Teaching Mathematics in Upper Primary School II TeMa(up) 342

Moojulii MalleenBaruu Barsiisuu Herrega sadarkaa tokkoffaa Marsaa Lammaffaa
TeMa 342(Up)

Qopheessaan:-.Bokii Tolaa (MA) (KBBAsallaa)

Gulaalaan:-Abrahaam Dirribaa (KBB Naqamtee)

Gurraandhala, 2008

MalleenBaruu-Barsiisuu Herrega sadarkaa tokkoffaa marsaa Lammaffaa
Koodii Mojuulii: TeMa 342
Baay’inni wayitiitorbanii(Credit hours) : 3

BAAFATA
QabiyyeeFuula
Boqonnaa 1 5
Yaad-rimee tuutotaa barsiisuu 5
1.1 Tuuta barsiisuu 7
1.2.1Tuuta dhaabbataa fi tuuta fufaa barsiisuu 11
1.2. Hariiroo Tuutotaa barsiisuu 11
1.2.1 Cita tuutaa fi cita sirrii/ cita xiqqaa tuutaa barsiisuu 11
1.2.2 Tuutota walgitaa fi tuutota walqixaa barsiisuu 14
1.2.3 Tuutota walqixaa Barsiisuu 15
1.3 Tuutota qoyyabuu barsiisuu 16
1.3.1 Makoo tuutotaa barsiisuu 16
1.3.2 Kipha Tuutotaa barsiisuu 17
Boqonnaa 2 22
Hiramummaa Lakkoofsota Hundaa Barsiisuu 22
Malleen Baruu-barsiisuu 22
2.1 Maalummaa Hiramummaa Barsiisuu 24
2.2 Seerota Hiramummaa Barsiisuu 26
28
2.2.2 Lakkoofsota Kophxii fi lakkoofsota Kompooziitii barsiisuu 29
2.2.3 Lakkoofsa Kompoozitii barsiisuu 30
2.2.3 Tooftaalee Hirmaataa Walii Guddicha (HWG) barbaaduuf gargaaran barsiisuu 34
2.2.4 Tooftaalee Hiramaa Walii Xiqqicha (HWX) ittiin barbaadan barsiisuu 35
Boqonnaa 3 40
Intiijeroota Barsiisuu 40
Seensa 40
Malleen Baruu-barsiisuu 41
3.1 Walmadaalchisuu fi Tartiibessuu Intiijerootaa barsiisuu 42
3.2 Ida’uu fi hir’ísuu Intiijerootaa barsiisuu 43
3.3 Baay’isuu intiijerootaa barsiisuu 52
3.4 Hiruu Intijeerotaa barsiisuu 54
3.5 Tartiiba Intiijerootaa barsiisuu 56
3.5.1Tartiiba lakkoofsota hundaa barsiisuu 56
3.5.2 Tartiiba Intiijerootaabarsiisuu 57
BOQONNAA 4 59
Himoota walqixaa fi Himoota walcaalmaa Barsiisuu 59
Malleen Baruu-barsiisuu 60
4.1 Himoota walqixaa barsiisuu 62
4.2. Hima Walcaalmaa Sararaawaa Barsiisuu 66
4.3 Piroobileemii Herregaa Furuu 69
4.4 Sirna Ko’oordineetii Kaartisiyaanii(Diriiroo) 77
4.5 Piroporshinaalummaa Barsiisuu 80
4.5.1Piropporshinaalummaa kallattii 81
4.5.2 Piropporshinaalummaa fuggisoo 82
Kitaabilee Wabii 84

SeensaMojuulii
Mojuuliinkun maloota baruu fi barsiisuu barnoota Herregaa Sadarkaa 1ffaamarsaa lammaffaa barsiisuuf barsiistonni barnoota herregaa akkamiin akka barsiisan akkasumas adeemsa baruu fi barsiisuu qabatamaa fi hubatamaa taasisuuf akka gargaarutti yaadamee kan qophaa’e dha.
Qophiin mojuulii kunis kan irratti xiyyeeffate tarsiimoo qabiinsa matadureewwan barnoota Herrega Sadarkaa 1ffaa marsaa lammaffaa irratti dha. Isaanis: Yaad-rimee tuutotaa, hiramummaa lakkoofsota hundaa, Intiijeerotaa fi himamoota walqixaa sararaawaa fi himoota walcaalmaa sararaawaa fi piropporshinaalummaa dha.
Moojula kana keessatti tokkoon tokkoon mataduree ilaalchisee maloota qabiyyeewwan asiin olii ittiin dhihaachu qaban,adeemsota ittiin dhiheeffaman, meeshaalee deggersa barnootaa fi gochaalee adda addaa kan of keessatti haammatee dha.
Adeemsonni fi maloonni tarreeffaman kun kaadhimamtoota barsiisotaatti karaa argisiisuuf malee gochaaleen dhihaatanillee kaadhimamtoota barsiisotaaf akka kaúumsaatti akka ittifayyadamaniifjecha yaadamee ti malee malleen baruu- barsiisuu, Meeshaaleen deggersa barnootaa fi malleen iyyaafannoo mojuulii kana keessatti eeraman ala hinjiru jechuu miti.
Kaayyoo Koorsii
Xumura Koorsii kanaatti k/barsiisotaa:
Malleen baruu-barsiisuu mijaawoo taa’anitti fayyadamuun matadureewwan herrega sadarkaa 1ffaa armaan gadii ni barsiisu
Yad-rimee tuutaa
Hiramummaa lakkoofsota hundaa
Intiijeroota
Himoota walqixaa fi himoota walcaalmaa
Piropporshinaalummaa
Malleen baruu-barsiisuu/ kenniinsa koorsii: Leenjii koorsii kanaa kennuuf malleen kun akkuma jiranitti ta’ee malleen baruu-barsiisuu akka
Indaaktiivii fi Diddaaktivii
Mala rakkoo hiikuu
Marii garee fi dhiheessa dhuunfaa,
Agarsiisa, fi waliin wal barsiisuu (Peer-taeching) tti fayyadamuu
Malleen Iyyaafannaa:
Fiixaan bahiinsa kaayyolee armaan olii mirkaneeffachuuf barsiisaan/ haala mijeessan malleen armaan gadiitti fayyadamuun iyyaafannaa gaggeessu.
Iyyaafannaa walittifufaa
Dhiheessii marii garee, hojii dhuunfaa, calaqqee, hojii projektii
Abbaltii manatti hojjetamu
Yaalii daree keessaa xumura boqonnaatti
Qormaata giddugala semesteeraa
Qormaata xumuraa
Gochaalee K/barsiisotaa
Kanneen armaan gadii gochaalee ijoo adeemsa mojuulii keessatti raawatu jedhamee kaadhimamtoota barsiisotaa irraa eegamuu dha.
Wayitii mara yoo xiqqaate 85% wayitii koorsiin kun itti kennamuu dareetti argamuun ibsa kennamu hordofuu
Hojii garee fi dhuunfaan isinii kennamu yerootti xumuruu
Wayitii koorsiin kun kennamu gaaffii gaafachuu fi deebii deebisuun hirmaannaa ho’aa taasisuu
Marii garee keessatti yaadota dhiheessuu fi falmii gaggeessuun waan irra gahame daree guutuuf ibsuu
Gochaalee barsiisaan/haala mijeessaan adeemsa mojuulii kana keessatti raawwatamuu qaban
Kanneen armaan gadii gochaalee ijoo barsiisaan/ haala mijeessan barachuu barattootaaf haala mijeessuu fi barsiisuuf raawwachuu qabu:
Mojuulii kana keessatti qabiyyeewwan boqonnaalee keessatti hammatamaniin k/ barsiisotaa walbarsiisuu
Boqonnaalee, kutaalee fi kutaalee xixiqqaa mojuulicha keessa jiraniif ibsa gabaabaa kennuu;
Boqonnaalee , kutaalee fi kutaalee xixiqqaa mojuulicha keessa jiraniif qabxiilee marii, abbaltiiwwan fi pirojektiiwwan adda addaa qopheessuu;
Marii garee fi dhiheessii barattootaaf haala mijeessuu
Gochaalee, abbaltiiwwan, marii fi dhiheessii hundaaf duub-deebii kennuu;
Shamarranii fi dhiiraa daree keessatti walqixa jajjabeessuun hirmaachisuu;
Malleen Iyyaafannaa mijaawaa hojiirra oolchuun hubannaa k/barsiisotaa cimsuu;
Guduunfaa boqonnaawwanii kennuu
Koorsii kana haala barbaadameen xumuruuf (Module requirements):
K/barsiisaa kamiyyuu wayitii leenjiif kenname hunda (yoo xiqqaate 85%) fi waan dhiheessuu qabu hunda dhiheessuunirraa eeagama
Kaadhimamaan barsiisaa kamiyyuu daree keessatti hirmaannaa ho’aa agarsiisuu qaba
Kaadhimamaan barsiisaakamiyyuu abbaltiiwwan kennameef kamiiyyuu yeroo galii godhuu qabutti xumuree galii godhuu qaba
Kaadhimamaan barsiisaa kamiyyuu yaaliiwwanii fi qormaata kennamuuf taa’uun yoo xiqqaate walakkaa ol deebii sirrii hojjechuu qaba

Qabiinsa Qabxii:
Yaalii/battalleewwan ————————-20 %
Waliin wal barsiisuu ————————–10 %
Hojii projektii/abbaltii ————————10 %
Qormaata Giddugala semesteeraa ———–20%
Qormaata xumura semesteeraa ————-40 %
Haalli qabxii qubeedhaankeennuu (letter grading) haala ulaagaa BBO baaseen (on criterion-referenced) irratti hundaa’e ta’a.


Boqonnaa 1
Yaad-rimee tuutotaa barsiisuu
Seensa
Yaad-rimeen tuutotaa yaad-rimeewwan herregaa keessaa isa tokkoo dha.
(The concept of set is one of the fundamental concepts in mathematics).Mallattoolee fi termooleen yaad-hiddama tuutaa kutaalee herregaa kam keessattuu baay’ee barbaachisaa dha. Kanaafuu, yaad-hiddamni tuutaa afaan herregaa ti jechuun ni dandaa’ama.Barumsi kun, jalqaba hojii George Boole (1815-1864) fi booda irra Georg Cantor (1845-1918)guddina dameelee herregaa irratti jaarraa 20ffaa keessatti dhiibbaa geessaa tureera. Kanaafuu mataduree yookiin boqonnaa kana jalatti waa’ee yaad-rimee tuutaa, hariiroo tuutotaa fi qoyyaboota tuutotaa keessaa waa’ee makoo fi kiphaa maloota barattoota ittiin barsiisuun dandaa’amu irratti xiyyeeffanna.
Kaayyoo
Xumura barnoota boqonnaa kanaatti kaadhimaamtoonni barsiisotaa:
Barattoota isaaniif yaad-rimee tuutaa akkaataa itti hubachiisan ni goonfatu
Barattoota isaaniif hariiroo tuutota lamaa ni ibsuuf
Tooftaalee adda addaatti fayyadamuun makoo fi kipha tuutotaa haala itti barbaadan ni hubatu
Tuuta dhaabbataa fi tuuta fufaa addaan baasuun fakkeenya mataa isaanii akkamii akka kennan adda baafatu
Karoora barannoo qopheeffachuun hiriyyoota isaanii waa’ee tuutaa ni barsiisu.
Malleen baruu-barsiisuu
Boqonnaa kana kaadhimamtoota barsiisotaa haala gaariin qabsiisuuf malleen baruu-barsiisuu armaan gadiitti fayyadamuun baayeessa ta’a.
Mala Indaaktiivii
Mala gaaffii fi deebii
Mala agaree
Mala marii
Mala jigsaw
Mala piroojektii fi kkf
Malleen Iyyaafannaa boqonnaa kanaa:
Fiixaan bahiinsa boqonnaa kanaa mirkaneeffachuuf malleen iyyaafannaa armaan gadii irratti caalatti kan xiyyeeffate dha.
Hojii dhuunfaa,
Daawwannaa marii garee
Raawwii gochaalee
Dhiheessii daree fi yaalii gababoo
Adeemsa gochaalee Kaadhimamtoota barsiisotaa fi barsiisaa yookiin haala mijeesitootaa
Boqonnaa kana irratti gochaalee kaadhimamtoota barsiisotaa:
Kanneen armaan gadii gochaalee ijoo kaadhimamtoonni barsiisotaani raawwatu jedhamee irraa eegamanii dha
Wayitii leenjii hunda dareetti argamuun leenjii hordofuu;
Hojii dhuunfaatiin yookiin gareetiin kennaman yerootti xumuruu;
Daree keessatti gaaffii gaafachuu fi deebii kennuun hirmaannaa ho’aa taasisuu;
Marii garee keessatti yaada dhiyaate irratti maráchuun, falmuunyaada irratti waliigalame daree guutuuf dhiheessuu;
Xumura boqonnaa irratti karoora barannoo qopheessuun meeshaalee filatamoo fi malleen boqonnicha barsiisuuf mijataa ta’an filachuun walbarsiisuu;

Boqonnaa kana irratti gochaalee ijoo barsiisaan yookii haala mijeessaa irraa eegaman
Kanneen armaan gadii gochaalee ijoo barsiisaan yookiin haala mijeessaan boqonnaa kana keessatti raawwatuu dha.
Qabiyyeewwan ijoo kutaalee boqonnaa Kanaan kaadhimamtoota barsiisotaan walbarsiisuu
Tokkoo tokkoo kutaaleef ibsa gabaabaa fi ifa ta’ee kennuu
Abbaltii, gochaalee fi pirojektootaa kutaaleef ta’an hojii dhuunfaa fi hojii gareetiif qopheessuu
Marii garee adeemsifamuuf barattootaaf haala mijeessuu
Gochaalee fi marii gareetiif duub-deebii kennuu
Barattoota jajjabeessuun akka hirmaannaa ho’aa taasisan kakaasuu
Xumura irratti barattooni waan hubatan akka calaqqeessan haala mijeessuun yaad-rimee boqonnichaa guduunfuu
Xumura matadureewwanii irratti kaadhimamtoonni barsiisotaa karoora barannoo qopheeffachuun akka walbarsiisan taasiisuun duub-deebii kennuu.
1.1 Tuuta barsiisuu

Hub : Maqaa wantoota walfakkaatanii irra deebi’anii galmeessuu fi galmeessuu dhiisuu isaanii barsiisaan irra deemuun karaa qabsiisuu yookiin haala mijeessuufii qaba.Gochaalee kanniin irraa ka’uun tuuta jechuun maal akka ta’e akka ibsan barattoota gaffachuun yaada irraa funaanuu.
Tuutni walittiqabama wantoota sirnaan hiikamanii ti.Tuuta qubee gurguddaa Afaan Oromootiin mallatteessina.
Fakkeenya: A={ Caalaa,Gammachuu,Dirribee,Ahimad,Iftuu}

Hiikoo tuutaa kana keessatti “sirnaan hiikaman” jechuun wantonni tuuta keessa jiraachuu fi jiraachuu dhabuu isaanii ulaagaa murteessuuf ifaan shakkii malee nama dandeessisuu dha. Fakkeenyaaf, “walittiqabama namoota gabaaboota’anii” jedhu tuuta uumuu hindanda’u, sababiin isaa ulaagaan murteessaa ta’e namootagabaaboo ta’an jedhu ulaagaa murteessuuf ifa ta’ee miti. Kanaafuu walittiqabamni kun tuuta hin ibsu. Tuutni tokko sirriitti ibsameera yoo jennu, wanti tokko yoo nuuf kenname,wantichi miseensa tuutichaa ta’uuf dhiisuu isaa shakkii malee murteessuu danda’uu keenya dha.

Hub. { } fi { { } } gargar baafachuuf dallawa duwwaa fi mana ona dallawa keessa jiruun walfakkeessuun yaad-rimee tuuta duwwaa barattoota qabsiisuun ni dandaa’ama. Mee ati immoo fakkeenya biroo kenni.


1.2.1Tuuta dhaabbataa fi tuuta fufaa barsiisuu
Barattoonni fakkenya tuutaaf kennan keessaa kum tuuta dhaabbataa akka ta’eefi kum tuuta fufaa akka ta’e adda baasuun akka himuun maaliif akka jedhan akka ibsan gaafachuu. Sababiin isaa herrega keessatti gaaffii gaafatamaniif deebii sirrii deebisan jechuun herrega beekan jechuu waan hinta’íniif dha. Kanaaf, barsiisonni ofeeggannoo taasisuun maaliif akka jedhame gaafachuun yaada dogongoraa uumamuu danda’u yerumatti hambisuun ni danda’ama.

Tuutni baay’ínni miseensota isaa lakkaawwamee kan dhumu yoo ta’e tuutichi kun tuuta dhaabbataa jedhama. Yoo kana hinta’ín tuuta fufaa jedhama. Fakkeenya adda addaa fudhachuun qabsiisuu.

Gocha 1.3.kitaaba herrega kutaa 6ffaailaaluun barattoota barsiisuuf meesaalee mijataa ta’an qopheessuuun maloota baruu-barsiisuu mijataa ta’e filachuun daree keessatti hiriyoota kee barsiisi.

1.2.Hariiroo Tuutotaa barsiisuu
Seensa
Mataduree kana jalatti malleen waa’ee hariiroo tuutota lamaa, cita tuutaa, cita sirrii tuutaa/ cita xiqqaa tuutaa, tuutota walmadaaloo fi tuutota walqixaa akkamitti akka barsiistu dandeettii kee ni gabbifatta.
1.2.1 Cita tuutaa fi cita sirrii/ cita xiqqaa tuutaa barsiisuu

A fi B’n tuutota ta’anii miseensonni tuuta B hundi miseensota tuuta A yoo ta’an B’n cita tuuta A ti jedhama. Mallattoon cita tuutaa “ ” dha. B A Yammuu dubbifamu, Tuutni B’n cita tuuta A ti.

Fakkeenyaaf, A= { 1,2,4,6,5} fi B= {1,2,4,5} yoo ta’n,B A
A fi B’n tuutota ta’anii fi A B fi B≠A yoo ta’an A B jedhama. Tuutni A cita sirrii tuuta B ti.
Fakkeenya, A= {a,b,c,d,e,g} fi B={a,b,c,d,e,f,g} yoo taán,A B ti.

Gaaffii:
Kanneen armaan gadii fakkeenyaan dhugummaa isaanii akkamitti barattootaaf akka ibsitan irratti mari’adhaa hiriyyoota keessaniif ibsaa.
Tuutni kamiyyuu cita tuutaa mataa isaa ti maaliif jedhama? Sababa isaa ibsi.
Tuutni duwwaan cita tuutaa tuuta hundaa ti jedhama. Maaliif?

1.2.2 Tuutota walgitaa fi tuutota walqixaa barsiisuu

Duub-deebii
Yaad-rimee tuutota walgitaa barattoota sadarkaa tokkoffaa barsiisuuf gochaalee armaan gadiitti fayyadamuun bayeessa ta’a.Gochaalee kanniin irraa ka’uun gara hiika tuutota walgitaatti deemuun gaarii ta’a.
Barattoota daree keessatti jiran barattoonni dhiiraa fi barattoonni shamarranii tokko tokkoon akka walqabatan taasisuun tokko tokkoon walcamaduu fi dhiisuu isaanii akka ibsan taasisuu
Gareen tokko kitaaba herregaa akkasumas gareen biroo kitaaba Ingiliffaa fi gareen biroo ammoo kitaaba saayinsii akka walittiqaban taasisuun gareewwan lama lamaan kitaabilee walitti qaban akka walmadaalchisan taasisuu
Akkasumas, fakkiiwwan adda addaa gabatee irratti kaasuun barattooni fuulduratti bahuun fakkiiwwan kanniin akka walittifiroomsan taasisuu. Barattoonni adda addaa karaalee adda addaatiin walitti firoomsuu ni danda’u.

Fakkeenyaaf,

Barattoonni tuutota baay’ínni miseensota isaanii walqixa ta’e fakkeenya mataa isaanii akka keennan taasisuu.

Tuutonni lama A fi B’n baay’ínni miseensota isaanii walqixa yoo ta’e tuutonni kun tuutota walgitaa yookiin tuuta walmadaalan jedhamu. Mallattoon: A B yookiin A≡ B ti

1.2.3 Tuutota walqixaa Barsiisuu
Tuutonni lama walqixa kan jedhaman yoo maal ta’an? Tuutonni walgita jechuu fi tuutonni walqixa jechuun garaagarummaa maal qabu? Mee fakkeenya fudhachuun ibsi.
Tuutonni A fi B’n miseensota gosa tokkoo yoo qabaatan tuutota walqixaa jedhamu. Mallattoo, A=B, tuutni A tuuta B waliin walqixaa dha.
A=B yoo ta’eA B fi B A ti. Kana jechuun A =B yoo ta’e lamaanuu cita tuutotaa waliiti.
Hub: Tuutonni walqixaa ta’an yoomiyyuu tuutota walgitaa ti. Haata’u malee tuutonni walgita ta’an tuutota walqixaa ta’uu dhiisuu ni malu. Mee fakkeenya kennuun dhugummaa yaada kanaa ibsi.

1.3 Tuutota qoyyabuu barsiisuu
Seensa
Lakkofsota qoyyaboota bu’uuraatti fayyadamuun akkuma qoyyabnu, tuutota lama walittifiduun tuuta biraa kan kennan jiru.Tuutonni lama yoo nuu kennaman,tuutota kennamanitti fayyadamuun tuuta biroo akkamitti uumuu dandeenya? Karaan itti uumamu keessaa tokko tuutota kennaman lamaan walittimakuun tuuta haaraa uumuun ni dandaa’ama.Akkasumas, Karaan biraa miseensota tuutota lamaan keessa jiran walittiqabuun tuuta haaraa uumuun ni dandaa’ama. Mataduree kana jalatti makoo tuutotaa fi kipha tuutotaa akkamitti akka uumuun dandaa’amu ilaalla.
1.3.1 Makoo tuutotaa barsiisuu

Hiikoo:-Makoon tuutota lamaa A fi B jechuun tuuta miseensonni isaa miseensota A yookiin Miseensota B yookiin miseensota A fi B ta’anii dha. Mallattoo:-AUB yammuu dubbifamu A makoo B
Fakkeenyaaf, Mee A={2,3,5,7,8} fi B= { 3,5,9,4} haa ta’an
A B = { 2,3,4,5,7,8,9}

1.3.2 Kipha Tuutotaa barsiisuu

Hiikkoo: Kiphni tuutota lamaa A fi B, tuuta miseensota A isaan miseensota B ta’an of keessaa qabu dha.
Mallattoo: A∩B, yammuu dubbifamu A kipha B.
Fakkeenya, Mee A= {3,4,5,8,9} fi B= {1,2,3,5,6,9} haa ta’an
A ∩ B= {3 5,9}
Hub. Tuutonni waliin miseensa hinqabne tuutota alagaa jedhamu. Barattoonni fakkeenyaan akka ibsan taasisi.

Danaa Veeniitiin barsiisuu
Danaa Veeniin Moggasaa isaa kan argate lammii biyya Ingilliz kan ta’e filoosoferaRoobert Veen ( 1834-1923) jedhamu irraa yammuu ta’u danaa Veenii kanatti fayyadamuun hariiroo tuutota lamaa yookiin lamaa olii mulísuun ni danda’ama. Geengoleen tuutota yammuu agarsiisan reektaangilichi tuuta waliigalaa agarsiisa.Fakkeenyaaf, A fi B’n cita tuuta waliigalaa (U) yoo ta’anfakkeenyaaf,danaa Veeniitiin kanneen armaan gadii agarsiisuun nidandaa’ama.

A BA B =Ø
Gocha1. 11
K/barsiisotaa gareen ta’uun gaaffilee armaan gadiif deebii sirrii kennuun dareef dhiheessaa.
Danaa Veenii boca akkaamiin agarsiisuun nidandaa’ama?
Mee danaa Veeniitti fayyadamuun
AUB
A∩B
(AUB)∩C haalota adda addaatiin agarsiisaa
Shaakala 1.Barattoonni mana barumsa tokkoo guyyaa barnootaa tokkotti qorumsa Herregaa fi qorumsa Baayoolojii fudhatanDanaa Veenii armaan gadiitiin agarsiifamee dha. Danaa Veenii kana irratti hundaa’uun yooE’n barattoota mana barumsichaa, M’n barattoota qorumsa Herregaa fudhatanii fi B’n barattoota qorumsa baayoolojii fudhatan ta’an gaaffilee armaan gadii deebisi:

Baayína barattoota qorumsa herregaa qofa fudhatan
Baayína barattoota gosa qorumsa lamaanuu fudhatan
Baayína barattoota qorumsa Baayoolojii qofa fudhatan
Baayína barattoota qorumsa herregaa yookiin qorumsa Baayoolojii fudhatan
Walumaagalatti  baayína barattoota mana barumsichaa barreessi.

Shaakala2.Mee A= {Ø,1,3,5,6.7,9} fi B= {1,2,{3,4},6.8,9,5} haa ta’an
Kanneen armaan gadii barbaadi.
A∩B
A B
b(B)
Himoota armaan gadii dhugaa yookiin soba jechuun deebisi.
A B 2. A↔ B
Ø B
Ø A
Ø A
Abbaltii
Kaayyoon abbaltii kanaa matadureewwan boqonnaa kana jala jiran barattoota yammuu barsiistu beekumsaa fi ogummaa kanaaf barbaachisan akka gabbifatuuf kan si gargaaruu dha. Hojiiwwan kanaaf raawwatamanis,
Gareen ta’uun malleen baruu-barsiisuu mijataa ta’an filadhaa
Meeshaalee deggersa barnootaa matadureewwan kana barsiisuuf filataman qideessuun
Malleen mata dureewwan kana hubachuu barattootaa mirkaneeffachuuf mijataa ta’an filachuu
karoora barannoo Unka armaan gaditti dhihaate irratti qopheessuun daree keessatti barsiisaa.


Uunka karoora Barannoo
Maqaa barsiisaa: __________________________ Maqaa mana barumsaa ___________
Gosa barumsaa: ____________________________ Kutaa fi daree: _________________
Guyyaa barannoo: ______________________ Boqonnaa barannoo: ______________
Mataduree xiqqaa ______________________ Mataduree barannoo: ________________
Barbaachisummaa : ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Kaayyoleegooree::
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Haal-duree———————————————————————————————————————————————————–
Sadarkaa Yeroo Kaayyoo gooree Gocha barsiisaa Gocha barataa Gochaalee Iyyaafannaa
Gochaalee Jalqabaa

Gochaalee Ijoo
Gochaalee guduunfaa

Meeshaalee barannoo barsiisuuf si gargaaran:

Deggersa barattootaa (barattoota suuteyyii, giddugaleessaa fi ciccimoo, rakkoolee qaamaa qaban):


Boqonnaa 2
Hiramummaa Lakkoofsota HundaaBarsiisuu
Seensa
Boqonnaa kana keessatti, akkaataa maalummaa hiramummaa lakkoofsota hundaa fi seerota yookiin tooftaalee lakkoofsi hundaa kenname tokko hafteemalee 2’f,3’f,4’f,5’f,6’f,7’f,8’f,9’f,fi 10’fkan kkf hiramuu danda’u ittiin mirkaneeffatamu ni hubatta. Akkasumas, tooftaalee hirmaataa walii guddichaa fi hiramaa walii xiqqichaa lakkoofsota hundaadijiitii tokkoo yookiin dijiitii lamaa akkaataa itti barbaadan dandeettii kee cimsachuun barattootata keetitti tooftaalee adda addaa ni agarsiifta.
Xumura barnoota baqonnaa kanaa booda k/barsiisotaa:
Akkaataa hiramummaa lakkoofsota hundaa itti barsiistu ni hubbatta
Lakkoofsota kophxii fi lakkoofsota kompoositii akkaataa barattoota kee itti hubachiistu ni ibsita
Tooftaalee garagaraaakkaataa lakkoofsa hundaa kenname tokko hirmaattota kophxiitiin diddiriirsan nigabbifatta.
Tooftaalee adda addaa hirmaataa walii guddichaa( HWG) fi hiramaa walii xiqqicha (HWX) ittiin barbaadan goonfachuun hiriyyoota kee daree keessatti ni barsiista.
Karoora barannoo qopheeffachuun matadureewwan boqonnaa kanaa hiriyyoota kee daree keessatti ni barsiista.
Malleen Baruu-barsiisuu
Kaayyolee armaan olitti eeraman kanniin fiixaan baasuuf malleen baruu-barsiisuu asiin gaditti eeraman kanniinitti fayyadamuun baayeessa ta’a.
Mala Indaaktivii
Od-ibsa boqataa (Gap lecture method)
Mala gaaffii fi deebii (Questioning and answering method)
Mala agarsiisaa(Demonstration method)
Mala marii (Discussion method)
Mala proojektii fi kkf
Mala Iyyaafannaa boqonnaa kanaa:
Galma gahiinsa kaayyolee asiin olitti ibsamaniif malli iyyaafannaa caalatti kan irratti xiyyeeffate
Hojii dhuunfaa, marii garee
Raawwii gochaalee
Dhiheessii daree fi yaalii gababoo
Adeemsa gochaalee Kaadhimamtoota barsiisaa fi barsiisaa yookiin haala mijeessaa
Boqonnaa kana irratti gochaalee kaadhimamtoota barsiisotaa
Kanneen armaan gadii gochaalee ijoo kaadhimamtoonni barsiisotaa ni raawwatu jedhamee irraa eegamanii dha
Wayitii leenjii hunda kaka’uumsa gaariin dareetti argamuun leenjii hordofuu;
Wayitiin barumsaa osoo hingahin dura dhuunfaa fi gareen Mojuulii irratti mar’achuun dursaan of qopheessuu.
Hojii dhuunfaadhaan yookiin gareedhaan kennaman yerootti xumuruu;
Daree keessatti hirmaannaa ho’aa taasisuu;
Marii garee keessatti yaada dhiyaate irratti maráchuun, falmuu yaada irratti waliigalame daree guutuuf dhiheessuu;
Xumura boqonnaa irratti meeshaalee filatamoo qopheessuu fi maloota boqonnicha barsiisuuf mijataa ta’an filachuun walbarsiisuu;
Boqonnaa kana irratti gochaalee ijoo barsiisaan yookii haala mijeessaa irraa eegaman
Kanneen armaan gadii gochaalee ijoo barsiisaan yookiin haala mijeessaan boqonnaa kana keessatti raawwatuu dha
Barachuu barattootaatiif haala mijeessuu
Qabiyyeewwan ijoo kutaalee boqonnaa Kanaan kaadhimamtoota barsiisotaaa walbarsiisuu
Ibsa gabaabaaifa ta’e tokkoo tokkoo kutaaleef kennuu
Abbaltii, gochaalee fi pirojektootaa kutaaleef ta’an hojii dhuunfaa fi hojii gareetiif qopheessuu
Marii garee barattootaaf haala mijeessuu,
daree qindeessuu fi hoggennu
Gochaalee fi marii gareetiif duub-deebii kennuu
Xumura irratti barattooni waan hubatan akka calaqqeessan haala mijeessuun guduunfuu
Kaadhimamtoonni barsiisotaa matadureewwan boqonnaa kana jala jiran irratti karoora barannoo qopheeffachuun akka wal barsiisan haala mijeessuu fi xumura irratti duub-deebii kennuu.
2.1 Maalummaa HiramummaaBarsiisuu
Seensa
Waa’ee hiramummaa barattoota barsiisuun jiruu jireenya barattootaa keessatti rakkoolee isaan qunnaman salphumatti akka furachuu danda’an isaan dandeessisa.
Hiramummaa
Waa’ee hiramummaa barattoota barsiisuuf dursaan kaadhimamtoonni barsiisotaa maalummaa hiramummaa hubachuun baay’ee barbaachisaa dha.Kanaafuu, mee gocha armaan gaditti kenname ilaalii raawwadhu.

Itti aansuun seerota hiramummaa lakkoofsota hundaa osoo hinilaalin dura mee gabatee armaan gadii kana gareen ta’uun guutaa. Itti aansuun gaaffilee gaafatamaniif deebii kennaa.

Lakkoofsa
lakkaawwii Lamaan
Baay’ísi Sadiin baay’ísi Shaniin baay’ísi Jahaan baay’ísi Sagaliin baay’ísi Kudhaniin baay’ísi
2 4
3 30
4
5 10
6 12 30
8 40
9
10 100

Irraan gadee 2ffaa keessatti dijiitiin mana tokkee lakkoofsa akkamii ti? Dijiitiin kun 2’f ni hiramaa?
Irraan gadee 3ffaa keessattis, dijiitota lakkoofsicha keessa jiran hunda ida’íitii idaáma argatte 3’f hiri. Ida’amni argatte hundi 3’f ni hiramaa? Yoo ni hirama ta’e, lakkoofsi hundaa tokko 3’f hiramuu fi dhiisuu isaaa maal jetta?
Haaluma walfakkaatuun lakkoofsi hundaa tokko lakkoofsota birootifsi hafteemalee hiramuu fi dhiisuu maaliin mirkaneeffachuun nidandaa’ama jettee yaadda?

Deebii gaaffilee armaan oliitiif barattoonni deebisan irratti hundaaúun seerota hiramummaa lakkoofsota hundaa muraasa isaanii kaadhimaamtoota barsiisotaa hubachiisuun gaarii ta’a.
2.2 Seerota HiramummaaBarsiisuu

Lakkoofsi hundaa tokko lakkoofsota 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,fi 15 niif haftee malee hiramuu dandaúu isaanii hiruu karaa dheeraatiin osoo hinhirin akkamittikaraa salphaa ta’een akka hubachuun dandaámu seerota hiramummaa armaan gadii mee haa ilaallu.
Lakkoofsi hundaa Hiramaa Seera hiramummaa fakkeenya
2 Dijiitiin xumuraa lakkoofsa guutuu 0,2,4,6,8 yoo ta’e 79346, dijiitiin xumuraa 6 lakkoofsa guutuu ti.
3 Ida’amni dijiitota hundaa hiramaa 3 yoo ta’e 16,499,205
1+6+4+9+9+2+0+5=36
3+6=9 hiramaa 3ti

4 Lakkoofsi dijiitii xumura irra jiran lamaaniin uumamau hiramaa 4 yoo ta’e
Dijiitiin mana kudhanii guutuu fi dijiitiin mana tokkee, 0,4 yookiin 8 yoo ta’ee dha
Dijiitiin mana kudhanii mango fi dijiitiin mana tokkee 2 yookiin 6 358,912
Lakkoofsi dijiitota lamaan xumuraatiin uumamu 12
12=3×4
2.dijiitiin mana kudhanii 1, mango dha. Dijiitiin mana tokkee 2 dha
5 Dijiitiin mana tokkee 0 yookiin 5 273,895
Dijiitiin mana tokkee 5

6
Hiramoota 2 (guutuu) fi 3 yoo ta’e 978,516
Dijiitiin xumuraa 6
Guutuu dha
9+7+8+5+1+6=36 hiramaa 3 ti

7 Dijiitii mana tokkee lamaan baayísii lakkoofsa dijiitota birootiin uumamerraa hirísi.Haaluma Kanaan ittifufuun hamma lakkoofsi dijiitii lamaa argamu hiramaa 7 ta’uu argamutti 2499;
9×2=18
249-18=231
1×2=2
23-2=21, 21 hiramaa 7 ti

8 Lakkoofsi dijiitota sadeen xumura irra jiraniin uumamu hiramaa 8 tii yoo ta’e
Dijiitiin mana dhibbaa guutuu fi lakkoofsi dijiitota lamaan xumura irra jiraniin uumamu hiramaa 8tii yoo ta’e
Dijiitiin mana dhibbaa mango fi lakkoofsa dijiitota lamaan xumura irra jiraniin uumamu irratti 4 ida’uun ida’amni argamu hiramaa 8 tii yoo ta’e 986,104
Dijiitiin mana dhibbaa 1; mango dha
04+4=8 hiramaa 8 ti
Lakkoofsi dijiitii sadeen xumura irra jiraniin uumame 104 hiramaa 8 ti.
9 Ida’amni dijiitota lakkoofsichaa hiramaa sagalii yoo ta’e 24,343,785
2+4+3+4+3+7+8+5=36
10 Dijiitiin mana tokkee 0 yoo ta’e 34260

11 Dijiitii mana tokkee lakkoofsa dijiitota birootiin uumamuu irraa hir’isuu
Dijiitota bitaa irraa gara mirgaatti dabareen hir’isuu fi ida’uun firiin argame hiramaa 11 yoo ta’e 918082;
9-1+8-0+8-2=22
22=2×11
627;
62-7=55

12 Hiramaa 3 fi 4 324; 3+2+4=9 ,hiramaa 3ti

13 Dijiitii mana tokkee 4’n baay’isuun lakkoofsa dijiitota biro hafaniin uumamu irratti idaí. 637;
63+(7×4)=91,9+(1×4)=13

14 Hiramaa 2 fi 7 yoo ta’e 38416
15 Hiramaa 3 fi 5 yoo ta’e 76485

Hiramummaa Lakkoofsota Hundaa barsiisuu
Lakkoofsonni lama yookiin lamaa ol yoo waliin baay’atan tokkoon tokkoo isaanii lakkoofsotaa Hirmaataa jedhamu.

Fakkeenyaaf
1×7=71×6=6 fi 2×3 =6

2.2.2 Lakkoofsota Kophxii fi lakkoofsota Kompooziitii barsiisuu

Gocha armaan olii irraa akkuma hubatamu lakkoofsonni hundaa muraasni hirmaattota lama qofa yoo qabaatan isaan biroo ammoo hirmaattota lamaa ol qabu.Akkasumas 1 hirmaataa mataa isaa qofa.Yaada kana irraa ka’uun hiika lakkoofsa kophxii haala armaan gadiin kennama.
Lakkoofsi hundaa hirmaattota lama 1 fi mataa isaa qofa qabu lakkoofsa kophxii jedhama. Lakkoofsota kophxii kanniin chaartii irratti qopheessuun barattoonni salphumatti akka lakkoofsota biroo waliin wal bira qabuun hubatan taasisuun baayeessa ta’a.

Danaa kana irratti kanneen dibaman lakkoofsota kophxii ti.
2.2.3Lakkoofsa Kompoozitii barsiisuu
Mee dhuunfaa fi gareen ta’uun gaffilee armaan gadiitiif deebii kennaa.
Gocha 2.4
Lakkoofsi hundaa lakkoofsa kompooziitiikan jedhamu lakkoofsa akkamiiti?
Lakkoofsota hundaa keessaa lakkoofsa kompooziitii yookiin lakkoofsa kophxii kan hintaín ni jiraa? Lakkoofsa kam isaan?
Barattoota lakkoofsota kompoziitii tooftaalee kamiin barsiisuun nidandaa’ama jettee yaadda?
Lakkoofsi irra guddaa 1 ta’ee hirmaattota lamaa ol qabu lakkoofsa kompooziitii jedhama. Lakkoofsi 0 fi 1 lakkoofsa kophxiis lakkoofsa kompooziitiis miti.
Sababiin isaas 1 hirmaataa tokko qofa yoo qabaatu 0’n hirmaattota daangaa hinqabne qabdi. Akkasumas 0’n hirmaataa 0 miti.

Danaa kana irratti lakkoofsa 1’n ala kan dibaman lakkoofsota kompooziitii ti.
Yookiin akkaataa armaan gadii kanaan lakkoofsota kophxii, kompoozitii fi kan lamaanuu hintaane adda akka baafatan taasisuun bayeessa ta’a

Danaa kana irraa maal hubatte? Gareen irratti marádhaa.
Garaagarummaa hirmaattota lakkoofsa kenname tokkoo barbaaduu fi lakkoofsa kenname hirmaattota kophxiitiin diddiiririisuu ibsi. Fakkeenyaaf, hirmaattota 24 barbaaduu jechuufi 24 hirmaattota kophxiitiin diddiriirsuu jechuun;
Hirmmaattota 24 barbaadi
          1,2,3,4,6,8,12,24
24 hirmaattota kophxiitiin diddiiriirsi
           24= 2x2x2x3
Hirmaataa Walii Guddichaa  (HWG) fi Hiramaa Walii Xiqqicha (HWX) barsiisuu

Mataduree hirmaataa walii guddichaa fi hiramaa walii xiqqicha fi akkaataa itti barbaadan barattoota barsiisuuf dursaan gaaffilee armaan gadii haala gaariin hubachuun murteessaa ta’a. Kanaafuu, mee hundi keessanuu xiyyeeffannaan gaaffilee armaan gadiitiif deebii sirrii kennaa.

Hubachiisa:
Lakkoofsa kenname tokko hirmaattota kophtiitiin diddiriisuuf karaalee adda addaatti fayyadamuun nidandaa’ama’Fakkeenyaaf,

Kanaaf 54 lakkoofsa kophxiin yeroo diddiriirsinu 54=2×3^3, Mee ati immoo karaalee birootti fayyadamii lakkoofsota 54 lakkoofsa kophxiitiin diddiriirsi.

2.2.3 Tooftaalee Hirmaataa Walii Guddicha (HWG) barbaaduuf gargaaran barsiisuu
Fakkeenyaaf, Hirmaataa Walii Guddicha 6 fi 15 barbaadi.
hirmaattota 6 fi 15 hunda tarreessuun.
Damee Hirmaattotaa (Factor tree)

Hirmaattonni 6, 1, 2, 3 fi 6 yoo ta’u
Hirmaattonni15, 1, 3, 5 fi15 dha.
Hirmaattonni walii kan 6 fi 15, 1fi 3
Hirmaataan walii guddichi HWG’n(6,15)= 3 dha.
Gabatee hirmaattootaatti fayyadamuu
Hirmaataa walii guddicha (HWG) 18 fi 24 barbaadi.
Furmaata
18 24
2 9 12
3 3 4
3 fi 4 hirmaataa walii waan hinqabneef hiruun asuma irrattidhaabbata. Hirmaattonni walii 18 fi 24:- 1, 2, 3, fi 2×3 = 6
Hirmaattota walii keessaa inni guddaan 6 dha.KanaafuuHWG (18, 24) = 6.
Hirmaattota kophxiitiin diddiriirsuutti fayyadamuu
Mala kanatti fayyadamuun, HWG lakkoofsota lakkaawwii lamaa yookiin lamaa olii barbaaduuf tarkaanfileen hordofuu qabnu:
1Lakkoofsota kennaman hunda isaanii hirmaattota kopxiitiin diddiriirsuu.
2Hirmaattota kopxii walii adda baasuu.
3Hirmaattota kopxii walii kana waliin baay’isuun HWG lakkoofsota lakkaawwii gaafatamanii barbaaduu.
Hub: Hirmaataan kopxii tokko al tokkoo ol kan jiru yoo ta’e deddebi’insa xiqqicha fudhanna.Fakkeenya,
Hirmaataa Walii Guddicha 18 fi 24 barbaadi.

18  24

2 9 12
3 3 4
18= 2x3x3 =2×32
24= 2x3x2x2 =23×3
Kanaafuu hirmaataan walii guddichi 18 fi 24 barbaaduuf hirmaattota waliin qaban fudhachuun waliin baay’isuun ta’a.
HWG (18,24)= 2×3=6
Gocha 2.6
Hubannaa hirmaataa walii guddicha lakkoofsota hundaa lamaa yookiin lamaa olii akkaataa itti barbaadan hubachuu keetiif mee gaaffilee armaan gadii hojjedhu.
Mala mijataa kamittuu fayyadamuun HWG 20 fi 30 barbaadi.
Lakkoofsonni hundaa lama kanneen HWGn isaanii 1 ta’e ni jiruu? Lakkoofsonni akkasii kunmaal jedhamu? Fakkeenyota lakkoofsota akkasii kennuu dandeessaa?
2.2.4 TooftaaleeHiramaa Walii Xiqqicha (HWX) ittiin barbaadan barsiisuu
Hiramaa walii xiqqicha lakkoofsota lamaa yookiin lamaa olii barbaaduufbarattoonni karaalee adda addaa fayyadamuun barbaaduu qabu.

Duub-deebii
HWX’n ″hiramaa walii xiqqicha″ bakka bu’a. Hiramaa walii guddicha lakkoofsota lamaa yookiin lamaa olii barbaaduun hindanda’amu.Sababiin isaa hiramaan guddaan hiramoota maraa caalu hinjiru.Hiramaa walii xiqqichaa lakkoofsota lamaa yookiin lamaa olii barbaaduuf malleen HWG lakkoofsotaa ittiin barbaadnuutti fayyadamna.Mee fakkeenya HWX lakkoofsota lamaa yookiin lamaa olii ittiin barbaadnu tokko haa ilaallu.
Fakkeenya:
HWX 18 fi 24 barbaadi.
Furmaata
Hiramoota 18 fi 24 tarreessun
Hirmaattonni 18= 18,36,54,72,90,108,126,144,….
Hiramoonni 24= 24,48,72,96,120,144,170,…..
Hirmoonni walii 18 fi 24 = 72,144,…
Kanaafuu Hiramaan walii Xiqqichi 18 fi 24 =72
Gabateetti fayyadamuu
18 24
2 9 12
3 3 4
2 3 2
2 3 1
3 1 1

Gabatee armaan olii irraa HWX n 18 fi 24= 2x2x2x3x3=72 ta’a.
HWX lakkoofsota lamaa fi lamaa olii barbaaduuf malli biroo ni jiraa?
Deebiin isaa shakkii malee dhugaa dha.Sababiin isaa HWX lakkoofsota lamaa barbaaduuf maloota heddutu jira. Inni biroo tokko lakkoofsota kennaaman hirmaattota kophxiitiin diddiriirsuun taá.
Hub: HWX barbaaduu keessaatti, hirmaataa kopxii tokko al baay’ee irra deddeebi’ee jira yoo ta’e, hirmaataa kophxii guddicha deddeebinsa kanaa fudhanna.
Fakkeenya HWX 2205 fi 1050 barbaaduuf,
2205= 32x5x72
1050=2x52x7x3 waan taániif, HWX92205,1050)=2x32x52x72=22050.
Kunis kan argamu hirmaattota kophxii kan walii paaworii guddaa qaban fudhachuun ta’a. akkasumas gabateetti fayyadamuun HWX lakkoofsotaa barbaaduun ni dandaáma.

Gabatee baay’ísuu armaan gaditti kenname fayyadamuun HWX 3 fi5 barbaadi.
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Hubachiisa:
Furmaata gaaffii kennamee barbaaduuf dalgee yookiin olee (horizontally or vertically) deemuu dandeenya. Dalga yammuu deemtu 3 irraa ka’uun baay’attoota yookiin hiramoota 3 keessaa hamma hiramoota walii kan shanii bira gahamutti olee deemi.Lakkoofsi jalqabaa 15 ta’ee innis HWX 3 fi 5 ti.Haaluma walfakkaatuun irraa olees sochii taasifamuun deebii tokko irra gahama.
Gabateen baay’isuu armaan olitti nuu kenname baay’ataa lakkoofsota hundaa lamaa salphumatti barbaaduuf nu gargaara
Gabateen kun hiramoota walii xiqqicha lakkoofsota waliif kophxii ta’anii barbaaduuf nu gargaara.
Shaakala boqonnichaa.
Gaaffilee armaan gadiitiif dhugaa yookiin soba jedhii deebii sirrii deebisi.
Lakkoofsi hundaa kamiiyyuu hiramaa mataa isaa ti
Lakkoofsi tokko hiramaa walii xiqqichaa fi hirmaataa walii guddichaa lakkoofsota hundaa lamaa ta’uu ni dandaa’a.
Hirmaattota lakkoofsota hundaa kamiiyyuu tarreessuun fixuun nidandaa’ama.
HWG fi HWX lakkoofsota hundaa armaan gadii barbaadi.
96 fi 246
35 fi 630

Abbaltii
Kaayyoon abbaltii kanaa matadureewwan boqonnaa kana jala jiran waa’ee hiramummaa, hirmaataa walii guddichaa fi hiramaa walii xiqqichaa lakkoofsota hundaa lamaa barattoota adeemsa barsiisuu keessatti hoggansa daree fi beekumsaa fi ogummaa kanaaf barbaachisan akka gabbifatuuf kan si gargaaruu dha. Hojiiwwan kanaaf raawwatamanis matadureewwan armaan olitti eeraman barsiisuuf,
Malleen baruu-barsiisuu mijataa ta’an filachuun
Meeshaalee deggersa barnootaa matadureewwan kana barsiisuuf filataman qopheessuun/qideessuun
Malleen mata dureewwan kana hubachuu barattootaa mirkaneeffachuuf mijataa ta’an filachuun
karoora barannoo Uunka xumura boqonnaa tokkoffaa irratti agarsiifame irratti qopheessuun daree keessatti barsiisaa.


Guduunfaa Boqonnichaa
Amma boqonnaa lammaffaan xumuramee jira. Kanaafuu, qabxiilee ijoo armaan gadii yaadachuun si irraa eegama.
Lakkoofsi hundaa kamiiyyuu lakkoofsa 1’f ni hirama
Lakkoofsi kamiiyyuu hirmaataa mataa isaa ti zeeroo malee
Adeemsa barsiisuu kana keessatti barattoonni tooftaalee adda addaatiin HWG fi HWX lakkoofsota hundaa lamaa yookiin lamaa olii barbaaduu dandaúu isaanii mirkaneeffadhu
Xumura boqonnaa kanaatti barattoonni fakkeenya mataa isaanii fudhachuun tooftaalee adda addaatiin HWG fi HWX lakkoofsota hundaa barbaaduu danda’uu isanii mirkaneeffadhu

Boqonnaa 3
Intiijeroota Barsiisuu
Seensa
Akkuma beekamu haalota jiruu fi jirrenya guyyuu keessatti uumamuu danda’aniif lakkofsonni hundaa baay’ee fayyadanis kanneen akkasafara hoo’a (temperature below sealevel) zeeroo dhaa gadi jiran ibsuuf nu hinfayyadan.Kutaa kana jalatti negaaativiitti akkamitti akka fayyadamnu ilaalla.
Intiijariin makoo lakkoofsota lakkawwii, zeeroo fi negaatiivii yookiin masaanuu lakkoofsota lakkawwii ti.Intijaroota fiildota adda addaa keessatti itti fayyadamna.Fakkeenyaaf hoo’inni (teempreechariin) naannoo tokkoo irra xiqqaa zeeroo yeroo ta’u.Haala qilleensaa kana ibsuuf intiijariitti fayyadamna. Olee naannoolee tokko tokkoo sirrii galaanaatii gadi (sea level) jiru safaruuf lakkoofsota nagaativii intijariitti fayyadamna.Dheerina gaarreewwanii, fageenya magaalota lama jidduu jiru, daldala keessatti bu’aa fi kasaaraa guddina diinagdee biyya tokkoo fi sochii abbaa warraa tokkoo tokkoo ibsuuf intijaroota poozatiivii fi negaatiiviitti fayyadamna.Kanaafuu waa’ee lakkoofsota intiijerootaa barsiisuun barattoonni jiruu isaanii fuulduraa keessatti akka dhimmi itti bahan isaan taasisa.
Kaayyoo
Xumura barnoota boqonnaa kanaatti k/barsiisotaa:
Barattoota akkaataa maalummaa Intiijerootaa itti barsiisanni hubatu.
Sarara lakkoofsaatti fayyadamuun intijaroota ni ida’u, ni hir’isu
Seerota qooyaboota intijarootaa gochaalee guyyaa- guyyaa keessatti hojii irra ni oolchu
Wantoota qabatamoo Intijaroota ida’uu fi hir’isuuf fayyadan ni qopheessu
Karaalee adda addaatti fayyadamuun Ida’uu fi hir’isuu intijarootaa barattoota ni barsiisuu
Karoora barannoo qopheeffachuun intiijeroota hiriyyoota isaanii ni barsiisu
Malleen Baruu-barsiisuu
Kaayyolee armaan olitti eeraman milkeessuuf maloota baruu-barsiisuu armaan gaditti fayyadamuu.
Mala Indaaktivii
Od-ibsa boqataa
Mala gaaffii fi deebii
Mala agarsiisaa
Mala marii
Mala Iyyaafannaa boqonnaa kanaa:
Kaayyoleen boqonnaa kanaa fiixaan bahuu mirkaneeffachuuf malli iyyaafannaa caalatti kan irratti xiyyeeffate
Hojii dhuunfaa,
Marii garee
Raawwii gochaalee
Dhiheessii daree fi yaalii gabaaboo
Adeemsa gochaalee Kaadhimamtoota barsiisaa fi barsiisaa yookiin haala mijeessaa
Boqonnaa kana irratti gochaalee kaadhimamtoota barsiisotaa:
Kanneen armaan gadii gochaalee ijoo ni raawwatta jedhamee si irraa eegamanii dha
Wayitii leenjii hunda dareetti argamuun leenjii hordofuu;
Hojii dhuunfaadhaan yookiin gareedhaan sii kennaman yerootti xumuruu;
Daree keessatti gaaffii gaafachuu fi deebii kennuun hirmaannaa ho’aa taasisuu;
Marii garee keessatti yaada dhiyaate irratti mari’achuun, falmuu yaada irratti waliigalame daree guutuuf dhiheessuu;
Xumura boqonnaa irratti meeshaalee filatamoo qopheessuu fi maloota boqonnicha barsiisuuf mijataa ta’an filachuun walbarsiisuu;

Boqonnaa kana irratti gochaalee ijoo barsiisaan yookii haala mijeessaa irraa eegaman

Kanneen armaan gadii gochaalee ijoo barsiisaan yookiin haala mijeessaan boqonnaa kana keessatti raawwachuu qabuu dha.
Qabiyyeewwan ijoo kutaalee boqonnaa Kanaan kaadhimamtoota barsiisotaan walbarsiisuu
Tokkoo tokkoo kutaaleef ibsa gabaabaa fi ifa ta’e kennuu
Abbaltii, gochaalee fi pirojektootaa kutaaleef ta’an hojii dhuunfaa fi hojii gareetiif qopheessuu
Marii garee barattootaaf haala mijeessuu
Gochaalee fi marii gareetiif duub-deebii kennuu
Xumura irratti kaadhimamtoonni barsiisotaa karoora barannoo qopheeffachuun hiriyyoota isaanii akka barsiisan haala mijeessuu fi duub-deebii kennuu
3.1 Walmadaalchisuu fi Tartiibessuu Intiijerootaa barsiisuu

Duub-deebii
Barsiisaan barattoota waa’ee intiijerootaa barsiisuun duratti lakkoofsota lakkaawwii fi lakkoofsota hundaa yaadachiisuun sarara lakkoofsaa irratti agarsiisuun lakkoofsonni zeeroo irraa gara bitaatti argaman lakkoofsota negaatiivii ta’uu isaanii qabsiisuu qaba.
Haala armaan gadiitiin hubachiisuun gaarii ta’a.

Lakkoofsota Lakkaawwii

Lakkoofsota hundaa

Negaatiivii Pozatiivii

Zeeroo

Intiijeroota

3.2 Ida’uu fi hir’ísuu Intiijerootaa barsiisuu

Duub-deebii
Kanneen armaan gadii haalota jireenya guyyaa keessatti uumamaniif yaad-rimee ida’uu fi hir’iísuu barattoota qabsiisuuf ni gargaaruu jedhamee yaadama.
Caalaan namaan Loluu, gowwoomsuu fi kakachuu raawwata. Amma gowwomsuu fi kakachuu yoo dhaabe sodaa meeqaan hafa?
(sodaa negaatiivii 3)- (sodaa negaatiivii2) =(soda negaatiivii 1) yookiin (-3 ) -(-2 ) =( -1)
Maallaqa hinqabne qarshii shan (-5) bahii goote keessaa qarshii 3 yoo deebiste qarshii meeqatu sirratti hafa? -5+3 = -2
Kanaan alattis modeelonni armaan gadiis barattoonni adeemsa ida’uu yookiin hir’isuu intiijerootaa akka hubataniif ni gargaaru.
Modeela (Charged particles Model)
Korkii adii fi korkii diimaatti yookiin isaan birootti fayyadamuu
Malli kun mala korkii adii fi korkii diimaa iddoo tokkotti walittiqabsiisuuti
(sticking together)
Intijaroota poozativii fi neegaatiivii walitti ida’uuf korkii adii fi korkii diimaa walitti fiduun (stick together) korkiiwwan hamma ta’e keessaa baasuun korkii halluu qabu kan hafee lakkaa’i.
Intijarii kenname irraa intijarii negaatiivii hir’isuuf korkii hamma barbaadamee korkii walqabatanii irraa adda baasuun irraa kaasuu. Fakkeenyota armaan gadii ilaali.

Ida’uu Intiijerootaabarsiisuu

c) 4-(-2) =?
4-(-2)= 6
Mee3-(-4)qooyyabi.

Modeela tarree( Stack or row model)

Intiijeroota mallattoo tokko qabaniif
Waraqaa giraafii fi qubeessaa halluu adda addaa qabanitti fayyadamuun adeemsa qoyyaba ida’uu fi hir’isuu intiijerootaa barattoota qabsiisuu nidandaa’ama.
Fakkeenyaaf
-3+ -4 =-7

Kun 3+4 = 7 ni agarsiisa ( Halluu bifa tokkootiin)Lakkoofsonni mallattoo(sign) tokko hinqaban yoo ta’eWaldorgomsiisuun inni dheeraan ni moo’ata.
Fakkeenya -3 +5 =2

Hir’ísuuf halluuwwan lamaan gara garaa walittifiduun zeeroo uumuun hamma dandaa’ameetti hamma zeeroowwan barbaachisanii ida’uun haala probleemtiin irraa kaasuu
Fakkeenya 3-(-4)=

Hamma gaafatame irraa kaasuun kan hafe addatti baasuu.
Mala Sarara lakkoofsaatti fayyadamuun
Sirnichi salphaa fi eessattis kan raawwatamuu dha. Kunis gabatee boronqii irratti, yaadannoo barattootaa irratti, yookiin fillip- chaartii irratti fayyadamuun nidandaa’ama. Sarara lakkoofsaa hojiirra oolchuu irratti wanti barbaachisaan lakkoofsota poozatiiviitiif gara mirgaatti deemuu fi lakkoofsota negaatiiviitiif gara bitaatti socho’uu dha.Sarara lakkoofsaa fayyadamuuf mee barattoonni ida’uu intijarootaa irradeddeebi’anii haa shaakalan.

Fakkeenya.
-1+ (-2)jechuun‘-1 fi -2′ jechuu dha. -1irraa eegalii yuunitii 2 gara bitaatti deemi.
-1 + (-2) = -3

9+(-4)

5+(-6)

Hir’isuu Intiijerootaa barsiisuu

Akkasumas,

3-5

-5-2

-5 +4 =

8 – (-3)

(–) sarara lakkoofsaa irratti gara (–) kun kallatti duraa
garagalcha bitaatti deemuu agarsiisa
Paatarniitti fayyadamuu
Seerota beekamoo (common rules) hir’isuu intiijerootaa ibsuuf paatarniin ni fayyada.Jalqaba irratti hir’isuu lakkoofsota pozatiivii intiijerootaa irratti xiyyeeffachuun fakkeenyota adda addaa ilaaluun gahaa ta’a.
3-1= 2
3-2= 1
3-3= 0
3-4= -1
3-5= -2
Akkasumas lakkoofsota negaatiivii irraa hir’isuu barsiisuuf paatarniitti fayyadamuun nidandaa’ama.Baraattoonni deebiin isaa maal akka ta’udaawwachuun paatarnicha itti fufuu dha.
(-4) +2 = -2
(-4) +1 = -3
(-4) +0 = -4
(-4) + (-1) = -5
(_4) -2 = -6
Kkf
Paatarniin lakkoofsa negaatiivii hir’isuufis ni gargaara. Fakkeenyaaf

Barattoonni karaa gabaabaa neegaatiiviin lama walfaana yoo dhufe kara poozatiiviitti akka jijjiirramu irra gahu.
Garaagarummaa: Barattoota 5-2 jechuun garaagarummaa 5 fi 2 jidduu jiru ta’uu yaadachiisuu. Garaagarummaa akka fageenya sarara lakkoofsaa irratti lakkoofsota lama jidduu jiranii ta’uu yaaduu dha.Haata’u malee lakkoofsa guddaa jalqaba irratti barreessuu dagachuun hinbarbaachisu.fakkeenyaaf, modeela kanatti fayyadamuun, (-2)-(-9) jechuun fageenya -2 fi -9 jidduu jiru 7 dha. Haata’u malee tartiiba isaa jijjiirree yoo barreessine, (-9)-(-2) = -7 ta’a. Kun dogongoratti nama geessa.

Mala Xiyya armaan gadii (Solid arrow) fayyadamuu

Xiyyi kun sarara lakkoofsaatiin tokkuma. Garaagarummaan meeshichaa fi qoyyaboota adda addaatiif tajaajiluu isaa ti.
Fakkeenya
4 + 3 shallaguuf, barattoonni 0 irraa eegaluun tarkaanfii 4 gara lakkoofsa 4 deemu. Kana booda tarkaanfii 3dabalataan garafulduraa deemmun iddoo irratti dhaabbatan mirkaneeffatu. Lakkoofsa 7 ta’uu qaba. (kan armaan gaditti agarsiifame ilaali) Xumura irrattibarattoonni yaadannoo isaanii irratti 4 + 3 = 7 jechuun ni barreessu.

Hubachiisa:
Fakkeenyi kun xiyya armaan olii (solid arrow) irratti xiyya dhokataatti fayyadamuun hiruufis gara bitaatti socho’uun ittifayyadamuun ni danda’ama.
Piroobleemii akka 9 ÷ 4 barattoonni 9 irraa eegaluun gara bitaatti socho’uu, tarkaanfilee afur erga socho’anii booda quba isaanii tokko ol qabu, 9 irraa eegaluun tarkaanfilee gara 8, 7, 6, fi 5 socho’uun quba tokko ol qabuu, Itti aansuun tarkaanfilee gara 4,3, 2, fi 1 socho’uun quba lama ol qabu. Kanaafuu si’a lama tarkaanfilee afur socha’anii ammas 0 bira gahuuf tarkaanfii tokko dabalataan gaafata. Kanaafuu,9 ÷ 4tarkaanfilee 4 si’a 2 deemamee tarkaanfiin tokko ni hafa. Kanaaf 9 ÷ 4 = 2,fi haftee 1.
Intiijeroota Ida’uu yaadachuuf
Mallattoo ida’amtuu1ffaa Mallattoo ida’amtuu2ffaa Mallattoo ida’amaa Akkamitti akka qoyyabamu

  • + + Ida’uu
  • – – ida’uu
  • – Mallattoo ida’amtuu guddichaa Lakkoofsa guddaa irraa xiqqaa hir’isuu
  • + Mallattoo ida’amtuu guddichaa Lakkoofsa guddaa irraa xiqqaa hir’isuu

3.3 Baay’isuu intiijerootaa barsiisuu

Intiijeroota ida’uu fi hir’isuu barsiisuuf tooftaalee adda addaa hubattee jirta. Mee amma intiijeroota lama baay’isuuf tooftaalee jiran ibsitaa?

Mala Paatarniitti fayyadamuu
Mala paatarniitti fayyadamuun intiijeriin pozatiiviin siá intiijerii negaatiivii maal akka ta’u agarsiisuun nidandaa’ama. Fakkeenya armaan gadii irraa maal hubatte?

Akkasumas, Paatarniin kun ittifufuun kan mul’ísu 3x(-1) =-3,3x(-2) =-6,3x(-3) =-9 fi kkf dha. Paatarnii walfakkaatuun fayyadamuunbaay’ataan lakkoofsota neegaatiivii lamaa akka armaan gadii ta’a.

Mee atis kanneen armaan gadii guutuun yaada waliigalaa kenni.

Sarara lakkoofsotatti fayyadamuun

4×3=?

3x-2

5x-3=?

3x-4 =?

Qorkii yookiin halluu diimaa neegaativii bakka bu’an afur afuriin naqaman si’a sadi lakkaa’uun neegaatiivii kudha lama taúu agarsiisuu.Mee atis kanneen armaan gadii sarara lakkoofsaa irratti agarsiisuun furi.

Akkasumas sarara lakkoofsaatti fayyadamuun baay’isuu lakkoofsotaa agarsiisuun ni dandaa’ama.
Fakkeenyaaf, 4x-3,4x-2,4x-1,4×0,4×1,4×2,4×3…

Haaluma walfakkaatuun qorkiin yookiin wantoonni halluu diimaa neegaatiivii bakka bu úu danda’an sadi sadiin naqaman si’a afur neegaatiivii kudha lama taúu ijaan lakkaa’uun mirkaneessuun ni danda’ama.
Seera baay’isuu intiijerootaa barattoota hubachiisuuf mee gaaffilee armaan gadiiitti yaaduun deebisi.
Hiriyyaan hiriyyaa keetii maalii keeti?
Hiriyyaan diina keetii maalii keeti?
Diinni diina keetii maalii keeti?
Diinni hiriyyaa keetii maalii keeti?
Kanaafuu akka waliigalaatti, seerabaay’isuu intiijerootaa akka armaan gadiitti ibsuun ni dandaa’ama.

Hubadhu:-
Hiriyyaan hiriyyaa keetii hiriyyaa keeti
Hiriyyaan diina keetii diina keeti
Diinni diina keetii hiriyyaa keeti
Diinni hiriyyaa keetii diina keeti.

3.4 Hiruu Intijeerotaa barsiisuu
Gocha 3.4
Hiruu jechuun maal jechuu dha?
Hiruu yaad-rimee baay’isuutti fayyadamnee akkamitti ibsina?
Tooftaalee hiruu intiijerootaa barattoota ittiin bariistu ibsi.
Hiruu jechuun qixxeett qoodachuu jechuu dha.Akkasumas hiruun masaanuu baay’isuu ti.Gama biraatiin hiruu jechuun irra deddeebiánii hir’isuu dha.
Fakkeenya1. 12 4 meeqa jedhamtee osoo gaafatamte
12 4 =?jettee barreessuu ni dandeessa. Kana jechuun 4x? =12 tiin tokkuma.
Deebii isaa argachuuf bakka buusuun yaaluun nidandaa’ama.
4×1 ≠12
4×2≠12
4×3 =12
Kanaafuu,12 4 =3ta’a.
Akkasumas, 12 4 = 3 ta’uu agarsiisuuf irra deddeebiánii hamma zero argatanitti hir’isuu dha.
Haaluma Kanaan, 12-4-4-4=0 waan ta’eef, 12= 3x4ta’a.
35 5
Furmaata
Sararra lakkoofsaa sarara 0 irraa hamma 35 jiru iddoo walqixa 5tti qooduu dha. Akkuma argamu 7 tokko shanaffaa fageenya 0 irraa hamma 35 ti. Kanaafuu deebiin 35 5 =7 ta’a

Karaa biraatiin 35 5 yammuu jedhamu 35 keessa 5nii meeqatu jira jechuu dha.

As irraa akkuma ilaalamu 0 irraa hamma 35 tti ramaddii 5nii 7tu jira. Kanaafuu,
35 5 =7 ta’a.Karaaleenlamaanuu walqixa barbaachisoo ta’uu ni danda’u.
Mee atis karaan biroo hiruu intiijerotaa barattoota ittiin barsiisuun dandaa’amu yoo jiraate hiriyyoota kee waliin irratti mari’achuun dareef dhiheessaa.
-42 7 = -6

Sarara lakkoofsaa irratti -6 tokko torbaffaa fageenya 0 irraa hamma -42 jiruu ti.Kanaafuu deebiin -6 ta’a.
Mirkana, -42=7x(-6)
Seerri hiruu Intiijerootaa seera baay’isuu intiijerootaa waliin alfakkaata.

3.5 Tartiiba Intiijerootaa barsiisuu
Tartiiba lakkoofsota intiijerootaa osoo hinilaalin dura waa’ee tartiiba lakkoofsota hundaa caalatti yaadachiisuun gaarii ta’a.
3.5.1Tartiiba lakkoofsota hundaa barsiisuu
Tartiiba lakkoofsota hundaa adda baasuuf karaalee adda addaatti fayyadamuun nidandaa’ama.
Fakkeenyaaf: 744,264 fi 1128 tartiibaan kaa’í.

Sarara lakkoofsaatti fayyadamuu

264 gara bitaa 744 fi 744 gara bitaa 1128 ti.
Chaartii mana lakkoofsaatti fayyadamuu
Mana kumaa Mana dhibbaa Mana kudhanii Mana tokkee
2 6 4
7 4 4
1 1 2 8
Kumni 1 dhibboota hafan ni caala. Akkasumas dhibbi 7 dhibba 2 ni caala.Kanaafuu,264<744 <1128 ta’a
3.5.2Tartiiba Intiijerootaabarsiisuu

Tartiiba intiijerootaa barattootaaf ibsuuf karaalee lamaan agarsiisuun nidandaa’ama. Isaanis, karaa sarara lakkoofsaatti fayyadamuu fi karaa qoyyaba ida’uutiin dha.
Sarara Lakkoofsaa (Number-line approach)
Intiijeriin a irra xiqqaa intiijerii b,yoo barreeffamu a<b kan ta’usarara lakkoofsaa irratti yoo a’n gara bitaa b tti argamee dha. Kanaafuu sarara lakkoofsaatti fayyadamuun fakkeenyaaf, -3<2 ta’uu agarsiisuun nidandaa’ama.

Akkasumas, 2,11,-7,0,5,-8,-13 tartiibaan yammuu agarsiifaman.

Karaa qoyyaba ida’uu (addition approach)
Intiijerri a irra xiqqaa intiijera b,yoo barreeffamu,a<b, yoo ta’ee ta’e lakkoofsi pozatiivii tokkojiraatee akka a+p=b taasisu jiraatee dha. Fakkeenyaaf,-5<-3 ti. Sabaabiin isaa lakkoofsi poozatiivii 2 kan-5+2 =-3 taasisu waan jiruufii dha. Gama biraatiin a<bkanta’u yoo a-b<0ta’ee dha. Kanaafuu,-5<-3 ti. Sababiin isaas -5-(-3)=-2<0 waan ta’eef.

Gocha 3.5.6
Mallattoo (<, >) lakkoofsota cimdoolee kennaman lamaan jidduu galchi. Maaliif akka ta’e ibsi.
5—————–7 d. 0—————- -3
-4—————- -3 e. 2—————– -2
-6—————– 2 f. -2 ——————5
Shaakala boqonnaa kanaa
Boqonnaa sadaffaa irratti hubannaa barattootaa mirkaneeffachuuf gaaffilee adda addaa barattoota gaafachuun baayeessa ta’a., Fakkeenyaaf,
Gaaffilee beekumsaa (knowledge)
Dhugaaa yookiin soba jechuun deebisi
Ida’amni lakkoofsota negaatiivii lama kamiyyuu lakkoofsa negaatiivii dha.
Caalmaan lakkoofsota intiijerii lamaa lakkoofsa Intiijerii dha.
Baay’ataan lakkoofsota Intiijerii negaatiivii fi intiijerii pozatiiivii lakkoofsa pozatiivii ti.
Lakkoofsa negaatiivii irraa lakkoofsa pozatiivii yoo hirífame caalmaan lakkoofsa pozatiivii ta’a.
Ida’amni lakkoofsa intiijerii fi masaanuu isaa zeeroo dha.

Gaaffilee ogummaa (skill)
Kanneen armaan gadii barattoonni tooftaalee adda addaatti fayyadamanii akka qoyyaban taasisi.
26 +(-17) b, 13-(-8) c, -13-28 d, 4x(-3) e, (-24) 8
Lakkoofsota 5,4,12,7,-8, -3, 9, -6 tartiibaan sarara lakkoofsaa irratti agarsiisi.
Abbaltii
Kaayyoon abbaltii kanaa ogummaa barsiisuu herregaa keessattuu matadureewwan boqonnaa kana jala jiranii dabalachuun caalatti akka of cimsitee barsiisaa gahumsa qabu taatuuf kan si gargaaruu dha. Kanaafuu,
Matadureewwan kanniin barsiisuuf malleen mijaawaa ta’an filachuu
Meeshaalee matadureewwan boqonnaa kana jala jiran barsiisuuf isin gargaaran filachuu/qopheessuu
Malleen iyyaafannaa filachuu
Uunka karoora barannoo boqonnaa 1ffaa irratti sii kenname irratti karoora barannoo qopheessuu
Daree keessatti haala karoora barannoo Kanaan barsiisuun duub-deebii hiriyyootaa fi barsiisaa irraa kennamu fudhachuu
Guduunfaa Boqonnaa kanaa
Boqonnaan sadaffaan kun xumuramee jira. Kanaafuu qabxiilee ijoo barattoonni qabachuu qaban adda baasuun yaadachiisuun yaad-rimee hubachiisuun si irraa eegama.Isaan ijoo ta’an keessaa muraasni:
Lakkoofsi Intiijerootaa lakkoofsota poozatiivii, neegaativii fi zeeroo of keessaa qabuu dha.
Intiijeroota wantoota naannootti argamanii halluu adda addaa qabanitti fayyadamuun ida’uu fi hir’isuu. Akkasumas, sarara lakkoofsaatti fayyadammuun qoyyabuun akka danda’amu irra deebiin hubachiisuu
Modeela adda addaatti fayyadamuun intiijeroota idaúu fi hir’isuu
Qooyyaba baay’isuu fi hiruu intiijerootaatiif paatarniitti fayyadamuu.
BOQONNAA 4
Himoota walqixaa fi Himoota walcaalmaaBarsiisuu
Seensa
Kaadhimamtootni mata duree kana beekuun baay’isee murteessa dha. Sababni isaa ibsamootni aljabraa burqaa himoota herregaa,Saaynsii naannoo,Ikonomiksii fi fildiiwwaan garaagaraa waan ta’aniifi dha. Tokkoon tokkoon mata dureewwan kana jala jiran yoo ilaalle, tarmi tokkee fi tarmi lamee sirritti beekuun himootni walqixaa fi himootni wal caalmaa bifa salphateen akka ta’an gargaara. Jarreen kun sirritti qulqullinaan yoo beekkaman yeroo foormulaawwan herregaa adda addaa mirkaneessinu dogongorri akka hin uumamne ni fayyadu.Himoota wal caalmaa furuunis fayidaa garaa garaa kan qabu yoo ta’u kan akka himoota lama wal bira dorgomsiisanii murtee dabarsuu fa’af tajaajila guddaa gumaacha. Kanaafuu, kaadhimamtoonni barsiisotaa bu’aa kana hubachuun barattoota karaa isaaniif galuu danda’uun barsiisaan irratti xiyyeefatee barsiisuutu irraa eegama.
Kaayyoo
Xumura barnoota boqonnaa kanaatti k/barsiisotaa:
Garaagarummaa himoota walqixaa fi himoota walcaalmaa adda ni baafatu
Malleen himoota walqixaa ittifuran ni goonfatu
Malleen adda addaatti fayyadamuun himoota walcaalmaa ni furu
Maalummaa himoota walqixaa fi himoota walcaalmaa akkaataa itti barsiisan beekumsa ni goonfatu
Karoora barannoo qopheeffachuun hiriyyoota isaanii ni barsiisu.
Malleen Baruu-barsiisuu
Barsiisaan mataduree kana barsiisuu malleen baruu-barsiisuu adda addaatti fayyadamuun irraa eegama.Malleen biroo akkuma jiranitti ta’ee kanneen armaan gadiitti fayyadamuu dha.
Mala Indaaktivii fi Mala diddaaktivii
Od-ibsa boqataa
mala gaaffii fi deebii
Mala agarsiisaa
Mala marii
Mala projektii fi dhiyeessii fi kkf
Mala Jigsaaw
Mala Iyyaafannaa boqonnaa kanaa:
Malli iyyaafannaa milkaa’ína kaayyoolee boqonnaa kanaa mirkaneeffachuuf gargaaran caalatti kan irratti xiyyeeffate:
Daawwannaa hojii dhuunfaa fi marii garee
Daawwannaa waliin wal barsiisuu
Hirmaannaa gaaffii fi deebii
Dhiheessii daree fi yaalii gababoo fi kkf
Adeemsa gochaalee Kaadhimamtoota barsiisotaa fi barsiisaa yookiin haala mijeessaa
Boqonnaa kana irratti gochaalee kaadhimamtoota barsiisotaa:
Gochaaleen asiin gaditti tarreeffaman kaadhimamtoota barsiisotaatiin raawwatamu jedhameekan eegamanii dha
Leenjii daree keessaa haala gaariin hordofuu;
Hojii kennaman yeroo jedhametti xumuruu;
Daree keessatti gaaffii gaafachuu fi deebii kennuun hirmaannaa ho’aa taasisuu;
Marii garee keessatti yaada dhiheessuun hirmaannaa taasisuu,
yaada irratti waliigalame daree guutuuf dhiheessuu;
Barannoon dura matadureewwan boqonnaa kanaa irratti qophii gahaa godhuu
Iyyaafannaa dhuunfaa ofiin–ofii gaggeessuun yeroo yerootti dandeettii fi ogummaa ofii fooyyeefachuu
Xumura boqonnaa irratti karoora barannoo qopheeffachuun daree keessatti hiriyyoota daree barsiisuu;

Boqonnaa kana irratti gochaalee ijoo barsiisaan yookii haala mijeessaa irraa eegaman
Gochaaleen asiin gaditti tarreeffaman barsiisaan yookiin haala mijeessaan boqonnaa kana keessatti raawwatuu dha jedhamee eegama.
Qabiyyeewwan ijoo kutaalee boqonnaa Kanaan kaadhimamtoota barsiisotaaa walbarsiisuu
Tokkoo tokkoo kutaaleef ibsa gabaabaa fi ifa ta’ee kennuu
Abbaltii, gochaalee fi pirojektootaa kutaaleef ta’an hojii dhuunfaa fi hojii gareetiif qopheessuu
Marii garee barattootaaf haala mijeessuu
Gochaalee fi marii gareetiif duub-deebii kennuu
Xumura irratti barattooni waan hubatan akka calaqqeessan haala mijeessuun yaad-rimee boqonnichaa guduunfuu
4.1 Himoota walqixaa barsiisuu

Ibsa gocha armaan olii irraa ka’uun barattoota yaad-rimee himawalqixaa qabsiisuuf fakkeenyota adda addaa fudhachuun madaala hangaatti fayyadamuu.
Fakkeenyaaf a) x-2 =3 yoo ta’e gatii x barbaadi.
Furmaata
kan kennamee fi kan barbaadamu adda baafachuuf,
x-2 =3 kan kenname yoo ta’u kan gaafatame gatii x barbaaduu

Madaallii hangaa kun inni karaa bitaa fi karaa mirgaa wajjin walmadaala. Kana jechuun isaan gama lamaaniin jiran walqixa jechuu dha.Hima walqixaa kana furuu jechuun gatii x gara bitaa jiruu barbaaduu jechuu dha.Gara bitaa kan jiru irratti dhagaa baatirii lama osoo daballee madaalichi gara bitaatti jallata.kanaafuu, walmadaaluu isaanii eeguuf yookiin akka madaalichi walqixxaatuuf dhagaa lama gara mirgaattis dabaluun barbaachisaa ta’a.x=5furmaata hima walqixaa x-2=3ta’a. Kana irraa wanta barattoonni hubatan, gam-tokkoo madaallii irratti waan tokko dabaluun yookiin hir’isuun madaalichiakka walqixxaatuuf , gama biraattis hamma san ida’uu yookiin hir’isuu qabna.
Haaluma walfakkaatuun Madaalota hangaa kanniin armaan gadii ilaaluun himoota walqixaa liiniyeerii akkamitti furuun akka danda’amu barattoota qabsiisuun nidandaa’ama.
=25 furi.

Himoota walqixaa sararaawaa furuu barsiisuu

Hima walqixaa furuu jechuun maal jechuu dha?
Himoota walqixaa walgitaa yookiin walmadaaloo akkamitti argachuun dandaa’ama?

Hima walqixaa sararaawaa furuuf seerota daddabarsoo fayyadamnee hima kana gara hima isa kennameef walmadaalutti jijjiiruun ta’a.
Fakkeenyaaf, x+y =z yoo ta’e, gama lamaan irraayyuu lakkoofsa walfakkatu hir’isuun madaala hangaa irratti jijjiirrama hinfidu.

Walumaagalatti himoota walqixaa kenname furuuf seerota barbaachisoo ta’an fakkeenyaan ilaaluun barattoonni hubannaa akka argatan taasisuun barbaachisaa dha.Isaaniskanneen armaan gadii ta’u.

Himoonni walqixaa furmaata tokko, furmaata baay’ee, fi furmaata kan hinqabne ta’uu akkamitti adda baafanna?
BaayínniJijjiiramootaa adda adda yoo ta’an furmaata tokko qofa qaba.1

3x-4 = 2x+6
Tarmoonni jijjiiramoota qaban tokko yoo ta’an tarmoonni dhaabbataan walfakkaatu yoo ta’e furmaata heddu qaba
6x+4=4+6x
Tarmoonni jijjiiramoota qaban tokko ta’anii tarmoonni dhaabbatoon gargar yoo ta’an himichi walqixaa furmaata hinqabu (tuutni furmaataa tuuta duwwaa ta’a)
3x+5= 6+3x

4.2. Hima Walcaalmaa SararaawaaBarsiisuu

Duub-deebii
Himni walqixaa sararaawaan hima herregaa mallattoo “=” of keessaa qabu yammuu ta’u himni walcaalmaa sararaawaa hima herregaa mallattoolee walcaalmaa of keessaa qabuu dha. Fakkeenyaaf, 3x+4 =0 hima walqixaa yammuu ta’u, 3x+4< 5 hima walcaalmaa sararaawaa ti.Barattoonni fakkeenya mataa isaanii akka keennan jajjabeessuun hubannaa isaanii cimsuu.
Himoota walcaalmaa sararaawaa furuu barsiisuu

Duub-deebii
Himoota walcaalmaa sararaawaa furuu barattoota barsiisuuf haaluma himawalqixaa barsiisuuf madaala hangaatti fayyadamneen himoota walcaalmaa barsiisuufis madaala hangaatti fayyadamuun barsiisuun nidandaa’ama.
Hima walcaalmaa jijjiirramaa tokko qabu furuun hima walqixaa jijjiirramaa tokko qabu furuu waliin walfakkaata.Hima-walqixaa furuuf, seera himoota walcaalmaa walgitaa furmaata isa duraa waliin walfakkaatu qabuu uumuun jijjiirramaa gara tokkotti fiduun furuu ta’a.
Hima walcaalmaa furuu jechuun mandhee kenname keessatti miseensa himicha dhugaa taasisu barbaaduu jechuu dha.Miseensi hima kenname dhugaa taasisu furmaata hima walcaalmaa jedhama.
Furmaata jechuun lakkoofsa iddoo jijjiirramaa bu’uun himicha dhugoomsu dha.
Tuuta furmaataa jechuun tuuta miseensa himicha dhugaa taasisu qabatee jechuu dha. Tuunni furmaataa mandhee kenname irratti hundaa’a.
Fakkeenyaaf, 4x-6 <2 furi Furmaata: 4x-6 <2 4x-6 +6 < 2+6 4x +0 <8 4x < 8 x<8/2 x< 4, Tuutni furmaataa={ x: xε R fi x<4} Himoonni walcaalmaa lama kamiiyyuu kanneen tuuta furmaataa tokkicha qaban himoota walcaalmaa waliigitaa jedhamu. Himoota walcaalmaa walgitan argachuuf gama lamaanuu irratti lakkoofsota walfakkaatu ida’uu yookiin irraa hir’isuun ta.a. Fakkeenyaaf x –7> 2 fi x – 4 >5 walmadaalu.Mee atis Fakkeenyota biraa kenni.
Piroobleemii herregaa furuu ( Mathematical Problem solving)
Barattoonni himawalqixaa fi hima walcaalmaatti fayyadamuun piroobileemota furuun duratti maalummaa fi tarkaanfilee piroobileemota furuuf gargaaran dursanii hubachuun barbaachisaa waan ta’eef mee gocha armaan gadii kana haa ilaallu.

Barumsa herregaa keessatti jechi “Piroobileemii”jedhu baay’inaan kan itti fayyadamamnuu dha. Qo’annaa bal’aagama piroobileemii Kanaan raawwatame irratti qo’attoonni baay’een jecha piroobileemii jedhuuf hiika adda addaa kennuuf. Dhugaa dha, namoonni waa’ee piroobileemii herregaa yammuu kaasan waan walfakkaatu sammuu isaaniitti hindhufu, sababiin isaa kan nama tokkoof piroobileemii ta’e nama biraatiif piroobileemii ta’uu dhiisuu mala.(Borasi, 1986: Blum& Niss, 1991: Wilson ,Fernandez & Hadaway,1993).
Beektonni herregaa piroobileemota herregaa ibsuuf tarmoota yookiin jechoota heddutti fayyadaman. Isaan keessaa, yeroo hundaa kan raawwatamu (routine), yeroo hunda kan hinraawwatamne (non- routine: Tarkaanfi tokkoo (single-step) Tarkaanfilee baay’ee (multi-step) , fi addunya dhugaa: kitaaba barataa fi kitaaba barataa kan hinta’in ( real world: text book, non-text book.) Akkasumas, akkaataa Kantowski (1997) iseen “namni tokko piroobileemiin kan qunnamu gaaffiin heddu itti dhufee deebii yoo dhabuu yookiin beekumsa dura qabuun karaa deebii itti argatu yoo dhabuu ti. Kanaafuu dirqama tooftaalee jiran kamittuu fayyadamee deebii piroobileemii kana ittiin furatu argachuuf gadifageenyaan yaaduu qaba.(p,163)
Barreessitoonni garaagarummaa gilgaalaa fi piroobileemii adda baasanii jiru. Piroobileemii yammuu jedhamu algoorizimiin gara deebiitti nama geessu hinjiru yoo ta’ee dha.( In the case of a problem, an algorithm which will lead to a solution is unavailable.) Gilgaala (exercise) yoo ta’e algoorizimii herregaatti fayyadamuun gilgaaicha hojjechuu dha.
Mervis(1978) Piroobileemii yammuu hiiku “gaaffii yookiin haala raawwachuuf rakkisaa ta’anii fi hamma ammatti hinfuraminii dha”(p.27).
Hayyoonni heddu piroobileemiif hiika heddu kennanii jiru. Mee isaan kun maal jedhan laata?Laster (1980), akka jedhetti, “piroobileemiin haala namni dhuunfaa yookiin gareen raawwii tokko (Task) raawwachuuf algoorizimiin karaa furmaata ittiin argatan hinjirre yoo ta’ee dha.”Buchanan (1987) akka piroobileemota herregaa hiiketti, “ piroobileemota yeroo baay’ee hinraawwatamne (non-routine problems) adeemsa furuu keessatti algoorizimii qophaa’aa kan hinqabne dha” (p.402).
Mcleod (1988) piroobileemota herregaa yammuu ibsu “Gochaalee(tasks) kanniin furmaanni isaanii hinjirre yookiin kaayyoo yaadamee bira gahuun dadhabame kanaafis barattootaaf algoorizimiin ifa ta’e hinjiru ta’ee dha”(p. 135).
Akkaataa Blum and Niss(1991), ibsanitti “piroobileemiin haala gaaffilee banaa ofkeessaa qabaatanii beekaa tokko rakkisan( challenge some body intellectually)) karaa/adeemsa/mala yookiin algoorizimii ittiin gaaffiif deebii deebisuuf gargaaru hinqabu ta’ee dha.”(p.37).
Kanaafuu piroobileemiin namootaa namootatti keessatti qooda fudhataniif gargar (bir-qaba) dha, kan nama tokkoof piroobileemii ta’e nama birootiif gilgaala ta’a.
4.3 Piroobileemii Herregaa Furuu
Akkaataa piroobileemii barumsa herregaa furuu Chapman (1997) yammuu ibsu, namoota adda addaatiif waan adda addaa ti.Polya(1981) akka mirkaneessetti, “piroobileemii furuu jechuun karaa piroobileemii keessaa nama baasu barbaaduu,naannoo rakkinichaa naanna’uun piroobileemii yeroof furmaata dhabe furuu”.
Piroobileemii herregaa furuun dandeettii herregaa haalota adda addaatiif hojiirra oolchuu. (The ability to apply mathematics to a variety of situations can be said to be problem solving.) Eenyus maal haa jedhuu, herrega keessatti piroobileemii furuun, furtuu ijoon akkamitti furmaata rakkoo isaan qunnamee sanii argachuuf akkataa ogummaa herregaa, yaad-rimee fi adeemsatti fayyadamuu ti.
Muuxannoowwan piroobileemota herregaa furuu piroobileemota adda addaa tooftaa tokkoon furuu fi piroobileemii tokko tooftaa adda addaatiin furuuf nama dandeessisa.Piroobileemii furuun gilgaalota adda addaa irra deddeebiin fi piroobileemota walfakkaatan tooftaa tokko qofaan hojjechuu of keessatti hinhammatu.
Piroobileemii furuu maliif barsiifna?(Why weTeach Problem Solving)
Barattoota waa’eePiroobileemiifuruu barsiisuun kan barbaachiseef sababoota heddu qaba.Isaan keessaa muraasa isaanii caqasuuf:
Addunyaan ammaa namoota piroobileemii haala gaariin furan (good problem solver) barbaaddi
Piroobileemii hiikuun/furuun ogummaa murteessaa barattoota har’aatiin barbaadamuu dha.
Qo’annaan dhihoo piroobileemii furuu irratti akka agarsiisutti, piroobileemii furuun gaaffii iddoo hojii haaraa, jijjiirrama sadarkaa ogummaa(changing professional standards) fi jijjiirramni tiyoorii barumsaa beektonnii fi leenjistoonni sirna barnootaa keessa deebi’uun ilaaluuf dirqamanii dha.
Akkaataa, National Council of Teachers of Mathematics ((NCTM, 1989, p.23)”ibsetti piroobileemii furuun xiyyeeffanaa ijoo sirna barnoota herregaa ta’uu qaba. “problem solving should be the central focus of the mathematics curriculum”
Barattoonni yeroo baay’ee haqa(facts) fi adeemsa yaadachuutiin haala (context) fi hojiitti hiikuu waliin walqunnamtii xiqqaa qabuu dha. (Learners often learn facts and rote procedures with few ties to the context and application in a learning environment for basic skills as well as their application in various contexts.)
Teachers of Mathematics (NCTM) states:” problem solving should be the central focus of the mathematics curriculum. Assuch, it is a primary goal of all.

Piroobileemii Herregaa furuuf tooftaalee waliigalaa (General strategies for problem solving)
Istiraateejiwwanyookiin tooftaaleen kunniinPiroobileemota adda addaa furuuf barbaachisoo kanta’anii dha. Isaanis tarkaanfilee waliigalaa piroobileemicha ifa taasisuu fi salphisuuf yookiin to’achuuf gargaaru.
George Polya(1971) kan mirkaneesse adeemsa tarkaanfilee afurii ti (a 4- phased process):
Hubachuu/Ilaali (See)
Gaafichi waa’ee maal si gaafate?, Maaltu kenname? Maal barbaaduuf deemta? Piroobileemii kana irra deebi’uun ibsuu dandeessaa?
Karoora (Plan)
Maal beekta? Piroobileemii kana furuuf maal raawwachuu qabda? Odeefannoo dabalataa si barbaachisaa? Gaaffii dhokataan jiraa?Istiraateejiiwwan akkamiitu piroobileemicha furuuf si gargaaru?
Hojjechuu (Do)
Karooricha hojiirra oolchuu. Ogummoota herregaa, yaad-rimee fi istiraateejichatti fayyadamuu(Carry out the plan. Apply mathematical skills, concepts and strategies)
Mirkaneessuu (Check)
Deebii argatte gaaffii duraa waliin wal biratti madaali. Hiika sii kennee? Istiraateejiwwan birootti osoo fayyadamtee deebii walfakkaatu argattaa laata?

Tarkaanfilee Piroobileemii Furuu

Haaluma walfakaatuun istiraateejiiwwan gooree (specific strategies) ta’an kan piroobileemii herregaa furuuf gargaaran:
Kallattiin hojjechu (act on)
Diyaagiraamitti fayyadamuu/ modeela kaasuu(Use a diagram/draw models
Tarreessuu (Make a systematic list)
Paatarniitti fayyadamuu(Look for pattern(s) and use a pattern)
Tilmaamuu (Guess and check/ Trial and Error)
Duubatti hojjechuu (Work back wards) fi kkf
Fakkeenya.
Caaltuun manaa kaatee gara mana baruumsaatti yoo deemtu fageenya karaa sadi shanaffaa isaa taaksiitti fayyadamte karaa hafe 1km miilaan deemti. Fageenyi karaa mana Caaltuu fi mana barumsaa jidduu jiru km meeqa ta’a?
Furmaata
Tarkaanfii Tokkoffaa
Maaltu kenname:- fageenyi karaa lama shanaffaa =1km
Kan gaafatame:-Fageenya karaa mana barumsaa fi mana jireenyaaCaaltuu jiddu jiru

Karoora

Istiraateejiiwwan barbaachisoo
Aljebraatti fayyadamuu, modeelatti fayyadamuu
Hojjechuu
Aljebraatti fayyadamuu
Mee fageenyi karaa manaa hamma mana barumsaa x haa jennu.
3/5 x +1km =x
1km= x- x
1km= x
X= km=2.5km
Mirkaneessi
3/5 x +1km =x
3/5 ( km) +1km = km
3/2 km + km = km
Kanaafuu fageenyi karaa mana jireenyaa Caaltuu fi mana barumsaa jidduu jiru 2.5km dha.
Modeelatti fayyadamuu
Mee fageenyi karaamodeela kanaan kan agarsiifamee haa ta’u.
0.5km 0.5km 0.5km
1km
Lama shanaffaan karaa 1km waan ta’eef,tokko shanaffaan karaa/tokkoo tokkoo qoqqoodamaa 0.5km dha.
Kanaafuu, gabaabumatti fageenya karaa waliigalaa 5×0.5km =2.5km
Daree tokko keessa barattoota 10 tu jiru.Tokkoon tokkoo isaanii al tokko tokko yoo harka walfuudhanwalumaagalatti harka walfuudhiitii meeqatu gaggeeffame?

Furmaata
Furmaata1. Mee namoota kurnan tuqaalee kurnaan armaan gadiitiin bakka haa buusnu.

˚F ˚G˚H
˚ E˚I
˚D˚J


˚A
Tuqaa A isaan hafan saglan waliin walqabsiisuun harka walfuudhitiin jalqabaa raawwatamuu agarsiisa. Haala Kanaan walqabsiisaa yoo deemne harka walfuudhitiin waliigalaa
9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 ta’a.
Furmaata 2.

A   B   C   D   E   F   G   H   I   J

A
B X
C X X
D X X X
E X X X X
F X X X X X
G X X X X X X
H X X X X X X X
I X X X X X X X X
J X X X X X X X X X

Kan hafan kan mul’isan harka walfuudhitiin irra deebii akka hintaaneef yammuu ta’u kanneen saarbii irratti argaman of harka fuudhuu waan hindandeenyeefii dha. Akka waliigalaatti 102 yammuu ta’an kan saarbii irratti argaman 10 irraa hir’ísuun lamaaf hiruun baay’ína harka walfuudhiitii argachuun ni dandaa’ama.(100-10)/2=45.
Furmaata 3
Mee gola keessa namoota 10tu jira haa jennu.Tokkoon tokkoo namaa namoota biroo 9 harka fuudha. Kana jechuun namoota kurnan jidduu harka walfuudhiitii 10×9=90tu jiraata. Haata’umalee kan arganne kana irra daddeebii hambisuuf lamaaf hiruu qabna. Kanaafuu, 90/2=45 ta’a.
Furmaata 4
Mee paatarnii armaan gaditti gabatee keessatti muláte kana ilaaluun yammuu namni dabalaa deemu baayínni harka walfuudhiitii akkam akka ta’u haa ilaallu.
Baay’ína namaa gola keessatti Baay’ína harka walfuudhiitii nama dabalataatiif Baay’ína harka walfuudhiitii gola keessatti
1 0 0
2 1 1
3 2 3
4 3 6
5 4 10
6 5 15
7 6 21
8 7 28
9 8 36
10 9 45
Tarree sadaffaa (3rd column) baay’ína harka walfuudhitii kan agarsiisu paatarnii walfakkaatuun dabalaa deemuu isaa ti. Kunis walakkaa baay’ataa baay’ina namoota harka walfuudhanii fi baay’ína harka walfuudhiitii nama dabalataa ti.
Furmaata 5
Istraateejii daataa qindeessuutti fayyadamuun namni duraa namoota 10 yoo harka fuudhe, namni itti aanu namoota 9, namni itti aanu namoota 8 jechakan adeemu ta’a.

Daataa Qindaa’e
Baay’ina namootaa 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Baay’ína harka walfuudhitii 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Walumaagalatti, baayína harka walfuudhitii argachuuf tokko tokkoo isaanii walitti ida’uun ta’a.
Baay’ínni harka walfuudhitii namoota kudhanii 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45
Furmaata 6
Diyaagiraamii adda addaa fakkeessuun
Baay’ína namootaa Baay’ína harka walfuudhiitii diyaagiraamii
1 0 . A
2 1 A B

3 3 A

B C

4 6

5 10

Piroobileemichi amma piroobileemii Jióomeetirii kan deebiin isaa baay’ína saarbiiwwaan rog-baay’ee baay’ína rogaa “n” qabuu ta’ee jira,Kanaafuu, namoota kudhaniif rog-baay’ee roga kudha qabu qabaanna.Baay’ína saarbiiwwanii argachuuf foormulaa:-
d= , n>3
d= =35 yoo ta’u baay’ínni harka walfuudhiitii = 10+35=45
Hubachiisa. wanti fakkenya kana irraa hubannu gaaffii piroobileemii tokko barattoonni adda addaa karaalee adda addaatiin furuu akka dandaa’anii fi barattoonni hunduu piroobileemota furuuf foormula tokko qofa akka eeggachuu hinqabnee dha.
4.4 Sirna Ko’oordineetii Kaartisiyaanii(Diriiroo)

Duub-deebii
Sirna ko’oordineetii diriirootti fayyadamuun piroobileemota herregaa fi piroobileemota qabatamoo (real world) ta’an furra. Sararoota lakkoofsaa lama kan waliif perpeendikulaarii ta’anii “ 0 ” irratti walgahan fayyadamuun sirna ko’oordineetii diriiroo uumuun ni danda’ama. Cimdooliin tartii kan agarsiisan lakkoofsi duraa hammam handhuura irraa gara siiqqee x tti deemamee yammuu agarsiisu lakkoofsi lammataa kallattii siiqqee Y tti hammam akka deemame agarsiisa.
Sararri tokko sarara dalgee yoo ta’u inni lammaffaan ammoo sarara olee ti.Sararri dalgee siiqqee – x yoo jedhamu sararri olee siiqqee – y jedhama.Siiqqeen x fi siiqqeen y tuqaa O (0, 0) irratti wal qaxxaamuru.
Tuqaan kamiiyyuu bakka mataa isaa qaba. Ko’oordineetiin tuqaa kennamee cimdii tartii lakkoofsotaatiin kan ibsamu yoo ta’u cimdii tartii kana keessatti inni duraa gatii x kan agarsiisu yoo ta’u inni lammaffaa ammoo gatii y agarsiisa.
Kanaafuu mata duree kana jalatti tarkaanfilee diriiroo ko’oordineetii irratti bakka tuqaaleen itti argaman agarsiisuu fi tuqaalee kanneen moggaasuuf gargaaran ilaalla.
Tuqaalee quboota gurguddoo fayyadamnee moggaafna.Mee P tuqaa diriiroo ko’oordineetii irratti argamu haa ta’u. Ko’oordineetota tuqaa kanaa murteessuuf (bakka tuqaan kun itti argamu beekuuf) adeemsa (tarkaanfii) armaan gadii hordofi.
Sarara tuqaa P keessa dabruun siiqqee – y’f waltarree ta’e (siiqqee-x’f perpendikulaarii ta’e) fakkeessi. Bakka sararri kun siiqqee – x itti kiphu a jedhi.
Sarara tuqaa P keessa dabruun siiqqee – x’f waltarree ta’e (siiqqee-y’f perpendikulaarii ta’e) fakkeessi. Bakka sararri kun siiqqee-y itti kiphu b jedhi.
Ko’oordineetonni tuqaa P cimdii tartii lakkoofsotaa (a, b) agarsiifama. Kunis P (a, b) ta’a.
Cimdii tartii kun kan agarsiisuu tuqaan P siiqqee – x irraa yuuniitii b irratti
kan argamu yoo ta’u siiqqee – y irraa ammoo yuuniitii a irratti kan argamu ta’uu isaa ti. Kanaafuu ko’oordineetonni tuqaa kamiiyuu ergaa mataa isaanii ni qabu.

Tuqaan P siiqqee – x irraa yuuniitii b fagaatee kan argamu yoo ta’u siiqqee – y irraa ammoo yuuniitii a irratti argama. Yaadni kun tuqaan P eessatti akka argamu kan nutti himuu dha. Tuqaalee biroollee haaluma kanaan ko’oordineetota isaanii irratti hundaa’uun ibsuu ni dandeenya.
Siiqqeewwan lamaan diriiroo ko’oordineetii bal’iinsota (iddoowwan) afuritti qoodu.Isaaniis hirtaawwan (qarxiiwwan) (quadrants) jedhamu. Siiqqee –x gama poozatiivii irraa jalqabuun gara marfataa bitaa (anticlockwise or counterclockwise) yammuu naannoofnu qarxiiwwan duraa duubaan itti dhufnu qarxii tokkoffaa, qarxii lammaffaa, qarxii sadaffaa fi qarxii arfaffaa dha.
Kanas gabaabsinee yammuu barreessinu qarxii – I, qarxii – II, qarxii – III fi qarxii – IVjenneetu.

Qarxiiwwan adda addaa keessatti ko’oordineetonni tuqaa kennamee mallattoo adda addaa qabu.Kanas haala armaan gadiitiin ibsina.
Qarxii –I keessatti x > 0 fi y >0
Qarxii –II keessatti x < 0 fi y > 0
Qarxii – III keessatti x < 0 fi y < 0 Qarxii – IV keessatti x > 0 fi y < 0
akamiifuu tuqaan (a, 0) siiqqee – x irratti kan argamu yoo ta’u (0, a) siiqqee – y irratti argama.
Gocha: 4.7
Diriiroo ko’oordineetii armaan gadii irraa, ko’oordineetii tuqaalee kennamanii barreessi

Cimdoolii tartii (2,2), (5,5), (5,3) , (3,1)  Koordineetii diriiroo irratti agarsiisii qarxii irratti argaman ibsi.
Tuqaan (-4,-6) qarxii kam keessa oola? Osoo koordineetii diriiroo irratti hin agarsiisin addaan baasii. 

Duub-deebii
A (1, 4), B (2, 1), C (4, 3), D (5, 2) dha. O (0, 0)

(-4,-6) qarxii III irratti argama

4.5 Piroporshinaalummaa Barsiisuu
Barattoota waa’ee piropporshinaalummaa osoo hinbarsiisin dura mee gaaffilee armaan gadii haa hojjetan.
Caalaan ofii isaatii fi obbooleettii isatiif shaayii danfise. Bishaan 30ml, sukkaara fal’aana 2 , baala shaayii fal’aana 1 fi aannan 50ml fayyadame.Amma Caalaan namoota shaniif kan ta’u shaayii danfisuu yoo barbaade bishaan, sukkaara, baala shaayii fi aannan hammam barbaada?

Barattoonni lama teessoo galma tokkoo sirreessuuf daqiiqaa 20 yoo itti fudhate, hojii walfakkaatu hojjechuuf barattoota shan daqiiqaa meeqa itti fudhata?

Jiruu guyyuu keessatti haalota akkasii heddutu nu qunnama.Fakkeenyaaf,
Wantoonni bitaman yoo baay’atan baasiinis waliin dabala
Baankii keessatti qarshii baay’een yoo kuufame dhallis akkasumatti dabala
Yammuu konkolaataan ariitiin deeme yeroon inni fudhatu ni hir’ísa
Hojii tokkoof , baay’ínni hojjettootaa yammuu dabalan yeroon hojii san xumuruuf barbaadamu ni hir’ata
4.5.1Piropporshinaalummaa kallattii

Duub-deebii
Fakkeenya jireenya guyyaa guyyaa waliin walqabatu fudhachuun jijjiirama jiru yookiin reeshoo isaanii akka wal biratti madaalan taasisuun piropporshinaalummaa kallattii barsiisuun ni dandaa’ama.
Fakkeenyaaf, Gatiin sukkaara 1kg qarshii 18 yoo ta’e gatiin sukkaara 3kg qarshii meeqa ta’a?
Haaluma walfakkaatuun, gatii sukkaara 5kg fi 8kg barbaaduun ni dandaa’ama.

As irraa akkuma hubachuun dandaa’amutti, ulfinni sukkaaraa yammuu dabalaa deemu gatiin sukkaaraalee dabalaa deema.y fi x’nhariiroo piropporshinaalummaa kallattii qabu kan jennu, lakkoofsi zeeroo irraa adda ta’e k, kan y = kx dhugaa taasisu yoo jiraate dha.
Kunis, x/y=k yookiin x=ky ta’a.
As keessatti k’n dhaabgiteessa piropporshinaalummaa jedhama.
4.5.2 Piropporshinaalummaa fuggisoo
Mee waa’ee piropporshinaalummaa fuggissoo hubachisuuf barattoota kee kan armaan gadii shaakalchiisi.
Waraqaa iskuweerii fudhuu iskuweerota 48 karaa adda addaatiin dalgee(raws) fi olee (column) gargar godhuun haala armaan gadii kanaan qopheessi.

As irraa maal hubatte?Yammuu dalgeen dabalaa adeemuu oleen maal ta’a?Hariiroon isaan qaban kun hariiroo maal jedhama?
Mee atis, fakkeenyota Kanaan walfakkaatan sadi barreessii ibsi.
Gocha kana irraa ka’uun yaada waliigalaa kana irra gahuun ni dandaa’ama. Hariiroon x fi y hariiroo piropporshinaalummaa fuggisoo ti kan jennu yoo lakkoofsi zeeroo irraa adda ta’e haa jennu k, kan xy= k ykn (y= ) dhugaa taasisu jiraatee dha. As keessatti k’n dhaabgiteessapiropporshinaalummaa jedhama.
Shaakala Boqonnichaa
Pirobleemota jechaa Himoota walqixaa Sararaawaa fayydamuun Furuu
Ida’amni dacha sadii a lakkoofsa tokkoo fi 24 walqixa 96yoo ta’e, lakkoofsa kana barbaadi.
Dachaa shan lakkoofsa ta’ee irraa yoo 4hir’ifne 29 arganna. Lakkoofsi kunmeeqa ta’a?
Gaaffilee piropporshinaalummaa armaan gadii deebisi
Pooliin Elektiriikaa 14m dheeratu tokko gaaddidduun isaa 10m Dheerata.Haaluma walfakkaatuun gaaddidduun muka 15m yoo ta’e dheerinni mukaa kanaa meetira meeqa ta’a?
Atileetonni 100 ta’an dorgommiidhaafhoteela galanii nyaanni guyyaa digdamaafta’u hayyamameef. Haata’u malee atileetonni 25 ta’an itti dabalaman yoo ta’e nyaanni hayyamameef kun guyyaa meeqaaf isaan gaha.?

Guduunfaa Boqonnichaa
Amma boqonnaan afur xumuramee jira.Kanaafuu, barattoonni kee qabxiilee ijoo adda baafachuu isaanii mirkaneeffachuun si irraa eegama. Kanaafuu qabxiilee ijoo armaan gadii:
Himoota walqixaa sararaawaa furuuf tarkaanfilee barbaachisoo ta’an
Himoota walcaalmaa sararaawaa furuuf seerota darbaadarboo
Ko’oordineetii irratti tuqaalee qarxii isaan irratti argamaniin ibsuu
Hariiroowwan Piropporshinaalummaa kallattii fi piropporshinaalummaa fuggissoo hubachuun piroobileemota Kanaan walqabatan furuu akka danda’an keessa deebi’uun yaadachiisuun baayeessa ta’a.

Abbaltii
Kaayyoon abbaltii kanaa beekumsa boqonnaa kana irratti qabdu fi ogummaa hoggansa daree fi ittifayyadama meeshaalee barnootaa kee akka gabbifattuuf kan si gargaaruu dha. Kanaafis,
Matadureewwan kanniin, himoota walqixaa, himoota walcaalmaa, ko’oordineetii fi piropporshinaalummaa keessaa tokko barsiisuuf kan si gargaaru filachuun
Meeshaalee barbaachisoo filachuu/qopheeffachuun
Malleen baruu-barsiisuu mijataa ta’an filachuun
karoora barannoo tokkoo qopheeffachuun
daree keessatti barsiisuun duub-deebii hiriyyootaa fi barsiisaa irraa fudhachuuf akka siif tolitti qophaa’ii barsiisi.
Kitaabilee Wabii
Alans Tussy,( 2010) Developemental Mathematics for college students,third edition, USA
Alans, Tussy, (2010), Basic Mathematics for college students, USA
Burns, M. (2000). About teaching mathematics: A K-8 resource (2nd ed.). Sausalito, CA: Math Solutions Publications.
California Mathematics course two
Catherine A. Kelly. Using Manipulative in mathematical problem solving: a performance-based analysis, TMME, vol3, no.2, p.184
FoongPui Yee. (2006). Problem solving in Mathematics, Teaching primary school mathematics –a resource book. Singapore: McGrawHill,Lee,P.Y.,(ed.)
Gary Anderson with nancy Arsenault (1998). Fundamentals of Educational research 2nd edition. Falmer press: Taylor & Francis group
Gary.L. Musser (2008), Mathematics for elementary teachers,eighth edition a contemporary approach
George Polya (1973). How To solve It: A new aspect of mathematical method: second edition: Princeton University press, Stanford University: Princeton, New Jersey
Julie Miller,Basic College Mathematics, second edition2009
Kai Kow Joseph YEO(ph.D). (2004). Secondary2 students’difficulties in solving Non-routineproblems, National Institute of education,Nanyang Technological University
Karnasih and Soeparno, (1999). Teaching mathematics has to focus on logic. Indonesia: Kompas may17th 2000
Kaur,B. (1995). An investigation of children’s knowledge and strategies in mathematical problem solving. Unpublished Doctoral dissertation , Monash university, Australia.
Kenneth H. Rosen, Discret Mathematics and its application,six edition,
Kitaba barataa kutaa 6ffaa
Lee Peng Yee, FoongPui Yee (2009).Mathematics Education the Singapore Journey (Series on Mathematics Education Vol.2): World scientific: Nanyang Technological University, Singapore
Lee Peng Yee, Lee Ngan Hoe (2009).Teaching primary school mathematics: Singapore Mathematics Education Series: A resource book, (2nd edition updated) :McGraw-Hill, Singapore
Lee Peng Yee, Lee Ngan Hoe (2009).Teaching Secondary school mathematics: Singapore Mathematics Education Series: Aresource book,( 2nd edition updated): McGraw-Hill, Singapore
Marilyn Burns (2007). About teaching mathematics A k-8 resource, third edition,
Melony A.brown (2010). Solving word problems for life, grade 6-8.
Ministry of Education, (2001). Lower secondary mathematics syllabus. Singapore: Curriculum Planning and development Division
National Council of Teachers of Mathematics.(20000. Principles and standards for school mathematics. Reston, Virginia: NCTM
Nunokawa, K. (2005). Mathematical problem solving and learning mathematics: what we expect students to obtain. In Journal of MathematicsBehaviour 24(2005)325-340
OECD (2010).PISA2009 at a Glance, OECD Publishing. http://dx.doi.org/10.1787/9789264095298-en
OECD 2010 PISA 2009 Results: What Students Know and Can Do – Volume I
Peter west wood (2008).What teachers need to know about teaching methods: ACER Press, Australia
Polya,G. (1971).How to solve it.2nd Ed. Princeton, N.J : Princeton University Press
Reys, R. E., Lindquist, M. M., Lambdin, D. V., Smith, N. L., & Suydam, M. N. (2001). Helping children learn mathematics. New York: Wiley.
Robert Delisie(1997) . How to use problem-based learning in the class room: Association for supervision and curriculum development: Alexandria, Virginia USA.
Schoenfeld, A.H. (1985).Mathematical problem solving. Academic Press INC.: University of California, Berkeley, California.
Sofier, A. (2009):-Mathematics as problem solving 2nd edition.Spring: University of Colorado at Colorado Spring
Stacey, K. (2005). The place of problem solving in contemporary mathematics Curriculumdocuments. In Journal of Mathematics Behaviour, 24 (2005) 341-350.
Stacey, K. and Groves, S. (1985). Strategies for Problem Solving, Melbourne, Victoria: VICTRACC.

Share this

Leave a Comment

Your email address will not be published.