhuura yaad-rimee kaalkulasii ta’e dariveetiivii jedhama.
Boqonnaa kana keessatti maallummaa darivaativii, darivativii fankishonoota adda addaa, darivativii fankishinoota makoo, seera walseenoo, darivativii olanoo, dirivativii keessoo ilaalla.
Kaayyoo Gooroo Boqonnaa Kanaa
Xumura boqonnaa kanaatti barattoonni:
Hiikoo dariveetiivii ni ibsu.
Hiika Ji’omeetirikaawaa dariveetiivii Fankishinootaa ni hubatu.
Dariveetiivii fankishonoota tokko tokkoo intervaalii kenname keessatti ni barbaadu.
Seerota (Rules) dariveetiivii ida’uu, hir’isuu, baay’isuu fi hiruu fayyadamuun dariveetiivii fankishinootaa ni barbaadu.
Dariveetiivii fankishinii Powurii, Polinoomiyaalii, Raashinaalii, Eksipoonenshaalii, Logaariizimii fi Tirigonomeetirii ni hojjetu.
Dariveetiivii fankishinoota makoo ni hojjetu.
Seera wal-seenoo(Chain Rule) tti fayyadamuun dariveetiivii fankishinootaa ni barbaadu.
Dariveetiivii olaanoo fankishinootaa ni barbaadu.

2.1. Hiikoo Dariveetiivii
Mee osoo gara hiikoo dariveetiivii hindhaqiin dura waa’ee dhundhula sarara taanjantii giraafii fankishinii f akka armaan gadiitti haa ilaallu.
Mee giraafii fankishinii f fi sararoota l_1,l_2 akka tartiiba isaaniin tuqaalee giraafii f irra jiran Q,P keessa darbuudhaan tuqaa P keessa darban haa fudhannu.

     l2                l1
               f

    P                              

                a                 x1                x2                             

Sararoonni l_2 giraafii fankishinii f tuqaalee lama irratti waan qaxxaamuraniif sarara seekaantii ta’a.
Dhundhulli (m) sarara fankishinii liinarii (linear function) dabala olee hiruu dabala dalgee ta’uun ni beekama.
Kanaafuu dhundhula sararoota armaan olii tuqaalee giraafii fankishinichaa isaan keessa darban fayyadamuun akka armaan gadiitti shallagna.
Dhundhulli sarara
l_2=m_2=(y_2-f(x_1 ))/(x_2-x_1 )
ta’a.

Haaluma kanaan tuqaaleen giraafii fankishinii kanarra jiran kan akka Q gara tuqaa P tti akkuma siqaa adeemaniin sararri seekaantii l_2 gara sarara taanjentii l_1 tti siqaa adaama.
Walumaagalatti tuqaaleen giraafii fankishinii f irra jiran gara tuqaa P tti akkuma siqaa adeemaniin sararoonni seekaantii tuqaalee kanneenii fi tuqaa P keessa darban gara sarara taanjantiitti jijjiramaa adeemu jechuu dha.
Akkuma armaan olitti ibsamee jiru, tuqaaleen giraafii fankishinii irra jiran gara tuqaa P tti yommuu siqaa adeeman isa jedhu gara yaada limiitiitti (limit concept) yoo ibsamu, limiitiin sarara seekaantii L tuqaalee P fi Q keessa darbu tuqaan Q gara tuqaa P tti siqaa yoo deemu sarara taanjeentii ta’a.
Kanaafuu, akkuma tuqaan x gara tuqaa tti siqaa adeemeen dhundhulli sarara L walqixa dhundhula sarara taanjantii l tuqaa P(x_1,f(x_1 )) tti jijjiiramaa adeema.
Dhundhula kana afaan limiitiin yommuu ibsinu:

Walumaagalatti yoo tuqaan x_1=a,a∈R taanan dhundhulli sarara tanjentii limiitiin yommu ibsinu

Fakkeenya 2.1
Hima walqixaa sarara taanjeentii giraafii fankishinii f(x)=x^2+2x, tuqaa (-3,3) irratti barbaadi.
Furmaata:
Hima walqixaa sarara taanjeentii fankishinii f(x)=x^2+2x barbaaduuf duraan dursinee tuqaa (-3,3) irratti dhundhula taanjeentii giraafii fankishinichaa haabarbaannu.
Haaluma kanaan,
m=lim┬(x→a)⁡〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗
m=lim┬(x→-3)⁡〖(x^2+2x-f(-3))/(x-(-3) )〗
=lim┬(x→-3)⁡〖(x^2+2x-3)/(x+3)=lim┬(x→-3)⁡〖(x+3)(x-1)/(x+3)〗 〗
=lim┬(x→-3)⁡(x-1)
=-3-1=-4.
Kanaafuu dhundhulli taanjeentichaa tuqaa kenname irratti -4 ta’a.
Himaa walqixaa sararaa bifa qaxxaamura dhundhulaa (slope intercept form of equation of a line) y=mx+b tuqaa (-3,3) irratti fayyadamuun b (qaxxaamura siiqqee y) arganna.
Kunis, 3=(-4)(-3)+b. Kanarraa b=-9 arganna jechuu dha.
Kanaafuu, himni walqixaa sarara taanjeentii giraafii fankishinii f(x)=x^2+2x tuqaa (-3,3) irratti
y=-4x-9ta^’ a.
Kanas y+4x+9=0 jechuu dandeenya.
Gocha 2.1
Hima walqixaa sarara taanjeentii fankishinoota armaan gadii tuqaa kenname irratti barbaadi.
y=x^2+1; (2,5) d. g(x)=2sinx+1;x=3/4 π
f(x)=3x^3; x=3 e. f(x)=|x|;x=0
g(x)=cosx; (0,1) f. f(x)=√x;(4,2)

Hiikoo Dariveetiivii

Hub:
f^’ (a)bifadf/dxtiin mallatteessuun ni danda’ama.
Dariveetiiviin fankishinii fankishinii dha.
Hiikoo dariveetiivii fankishinii f tuqaa a keessatti, mee x=a+h haa jennu.As keessatti x’n gara a tti siqaa yoo adeemu, h’n ammo gara 0 tti siqaa adeema.
Kanaafuu
f^’ (a)= lim┬(x→a)⁡〖(f(x)-f(a))/(x-a)=〗 f^’ (a)= lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h〗
ta’a jechuu dha.
As keessatti lakkoofsi a miseensa mandhee fankishinii f ta’uu ni beekna.
Kanaafuu, hiikoon darivativii fankishinii filannoo karaa biraan ykn Hikoo lammaffaan darivativii yoo ibsinu

                                                                                       arganna kan jedhudha.

Fakkeenya 2.2
Hiikoo dariveetiivii isa duraa fayyadamuun dariveetiivee fankishinii f(x)=x^2-2, tuqaa a=-1 irratti barbaadi.
Hiikoo dariveetiivii isa lammaffaa fayyadamuun dariveetiivii fankishinii
f(x) 〖=x〗^3-x
Furmaata:
Hiikoo dariveetiivii isa duraa irraa foormulaa
f^’ (a)= lim┬(x→a)⁡〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗qabna.
Kanaafuu,
f^’ (-1)= lim┬(x→-1)⁡〖(f(x)-f(-1))/(x-(-1) )〗=lim┬(x→-1)⁡〖(x^2-2-((-1)^2-2))/(x+1)〗=lim┬(x→-1)⁡〖(x^2-1)/(x+1)〗
=lim┬(x→-1)⁡〖(x+1)(x-1)/(x+1)〗=lim┬(x→-1)⁡〖x-1〗=-2.
Akka hiikoo dariveetiivii isa lammataatti
f^’ (x)= lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗qabna.
Kanaafuu
f^’ (x)= lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗=lim┬(h→0)⁡〖([(x+h)^3-(x+h)]-(x^3-x))/h〗
=lim┬(h→0)⁡〖(x^3+3x^2 h+3xh^2+h^3-x-h-x^3+x)/h〗
=lim┬(h→0)⁡〖(3x^2 h+3xh^2+h^3-h)/h〗
=lim┬(h→0)⁡〖h(3x^2+3xh-1)/h〗
=lim┬(h→0)⁡(3x^2+3xh-1)
=3x^2-1.

Yoo
Mirkaana:

1. f^’ (x)= lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗 iraa ka’uudhaan:
   〖 f〗^’ (x)=lim┬(x→0)⁡〖(sin⁡(x+h)-sinx)/x〗
   =lim┬(h→0)⁡〖(sinxcosh+sinhcosx-sinx)/h〗
   =lim┬(h→0)⁡〖(sinx(cosh-1)+sinhcosx)/h〗
   =lim┬(h→0)⁡〖sinx(cosh-1)/h+lim┬(h→0)⁡〖sinhcosx/h〗 〗
   =sinx lim┬(h→0)⁡〖((cosh-1))/h+cosx lim┬(h→0)⁡〖sinh/h〗 〗
   =sinx(0)+cosx(1)
   =cosx.

Kanaafuu,
f^’ (x)=(sinx)^’=cosxta’a.

2. Gilgaala (mirkaneesi)

Gocha: 2.2
Hiikoo dariveetiivii isa jalqabaa fayyadamuun dariveetiivii fankishinoota armaan gadii tuqaa kenname irratti barbaadi.
f(x)=2x+3,a=1 c. f(x)=k,k∈R
f(x)=1/4 x^2+1,a=-1,3 d. f(x)=2x^3+1,a=-1
Hiikoo dariveetiivii isa lammataa fayyadamuun dariveetiivii fankishinoota armaan gadii x irratti barbaadi.
f(x)=2x+5 c. f(x)=x^6
f(x)=√x d. f(x)=x^2+x e. f(x)=(x^2-1)/(x^2+1)
Fankishinoota dariveetawoo fi dariveetiivii intervaalii irrattii
Kutaa kana keessatti dariveetiivii fankishinoota tokko tokkoo kanneen mandhee isaanii irratti dariveetawoo ta’aniif dariveetiivii barbaaduun eegalla.Fankishinoonni akkanaa fankishinoota dariveetawwoo jedhamu.

Fakkeenya 2.3

1. Mee fankishinii f(x)=c,∀c∈R haa fudhannu. Hiikoo dariveetiivii fayyadamuun f^’ (x)=0 ta’uu agarsiisi.
   Furmaata: Mandheen fankishinii kanaa R dha.
   Hiikoo dariveetiivii faayyadamuun:
   f^’ (x)=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗
   =lim┬(h→0)⁡〖(c-c)/h〗
   =lim┬(x→0)⁡0=0.
2. Mee fankishinii f(x)=x haafudhannu. Hiikoo dariveetiivii fayyadamuun f^’ (x) barbaadi.
   Furmaata: Mandheen fankishinii kanaa R dha.
   Akkuma hiikoo dariveetiiviitti
   f^’ (x)=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗
   =lim┬(h→0)⁡〖(x+h-x)/h〗=lim┬(h→0)⁡〖h/h〗=1.
   Kanaafuu f^’ (x)=(x)^’=1 ta’a jechuu dha.

Mee amma immoo baay’ee barbaachisaa fi dariveetiivii fankishinoota adda addaa barbaaduuf kan nu gargaaru hiikoo dariveetiiviitti fayyadamuun haa barbaannu.

Mirkaanaa:
Hiikoo dariveetiivii fi Foormulaa Baayinoomiyaalii fayyadamuun:
d/dx (x^n )=f^’ (x)=lim┬(x→a)⁡〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗
=lim┬(x→a)⁡〖(x^n-a^n)/(x-a)〗
=lim┬(x→a)⁡〖(〖(x-a)(x〗^(n-1) 〖+a x〗^(n-2)+a^2 x^(n-3)+⋯+a^n) )/(x-a)〗
= lim┬(x→a)⁡〖〖(x〗^(n-1) 〖+a x〗^(n-2)+a^2 x^(n-3)+⋯+a^n)〗
〖=(a〗^(n-1) 〖+a 〗^(n-1)+a^(n-1)+⋯+a^(n-1))
=na^(n-1)

Kanaafuu darivaativiin fankishinii pawaarii
d/dx (x^n )=f^’ (x)=(x^n )^’=nx^(n-1) ta^’ a.
Fakkeenya2.5

1. Dariveetiivii fankishinii f(x)=x^20 barbaadi.
   Furmaata:
   Foormulaa d/dx (x^n )=f^’ (x) akka armaan gadiitti fayyadamna.
   d/dx (x^n )=f^’ (x)=d/dx (x^20 )=(x^20 )^’=20x^(20-1)=20x^19.

Mirkaana: Gilgaala (tiiramii 2:1 fayyadami)
Fakkeenya 2.6

1. Darivaativii armaan gadii barbaadi.
   a) f(x)=-11x^6 b) f(x)=π/x^10
   Furmaata:
   a) f^'(x) =4(x^6 )^’=4(7x^6 )=28x^6
   b) f^'(x) =(π/x^10 )^’=π(-13) x^(-14)=13πx^(-14)

Fakkeenya 2.7

1. Darivaativii fankishinii armaan gadii barbaadi.
   a) f(x)=x^(2/5) b) f(x)=x^π c. f(x)=x^√2
   Furmaata:
   a) f^'(x) =〖2/5 x〗^(2/5 -1) =2/5 x^(- 3/5)
   b) f'(x)=〖πx〗^(π-1) c)f'(x)=〖√2 x〗^(√2-1)

Mirkaana: Akka hiikoo dariveetiiviitti,
f^’ (x)=(a^x )^,=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗
=lim┬(h→0)⁡〖(a^(x+h)-a^x)/h〗
=lim┬(h→0)⁡〖(a^x a^h-a^x)/h〗 (Seera eksipoonentii)
=a^x lim┬(h→0)⁡〖(a^h-1)/h〗
=a^x lna

Hub!

Fakkeenya 2.8 Meef(x)=4^x haa ta’u. Dariveetiivii fankishina f(x)barbaadi.
Furmaata:
Akka tiiramii armaan oliitti dariveetiiviin fankishinii eksipoonenshaalii f(x)=a^x, f^’ (x)=a^x lna waan ta’eef, foormulaama kanaan:
〖 f〗^’ (x)=d/dx (4^x )=4^x ln4 ta^’ a jechuu dha.

Mirkaana:
Akka hiikoo dariveetiiviitti,
f^’ (x)=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗
=lim┬(h→0)⁡〖ln⁡〖(x+h)-ln⁡x 〗/h〗
=lim┬(h→0)⁡〖1/h ln⁡〖(x+h)/x〗 〗 (Seera logaariizimii irraa)
=lim┬(h→0)⁡〖1/h log_a⁡(1+h/x) 〗
=lim┬(h→0)⁡ln⁡〖(1+h/x)^(1/h) 〗 (Seera logaariizimii irraa)
=ln⁡(lim┬(x→0)⁡〖(1+h/x)^(1/h) 〗 )=ln⁡(e^(1/x) )=1/x

Mirkaana
f(x)=log_a⁡x=lnx/lna
Kanaafuu, f^’ (x)=1/lna (lnx)^’=1/lna×1/x=1/xlna

Fakkenya 2.9

1. Mee f(x)=log_4⁡x haa ta’u. Dariveetiivii fankishinii kanaa barbaadi.
   Furmaata:
   f^’ (x)=(log_4⁡x )^’=1/xln4 ta^’ a.
   Dariveetiivii Fankishinoota Makoo (Derivatives of combination of functions)
   Armaan olitti hiikoo dariveetiivii fankishonootaa, fankishinii dariveetawoo jechuun maal akka ta’ee fi dariveetiivii fankishinota tokko tokkoo intervaalii irratti ilaallee jirra.
   As keessaati ammoo tiiramoota dariveetiivii fankishinoota akka tartiiba isaaniitti qoyyaboota ida’uun, hir’isuun, baay’isuunii fi hiruun makamanii jiranii mirkaneessuun dariveetota fankishonoota akkanaa akka itti barbaannu ni baranna.
   Mee duraan dursinee tiiramii armaan gadii kana haa ilaallu.

Mirkaana:
Fankishinni f tuqaa a irratti dariveetawaa waanta’eef, f^’ (a) ni jira. Kanaafuu
f^’ (a)=lim┬(x→a)⁡〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗 ni-jira jechuudha.
Fankishinni f tuqaa a irratti itti fufaa ta’uu agarsiisuu jechuun,
lim┬(x→a)⁡〖f(x)=f(a)〗 ta’uu agarsiisuu jechuu dha. Kun ammaa lim┬(x→a)⁡[f(x)-f(a)]=0 jechuu waliin kan walgitu dha.
Kanaaf kan agarsiisuu barbaannu lim┬(x→a)⁡[f(x)-f(a)]=0.
Yoo x≠a ta’e, f(x)-f(a)=((f(x)-f(a))/(x-a))(x-a) ta’a.
Kanaafuu,
lim┬(x→a)⁡[f(x)-f(a)]=lim┬(x→a)⁡((f(x)-f(a))/(x-a)) (x-a)=lim┬(x→a)⁡〖(f(x)-f(a))/(x-a)×lim┬(x→a)⁡〖(x-a)〗 〗
=f^’ (a)×0
(⟹lim)┬(x→a)⁡〖(f(x)-f(a)=0 〗
⟹lim┬(x→a)⁡f(x)-lim┬(x→a)⁡〖f(a)=0〗
⟹lim┬(x→a)⁡f(x)=f(a)
Kanaafuu, fankishinni f tuqaa a irratti itti fufaa(continuous) ta’a.
Hub!
Konvarsiin Tiiramii 2:5 dhugaa miti (fankishiniin itti fufaa ta’e hunduu darivetawaa miti)
Fakkeenya 2:10

1. Mee fankishinii f(x)=|x| haa fudhannu. Hiikoo dariveetiivii fayyadamuun fankishiniin f tuqaa x=0 irratti dariveetawaa ta’uu yokiin ta’uu dhiisuu isaa addaan baasi.
   Furmaata:
   Fankishinii f(x)=|x|akka armaan gadiitti ibsuu dandeenya.
   f(x)=|x|={█(x,yoo x>0 ta^’ e@0,yoo x=0 ta’e @-x,yoo x<0 ta’e )┤. Dariveetiivii fankishina kanaa barbaaduuf mee haalota kana akka tartiiba isaaniin gara hikoo dariveetiviitti haa finnu. Mee x>0 haa fudhannu. Kanaaf,
   f^’ (x)= lim┬(x→0^+ )⁡〖(f(x)-f(0))/(x-0)〗=lim┬(x→0^+ )⁡〖x/x〗=1 ta^’ a.
   Akkasumas mee x<0 haa fudhannu. Kanaaf,
   f^’ (x)= lim┬(x→0^- )⁡〖(f(x)-f(0))/(x-0)〗=lim┬(x→0^- )⁡〖(-x)/x〗=-1 ta^’ a.
   Akkuma dalagaa kana lamaan irraa ilaallu, fankishiniin f(x)=|x| tuqaa x=0 irratti limiitii karaa mirgaa fi limiitii karaa bitaa ni qabaata. Kanaafuu, akka hiikoo dariveetiiviitti fankishinichi intervaalota (├ -∞,0]┤ fi [├ 0,∞)┤ keessatti dariveetawaa dha.
   Haata’u malee, limiitonni karaa bitaa fi karaa mirgaa tuqaa x=0 irratti garaa gara ta’anii jiru.Akka hiikoo limiitiitti fankishinni f(x)=|x| tuqaa x=0 irratti limiitii hinqabu. Akka hiikoo dariveetiiviitti limiitonni kun waan hinjirreef fankishinichi tuqaa x=0 dariveetiivii hinqabu.
   Kanaafuu fankishiniin kun tuqaa x=0 irratti dariveetawaa miti.
2. Yoo f(x)={█(sinx, x>0@-x, x≤0)┤ ta’e, tuqaa x=0 irratti darivetawaadha?
   Furmaata:
   lim┬(x→0^+ )⁡〖f(x)=〗 lim┬(x→0^+ ) sinx=0 fi f(0)=0 ta^’ a.
   Kanaafuu, f tuqaa x=0 irratti itti fufaadha.
   Garuu, f^’ (x)={█(cosx ,x>0@-1, x≤0)┤ ta’a.f'(0)hinjiru.
   Kanaafuu, f tuqaa x=0 irrattii darivetaawaa miti.
   Gocha 2.3
   Fankishinoota armaan gadii intervaalii kenname irratti dariveetawoo ta’uu isaanii agrasiisi.
   f(x)=x^2+x;(-∞,∞) c. f(x)=|x-2|;[├ 2,∞)┤
   f(x)=√x;(0,∞) d. f(x)=1/(4-x);(4,∞)

Dariveetiivii Ida’amaa fi Garaagarummaa Fankishinootaa

Mirkaana:

1. Kan agarsiisuu barbaannu
   d/dx (f(x)+g(x))=d/dx f(x)+d/dx g(x).
   Hiikoo dariveetiivii fayyadamuun kan argannu:
   d/dx (f(x)+g(x))=lim┬(h→0)⁡〖((f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x)))/h〗
   =lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x))/h〗
   =lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗+lim┬(h→0)⁡〖(g(x+h)-g(x))/h〗
   =d/dx f(x)+d/dx g(x).
   Gabaabumatti:
   (f+g)^’=f^’+g^’ta’a.
2. Akkasumas lammaffaa irratti kan agarsiisuu barbaanu:
   d/dx (f(x)-g(x))=d/dx f(x)-d/dx g(x).
   Kana mirkaneessuuf salphumatti f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x)) fudhachuudhaan tartiiba armaan olii akkuma jiruun fayyadamnee mirkaneessuu ni dandeenya.
   Gabaabumatti:
   (f-g)^’=f^’-g^’.
   Fakkenya 2.11 Dariveetiivii fankishinoota armaan gadii barbaadi.
   f(x)=x^3+x^5+x^7 d. f(x)=sinx+cosx
   f(x)=e^x-cosx e. f(x)=4x^3+sinx ta’e, f'(π/4) barbaadi
   f(x)=x^(1/3)+log_2⁡x
   Furmaata: Akka tiiramii armaan oliitti,
   (df(x))/dx=(x^3+x^5+x^7 )^’=(x^3 )^’+(x^5 )^’+(x^7 )^’=3x^2+5x^4+〖7x〗^6.
   f^’ (x)=(e^x-cosx)^’=e^x+sinx
   f^'(x) =(x^(1/3)+log_2⁡x )^’=(x^(1/3) )^’+(log_2⁡x )^’=1/3 x^((-2)/3)+1/xln2
   (df(x))/dx=(sinx+cosx)^’=(sinx)^’+(cosx)^’=cosx-sinx.
   f'(x)=(4x^3+sinx)^’=12x^2+cosx ta’a.
   Kanaafuu, f^’ (π/4)=(3π^2+2√2)/4 ta’a.
   Dariveetiivii Fankishinii Baay’ataa Lakkoofsa Dhaabbataa

Mirkaana:
Hiikoo dariveetaawummaa a irrattii irraa kan qabnu
(cf)^’ (a)=lim┬(x→a)⁡〖((cf)(x)-(cf)(a))/(x-a)〗
=lim┬(x→a)⁡〖c(f(x)-f(a))/(x-a)〗
=c lim┬(x→a)⁡〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗=cf^’ (a).

Dariveetiivii Baay’ataa Fankishinootaa

Mirkaana:
Hiikoo dariveetiivii fayyadamuun kan argannu:
d/dx (f(x)g(x))=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x))/h〗
=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h))/h+lim┬(h→0)⁡〖(f(x)g(x+h)-f(x)g(x))/h〗 〗
=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x)(g(x+h)))/h〗+lim┬(h→0)⁡〖f(x)(g(x+h)-g(x))/h〗
=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗 lim┬(h→0)⁡〖g(x+h)+f(x) lim┬(h→0)⁡〖(g(x+h)-g(x))/h〗 〗
=d/dx f(x)g(x)+f(x) d/dx g(x).
Gabaabummatti:
(fg)^’=f^’ g+fg^’ta’a.
Fakkeenya:

1. Darivaativii fankishinii armaan gadii barbaadi.
   a) f(x)=x^2 cosx b) f(x)=(x^2-5x+1)e^x c) f(x)=(x^2+1)(lnx)(sinx)
   Furmaata:
   a) f^’ (x)=(x^2 cosx)^’=(x^2 )^’ cosx+x^2 (cosx)^’=2xcosx+x^2 (-sinx)=2xcosx-x^2 sinx
   b) f^’ (x)=((x^2-5x+1) e^x )^’=(x^2-5x+1)^’ e^x+(x^2-5x+1)(e^x)’
   =(2x-5) e^x+(x^2-5x+1) e^x=e^x (x^2-3x-4)
   c) f^’ (x)=d/dx ((x^2+1)(lnx)(sinx))=(lnx)sinx d/dx (x^2+1)+(x^2+1) d/dx(lnx.sinx)
   =2x lnx sinx+(x^2+1)(1/x sinx+lnx cosx)
   =2x lnx sinx+(x^2+1)(sinx/x+lnx cosx)
   Hub!
   d/dx (fgh)=gh d/dx f+fh d/dx g+fg d/dx h

Dariveetiivii Hiruu Fankishinootaa

.

Mirkaana:
Hiikoo dariveetiivii fayyadamuun:
d/dx [f(x)/g(x) ]=lim┬(h→0)⁡[(f(x+h)/g(x+h) -f(x)/g(x) )/h] fi HWX waamsisoota fudhachuun,
=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h))/hg(x)g(x+h) 〗
=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h))/hg(x)g(x+h) 〗
=(lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)g(x)-f(x)g(x))/h〗-lim┬(h→0)⁡〖(f(x)g(x+h)-f(x)g(x))/h〗)/lim┬(h→0)⁡[g(x)g(x+h)]
=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)g(x)-f(x)g(x))/h〗/(g(x)lim┬(h→0)⁡g(x+h) )-lim┬(h→0)⁡〖(f(x)g(x+h)-f(x)g(x))/h〗/(g(x)lim┬(h→0)⁡g(x+h) )
=(g(x) lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗)/(g(x)lim┬(h→0)⁡g(x+h) )-(f(x) lim┬(h→0)⁡〖(g(x+h)-g(x))/h〗)/(g(x)lim┬(h→0)⁡g(x+h) )
=(g(x) d/dx f(x))/(g(x))^2 -(f(x) d/dx g(x))/(g(x))^2
=(g(x) d/dx f(x)-f(x) d/dx g(x))/(g(x))^2 .
Gabaabumatti:
(f/g)^’=(f^’ g-g^’ f)/g^2 ta^’ a.

Fakkeenya: 2.12

1. Dariveetiivii fankishinoota armaan gadii barbaadi.
   f(x)=4x^8+1/3 x^6-√2 x^2 c. f(x)=tanx
   f(x)=sinxcosx d. f(x)=1/x
2. Darivaativii fankishinii armaan gadii tuqaa kenname irratti barbaadi.
   a) f(x)=tanx,x=π/3 b) f(x)=lnx/x,x=e

Furmaata:

1. Tokkoo tokkoo gaaffiwwan kanaaf dariveetiivii barbaaduuf foormuloota tiiramoota armaanaan oliitti arganne fayyadamna.
   Dariveetiivii fankishinii kanaa barbaaduuf, seerota dariveetiivii ida’uu, hir’isuu fi baaya’ataa lakkoofsa dhaabbataa gargaaramna. Kanaafuu,
   f(x)=4x^8+1/3 x^6-√2 x^2
   f^’ (x)=(4x^8+1/3 x^6-√2 x^2 )^,
   =(4x^8 )^,+(1/3 x^6 )^,-(√2 x^2 )^,(Seerota ida^’ uu fi hir’isuun)
   =4(x^8 )^,+1/3 (x^6 )^,-√2 (x^2 )^,(Seera baay^’ ataa lakkoofsa dhaabbataan)
   =32x^7+2x^5-2√2 x ta^’ a.
   Dariveetiivii fankishinii kanaa barbaaduuf seera dariveetiivii baay’ataa fankishinootaatti gargaaramna. Kanaafuu,
   f(x)=sinxcosx
   f^’ (x)=(sinxcosx)^,=(sinx)^,cosx+sinx(cosx)^,
   =cosxcosx-sinxsinx
   =〖cos〗^2 x-〖sin〗^2 x
   =1-〖sin〗^2 x-〖sin〗^2 x
   =1-2〖sin〗^2 x=-1-2〖cos〗^2 x
   Fankishinni
   f(x)=tanx=sinx/cosx
   waan ta’eef, seera dariveetiivii hira fankishinootaa fayyadamuun dariveetiivii isaa barbaanna. Kunis akka armaan gadiitti ta’a.
   f^’ (x)=(tanx)^,=(sinx/cosx)^,
   =((sinx)^,cosx-sinx(cosx)^,)/(〖cosx〗^2 x)
   =(cosxcosx-sinx(-sinx))/(〖cosx〗^2 x)
   =(〖cos〗^2 x+〖sin〗^2 x)/(〖cosx〗^2 x)=1/(〖cosx〗^2 x)=〖secx〗^2 x ta^’ a.
2. a) f^’ (x)=d/dx (tanx)=(sinx/cosx)^’=〖sec〗^2 x⟹f^’ (π/3)=〖sec〗^2 (π/3)=4
   b) f^’ (x)=d/dx (lnx/x)=(x(lnx)^’-lnx(x)’)/x^2 =(1-lnx)/x^2 ⟹f^’ (e)=(1-lne)/e^2 =

Gocha 2.4
g(x) = ,nN yoo ta’e g΄(x) = ta’u mirkaneessi.
f(x) =〖 a〗_0+a_1 x+a_2 x^2+ – – -+a_n x^n faankishina poolinoomiyaalii yoo
ta’e,
f΄(x) =a_1 +2a_2 x+3a_3 x^2+ – – – +na^n x^(n-1)ta’uu mirkaneessi.
Dariveetiivii fankishinoota armaan gadii barbaadi,
f(x)= sinx+x^2 d. f(x) = sin cosx+x g. (1+cosx)/sinx
f(x)= cscx e) f(x)=xsinx/(x-e^x ) h. f(x)=x^2 lnx
f(x)= f . f(x) = secx-3cosx i. f(x)=(e^x sinx)/(e^x+1)

Seera Walseenoo (Chain Rule)

Herregaa fi fayyada herregaa keessatti fankishinoonni yeroo hedduu nu qunnaman fankishinoota makoo (composite) dha.Akka fakkeenyaatti haala sochii penduulamii keessatti fayyadaaf kan oolu fankishinii
k(t)=acos2πωt
yoo fudhanne, fankishinii makoo f°g ta’ee,
f(t)=acostfig(t)=2πωt
ta’a jechuu dha.Dariveetiivii fankishinoota akkanaa barbaaduuf tiiramii armaan gadii Seera Wal Seenoo jedhamee beekamu gargaaramna.

Mirkaana: g(x)-g(a)≠0 ta’eef,
(f(g(x))-f(g(a)))/(x-a)=(f(g(x))-f(g(a)))/(x-a)×(g(x)-g(a))/(g(x)-g(a))
Kanaafu, (f0g)^’ (a)=lim┬(x→a)⁡〖(f(g(x))-f(g(a)))/(x-a)〗
=lim┬(x→a)⁡〖(f(g(x))-f(g(a)))/(g(x)-g(a))×(g(x)-g(a))/(x-a)〗
=lim┬(g(x)→g(a))⁡〖(f(g(x))-f(g(a)))/(g(x)-g(a))×lim┬(x→a)⁡〖(g(x)-g(a))/(x-a)〗 〗
=f^’ (g(a)).g^’ (a)
Walumaagala, (f0g)^’ (x)=f^’ (g(x)) g^’ (x) ta’a.
Fakkeenya 2.10

1. Seera wal seenoo fayyadamuun dariveetiivii fankishinoota armaan gadii barbaadi.
   k(x)=〖sin〗^6 x b. h(x)=√(〖sin〗^6 x+log_2⁡x )
2. Yoo f(x)=sin⁡(3x+1) ta’e, f^’ ((π-2)/6) barbaadi?
3. Yoo f(x)=e^(x^2+x+3) ta’e, f^’ (x) barbaadi?
   Furmaata:
4. a) Mee f(x)=x^6, g(x)=sinx haa jennu.
   Kanaafuu, k(x)=f(g(x)) ta’a.
   Itti fufuun, f^’ (x)=6x^5 〖 g〗^’ (x)=cosx ta’uu ni beekna.
   Akka Seera Wal seenootti
   [f(g(x))]^’=f^’ (g(x)) g^,(x)
   waan ta’eef,
   [f(g(x))]^’=f^’ (g(x)) g^,(x)= [〖sin〗^6 x]^’=f^’ (sinx)cosx=6〖sin〗^5 xcosx. Mee f(x)=√x, g(x)=〖sin〗^6 x+log_2⁡x haa jennu.
   Kanaafuu, h(x)=f(g(x)) ta’uu ni hubanna.
   Itti fufuun
   f^’ (x)=(√x)^’=1/(2√x).
   fi
   g^’ (x)=(〖sin〗^6 x+log_2⁡x )^’
   =(〖sin〗^6 x)^’+(log_2⁡x )^’
   =6〖sin〗^5 xcosx+1/xln2.
   Kanaafuu,
   Akka Seera Wal seenootti
   [f(g(x))]^’=f^’ (g(x)) g^,(x)
   waan ta’eef,
   [f(g(x))]^’=f^’ (g(x)) g^,(x)
   =f^’ (〖sin〗^6 x+log_2⁡x )(6〖sin〗^5 xcosx+1/xln2)
   =1/(2√(〖sin〗^6 x+log_2⁡x )) (6〖sin〗^5 xcosx+1/xln2)
   =(6〖sin〗^5 xcosx)/(2√(〖sin〗^6 x+log_2⁡x ))+1/(2xln2√(〖sin〗^6 x+log_2⁡x )).
5. f^’ (x)=d/dx (sin⁡(3x+1) )=cos⁡(3x+1).(3x+1)^’=3 cos⁡(3x+1)
   ⟹f^’ ((π-2)/6)=3 cos⁡(3((π-2)/6)+1)=3 cos⁡(π/2)=0
6. f^’ (x)=(e^(x^2+x+3) )^’=(e^(x^2+x+3) ) (x^2+x+3)^’=(2x+1)e^(x^2+x+3).

Fakeenyaa:

1. Yoo f(x)=〖cos〗^3 4x ta’e, f'(π/6) barbaadi?
   Furmaata: f'(x)=〖(cos〗^3 4x)’=3(〖cos〗^2 (4x)(〖cos⁡(4x)〗^’=3〖cos〗^2 (4x) sin⁡(4x).4=12〖cos〗^2 (4x) sin⁡(4x).
   ⟹f^'(π/6) =12〖cos〗^2 (4×π/6) sin⁡(4×π/6)=12〖cos〗^2 (2π/3) sin⁡(2π/3)=12(1/2)^2 (1/2)=3/2
2. Yoo f(x)=〖cos〗^5 (x^2+1) ta’e, f'(x) barbaadi?
   Gocha 2.5.
3. Dariveetiivota faankishinoota armaan gadii barbaadi
   f(x)=cos(sinx) d. f(x)=cos(x^2+1) g. f(x) = sin
   f(x) = 〖tan〗^3 x e. f(x) = h. f(x) = x
   f(x) = f. f( x) = ln (lnx) i. g(x) = 2^sinx
4. Seera darivaativii fankishinii walseenoo fayyadamii darivaativii isaanii barbaadi
   a) f(x)=〖(4x+5)〗^12 e. f(x)=e^(-5x) sin⁡(〖4x〗^2+5x+1)
   b) f(x)=〖cos(x〗^2+1) f. f(x)=x^2/(x+ln⁡(x^2+9) )
   c) f(x)=e^(x+2)/(xe^x-1) g. f(x)=sin√(ln⁡(x^2+7))
   d) f(x)=ln√(cos⁡(x^2+3)) h. f(x)=cos⁡(ln√(e^x ) ) Dariveetiivii Olaanoo (Higher Derivatves)
   Yoo f’n fankishina ta’e, f^’ fankishina. Kanaafuu, adeemsa deriveetiivii fankishinii kanaa itti fufuun f^” (a) akka foormulaa armaan gadiitti hiikuu ni dandeenya:
   f^” (a)=lim┬(x→a)⁡〖(f^’ (x)-f^’ (x))/(x-a)〗,
   bakka limiitiin kun jirutti.
   Dariveetiivii f^” (a) kun dariveetiivii lammaffaa f tuqaa a irrattii jedhama.
   Akkuma f^’ (a) dariveetiivii fankishinii f tuqaa a irrattii ta’e, f^” (a) dariveetiivii fankishinii f^’ tuqaa a irratti ta’a.
   Haaluma kanaan lakkoofsa intiijarii poozatiivii n≥3 kamiifuu, dariveetiivii n^ffaa fankishinii f(f^n (a)) tuqaa a irratti akka foormulaa armaan gadiitti hiikna:

yoo limiitichi jiraateef.
Kana irratti hundaa’uun f^’ (a) dariveetiivii 1^ffaafankishinii f tuqaa a irrattii jedhama.
Walumaa galatti dariveetiiviin 2^ffaa, dariveetiivii 3^ffaa fi kkf dariveetiivii olaanoo jedhamu.
Fakkeenya 2.11:

1. Mee fankishinii f(x) = x^3+2x^2+2haa fudhannu.
   Dariveetiivii olaanoo hanga 3^ffaa ttii barbaadi.
   f^’ (1),f^((2) ) (1/3) fi f^((3) ) (10) barbaadi.
   Furmaata:
   Foormulawwan armaan olii irratti hundaa’uun:
   f (x) = 3x^2+2xdariveetiivii 1ffaa f(x) = x^3+2x^2+2 ta’a.
   f (x) = f^((2)) (x)= 6x+2dariveetiivii 2ffaa f(x) = x^3+2x^2+2ta’a.
   Akkasumas f (x) = f^((3)) (x)= (6x+2)’ = 6dariveetiivii 3ffaa f(x) = x^3+2x^2+2 ta’a.
   f^’ (x)=3x^2+2x waan qabnuuf
   f^’ (1)=3×1+2×1=3+2=5ta’a.
   Akkasumas, f^” (x)=6x+2 waan qabnuuf
   〖 f〗^((2) ) (1/3)=6x 1/3+2=2+2=4 ta^’ a.
   Haaluma walfakkaatuun, f^((3) ) (x)=6 fankishinii dhaabbataa dha. Kanaafuu,
   f^((3) ) (10)=6 ta’a.
   Gocha 2.6
   Dariveetiivota olaanoo hanga 4ffaa tti barbaadi
   f(x)= sin x c. f(x) = x^6-3x^5+4x^4 e. f(x) = sin x + cos x
   f(x) = d. f(x) = xcos x
   Yoof(x)= cos x ta’e, kanneen armaan gadii shallagi.
   f^((2) ) (π/4) b. f (3)(0) c. f^((5) ) (3π/2)

Dariveetiivota olaannoo mallattoo Libeenzi fayyadamuun yoo mallatteessinu
, ,—, ta’a.
Fakkeenya:

1. f(x)=x^4-5x^3+6x^2+7x+1 ta’e,
   f^’ (x)=(x^4-5x^3+6x^2+7x+1)^’=4x^3-15x^2+12x+7
   f^” (x)=(4x^3-15x^2+12x+7)^’=12x^2-30x+12
   f^((3)) (x)=(12x^2-30x+12)^’=24x-30
   f^((4) ) (x)=(24x-30)^’=24
   Hub! Yoo n≥5, ta’e f^((n) ) (x)=0 ta’a.

Fakkeenya:

1. Yoo y=xe^x ta’e, d^n/〖dx〗^n barbaadi?
   Furmaata:
   y=xe^x⟹dy/dx=(x)^(‘e^x )+x(e^x )^’=e^x+xe^x=e^x (1+x)
   (d^2 y)/〖dx〗^2 =(e^x (x+1))^’=(e^x )^’ (1+x)+e^x (1+x)^’=e^x (1+x)+e^x=e^x (2+x)
   (d^3 y)/〖dx〗^3 =(e^x (2+x))^’=(e^x )^’ (2+x)+e^x (2+x)^’=e^x (2+x)+e^x=e^x (3+x)
   Kanaafuu, tarkaanfii armaan olii irra akkuma hubatamu
   (d^n y)/〖dx〗^n =e^x (n+x) ta^’ a.
2. Yoo f(x) fankishinii si’a n darivetowaa fi g(x)=f(3x+1) ta’e, g^n (x) barbaadi?
   Furmaata: g(x)=f(3x+1)
   ⟹g^’ (x)=f^’ (3x+1).(3x+1)’ ……… seera walseenoo
   =〖3f〗^’ (3x+1)
   ⟹g^” (x)=〖3f〗^” (3x+1).(3x+1)^’=3f^” (3x+1)×3=3^2 f^” (3x+1).

g^((3) ) (x)=3^2 f^((3) ) (3x+1) (3x+1)^’=3^2 f^((3) ) (3x+1)×3=3^3 f^((3) ) (3x+1).
Kanaafuu, tarkaanfii armaan olii irraa g^((n) ) (x)=3^n f^((n) ) (3x+1) ta’a.

3. Yoo f(x)=|x| x^2 ta’e, f^((3) ) (x) barbaadi?
   Furmaata:
   f(x)=|x| x^2={█(x^3,x≥0@-x^3,x<0)⟹f^’ (x)={█(3x^2,x≥0@-〖3x〗^2,x<0)┤┤ ⟹f^” (x)={█(6x,x≥0@-6x,x<0)┤ f^((3)) (x)={{█(6 , x>0@∄, x=0@-6, x<0)┤┤ ta’a.
   f^((3)) (0)=lim┬(x→0)⁡〖(f^” (x)-f^” (0))/(x-0)〗=lim┬(x→0)⁡〖(f^” (x))/x〗 ta’a.
   Garuu, lim┬(x→0)⁡〖(f^” (x))/x=lim┬(x→0^+ )⁡〖6x/x〗 〗=6 fi lim┬(x→0)⁡〖(f^” (x))/x=lim┬(x→0^- )⁡〖(-6x)/x〗 〗=-6
   ⟹f^((3)) (x) hinqabu.
4. Yoo f(x)=a_n x^n+a_(n-1) x^(n-1)+⋯+a_2 x^2+a_1 x+a_0 ta’e, polinoomiyalii digrii n qabu ta’e, f^((k)) (x)=0,∀k>n ta’u agarsiisi?
   Furmaata:
   f^’ (x)=〖na〗n x^(n-1)+(n-1)a(n-1) x^(n-2)+⋯+〖2a〗2 x+a_1 f^” (x)=〖n(n-1)a〗_n x^(n-2)+(n-1)(n-2)a(n-1) x^(n-3)+⋯+〖2a〗2 f^((3) ) (x)=〖n(n-1)(n-2)a〗_n x^(n-3)+(n-1)(n-2)(n-3)a(n-1) x^(n-4)+⋯+〖6a〗_3

f^((n-1)) (x)=〖n(n-1)(n-2)…2a〗_n x
f^((n)) (x)=〖n!a〗_n
⟹f^((n+1)) (x)=0.
Gocha:

1. Fankishinii armaan gaditiif daivaativii nffaa barbaadi
   a) f(x)=e^((3x+1)) b) f(x)=1/x c) f(x)=e^x
2. Yoo f(x)=e^x lnx ta’e, f”(1) barbaadi?
3. Yoo y=x^3 e^(-x) ta’e, (d^3 y)/〖dx〗^3 barbaadi? Dariveetiivii Keessoo (Implicit Derivative)
   Fankishinoonni dariveetawoo armaan dura irratti hojjechaa turre maruu fankishinoota walqixaa (equations) kanneen y bakka x tti (y interms of x) tiin ibsaman turan. Dariveetiiviin fankishinoota akkanaa Dariveetiivii Diidoo (Explicit darivetives) jedhama.
   Haata’u malee, mee y’n fankishinii dariveetawoo x, fi x fi y akka hima walqixaa
   x^2+y^3=x
   ttii haa ibsamu.
   Dariveetiiviin fankishinoota akkanaa Dariveetiivii Keessoo (Implicit Darivetives) jedhama.
   Akkuma armaan olitti ibsamuuf yaalame y’n fankishinii dariveetawoo x waan ta’eef, fankishinoonni x^2+y^3 fi x dariveetawoo ta’u.
   Kanaafuu, fankishinoonni lamaan bitaa fi mirgaa jiran armaan olii fankishinoota dariveetawoo dha. Fankishinoonni kun lamaan wal qixaa fi dariveetawoo waan ta’aniif dariveetiiviin isaanii walqixa ta’a.
   Fakkeenya 2.12:
   Mee y fankishinii dariveetawoo x fi x^3+y^3=2xy haata’u. dy/dx barbaadi.
   Furmaata:
   Dariveetiivii fankishinii x^3+y^3=2xy barbaaduuf, fankishinii x^3+y^3 akka ida’ama fankishinoota x^3 fi y^3 ttii dariveetessuu fi Seera Wal-seenoo (Chain Rule) fayyadamuun y^3, x waliin walbiraqabnee dariveetessina. Kunis akka armaan gadiitti ta’a.

d/dx (x^3+y^3 )=d/dx (x^3 )+d/dx (y^3 )=3x^2+3y^2 dy/dx.
Haalima kanaan fankishinii 2xy akka baay’ataa fankishinoota 2x fi y tti fudhachuun akka armaan gadiitti dariveetessina:
d/dx (2xy)=d/dx (2x)y+2x dy/dx=2y+2x dy/dx.
Dariveetota lamaan armaan olii irraa kan argannu:
3x^2+3y^2 dy/dx=2y+2x dy/dx
⇒3y^2 dy/dx-2x dy/dx=2y-3x^2
⇒(〖3y〗^2-2x) dy/dx=2y-3x^2
⇒dy/dx=(2y-3x^2)/(〖3y〗^2-2x), yoo〖 3y〗^2≠2x ta’e .
Fakkeenya 2.13:
Hima walqixaa sarara taanjantii l giraafii fankishina y^2=x^3/(2-x) tuqaa(1,1) irratti barbaadi?
Furmaata:
Akkuma jalqaba boqonnaa kanaa irratti illaalle turre, dariveetiiviin fankishinii kanaa tuqaa (1,1) irratti, dhundhula sarara taanjantii giraafichaa ta’uu hubanneerra.
Kana malees dariveetiiviin fankishinii kanaa dariveetiivii keessoo akka ta’u ni hubatama.
Kanaafuu mee dariveetiivii fankishinichaa akka armaan gadiitti haa barbaannu:
d/dx (y^2=x^3/(2-x))=d/dx (y^2 (2-x)=x^3 )
⇒d/dx (2y^2 )-d/dx (y^2 x)=d/dx x^3
⇒4y dy/dx-(2xy dy/dx+y^2 )=3x^2
⇒(4y-2xy) dy/dx-y^2=3x^2
⇒dy/dx=(3x^2+y^2)/(4y-2xy)
Kanaafuu, gatiin dariveetiivii kanaa tuqaa (1,1) irratti,
dy/dx =(3(1^2 )+1^2)/(4(1)-2(1×1) )=4/2=2 ta^’ a.
Kun ammo dhundhula giraafichaa ta’uu isaati.
Dhundhula bifa qaxxaamura hima walqixaa sararaa y=mx+b tti fi tuqaa (1,1)fayyadamuun qaxxaamura siiqqee ykan ta’e b barbaanna.
Kunis
1=2×1+b.
Kanarraa yommuu b shallagnu -1 ta’a.
Kanaafuu, himni walqixaa sarara taanjantii barbaadamuu y=2x-1 ta’a.

Gocha 2.7
Dariveetiivii keessoo fayyadamuun dariveetiivii y, x bira qabuun barbaad.
y^2-x^2=4 d. x^3+y^3=6xy g. e^(x^2 y)=x+y
y=cosxy^2 e. sin(x+y)=y^2 cosx h. y^4+x^2 y^2+yx^4=y+1
y^2=x^3/(2-x) f. 4x^2+9y^2=36
Hima walqixaa sarara taanjantii giraafii fankishinii tuqaa kenname irratti barbaadi.
x^2+y^2=3y;(-√2,√2) c. x^3+y^3=3xy;(3/2,3/2)
sin(x+y)=2x;(0,π)

Cuunfaa Boqonnaa
Dhundhula sarara taanjantii giraafii
Sararri giraafii fankishinii tokkoo tuqaa kenname tokko qofarratti tuqu sarara taanjantii giraafichaa jedhama.
Dhundhulli sarara taanjantii giraafii fankishinii y=f(x) tuqaa (a,f(a)) irratti foormulaa
m=lim┬(x→a)⁡〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗
tiin shallagama.
Himni walqixaa sarara taanjantii giraafii fankishinii y=f(x) tuqaa (a,f(a)) irratti y-f(a)=m(x-a)
ta’a.
Dariveetiivii fankishinii tuqaa irratti
Yoo x_0 miseensa fankishinii f ta’e,
f^’ (x_0 )=lim┬(x→x_0 )⁡〖(f(x)-f(x_0 ))/(x-x_0 )〗
ta’a jechuu dha.
Kana malees
f^’ (x)=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗
ni ta’a.
Dariveetiivii fankishinoo akkaataa armaan gadiitiinis mallatteessuu ni dandeenya.
dy/dx,d/dx f(x),D(f(x)).
Fankishinni kenname f’n intervaalii banaa (a,b) irratti dariveetawaa dha kan jennu yoo fankishinichi tokkoo tokkoo tuqaalee (a,b) keessa jiran mara irratti dariveetawaa ta’e fi f’n intervaalii daangeffamaa [a,b] irratti dariveetawaa dha kan jennu yoo intervaalii (a,b) irratti dariveetawaa ta’ee fi limiitonni karaa mirgaa fi karaa bitaa akka tartiiba isaaniin
lim┬(x→a^+ )⁡f(x) fi lim┬(x→b^- )⁡f(x)
jiraatan qofa dha.

Dariveetiivii fankishinoota tokko tokkoo
 Dariveetiiviin fankishinii dhaabbataa 0 dha.

Kana jechuun ⩝c∈R,d/dx (c)=0.
Dariveetiivii fankishinii paawerii.
Yoo f(x)=x^r,⩝r∈R, ta’e, f^’ (x)=rx^(r-1) ta^’ a.
Dariveetiivii fankishinoota tirigonomeetrii bu’uuraa.
d/dx (sinx)=cosx
d/dx (cosx)=-sinx
d/dx (tanx)=〖sec〗^2 x
Dariveetiivii fankishinoota eksipoonenshaalii fi logaarizimii
Yoo fankishinni f(x)=a^x,⩝a>0,a≠1ta’e, f^’ (x)=a^x lna ta’a.
Yoo fankishinni f(x)=e^x ta’e, f^’ (x)=e^x ta’a.
Yoo fankishinni f(x)=log_a⁡〖x, 〗⩝a>0,a≠1ta’e, f^’ (x)=1/xlna.
Yoo fankishinni f(x)=lnx ta^’ e,f^’ (x)=1/x ta’a.
(Seera Paawerii): Yoo f(x)=x^n,⩝∈R ta’e, f^’ (x)=nx^(n-1) ta’a.
Dariveetiivii fankishinoota makoo (Derivative if combination of fanction)
Mee fankishinoonni f fi g fankishinoota dariveetawoo haa ta’an.
(f±g)^’ (x)=f^’ (x)±g^’ (x) ta’a.
(fg)^’ (x)=f^’ (x) g^’ (x) ta’a.
(f/g)^’ (x)=(f^’ (x)g(x)-f(x) g^’ (x))/(g(x))^2 ta’a.
(f°g)^’ (x)=f^’ (g(x)) g^’ (x) ta’a.
Dariveetiiviin fankishinii f tuqaa a irratti
f^’ (a)=lim┬(x→a)⁡〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗 ta^’ a.
Dariveetiiviin lammaffaa fankishinii kanaa tuqaa a irratti:
f^” (a)=lim┬(x→a)⁡〖(f^’ (x)-f^’ (a))/(x-a)〗 ta^’ a.

Dariveetiiviin sadaffaa fankishinii kanaa tuqichuma irratti:
f^”’ (a)=lim┬(x→a)⁡〖(f^” (x)-f^” (a))/(x-a)〗 ta^’ a.
Haaluma kanaan dariveetiviin n^ffaa fankishinii kanaa tuqaa a irratti
f^n (x)=lim┬(x→a)⁡〖(f^(n-1) (x)-f^(n-1) (a))/(x-a)〗

Gilgaala waligaalaa Boqonnaa 2

Kanneen armaan gadii kan sirrii ta’e “Dhugaa” kan sirrii hintaane “Soba” jechuun deebisi.
Fankishinni kamuu tuqaa kennameef irratti dariveetawaa dha.
Fankishiniin polinoomiyaalii kamuu ℝ irratti dariveetawaa dha.
Fankishinii f(x)=k tiif, f^' (x)=0 yoo ta’e, k’n polinoomiyaalii digirii tokkooffaa ta’a.
Yoo giraafiin y=f(x) tuqaa x=a irratti sarara taanjantii dalgee qabaate, f^' (a) hiika hinqabu.
Fankishinni y=f(x) tuqaa x=0 irratti itti fufaa yoo ta’e, tuqicha irratti dariveetawaa ta’a.
Fankishinni itti fufaa kamuu dariveetawaa dha.
Fankishinni dariveetawaa kamuu itti fufaa dha.
Fankishinni |2x-4|,x=2 irratti dariveetawaa dha.
Fankishinoonni f fi g dariveetawoo yoo ta’an, fankishinni f/g dariveetawaa ta’a.
Dariveetiiviin fankishinfi f, bifa f^' (x)=ax+b yoo ta’e, f(x)=a_1 x^2+b_1 x+c_1 ta’a.
Ida’amni fankishinoota dariveetawoo lamaa ida’ama dariveetiivii isaanii ta’a.
Dariveetiiviin (n+1)^ffaa polinoomiyaalii digirii n, 0 dha.
Baay’ataan fankishinoota dariveetawoo lamaa ida’ama dariveetiivii isaaniiti.
Dariveetiiviin fankishinii tokkoo tuqaa kenname irratti dhundhula taanjantii giraafii fankishinichaa tuqicha irrattii ta’a. 
Dariveetiiviin polinoomiyaalii digirii sadaffaa polinoomiyaalii digirii lammaffaa ta’a.
Yoo f(x)=x^2 (x^4-x) ta’e, f^'' (x)=2x(〖4x〗^3-1) ta’a.
Dariveetiiviin f(x)=(1-x)/(2+x), (-3)/(2+x)^2  ta’a.
Dhundhula sarara taanjantii giraafii fankishinii y=12-3x^2 tuqaa (-1,9) irratti barbaadi.
Dhundhula sarara taanjantii giraafii fankishiniiy = sin xtuqaa (π/2,1) irratti barbaadi.
Hima walqixaa sarara taanjantii giraafii fankishinii y=(x^2-3)^5 tuqaa (-1,-32) irratti barbaadi.
Dhundhula sarara taanjantii gitraafii fankishinii x^2+y^2=25,tuqaa(3,-4) irratti barbaadi.
Dariveetiivii fankishinoota armaan gadii hanga sadaffaatti barbaadi.
f(x)=5x^4-3x^3+7x^2-9x+2        d. f(x)=√x,〖   f〗^((3) ) (4) barbaadi.
h(x)=〖sin〗^2 x                  e. sinx+xcosx
f(x)=(3x+4)(2x^2-3x+5)      f. 〖f(x)=x〗^3 cotx
Yoo fankishinni f(x)=√(5x^2+3x-1) ta’e, f^' (2) barbaadi.
Yoo f(x)=5sinx+cosx ta’e, f^' (π/4) barbaadi.
Dariveetiivii fankishinoota armaan gadii abrbaadi.
f(x)=ln(sinx)   c. k(x)=(x^2+1)^2/(x^4+1)^4     e. g(x)=e^(x^2+5)   
h(x)=5^√x       d. cos(1+tan2x) f.. (e^x sinx)/lnx
Fankishinoota armaan gadiif dy/dx barbaadi.
x^2 y^3-xy=10               d. y=log_10⁡(4x^2-3x-5)
x^2+3xy+y^2=-1,tuqaa(-1,1) irratti  e. y=√(x^4-2x+1)
y=(3x+5)/(2x-3)

xi. Hima walqixa sarara tanjentii giraafii y=1/x+x^2 kan dhundhulli isaa -3 barbaadi?
xii. Gatii k barbaadi yoo sararri y=-8x+k giraafii y=3x^2+4x+1 ta’e.

BOQONNAA SADII
FAYYADA DARIVEETIVII (Application of Diferentiation)
Seensa

Boqonnaa lammaffaa keessatti akkaataa dariveetiivoota faankishinoota adda addaa barbaaduu dandeenyu ilaalleera.Kutaa kana keessatti tiiramoota gat-qixoomaa (gat-xiqqaa fi gat-guddaa) fankishinootaa ,faankishinoota monotooniikii, fi tiiramii yaalii dariveetiivii tokkoffaa fi lammaffaa akkasumas, fayyada isaanii ni ilaalla.
Kaayyoo
Xumura boqonnaa kanaatti leenjifamtootni:
Yaad-rime gat-guddaa fi gati-xiqqaa jireenya isaanii keessatti ni fayyadamuu.
Tiiramii gat-guddaa fi gat-xiqqaa fayyadamuun gat-guddaa fi gat-xiqqaa faankishootaa ni barbaadu.
Tiiramoota Roolee fi gat-qixoomaa ni ibsu.
Hiikoo faankishinoota monootonikii ni kennu.
Faankishinoota dabaloo fi hir’isoo addaan ni baasu.
Yaalii darivaatiivii tokkoffaa fi lammaffaa ni ibsu.
Yaalii darvaatiivii tokkooffaa fi lammaaffaa fayyadamuun gat-guddaa fi gat-xiqqaa faankishinootaa ni barbaadu.
Giraafii faankishinoota ni ijaaru

Tiiramii gat-fiixee

Kutaa kana keessatti gat-guddaa fi gat-xiqqaa sirrii yookiin naannoo (Absolute or local extremum value) faankishinoota itti fufoo kan ilaallu ta’a. Faankishinni tokko intervaalii cufamaa fi daangeeffamaa irratti itti fufaa yoo ta’e faankishinichi interrvaalii sana keessatti akka gat-guddaa yookiin gat-xiqqaa qabu kan addaan baa’u ta’a.

Gocha 3.1

1. Mee faankishinni kenname tokko intervaalii cufamaa daangeeffamaa irratti gat-guddaa yookiin gat-xiqqaa qaba jechuun maal jechuu akka ta’e adda baasi.
2. Mee f(x)=x^2 haa fudhannu.
   i) giraafii f ijaari.
   ii) f intervaalii [-2,1] irratti gat-guddaa yookiin gat-xiqqaa qabaa?

.

Fakkeenyaaf:

1. f(x)=2x+3 intarvaalii (0,5) irrattii itti fufaadha. Garuu gat-guddaa fi gat-xiqqaa hinqabu.
2. f(x)=1/x intarvaalii [-1,5] irratti itti fufaa miti. Kanaafuu, gat-guddaa fi gat-xiqqaa hunqabu.
3. f(x)=2x+3 intarvaalii (0,5] irratti gat-gudaa kan 13 ta’e niqaba. Garu gat-xiqqaa hinqabu.
4. f(x)=2x+3 intarvaalii [0,5) irratti gat-xiqqaa 3 niqaba. Garu gat-guddaa hinqabu.
   Kanaaf, fankishinii tokko intarvaalii kenname irratti gat-gudda fi gat-xiqqa qabaachuu isaatiif kan beeku qabnu fankishinichi intarvaalii cufaa irratti itti fufaa ta’uu qaba.

Fakkeenya 3.1 f(x)= x intervaalii (0,1) keessatti yoo fudhanne gat- guddaa fi gat-xiqqaa hin qabu.
Fakkeenya 3.2 f(x)= yoo fudhanne
lim┬(x→0^+ )⁡〖f(x)〗 f(x)=  fi f(0) = 0 waan ta’eef f tuqaa x=0 irratti itti fufaa miti.

Fakkeenya 3.3 Faankishinni f intervaalii [-1,1] irratti hiika qabeessa garuu itti fufaa miti.Mee giraafii f danaa armaan gadiitti ibsame haa fudhannu.
y

f
               -1
1   



            Dana 3.1

Akka giraafii kana irraa hubannuutti f gat-fiixeewan intervaalii [-1,1] irratti hin qabu.

Danaa armaan gadii mee yaa ilaallu

f(c1) fi f(c3) gat-xiqaa naannoo ta’u. f(c2) fi f(c4) gat-guddaa naannoo giraficha ta’u
Hub!

1. Tuqaa (c1, f(c1)), (c3, f(c3)) fi (c4,f(c4)) sarara tanjentii dalgee arganna.
   Kana jechuun, f’(c1)=0, f’(c3)=0 fi f(c4)=0 ta’a.
2. tuqaa (c2, f(c2)) irratti sarara tanjentii kaasuu hindandeenyu. Tuqaa c2 irratti f darivaatawaa miti.
3. Fankishinii f
   Gat-guddaa lakkoofsac∈[a,b] irratti qaba kan jennu yoo f(c)≥f(x), ∀c∈[a,b].
   Gat-xiqqaa lakkoofsac∈[a,b] irratti qaba kan jennu yoo f(c)≤f(x), ∀c∈[a,b].

Mirkana Mee tuqaa c irratti f(c) gat-guddaa yookiin gat-xiqqaa qaba haa jennu.Haalli mirkanaa qabxiilee f(c) gat-guddaa yookiin f(c) gt-xiqqaa ta’uu wal fakkaataa waan ta’eef mee f(c) gat-guddaa haa ta’u.
Akka hiikoo gat-guddaatti x(a,b), f(x)  f(c) ta’a.
x(a,b), x < c yoo ta’e ta’a. x(a,b), x > c yoo ta’e ta’a.
Kanaafuu , fi ta’u.
Akka hiikoo darviitiviitti:
=f΄(x) ≥0 fi =f(x) ≤0 ta’a.
Kaanaa jechuun f΄(c)  0 fi f΄(c)  0 ta’a jechuu dha.
Kanaafuu, f(c)=0 ta’a.
Kanaafuu, f(c) gat-fiixee yoo ta’e f(c)=0 ta’a jechuu dha.

.

Fakkeenya 3.4.Lakkoofsa Kiritikaalii fankishinii armaan gadii barbaadi.
a) f(x)=x^3-3x+2 b) f(x)=2√x(6-x)
Mee lakkoofsi kiriitikaalii c haa ta’u.f(c)=0 ta’a
f(x)=x^3-3x+2  f (x)=3x^2-3=0
3x^2=3
x^2=1
x=
x= 1
Lakkoofsi kiriitikaalii x = -1fi x=1. Tuqaalee (-1,f(-1)) fi (1,f(1)) kiriitikaalaa ta’u.
b) f(x)=2√x(6-x)yoo ta’e, f^’ (x)=6x^((-1)/2)-3x^(1/2)
Darivaativiin fankishinii f'(x) lakkoofsa 0 irratti hiikaa hinqabu, garu 0’n miseensa mandhee fankishinichaa want taatef x=0 lakkoofsa kiritikaalii ta’a.
Lakkoofsi kiritikaalii biraammoo f'(x)=0 irratti argana.
Kunis, 6x^((-1)/2)-3x^(1/2)=0⟹3x^(1/2) (2-x)=0⟹2-x=0⟹x=2
Kanaafuu, lakkoofsi kiritikaalii x=0 fi x=2 irratti arganna.

Hubachisa: Gat-fiixeewwan faankishinii f barbaaduuf gatii f lakkoofsa kiriitikaalii b irratti fi fiixeewwan intervaalii [a,b] tuqaalee a fi b irratti erga barbaadnee booda isa guddaa fi xiqqaa fudhachuun adda baafanna. Innis f(c), f(a), fi f(b) waliin madaaluun murteeffama.

Gochaa 3.2Lakkoofsota kiriitikaalii faankishinoota armaan gadii barbaadi.
a) f (x) = 4x-x^2 b) f(x) = x
c) f(x) = x^3-3x+2 d) f(x) = x+

Gat-fiixeewwan giraafiin ibsuu (Graphical representation of extreme value)

Bakki ol ka’aan giraafii fankishinni iddoo gat-guddaan fankishiniichaa itti argamuu yammuu ta’uu bakkii gad-aanan ammo gat-xiqqaa fankshiniichaa agrasiisa.
Fakkeenya 3.5
Mee danaalee armaan gadii haa xiinxallu.
Y
f(a)

f X
a b

f(b)

Danaa 3.2
Intervaalii I= [a,b] keessatti faanksihinni f gatiiwwan fiixee lakkoofsota a fi b gidduutti yookiin fiixeewwan intervaalii a yookiin b irratti ta’a.
Akka danaa 3.2 irraa hubatamuutti gat-xiqqaa f tuqaa b irratti kan argamu yammuu ta’u innis f(b) dha. Gat-guddaan ammo tuqaa a irratti kan argamu yoo ta’u innis f(a) dha.

  Y                                     Gat-guddaan f = f(b) fi
                                           Gat-xiqqaan f = f(a) ta’u.
f

a X
b

Danaa 3.3
Gatiiwwan armaan olii gat- fiixeewwan sirrii (absolute extremum value) jedhamanii beekamu.

iii.
Y

f



a   x1         x2                 x3      x4             x5        b    x

Danaa 3.5
Giraafii danaa 3.5irraa akka hubatamuutti tuqaalee intervaalii I=[a,b] keessatti argaman x1, x2, x3, x4 fi x5 gat-fiixeewwan barabaaduu dandeenya. Gat-fiixeewwan kun gat-fiixeewwan naannoo ta’u.
Gat-fiixeewwan f(x1), f(x3) fi f(x5) gat-guddaa naannoo (relative maximum values) yoo ta’an gatfiixeewwan f(x2) fi f(x4) gat-xiqqaa naannoo (relative minimum values) ta’u jechuu dha.
Fakkeenya 3.6Mee f(x)=x^3+x intervaalii cufaa [0,1] keessatti haa fudhannu.

Y
 2  f(x)=x^3+x


  X

1

Danaa 3.6
Akka giraafii danaa 3.6 irraa hubatamuutti gat-xiqqaan kan uumamu x=0 irratti ta’a. kanaafuu, gat-xiqqaan f(0)=0^3+0=0 ta’a. Gat-guddaan kan uumamu x=1 irratti dha. Kanaafuu, gat-guddaan f(1) = 1^3+1 = 2 ta’a.

Hub!
Gat-guddaa fi Gat-xiqqaa sirrii fankishinii f intarvaalii [a,b] irratti barbaaduf:
Tarkaanfi 1:f'(x) barbaaduun lakkoofsa kiritikaalii f intarvaalii (a,b) irratti barbaadu.
Tarkaanfii 2: Gatii f tuqaalee fixeewwanii a,b irratti barbaadu.
Tarkaanfii 3: Gatiiwwan argaman waliin madaalu.

Fakkeenya 3.7: Yoo f(x)=x^2-x^3 ta’e, gat-guddaa fi xiqqaa sirrii fankishinii kanaa intarvaalii a) [-1,2] b) [0,1] irratti barbaadi.
Furmaata:
f^’ (x)=2x-3x^2ta’a.Kanaaf, f^’ (x)=0⟹2x-3x^2=0⟹x=0,ykn x=2/3 ta’a.
Tuqaalee 0 fi 2/3 lakkoofsa kiritikaalii ta’u sababni isaa 0,2/3∈[-1,2]ti.
Kanaaf, f(0)=0,f(2/3)=4/27, f(-1)=2,f(2)=-4 ta’u.
Kanaafuu, waliin madaaluun, gat-guddan 2 tuqaa x=-1 irratti yommu argamu gat-xiqqaan -4 tuqaa x=2 irratti argama.
Gilgaala.

Gocha

1. Lakkoofsa kiritikaalii isaanii erga bartee booda gat-guddaa fi gat-xiqqaa isaanii intarvaalii kenname irratti barbaadi.
   a) f(x)=x^3, [-2,1] c) f(x)=2cosx+x,[0,2π]
   b) f(x)=x^4-2x^2+3 , [-1,2] d) f(x)=x^3-3x^2 , [-1,3] Tiiramii Roolee fi Tiiramii Gat-qixxoomaa
   Kutaa kana keessatti tiramoota barbaachisoo ta’an tiramii Roolee fi tramii gat-qixoomaa kan ilaallu ta’a.

Mirkaana:Faankishinni f intervaalii [a,b] irratti itti fufaa waan ta’eef akka tiramii
gat-fiixeetti lakkoofsotni x1 fi x2 kan [a,b] keessa jiran kan
f(x2) f(x) f(x_1),x_1,x_2 [a,b]taasisan ni jiru.
x1 fi x2 tuqaalee fiixeewwan intervaalii [a,b] yoo ta’an f faankishinii dhaabbata ta’a. Kana jechuun c (a,b) f΄(c) = 0.
Mee x_1 fi x_2 tuqaalee fiixeewwan intervaalii [a,b] irraa miti haa jennu. x1 ykn x2 keessaa tokko lakkoofsa kiriitikaalii ta’a. Mee lakkoofsa kiriitikaalii kanaan c haa jennu.
Kanaafuu, f ΄(c)=0 ta’a jechuu dha

Hub: Tiiramii Roolee giraafiidhaan haala ararmaan gadiitiin ibsama.

Danaa 3.7
Mee danaa 3.7 haa ilaalu.Giraafii armaan olii keessatti f’n intervaalii [a,b] irratti itti fufaa dha.Akkasumaas .Kanaafuu , c∈ [a,b] kan f ΄(c)=0 taasiisuu yoo xiqqaate tokko ni jira.
Bakka gat-fiixeewwan itti argaman tuqaalee tanjeentummaa sarara tanjeentii giraafiif ta’ee tuqaaleen kun kan uumaman bakka sararri tanjeentii sarara dalgee ta’eetti dha. Dhundhulli sarara dalgee 0 ta’uu hin dagatiina.Kanaafuu, f'(c) =0 ta’a jechuu dha.
Fakkeenya 3.8

1. Meef(x) = x^3-x intervaalii [0,1] irratti haa fudhannu.
   Faankishinni f intervaalii [0,1] irratti itti fufaadha.
   Fankishinni fintarvaalii (0,1) keessatti dariveetawadha.
   f(0)=0=f(1)
   Kanaafuu, tiiramii Roolee fayyadamuun lakkoofsa c(0,1) kan f΄(c)=0 taasisu argachuu dandeenya.
   f(0) =f(1 ) waan ta’eef
   f'(x)= (x^3-x)΄
   f'(x) = 3x^2-1 = 0
   3x^2 = 1x^2 = x=
   Kanaafuu, c = intervaalii (0,1) keessatti lakkoofsa haala Teeramii Roolee guutu dha.

Danaa 3.7
Mirkaana:
Mee faankishina g(x) = (f(x)-f(a)) – (x-a) tiin hiikame intervaalii [a,b] irratti haa fudhannu.
Hiikoo faankishina g irraa
g intervaalii [a,b] irratti itti fufaa dha.
g intervaalii (a,b) irratti dariveetawa dha.
g(a) = 0 fi g(b) = 0 ta’a.
Kanaafuu, g haalota tiiramii Roolee ni guuta. Kana jechuun lakkoofsi c(a,b) kan g΄(c)= 0 taasisu ni jira jechuu dha.
g(x)= (f(x)-f(a))– (x-a)
g΄(x) = f΄(x) –
g΄(c)= f΄(c)– =0 ta’a.
 f ΄(c) =
Kanaafuu, intervaalii [a,b] irratti f itti fufaa fi intervaalii (a,b) irratti dariviitawa yoo ta’e lakkoofsi c(a,b) kan ta’e
f ΄(c) = taasisu ni jira jechuu dha.
Fakkeenya 3.9

1. Mee f(x)= x^3+2x intervaalii (0,3) keessatti fudhuutii lakkoofsa haala tiiramii gat-qixoomaa guutu barbaadi.
   Furmaata: f(x)= x3+2x f ΄(x) = x^2+2
    f ΄(c) = c^2+2
   Akka tiiramii gat-qixoomaatti
   f ΄(c) = = = = 5ta’a.
   Kana jechuun, c^2+2=5 ta’a
   Kanaafuu, c = intervaalii (0,3)irratti lakkoofsa haalaa Tiiramii gat-qixooma guutuu dha.

Gocha

1. Fankishinii armaan gadii keessaa kan ulaagaa Roolee intarvaalii kenname irratti guutu ta’u mirkaneessi. Yoo guute lakkoofsa c kan ulaagaa Roolee dhugoomsu barbaadi.
   a) f(x)=x^2-4x+1, [0, 4] c) f(x)=sin2πx, [-1,1]
   b) f(x)=〖x^3-3x〗^2+2x+5, [0, 2] d) f(x)=x√(x+6), [-6,0]
2. Yoo f(x)=〖1-x〗^(2/3) ta’e, f(1)=f(-1)ta’uu agarsiisi? Garuu lakkoofsi c miseensa intarvaalii (-1, 1) ta’ee kan f'(c)=0 taasisu hinjiru. Kun maaliif Tiiramii Rooleetiin wal mormu?
3. Fankishinii armaan gadiitif erga ulaagaa gat-qixxumma guutu mirkaneessite booda lakkoofsa gat-qixxummaa intarvaalii kenname irratti guutu barbaadi.
   a) f(x)=3x^2+2x+5, [-1,1] b) f(x)=x^3+x-1, [0,2]
   c) f(x)=∛x, [0,1]d) f(x)=x/(x+2), [1,4]
4. Mee f(x)=|x-1|, yoo ta’e, lakkoofsi c kan f(3)-f(0)=f^’ (c)(3-0) taasisu hinjiru. Maaliif tiiramii Gat-qixxooma hin mormu ibsi?

3.4 Faankishinoota Monotoniikii (monotonic Function)
Koorsiiwwan darban keessatti maalummaa faankishinoota dabaloo fi hir’isooAddaan baafachuun keessan ni yaadatama. Kutaa kana keessatti yaada dariveetiivii fayyadamuun waa’ee faankishinoota dabaloo fi hir’isoo kan ilaalu ta’a.

Gocha 3.3 Mee hiikoo faankishnoota armaan gadii kenni.
a. faankishina dabaloo
b. faankishina hirsoo c. faankishina dabaloo sirrii d. faankshina hirisoo sirrii

Fakkeenya 3.9

1. Mee f(x) = x^3-3x-2 haa fudhannu. fintervaalii inni irratti faankishina dabaloo sirri fi hir’isoo sirrii itti ta’u adda baasi.
   Furmaata:
   f(x)= x^3-3x-2
   f΄(x)= 3x^2-3 = 3(x^2-1) = (x+1) (x-1)

Mee chaartii maalattoo fayyadamuun haa xiinxallu.
-1 1
x+1

• – — + + ++++ ++ + +
  x-1 – – – – – – – – + + +
  f΄(x)= (x+1)(x-1) + + + – – – – + + +

Kanaafuu , chaartii armaan olii irratti akka ibsametti f intervaalii (-,-1] fi [1,) irratti dabaloo sirrii ta’a. f intervaalii [-1,1] irratti hir’isoo sirrii ta’a.
Gocha 3.4
Intervaalota faankishinootni armaan gadii irratti dabaloo fi hir’isoo sirrii ta’an adda baasi.
a) f(x) = 2x^2-4x+5 b) f(x) = x^4-2x^3+1 c) f(x) = x^3-12x – 4
d) f(x)= x-2sinx , [0, 2π] e) f(x)= 3+|x| f) f(x) = ln⁡(3-2x)

Yaaliiwwan Dariveetiive Tokkooffaa fi Lammaffaa

Kutaa darbe keessatti maalummaa faankishinoota monotonikii ilaalaa turreera.Boqonnaa lammaffaa keessatti dariveetiivii irratti hundaa’uun dhundhula sarara tanjeetii giraafiii faankishinii kennamee tuqaa kenname iraatti ilaallerra.Mee isiniis maalumma dhundhulaa irra deebi’ii ilaali. Kutaa kana keessatti yaaliiwwan dariveetiivii fayyadamuun haala gat-fiixeewwan murteessuu dandeenyaa kan ilaallu ta’a.
Gocha 3.5
Mee garaagarummaa giraafoota faankishinoota dabaloo fi hir’isoo maal akka ta’e adda baasi. Giraafoota ijaaruun ibsi.

Faankishinni f faankishinii dabaloo yoo ta’e xI f(x) ≥ 0 waan ta’eef dhuudhulli sararoota tanjeentii giraafii f tuqaalee kamiyyuu irratti poozatiivii dha. Kanaafuu, giraafiin f gama bitaatiin gadi bu’aa yoo deemu gama mirgaatiin ol-ba’aa deema jechuu dha.
Faankishinni f faankishinii hir’isoo yoo ta’e xI f (x) ≤ 0 waan ta’eef dhuudhulli sararoota tanjeentii giraafii f tuqaalee kamiyyuu irratti neegatiivii dha. Kanaafuu, giraafiin f gama bitaatiin ol-ba’aa yoo deemu gara mirgaatiin gadi bu’aa deema jechuu dha.

Fakknya 3.10
1.Yaalii dariveetiivii tokkooffaa fayyadamuun gat-fiixeewwan naannoo fankishina
f(x)=x^3-3x+2 barbaadi.
Furmaata:
Mee yaada yaalii dariveetiivii tokkooffaa fayyadamuun gat-fiixeewwan haa barbaadnu.
Jalqaba tuqaa kiriitikaalii jijjiirran gatii f(x) neegatiivii gara poozatiivii yookiin poozatiivii gara neegatiivii itti uumamu adda baasuu qabna.Mee lakkoofsi kiriitikaalii c haa ta’u.f(c)=0 ta’uu yaadattaa?
f(x)=x3-3x+2  f (x)=3×2-3=0
3×2=3
x2=1
x=
x= 1
Kanaafuu, -1 fi 1 lokkfsota kiriitikaalii ta’u jechuu dha. Kana jechuun x=-1 fi x=1 irratti jijjiirran gatii f(x) neegatiivii gara poozatiivii yookiin poozatiivii gara neegatiivii itti ni uumamu. Mee haala gargar baasuuf gabatee mallattoo f(x) haa hojjennu.
f(x)=3×2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1)

                                                                 -1                          1

x+1 — +++ +++
x-1 — — +++
f(x)=3(x+1)(x-1) +++ — +++

Akka gabatee kana irra huubatamuutti f (x) tuqaa x=-1 irratti poozatiivii gara neegatiivii itti jijjirama.Kanaafuu, f(x) tuqaa x=-1 irratti gat-guddaa qaba jechuu dha.Akkasumas, f (x) tuqaa x=1 irratti neegatiivii gara poozatiivii itti jijjirama.Kanaafuu, f(x) tuqaa x=1 irratti gat-xiqqaa qaba.
Kanaafuu, gat-xiqaan naannoo f = f(1)=1^3-3(1)+2=0 yoo ta’u gat-guddaan naannoo
f = f(-1)=〖(-1)〗^3-3(-1)+2=-1+3+2=4 ta’a.

Gocha 3.6
Yaalii dariveetiivii tokkoffaa fayyadamuun gat-fixeewwan naannoo barbaadi.
a) f(x)= x^3+3x^2-9x+10 c) f(x)= x^3+3x^2+4
b)f(x)= x^3-3x d)f(x) = x
Gat-fiixeewwan naannoo barbadi.
a) f(x)= 〖(x-1)〗^2 〖(x-3)〗^2 b) f(x) = -x^3+3x-2
c) f(x)= x^3-3x^2+5 d) f(x) = x^3-3/2 x^2
e) f(x)=〖(x^2-4)〗^(2/3) f) f(x)=2x-3x^(2/3)

Mirkaana:
a) Mee f (c)<0 haa ta’u. Akka hiikoo dariveetiivii lammaffaatti: f (c)= <0 = < 0,f(c)=0waan ta’eef. Mee < 0 haa fuudhannu. x-c<0  x0ta’a. x-c>0x>cyoo taaa’ef^” (x)>0ta’a. Kana jechuun, (x) tuqaa c irratti poozatiivii gara neegatiiviitti jijjiirama jechuu dha.
Kanaafuu, f(c) gat-guddaa naannoo ti.
b) Mee f (c)>0 haa ta’u.
Akka hiikoo dariveetiivii lammaffaatti:
f(c)= >0
= >0, f(c)=0 waan ta’eef.
Mee >0 haa fuudhannu.
x-c<0  x0 ta’a. x-c>0  x>cyoo taaa’e (c)>0 ta’a. Kana jechuun, (x) tuqaa c irratti neegatiivii gara poozatiiviitti jijjiirama jechuu dha.
Kanaafuu, f(c) gat-guddaa naannoo ti.
Hub:f (c) = 0 yoo ta’e gat-fiixee naannoo Tiiramii kana fayyadamuun adda baasuun hindanda’amu.
Fakkeenya 3.11

1. Yaalii deriveetiivii lammaffaa fayyadamuun gat-fiixeewwan naannoo
   f(x)=4x^3+9x^2-12x+3 barbaadi.
   Furmaata:Mee jalqaba tuqaa kiriitikaalii haa barbaadnu.
   f(x)=4x^3+9x^2-12x+3
   ⟹f'(x)=12x^2+18x-12Lakk kiritikaalii argachuuf f (x) = 0 gochuun gatii x barbaadna.
   f^’ (x)=0 ⟹6(2x^2+3x-2)=0⟹6(2x-1)(x+2)=0
   ⟹2x-1=0yknx+2=0
   ⟹x=1/2yknx=-2.
   Kanaafuu, x=-2 fi x= lakkoofsota kiriitikaalii dha.
   Itti aanee f (x) barbaaduun lakkoofsota kiriitikaalii arganne bakka buusuun gat-fiixeewwan murteessuutti deemna.
   f (x)=12x^2+18x-12; f (x)=24x+18ta’a.
   f (-2)=24(-2)+18=-48+18=-30<0waan ta’eef f(x) tuqaa x=-2 irratti gat-guddaa qaba. Kanaafuu, gat-guddaan naannoo f = f(-2)= 4(-2)3+9(-2)2-12(-2)+3=31ta’a. f ( )=24( )+18=12+18=40>0waan ta’eef f(x) tuqaa x= irratti gat-xiqqaa qaba.
   Kanaafuu gat-xiqqaan naannoo f = f( )= 4( )3+9( )2-12( )+3 = – ta’a.
   Gocha 3.7Yaalii dariveetiivii lammaffaa fayyadamuun gat-fiixeewwan faankishinoota armaan gadii barbaadi.
   f(x)= x^3+ x^2-2x+1 c) f(x)=2x^4-4x^2+3
   f(x)=x^3-3x^2-24x+1
   3.6 Golbummaa fi Tuqaa infileekshinii (concavity and inflection points)
   Kutaa darbe keessatti yaalii darivaavitivii 1ffaa fayyadamuun intarvaalii monotoonikii, gat-guddaa fi gat-xiqqaa barbaadu dandeenye jirra.

Fakkeenya:

1. Yoo f(x)=x^4-4x^3 ta’e, golbummaa, infileekshinii, gat-xiqqaa fi guddaa naannoo barbaadi? Giraafii isaas ijaari?
   Furmaata:
   f'(x)=(x^4-4x^3 )^’=4x^3-12x^2=4x^2 (x-3)
   Kanaafuu, f^’ (x)=0⟹〖4x〗^2 (x-3)=0⟹x=0 ykn x=3 ta’a.
   f^” (x)=〖12x〗^2-24x,f”(0)=0,f” (3)=36>0
   f'(3)=0, f”(3)=36>0, f(3)=-27 gat-xiqaa ta’a akkaata Yaalii darv. 1ffaa tiin.
   f”(0)=0 waan ta’eef yaaliin darivaativii 2ffaan yaada tokko iyyu hin kennu. Garuu f^’ (0)<0 ta’a yoo x<0 fi 0<x<3 ta’e, kanaafuu yaalii darivaativii 1ffaa tiin giraafichi tuqaa 0 irratti gat-fiixe hinqabu. 0 2 12x – – – – – – – + + + + + + + + + + + + + + + + +
   x-2 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – + + + + + + + +
   f’’(x)=12x(x-2) + + + + + + – – – – – – – – – – – + + + + + +

Tuqaa (0, 0) fi (2, -16) irratti tuqaa infileekshinii qaba. Giraafichi intarvaalii (-∞,0) fi (2,∞) ol golba yoota’u intarvaalii (0,2) gad golba.
Giraafii isaa ijaaruuf:
f(x)=x^4-4x^3 fankishinii polinomiyalii waan ta’eef laakkoofsa walii gala irratti hiikaa niqaba.
Qaxaamura siqqewwanii
Qaxaamura siqqee y : f(0) =0, kanaaf tuqaan isaa (0,0) ta’a.
Qaxaamura siqqee x: x^4-4x^3=0, x=0,x=4 ta’a. Tuqaan isaa (0,0) fi (4, 0) ta’a.
Intarvaalii monotonikii fi gat-fiixeewwan
Lakkoofsa kiritikaalii
〖f’X)=4x〗^3-12x^2⟹4x^2 (x-3)=0, x=0 fi x=3 ta’a.
Intarvaalii minotonikii
0 3
4x^2 – – – – – – – + + + + + + + + + + +
x-3 – – – – – – — – – – – – – – + + + + +
f'(x) – – – – – – – – – – – – – + + + + +

i. f^’ (x)≤0 intarvaalii (-∞,3). Kanaafuu, intarvaaliin(-∞,3] hirisoo sirrii f ‘n ta’a.
ii. f^’ (x)>0 intarvaalii (3,∞). Kanaafuu, intarvaaliin [3,∞) daddabaloo sirrii f’n ta’a.
Mallattoon f’ lakkoofsa kiritikaalii x=3 qofa irratti nagaativii gara pozativii jijjiirama. Kanaafuu, f(3)= 27, gat-xiqaa f ta’a.
Intarvaalii golbummaa fi tuqaa infileekshinii (f”(x)=12x(x-2) ta’a.

0                                                     2

12x – – – – – – – + + + + + + + + + + + + + + +
x-2 – – – – – – – – – – – – – – – – – – + + + + + + +
f’’(x) + + + + + + + – – – – – – – – – – + + + + + + +

f"(x)>0,∀x∈(-∞,0) fi (2,∞). Kanaafuu, intarvaalii ol-golboo ta’a.
f"(x)<0,∀x∈(0,2). Kanaafuu, intarvaalii gad-golboo ta’a.
Tuqaa infileekshinii bakka itti golbummaan wal jijjiiru, (0, f(0))=(0,0), (2, f(2))=(2,-16) tuqaalee infilekshinii ta’u.

3.7. Piroobilemoota Gat-fiixeewwanii

Kutaa kana keessaatti akkamiin akka yaada gat-guddaa fi gat-xiqqaa fayyadamuun gaaffilee pirobileemota jechaan kennamanii haala qabatamaa keessaatti furuu dandeenyu fakkeenyota fudhachuun kan hojjennu ta’a.
Fakkeenya 3.11

1. Lakkoofsota poozatiivii lama ida’amni isaanii 18 fi baay’ataan isaanii guddaa barbaadi.
   Furmaata:
   Gaaffilee akkanaa furuuf yaada jechootaan kenname gara hima wal qixaatti yookiin hima wal caalmaatti jijjiiruun furuu qabna.
   Mee lakkoofsota kanneen x fi y haa jennu.
   x+y=18y=18-x
   Kan barbaadamu lakkoofsota x fi y baay’ataan isaanii guddaa ta’ee dha.
   Mee balinni B=xy haa ta’u. Kana jechuun gatiiwwan x fi y kan B akka gat-guddaa
   qabaatu taasisaan barbaadna jechuu dha.
   B=xy
   B=x(18-x)
   B=18x-x^2
   B(x) = 18x – x^2yoo jenne B(x) = 18-2x ta’a.
   B(x) = 0
   18-2x=0
   -2x=-18
   x=9
   B(x) = (18-2x)’ = -2
   B(9) = -2<0waan ta’eef x = 9 irratti gat-guddaa qaba.
   x = 9yoo ta’e immoo y = 18-9 = 9 ta’a.
   Kanaafuu, lakkoofsootni lamaanuu yoo wal qixa 9 ta’an baay’ataan isaanii guddaa ta’a jechuu dha.
   Fakkeenya 3.12
2. Qootee bulaan tokko shuboo dallaatiif ta’u 100m qaba. Qotee bulaan kun lafa reektangulaawaa ta’e keessaa rogoota sadan qofa ijaaruu barbaade. Rogni afraffaan laga irra waan ta’eef karaa kana ijaaruu hin barbaachisu.Safari dheerina rogootaa meeqa yoo ta’e bal’ina guddaa dallaa kana ijaaruun dannda’ama?
   Furmmaata: Mee dheerinni fi dalgeen dallaa reektaangilaawaa kanaan x fi y haa jennu
   Bishaan
   y

Danaa 3.8 x
Rogni afraffaan laga irraa waan ta’eef karaa kana ijaaruun barbaachisaa akka hin taane dagachuu hin qabdan. Kanaafuu, dheerina rogoota x fi y kan bal’insa guddaan karaa sadaniin qofa shuboo dheerinni isaa 100m ta’een ijaaruun danda’amu barbaadna jechuu dha.
Mee bal’inni B=xy haa ta’u.Naannawi dallaa kanaa x + y + y dheerina shubootiin walqixa ta’a. Kanaaf,
x+y+y=100x+2y=100
x= 100-2y ta’a.
B=xy =(100-2y)y = 100y-2y^2ta’a.
B(y) = 100y-2y^2yoo jenne
B’(y) = (100y-2y^2)’ = 100-4yta’a.Lakk.kiritikaalaa argachuuf
B’(y) = 0
100-4y =0
y = 25ta’a jechuu dha.
Yaalii dariveetiivii 1ffaa ykn 2ffaa fayyadamuun y =25 irratti gat-guddaa arganna jechuu dha.
y=25myoo ta’e x=100-2(25m)=50m ta’a. Kanaafuu, qoteebulaan kun dallaa bal’insa guddaan ijaruu kan danda’u yoo dheerinni fi dalgeen dallaa tartiibaan 50m fi 25m ta’ee jechuu dha.
Fakkeenya 3.13Siilindarii qorqorroo irraa hojjetame akka akka zayitii 10 liitirii qabachu danda’uutti . Kana raawwachuu diyaamenshinoota gatii qorqorroo kan xiqqeessu danda’an barbaadi.
Furmaata:Mee r’n raadiyaasii , h’n ammo hojjaa siilindaarii haa ta’u.

Danaa 3.10
Gatii qorqorroo bitu xiqqeessuu , bal’ina dirraa cinaachaa siilindarii xiqqeessuun barbaachiisaa dha.
Bal’inni dirraa cinaachaa :

Jijjiramaa h foormuulaa qabee keessaa dhibamsiisuu
liitirii =

 Gatiin   
    Gatii qorqorroo xiqqeessuuf     fi   

Gocha 3.8
Naannawi rog- sadee Ayasooslasii 12m yoo ta’e dheerina rogootarog-sadee kanaa bal’insa guddaa kennu barbaadi.
Shiboo dheerinni L ta’e tokko iddoo lamatti kuti. Kutaan tokko iskuweerii fi kutaan isa lammaffaa ammo geengoo itti hojjedhu. Ida’ama bal’insa bal’insa xiqqaa iskuweerii fi geengoo barbaadi.
Balinna guddaa rektaangilii geengoo radiyeesii 9 qabuun marfamee barbaadi?

Yaada Guduunfaa

f faanksihinii intervaalii I irratti itti fufaa ta’e haa ta’u.
  Faankishinni f intervaalii I keessatti gat-xiqqaa qaba kan jennu xI    lakkoofsi                 aI fi f(a) f(x) yoo ta’ee dha.   f(a) gat-xiqaa faankishina f intervaalii I keessatti jedhama.
 Faankishinni f intervaalii I keessatti gat-guddaa qaba kan jennu xI      lakkoofsi x0I fi f(x0)f(a) yoo ta’e dha. f(x0) gat-guddaa faankishina f intervaalii I   keessatti jedhama.
Tiiramii gat- fiixee(Extreme values)

Faankishina f intervaalii dangeeffamaa cufamaa [a,b] irratti itti fufoo yoo ta’e f intervaalii [a,b] irratti gat-xiqqaa yookiin gat- guddaa ni qaba.
Faankishinn i f intervaalii [a,b] irratti itti fufaa fi intervaalii (a,b) keessaatti dariveetawaa haa ta’u. f intervaalii [a,b] keessatti gat-fiixee yoo qabaate lakkoofsi c[a,b] kan f (c)=0 taasisu ni jira.
Tiiramii Roollee(Role’s Theorems)
Mee f faankishina intervaalii [a,b] irratti itti fufaa fi intervaalii (a,b) irratti dativeetawa haa ta’u. f(a) = f(b) yoo ta’e lakkoofsi c(a,b) kan f΄(c)=0 taasisu tokko ni jira.
Tiiramii Gat- qixoomaa (Mean Value Theorem)
Faankshinni f intervaalii [a,b] irratti itti fufaa fi intervaalii (a,b) irratti dariveetawa yoo ta’e lakkoofsi c(a,b) kan ta’e
f ΄(c)= taasisu ni jira.
Mee faankishnni f intervaalii a,b irratti itti fufaa fi intervaalii (a,b) irratti dariveetawa haa tau. x(a,b), f΄(x)>0 yoo tae f intervaalii a,b irratti dabaloo dha.
x(a,b), f΄(x)>0 fi tuqaalee murtaaaa inteervaalii a,b keessatti argamaniif f΄(x)=0 yoo tae f inteervalii a,b irratti dabaloo sirri dha.
x(a,b) f΄(x)<0 yoo tae f intervaalii a,b irratti faankishina hirisoo dha. x(a,b) f΄(x) <0 fi tuqaalee murtaaaa intervaalii a,bkeessatti argamuuf f΄(x)=0 yoo tae f intervaalii a,b irratti faankishina hirisoo sirrii taa. Tiyooramii 3.5 – Yaalii Tokkoffaa Dariveetivii Faankishinni f intervaalii I irratti fufaa fi cI haa ta’u. Tuqaa c irratti f poozatiivee gara neegatiiviitti jijjiirama yoo ta’e faankishinni f c irratti gat- guddaa naannoo qaba. tuqaa c irratti f neegatiivii irraa gara poozatiiviitti jijjiirama yoo ta’ faankishinni f c irratti gat- xiqqaa naannoo qaba. Tiyooramii 3.6 – Yaalii Dariveetiivii Lammaffaa Faankishinii f tiif f(c)=0 haa ta’u a) f(c)<0 yoo ta’e f(c) gat-guddaa naannoo ta’a. b) f(c)>0 yoo ta’e f(c) gat-xiqqaa naannoo ta’a.

Gilgaala Waliigalaa

Lakkoofsota kiriitikaalii gat-fiixeewwan faankkkishoota armaan gadii  barbaadi.

a) f(x)= x^2+4x+6 b) f(x)=|x-2|
c) f(x)= 4x^3-6x^2-9x+2d) f(x)=
Faankishinoota armaan gadii fudhuutii haalota tiramii Roollee ibsi.
a) f(x) = x^2-3x+2; [1,2] b) f(x) =
Tiyooramii gat-qixoomaa faankishinoota armaan gadii intervaalii kenname irratti hojjechuun adda baasi.
a) f(x) = , [1,2] b) g(x) =x^2-2x+5, [2,5] c) f(x) = |x-1|, [1,3]
Intervaalota faankishinootni armaan gadii irratti dabaloo ykn hir’isoo sirrii ta’an adda baasi.
a) f(x) = -x^2-4x+4 b) f(x) =x^3-12x^2+4
c) f(x) = cosx d) f(x) = x3+
e) f(x)= f) f(x) =x-xe^5x
Yaalii dariveetiivii tokkoffaa ykn yaalii dariveetiivii lammaffaa fayyadamuun gat-fixeewwan naannoo barbaadi.
a) f(x)= x^3+x^2-x-4 b) f(x)= x^4-x^3 c)f(x)=1-
d) f(x) = e)f(x)=x^3- f) f(x)=x^4-8x^2+1
Naannawni reektaangilii 80m yoo ta’e dheerina rogoota reektaangilii bal’insa guddaa kennu barbaadi.
Dheerina rogoota reektaangilii geengoo raadiyasii 6sm ta’een alaan marfamee kanneen bal’insa guddaa kennan barbaadi.
Giraafii faankishinoota armaan gadii ijaari.
a) f(x)= x^3-12x^2+4 b) f(x)=
c) f(x)= x^3+x^2-x-4 d) f(x)=

BOQONNAA AFUR
INTEGIREESHINI
Seensa
Boqonnaa sadaffaa keessatti tiiramii gat-guddaa fi gat-xiqqaa fayyadamuu, tiiramii Roolee fi yaaliiwwan dariveetiivii tokkoffaa fi lammaffaa ilaallee jirra.
Boqonnaa kana keessatti yaadota kaalkulasii keessatti bu’uura ta’an qoqqoodama, idaa’amoota jalaa fi irraa, tiiramii bu’uura kaalkulasii, integiraalii murtaa’aa fi hin murtoofne akkasumas mala bakka buusuun integireessuu gargaaramuun integireessu ilaalla.

Kaayyoo
Xumura boqonnaa kanaatti leenjifamtootni:-
Bal’ina bal’iinsaa idaa’ama irraa fi jalaa gargaaramuun ni ibsu.
Amaloota integiraalii hin murtoofnee ni ibsu.
Tiiramii bu’uura kaalkulasii ni ibsu.
Tiiramii bu’uura kaalkulasii fayyadamuun ni furu.
Amaloota integiraalii murtaa’aa adda addaa ni ibsu.
Mala bakka buusuu gargaaramuun integiraalii logaarizimii uumamaaf ni furu.

4.1 Qoqqodama , Ida’amoota Jalaa fi Irraa ( Partition , Lower and Upper sums)

Mee bal’insi R kan giraafii Fankishinii f(x) = x2 intervaalii [0, 2] irratti haa jennu.
Mee Rektaangiloota Bal’insa R’n marfaman (inscribed) ta’e haala danaa armaan gadiin haa ilaallu.

                                                                                     (b)
    Danaa 4.1
            Danaa armaan olii irraa idaa’amni bal’ina rektaangiloota  (a) fi (b) irra xiqqaa bal’ina R ti.










Mee Rektaangiloota Bal’insa R’n marsan (circumscribed) ta’e haala danaa armaan gadiin haa ilaallu


                                                                          (b)
                              Danaa 4.2

Danaa 4.2 irraa iddaa’amni bal’iinsa rektaangilootaa irra guddaa bal’iinsa R ti.
Gocha : Walitti dhufeenya ida’ama bal’ina Rektaangiloota fi bal’ina R danaa armaan olii irraa maal hubattaa?

Hub :Bal’inni reektaangilii baay’ataa hundee isaa fi dheerina isaa ti haala danaa armaan olii irraa akka hundeen rektaangilii xiqqaachaa , xiqqaachaa deemuun ida’amni bal’ina rektaangilootaa bal’insa R tti dhihaachaa adeema.
4.1.1 Qoqqoodama (Partition)
Mee bal’ina R kan giraafii fankishinii f negaatiivii hintaaneen daangeffamee intervaalii [a,b] irratti itti fufaa ta’ee a<b haa ilaallu.

                                                                                y

                                                                R
x
                                                                   a                                    b    
                                                                                            (a)




                                                (b)
                                                                          Danaa 4.3

Intiijarii poozatiivii n kamiifuu, intervaalii cufamaa [a,b] cita intervaalotaa (subintervals) tuqaalee fageenya xixiqqaatti haa hirru.
Mee tuqaalee kanneen x_0,x_1,x_2,…,x_n haa jennu. Danaa 4.3(b)

.
Hub:
i. Qoqqoodamni intervaalii [a,b] kamiyyu a fi b hammachuu qaba.
ii. Qoqqoodama P={x_0,x_1,x_2,…,x_n } intervaalii [a,b] cita intervaalota n tti yoo addaan hiramu, [x_0,x_1 ],[x_1,x_2 ],[x_2,x_3 ],…,[x_(n-1),x_n ] ta’a.Dheerinni tokkoo tokkoo intervaalota kanaa
〖∆x_1=x〗1-x_0,∆x_2=x_2-x_1,∆x_3=x_3-x_2,…,∆x_n=x_n-x(n-1)
ta’a jechuu dha.
Haaluma kanaan cita intervaalii k^ffaa intervaalota kanaa [x_(k-1),x_k ] kamiifuu dheerinni isaa x_k-x_(k-1)=∆x_k ta’a.
Fakkeenya: Qoqqoodama intervaalii [0,2] akka {0,1/4,1/2,1,2} yoo fudhanne,
x_0=0,x_1=1/4,x_2=1/2,x_3=1 fix_4=2yommuu ta’u
〖∆x_1=x〗1-x_0=1/4-0=1/4 ∆x_2=x_2-x_1=1/2-1/4=1/4 ∆x_3=x_3-x_2=1-1/2=1/2 ∆x_4=x_4-x_3=2-1=1 ta’a iii. Dheerinni [a,b] yeroo barreefamu dheerina cita intervaalotaa ∆x_1, ∆x_2,…x_n gargaaramuun haala armaan gadiitti ta’a. b-a=(x_1-x_0 )+(x_2-x_1 )+⋯(x_n-x(n-1) )
=∆x_1+∆x_2+⋯+∆x_n
Gocha 4.1
Qoqqoodama [0,2] kan hintaane kam?
{0,1/2,1,3/2,3} c. {1/4,2/5,1/2,7/8,2}
{0,1/2,π/4,1,π/2,3π/5,2}

         4.1.2. Ida’amoota Jalaa fi Irraa

4.1.2.1. Ida’ama Jalaa (Lower sum)
Kutaa kana keessatti haala ida’am jalaa ittiin argatanii fi hariiroo tiiramii guddaa-xiqqaa (maximum minimum theorem) waliin qaban ilaalla.
Qoqqoodama P kan intervaalii [a,b] haala danaa 4.1 (a) fi (b) tiin cita intervaalota P irraa arganneen tokkoon tokkoon rektaangilii keessaan marfatoo giraafii fankishinii f kan ta’e rektaangilii guddaa bal’insa R keessatti argamu haafudhannu.
Tiiramii guddaa-xiqqaa irraa k’n kamiyyu gidduu 1 fi n yoo jiraate, bal’insa R_k hundee [x_(k-1),x_k ] dheerina ∆x_k fi hojjaa m_k ta’a.Haaluma kanaan cita intervaalota intervaalii [a,b] irraa argaman n ta’aniif bal’insa R keessatti rektaangiloota R_1,R_2,…,R_n haala armaan gadiitiin arganna.

Danaa 4.4
Bal’insi R ida’ama m_1 ∆x_1+m_2 ∆x_2+⋯+m_n ∆x_n bal’insa ida’ama rektaangiloota irra xiqqaa bal’insa R ta’a.
Ida’amni kun ida’ama jalaaf kan qoqqoodama P mallattoon Lf(P) ti.
Kunis L_f (P)=m_1 ∆x_1+m_2 ∆x_2+m_3 ∆x_3+⋯+m_n ∆x_n
Fakkeenya
Mee Mee f(x) = x2, haa jennu.
Lf(p) fi Lf(p) barbaadi yoo p = { 0, } fi P = { }
Furmaata: Cita-intarvaliin [0, 2] ciccita wajjin tumsa qaban dursinee haa
barbaadnu.

p = {0, } tiif citi intervaalotaa [0, ], [ ,1], [1, ], [ ,2] ta’u.
Yoo gat-xiqqaa f tokko tokkon cita-intarvaaliitiif barbaanuu: m1 = f(0) = 0, m2 = f( ) = , m3 = f(1) =1, m4 = f( ) = ta’u.
Itti dabalun, x1= , x2 = , x3 =1― = , x4 = fi x5 = 2 ― ta’u.
kanaafuu, L_f (p)= 0(1/2)+(1/4)(1/2)+1(1/2)+9/4 (1/2)=0+1/8+9/8=7/4

2. Mee f(x) = Sinx, . Lf(p) barbaadi p = { } yoo ta’e Lf(p) barbaadi.
   Furmaata: Cita- intarvaalii p irraa argaman:
   [0, ], [ , ], [ , ], fi [ , ] yoo ta’u ; Gat-xiqqaa f tokkoon tokkoon cita-intervaalii kanaa yeroo barbaadnu :
   m1 = f(0)=0, m2 = f( ) = , m3 = f( ) = 1, m4 = f( ) = .
   Akkasumas ,x1 = ― 0 = , x2 = ― = , x3= ― = fi Lf(p) = m1x1 + m2x2 + m3x3 + m4x4
   =0. + . + 1. + . =

4.1.2.2 Ida’ama irra ( upper sum)
Kutaa kana jalaatti maalummaan Ida’ama irraa (upper sum) akkasumas garaagarummaa ida’ama jalaa fi ida’ama irraa kan ilaallu ta’a.
Mee p = {x0, x1, x2, ⋯, xn} qoqqodama kenname kan [a,b] fi f faanksihinii itti fufaa fi [a,b] irratti poozativii haa jennu. Citaa intarvaalii P irraa argamu tokko tokkoof danaalee reektaangilii al-marfamoo (circumscribed) giraafii faankishina f ijaaruun ida’ama argachuu ni dandeenya.
Haala tiiramii Guddaa-xiqqaa irraa k kamiifuu gidduu 1 fi n ta’e Mkgatii guddaa tokko kan f cita-intervaalii [x_(k-1),x_k ] haala danaa armaan gadiin ta’e ni jira.
Mee Mkhojjaa rektaangilii kffaa isa xiqqaa bal’insa R al-marfatoo ta’e haa jennu. Bal’inni Rk kan ta’u M_k x_kti. Kanaafuu Bal’inni rektaangilii al-marfatoo giraafii f ida’ama
M1x1 + M2x2 + ⋯ +Mnxn ta’a. Ida’amni kun ida’ama irra f kan P ykn Uf(P) jenna.
Kunis Uf(p)= M1x1 + M2x2 + ⋯ + Mnxn ta’a.

Danaa 4:6
Hub :
Bal’inni rektaangilii al-marfatoo giraafii f irra guddaa bal’ina bal’insa R ti.
Fakkeenya

1. Mee f(x) = x2, haa jennu. Yoo P = { 0, } fi p^’ ={ } ta’e, Uf(p) if Uf(p^’) barbaadi.
   Furmaata: Qoqqoodama P irraa
   M1= f( , M2 = f(1)=1, M3=f , fi M4 = f(2)= 4 akkasumas
   x1= x2 = x3 = x4 =
   Kanaafuu, Uf(p) = M1x1 + M2x2 + M3x3 + M4x4
   =
   Haaluma walfakkatuun Uf(p^’) barbaaduuf
   M1 = f( , M2 = f( )= , M3 = f( M4 = f( ) = fi M5 = f(2)= 4 akkasumas
   x1= , x2 = ,x3 = x4 = x5 =
   Uf(p^’) = . + . + 1. + . + 4. = 237/64 ta’a.
   Walumaa galatti mee P = {x0 , x1 , x2 , …, xn} qoqqoodama [a,b] haa jennu.Akkasumas mee f fankishinii itti fufaa fi [a,b] irratti poozativii haa jennu. Mk fi mk gat-guddaa fi gat-xiqqaa [x_(k-1),x_k ] irratti yoo ta’an; k = 1,2,3,…,n yoo ta’e , m_k≤M_k ta’a.
   Kanaafuu L_f (P)≤U_f (P) ta’a.Kunis Qoqqoodama P kamiyyuu yoo filatne Bal’inni R lakkoofsa gidduu L_f (P) fi U_f (P) ta’a.
   Innis, L_f (P)≤ Bal^’ ina R ≤U_f (P) .
   Qoqqoodama baay’ee fayyadamuu gatii ida’ama jalaa fi ida’ama irraa walitti siiqsinee Bal’ina Bal’insaa keenya tilmaamuun ni danda’ama. Walitti dhufeenya ida’ama jalaa fi ida’ama irraa murteessuuf lakkoofsa dhaabbataa c tokko p keessaa osoo hin taane intervaalii kenname keesaa fudhannee p itti daballee qoqqooduun waliin madaaluu danda’ama. Kunis mee c = haa jennu. Fakkeenya armaan olii irraa
   p = { 0, , 1, , 2, } ture fi P^’ = { 0, , , 1, , 2, } ta’e. Kana irraa
   L_f (P)≤L_f (P^’ )≤U_f (P^’ )≤U_f (P)ta’a.

Gilgaala 4.1

1. Fankishinoota armaan gadiitiif L_f (P) fi U_f (P)barbaadi.
   f(x) = x + 2 ; P = {0 , 2 , 3} c) f(x) = – ; p = {-4,-3,-2,-1}
   f(x) = sinx +1; p = { } d) f(x) = x3 + 3x + 3; p = {0,1,2}
2. L_f (P) ,L_f (P^’ ) ,U_f (P^’ )fiU_f (P) shallaguun hariiroo isaanii kaa’i.
   f(x) = 1 + x ; P = {-1,0,2} ; P^’ = {-1,0,1,2}
   f(x) = x2 ; P = {0,1/2,1} ; P^’ = {0,1/4,1/2,3/4 1}
   f(x) = Sinx P = {0,π/2,π} ; P^’ = {0,π/4,π/2,3π/4,π}

4.2 Integiraalii Murtaa’aa (Definite Integral)
Kutaa kana keessatti fankishinii ittifufaa negativii hin taane f fi qoqqoodama P intervaalii [a,b] gargaaramuun L_f (P) fi U_f (P) barbaadaa turre. Kutaa kana keessatti ida’amtoota jalaa fi irraa akkasumas walitti dhufeenya isaanii gargaaramuun waa’ee integiraalii murtaa’aa ilaalla.

Integiraalii murtaa’aa ∫_a^b▒〖f(x)〗 dx keessatti x’n jijjiramoota biroon bakka bu’uu ni danda’a.
Kunis :∫_a^b▒〖f(x)〗 dx = ∫_a^b▒〖f(t)〗 dt = ∫_a^b▒〖f(u)〗 du
Hiikoo Integiraalii murtaa’aa ∫_a^b▒〖f(x)〗 dx gargaaramuun bal’ina bal’insa giraafii f , x=a fi x=b gidduu jiru shallaguun ni danda’ama.

Danaa 4.7 :
Bal’insa giraafii f fi Siiqqee-X , [a,b] irratti. i.e B(R) = ∫_a^b▒〖f(x)〗 dx
Fakkeenya
1: Mee f(c) = c a≤x≤b irratti hiikoo ida’ama jalaa fi irraa gargaaramuun :
∫_a^b▒c dx = c (b-a) ta’uu agarsiisi.
Furmaata:∀x∈[a,b] f’n gatii c qaba . Qoqqoodama P = {x_1,x_2,—,x_n } kan [a,b] akkasumas 1 fi n gidduutti kan argamu k kamiifuu mk = c = Mk ta’a.
Kunis L_f (P) = U_f (P) = c∆x_1+c∆x_2+ — ,c∆x_n = c (∆x_1+∆x_2+ — ,∆x_n ) = c (b-a) .
Hiikoo 4.2 irraa ∫_a^b▒c dx = c(b-a).
Haaluma kanaan ∫_a^b▒x^2 dx = 1/3 (b^3-a^3 ) ta’a.
Fkn : Yoo f(x) = x2 , a=1 fi b= 3 ta’e , ∫_1^3▒x^2 dx= 1/3 (3^3-1^3 ) = 25/3 ta’a.

Gocha
Yoo c Lakkofsa dhaabbataa fi a fi b kamiyyuu a < b ta’e , ∫a^b▒cx dx= c/2 (b^2-a^2 ) ta’uu agarsiisi. ∫_a^b▒x^n dx=1/(n+1) (b^(n+1)-a^(n+1) ) ta’uu mirkaneessi. Integiraalota armaan gadii shallgi ∫(-2)^3▒4dx b) ∫(-1)^(-1)▒〖√2 dx〗 c) ∫_0^π▒cosxdx d) ∫(-1/2)^3▒〖-xdx〗

4.3 Amaloota integiraalii Murtaa’aa
Kutaa kanaa keessatti bu’aa hiikoo integiraalii murtaa’aa kan ta’an amaloota integiraalii murtaa’aa haala tiramii armaan gadiitti ibsameen kan ilaallu ta’a.

Mirkaana : Yoo a < b ta’e , haala fkn armaan oliin Yoo a = b ta’e , akkaataa hiikoo 4.4 tti ∫_a^b▒c dx=∫_a^a▒c dx=0=c(b-a)fi Yoo a > b ta’e , haala hiikoo 4.4 tti ∫_a^b▒c dx=-∫_b^a▒c dx=-c(a-b)=c(b-a)

Mirkaana: (Gilgaala)

Fakkeenya : Yoo f(x)={█(x,1≤x≤2@2, 2≤x≤3)┤ ta’e , ∫1^3▒〖f(x)〗 dxbarbaadi. Furmaata : f intervaalii [1,3] irratti itti fufaa waan ta’eef amala ida’uu integiraalii gargaaramna. ∫_1^3▒〖f(x)〗 dx=∫_1^2▒〖f(x〗)dx+∫_2^3▒〖f(x)〗 dx = ∫_1^2▒x dx + ∫_2^3▒2 dx 1/2 (2^2-1^2 )+ 2(3-2) = 3/2+2 = 7/2 ta’a. Gocha : 1) Amala rektaangilii fayyadamuun integiraalota armaan gadii shallagi. ∫_3^7▒〖5dx 〗 b) ∫_3^(-1)▒〖-10dx 〗 c) ∫(-1)^2▒〖-3dx 〗
2) Mee f intervaalii (-∞,∞) irratti itti fufaa haa ta’u. Amala ida’uu gargaaramuun gatii a fi b kan himicha dhugoomsu barbaadi.
a) ∫0^2▒〖f(x)dx+∫_3^0▒〖f(x)dx=∫_a^b▒〖f(x)dx 〗〗〗 b) ∫_a^b▒〖f(t)dt-∫_5^3▒〖f(t)dt= 〗〗 ∫_3^1▒f(t)dt c) ∫π^2π▒〖f(t)dt-∫_b^a▒〖f(t)dt= 〗〗 ∫_3π^2π▒f(t)dt

4.4 Tiiramii Bu’uuraa Kaalkulasii
Kutaa kana jalatti tooftaa walii gala ∫_a^b▒〖f(x)dx〗 ittiin xiinxallu kan gabbifannuta’a.

Mirkana :
Mee x∈(a,b) jedhii suphifi ≤z≤b , z ≠x haa ta’u.
Amala ida’uu irraa (G(z)-G(x))/(z-x)=(∫_c^z▒f(t)dt-∫_c^x▒f(t)dt)/(z-x)=∫_x^z▒〖f(t)〗 dt
Tiiramii gat-qixxomaa integiraalota irraa lakkofsi c(z)’n gidduu x fi z ni jira.(∫_x^z▒〖f(t)〗 dt)/(z-x)=f(c(z))ta’a.
Sababa c(z) gidduu x fi z ta’eef lim┬(z→x)⁡〖c(z)=x〗 ta’a. Akkasumas f’n x irratti itti fufaa waan ta’eef tiiramii bakka buusuun y = c(z) ta’uu isaa irraa
lim┬(z→x)⁡〖(G(z)-G(x))/(z-x)=〗 lim┬(z→x)⁡〖f(c(z))=〗 lim┬(z→x)⁡〖f(y)=〗 f(x)ta’a. i.e, G^’ (x)=f(x).

Fakkeenya

1. Mee G(x) = ∫_1^x▒1/t dt x > 0 yoo ta’e, G^’ (x) barbaadi.
   Furmaata :
   Korolarii 4.1 irraa fi I=(0,∞) itti fufaa waan ta’eef ; Akkasumas a = 1 gargaaramuun
   G^’ (x)=1/x, x > 0 ta’a.
2. Mee G(x) = ∫_0^x▒〖tsint^3 〗 dt x hundaaf G^’ (x) barbaadi
   Furmaata :
   Fankishiniin f(t) = tsint^3 , t kamiifuu itti fufaa waan ta’eef
   Kanaafuu haala Korolarii 4.1 tiin G^’ (x) = xsinx^3 ta’a.
3. Mee G(x) = ∫_0^(x^2)▒〖tsint^3 〗 dt yoo ta’e, F^’ (x) barbaadi.
   Furmaata :
   G(x) = ∫_0^x▒〖tsint^3 〗 dt haa jennu. Kanaafuu F(x) = G(x2) ta’a jechuu dha.
   Seera wal-seennoo (Chain rule) fayyadamuun F^’ (x)=G^’ (x^2) ta’a. Fka 2 irraaa
   G^’ (x)=xsinx^3waan ta’eef G'(x2) = x^2 sinx^6 arganna.
   Kanaaf F^’ (x)=G^’ (x^2) =(x^2 sinx^6 )(2x)=2x^3 sinx^6 arganna.

Antiidariveetivoota Fankishinoota muraasaa haa ilaallu.

Fankishinii Antii-dariveetivii
C(Tarmii dhaabbataa) Cx + k
x 1/2 x^2+c
x^r,r∈R 1/(r+1) x^(r+1)+c
sinx -cosx + c
cosx sinx + c

Fakkeenya

1. ∫_1^3▒x^2 dxbarbaadi.
   Furmaata :
   Gabatee Antiidariveetivii irraa F(x)=1/3 x^3 ta’a. Kanaafuu F antiidariveetivii f(x) = x2 ta’a.
   Tiramii Bu’uuraa Kaalkulasiigargaaramuun
   ∫_1^3▒x^2 dx=F(3)-F(1) = 1/3 〖(3)〗^3-1/3 〖(1)〗^3 = 26/3 ta’a.
   Hub :Fankishinii F haala salphaa ta’een barreessuu ni dandeenya.
   3
   ∫_1^3▒x^2 dx = 1/3 x^3 1 = 1/3 〖(3)〗^3-1/3 〖(1)〗^3 = 26/3
2. ∫_0^(π/2)▒cosx dxbarbaadi.
   Furmaata :∫_0^(π/2)▒cosx dx=sin π/2-sin0= 1

Gocha :
Dariveetiivii fankishinoota armaan gadii barbaadi.
F(x)= c) F(x)= e) F(x)=
F(x)= d) F(x)=
Integiraalota armaan gadii barbaadi.
c) ∫_(π/3)^((-π)/4)▒sintdt
d) b termii dhaabbataa dha.

4.5 Inteegiraalii hin murtoofnee fi seerota isaanii
Kutaa darbe keessatti inteegiraalii murtaa’aa Tiiramii Bu’uura kaalkulasii fayyadamuun xiinxalaa turre keessatti rakkoo ijoon anti-dariveetiivii f barbaaduu ture.Kutaa kana keessatti immoo seerota salphaa ta’an anti-dariveetiivii fankshinoota makoo ta’an haala ittiin barbaaduu dandeenyu ilaalla.
4.5.1 Integiraalii hin murtoofne
Herrega sadarkaa gadii keessatti hir’isuun galagaltoo ida’uu fi hiruu zeeroo irraa kan hafe hiruun galagaltoo baay’isuu ta’uu hubattee jirta. Kutaa kana keessatti immoo galagaltoo biroo ilaalla.

Hub: Yoo F integiraalii hin murtoofne f ta’e, akkasuma termii dhaabbataa C kamiif
F+C integiraalii hin murtoofne f ta’a.
Integiraalii hin murtoofne yeroo barbaadnu fakkeenyaaf;
∫▒〖x^2 dx〗 = 1/3 x^3 + C ta’a. Kana jechuun 1/3 x^3 fankishinii dariveetiiviin isaa x^2 ta’ee dha.
Fankishinootni biroo dariveetiiviin isaanii x^2 ta’e haala 1/3 x^3 + C tiin ibsamu. ( c∈R)
Hub!
Integiraalii hin murtoofne kan fankishinoota murtaa’anii
( c∈R)

   (p fi q termoota dhaabbatoo)
          r∈Q fi r≠1

4.5.2 Seerota inteegiraalii hin murtoofnee
Kutaa kana keessatti maloota adda addaa integiraalii hin murtoofnee fankishinoota makoo akkaataa ittiin integiraalii hin murtoofne tokko irraa argannu ilaalla.

Mirkana
Mee F fi G integiraalii hin murtoofne f fi g duraa duubaan haa jennu.
〖(F+G)^’=F〗^’+ G^’=f+g maaliifii?
Kanaafuu F + G integiraalii hin murtoofne f+g ta’a.

Mirkaana: gilgaala

FakkeenyaIntegiraalii hin murtoofne armaan gadii barbaadi.

Furmaata

 ta’a

Furmaata:
=
=
= ta’a
Hub.Tiiramii 4.6 fi 4.7 irraa inteegiraalii fankishinoota polinoomiyaalii walii gala

Kunis integiraalii polinoomiyaalii barbaaduuf integiraalii tokkoon tokkoon termoota fi barbaaduun walitti idaana.
Fakkeenya
barbaadi.
Furmaata
=
=
=
=

Gocha
Integiraalii hin murtoofne armaan gadii barbaadi.
c)
d)
Integiraalii murtaa’aa armaan gadii barbaadi.
a) c)
b∫0^π▒(sinx-8x^2 ) dx d)∫(π/2)^π▒(πcosx-2x+5/x^2 +2π) dx

4.6 Logaarizimii Uumamaa
Bara darbe Math-262 keessatti mala bakka buusuun integireessu barattee jirta. Kutaa kana keessatti mala kana gargaaramuun haala ittiin logaarizimii uumamaa integireessinu ilaalla.

Hub! yeroo logaarizimiin ibsinu log_e⁡x ta’a. Hiikoo logaarizimii umamaa irraa;

  waan ta’eef    ta’a.

Fakkeenya
barbaadi
Furmaata:
= =
= maaliif
=
Gocha
Intervaalii murtaa’aa armaan gadii barbaadi.
c)
d)

Gocha

1. Inteegiraalii hin murtoofne armaan gadii barbbadi.
   c)
   d)
2. Fankishinii f(x) tiif ln⁡〖|f(x)|+C〗 ta’uu mirkaneessi.
3. Inteegiraalii hin murtoofne armaan gadii barbbadi.
   c)
   d)

Guduunfaa Boqonnichaa

Qoqqoodamni inervaalii cufamaa [a,b] tuuta murtaa’aa P tuqaalee x_0,x_1,x_2,…,x_nkan hariiroo a=x_0≤x_1≤x_2≤⋯≤x_n=b  qabani dha.

Tuuta P haala P={x_0,x_1,x_2,…,x_n } jedhuun ibsama.
Fankishinii f intervaalii [a,b] irratti itti fufaa yoo ta’e, Integiraalii murtaa’aa f a gara b lakkofsa addaa I , L_f (P)≤I≤U_f (P) ta’a. Qoqqdama P kamiif , integiraalii [a,b] irratti bifa ∫_a^b▒〖f(x)〗 dx tiin ibsama.
Yoo f intervaali [a,b] irratti itti fufaa ta’e;
∫_a^a▒〖f(x)〗 dx=0
∫_a^b▒x dx=-∫_b^a▒x dx
∫_a^b▒c dx=c(b-a)lakkoofsa a, b fi c kamiif
∫_a^b▒〖f(x)〗 dx=∫_a^c▒〖f(x〗)dx+∫_c^b▒〖f(x)〗 dx ta’a.
Tiiramii Bu’uuraa Kaalkulasii
Mee faankishinni f(t) intervaalii [a,b] irratti itti fufaa haa jennu.
Faankishinni intervaalii [a,b] irratti antidariveetivii ni qabaata.
F(t) antiidariveetiivii f(t) kamiyyuu [a,b] irratti yoo ta’e
∫_a^b▒〖f(t)〗 dt=F(b)-F(a)ta’a.
Logaarizimiin umamaa fankishinii intervaalii (0, ∞) irratti bifa
tiin hiikama.

BOQONNAA SHAN
MALA INTEEGIREESHINII
Seensa
Boqonnaa darbe keessatti integiraalii murta’a fi hinmurtoofne barannee jira. Boqonnaa kana keessaatti maloota integireeshinii: Mala integireeshinii gar-tokkeessu, bakka buusuu, fi firaakshinii gar-tokkeessuu integiressuu ilaalla.
5.1 Mala Inteegireeshinii Gar-tokkeessuu

Gocha 5.1

1. Ibsamoota armaan gadii inteegireeshinii isaanii barbaadi.
   xlnx-x+4 c) x^2 lnx-x^2
   xe^x-e^x+3

Mirkaana:
d/dx(uv) =v d/dx (u)+ u d/dx (v)⟹u d/dx (v)=d/dx (uv)- v d/dx (u)
⟹∫▒〖u d/dx (v)dx〗 =∫▒〖d/dx (uv)dx 〗- ∫▒〖v d/dx (u) 〗 dx
⟹∫▒〖u d/dx (v)dx〗 =uv-∫▒〖v d/dx (u) 〗 dx
Kanaafuu ;∫▒〖udv=uv-∫▒vdu〗ta’a.
Fakkeenya: Mala Inteegireeshinii Gar-tokkeessuu fayyadamuun Inteegiraaloota armaan gadii barbaadi.
∫▒〖xe^x 〗 dx c) ∫▒x^r lnxdx
∫▒〖log2^x 〗 dx
Furmaata:
Mee u=x ⟹du=dx fi dv= e^x ⟹v=∫▒〖e^x dx〗=e^x
∫▒〖xe^x 〗 dx=uv-∫▒vdu
=xe^x-∫▒〖e^x dx〗
=xe^x-e^x + c
log2^x =ln⁡x/ln2 ⟹ ∫▒〖log2^x 〗 dx=∫▒〖ln⁡x/ln2 dx=1/ln⁡2 ∫▒lnxdx〗
mee u=lnx ⟹du=dx/x fi dv =dx ⟹v=∫▒dx=x
∫▒〖log2^x 〗 dx=1/ln⁡2 ∫▒lnxdx=1/ln⁡2 (vu-∫▒vdu)
=1/ln⁡2 (xlnx-∫▒〖x dx/x〗)
=1/ln⁡2 (xlnx-x)+c
c) ∫▒x^r lnxdx
Haala 1: yoo r = -1 ta’e, ∫▒x^r lnxdx=∫▒lnx/x dx ta^’ a.
mee u=lnx ⟹du=(dx )/x ⟹∫▒lnx/x dx = ∫▒〖udu =〖u/2〗^2 〗+ c =〖((lnx))/2〗^2+ c
Haala 2: yoo r ≠ -1 ta’e,
Mee u=lnx ⟹du=dx/x fi dv = x^r ⟹v= ∫▒x^r dx =x^(r+1)/(r+1) ta’a ⟹∫▒〖x^r lnx dx=vu-∫▒vdu〗
=x^(r+1)/(r+1) lnx -∫▒〖x^(r+1)/(r+1)(dx/x〗)
=x^(r+1)/(r+1) lnx -x^(r+1)/〖(r+1)〗^2 +c
Fakkeenya :
2.Inteegiraalota armaan gadii barbaadi.
∫▒xsinxdx
∫▒〖e^x cosxdx〗
Furmaata:
∫▒xsinxdx,mee u=x ⟹du=dx fi dv=sinx ⟹v=∫▒〖sinxdx=-cosx〗
∫▒xsinxdx=uv-∫▒vdu
=-xcosx-∫▒(-cosx)dx
=-xcosx+sinx+c
b)∫▒〖e^x cosxdx〗 , mee u=e^x ⟹du=e^x dx fi dv=cosx ⟹v=∫▒〖cosxdx=sinx〗
∫▒〖e^x cosxdx〗=uv-∫▒vdu
=e^x sinx-∫▒〖sinxe^x dx 〗⟹mee u=e^x ⟹du=e^x dx fi
v =∫▒〖sinxdx =-cosx〗 ⟹∫▒e^x cosxdx = e^x sinx-∫▒〖sinxe^x dx 〗 = e^x sinx-(uv-∫▒vdu ) =e^x sinx – [-e^x cosx—∫▒〖(-e^x cosxdx)〗] =e^x sinx+ e^x cosx—∫▒〖e^x cosxdx〗 2∫▒e^x cosxdx =e^x sinx+ e^x
kanaafuu ;∫▒e^x cosxdx =(e^x sinx+ e^x cosx)/2+ c

                              Gilgaala 5.1                                                                                                            

1. Inteegiraalota armaan gadii barbaadi.
   ∫▒2xcosxdx b)∫▒sin3xdx
   c) ∫▒x^2 sinxdx d) ∫▒〖e^x sinxdx〗
2. Mala Inteegireeshinii Gar-tokkeessuu fayyadamuun ibsamoota armaan gadii Inteegiraalii isaanii barbaadi .
   xe^(1-x) d) xe^(3x+1)
   x^2 ln⁡(2x) e)〖 e〗^x (x+1)
   e^2x (2x) f) ln⁡(4x)

5.2 Mala Bakka Buusuu Integireshinii (Substitution Method)
Mala bakka buusuun integireessu keessatti fankshinoota f fi g irraa gof fi f intervaalii I irratti itti fufoo yoo ta’anii; G integiraalii hin murtoofne kan g intervaalii I yoo ta’e,
akka ta’e ni yaadatta
Fakkeenya:

1. barbaadi?
   Mee u= x3+5 haa jennu
   du= 3x2dx ta’a
   =
   = maaliif?
   = maaliif?
   = maaliif?
   Gocha
2. Inteegiraalii hin murtoofne armaan gadii barbbadi.
   c)
   d)
3. Fankishinii f(x) tiif ln⁡〖|f(x)|+C〗 ta’uu mirkaneessi.
4. Inteegiraalii hin murtoofne armaan gadii barbbadi.
   c)
   d)

5.2.1 Inteegireeshinii Fankishinoota Tirigonomeetirikii

Mala Bakka buusuu Inteegireeshinii tirigonomeetirikii

Gocha 5.3 Inteegiraalota armaan armaan gadii barbaadi.
∫▒〖〖cos〗^3 xsinxdx〗 c) ∫▒cosx/(sinx+2) dx
∫▒sin2xdx

Fakkeenya: Tokkoon tokkoo ibsamoota armaan gadii jijjiirama bakka bu’u tilmaamuun intigireeshinii isaanii barbaadi.
cosxe^x c) tanx
〖sin〗^2 x
Furmaata: a) ∫▒〖cosxe^sinx 〗 dx ; mee u=sinx ⟹du=cosxdx
∫▒〖e^sinx cosx〗 dx= ∫▒e^u du=e^u+ c=e^sinx+ c
b〖)∫▒sin〗^2 xdx; cos2x= 〖cos〗^2 x-〖sin〗^2 x
garuu , 〖cos〗^2 x+〖sin〗^2 x=1 cos2x= 1-2〖sin〗^2 x ⟹ 〖sin〗^2 x=(1-cos2x)/2
∫▒〖sin〗^2 xdx=∫▒〖((1-cos2x)/2)〗 dx=1/2 ∫▒〖dx-1/2 ∫▒cos2xdx〗 mee u=2x ⟹du/2=dx∫▒〖sin〗^2 xdx=1/2 ∫▒〖dx-1/2 ∫▒〖(cosu) du/2〗〗 ∫▒〖sin〗^2 xdx=x/2 -1/4 sinu+c =x/2 -1/4 sin⁡(2x)+c
∫▒tanx dx=∫▒sinx/cosx dx ; mee u=cosx ⟹-du=sinxdx∫▒tanx dx=∫▒sinx/cosx dx=∫▒(-du)/u= -ln⁡〖⎸u〗⎸+c=-ln⁡〖⎸cosx〗⎸+c

  barbaadi

Furmaata:
Mee u=x5+1
du= 5x4dx

= = = = 1/5 ln⁡|u| + C
=1/5 ln⁡|x^5+1| + C
barbaadi
Furmaata:
Mee u= cos x
du= -sinxdx
-du= sinxdx
=
= -ln|u|+C
= -ln|cosx|+CKanaafuu =-ln|cosx|+C

Gilgaala 5.3
1.Ibsamoota armaan gadii mala bakka buusuu inteegireeshinii tirigonometirikiitti inteegireeshinii isaanii barbaadi.
a) cosxe^x b) cos3x c) sinxcosx d) xsin(x^2+1) e) tanx〖sec〗^2 x
5.3 Mala Firaakishinii Gar-tokkeessuun Inteegireessuu

Mala kana keessatti ibsamoota raashinaalii yookiin fankishinoota raashinaalii gara gar-tokkee firaakishinootaatti jijjiiruun booda inteegireeshinii isaanii itti barbaannu dha.
Hirmaattoota waamsiisaa Foormii tarmii firaakishinii gar-tokkee

ax+b A/(ax+b)

〖(ax+b)〗^k A_1/(ax+b)+A_2/〖(ax+b)〗^2 +—+A_k/〖(ax+b)〗^k

〖ax〗^2+bx+c ,〖 yoo b〗^2-4ac<0 (Ax+B)/(〖 ax〗^2+bx+c)

〖(ax^2+bx+c)〗^k,〖 yoo b〗^2-4ac<0 (A_1 x+B_1)/(ax^2+bx+c)+(A_2 x+B_2)/〖(ax^2+bx+c)〗^2 +– +(A_k x+B_k)/〖(ax^2+bx+c)〗^k

Gocha 5.4
Inteegiraalota armaan gadii barbaadi.
∫▒(x-2)/(x^2+2x+1) dx b) ∫▒x/〖(x-2)〗^2 dx c) ∫▒〖(x^2-x)/(x^2-x+1) dx〗
Fakkeenya :Inteegiraalota armaan gadii barbaadi.
∫▒(x+5)/(x^2+4x+3) dx b) ∫▒(x^3+〖2x〗^2-x-7)/(x^2 +x-2) dx c) ∫▒〖dx/(x^2-9) dx〗
Furmaata:
a)∫▒(x+5)/(x^2+4x+3) dx ; (x+5)/(x^2+4x+3 ) ⟹(x+5)/((x+1)(x+3) )= A/(x+1)+B/(x+3)⟹A(x+3)+B(x+1)=x+5
⟹(A+B)x=x fi 3A+B=5
⟹{█(A+B=1@ 3A+B=5)┤
⟹A=2 fi B=-1
∫▒(x+5)/(x^2+4x+3) dx=∫▒〖(A/(x+1)+B/(x+3)〗)dx=∫▒〖A/(x+1) dx〗+∫▒B/(x+3) dx=∫▒〖2/(x+1) dx〗+∫▒(-1)/(x+3) dx
=2ln⎸x+1⎹-ln⎹x+3⎸+c
b)∫▒(x^3+〖2x〗^2-x-7)/(x^2 +x-2) dx ; (x^3+x^2-x-7)/(x^2+x-2 )=x+1-5/(x^2+x-2 )⟹(-5)/(x^2+x-2 )=(-5)/((x+)(x-1) )=A/(x+2 )+B/(x-1 )
⟹ A(x-1)+B(x+2)= -5
⟹ (A+B)x=0 fi-A+2B=-5
⟹ {█(A+B= 0@-A+B=-5)┤
⟹ A=5/3 fi B= (-5)/3
∫▒(x^3+〖2x〗^2-x-7)/(x^2 +x-2) dx=∫▒〖(x+1-5/(x^2+x-2 ))〗 dx =∫▒〖(x+1)dx-∫▒〖(5/(x^2+x-2 ))〗〗 dx
=∫▒(x+1)dx+∫▒〖(A/(x+2 ))dx+∫▒〖(B/(x-1 )〗)dx〗
=x^2/2+x+∫▒〖((5/3)/(x+2 ))dx+∫▒〖(((-5)/(3 ))/(x-1 )〗)dx〗
=x^2/2+x+5/3 ln⎸x+2⎹- 5/3 ln⎹x-1⎸+c
=x^2/2+x+5/3 ln⎸(x+2)/(x-1)⎹ +c
c) ∫▒〖dx/(x^2-9) dx〗 ; 1/(x^2-9)=1/((x-3)(x+3) )=A/(x-3)+B/(x+3) ⟹A(x+3)+B(x-3)=1
⟹(A+B)x=0 fi (3A-3B)=1
⟹{█(A+B = 0@3A-3B=1)┤
⟹A=1/6 fi B=(-1)/6
∫▒〖dx/(x^2-9) dx〗=∫▒〖(A/(x-3)+B/(x+3))dx=∫▒〖A/(x-3) dx+∫▒〖B/(x+3) dx〗〗〗
=∫▒(1/6)/(x-3) dx+∫▒((-1)/6)/(x+3) dx
=1/6 ln⎸x-3⎹-1/6 ln⎸x+3⎹+c
=1/6 ln⎹(x-3)/(x+3)⎸ +c
=ln⁡√(6&⎸(x-3)/(x+3)⎹)+c
Gilgaala 5.3

1. Inteegiraalota armaan gadii furi.
   a)∫▒(5x+7)/(x^2+2x-3) dx b)∫▒(〖6x〗^2-14x-27)/((x+2)〖(x-3)〗^2 ) dx c)∫▒(7x+6)/(x^2+x-6) dx d)∫▒(5x+7)/(〖(x〗^2+x+2)(x-1)) dx e)∫▒x^3/((x+2)〖(x+2)〗^2 ) dx

5.4 Tiraapizooyidii fi Siimpoosoonii Inteegireeshinii

Mee ∫_0^1▒√(x^2+1 ) dx haa fudhannu fi u=x^2+1⟹du=2xdx akka x=0⟶1, u= 1⟶2
Yoo u=x^2+1⟹du=2xdx garuu gaaffichi tarmii xdx hinqabu wwan ta’eef mala Inteegireeshinii sirnaawaa kamiiniyyuu furuun hindanda’amu.Garuu maloota inteegireeshinii Traapizooyidii yookiin Siimpoosoonii Inteegireeshiniitti fayyadamuun furuun ni danda’ama.

5.5.1. Seera Tiraapizooyidii Inteegireeshinii

Mala reektaangilii inteegireeshinii fayyadamuu irramala traapizooyidii inteegireeshinii yoo fayyadamaame bal’ina danaa golboo jalaa shallaguuf tilmaama irra caalaatti sirriitti dhiyaatu argama.
Fkn: Mee bal’ina danaa golboo jalaa (giraafii fankishinii f fi siiqqee X gidduu) haa fudhannu. Kunis:
Y
f
y_0 y_1 y_2 y_3 y_4 y_5 y_n
X x_0 x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_n

Mee ∆x= x_i- x_(i-1) , i=1 ,2,3— ,n
Bal’inni danaa golboo jalaa bal’ina traapiziyemootaa xixiqqaa walitti ida’uun argama. Kunis ∆x=h yoo ta’e ,Bal^’ ina(A)= ∆x(y_0/2+y_1+y_2+ – – -+ y_n/2) ta’a . Kanaaf; Bal’inni danaa golboo jalaa fi siiqqee X , x=a=x_0 ti x=b=x_n gidduu :
∆x=(b-a)/n , n=baay^’ ina qoqqoodama
y_0=f(a) ,y_1=f(a+∆x) y_2=f(a+2∆x),- – – ,y_n=f(b)
Fkn: Yoo n=5 ta^’ e mala traapizooyidii inteegireeshinii fayyadamuun ∫0^1▒√(x^2+1 ) dx tilmaami. Furmaata: a= 0 , b = 1 , fi f(x)=√(x^2 +1) ∆x=(1-0)/5=0.2y(0 =) f(0)=√(0^2 +1) = 1 y_(1 =) f(0+0.2)=f(0.2)=√(〖0.2〗^2 +1) = 1.0198039 y_(2=) f(0+2(0.2))=f(0.4)=√(〖0.4〗^2 +1) = 1.077033
y_(3=) f(0+3(0.2))=f(0.6)=√(〖0.6〗^2 +1) = 1.1661904 y_(4=) f(0+4(0.2))=f(0.8)=√(〖0.8〗^2 +1) = 1.2806248 , y_(5 =) f(1)=√(1^2 +1) = √2
Kanaafuu ;∫_0^1▒√(x^2+1 ) dx=∆x(y_0/2+y_1+y_2+y_3+y_4+ y_5/2)≅1.150 ta’a.

5.5.2.Seera Siimpoosoonii Inteegireeshinii
Mala tiraapizooyidii fayyadamuun bal’ina danaa golboo jalaa bal’na tilmaama sirriitti dhiyaatu tilmaamuuf sababa tokkoon tokkoo sararoota ykn rogoota reektaangilii gidduutti bal’inni muraasni waan hafaniif rakkisaa dha .Kanaafuu ; bal’ina danaa golboo jalaa tilmaama bal’ina sirriitti dhiyaatu shallaguuf SeeraTiraapizooyidii Inteegireeshinii irra mala(seera) Siimpoosoonii Inteegireeshinii fayyadamuun filatamaa dha. Seera Siimpoosoonii Inteegireeshinii keessatti tokkoon tokkoo qaama golboo tilmaamuuf paraabolaa fayyadamna.
Fkn: Mee bal’ina danaa paraabolaa jalaa fi sarara siiqqee X gidduu armaan gadii haa fudhannu.Kunis:

                            Y
                                                  f         B

y_0 y_1 y_2 y_3 y_4 y_5 y_n
X x_0 x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_n

Bal’inicha (B) Sarara fageenya walqixa qabaate n tti qoqqooduun, dalgee =∆x=(b-a)/n=(x_n-x_0)/n
Tilmaamni Bal’inni danaa golboo jalaa
∫_a^b▒〖f(x)〗 dx=∆x/3 [y_0+4(y_1+y_3 )+2(y_2+y_4 )+y_5 ] ta’a.

Fakkeenya:
Yoo n=4 ta^’ e seera (mala) Siimpoosoonii inteegireeshinii fayyadamuun ∫_2^3▒dx/(x+1) tilmaami.
furmaata: Y
f(x)=1/(x+1)

X2 2.5 3
∆x= (3-2)/4=0.25〖 y〗0=f(2)=1/(2+1)= 0.333—〖 y〗_1=f(2+0.25)=1/(2.25+1)=0.3076923〖 y〗_2=f(2+2(0.25))=1/(2.5+1)=0.2857142 〖 y〗_3=f(2+3(0.25))=1/(2.75+1)=0.2666667〖 y〗(4 )=f(3)=1/(3+1)=0.25 Kanaafuu; Bal’inni danaa golboo jalaa (B) =∫_2^3▒dx/(x+1)=∆x/3 [y_0+4(y_1+y_3 )+2(y_2 )+y_4 ] ≅0.25/3(0.333333+4(0.3076923+0.2666667)+ 2(0.2857142)+0.25 ≅0.2876831

Gilgaala 5.5
1 Seera Tiraapizooyidii fi Siimpoosoonii Inteegireeshiniifayyadamuun inteegiraaloota armaan gadii tilmaami.
a) ∫_1^2▒(dx )/(x-1) ,n=4 yoo ta^’ e b) ∫_0^2▒dx/√(x^2+1) yoo n=5 ta’e

Kitaabilee Wabii

1. Abiye Kifle and Bisrat Dilnesahu, A first course in calculus, AA University.
2. Ellis, Robert and Gulick, Denny, Calculus with Analytic Geometry, New York, Horcourt Brace Jovanovich, Inc., 1986.
3. Project 17000, Introduction to calculus, Distance Education, Educational Media Agency, MoE, AA, 2001.
4. BBO, Seensa Kaalkulasii (math-162), bara 2002.