Introduction to Calculus – Maths 362

Baafata
Qabiyyee Fuula
Seensa Moojulii 1
BOQONNAA 1 2
Limiitii fi Itti Fufiinsaa 2
1.1 Limiitii 3
1.1.1 Hiikoo Limiitii 3
1.1.2 Tiiramoota Limiitii 6
1.1.3 Limiitii Infinitii Irratti 9
1.1.4 Limiitii Infinitii 11
1.1.5 Haqaaqotaa (asymptotes) 13
1.2 Itti Fufiinsa (Continuity of functions) 15
1.2.1 Itti Fufiinsa Faankishinaa 15
1.2.2 Itti Fufiinsa Gam-tokkee 17
1.2.3 Limiitoota Barbaachisoo Ta’an Lamaan 19
BOQONNAA 2 27
DARIVEETIIVII 27
2.1. Hiikoo Dariveetiivii 28
2.2. Hiika Ji’oomeetrikaawaa Dariveetiivii Faankishinii 30
2.3. Itti Fufiinsaa fi Dariveetawummaa 35
2.4. Dariveetiivii Fankishinoota Tokko Tokkoo 36
2.5. Dariveetivii Fankishinoota Makoo 39
2.6. Seera Walseenoo (The Chain Rule) 43
2.7 Dariveetivoota Olaanoo (Higher Derivatives) 44
BOQONNAA 3 48
FAYYADA DARIVEETIIVII 48
3.1. Gatiilee Fiixee Faankishinoota Itti Fufoo 49
3.2. Tiiramii Roolee fi Tiiramii Gat-qixxoomaa 54
3.3. Faankishinoota Monotoniikii 57
3.4. Yaaliiwwan Dariveetiive Tokkooffaa fi Lammaffaa 59
3.5. Gat-guddaa fi Gat-xiqqaa Faankishinootaa 64
3.6. Jijjiirraa Reetii 66
BOQONNAA 4 79
INTEGIRAALII 79
4.1 Antiidariveetiivii fi Integiraalii Hin Murtoofne 80
4.2 Qoqqoodama, Ida’ama jalaa fi Ida’ama irra 83
(partition, lower sum and upper sum) 83
4.2.1 Qoqqoodama (partition) 83
4.2.2 Ida’ama Jalaa (lower sum) 85
4.2.3 Ida’ama irra ( upper sum). 87
4.3. Integiraalii Murtaa’aa (Definite Integral) 89
4.3.1 Hiikoo Integiraalii Murtaa’aa 90
4.3.2 Amaloota integiraalii Murtaa’aa 92
4.4. Tooftaalee Integireeshinii 94
4.4.1. Mala Bakka buusuun Integireessuu 94
4.4.2. Mala Gar-tokkeessuun Integireessuu 96
(Integration by parts) 96
4.4.3. Mala Inteegireeshinii Firaakshinii Gar-tokkeessuun 98
4.5 Tiiramii Bu’uuraa Kaalkulasii 100
4.6 Jijjiirraa Jijjiramootaa (change of variables) 103
BOQONNAA 5 108
FAYYADA INTEGIREESHINII 108
5.1 Bal’ina (Area) 109
5.2 Qabee (Volume) 117
5.3 Dalaga (work) 120
Kitaabilee Wabii 125

Seensa Moojulii
Moojuliinkunkoorsii Math102 Herregabu’uuraa II ttifufuuta’eekoorsii “seensakaalkulasii” kanqabatedha. Koorsiin kun boqonnaalee gurguddoo ta’an shaniitti qoodamee kan dhiyaate dha. Lakkoofsi koorsii kanaa Math 262 yoo ta’u wayitiin isaas torbanitti sa’aatii 3dha.

Boqonnaan duraa waa’ee limiitii fi ittifufiinsaa, boqonnaa lammaffaan waa’ee dariveetiivii, boqonnaa sadaffaan fayyadadariveetiivii, boqonnaa afraffaan waa’eeintegiraalii fi boqonnaa shanaffaan fayyada integiraalii kan ilaallatandha.

Boqonnaalee hunda keessattii barbarbaachisaa ta’ee fi fakkeenyoota gahaa ta’an keennamaniiru.Akkasumas, hubannoo leenjifamtootaa caalaatti cimsuuf akka toluuf gochaalee fi gilgaalota adda addaa boqonnaalee hunda keessatti kennamaniiru waan ta’eef leenjifamtootni fakkeenyota kennaman sirritti gadifageenyaan erga hubattanii booda gochaalee fi gilgaalota hojjechuutu isaan irraa eegama.

BOQONNAA 1
Limiitii fi Itti Fufiinsaa
Seensa
Yaadni limiitii barumsa herregaa keessatti yaada baay’ee barbaachisaa ta’e dha. Fakkeenyaaf foormullaan shallaggii bal’ina geengoo A= r2 jedhu dura kennamaa ture yaad-rimee lmiitii fayyadamuun kan argamu dha. Limiitiin damee herregaa kalkulasii keessatti akka yaada bu’uuraatti kan fayyadu dha.
Boqonnaa kana keessatti maalummaa limiitii kara yaada salphaa (intuitive) ta’een dhiyeessuu ilaalla. Dhuma irratti yaada limiitii irratti hundaa’uun maalummaa itti fufiinsa faankishinootaa ilaalla.

Kaayyoo
Xumuura boqonnaa kanaatti leenjifamtootni:-
 Hiikoo limiitii ni kennu.
 Limiitiin faankishina kennamee jiraachuu fi dhiisuu addaan nibaafatu.
 Limiitoota faankishinootaa nibarbaadu.
 Tiiramoota bu’uuraa limiitii nihubatu.
 Tiiramoota bu’uuraa limiiitiitti fayyadamuun limiitota adda addaa nishallagu
 Hiikoolee limiitii infinitii fi limiitii infinitii irratti ni kennu.
 Haqaaqota faankishinoota raashinaalii limiitii fayyadamuun nibarbaadu.
 Hiikoolee itti fufinsaa fi Itti fufiinsa gami tokkee ni kennu.
 Faankishinoota itti fufoo fi itti fufoo hin taanee addaan nibaafatu.
 Faankishinni kenname gama kami lakkoofsa a kennameen itti fufaa akka ta’ee fi hin taanee addaan ni baafatu.

1.1 Limiitii
1.1.1 Hiikoo Limiitii
Kutaa kana keessatti yaada-rimee Kaalkulasii keessatti baay’ee barbaachisaa ta’e waa’ee limiitii kan ilaallu ta’a. Maalummaa limiitii xiinxaluu keessatti fakkeenyota adda addaa fudhannee kan ilaallu ta’a. Koorsii Herregaa Math 102 keessatti adeemsaalee ijaarsa giraafii faankishinoota raashinaalii ilaaluun keessan ni yaadatama.
Giraafiin faankishinoota raashinaalii amaloota akkamii qabuu? Mee irra deebi’uun xiinxali. Mee gara maalummaa limiitiitti deemuun dura gocha armaan gadii haa hojjennu.

Fakkeenya 1.1
Mee faankishina f(x)= haa fudhannu. Gamaagamanaan x gara 2 itti siqaa yoo deemu f(x) garamitti akka siqaa deemu adda baasi.
Furmaata
f(x)= = =x+1, x 2 ta’a.
Mee gabatee armaan gadii haa xiinxallu.
x 1.9 1.99 1.999 1.9999 2 2.0001 2.001 2.01 2.1
y=f(x) 2.9 2.99 2.999 2.9999
3.0001 3.001 3.01 3.1

Gabatee kana irraa akka hubatamuutti x=2 irratti f(x) hiika dhabeessa haa ta’u malee gama mirgaatti x gara 2 siqaa yoo deemu f(x) gara 3 itti siqaa deema. Akkasumas, gama bitaatiin x gara 2 siqaa yoo deemu f(x) gara 3 itti siqaa deema. Haalota armaan olii kana mallattooleen yoo ibsinu kan armaan gadii ta’a. Isaaniis:
i) Yaada gama mirgaatti x gara 2 siqaa yoo deemu f(x) gara 3 itti siqaa
deema jedhu =3 tiin mallatteessina. =3 yoo dubbifamu
limiitiin f(x) akka x gama mirgaatiin gara 2 siqaa deemu wal qixa 3 ta’a
jenna.
ii) Yaada gama bitaatiin x gara 2 siqaa yoo deemu f(x) gara 3 itti siqaa
deema jedhu =3 tiin mallatteessina. =3 yoo dubbifamu
limiitiin f(x) akka x gama bitaatiin gara 2 siqaa deemu wal qixa 3 ta’a
jenna.

Hiikoo 1.1
i. Lakkoofsota waliigalaa a fi L tiif limiitiin harka mirgaa f(x) akka x gara a itti
siqaa deemuun wal qixa L ti kan jedhamuu fi =L tiin mallattaa’ee
barreeffamu gatiiwwan x gama mirgaatiin gara a itti siqaan
(kanneen a tiin wal qixa ta’uu hin malle) hundaaf duraa duubaan gatiin f(x)
gara L itti siqaa deema yoo ta’ee-ta’e qofa dha.
ii. Lakkoofsota waliigalaa a fi M tiif limiitiin harka bitaa f(x) akka x gara a itti
siqaa deemuun wal qixa M ti kan jedhamuu fi =M tiin mallattaa’ee
barreeffamu gatiiwwan x gama bitaatiin gara a itti siqaan
(kanneen a tiin wal qixa ta’uu hin malle) hundaaf duraa duubaan gatiin f(x) gara L itti siqaa deema yoo ta’ee-ta’e qofa dha.
Hub: i. =L yoo ta’e limiitiin harka mirgaa f(x) akka x gara tuqaa a itti
siqaa deemuun ni jira jenna.
ii. =M yoo ta’e limiitiin harka bitaa f(x) akka x gara tuqaa a itti
siqaa deemuun ni jira jenna.

Hiikoo 1.2
Mee a lakkoofsa waliigalaa fi mandheen faankshina f intervaalii hammatu garuu a’n dirqama miseensa mandhee hintaane haa jennu. Limiitiin faankishina f akka x gara a itti siqaa deemuun (kan a tiin wal qixa ta’uu hin malleef) jiraatee wal qixa lakkoofsa waliigalaa L ti kan jennu limiitiin harka bitaa fi limiitiin harka mirgaa jiraatanii wal qixa yoo ta’anii dha. Kana jechuun,
= L =
Kana yoo ta’e limiitiin f(x) akka x gara a itti siqaa deemuun wal qixa L ti jenna. Mallattooniis, = L tiin barreessuun ibsina.
Hub: yoo a’n miseensa mandhee f ta’e barbaaduuf kallattiidhaan
bakka x lakkoofsa a buusuun hojjachuu dandeenya.

1.1.2 Tiiramoota Limiitii
Koorsii Herrega Bu’uuraa II (Maths 102) keessatti maalummaa faankishinoota wal makoo barachuun keessan ni yaadatama. Kutaa kana keessaatti limiitoota faankishinoota wal makoo tiramoota bu’uuraa limiitii fayyadamuun akkamiin akka barbaaduu dandeenyu kan ilaallu ta’a. Malli limiitoota barbaaduuf fayyadamnu hiikoo limiitii kutaa tokkooffaa keessatti ilaalleen kan wal qabatu dha.

Tiyooramii 1.2.1 Mee aR fi f fi g faankishinoota ti haa jennu.
Yoo fi ta’an;
i. k = kL ta’a. (Seera Lakkoofsa dhaabbataan baay’suu)
ii. ta’a. (seera ida’amaa)
iii. ta’a. (seera baay’ataa)
iv, M0 yoo ta’e = = ta’a. (seera qoodamaa)
HUB:- Yaada tiyooramii 1.2.1. faankishinoota baay’inni isaanii murtaa’aa
ta’aniif itti fayyadamuu ni dandeenya.

Hub: Tiiramiin 1.2.1 fi jiru yoo ta’an limiitootni ida’amaa, baay’ataa fi ga’ee fankishiinota lamaanii jiraachuu isaanii kan nutti agarsiisu dha.

Tiiramii 1.2.2 (Tiiramii Bakka Bu’iinsaa)
Mee = c fi x intervaalii banaa a qabate keessatti argamu hundaaf ( dirqama a osoo hin dabalatiin) f(x)c haa ta’an. Dabalataanis, ni jira yoo ta’e =L ta’a.
HUB: Akkuma maqaa tiiramichaa irraa hubamuutti g[f(x)] argachuuf
y=f(x) bakka buusna. Akka f(x)=c irraa hubannuutti x gara a itti
siqaa yoo deemu y=f(x) gara c itti siqaa deema jechuu dha. Kanaafuu,
bakka bu’iinsa fayyadamuun
ta’a.

Fakkeenya 1.2.2 Mee h(x) = yoo ta’e barbaaadi
Furmaata
Mee h(x)= g(f(x))= haa jennuu. Amma, g(f(x))= irra f(x)=1-x2 ta’a.

Mee y bakka f(x)=1-x2 haa buufannu. Kana jechuun y=1-x2 ta’a jechuu dha.
Kanaafuu, y = (1-x2) = 1- 0 = 1 ta’a. kanaafuu, c = 1 ta’a jechuu dha.
g(f(x))= = = = 1 ta’a.
= 1
= 1ta’a.
Hub: Yoo = c fi =g(c) ta’an g(c) ta’a.

1.1.3 Limiitii Infinitii Irratti
Kutaalee darban keessaatti x gara lakkoofsa dhaabbataa tokkootti siqaa yoo deemu y=f(x) garamiitti akka siquu ilaaluun keenya ni yaadatama. Kutaa kana keessatti immoo amaloota faankishinoota yoo x gara infinitiitti (x ) daangaa malee guddachaa ykn xiqqaachaa deemu maal akka ta’u ilaalla.

Hiikoo 1.3: Mee LR haa ta’u. Limiitiin faankishina f akka x gara infiniitii (lakkoofsa guddaa poozatiiviitti yookiin lakkoofsa xiqqaa neegatiiviitti) siqaa deemu L dha kan jennuu fi f(x) = L tiin barreeffamee ibsamu x gara lakkoofsa poozatiivii garmalee guddaatti dabalaa akka deemun ykn lakkoofsa neegatiivii garmalee xiqqaatti akka deemuun wal duraa duubaan gatiin faankishina f(x) gara lakkoofsa L itti siqaa deema ta’ee yoo ta’e qofa dha.

1.1.4 Limiitii Infinitii
Kutaa darbe keessatti amaloota gatiilee faankishinootaa infinitii irratti ilaaluun keenya ni yaadatama. Kutaa kana keessatti immoo amaloota faankishinoota liimitootni isaanii infinitii ta’ee xiinxalla.

Fakeenya 1.4
Mee aR f’n fankishina haa ta’u. Limiitiin f lakkoofsa a irratti infinitii (+vii ykn _vii) ta’a kan jennu yoo akka gatiin x gara a tti siqaa deemu gatiin f baayyee dabalaa ykn xiqqaachaa kan deemu ta’e dha.
Mallattoon yoo ibsamu f(x) = ta’a.
Mee amaloota faankishinii f(x)= yammuu x gara 0 siqaa deemu maal akka ta’u haa ilaallu. Giraafiin faankishinii f(x) akka Danaa 1.1 irraa hubatamuutti gama bitaa fi gama mirgaatiin x=0 tiin caalaatti gara 0 siqaa yoo deemu gatiin faankishinii f(x) garmalee dabaluun ol guddachaa deema. Kana jechuun,
f(x) = =+ fi f(x) = =+ ta’u jechuu dha.
Y

f(x)=

X
Danaa 1.1

1.1.5 Haqaaqotaa (asymptotes)
Koorsii Herregaa Math 102 keessatti maalumma haqaaqaa xiinxaluun haqaaqota giraafii faankishinoota raashinaalii barbaaduun keessan niyaadatama. Kutaa kana keessatti immoo yaad-rime limiitii fayyadamuun giraafii faankishinoota Raashinaalii ijaaruuf kan nu gargaaran waa’ee haqaaqotaa kan ilaallu ta’a.

Hiikoo 1.5
i. Lakkoofsa waliigalaa a fi faankishina f tiif f(x) =  ykn f(x)= 
yoo ta’e sararri x=a haqaaqa olee (vertical asymptote)giraafii f ta’a.
ii. Lakkoofsa waliigalaa L fi faankishina f tiif f(x) = L yoo ta’e sararri
y=L haqaaqa dalgee (horizontal asymptote) giraafii f ta’a.
iii. Lakkoofsota waliigalaa a, b fi faankishina f tiif (f(x) –(ax+b)) = 0 yoo ta’e sararri y = ax+b haqaaqa shaffaaxaa (oblique asymptote) giraafii f ta’a.
Hub: ax+b ‘n ga’ee yeroo fankishina kenname hiruun argannu dha.
Fakkeenya 1.4

1. Mee faankishina f(x)= haa fudhannu.
   i. f(x)= =+ fi f(x)= =- ta’u.
   Kanaafuu, sararri x=0 haqaaqa olee giraafii f ti.
   ii. f(x)= =0 ta’a.
   Kanaafuu, sararri y=0 haqaaqa dalgee giraafii f ti.
2. Mee f(x)= haa fudhannu.
   i. f(x)= =- fi f(x)= =+ ta’u.
   Kanaafuu, sararri x=-1 haqaaqa olee giraafii f ti.
   ii. f(x)= =-2 ta’a.
   Kanaafuu, sararri y=-2 haqaaqa dalgee giraafii f ti.
3. Mee f(x)= haa fudhannu.
   i. f(x)= =+ fi f(x)= =-
   Kanaafuu, sararri x=4 haqaaqa olee giraafii f ti.
   ii. [f(x)-(ax +b)]= =( )=0 ta’a.
   Kanaafuu, sararri y=x+1 haqaaqa shaffaaxaa giraafii f ti.

1.2 Itti Fufiinsa (Continuity of functions)

Kutaalee darban keessatti yaada lmiitii faankishinaa fayyadamuun amaloota fankishinoota naannoo lakkoofsa dhaabbataa yookiin infiniitii irratti qaban ilaalleerra.Kutaa kana keessatti immoo yaada limiitii faankishinii fayyadamuun maalummaa itti fufiinsa faankishinii tuqaa kenname irrattii akkasumas itti fufiinsa gam-tokkee tuqaa kenname irrattii ilaalla.
1.2.1 Itti Fufiinsa Faankishinaa
Mee maalummaa itti fufiinsa faankishinotaa osoo hin ilaaliin dura gocha armaan gadii hojjedhu.

Kutaalee darban keessatti f(x)=L ta’ee f(a) hiika dhabeessa ta’uu akka danda’u ykn f(a) hiika qabaatee f(a)=L ta’uu akka danda’u ilaalleerra. Yoo f(x)=L ta’ee fi f(a) jiraatee f(a) = L ta’e faankishinni f tuqaa x=a irratti faankishina itti fufaa (f is continuous at x=a) jedhama.

Fakkeenya 2.5 Fankishiina f(x) = 2×2+1 yoo fudhanne;
f(x)= (2×2+1)=3= f(x)= (2×2+1) arganna.
Kana jechuun f(x) = (2×2+1)=3 ta’a jechuu dha. Gama biraatiin
f(1)= 2(1)2+1=3 ta’a. Kanaafuu faankishinni f tuqaa a=-1 irratti itti fufaa ta’a.
Hiikoo 1.5
Mee lakkoofsi a mandhee faankishina f keessatti argama haa jennu. f tuqaa x=a irratti itti fufaa kan jennu f(x) = f(a) ta’ee yoo ta’e ta’e dha.
Hub: Akka hiikoo armaaan oliitti f tuqaa x =a irratti itti fufaa ta’uu kan
danda’u yoo haalotni armaan gadii sadan guutamani dha.
i) f(x) tuqaa a irratti hiika qabeessa yoo ta’e,. ii) f(x) jiraate, fi
iii) f(x) = f(a) yoo ta’e dha.

Tiiramii 1.2.1
Faankishinootni f fi g tuqaa x= a irratti itti fufoo yoo ta’anii fi k lakkoofsa dhaabbataa kamiyyuu yoo ta’e, fankishinootni;
i) kf ii) f+g iii) f.g fi
iv) tuqaa x= a irratti ( g(a)  0 yoo ta’e) itti fufoo ta’u.

Mirkana
Mee faankishinootni f fi g tuqaa x= a irratti itti fufoo haa ta’anuu. Kana jechuun f(x)=f(a) fi g(x)=g(a) ta’u jechuu dha. Kanaafuu;
i) kf(x)= k f(x), (Seera Lakkoofsa dhaabbataan baay’suu limiitiin)
= kf(a) ta’a. (KMB dha)
Kanaafuu, faankishinni f tuqaa a irratti itti fufaa yoo ta’e kf tuqaa a irratti
itti fufaa dha.
ii) (f+g)(x)= f(x)+ g(x) (seera limiitii ida’amaa fankishinootaan)
= f(a)+ g(a) ta’a.(Itti fufiinsa f fi g irraa)
Kanaafuu, faankishinootni f fi g tuqaa a irratti itti fufoo yoo ta’an f+g tuqaa
a irratti itti fufaa ta’a.
(iii fi iv gilgaala haa ta’anuu) .
Tiiramii 1.6.2
Faankishinni f tuqaa x= a irratti itti fufaa yoo ta’ee fi faankishinni g tuqaa
x= f(a) irratti itti fufaa yoo ta’e gof tuqaa x= a irratti itti fufaa dha.
Mirkana
Mee faankishinni f tuqaa x= a irratti itti fufaa, faankishinni g tuqaa x= f(a) irratti itti fufaa, y=f(x) fi c=f(a) haa ta’an. Kana jechuun f(x)=f(a) fi g(y)=g(c) ta’u jechuu dha.
Tiiramii bakka bu’iinsaatiin g(f(x))= g(y)= g(c)=g(f(a)) ta’a.(KMB dha)
Kanaafuu, f tuqaa x= a irratti itti fufaa yoo ta’ee fi g tuqaa x= f(a) irratti itti fufaa yoo ta’e gof tuqaa x= a irratti itti fufaa ta’a jechuu dha.
1.2.2 Itti Fufiinsa Gam-tokkee
Kutaa kana keessatti yaada limiitii gam-tokkee irratti hundaa’uun yaada itti fufiinsa gam-tokkee faankishina kennamee tuqaa kennane irratti xiinxalla.

Hiikoo 1.6
Mee a’ n mandhee faankishina f keessatti argama haa jennu. Faankishinnii f tuqaa x= a irratti gama mirgaatiin itti fufaa kan jennu f(x)=f(a) yoo ta’e dha. Akkasumas, f tuqaa x= a irratti gama bitaatiin itti fufaa kan jennu f(x)=f(a) yoo ta’e dha.
Fakkeenya 2.6 Fankishiina f(x)= yoo fudhanne; f(x) gama kami x = 0 tiin itii fufaa ykn itti hin fufne addaan baasi.

Furmaata: Kennama irraa f(0)= 1 dha. Kanaafuu;

i) f(x) = 0 (maaliif?) = 0 (maaliif?)  f(0)=1. Kanaafuu, f gama bitaa x= 0 tiin itti fufaa miti. Akka sumas;

ii) f(x) = 1(maaliif?) = 1(maaliif?)= f(0) =1.
kanaafuu, f gama mirgaa x= 0 tiin itti fufaa dha.

1.2.3 Limiitoota Barbaachisoo Ta’an Lamaan
Kutaa kana keessatti limiitoota barbaachisoo jedhamuun beekaman lamaan kan ilaallu ta’a. Isaaniis: fi ta’u. Koorsii Math 102 keessatti waa’ee faankishinoota eksipooneenshaalii fi logaarizimii yammuu barattan waa’ee lakkoofsa e hundee fankishinoota ekispoonanshaalii fi logaarizimii uumama ta’uu ilaaluun keessan ni yaadatama. Limiitiin lammaffaan jechuun lakkoofsa e waliin kan wal qabatee dha. Isin mee limiitootni kun maal ta’u jettanii yaadduu?

Tiiramii 1.2.3. (Tiiramii iskuwiizingii)
Mee I intervaalii banaa a qabate (a dabalachuu dhiisuu kan malu) ta’ee x  I hundaaf f(x)  g(x)  h(x) ta’u haa jennu.
Yoo f(x) = h(x) = L ta’e g(x) kan jiraatu ta’ee innis g(x) =L ta’a.

Tiiramii iskuwiizingii fayyadamuun tiramoota limitoota barbaachisoo ta’an armaan gadii kan mirkaneessinu ta’a.
Tiiramii 1.2.4
a) =1 b) =0

Mirkana
a) Mee danaa armaan gadiitti kurmaana geengoo tokkee (unit circle) fayyadamuun
0<x< ta’e haa xiinxallu.
Y
B
C

 x                          X

O D A
Danaa 1.2

waan ta’eef sinx=  ta’a.
                                  tanx= =  ta’a.

Bal’inni rog sadee OAC = ½ ( ) ( ) = ½ (1)(sinx) = ½ sin x ta’a.
Bal’inni seektarii OAC = (Bal’ina geengo)
= (πr2) = π(1)2) = ta’a.
Bal’inni rog- Sadee OAB = ½ ( )( )
= ½ (1) (tanx)= = ta’a.
Hubannoo ji’oomeetrii diriiroo kana dura qabdanii fi danaa armaan olii irraa:
Bal’ina rog-sadee OAC  Bal’ina Seektanii OAC  Bal’ina rog-Sadee OAB ta’a.
Kanaafuu, 0<x< yoo ta’e   ta’a. Himoota wal caalmaa kana gargar baasuun yoo xiinxallu.
  jechuun  fi  jechuu dha.
  fi 
 1 fi cosx  ta’a.
Kana jechuun cosx   1 ta’a jechuu dha.
Faankishinoota tiriigonoomeetriikii guutuu fi mangoo ta’an kana dura barachaa turtan irraa:-
cosx = cos(-x) fi = = ta’u.
Kanaafuu, cosx   1, 0<|x|< ta’e x hundaaf gat- qabeessaa dha.
cosx = 1 fi 1 = 1, fi cosx   1 waan ta’aniif akka tiramii iskuwiizingiitti = 1 ta’a jechuu dha

Kanaafuu, (KMB dha)
b) = , (maaliif ?)
= = =
= , (maaliif?)
= 1. = 0
Kanaafuu, = 0 ta’a.

Limiitota barbaachisoo jedhaman keessaa beekamu inni lammaffaan immoo
= e ta’ee dha.
Lakkoofsi e = 2,7182182 – – – lakkoofsa al-raashinaalii (irrational) ta’ee logaanizimii uumamaatiif hundee akka ta’e ni yaadatta.
Mee gabatee armaan gadiitiin x guddachaa (xiqqaachaa) yoo deemu gatiin maal akka ta’u haa xiinxallu.
X
-105 -104 -103 -102 -10

2.718292    2.718415    2.719642    2.731999    2.867972

10
102 103 104 105
2.59347 2.70814
2.718925 2.718147 2.78226

Gabatee armaan olii kana irraa akka hubannuutti gatiin x dhayaatan guddachaa (xiqqaaachaa) yoo deemuu gara lakkoofsa e= 2.7182182 . . . itti siqaa deema.
Fankishiina f(x)= giraafiidhaan yoo xiinxallu kan armaan gadii ta’a.
Y

e


1
     X


                         x=-1

Danaa 1.3

Kanaafuu,
(KMB dha.)

Yaadota Guduunfaa

1. a) Lakkoofsota waliigalaa a fi L tiif limiitiin harka mirgaa f(x) akka x gara a
   itti siqaa deemuun wal qixa L ti kan jedhamuu fi =L tiin
   mallattaa’ee barreeffamu gatiiwwan x gama mirgaatiin gara
   a itti siqaan a tiin wal qixa ta’uu hin malle hundaaf duraa duubaan
   gatiin f(x) gara L itti siqaa deema yoo ta’ee-ta’e qofa dha.
   b) Lakkoofsota waliigalaa a fi M tiif limiitiin harka bitaa f(x) akka x gara a
   itti siqaa deemuun wal qixa M ti kan jedhamuu fi =M tiin
   mallattaa’ee barreeffamu gatiiwwan x gama bitaatiin gara a
   itti siqaan a tiin wal qixa ta’uu hin malle hundaaf duraa duubaan gatiin
   f(x) gara L itti siqaa deema yoo ta’ee-ta’e qofa dha.
2. Mee a lakkoofsa waliigalaa fi mandheen faankshina f lakkoofsota ca
   ta’aniif intervaalota banaa (c,a) fi (a,b) haammata haa jennu. Limiitiin
   faankishina f akka x gara a itti siqaa deemuun (kan a tiin wal qixa ta’uu
   hin malleef) jiraatee wal qixa lakkoofsa waliigalaa L ti kan jennu limiitotni
   harka bitaa fi harka mirgaa jiraatanii wal qixa yoo ta’anii dha.
   Kana jechuun,
   = L = yoo ta’e jechuu dha.
   Kana yoo ta’e limiitiin f(x) akka x gara a itti siqaa deemuun wai qixa L
   ti jenna. Mallattooniis, = L tiin barreessuun ibsina.
3. Mee f fi g faankishinoota fi aR ti haa jennu. Yoo
   fi ta’an;
   i) k = kL ta’a. (Seera Limiitii baay’atoo
   Lakkoofsa dhaabbataa)
   ii) ta’a.(Seera Limiitii Ida’amaa)
   iii) ta’a. (Seera Limiitii Baay’atoo )
   iv) = = (M0 yoo ta’e) ta’a. (Seera Limiitii Gahee)
4. Mee LR haa ta’u. Limiitiin faankishina f akka x gara infiniitti (lakkoofsa
   poozatiivii garmalee guddaatti yookiin lakkoofsa neegatiivii garmalee
   xiqqaatti) siqaa deemun L dha kan jennu fi f(x) = L
   tiin barreeffamee ibsamu x gara lakkoofsa poozatiivii garmalee guddaatti dabalaa deemu (lakkoofsa neegatiivii garmalee xiqqaatti xiqqaacha deemu) wal duraa duubaan gatiin faankishina f(x) gara lakkoofsa L itti siqa deema yoo ta’ee-ta’e dha.
5. i) Lakkoofsa waliigalaa a fi faankishina f tiif f(x) =  ykn f(x) 
   yoo ta’e sararri olee x=a haqaaqa olee giraafii f ti.
   ii) Lakkoofsa waliigalaa L fi faankishina f tiif f(x) = L yoo ta’e
   sararri dalgee y=L haqaaqa dalgee giraafii f ti.
   iii) Lakkoofsota waliigalaa a fi b fi faankishina f tiif (f(x) –(ax+b))=0 yoo ta’e sararri shaffaaxaa y = ax+b haqaaqa shaffaaxaa (oblique asymptote) giraafii f ti.
6. Mee lakkoofsi a mandhee faankishina f keessatti argama haa jennu. Fankishiinni f tuqaa x= a irratti itti fufaa kan jennu f(x) = f(a) yoo ta’ee-ta’e qofa dha.
7. Limiitotni barbaachisoo jedhamuun beekaman lamaan;
   a) = 1 fi b) = e, dha.

Gilgaalota Waliigalaa

1. Limiitoota armaan gadii barbaadi.
   a) b)
   c) d)
   e) f)
   g) xsin h)
   i) j)
2. Limiitootni armaan gadii jiraachuu fi dhiisuu isaanii addan baasi. Jiru yoo
   ta’e barbaadi.
   a) f(x)= , f(x) b)
3. Faankishinootni armaan gadii tuqaa kennaman irratti itti fufaa
   yookiin itti fufaa mit- ta’uu addaan baasii agarsiisi.
   a) f(x)= ; a=2 b) f(x)= ; a= -1
   c) f(x)= ; a=4 d) f(x)= ; a=-2
4. Fankishiinni f(x)= intervaalii (-1,1) irratti itti fufaa dha moo itti fufaa
   miti? Agarsiisi.
5. Gatiilee a fi b fankishiina

BOQONNAA 2
DARIVEETIIVII
Seensa
Boqonnaa tokkoffaa keessatti yaad-rime limiitii faankishinootaa qorachaa turuun keessan ni yaadatama. Boqonnaa kana keessatti yaad-rimee limiitii fayyadamuun kaalkulasii keessatti yaada bu’uura kan ta’e waa’ee dariveetiivii faankishinii ilaalla. Hiikoo dariveetiivii jalqaba irratti kan ilaallu yoo ta’u itti aansuun hiika ji’oomeetriikaawaa dariveetiivii erga ilaalleen booda amaloota dariveetiivotaa faankishinoota adda addaa dariveetiivota faankishinootaa barbaaduuf nu fayyadan tiyooramoota bu’uura kan ilaallu ta’a. Kanafuu, isin maalummaa dariiveetiivii sirritti hubachuuf akka toluuf hiikoolee kennaman irratti hundaa’uun fakkeenyotaa kennaman xiinxaluun gochaalee sirrittii hojjechuun siin irraa eegama.

Kaayyoo
Xumura Boqonnaa kana booda leenjifamtootni:

• Maalumma dariveetiivii faankishinaa ni ibsu.
• Hiika ji’oomeetrikaawaa dariveetiiviie ni hubatu.
• Tiyooramoota dariveetiivii fayyadamuun dariveetiivii ni mirkaneessu.
• Darivaatiivii faanksihinoota poolinoomiyaalii, faankishinoota tirigonoomeetrikii, eksiponeeshaalii fi logaarizimii ni barbaadu.
• Darivaativii faanksihinoota wal seenoo seera wal seenoo fayyadamuun ni barbaadu.
• Maalummaa dariveetiivii olaanoo ni ibsu

2.1. Hiikoo Dariveetiivii
Kutaa kana keessatti maalummaa darivaatiivii faankishinaa yaad-rime limiitii faankishinaa gargaaramuun kan addaan baafannu ta’a. Hiikoo dariveetiivii erga ilaallee booda fakkeenya fudhachuun kan ilaallu ta’a.

Hub: Mee gocha armaan olitti hojjettee fi hiikoo armaan gadii gidduu jiru
xiinxali. Firiin limitoota armaan olii dariveetiivoota faankishinootaa
tuqaalee kennamanii ti.
Hiikoo 2.1
Mee a lakkoofsa miseensa mandhee faankishinii f keessaa haa ta’u. ni jira yoo ta’e limiitiin kun dariveetiivii faanishina f lakkoofsa a irra kan jedhamu yoo ta’u ykn mallatteessuun barreessina. Kanaafuu, = ta’a.
Limiitiin kun yoo jiraate f lakkoofsa a irratti dariveetiivii qaba jenna ykn f lakkoofsa a irratti dariveetawa ykn jira jenna.
Jechootni f lakkoofsa a irratti dariveetiivii qaba ykn f lakkoofsa a irratti dariveetawa dha ykn jira jedhan tokko waan ta’aniif wal jijjiiruun itti fayyadamuun ni dandeenya. dariveetiivii f tuqaa a irratti jechuun kan dubbifamu yoo ta’u ykn bifa tiin mallatteessina.

Hub: Dariveetiiviin faankishinii kennamee faankishinii waan ta’eef
dariveetiivii akka faankishiniitti ibsuun ni danda’ama.
Hiikoo dariveetiivii faankishina tuqaa a irrattii,
f’(a)= keessatti mee x=a+h haa ta’u. x gara a siqaa yoo deemu h gara 0 siqaa deema. Kana jechuun:
f’(a) = = ta’a.
Dariveetiivii faankishina f lakkoofsa a irratti argannaan dariveetiivii f lakkoofsa x miseensa mandhee f kamiyyuu irratti barbaaduuf bakka buusuu qofti gahaa ta’a. Kanaafuu, bakka a yoo x buufanne:
f’(x) = ta’a.
Fakkeenya 2.1

1. f(x)=2×2+3x-4 2. f(x)=sinx fudhuutii f’(x) barbaadi.

Furmaata

1. Mee hiikoo dariveetiivii lammaffa fayyadamuun dariveetiivii f(x)= 2×2+3x-4
   haa barbaadnu.
   f’(x) = =
   =
   = 4x+3
   = 4x+3 ta’a.
   Kanaafuu, f’(x) =(2×2+3x-4)’ =4x+3 ta’a jechuu dha.
2. Dariveetiivii faankishinoota tirigonomeetriikii barbaaduuf hiikoo
   dariveetiivii lammaffaatti fayyadamuun caalatti filatamaaa dha.
   Kanaafuu, mee hiikoo dariveetiivii lammaffa fayyadamuun dariveetiivii
   f(x)= sinx haa barbaadnu.
   f’(x) = (sinx)’ = =
   =
   =
   = +
   = +cos x
   = +cos x(1)
   = (0)+cos x
   = 0+cos x= cos x ta’a.
   Kanaafuu, (sinx)΄= cosx ta’a jechuu dha.

2.2. Hiika Ji’oomeetrikaawaa Dariveetiivii Faankishinii
Kutaa darbe keessatti darivaatiiviin faankishinaa mataa isaa akka faankishina ta’ee fi keessattuu darivaatiivii faankishina tuqaa adda ta’e irratti ilaaluun keenya ni yaadatama. Barbaachisumman dariveetiivii kan isin ajaa’ibu ta’uu danda’a. Kanaafuu, kutaa kana keessatti hiika ji’oomeetrikaawa dariveetiivii kan ilaallu yoo ta’u fayyada dariveetiivii keessaa tokko kan ta’e waa’ee dhundhula sarara tanjeentii giraafii faankishinii kennamee tuqaa kenname irratti kan ilaallu ta’a.
Fakkeenyaaf faanksihina f(x)=x2 tiif .=2x waan ta’eef tuqaa a = 3 irratti
= 6 ta’a.
Hiikni ji’oomeetriikaawaa lakkoofsa . = 6 yookiin hariiroon lakkoofsi =6 giraafii f(x)= x2 waliin qabu kan si dinqisiisu ta’uu danda’a. Kanaafuu, kutaa kana keessatti hiika ji’oomeetrikaawaa lakkoofsi = 6 giraafii f tuqaa (3,9) irratti qabu ni ilaalla.

Dhundhula giraafii faankishina sararaawaa (linear function) dabala olee hiruu dabala dalgee ta’uun kan yaadattuu dha. Kana jechuun dhundhulli sarara taanjeentii giraafii faankishina f tuqaalee (a,f(a)) fi (x,f(x) keessa darbuu ta’a jechuu dha.
Mee giraafii faankishinii f(x) armaan gadiitti ibsame haa fudhannu.
Danaa 2.1 ilaali

                            Y                                                     ℓ3  
y3              Q3    ℓ2
                                                                                        ℓ1
                           y2                                          Q2
                            y1                                        Q1               ℓ
                     f     f(a) ¬¬¬                     P

X
                                                      a         x1  x2    x3


                      Danaa 2.1

Giraafii faankishinii f danaa 2.1 armaan oliitti ibsame yoo fudhannu sararri ℓ tuqaa P(a,f(a)) irratti giraafii f tuqu sarara tanjeentii giraafii f tuqaa (a,f(a)) irratti jedhama. Dhundhulli sarara ℓ maal ta’aa?

Mee tuqaalee x1, x2, fi x3 siiqqee X irratti haa fudhannu. Mee tuqaalee Q1, Q2 fi Q3 kanneen cimdiiwwan tartii (x1,y1), (x2,y2) fi (x3,y3) tiin ibsama haa ta’an. Mee ℓ1, ℓ2 fi ℓ3 sararoota seekantii tuqaalee P fi Q1, P fi Q2, P fi Q3 keessa darban haa ta’an.
Dhundhulli sarara ℓ1 = = ta’a.
Dhundhulli sarara ℓ2 = = ta’a.
Dhundhulli sarara ℓ3 = = ta’a.
Tuqaaleen Q1, Q2 fi Q3 tokkoo tokkoon isaanii gara tuqaa P itti siqaa deemu yoo ta’e sararootni seekantii ℓ1, ℓ2 fi ℓ3 gara sarara tanjeentii ℓ tuqaa P irratti itti siqaa deema. Kana jechuun tuqaaleen giraafii faankishinii f irraa gara tuqaa P itti siqaa deemu yoo ta’e sararootni seekantii tuqaalee kanneenii fi tuqaa P keessa darban gara sarara tanjeentiitti jijjiramaa deemu jechuu dha.

Mee sararri L sarara seekantii giraafii faankishinii f tuqaalee P(a,f(a)) fi Q(x,y) keessa darbu haa ta’u.
Dhundhulli sarara L = = ta’a.
Tuqaan Q gara tuqaa P itti siqaa yoo deemu sararri seekantii L gara sarara tanjeentii ℓ itti siqaa deema. Yaada armaan olii kana gara yaada limiitii yoo ibsamu limiitiin sarara seekantii L tuqaalee P fi Q keessa darbuu tuqaan Q gara tuqaa P itti siqaa yoo deemu sarara tanjeentii ℓ ta’a. Kana jechuun limiitiin dhundhula sarara L haaluma tuqaan x gara tuqaa a itti siqaa deemuun wal qixa dhundhula sarara tanjeentii ℓ tuqaa P(a,f(a)) irratti itti jijjiramaa deema.
Kanaafuu, dhandhulli sarara tanjeentii ℓ tuqaa (a,f(a)) irratti wal qixa
ta’a. Limiiitiin kun maal akka ta’e yaadattuu?
Kutaa darbe keessatti dariveetiiviin faankishinii f tuqaa a irratti:
= ta’uu ilaalleerra.
Kanaafuu, dhundhulli sarara tanjeentii ℓ tuqaa (a,f(a)) irratti wal qixa:
= ta’a.
Hiikoo 2.2
Mee f faankishinaa fi a miseensa mandhee f haa ta’an. yoo jiraate giraafiin f tuqaa (a,f(a)) irratti sarara taanjeentii ni qaba. Kunis dhundhulli sarara taanjeentii tuqaa (a,f(a)) irratti m = ta’a.
Fakkeenya 2.2
Mee f(x)=x3+1 haa fudhanu. Hima wal qixaa sarara taanjeentii tuqaa (1,2) irratti barbaadi.
Furmaata
Hima wal qixaa sarara tanjeetii giraafii f(x)= x3+1 tuqaa (1,2) irratti barbaaduuf duursinee dhundhula barbaaduu qabna.
Dhundhulli sarara taanjeentii tuqaa (1,2) irratti
= = = =
= x2+x+1=12+1+1=3 ta’a.
Mee himni wal qixaa sarara tanjeetii giraafii f tuqaa (1,2) irratti
y=mx+b haa ta’u. Kana jechuun m=3 ta’a. Gatii b argachuuf tuqaa (1,2) f(x) keessa bakka buusna.
y=3x+b  2=3(1)+b  2=3+b  b=-1 ta’a.
Kanaafuu, himni wal qixaa sarara tanjeetii giraafii f tuqaa (1,2) irratti y=3x-1 ta’a jechuu dha.

2.3. Itti Fufiinsaa fi Dariveetawummaa

Boqonna darbe keessatti maalummaa itti fufiinsaa ilaalleerra. Faankishinni tokko tuqaa kenname irratti itti fufaadha jechuun maalii? Faankishinni f tuqaa x=a irratti itti fufaa yoo ta’e f(x)=f(a) ta’uu ni yaadattu. Amma immoo faanksihinootni dariveetiivii tuqaa a irratti qabaachuun itti fufaa ta’an ilaalla.

Tiiramii 2.1
Faankishinni f tuqaa x=a irratti dariveetawa yoo ta’e fankishiinichi x=a irratti itti fufaa dha.
Mirkana
Mee f tuqaa a irratti dariveetawa haa ta’u.
Akka hiikoo dariveetiiviitti, a miseensa mandhee f tiif f’(x)= ta’a.
f(x) –f(a) akka baay’ataa armaan gadiitiin ibsuu ni dandeenya.
f(x) –f(a) = (x-a), xa
 f(x) = (x-a)+f(a) ta’a.
Faankishina kana irratti seerota ida’amaa fi baay’ataa liimitootaa fayyadamuun
f(x) =
= (x-a)+ f(a)
= f΄(a).0 +f(a) = f(a) ta’a.
Kanaafuu, f(x) = f(a) ta’a. Kanaafuu, f tuqaa a irratti itti fufaa dha.
Kana jechuun faankishinni tokko tuqaa kenname irratti dariveetawa yoo ta’e faankishinni kun tuqaa kenname sana irratti itti fufaa ta’a jechuu dha.

Hub: Garagaltoon tiiramii armaan olii dhugaa miti. Kana jechuun
faankishinni tokko tuqaa kenname irratti itti fufaa yoo ta’e tuqaa kana
irratti dariveetawa ta’uu dhiisuu danda’a.
Dhugaa kana ibsuuf mee faankishina f(x)=|x| haa fudhannu.
f(x)= |x| = 0= f(0) waan ta’eef f tuqan x = 0 irratti itti fufaa dha.
Haa ta’u malee, = = = hin jiru.
Kanaafuu, f(x) = |x| tuqaa x = 0 irratti dariveetawa miti. Kanaafuu, f(x)=|x|tuqaa x=0 irratti itti fufaa haa ta’u malee, dariveetawa miti.

2.4. Dariveetiivii Fankishinoota Tokko Tokkoo
Kuta kana keessatti darivaatiivota faankishinoota liiniyarii, paaworii ykn polinomiyaalii, logaarizimii fi Eksiponeenshaalii ni ilaalla.

f(x) = ax + b, a fankishinii liiniyarii yoo ta’e
ta’a.
Fakkeenyaaf f(x) = -2x +5 yoo ta’e ta’a.
fankishinii paaworii yoo ta’e
; (Si’a n idaana) ta’a.
Kanaaf ta’a.
Fakkeenyaaf yoo f(x) = x5 yoo ta’e;

ta’a.
Darivaatiivii Faankishina Logaarizimii
Boqonnaa tokkoffaa keessatti limiitii addaa kan ta’e =e ta’e qayyabachaa turuun keenya ni yaadatama. Limiitii barbaachisaa ta’e kana fayyadamuun tiramii dariveetiivii faankishina logaarizimii armaan gadi mirkaneessina.

Tiramii 2.2
Mee a, a>0 fi a1 haa ta’u. f(x)= yoo ta’e = ( )΄= ta’a
Mirkana
Akka hiikoo dariiveetiiviitti
= (log )΄=
=
=
Mee t bakka buusnu. t=  h=xt
= =
= = log e ta’a.
Kanaafuu, = ( )΄= log e = ta’a jechuu dha.

Fakkeenya
Dariveetiivoota faankishinoota armaan gadii barbaadi.
a) f(x)=log x b) f(x)= lnx
Furmaata
a) =(log x)΄= ta’a.
b) f(x)= lnx =
= ta’a.
Dariveetiivii Faanksihna Eeksiponeenshaalii
Faankishinni bifa f(x) =ax , a, a>0 fi a1tiin ibsame faankishina Eksiponeenshaalii ta’uu ni yaadatta. Akkasumas, y = ax ta’ee yoo ta’e
x = log y akka ta’uu ni yaadatta.
Amma mee tiramii armaan gadii haa ilaallu.
Tiiramii 2.3
f(x) = ax, a>0 fi a1 yoo ta’e f΄(x) =(ax)lna ta’a.
Mirkana
Mee y = f(x) = ax haa ta’u.
log y = x waan ta’eef gamaagamana dariveetiivii fayyadamuun
[log y]΄ = (x)΄  [log ax]΄=1
 log e.(ax)΄=1 , seera wal seenoo
 (ax)= =ax lna ta’a.
Kanaafuu =(ax)΄ = ax lna ta’a.
Fakkeenya
Dariveetiivoota faankishinoota armaan gadii barbaadi.
a) f(x)=3x b) f(x)=
Furmaata
a) = (3x)΄ = 3x ln3 ta’a.
b) =( )΄= lne = ta’a.
2.5. Dariveetivii Fankishinoota Makoo
Kutaa kana keessatti dariveetiivota faankishinoota qooyyabaata bu’uuraa ida’uu, hir’isuu, baay’isuu fi hiruu gargaaramuun faankishinoota wal makoo hiikoo dariveetiivii otoo hin fayyadamiin haala itti barbaaduu dandeenyu kan nu fayyadan seerota waliigalaa ni ilaalla.
Amaltoota aljeebrikaawaa dariveetiivota armaan gadii haa ilaallu.
Tiiramii 2.4
Mee f fi g faankishinoota tuqaa x irratti dariveetawa haa ta’an. Himamootni armaan gadii yeroo hunda dhugaa ta’u.
i) (kf)΄(x)=kf΄(x), k, seera baay’ataa lakkoofsa dhaabbataa
ii) (f+g)΄(x) = f΄(x)+g΄(x) , seera ida’ama dariveetiivii
iIi) (f.g)΄(x) = f΄(x)g(x)+ f(x)g΄(x), seera baay’ataa dariveetiivii
iv) = , g(x)  0, Seera gahee dariveetiivii
Mirkana
Mee f fi g faankishinoota tuqaa x irratti dariveetawa haa ta’an.
i) Akka hiikoo dariveetiiviitti
(kf)΄(x)= =k =k f΄(x) ta’a.
ii) Akka hiikoo dariveetiiviitti
[f+g]’ (x) =
=
=
= +
= f΄(x)+g΄(x) ta’a.
Kanaafuu, [f+g]’(x) = f΄(x)+g΄(x) ta’a.

iii) Akka hiikoo dariveetiiviiiitti
(fg)΄(x)=
=
=
=
= +
= +
= + = g(x)+ f(x)g΄(x) ta’a.
Kanaafuu, (f.g)΄(x) = f ΄(x)g(x)+ f(x)g΄(x) ta’a jechuu dha.
iv. Akka hiikoo dariveetiiviiiitti
= =
=
=
=
=
=
= [f΄(x)g(x)- f(x)g΄(x)]
Kanaafuu, = , g(x)  0 ta’a.

Fakkeenya 2.3
Deriveetiivoota faankishinoota armaan gadii barbaadi.
a) f(x)= 3x b) f(x)=2x+cosx c) f(x)=x2sinx d) f(x)= e) f(x)=tanx
Furmaata
Mee foormullaawwan (seerota) tiramii 2.2 tiin ibsaman fayyadamuun otoo hiikoo dariveetiivii hin fayyadamiin akkamiin dariveetiivoota faankishinoota kennamanii haala itti barbaadaman haa ilaallu.
a) Foormullaa baay’ataa lakkoofsa dhaabbataa dariveetiivii fayyadamuun:
=(3x)΄=3(x)΄=3(1)=3 ta’a.
b) Foormullaa ida’amaa dariveetiivii fayyadamuun: =(2x+cosx)΄
=(2x)΄+(cosx)΄
=2-sinx ta’a.
c) Foormullaa baay’ataa dariveetiivii fayyadamuun:
=(x2sinx)΄
=(x2)΄sinx+ x2(sinx)΄
=2xsinx+x2cosx ta’a.
d) Foormullaa gahee dariveetiivii fayyadamuun:
= = = ta’a.
e) =(tanx)΄ = = =
= = = sec2x ta’a.

2.6. Seera Walseenoo (The Chain Rule)
Faankishinni tokko faankishinoota lamaa fi lamaa oliitiin wal seenuun akka uumamu danda’u koorsiiwwan kana dura fudhattan keessatti ilaaluun keessan ni yaadatama. Kutaa kana keessatti dariveetiivii faankishinota wal seenoo (composition functions) lamaa fi lamaa olii akkamiin akka barbaadnu ni ilaalla.
Mee f(x) fi g(x) faankishinoota haa ta’an. f(g(x))=(fog)(x) ta’uu ni yaadatta. Gaaffiin amma ka’u, f fi g faankishinoota dariveetawa yoo ta’an dariveetiiviin fog(x) maal akka ta’uu dha. Deebii gaaffii kanaa tiyooramii armaan gadii maqaan isaa ‘’seera wal seenoo ‘’ jedhamuun akka armaan gadiitti kennamuu ta’a.

Tiiramii 2.5: Seera wal seenoo (The Chain Rule)
f fi g faankishinoota itti fufoo ta’anii g tuqaa x irratti dariveetawa fi f tuqaa g(x) irratti dariveetawa yoo ta’an [f(g(x)]΄ = f΄(g(x))g΄(x) ta’a.
Mirkana (Gilgaala)

2.7 Dariveetivoota Olaanoo (Higher Derivatives)
Kutaalee darban keessatti dariveetiivota faankishinoota adda addaa barbaadaa turuun kee ni yaadatama. Darivaatiiviin ati barbaadaa turte darivaatiivii tokkoffaa jedhamanii beekamu. Kutaa kana keessaatti haala dariveetiivota dariveetiivotaa itti barbaaduun danda’amu kan addaan baafattan ta’a.
Kaayyoo
Xumura boqonnaa kanaa booda leenjifamtootni:
• Maalummaa darivaatiivii olaanoo ni ibsu.
• Darivaatiivota olaanoo ni barbaadu.

f faankishina yoo ta’e tuqaalee x faankishinni f irratti dariveetawa ta’u hundaaf f  faakishina ta’a. f  faankishina waan ta’eef hiikoo dariveetiivii fayyadamuun f  barbaaduu ni dandeenya . Innis:
f (a)= ta’a. Limiitiin kun yoo jiraate f (a) darivaatiivii lammaffaa f tuqaa a irratti jedhama. Kana jechuun f (a) darivaatiivii f (a) tuqaa a irratti jedhama.
FKN:- f(x) = x3+2×2+2 yoo ta’e
f (x) = 3×2+2x dariveetiivii 1ffaa f(x) = x3+2×2+2 ta’a.
f (x) = f (2)(x)= 6x+2 dariveetiivii 2ffaa f(x) = x3+2×2+2 ta’a.
Akkasumas f (x) = f (3)(x)= (6x+2)’ = 6 dariveetiivii 3ffaa f(x) = x3+2×2+2 ta’a.

Waliigalatti, mee n , n≥ 2 ta’a haa jennu. Faankishinni f tuqaa a irratti yoo fudhane:
f (a)= yoo jiraate limiitiin kun dariveetiivii nffaa faankishina f tuqaa a irratti jedhama. f dariveetiivii (n-1)ffaa faankishina f tuqaa a irratti ta’a.

Dariveetiivotni 2ffaa, 3ffaa , – – – , nffaa dariveetiivota olaanoo jedhamu.

f (x) miseensota mandhee f hundaaf jira yoo ta’e f al lama dariveetawa ta’a jenna.
Haaluma kanaan f(n)(x) miseensota mandhee f hundaaf yoo jiraate f al n dariveetawa ta’a jenna.
Dariveetiivota olaannoo mallattoo Libeenzi fayyadamuun yoo mallatteessinu , ,—, ta’a.

Yaada Guduunfaa

1. Mee a tuqaa mandhee faankishinii f keessaa haa ta’u. ni jira
   yoo ta’e limiitiin kun dariveetiivii faanishina f tuqaa a irra kan jedhamu
   yoo ta’u f΄(a) mallatteessuun barreessina. Kanaafuu, f ΄(a)=
   ta’a. Limiitiin kun yoo jiraate f tuqaa a irratti dariveetiivii qaba jenna ykn
   f tuqaa a irratti dariveetawa ykn f΄(a) jira jenna.
2. Dhandhulli sarara tanjeentii ℓ giraafii faankishinii f tuqaa (a,f(a)) irratti wal
   qixa ta’a.
3. Faankishinni f tuqaa a irratti dariveetawa yoo ta’e f(a) irratti itti fufaa dha.
4. f fi g faankishinoota tuqaa x irratti dariveetawa haa ta’an. Himamootni
   armaan gadii yeroo hunda dhugaa ta’u.
   i) (kf)΄(x)=kf΄(x), k, seera baay’ataa lakkoofsa dhaabbataa
   ii) (f+g)΄(x) = f΄(x)+g΄(x) , seera ida’ama dariveetiivii
   iIi) (f.g)΄(x) = f΄(x)g(x)+ f(x)g΄(x), seera baay’ataa dariveetiivii
   iv) = , g(x)  0, Seera gahee dariveetiivii.
5. f fi g faankishinoota itti fufoo ta’anii g tuqaa x irratti dariveetawa fi f tuqaa
   g(x) irratti dariveetawa yoo ta’an [f(g(x)]΄ = f΄(g(x)).g΄(x) ta’a.
6. a, a>0 fi a1 haa ta’u. f(x)= yoo ta’e f΄(x) = ( )΄= ta’a
7. f(x) = ax, a>0 fi a1 yoo ta’e f΄(x) =(ax)lna ta’a.

Gilgaala Waliigalaa

1. Hiikoo dariveetiivii armaan olii fayyadamuun dariveetiivii akka
   faankishinaatti barbaadi.
   a) f(x)=3x-2 b) f(x)= x2-2
   c) f(x)= 2sinx d) f(x)=
2. Hima sarara tanjeentii giraafii faankishinii f tuqaa kenname irratti
   barbaadi
   a) f(x) = x2-2x , (1,-1) b) f(x) = 2sinx, (0,0)
   c) f(x) = , (0,1)
3. Faankishinni f(x)= |x-1| tuqaa x=1 irratti itti fufaa akka ta’ee fi
   dariveetawa hin taane agarsiisi.
4. Dariveetiivota faankishinoota armaan gadii barbaadi.
   a) f(x)= 2x+3cosx b) f(x)= xlnx +x2
   c) g(x)= sinx-tanx d) h(x)=
   e) g(x)= f) f(x)= g) f(x)= sin
   h) g(x)= x i) g(x)= excosx
5. Faankishinoota haalota armaan gadii guutan barbaadi.
   a) (x)=-5 fi f(0)=2
   b) f (x)= -2x fi f(1)=3
   c) f (x)= x2-x fi f(0)=4

BOQONNAA 3
FAYYADA DARIVEETIIVII
Seensa
Boqonnaa lamaaffaa keessatti akkaataa dariveetiivoota faankishinoota adda addaa barbaaduu dandeenyu ilaalleera. Boqonnaa kana keessatti immoo giraafootni faankishinoota dariveetawaa eessatti akka ol ka’uu (gooba uumuu) fi eessatti akka gadi bu’u (suluula uumuu) kan ilaallu ta’a.

Kutaa kana keessatti tiramoota gat-qixoomaa, gat-xiqqaa fi gat-guddaa faankishinoota monotooniikii, fi tiramii yaalii dariveetiivii tokkoffaa fi lammaffaa akkasumas, fayyada isaanii ni ilaalla. Dabalataaniis, faayyada dariveetivii keessaa isa guddaa kan ta’e waa’ee jijjiirraa reettii piroobleemota adda addaa wal qabsiisuun kan ilaallu ta’a.

Kaayyoo
Xumura boqonnaa kanaatti leenjifamtootni:

• Yaad-rime gat-guddaa fi gati-xiqqaa jireenya isaanii keessatti ni fayyadamuu
• Tiiramii gat-guddaa fi gat-xiqqaa fayyadamuun gat- guddaa fi gat-xiqqaa faankishootaa ni barbaadu.
• Tiiramoota Roolisii fi gat-qixoomaa ni ibsu.
• Hiikoo faankishinoota monootonikii ni kennu.
• Faankishinoota dabaloo fi hir’isoo addaan ni baasu.
• Yaalii darivaatiivii tokkoffaa fi lammaffaa ni ibsu.
• Yaalii darvaatiivii tokkooffaa fi lammaaffaa fayyadamuun gat-guddaa fi gat-xiqqaa faankishinootaa ni barbaadu.
• Jijjirama reettii waantoota ni barbaadi.
• Giraafii faankishinoota ni ijaaru.

3.1. Gatiilee Fiixee Faankishinoota Itti Fufoo
Kutaa kana keessatti gat-guddaa fi gat-xiqqaa sirrii yookiin naannoo (Absolute or local extremum value) faankishinoota itti fufoo kan ilaallu ta’a. Faankishinni tokko intervaalii cufamaa fi daangeeffamaa irratti itti fufaa yoo ta’e faankishinichi interrvaalii sana keessatti akka gat-guddaa yookiin gat-xiqqaa qabu kan addaan baa’u ta’a.

Hiikoo 3.1
Mee f faanksihinii intervaalii I irratti itti fufaa ta’e haa ta’u.
i. Faankishinni f intervaalii I keessatti gat-xiqqaa qaba kan jennu xI
lakkoofsi aI fi f(a) f(x) yoo ta’ee dha. Yeroo kana f(a) gat-xiqaa faankishina
f intervaalii I irratti jedhama.
ii. Faankishinni f intervaalii I keessatti gat-guddaa qaba kan jennu yoo xI
lakkoofsi xoI fi f(xo) f(a) ta’e dha. Yeroo kana f(xo) gat-guddaa
faankishina f intervaalii I irratti jedhama.
Gat-xiqqaan yookiin gat-guddaan faankishinii f intervaalii I keessatti qabu gat-fiixee (extreme value) sirrii ykn naannoo f intervaalii I keessatti qabu jedhama.

Fakkeenya 3.1
Mee danaalee armaan gadii haa xiinxallu.
i. Y
f(a)

              f     X
      a                                   b

f(b)

                  Danaa 3.1

Intervaalii I=[a,b] keessatti faanksihinni f gatiiwwan fiixee lakkoofsota a fi b gidduutti yookiin fiixeewwan intervaalii a yookiin b irratti ta’a.

Akka danaa 3.1 irraa hubatamuutti gat-xiqqaa f tuqaa b irratti kan argamu yammuu ta’u innis f(b) dha. Gat-guddaan ammo tuqaa a irratti kan argamu yoo ta’u innis f(a) dha.
ii.
Y Gat-guddaan f = f(b) fi
Gat-xiqqaan f = f(a) ta’u.
f
a X
b

Danaa 3.2

Gatiiwwan armaan olii gat- fiixeewwan sirrii (absolute extremum value) jedhamanii beekamu.

iii. Y

      f



a   x1      x2            x3     x4          x5      b  X

                       Danaa 3.3 

Giraafii danaa 3.3 irraa akka hubatamuutti tuqaalee intervaalii I=[a,b] keessatti argaman x1, x2, x3, x4 fi x5 gat-fiixeewwan barabaaduu dandeenya. Gat-fiixeewwan kun gat-fiixeewwan naannoo ta’u.

Gat-fiixeewwan f(x1), f(x3) fi f(x5) gat-guddaa naannoo (relative maximum values) yoo ta’an gatfiixeewwan f(x2) fi f(x4) gat-xiqqaa naannoo (relative minimum values) ta’u jechuu dha.

Fakkeenya 3.2
Mee f(x)=x3+x intervaalii cufaa [0,1] keessatti haa fudhannu.
Y
2 f(x)= x3+x

  X
                          1
                     Dana 3.4

Akka giraafii danaa 4.4 irraa hubatamuutti gat-xiqqaan kan uumamu x=0 irratti ta’a. kanaafuu, gat-xiqqaan f(0)=03+0=0 ta’a. Gat-guddaan kan uumamu x=1 irratti dha. Kanaafuu, gat-guddaan f(1) = 13+1 = 2 ta’a.

Tiiramii 3.1(Tiiramii gat-fiixee)
Faankishina f intervaalii dangeeffamaa cufamaa [a,b] irratti itti fufoo yoo ta’e f intervaalii [a,b] irratti gat-xiqqaa yookiin gat- guddaa ni qabaata.
Mirkana: gilgaala haa ta’u.
HUB akka tiyooramii kanatti qabxiilee

• f intervaalii [a,b] keessatti itti fufaa ta’uu fi
• intervaaliin [a,b] dangeeffamaa cufamaa yoo ta’e f gat-fiixeewwan qabaachuu dirqama ta’uu ibsa.
  Haata’u malee, f intervaalii banaa keessatti fi f itti fufaa miti yoo ta’e f gat- fiixeewwan qabaachuu dhiisuu danda’a. Mee fakkeenyota armaan gadii haa fudhannu.
  Fakkeenya 3.3
  1) f(x) = x intervaalii (0,1) keessatti yoo fudhanne gat- guddaa fi
  gat-xiqqaa hin qabu.

1. f(x)= yoo fudhanne
   f(x)=  fi f(0) = 0 waan ta’eef f tuqaa 0 irratti itti fufaa miti.
   Faankishinni f intervaalii [-1,1] irratti hiika qabeessa garuu itti fufaa miti.
   Mee giraafii f danaa armaan gadiitti ibsame haa fudhannu. f
   -1
   1 Dana 3.5 Akka giraafii kana irraa hubannuutti f gat-fiixeewan intervaalii [-1,1] irratti hin qabu.
   Tiiramii 3.2
   Mee faankishinni f intervaalii [a,b] irratti itti fufaa fi intervaalii (a,b) keessaatti dariveetawaa haa ta’u. f intervaalii [a,b] keessatti gat-fiixee yoo qabaate lakkoofsi c[a,b] kan f(c)=0 taasisu ni jira.

Mirkana
Mee tuqaa c irratti f(c) gat-guddaa yookiin gat-xiqqaa qaba haa jennu. Haalli mirkanaa qabxiilee f(c) gat-guddaa yookiin f(c) gt-xiqqaa ta’uu wal fakkaataa waan ta’eef mee f(c) gat-guddaa haa ta’u.
Akka hiikoo gat-guddaatti x(a,b), f(x)  f(c) ta’a.
x(a,b), x < c yoo ta’e ta’a. x(a,b), x > c yoo ta’e ta’a.
Kanaafuu , fi ta’u.

Akka hiikoo darviitiviitti:
=f΄(x) ≥0 fi =f(x) ≤0 ta’a.
Kaanaa jechuun f΄(c)  0 fi f΄(c)  0 ta’a jechuu dha.
Kanaafuu, f(c)=0 ta’a.
Kanaafuu, f(c) gat-fiixee yoo ta’e f(c)=0 ta’a jechuu dha.

Hiikoo 3.2
Lakkoofsi c mandhee faankishinii f keessatti f (c)=0 yookiin f (c) hiika dhabeessa taasisu lakkofsa kiriitikaalii jedhama. Tuqaan lakkoofsa kiriitikaalii giraafii f irrattiin walitti dhufooo ta’e tuqaa kiriitikaalii jedhama.
Kanaaf tuqaan (c, f(c)) tuqaa kiritikaalii jedhama.

HUB: Gat-fiixeewwan faankishinii f barbaaduuf gatii f lakkoofsa kiriitikaalii
irratti fi fiixeewwan intervaalii [a,b] tuqaalee a fi b irratti erga
barbaadnee booda isa guddaa fi xiqqaa fudhachuun adda baafanna.
Innis f(c), f(a), fi f(b) waliin madaaluun murteeffama.

3.2. Tiiramii Roolee fi Tiiramii Gat-qixxoomaa
Kutaa kana keessatti tiramoota barbaachisoo ta’an tiramii Roolee fi tramii gat-qixoomaa kan ilaallu ta’a.

Tiiramii 3.3 -Tiiramii Roolee

Mee f faankishina intervaalii [a,b] irratti itti fufaa fi intervaalii (a,b) irratti dativeetawa haa ta’u. f(a) = f(b) yoo ta’e lakkoofsi c(a,b) kan f΄(c)=0 taasisu tokko ni jira.
Mirkana
Faankishinni f intervaalii [a,b] irratti itti fufaa waan ta’eef akka tiramii
gat-fiixeetti lakkoofsotni x1 fi x2 kan [a,b] keessa jiran kan
f(x2) f(x) f(x1), x1,x2[a,b] taasisan ni jiru.
x1 fi x2 tuqaalee fiixeewwan intervaalii [a,b] yoo ta’an f faankishinii dhaabbata ta’a. Kana jechuun c (a,b) f΄(c)=0.
Mee x1 fi x2 tuqaalee fiixeewwan intervaalii [a,b] irraa miti haa jennu. x1 ykn x2 keessaa tokko lakkoofsa kiriitikaalii ta’a. Mee lakkoofsa kiriitikaalii kanaan c haa jennu.
Kanaafuu, f ΄(c)=0 ta’a jechuu dha.
HUB: Tiiramii Roolee giraafiidhaan haala ararmaan gadiitiin ibsama.

f

f

a           c            b                       a          c             b
        Dana 3.6

Bakka gat-fiixeewwan itti argaman tuqaalee tanjeentummaa sarara tanjeentii giraafii f ta’ee tuqaaleen kun kan uumaman bakka sararri tanjeentii sarara dalgee ta’eetti dha. Dhundhulli sarara dalgee 0 ta’uu hin dagatiina. Kanaafuu, Error! Reference source not found. =0 ta’a jechuu dha.
Fakkeenya 3.4
f(x) = x3-x intervaalii (0,1) irratti haa fudhannu.
Faankishinni f intervaalii [0,1] irratti itti fufaa fi (0,1) keessatti dariveetawa waan ta’eef tiyooramii Roolee fayyadamuun lakkoofsa c(0,1) kan f΄(c)=0 taasisu argachuu dandeenya.
f(0) =f(1 ) waan ta’eef
Error! Reference source not found. = (x3-x)΄
Error! Reference source not found. = 3×2-1 = 0
 3×2 = 1  x2 =  x=
kanaafuu, c = intervaalii (0,1) keessatti lakkoofsa haala Teeramii Roolee guutu dha.
Tiiramii 3.4-Tiiramii Gat- qixoomaa ( Mean Value Theorem)
Faankshinni f intervaalii [a,b] irratti itti fufaa fi intervaalii (a,b) irratti dariveetawa yoo ta’e lakkoofsi c(a,b) kan

           Error! Reference source not found. =  taasisu ni jira.  

Mirkana
Mee faankishina g(x) = (f(x)-f(a)) – (x-a) tiin hiikame intervaalii [a,b] irratti haa fudhannu.
Hiikoo faankishina g irraa
i. g intervaalii [a,b] irratti itti fufaa dha.
ii. g intervaalii (a,b) irratti dariveetawa dha.
iii. g(a) = 0 fi g(b) = 0 ta’a.
Kanaafuu, g haalota tiiramii Roolee ni guuta. Kana jechuun lakkoofsi c(a,b) kan g΄(c)= 0 taasisu ni jira jechuu dha.
g(x) = (f(x)-f(a)) – (x-a)
g΄(x) = f΄(x) –
g΄(c) = f΄(c) – =0 ta’a.
 f ΄(c) =
Kanaafuu, intervaalii [a,b] irratti f itti fufaa fi intervaalii (a,b) irratti dariviitawa yoo ta’e lakkoofsi c(a,b) kan ta’e

     f ΄(c) =  taasisu ni jira jechuu dha.

Fakkeenya 3.5
Mee f(x)= x3+2x intervaalii (0,3) keessatti fudhuutii lakkoofsa haala tiramii
gat-qixoomaa guutu barbaadi.
Furmaata
f(x)= x3+2x  f ΄(x) = x2+2
 f ΄(c) = c2+2
Akka tiyooramii gat-qixoomaatti
f ΄(c) = = = = 5 ta’a.
Kana jechuun, c2 + 2 = 5 ta’a
Kanaafuu, c = intervaalii (0,3) irratti lakkoofsa haalaa Tiyoramii gat-qixooma guutuu dha.

3.3. Faankishinoota Monotoniikii
Koorsiiwwan darban keessatti maalummaa faankishinoota dabaloo fi hir’isoo
Addaan baafachuun keessan ni yaadatama. Kutaa kana keessatti yaada dariveetiivii fayyadamuun waa’ee faankishinoota dabaloo fi hir’isoo kan ilaalu ta’a.

Hiikoo 3.3

Mee faankishnni f intervaalii a,b irratti itti fufaa fi intervaalii (a,b) irratti dariveetawa haa tau. i. x(a,b), f ΄(x) ≥ 0 yoo tae f intervaalii a,b irratti dabaloo ta’a.
ii. x(a,b), f ΄(x)≥0 fi tuqaalee murtaaoo inteervaalii a,b keessatti argamaniif f ΄(x)=0 yoo tae f inteervalii a,b irratti dabaloo sirri ta’a.
iii. x(a,b) f ΄(x) ≤ 0 yoo tae f intervaalii a,b irratti faankishina hirisoo ta’a.
iv. x(a,b) f ΄(x) ≤ 0 fi tuqaalee murtaaoo intervaalii a,bkeessatti argamaniif f ΄(x)=0 yoo tae f intervaalii a,b irratti faankishina hirisoo sirrii taa.

Fakkeenya 3.6
f(x) = x3-3x-2 haa fudhannu. f intervaalii inni irratti faankishina dabaloo sirri fi hir’isoo sirrii itti ta’u adda baasi.
Furmaata
f(x)= x3-3x-2
f΄(x)= 3×2-3 = 3(x2-1) = (x+1) (x-1)
Mee chaartii maalattoo fayyadamuun haa xiinxallu.
-1 1
x+1 – – – + + + + + +
x-1 – – – – – – + + +
f΄(x)= (x+1)(x-1) + + + – – – + + +

Kanaafuu , chaartii armaan olii irratti akka ibsametti f intervaalii (-,-1] fi [1,) irratti dabaloo sirrii ta’a. f intervaalii [-1,1] irratti hir’isoo sirrii ta’a.
HUB: Fankishiniin dhaabbataan kamiyyuu fankishinii dabaloos hirrisoos ni
ta’a. Garuu dabaloo sirrii ykn hirrisoo sirrii ta’uu hindanda’u.

3.4. Yaaliiwwan Dariveetiive Tokkooffaa fi Lammaffaa
Kutaa darbe keessatti maalummaa faankishinoota monotonikii ilaalaa turreera. Boqonnaa lammaffaa keessatti dariveetiivii irratti hundaa’uun dhundhula sarara tanjeetii giraafiii faankishinii kennamee tuqaa kenname iraatti ilaallerra. Mee isiniis maalumma dhundhulaa irra deebi’ii ilaali. Kutaa kana keessatti yaaliiwwan dariveetiivii fayyadamuun haala gat-fiixeewwan murteessuu dandeenyaa kan ilaallu ta’a.

Faankishinni f faankishinii dabaloo yoo ta’e xI f(x) ≥ 0 waan ta’eef dhuudhulli sararoota tanjeentii giraafii f tuqaalee kamiyyuu irratti poozatiivii dha. Kanaafuu, giraafiin f gama bitaatiin gadi bu’aa yoo deemu gama mirgaatiin ol-ba’aa deema jechuu dha.
Faankishinni f faankishinii hir’isoo yoo ta’e xI f (x) ≤ 0 waan ta’eef dhuudhulli sararoota tanjeentii giraafii f tuqaalee kamiyyuu irratti neegatiivii dha. Kanaafuu, giraafiin f gama bitaatiin ol-ba’aa yoo deemu gara mirgaatiin gadi bu’aa deema jechuu dha.
Tiiramii 3.5 – Yaalii Dariveetivii Tokkoffaa (First Derivative Test)
Mee faankishinni f intervaalii I irratti itti fufaa fi cI haa ta’u.
a) Tuqaa c irratti f  poozatiivii irraa gara neegatiiviitti jijjiirama yoo ta’e
faankishinni f c irratti gat- guddaa naannoo qabaata.
b) Tuqaa c irratti f neegatiivii irraa gara poozatiiviitti jijjiirama yoo ta’e immoo faankishinni f, c irratti gat- xiqqaa naannoo qabaata.
Mirkana (gilgaala haa ta’u).
Fakknya 3.7
Yaalii dariveetiivii tokkooffaa fayyadamuun gat-fiixeewwan naannoo fankishina f(x)=x3-3x+2 barbaadi.
Furmaata
Mee yaada yaalii dariveetiivii tokkooffaa fayyadamuun gat-fiixeewwan haa barbaadnu.
Jalqaba tuqaa kiriitikaalii jijjiirran gatii f(x) neegatiivii gara poozatiivii yookiin poozatiivii gara neegatiivii itti uumamu adda baasuu qabna. Mee lakkoofsi kiriitikaalii c haa ta’u. f(c)=0 ta’uu yaadattaa?

f(x)=x3-3x+2  f (x)=3×2-3=0
 3×2=3
 x2=1
 x=
 x= 1
kanaafuu, -1 fi 1 lokkfsota kiriitikaalii ta’u jechuu dha. Kana jechuun x=-1 fi x=1 irratti jijjiirran gatii f(x) neegatiivii gara poozatiivii yookiin poozatiivii gara neegatiivii itti ni uumamu. Mee haala gargar baasuuf gabatee mallattoo f(x) haa hojjennu.

  f(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1)
                                                  -1                   1

x+1 — +++ +++
x-1 — — +++
f(x)=3(x+1)(x-1) +++ — +++

Akka gabatee kana irra huubatamuutti f (x) tuqaa x=-1 irratti poozatiivii gara neegatiivii itti jijjirama. Kanaafuu, f(x) tuqaa x=-1 irratti gat-guddaa qaba. jechuu dha. Akkasumas, f (x) tuqaa x=1 irratti neegatiivii gara poozatiivii itti jijjirama. Kanaafuu, f(x) tuqaa x=1 irratti gat-xiqqaa qaba.
Kanaafuu, gat-xiqaan naannoo f = f(1)=13-3(1)+2=0 yoo ta’u
gat-guddaan naannoo f = f(-1)=(-1)3-3(-1)+2=-1+3+2=4 ta’a.

Tiiramii 3.6 – Yaalii Dariveetiivii Lammaffaa
Mee faankishinni f intervaalii I irratti itti fufaa fi cI fi f (c)=0 haa ta’u.
a) f (c)<0 yoo ta’e f(c) gat-guddaa naannoo f ta’a. b) f (c)>0 yoo ta’e f(c) gat-xiqqaa naannoo f ta’a.
Mirkana
a) Mee f (c)<0 haa ta’u. Akka hiikoo dariveetiivii lammaffaatti: f (c)= <0 = < 0, f(c)=0 waan ta’eef. Mee < 0 haa fuudhannu. x-c<0  x0 ta’a. x-c>0  x>c yoo taaa’e (c)<0 ta’a. kana jechuun, (x) tuqaa c irratti poozatiivii gara neegatiiviitti jijjiirama jechuu dha. Kanaafuu, f(c) gat-guddaa naannoo ti. b) Mee f (c)>0 haa ta’u.
Akka hiikoo dariveetiivii lammaffaatti:
f (c)= >0
= >0, f(c)=0 waan ta’eef.
Mee >0 haa fuudhannu.
x-c<0  x0  x>c yoo taaa’e (c)>0 ta’a. kana jechuun, (x) tuqaa c irratti neegatiivii gara poozatiiviitti jijjiirama jechuu dha.
Kanaafuu, f(c) gat-guddaa naannoo ti.
Hub: f (c) = 0 yoo ta’e gat-fiixee naannoo Tiyooramii kana fayyadamuun adda
baasuun hindanda’amu.
Fakkeenya 3.8
Yaalii deriveetiivii lammaffaa fayyadamuun gat-fiixeewwan naannoo f(x)=4×3+9×2-12x+3 barbaadi.

Furmaata
Mee jalqaba tuqaa kiriitikaalii haa barbaadnu.
f(x)=4×3+9×2-12x+3
f (x)=12×2+18x-12.
Lakk kiritikaalii argachuuf f (x) = 0 gochuun gatii x barbaadna.
f (x)= 6(2×2+3x-2)=0
f (x)= 6(2x-1)(x+2)=0
2x-1=0 yookiin x+2=0
ykn x=-2 ta’a.
Kanaafuu, x=-2 fi lakkoofsota kiriitikaalii dha.
Itti aanee f (x) barbaaduun lakkoofsota kiriitikaalii arganne bakka buusuun gat-fiixeewwan murteessuutti deemna.
f (x)=12×2+18x-12; f (x)=24x+18 ta’a.
i. f (-2)=24(-2)+18=-48+18=-30<0 waan ta’eef f(x) tuqaa x=-2 irratti gat-guddaa qaba. Kanaafuu, gat-guddaan naannoo f = f(-2)= 4(-2)3+9(-2)2-12(-2)+3=31 ta’a. ii. f ( )=24( )+18=12+18=40>0 waan ta’eef f(x) tuqaa x= irratti
gat-xiqqaa qaba.
Kanaafuu gat-xiqqaan naannoo f = f( )= 4( )3+9( )2-12( )+3= – ta’a.

3.5. Gat-guddaa fi Gat-xiqqaa Faankishinootaa
Kutaa kana keessaatti akkamiin akka yaada gat-guddaa fi gat-xiqqaa fayyadamuun gaaffilee pirobileemota jechaan kennamanii haala qabatamaa keessaatti furuu dandeenyu fakkeenyota fudhachuun kan hojjennu ta’a.

Fakkeenya 3.9
Gaaffilee armaan gadiif deebii kenni.

1. Lakkoofsota poozatiivii lama ida’amni isaanii 18 fi baay’ataan isaanii guddaa barbaadi.
   Furmaata
   Gaaffilee akkanaa furuuf yaada jechootaan kenname gara hima wal qixaatti yookiin hima wal caalmaatti jijjiiruun furuu qabna.
   Mee lakkoofsota kanneen x fi y haa jennu.
   x+y=18  y=18-x
   Kan barbaadamu lakkoofsota x fi y baay’ataan isaanii guddaa ta’ee dha.
   Mee B=xy haa ta’u. Kana jechuun gatiiwwan x fi y kan B akka gat-guddaa
   qabaatu taasisaan barbaadna jechuu dha.
   B=xy
    B=x(18-x)
    B=18x-x2
    B(x) = 18x – x2 yoo jenne B(x) = 18-2x ta’a.
   B(x) = 0
    18-2x=0
    -2x=-18
    x=9
   B(x) = (18-2x)’ = -2
    B(9) = -2<0 waan ta’eef x = 9 irratti gat-guddaa qaba.
   x = 9 yoo ta’e immoo y = 18-9 = 9 ta’a.
   Kanaafuu, lakkoofsootni lamaanuu yoo wal qixa 9 ta’an baay’ataan isaanii guddaa ta’a jechuu dha.
2. Qootee bulaan tokko shuboo dallaatiif ta’u 100m qaba. Qotee bulaan kun lafa reektangulaawaa ta’e keessaa rogoota sadan qofa ijaaruu barbaade. Rogni afraffaan laga irra waan ta’eef karaa kana ijaaruu hin barbaachisu. Safari dheerina rogootaa meeqa yoo ta’e bal’ina guddaa dallaa kana ijaaruun dannda’ama?

Furmmaata:
Mee dheerinni fi dalgeen dallaa reektaangilaawaa kanaan x fi y haa jennu.

     y

                 x

Rogni afraffaan laga irraa waan ta’eef karaa kana ijaaruun barbaachisaa akka hin taane dagachuu hin qabdan. Kanaafuu, dheerina rogoota x fi y kan bal’insa guddaan karaa sadaniin qofa shuboo dheerinni isaa 100m ta’een ijaaruun danda’amu barbaadna jechuu dha.
Mee bal’inni B=xy haa ta’u. Naannawi dallaa kanaa x + y + y dheerina shubootiin walqixa ta’a. Kanaaf,
x+y+y=100  x+2y=100
 x= 100-2y ta’a.
B=xy =(100-2y)y = 100y-2y2 ta’a.
B(y) = 100y-2y2 yoo jenne
B’(y) = (100y-2y2)’ = 100-4y ta’a. Lakk. kiritikaalaa argachuuf
B’(y) = 0
 100-4y =0
 y = 25 ta’a jechuu dha.
Yaalii dariveetiivii 1ffaa ykn 2ffaa fayyadamuun y =25 irratti gat-guddaa arganna jechuu dha.
y=25m yoo ta’e x=100-2(25m)=50m ta’a. Kanaafuu, qoteebulaan kun dallaa bal’insa guddaan ijaruu kan danda’u yoo dheerinni fi dalgeen dallaa tartiibaan 50m fi 25m ta’ee jechuu dha.

3.6. Jijjiirraa Reetii
Boqonnaa lammaffaa keessatti dariveetiivii fayyadamuun haala dhundhula sarara tanjeentii giraafii faankishinii kennamee tuqaa kennamee irratti barbaadnu ilaaluun keenya ni yaadatama. Kutaa kana keessatti yaada dariveetiivii fayyadamuun akkaataa baay’ina waantota sababa jijjiirama waantota biraatiin uumamu fi akkaataa jijjiirama Reetii itti barbaadamu ilaalla.
Fakkeenya 3.10
Gaaffilee armaan gadiif deebii kenni.

1. Raadiyasiin afuufee bifa dhuqunqula qabu tokko daqiiqaa tokko keessatti m hirachaa deema. Qabeen afuufee kanaa yammuu raadiyasiin isaa 4m ta’u reetii meeqaan hirachaa deemaa?
2. Raadiyasiin geengoo 7 dabala deema. Reetiin dabala bal’ina bal’insa geengoo kana yammuu raadiyasiin isaa 20cm ta’u meeqa ta’aa?
   Furmaataa
   Gaaffilee akkanaa furuuf yaada jechootaan kenname gara hima wal qixaatti yookiin hima wal caalmaatti jijjiiruun furuu qabna.
3. Mee raadiyasiin dhuqunqula kanaa r haa ta’u.
   Qabeen dhuqunqula kanaa V= r3 ta’uu yaadattaa?
   As keessatti jijjiiramootni v fi r yeroo t irratti hundaa’u.
   Kennamaa: = ta’a. t yeroo yoo ta’e. r=4m
   Kan barbaadamu:
   V= r3 ; =4 r2
   = 4 (4m)2 = (2 )16m2 = 32 ta’a.
   Kanaafuu, yammuu raadiyasiin isaa 4m ta’u qabeen afuufee kanaa daqiiqaatti 32 m3 tiin jijjiiramaa deema.
4. Mee raadiyasiin geengoo kanaa r haa ta’u.
   Bal’inni bal’insa geengoo kanaa B= r2 ta’uu yaadattaa?
   Kennamaa: = ta’a. t yeroo yoo ta’e. r =20cm
   Kan barbaadamu:
   B= r2
   = 2 r = 2 (20cm) = 280 ta’a.
   Kanaafuu, yammuu raadiyasiin isaa 20cm ta’u bal’inni bal’insa geengoo kanaa seekondiitti 280 m2 tiin jijjiiramaa deema. 3.7 Golboo Ijaaruu

Kutaa darban keessatti haalota gat-guddaa fi gat-xiqqaa naannoo faankishinootaa itti barbaadnu addaan baafachuun keessaan ni yaadatama. Kutaa kana keessatti fayyada dariveetiivii kana dura ilaalaa turee fi amaloota giraafii faankishinii itt ijaaramu fayyadamuun haala giraafii faankishinii itti ijaaruu dandeenyu kan ilaallu ta’a.

Giraafota faankishinoota ijaaruu dura mee seerota bu’uuraa (tarkaanfilee) kanneen giraafota faankishinootaa ijaaruuf nu fayyadan akka armaan gadiitti haa ilaallu.
Tarkaanfii 1 – Lakkoofsota kiriitikaalii yoo jiraatan barbaaduu fi gat-
fiixeewwan naannoo adda baafachuu.
Tarkaanfii 2 – Intervaalota faankishiniichi irratti dabaloo ykn hir’isoo ta’e
adda baafachuu
Tarkaanfii 3 – qaxxaamuroota siiqqeewwanii yoo jiraatan barbaaduu
Tarkaanfii 4 – Haqaaqota giraafii faankishinii kennamee yoo jiraatan
barbaaduu
Tarkaanfii 4 – Barbaachisaa yoo ta’e gabatee lakkoofsotaa kanneen tuqaalee
giraafii faankishinichaa irra jiran mul’isu hojjechuu
Fakkeenya 3.11
Giraafota faankishinoota armaan gadii ijaari.
a) f(x)= x3-3x+4 b) f(x)=-x3+3x-2 c) f(x)=x+
Furmaata
Mee tarkaanfilee armaan olii fayyadamuun haa giraafota faankishinootaa ijaarru.
a) f(x)= x3-3x+4
Tarkaanfilee
i) Lakkoofsota kiriitikaalii barbaaduu fi gat-fiixeewwan naannoo adda
baafachuu.
f(x)= x3-3x+4; f (x)= 3×2-3 ta’a.
Lakkoofsota kiriitikaalii barbaaduuf:
f (x)= 3×2-3=0; 3×2=3
 x2=1
 x= = ta’a.
Kanaafuu, lakkoofsotni kiriitikaalii -1 fi 1 ta’u jechuu dha.
Yaalii dariveetiivii 1ffaa ykn 2ffaa fayyadamuun f(-1) fi f(1) gat-fiixee naannoo f ta’uu ni hubanna.
f(x)= x3-3x+4; f(-1)= (-1)3-3(-1)+4=-1+3+4=6 fi
f(1)= 13-3(1)+4= 1-3+4=2
Kanaafuu, gat-guddaan f(-1)=6 fi gat-xiqqaan f(1)=2 ta’u.
ii) f (x)= 3×2-3 = 3(x2-1)= 3(x+1)(x-1)
Mee intervaalota faankishinii f(x)= x3-3x+4 irratti dabaloo yookiin hir’isoo
ta’e addaan haa baafannu.

 f (x)= 3x2-3 = 3(x+1)(x-1)
    -1                   1

x+1 – – – +++ +++
x-1 – – – – – – +++
(x+1)(x-1) +++ – – – +++
Kanaafuu, intervaalota (-,-1] fi [1,+) irratti f(x)= x3-3x+4 dalaloo sirrii yoo ta’u intervaalii (-1,1) irratti f(x) hir’isoo sirrii dha.
iii) Qaxxaamuroota:
f(x)= x3-3x+4 haa fudhannu.
y=0 yoo ta’e x3-3x+4=0 ta’a. Himni wal qixaa x3-3x+4=0 ruuttota
lakkoofsoota raashinaalii hin qabu. Haa ta’u malee, giraafiin f(x)= x3-3x+4
siiqqee X qaxxaamuruun dirqama ta’a. Mee gabatee armaan gadii haa
xiinxallu.
X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)= x3-3x+4 -48 -14 2 6 4 2 6 21 56

Akka gabatee kanaatti giraafiin f intervaalii (-3,-2) keessatti siiqqee X
ni qaxxaamura.
x=0 yoo ta’e y=4 ta’a. Kanaafuu, giraafiin f siiqqee Y tuqaa (0,4) irratti ni
qaxxaamura.
iv) Giraafiin f haqaaqota hin qabu.
Giraafiin f akka armaan gadiitti ijaarameera.
Y

                  f(x)= x3-3x+4


       X
  2

                                Dana 3.7 Giraafii f(x)= x3-3x+4 

b) f(x)=-x3+3x-2
Tarkaanfilee
i) Lakkoofsota kiriitikaalii barbaaduu fi gat-fiixeewwan naannoo adda
baafachuu.
f(x)=-x3+3x-2; f(x)=-3×2+3=0
 -3×2=-3  x2 =1  x= = ta’a
Kanaafuu, lakkoofsotni kiriitikaalii -1 fi 1 ta’u jechuu dha. Yaalii dariveetiivii 1ffaa ykn 2ffaa fayyafamuun
f(x)=-x3+3x-2
f(-1)=-(-1)3+3(-1)+2=1-3+2=0 gat-xiqqaa naannoo f ti
f(1)=-13+3(1)+2= 4 gat-guddaa naannoo f ti
ii) f (x)= -3×2+3 = -3(x2-1) = -3(x+1)(x-1)
Mee intervaalota faankishinii f(x)=-x3+3x-2 irratti dabaloo yookiin hir’isoo
ta’e addaan haa baafannu.
f (x)= -3×2+3 = -3(x+1)(x-1)
-1 1
-(x+1) +++ – – – – – –
x-1 – – – – – – +++
-(x+1)(x-1) – – – +++ – – –

Kanaafuu, intervaalota (-,-1] fi [1,) irratti f(x)=-x3+3x-2 hir’isoo sirrii yoo ta’u intervaalii [-1,1] irratti f(x) dalaloo sirrii dha.
iii) Qaxxaamuroota:
f(x)= -x3+3x+2 haa fudhannu.
y=0 yoo ta’e -x3+3x+2=0
 – (x+1)(x+1)(x-2)=0  x=-1 yookiin x=2 ta’a.
x=0 yoo ta’e y=2 ta’a.
Kanaafuu, giraafii f siiqqeewwan tuqaalee (-1,0), (2,0) fi (0,2) irratti
qaxxaamura.
iv) Giraafiin f haqaaqota hin qabu.
Giraafiin f akka armaan gadiitti ijaarameera.

Y
4


2

                                                      2    X

                             Danaa 3.8 Giraafii f(x)= -x3+3x+2 

c) f(x)=x+
i) Lakkoofsota kiriitikaalii barbaaduu fi gat-fiixeewwan naannoo adda
baafachuu.
f(x)=x+  f (x)= 1- ta’a.
f (x) tuqaa x=0 irratti hiikoo hin qabu.
f (x)=0; 1- =0  =0  x2-4=0
 x2=4  x =  x= 2
Kanaafuu, lakkoofsotni kiriitikaalii x=-2, x=0 fi x=2 ta’u.
Haa ta’u malee, f(x) tuqaa x=0 irratti hiika dhabeessa waan ta’eef
gat-fiixee argachuu hin dandeenyu. Kana jechuun f(x)= x+ gat-fiixee
qabaachuu kan danda’u x=-2 fi x=2 irratti ta’a jechuu dha.
Kanaaf yaalii dariveetiivii 1ffaa ykn 2ffaa fayyadamuun
f(-2)= -2+ = -2-2=-4 fi f(2) = 2+ = 4 ta’a. Kanaafuu, f(-2)=-4 gat-xiqqaa
yoo ta’u f(2)=4 ta’a jechuu dha.
ii. Mee intervaalota faankishinii f(x)= x+ irratti dabaloo yookiin hir’isoo ta’e
addaan haa baafannu.
f(x)= f(x)= 1- = =
-2 0 2
x+2 – – – +++ +++ +++
x-2 – – – – – – – – – +++
(x+1)(x-1) +++ – – – – – – +++
x2 +++ +++ +++ +++

+++ – – – – – – +++

Kanaafuu, f(x)= x+  intervaalota (-,-2] fi [2,+) irratti dabaloo sirrii yoo ta’u  intervaalota [-2,0] fi [0, 2] irratti hir’isoo sirrii ta’a.

iii) Qaxxaamuroota:
f(x)= x+ haa fudhannu.
y=0 yoo ta’e x+ =0 ta’a.
x+ =0  x2+4=0
Gatiin x hima kana dhugoomsu hin jiru waan ta’eef giraafiin f siiqqee x hin
qaxxaamuru.
x=0 yoo ta’e y hiika dhabeessa ta’a. kanaafuu, giraafiin f siiqqee y hin
qaxxaamuru.
iv) Haqaaqota:
f(x)= x+ =
Haqaaqni olee x=0 ta’a. Haqaaqa shaffaaxaa y=x ta’a.
Y
y=x

                                     4

                                  -2    X


-4


                                               Danaa 3.9. Giraafii  f(x)= x+ 

Yaada Guduunfaa

1. f faanksihinii intervaalii I irratti itti fufaa ta’e haa ta’u.
   i. Faankishinni f intervaalii I keessatti gat-xiqqaa qaba kan jennu xI
   lakkoofsi aI fi f(a) f(x) yoo ta’ee dha.
   f(a) gat-xiqaa faankishina f intervaalii I keessatti jedhama.
   ii. Faankishinni f intervaalii I keessatti gat-guddaa qaba kan jennu xI
   lakkoofsi x0I fi f(x0) f(a) yoo ta’e dha.
   f(x0) gat-guddaa faankishina f intervaalii I keessatti jedhama.
2. Tiiramii gat- fiixee
   Faankishina f intervaalii dangeeffamaa cufamaa [a,b] irratti itti fufoo yoo
   ta’e f intervaalii [a,b] irratti gat-xiqqaa yookiin gat- guddaa ni qaba.
3. Faankishinni f intervaalii [a,b] irratti itti fufaa fi intervaalii (a,b) keessaatti
   dariveetawaa haa ta’u. f intervaalii [a,b] keessatti gat-fiixee yoo qabaate
   lakkoofsi c[a,b] kan f (c)=0 taasisu ni jira.
4. Tiiramii Rolle
   Mee f faankishina intervaalii [a,b] irratti itti fufaa fi intervaalii (a,b) irratti
   dativeetawa haa ta’u. f(a) = f(b) yoo ta’e lakkoofsi c(a,b) kan f΄(c)=0 taasisu
   tokko ni jira.
5. Tiiramii Gat- qixoomaa (Mean Value Theorem)
   Faankshinni f intervaalii [a,b] irratti itti fufaa fi intervaalii (a,b) irratti
   dariveetawa yoo ta’e lakkoofsi c(a,b) kan ta’e
   f ΄(c)= taasisu ni jira.
6. Mee faankishnni f intervaalii a,b irratti itti fufaa fi intervaalii (a,b) irratti
   dariveetawa haa tau. i. x(a,b), f΄(x)>0 yoo tae f intervaalii a,b irratti dabaloo dha.
   ii. x(a,b), f΄(x)>0 fi tuqaalee murtaaaa inteervaalii a,b keessatti argamaniif f΄(x)=0 yoo tae f inteervalii a,b irratti dabaloo sirri dha.
   iii. x(a,b) f΄(x)<0 yoo tae f intervaalii a,b irratti faankishina hirisoo dha.
   iv. x(a,b) f΄(x) <0 fi tuqaalee murtaaaa intervaalii a,bkeessatti argamuuf f΄(x)=0 yoo tae f intervaalii a,b irratti faankishina hirisoo sirrii taa.
7. Tiiramii 3.5 – Yaalii Tokkoffaa Dariveetivii
   Faankishinni f intervaalii I irratti fufaa fi cI haa ta’u.
   a) Tuqaa c irratti f poozatiivee gara neegatiiviitti jijjiirama yoo ta’e
   faankishinni f c irratti gat- guddaa naannoo qaba.
   b) tuqaa c irratti f neegatiivii irraa gara poozatiiviitti jijjiirama yoo ta’e
   faankishinni f c irratti gat- xiqqaa naannoo qaba.
8. Tiiramii 3.6 – Yaalii Dariveetiivii Lammaffaa
   Faankishinii f tiif f(c)=0 haa ta’u.
   a) f(c)<0 yoo ta’e f(c) gat-guddaa naannoo ta’a. b) f(c)>0 yoo ta’e f(c) gat-xiqqaa naannoo ta’a.

Gilgaala Waliigalaa

1. Lakkoofsota kiriitikaalii gat-fiixeewwan faankkkishoota armaan gadii
   barbaadi.
   a) f(x)= x2+4x+6 b) f(x)=|x-2|
   c) f(x)= 4×3-6×2-9x+2 d) f(x)=
2. Faankishinoota armaan gadii fudhuutii haalota tiramii Roollee ibsi.
   a) f(x) = x2-3x+2; [1,2] b) f(x) =
3. Tiramii gat-qixoomaa faankishinoota armaan gadii intervaalii
   kenname irratti hojjechuun adda baasi.
   a) f(x) = , [1,2] b) g(x) = x2-2x+5, [2,5] c) f(x) = |x-1|, [1,3]
4. Intervaalota faankishinootni armaan gadii irratti dabaloo ykn hir’isoo sirrii
   ta’an adda baasi.
   a) f(x) = -x2-4x+4 b) f(x) = x3-12×2+4 c) f(x) = cosx
   d) f(x) = x3+ e) f(x)= f) f(x) =x-xex
5. Yaalii dariveetiivii tokkoffaa ykn yaalii dariveetiivii lammaffaa fayyadamuun
   gat-fixeewwan naannoo barbaadi.
   a) f(x)= x3+x2-x-4 b) f(x)= x4-x3 c) f(x)=1-
   d) f(x) = e)f(x)=x3- f) f(x)=x4-8×2+1
6. Naannawni reektaangilii 80m yoo ta’e dheerina rogoota reektaangilii bal’insa guddaa kennu barbaadi.
7. Dheerina rogoota reektaangilii geengoo raadiyasii 6sm ta’een alaan marfamee kanneen bal’insa guddaa kennan barbaadi.
8. Giraafii faankishinoota armaan gadii ijaari.
   a) f(x) = x3-12×2+4 b) f(x)=
   c) f(x)= x3+x2-x-4 d) f(x)=
   BOQONNAA 4
   INTEGIRAALII
   Seensa
   Boqonnaa sadaffaa keessatti haala gat-guddaa fi gat-xiqqaa faankishinii itti barbaadnuu fi jijjiirraa reetii waantoota sababa waantoota birootiin uumamu ilaallee jirra.

Boqonnaa kana keessatti yaadota kaalkuleesii keessatti bu’uura ta’an Integiraalii jalatti ida’ama irraa fi ida’ama jalaa, maloota intagireessuu, teeramii bu’uuraa kalkuleesii fi integiraalii murtaa’aa fi integiraalii hin murtoofne jalatti teeramoota adda addaa ilaalla.

Kaayyoo
Dhuma boqonnaa kannatti Leenjiffamtootni:
 Antidariveetiivii fankishinootaa ni ibsu.
 Amaloota integiraalii hinmurtoofnee ni ibasu.
 Bal’ina bal’insaa ida’ama irraa fi ida’ama jalaa gargaaramuun ni ibsu.
 Teeramii Bu’uura kaalkulasii ni ibsu.
 Teeramoota integreeshinii ni mirkaneesu.
 Amaloota inteegiraalii murta’oo adda addaa ni ibsu.
 Tiramii bu’uura kaalkuulasii fayyadamuun ni furu.
 Bal’ina bal’insa inteegiraalii murta’oo fayyadun ni furu.

4.1 Antiidariveetiivii fi Integiraalii Hin Murtoofne
Kutaa kana keessatti maalummaa integiraalii hin murtoofne kan ilaallu ta’a. Faankishina darveetiiviin isaa kennameef antiidarivaatiivii faankishina ni barbaadaa. Amaloota inteegiraalii hin murtoofnee kan itti adda baafattan ta’a.

Fakkeenya 4.1
f (x)=2x+3 yoo ta’e f(x)=x2+3x+c, c ta’a. Sababni isaa (x2+3x+c)=2x+3 waan ta’eef. Haala kana keessatti f(x) antiidariveetiivii f (x) jedhama.
Hiikoo 4.1
Faankishini F antiidariveetiivii faankishinii itti fufaa f ti kan jennu yoo x miseensota mandhee f hundaaf F (x) = f(x) ta’e dha.
Fakkeenya 4.2
Dariveetiiviin F(x) = 2×2+3x+1 waan f(x) = 4x+3 ta’eef F(x) = f(x) ta’a.
F(x) = 2×2+3x+1 antiidariveeliivii f(x)=4x+3 ta’a jechuu dha.

Tiiramii 4.1
F(x) antiidariveetiivii faankishina f(x) yoo ta’e lakkoofsa dhaabbataa c kamiifuu F(x)+c antiidariveeltiivii f(x) ta’a.
Mirkana
[F(x)+c] = [F(x)]+ (c)
= F(x)+0
= F(x)
= f(x)

Kanaafuu, F(x) atidariveetiivii f(x) yoo ta’e F(x)+C antidariveetiivii f(x) ta’a.

Fakkeenyaa 4.3
F(x)=2×2+3x fi G(x)= 2×2+3x+5 yoo fudhanne (x)=4x+3 fi (x)=4x+3 waan ta’aniif F(x) fi G(x) antiidariveetiivoota f(x)=4x+3 ti.
Hub: F fi G lamaanuu antidariveetiivii fankishina f yoo ta’an F – G = c, c  IR ta’a.
Amaloota antidariveetiivii
Mee amaloota antiidariveetiivii kutaa kana keessatti fayyadamnu tiramii armaan gadii haa ilaallu.
Tiiramii 4.2
Faankishinootni F fi G antiidariveetiivota faankishinoota itti fufoo f fi g yoo ta’anii fi k lakkoofsa dhaabbataa kamiyyuu yoo ta’e
i) kF antiidariveetiivii kf ti.
ii) F+G antiidariveetiivii f+g ti.
iii) F-G antiidariveetiivii f-g ti.
Mirkana: (shaakala haa ta’u)

Hiikoo 4.2
Mee f faankishina intervaalii I irratti itti fufaa haa ta’u. F(x) antiidariveetiivii f(x) yoo ta’e F(x) inteegiraalii hin murtoofnee f (indefinite integral of f) jedhama.
Mallattoon tiin barreeffamee ibsama.

• integireeshinii f(x)dx jedhamee dubbifama.
• Mallattoon: mallattoo integireeshinii jedhama.
• f(x) inteegraandii jedhama.
• x jijjiiramaa integireeshinii jedhama.
• F(x) integiraalii hin murtoofne f(x) yoo ta’e lakkoofsa c kamiifuu
  [F(x)+c] = f(x) waan ta’eef
  = F(x)+c ta’a.
  Fakkeenya 4.4
  a) (2×2+3x+C)=4x+3 waan ta’eef
  = 2×2+3x+C t’a jechuu dha.
  b) (lnx+C)= waan ta’eef
  = lnx+C ta’a.
  Amaloota integiraalii hin murtoofne:

Tiiramii 4.3
Mee f fi g faankishinoota itti fufoo intervaalii I irratti haa ta’an.
i. =k
ii. ta’a.
iii. ta’a.
Mirkana: gilgaala haa ta’u.

4.2 Qoqqoodama, Ida’ama jalaa fi Ida’ama irra
(partition, lower sum and upper sum)
4.2.1 Qoqqoodama (partition)
Kutaa kana jalaatti waa’ee qoqqoodamaa erga barannee booda; Ida’ama jalaa fi Ida’ama irraa akkamiin akka argannu kan ilaallu ta’a.
Kaayyoo
Dhuma kutaa kanaatti Leenjifamtootni:
• Intervaalii cufamaa qoqqoodamaan ni ibsu.
• Ida’ama jalaa fi irraa ni barbaadu.
Mee bal’insi R kana giraafii faankshinii f negaativii hin taaneen dangeeffamee fi intarvaalii cufamaa [a,b] irratti itti fufaa ta’e, a<b, haa ilaalu.
Intijerii poozativii n kamiifuu, intarvaalii cufamaa [a,b] kan bakka bu’uun tuqaalee fageenya xixiqqaatti xixineessinee haa hirru. Mee tuqaalee kanneen x0,x1,x2,……xn haa jennu.

        Y                               Y   

                                                                                f      
                                                    f                    
R

a b X xo=a x1 x2 b=xn X
Danaa 4.1 Danaa 4.2
Hiikoo 4.3
Qoqqoodaman intarvaalii cufamaa [a,b] tarkaanfii tuqaalee muraasaa x0, x1, x2, ⋯, xn kan hariiroo a = x0 < x1 < x2 < ⋯ < xn = b qaban ta’ee tuuta tuqaalee kana kan agarsiisuu p ta’a, kana jechuun P = { x0, x1, x2, ⋯, xn } ta’a.
Hub. Hiikoo 4.3 irratti hunda’uun
a) Qoqqoodama [a,b] kamiiyyuu dirqama a fi b lamaanuu hammachuu qaba.
Fakkeenya 4.8
{ 0, , 1 , 2 , 3} fi { 0, , ,1, } qoqqoodama [0,3]ti
Garuu, { ,1, } qoqqoodama ykn ciccita [0,3] miti.
Sababani isaa 0 waan hinqabneef .
b) Qoqqoodama p = { x0 ,x1, x2, ⋯, xn }, bifa intarvaalii [a,b] yoo
addaan qoqqoodnu:
[x0,x1], [x1,x2], [x2,x3], …, [xn-1,xn] ta’u.
dheerinii cita-intarvaalii x1 – x0, x2 ― x1, x3 ― x2, ⋯, xn ― xn-1 akka
dura fi aantee tartiibaan arganna.
c) Dheerinii xk ― xk-1 kan kffaa cita-intarvaalii [xk-1,xk] kan agarsisuun
xk kun xk = xk ― xk-1 ta’a.
Fakkeenyaaf yoo fudhanne { 0, } qoqqoodama [0,3] ta’a.
x0 = 0, x1 = , x2 =1, x3 = , x4 = 2, x5 = , x6 = 3
fi x1 = ― 0 = , x2 =1― = , x3 = ― 1 = , x4 = 2 ― = ,
x5 = fi x6 = 3 ― =
d) dheerinni [a,b] barreeffamuu x1, x2, ⋯, xn kan cita-
intarvaalii armaan gadiitti ibsame dha. Innis,
b-a = (x1 ― x0) + (x2 ― x1) + (x3 ― x2) + ⋯ + (xn ― xn-1)
=x1 + x2 + ⋯ +xn ta’a

4.2.2 Ida’ama Jalaa (lower sum)
Kutaa kana jalaatti waa’ee Ida’ama jalaa akkamittii akka argataan fi hariiroo tiramii gat-xiqqaa fi gat-guddaa waliin qabaan ni ibsu.
Tiramii gat-xiqqaa fi gat- guddaa kan faakshinii itti fufaa intarvaalii cufaa irratti yaadata? Yoo yaadachuu baatte irraa deebi’ii duubsi.
Amma mee f fankishinii itti fufaa fi intarvaalii cufamaa [a,b] iratti poozatiivii jennee haa fudhannu. Qoqqoodama p intarvaalii cufaa [a,b] haa filannu. Cita intarvaalii p irra argamee tokko tokko danaalee reektaangilii keessaan marfaatoo (inscribed) giraafii faankishinii f kan ta’ee reektaangilii guddaa bal’insa R keesaatti argamu haa fudhannu.
Y f R1 R2 R3 Rk mk Rn
X
A = x0 x1 x2 x3 xk xn-1 xn = b Danaa 4.3
Hub. Lakkoofsa k gidduu 1 fi n itti argamu kamiifuu bal’insa Rk hundee
[xk-1,xk] dheerinni xk fi hojjaa (height) mk ta’a. kanaafuu, bal’inna
Rk baay’ataa mkxk ta’a.
Ifaaatti, Ida’amni
m1x1 + m2x2 + m3x3 +… +, mnxn
kan bal’ina ida’ama reektangilii hundaa irra xiqqaa bal’ina bal’insa R
ti. Ida’amaan m1x1 + m2x2 + m3x3 +… +, mnxn agarsiisuuf kan
mallatteessinu Lf(p) fi Ida’ama jalaa kan f qoqqooqama p wajjin
tumsaa qabu dha.
Kunis, Lf(p) = m1xk + m2xk + m3x + ⋯ + mnxn + ⋯ ta’a.
Kana jechuun bal’insi bal’ina R yoo adda baafnee gatiisaa beekuu bannellee yoo xiqqaate hanga ida’ama jalaa ni gaha.
Fakkeenya 4.9: Mee f(x) = x2, haa jennu.
Lf(p) fi Lf(p) barbaadi yoo p = { 0, } fi P = { }
Furmaata: Cita-intarvaliin [0,2] ciccita wajjin tumsa qaban dursinee haa
barbaadnu.
p = { 0, } tiif citi intervaalotaa [0, ], [ ,1], [1, ], [ ,2] ta’u.
Yoo gat-xiqqaa f tokko tokkon cita-intarvaaliitiif barbaanuu: m1 = f(0) = 0, m2 = f( ) = , m3 = f(1) =1, m4 = f( ) = ta’u.
Itti dabalun, x1= , x2 = , x3 =1― = , x4 = fi x5 = 2 ― ta’u. f
kanaafuu, Lf(p) = 0. + . + 1. + . = Y
f(x) = x2 ,
Haaluma walfakkatuun Lf(p’) haabarbaadnu 0 1 2 X
Danaa 4.4
P = { } tiif citootni intervaalii [0, ], [ , ], [ ,1], [1, ], fi [ ,2]
m1 = f(0) = 0, m2 = f( ) = , m3 = f( ) = , m4 = f(1) = 1, m5 = f( ) =
x1 = , x2 = , x3 =1― = , x4 = fi
x5 = 2 ― ta’u.
Lf(p) = 0. + . + . +1. + . =
Fakkeenya 4.10. Mee f(x) = cosx, . Lf(p) barbaadi p = { }
Furmaata: Cita- intarvaalii p wajjin tumsa qabu
[0, ], [ , ], [ , ], fi [ , ]. Gat-xiqqaa f yoo barbaanu,
m1 = f(0)=1, m2 = f( ) = , m3 = f( ) = 0, m4 = f( ) = – ta’u.
dabalaatan , x1 = ― 0 = , x2 = ― = , x3= ― = fi Lf(p) = m1x1 + m2x2 + m3x3 + m4x4
=1. + . + 0. + – . =
4.2.3 Ida’ama irra ( upper sum).
Hiikoo Ida’ama irra kan faankshinii dangeeffama fi itti fufoo intarvaalii cufaa [a,b] irratti yaali. Kutaa kana jalaatti waa’ee Ida’ama irraa (upper sum) akkamitii akka barbaadnu fi garaagaruummaa ida’ama jalaa fi ida’ama irraa ni hubaattu.
Mee p = {x0, x1, x2, ⋯, xn} qoqqodama kennamee kan [a,b] haa jennu. Akkasumas, mee f faanksihinii itti fufaa fi [a,b] irratti poozativiidha haa jennu. Citaa intarvaalii p irraa argamu tokko tokkoof danaalee reektaangilii al-marfamoo (circumscribed) giraafii faankishina f kan ta’aniif:
M1x1 + M2x2 + ⋯ +Mn xn arganna.
Bal’inna reektaangilii al-marfamoo (circumscribed) giraafii kan ta’an reektaagilii bal’insa R alaan argaman yoo fudhanne irra gudda bal’inna bal’insa R ti. Ida’ama M1x1 + M2x2 + ⋯ + Mn xn tiin Uf(p) agarsiifna. akkasumas, ida’ama irraa kan f tumsa qoqqoodama p wajjin qaban fudhachuun:
Uf(p)= M1x1 + M2x2 + ⋯ + Mnxn ta’a.
Fakkeenya 4.11

1. f(x) = x2, tiif , Uf(p) if Uf(p’) barbaadi
   P = { 0, } fi p’ = { }
   Furmaata: ciccita p kan qabnuf
   M1= f( , M2 = f(1)=1, M3=f , fi M4 = f(2)= 4 akkasumas
   x1 = x2 = x3 = x4 =
   Kanaafuu, Uf(p) = M1x1 + M2 x2 + M3x3 + M4x4
   =
   Haaluma walfakkatuun Uf(p’) barbaaduuf
   M1 = f( , M2 = f( )= , M3 = f( M4 = f( ) = fi M5 = f(2)= 4 akkasumas
   x1 = , x2 = ,x3 = , x4 = , x5 =
   Uf (p) = . + . + 1. + . + 4. =
   Akka waliigalaatti mee p = { x0, x1, x2, ⋯, xn } qoqqodama kennamee kan [a,b] haa jennu. Akkasumas, mee f faanksihinii itti fufaa fi [a,b] irratti poozativiidha haa jennu. Mk fi mk’n gat-guddaa fi gat-xiqqaa [xk-1, xk] irratti yoo ta’an ; k = 1, 2, 3,⋯, n yoo ta’e mk ≤ Mk ta’a kanaafuu ; Lf(p) ≤ Uf(p) ta’a.
   Itti dabaluutiinis wanti beekamuu qabu intervaalii Lf(p) fi Uf(p) nuuf ibsuu danda’u akka barbaannetti yoo filanneyyuu Bal’inni Bal’insa R lakkoofsaan jidduu Lf(p) fi Uf(p) itti argama Kana jechuun
   Lf(p) ≤ Bal’ina R ≤ Uf(p)
   Qoqqoodamiinsa baay’ee fayyadamuu gatii ida’ama jalaa fi ida’ama irraa walitti siiqsinee Bal’ina Bal’insaa keenya tilmaamuun ni danda’ama. Walitti dhufeenya ida’ama jalaa fi ida’ama irraa murteessuuf lakkoofsa dhaabbataa c tokko p keessaa ossoo hin taane intervaalii kenname keesaa fudhannee p itti maknee qoqqooduu. Kunis mee c = haajennu
   p = { 0, , 1, , 2, } yoo ta’e fi p = { 0, , , 1, , 2, } ta’e.
   Lf(p) ≤ Lf(p) ≤ Uf(p) ≤ Uf(p) ta’a.

4.3. Integiraalii Murtaa’aa (Definite Integral)

Koorsii ji’oomeetrii diriiroo keessatti bal’ina danaa reektaargilii irraa ka’uun akka bal’ina rog-sadee barbaaduun danda’amuu fi bal’ina rog-sadee irraa ka’uun bal’ina rog-baay’ee akka barbaaduun danda’amu ilaalaa turuun keessaan ni yaadama.
Kutaa kana keessatti yaad-rime limiitii fayyadamuun bal’ina bal’insa golboowwanii fi sararootaan daangeeffame gidduu jiru akkamiin akka barbaadnu ilaalla. Yaada kana irraa ka’uun maalummaa integiraalii murtaa’aa kan hiiknu ta’a.
4.3.1 Hiikoo Integiraalii Murtaa’aa
Mee faankishinni f intervaalii daangeeffamaa cufamaa [a,b] irratti itti fufaa haa ta’u. Bal’ina bali’nsa giraafii f fi siiqqee x gidduu jiru intervaalii [a,b] irratti haa barbaadnu.

    Y

            f   Danaa 4.5


X
   a                     b

Bal’ina bal’insa B kana akkamiin barbaadu dandeenyaa?
Bal’ina bal’insa B gara reektaangiloota xixiqqaa ta’aniitti qoqqoduun bal’ina bal’insa B barbaaduu dandeenya yoo jettaan yaadni keessan sirrii dha. Mee giraafii faankishinii f armaan gadii haa fudhannu.
Y

        f


X
                 a=xo  x1  x2  x3  x4       xn-1   b=xn

               Danaa 4.6

Mee jalqaba intervaalii [a,b] qoqqoodama intervaalootaatiin haa qoqqoodnu. Isaaniis: [a,x1], [x1,x2], [x2,x3],- – – , [xn-1,b] haa ta’an.
Fageenyi tuqaalee a=x0, x1, x2, – – – xn-2, xn-1, xn =b gidduu jiru wal qixa haa ta’u. Kana jechuun x1-x0 = x2-x1=x3-x2 = – – – = xn-xn-1 =x ta’a jechuu dha.
Mee x =x1-x0 = x2-x1 = x3-x2 = — – = xn-xn-1 haa ta’u. Intervaalii [a,b] intervaalota dheerinni wal qixaa baay’inni isaanii n ta’aniitti waan qoqqoodamaniif
x = ta’a.
x dalgee reektaangilota uumamanii yoo ta’u f(xi), i:1,2, – – -, n olee reektaangilii ta’a.
Kanaafuu, bal’inni bal’insa B giraafii f fi siqqee x gidduu intervaalii [a,b] irratti
= xf(x1)+ xf(x2)+xf(x3)+ – – – +xf(xn-1)+xf(xn)
=
= ta’a.
Kanaafuu, Bal’inni bal’insa B = ta’a jechuu dha.

Hiikoo 4.4
Mee f inteervaalii [a,b] irratti itti fufaa haa ta’u. Intervaalii [a,b] citoota intervaalii fageenya wal-qixaa x= itti qoqqoodi.
Tuqaalee x1, x2,x3 , – – -, xn gidduu a fi b itti fudhu. Ida’amni bal’ina bal’insa
kanaa ta’a. ida’ama integiraalii jedhama. Limiitiin ida’ama intergiraalii jiraatee lakkooofsa waliigalaa I waliin wal qixa yoo ta’e lakkoofsi I integiraalii murtaa’aa f intervaalii [a,b] irraa jedhama.
Kana jechuun = I = ta’a.
Lmiitiin kun yoo jiraate fi faanksihinii f intervaalii [a,b] irratti itti fufaa yoo ta’e f intervaalii [a,b] irratti integiraawaa (integrable) jedhama.

Fakkeenya 4.13

1. f(x)=cosx intervaalii [0, ] irratti itti fufaa waan ta’eef ni jiraata.
2. Faankishinni polinomiyaalii P(x) intervaalii [a,b] kamiyyuu irratti itti fufaa waan ta’eef ni jiraata.
3. Faankishinnii f(x)= intervaalii [-1,1] irratti itti fufaa miti. Sababni isaa
   f(0) hiika dhabeessa waan ta’eef. Kanaafuu, hin jiraatu.

4.3.2 Amaloota integiraalii Murtaa’aa
Kutaa jalqabaa boqonnaa kanaa keessatti amaloota antiidariveetiivii fi amaloota integiraalii hin murtoofnee ilaaluun keenya ni yaadatama. Mee amaloota kanneen irra daabi’ii ilaali.
Amma immoo bu’aa hiikoo integiraalii murtaa’aa kan ta’an amaloota integiraalii murtaa’aa haala tiramii armaan gadiitti ibsameen kan ilaallu ta’a.
Tiiramii 4.6
Faankishinootni f fi g intervaalii [a,b] irratti faankishinoota integiraawoo fi k lakkoofsa dhaabbataa yoo ta’an f+g fi f-g faankishinoota integiraawoo fi
a) =k
b) = +
c) = –
d) x[a,b], f(x)  0 yoo ta’e  0 fi x[a,b], f(x)  0 yoo ta’e
 0 ta’u.
e) x[a,b], m  f(x)  M yoo ta’e
m(b-a)   M(b-a) ta’a.
f) c[a,b] tiif = + , (amala ida’uu integiraalii)
Hub: a) =0
b) = –
c)
Fakkeenya 4.14
a) =5 ta’a.
b) = +5
c) =3 -5
d) = +
e) =- =

4.4. Tooftaalee Integireeshinii

Kutaalee darban keessatti akkaataa integireeshinii itti barbaaduu dandeenyu ilaalleerra. Kuta kana keessatti maloota garaagaraa integireeshinii itti barbaaduu dandeenyu kan addaan baafannu ta’a.
4.4.1. Mala Bakka buusuun Integireessuu

Kutaa kana keessatti haala mala bakka buusuun integireessuu fayyadamuun integiraalii kenname itti barbaadamu kan ilaallu ta’a.

Mee maalumma mala bakka buusuun integireessuu adda baafachuuf tiramii armaan gadii sirritti haa xiinxalu. Tiramii kun tiramii bakka bu’iinsaa jedhamee beekama.

Tiiramii 4.4
Faankishinootni g(f(x)) fi f(x) intervaalii [a,b] irratti itti fufaa fi F antidariveetiivii faankishinii g(x) inteeraalii [a,b] irratti yoo ta’e
= F(f(x))+c ta’a.
Mirkana
Mee u = f(x) haa ta’u
= f (x)  du = f (x)dx ta’a
= = F(u) +c = F(f(x)+C ta’a.

Fakkeenya 4.5
Integireeshinii hin murtoofnee armaan gadii barbaadi.
a) b)

Furmaata
Mee mala bakka buusuun integireessuu fayyadamuun integiraalii kennaman haa barbaadnu.
a)
Mee u=x+1 haa ta’u.
= =1; du=dx ta’a.
= = +C = +C ta’a.
b)
Mee u=x2+1 haa ta’u.
= +1)=2x; du=2xdx ta’a.
= =
= = = ta’a.

4.4.2. Mala Gar-tokkeessuun Integireessuu
(Integration by parts)

Kutaa kana keessatti haala mala gar-tokkeessuun integireessuu (Integration by part) fayyadamuun integiraaliin itti barbaadamu kan ilaallu ta’a.

Tiiramii 4.5

Faankishinootni f fi g dariveetiivota itti fufoo yoo qabaatan
f(x)g(x) – ta’a.

Mirkana
Akka Seera baay’ataa darivaatiiviitti:
(f(x).g(x)) = f(x).g(x)+f(x).g(x) ta’a.
Faankishinootni f, g, f fi g faankishinoota itti fufoo waan ta’aniif inteegiraalotni
fi hiika qabeessa ta’u.
(f(x).g(x)) = f(x).g(x)+f(x).g(x) gamaa gamana integireetii gochuun
= +
f(x).g(x) = +
= f(x).g(x) – ta’a.

Kanaafuu, = f(x).g(x) – ta’a.
Hub: f(x) = u, g(x) = v dhaan bakka yoo buusne
f (x)dx = du g (x)dx = dv waan ta’eef
= uv – ta’a.
Fakkeenya 4.6
Integiraalii armaan gadii barbaadi.
a) b)
Furmaata

Integiraalota kanneen barbaaduuf mee mala gar-tokkeessuun Integireessuu haa fayyadamnu.
a)
Mee f(x) =x fi g(x) =cosx haa ta’u.
Kana jechuun f(x)=1 fi g(x) = = sinx ta’u.
Akka mala gar-tokkeessuun integireessuutti:
= f(x).g(x) –
= x.sinx- = xsinx-
= xsinx- (-cosx)+C = xsinx+cosx)+C ta’a.
Kanaafuu, = xsinx+cosx)+C ta’a jechuu dha.
b)
Mee u = x fi dv = exdx haa ta’an.
Kana jechuun du=1 fi v = = ex ta’u.
Akka mala gar-tokkeessuun integireessuutti:
= uv –
= xex – = xex – = xex – ex +c ta’a.
Kanaafuu, = xex – ex +c ta’a jechuu dha.

4.4.3. Mala Inteegireeshinii Firaakshinii Gar-tokkeessuun
Kutaa kana keessatti haala faankishinni raashinaalii bifa firaakishiniitiin ibsame gara ida’ama (caalmaa) firaakishinootaatti caccabsuun integiraaliin itti barbaadamu kan ilaallu ta’a.
Faankishinoota raashinaalii bifa firaakishiniitiin ibsaman akkamiin gara ida’ama yookiin caalmaa firaakishinootaatti caccabsuu dandeenyaa?
Mee faankishinii raashinaalii f(x)= gara firaankishinoota sasalphaa ta’aniitti caccabsuun akkamiin akka ibsuu daneenyu akka armaan gadiitti haa ilaallu.
Faankishinii raashinaalii f(x)= gara firaankishinoota sasalphaa ta’aniitti caccabsuuf:
i. digiriin q(x) digirii p(x) hin caalu yookiin wal qixa yoo ta’e waamamaa p(x)
waamsisaa q(x) tiif hiruun ibsi.
ii. q(x) akka baay’ataa hirmaattootaatti ibsi.
iii. Hirmaattoota q(x) argamaan irratti hundaa’uun f(x)= gara
ida’ama firaashinitti caccabsuun ibsi.
iv. p(x) fi q(x) hirmaatteessuun ibsuun f(x)= kan salphachuu danda’u
yoo ta’e salphisuun ibsu.

Fakkeenya 4.7
Faankishinoota Raashinaalii armaan gadii akka ida’ama firaakshinoota sasalphaatiin erga ibsitee booda integiraalii isaanii barbaadi.
a) f(x)= b) f(x)=
Furmaata
a) f(x)=
Digiriin waamamaa digirii waamsisaa kan caalu waan ta’ee waamama
waamsiisaatiif hiruutiin f(x) akka ida’ama firaakshinoota sasalphaatti
ibsuu ni dandeenya.
f(x)= = x+ ta’a jechuu dha. Kanaaf,

b) f(x)=
Digiriin waamamaa fi digirii waamsisaa wal qixa waan ta’niif waamama waamsiisaatiif hiruutiin f(x) akka ida’ama firaakshinoota sasalphaatti ibsuu ni dandeenya.
f(x)= = 1+ =1+ ta’a.
Itti fufuun akka ida’ama yookiin caalmaa firaakshinootaatti ibsina.
Mee = + haa ta’u.
=
=
=
Kana jechuun A+B=0 fi -2A+2B=8 ta’a jechuu dha.
Himoota wal qixaa kanneen furuun A=-2 fi B=2 arganna.
Kanaafuu, = +
= – ta’a.
Kana jechuun f(x)= = 1+
=1+ – ta’a.

4.5 Tiiramii Bu’uuraa Kaalkulasii
Kutaa darbe keessatti maalummaa integiraalii murtaa’aa ilaalleerra.
Kutaa kana keessatti immoo integiraalii murtaa’aa barbaaduuf kan nu gargaaru tiiramii bu’uuraa kaalikulasii kan ilaallu ta’a.
Tiiramii 4.7 –Tiramii Bu’uuraa Kaalkulasii
Mee faankishinni f(t) intervaalii [a,b] irratti itti fufaa haa ta’u. Faankishinni F(t) antiidariveetiivii f(t) yoo ta’e =F(b)-F(a) ta’a.
Mirkana
Mee G(x)= antiidariveetiivii f(x) ti. F(x) antiidariveetiivii f(x) waan ta’eef x[a,b], G(x)=F(x)+c ta’a. Kana jechuun
G(x)= = F(x)+c ta’a.
x=a yoo ta’e G(a)= = 0 =F(a)+c ta’a. kanaafuu, F(a)=-c dha.
Kana jechuun x[a,b], = F(x)-F(a) ti.
x=b yoo ta’e = F(b)-F(a) ta’a. Kanaafuu, = F(b)-F(a) ta’a. = F(b)-F(a)=F(x) barreessuu ibsina.
Tiiramii Bu’uuraa Kaalkulasii irraa kan hubannu f(x)  0 fi F(x) antiidariveetiivii f(x) yoo ta’an bal’inni bal’insa giraafii f, siiqqee X fi sararoota olee x=a fi x=b gidduutti argamu
= F(b)-F(a) ta’a.
Fakkeenya 4.15
Integiraalota murtaa’aa armaan gadii barbaadi.
a) b) c) d)
Furmaata
a) = ( +c) = +c-( +c) = = = 4
b) = x2+2x = 52+2(5)-22-2(2)= 25+10-4-4 = 35-8 = 23
c) = x3-x2+x = 33-32+2-((-2)3-(-2)2-2)
= 27-9+2+8-4-2 = 22
d) = sinx = sin -sin = 1-(-1)= 2

4.6 Jijjiirraa Jijjiramootaa (change of variables)
Kutaa 5.3 keessatti mala bakka buusuun integireessuu akka dandeenyu ilaalleerra. Mala integireessuun walitti dhufeenya kan haala jijjiramoota jijjiiruun integiraalii murtaa’aa itti barbaaduu dandeenyu kan ilaallu ta’a.
x[a,b], faankishinni g(x) itti fufaa fi faankishinnii f tuqaa g(x) irratti itti fufaa yoo ta’e mala bakka buusuun integireessuun
ta’a.
u(x)=g(x) waan ta’eef a gara b yoo integireessine daangaan integireessuu faankishinii f u=g(a) gara u=g(b) ta’a.
Kanaafuu, = ta’a.

Fakkeenya 4.16
Integiraalota murtaa’aa armaan gadii barbaadi.
a) b)
Furmaata
Mee jijjiiramoota jijjiiruun haa integireessinu.
a)
Mee u= sinx haa ta’u
du= cosx dx ta’a.
x=0 yoo ta’e u= sin0= 0 ta’a.
x= yoo ta’e u=sin =1 ta’a.
= = = = =

b)
Mee u= x4+2 haa ta’u.
du= 4×3 dx  du= x3 dx ta’a.
x=0 yoo ta’e u=2 ta’a. x=2 yoo ta’e u=24+2= 18 ta’a.
= = u3/2 = ( (18)3/2- 23/2= 52 ta’a.

Yaadota Guduunfaa

1. Faankishini F antiidariveetiivii faankishinii itti fufaa f yoo ta’ee-ta’e
   miseensota mandhee f kan ta’e x hundaaf F(x) = f(x) ta’a.
2. Amaloota antidariveetiivii
   Faankishinootni F fi G antiidariveetiivota faankishinoota itti fufoo f fi g yoo
   ta’anii fi k lakkoofsa dhaabbataa kamiyyuu yoo ta’e
   i) kF antiidariveetiivii kf ti.
   ii) F+G antiidariveetiivii f+g ti.
   iii) F-G antiidariveetiivii f-g ti.
3. Amaloota integiraalii hin murtoofne: Mee f fi g faankishinoota itti fufoo intervaalii I irratti haa ta’an.
   i. =k
   ii. ta’a.
   iii. ta’a.
4. Maloota integireeshinii
   i. Mala Bakka buusuun Integireessuu
   Faankishinni g(f(x)) fi f(x) intervaalii [a,b] irratti itti fufaa fi F
   antidariveetiivii faankishinii g(x) inteeraalii [a,b] irratti yoo ta’e
   = F(f(x))+c ta’a.
   ii. Mala Gar-tokkeessuun Integireessuu (Integration by part) Faankishinootni f fi g dariveetiivota itti fufoo yoo qabaatan
   f(x)g(x) – ta’a.
   iii. Inteegireeshinii Firaakshinii Gar- tokkeessuu
   Faankishinii raashinaalii f(x)= gara firaankishinoota sasalphaa
   ta’aniitti caccabsuuf:
   i. digiriin q(x) digirii p(x) hin caalu yookiin wal qixa yoo ta’e waamamaa
   p(x) waamsisaa q(x) tiif hiruun ibsi.
   ii. q(x) akka baay’ataa hirmaattootaatti obsi.
   iii. Hirmaattoota q(x) argamaan irratti hundaa’uun f(x)= gara
   ida’ama firaashinitti caccabsuun ibsi.
   iv. p(x) fi q(x) hirmaatteessuun ibsuun f(x)= kan salphachuu danda’u
   yoo ta’e salphisuun ibsu.
5. Faankishinni f inteervaalii [a,b] irratti itti fufaa yoo ta’ee fi Intervaalii [a,b]
   citoota intervaalii fageenya wal-qixaa x= itti yoo qoqqoodamee fi
   tuqaalee x1, x2,x3 , – – -, xn gidduu a fi b itti yoo fudhatama Ida’amni bal’ina
   bal’insa kanaa ta’a. ida’ama integiraalii jedhama.
   Limiitiin ida’ama intergiraalii jiraatee lakkooofsa waliigalaa I
   waliin wal qixa yoo ta’e lakkoofsi I integiraalii murtaa’aa f intervaalii [a,b]
   irraa jedhama. Kana jechuun = I = ta’a.
   Lmiitiin kun yoo jiraate fi faanksihinii f intervaalii [a,b] itti fufaa yoo ta’e f
   intervaalii [a,b] irratti integiraawaa (integrable) jedhama.
6. Amaloota integiraalii Murtaa’aa
   Faankishinootni f fi g intervaalii [a,b] irratti faankishinoota integiraawoo fi
   k lakkoofsa dhaabbataa yoo ta’an f+g fi f-g faankishinoota integiraawoo fi
   a) =k
   b) = +
   c) = –
   d) x[a,b], f(x)  0 yoo ta’e  0 fi x[a,b], f(x)  0 yoo ta’e
    0 ta’u.
   e) x[a,b], m  f(x)  M yoo ta’e m(b-a)   M(b-a) ta’a.
   f) c[a,b] tiif = +
7. Tiramii Bu’uuraa Kaalkulasii
   Mee faankishinni f(t) intervaalii [a,b] irratti itti fufaa haa ta’u. Faankishinni
   F(t) antiidariveetiivii f(t) yoo ta’e =F(b)-F(a) ta’a.

Gilgaala Waliigalaa

1. Integiraalota hin murtoofne armaan gadii barbaadi.
   a) b)
   c) d) e)
   f) g) h)
   i) j) k)
2. Integiraalota murtaa’aa armaan gadii barbaadi.
   a) b) c)
   d) e) f)
   g) h) i)
   j) f(x)= yoo ta’e

BOQONNAA 5
FAYYADA INTEGIREESHINII
Seensa
Boqonnaa arfaffaa keessatti akkaataa integireeshinii hin murtoofnee fi integireeshinii murtaa’aa ta’an itti barbaadnu ilaalleerra.Boqonnaa kan keessatti immoo fayyada integireeshinii kan ta’an haala yaada integireeshinii fayyadamuun bal’ina bal’insaa giraafii faankishinii (giraafoota faankishinootaa) kennamee fi sararoota olee lama gidduu jiru itti barbaadnu ni ilaalla. Dabalataaniis, yaada integireeshinii fayyadamuun qaxxaamura (displacement) fi dalaga raawwatu kan shallagnu ta’a.

Kaayyoo
Xumura barumsa boqonnaa kanaa booda leenjifamtootni:

• Maalummaa bal’ina bal’insaa ni ibsu.
• Bal’ina bal’insaa ni shallagu.
• Maalummaa qabee danaa jaboo ni ibsu.
• Qabee danaa jaboo ni shallagu.
• Maalummaa dalagaa ni ibsu.
• Dalaga ni shallagu.

5.1 Bal’ina (Area)
Mee isin haala hubannoo kana dura qabdaniin maalummaa bal’ina bal’insaa, qaxxaamuraa fi dalagaa xiinxali.

Mee bal’insa giraafii faankishinii y=f(x), siiqqee X fi sararoora olee x=a fi x=b gidduutti argamu haa fudhannu. Danaa armaan gadii haa fudhannu.

Y
Y=f(x)



                                              R
X
 a  b
                              Danaa 5.1

Mee bal’ina bal’insa R danaa 5.1 armaan olitti dibame akkamiin akka barbaaduu dandeenyu haa xiinxallu.
Bal’ina bal’insa R haala danaa 5.2 armaan gadiitiin ibsameen haa reektaangiloota xixiqqaa ta’aniitti gargar haa qoqqodnu.

                     Y
  y=f(x)




X
 a     x1      x2    x3        xn-2    xn-1    b
                             Danaa 5.2

Ida’amni bal’ina bal’insa reektaasngilootaa kanneenii wal qixa bal’ina bal’insa R tilmaamuuf kan nu dandeessisuu dha. Reektaangilootni qoqqodama kanneen dalgeen isaanii baay’ee xiqaa yoo ta’e tilmaamni ida’ama bal’ina bal’insa reektaangiloota kanneen gara bal’ina bal’insa R dhugaa ta’eetti siqaa deema. Mee danaa armaan gadii 5.3 haa ilaallu.
Y
Y=f(x)

C
                                                   D    

X
 a  A    B  b
                             Danaa 5.3

Mee bal’ina bal’insa ABCD haa fudhannu. Dheerinni AB baay’ee xiqqaa ta’ee dheerinni AB=x haa ta’u. Dheerinni AD= y fi bal’inni bal’insa ABCD=B ti haa jennu. Hubannoo ji’oomeetrii diriiraa waa’ee bal’inaa qabnu irraa:
B yx tiin tilmaamuu dandeenya.
Kanaafuu, bal’inni bal’insa R yoo B ta’e:
B= ta’a.
B yx waan ta’eef y
 = y ta’a.
= waan ta’eef y = ta’a.
Kana jechuun: dB = ydx

 B = = ta’a.
Kanaafuu, bal’inni bal’insa giraafii faankishinii y=f(x), siiqqee X fi sararoota x=a fi x=b gidduutti argamu R:
B= ta’a.
Fakkeenya 5.1

1. Bal’ina bal’insa sarara x=2, siiqqee X fi giraafii y=x2 hammatamee jiru
   barbaadi.
2. Bal’ina bal’insa giraafii faankishinii f(x)= 2x+1, sararoota x=0 fi x=3 fi
   siiqqee X gidduutti argamu barbaadi.

Furmaata

1. Mee bal’insa sarara x=2, siiqqee X fi giraafii f(x)= x2 gidduutti argamu haa
   ijaarru. Y
   y=x2 X
   Danaa 5.4 1 2 Bal’inni bal’insa dibamee =
   =
   = =
   = iskuweerii yuuntii ta’a.
   Kanaafuu, bal’inni bal’insa sarara x=2, siiqqee X fi giraafii y=x2 gidduutti
   argamu iskuweerii yuuntii ta’a.
2. Mee bal’insa bal’inni isaa barbaadamu danaan haa mul’isnu.
   Y
   y=2x+1 1 B
   – X
   1 2 3
   Danaa 5.5
   Bal’inni bal’insa dibamee B =
   =
   = (x2+x) = 32+3-02-0
   = 12 iskuweerii yuuntii ta’a.
   Kanaafuu, bal’inni bal’insa giraafii f(x)=2x+1, sararoota x=0 fi x=3 fi siiqqee X gidduutti argamu 12 iskuweerii yuuntii ta’a.

Mee faankishinni f intervaalii [a,b] irratti itti fufaa fi gatiidhaan neegatiivii haa ta’u. Waa’ee bal’ina bal’insa giraafii f, siiqqee X fi sararoota x=a fi x=b gidduutti argamuu maal jechuu dandeenyaa? Mee danaa 5.6 armaan gadii haa fudhannu.
Y

                     g(x)
B
X
R       
                                                             f(x)
                        Danaa 5.6

Giraafii f siiqqee X irraan balaqqeessuun giraafii g(x) arganna waan ta’eef g(x)=-f(x) ta’a. R bal’ina bal’insa giraafii f, siiqqee X fi sararoota x=a fi x=b gidduutti fi B bal’ina bal’insa giraafii g, siiqqee X fi sararoota x=a fi x=b gidduutti argaman haa ta’an. Bal’inni bal’insa B fi bal’inni bal’insa R wal qixaa dha. Haa ta’u malee, bal’inni bal’insa R wal qixa ta’uu hin danda’u. Sababni isaa neegatiivii waan ta’eef dha. Kanaafuu, bal’inni bal’insa R wal qixa – ta’a jechuu dha.
Faankishinni g(x) intervaalii [a,b] irratti itti fufaa fi poozatiivii dha. Kanaafuu, bal’inni bal’insa B = = = – ta’a. Bal’inni bal’insa B fi bal’inni bal’insa R wal qixa waan ta’aniif bal’inni bal’insa R
= – ta’a.
Kanaafuu, faankishinni f intervaalii [a,b] irratti itti fufaa fi neegatiivii yoo ta’e bal’inni bal’insa giraafii f, siiqqee X fi sararoota x=a fi x=b gidduutti argamu
= – ta’a.
Fakkeenya 5.2
Bal’ina bal’insa giraafii faankishinii f(x)=cosx, siiqqee X fi sararoota x= fi x= gidduutti argamu barbaadi.
Furmaata
f(x)= cosx intervaalii irratti itti fufaa fi neegatiivii dha. Mee danaa 5.7 armaan gadii haa fudhannu. Y
f(x)=cosx
X
Danaa 5.7
Akka danaa 5.7 irraa hubannuutti bal’insi giraafii f(x)=cosx, siiqqee X fi sararoota x= fi x= gidduutti argamu siiqqee gadi waan ta’eef
bal’inni bal’insa dibamee = – ta’a.
Kanaafuu, bal’inni bal’insa dibamee = – = –
= -(sinx) = 2 iskuweer yuuntii ta’a.
Kanaafuu, bal’inni bal’insa giraafii f(x)= cosx, siiqqee X fi sararoota x= fi x= gidduutti argamu 2 iskuweer yuuntii ta’a.
Mee bal’inni bal’insa faankshinoota intervaalii [a,b] irratti itti fufoo ta’anii fi sararoota x=a fi x=b gidduutti argamu akkamiin akka barbaaduu dandeenyu haa ilaallu.
Mee faankishinootni f(x) fi g(x) intervaalii [a,b] irratti itti fufoo haa ta’an. Bal’inni bal’insa giraafoota f(x) fi g(x) fi sararoota x=a fi x=b gidduutti argamu akkamiin barbaadnaa? Mee danaa armaan gadii haa fudhannu.
Y
f(x)

                                                       R

                                             A    g(x)

      X

                            Danaa 5.8

Mee R bal’insa giraafota f(x) fi g(x) fi sararoota x=a fi x=b gidduutti argamu haa ta’u. Akkasumas, A bal’insa giraafii g(x), siiqqee X fi sararoota x=a fi x=b gidduutti argamu haa ta’u.
Bal’inni bal’insa A= ta’a.
Bal’inni bal’insa giraafii f(x), siiqqee X fi sararoota x=a fi x=b gidduutti argamu
ta’a.
= Bal’inni bal’insa R + Bal’inni bal’insa A ta’a.
Bal’inni bal’insa R = – Bal’inni bal’insa A
= –
= ta’a.
Kanaafuu, bal’inni bal’insa faankishinoota intervaalii [a,b] irratti itti fufoo ta’an f(x) fi g(x) fi sararoota x=a fi x=b gidduutti argamu
= ta’a. f(x) ≥ g(x) waan ta’eef
Fakkeenya 5.3
Bal’ina bal’insa giraafii faankishinoota f(x)=8-x2 fi g(x)=x2 gidduutti argamu barbaadi.
Furmaata
Mee giraafota f(x)=8-x2 fi g(x)=x2 ijaaruun bal’insa giraafota lamaan gidduu jiru haa mul’isnu. Itti aanuun intervaalii bal’ina irratti barbaadnu haa adda baafannu.
Bal’inni bal’insa R= waan ta’eef a fi b haa gargar baafannu.

g(x)
                        R
                               f(x)
                                      -2                2

       Danaa 5.9
     f(x)=g(x)       8-x2=x2

 2×2=8
 x= 2 ta’a.
Kanaafuu, a=-2 fi b=2 ta’u jechuu dha.
Intervaalii [-2,2] irratti f(x) ≥ g(x) waan ta’eef
Bal’inni bal’insa R =
=
= = = iskuweer yuuntii ta’a.
Kanaafuu, bal’ina bal’insa giraafii faankishinoota f(x)=8-x2 fi g(x)=x2 gidduutti argamu argamu iskuweer yuuntii ta’a.

5.2 Qabee (Volume)
Kataa kana keessatti yaada integireeshinii murtaa’aa fayyadamuun haala qabee itti barbaadnu kan ilaallu ta’a.
Kaayyoo Gooree
Xumura barumsa kutaa kanaatti Leenjifamtootni:

• Maalummaa qabee ni ibsu.
• Qabee danaalee jaboo ni shallagu.

Mee giraafii faanfishinii f intervaalii [a,b] irratti danaa armaan gadiitti ibsame haa fudhannu.

f



                                   a                               b
                        Danaa 5.10

Mee muramaa giraafii f intervaalii [a,b] fi siiqqee X gidduu jirusiiqqee X irraan haa naanneessinu.Danaan uumamu danaa jaboo ta’a. Mee danaan 5.11 armaan gadii xiinxali.

                            Y
Fuula qaxxaamuraa


X



                                       Danaa 5.11

Danaa jaboo uumame kana fuulota qaxxaamuraa baay’eetti qoqqoodne siliindaroota xixiqqoo baay’ee arganna.
Kanaafuu, danaa jaboon kun walitti qabama siliindarii xixiqqoo kanneenii ta’a. Mee danaa armaan gadii haa ilaallu.

                            Y
x
(x,y)
                                         D                  C(x+x,y)
                                                  X

B
                                                    A                    
x  
                            Danaa 5.12

Qabeen danaa jaboo kanaa tilmaamaan ida’ama qabee siliindaroota xixiqqaa kanneenii ta’a.
Danaa jaboon ABCD siliindarii dalgeen isaanii x ta’ee fi raadiyasiin hundee isaa y ta’ee dha. Kanaafuu, r=y, h=x ta’u.
Qabeen V= r2h= y2x ta’a.
Kana jechuun = y2 ; dV= y2dx ta’a.
Qabeen danaa jaboo kanaa V = = ta’a.
Kana jechuun Qabeen danaa jaboo kanaa V= = ta’a.
Kanaafuu, qabeen danaa jaboo muramaa giraafii f intervaalii [a,b] irratti siiqqee X irraan naanneessuun uumamuu V= ta’a.

Fakkeenya 5.4
Bal’insa sarara y=x fi siiqqee X gidduutti hammatamee jiruu fi sararoota x=0 fi x=3 gidduu jiru siiqqee X irratti yoo naanneessine qabee danaa uumamuu barbaadi.

Furmaata
V= y=x
=
= 3
=
= 9 kiyuubii yuuntii ta’a.

5.3 Dalaga (work)
Kutaa kana keessatti yaada integiraalii murtaa’aa fayyadamuun haala dalagani human jijjiiramaa ta’een waanta tokko fageenya kallatii dhaabbataa ta’e irra sochoosuuf raawwate akkamiin akka barbaaduu dandeenya kan ilaallu ta’a.
Mee suudoon tokko fageenya d kallatti dhaabbataa tokko irra socho’e. Mee sochii suudoo kanaaf human jijjiiramaa f(x) ta’e fayyadamne haa jennu. Dalagni raawwatame W yoo ta’e
W= f(x)d ta’uu ni yaadattu.
Mee humni f(x) intervaalii [a,b] siiqqee X irratti jijjiiramaa deema haa jennu. Dalagni human f(x) tiin raawwatame akkamiin barbaadnaa?

Gaaffii kana deebisuuf mee intervaalii [a,b] citoota intervaalii dheerinni isaanii wal qixa ta’aniitti haa gargar qoqqoodnu.

  a=x0    x1     x2                               xi-1       xi                          xn-1   xn=b

Citootni intervaalii kun [x0,x1], [x1,x2], [x2,x3], —, [xi-1,xi], —, [xn-1,xn] ta’u.
Tuqaan zi[xi-1,xi] tokko haa fudhannu. Dheerinni citoota intervaalii [a,b] x baa’yee xiqqaa yoo ta’e humni yammuu sochii waanta kanaf fayyadamnu intervaalii [xi-1,xi] akka dhaabbataa kan fudhatamu ta’a. Mee humna kanaan f(zi) ta’a haa jennu. Kana jechuun dalagni raawwatame
f(zi) x timaamama jechuu dha.
Ida’amni tilmaamaa dalaga intervaalii [xi-1,xi] irratti raawwatamee
Wn= ta’a.
W= tilmaama ibsama dalagaa human jijjiiramaa f(x) intervaalii [a,b] irratti raawwatame ta’a. Humni f(x) intervaalii [a,b] irratti itti fufaa yoo ta’e limiitiin ida’ama kan jiraatu ta’ee integiraalii murtaa’aa f(x)dx intervaalii [a,b] irratti ibsamuu danda’ama. Kana jechuun
W= Wn= = ta’a.
W fx waan ta’eef:
=f
= = f
dW = fdx

 W=  

Kanaafuu, faankishinni f(x) jijjiiramaa humnaa intervaalii [a,b] irratti itti fufaa yoo ta’e dalagni intervaalii [a,b] keessatti raawwatu
W= ta’a.
Fakkeenya 5.5
Tokkoo tokkoo tuqaalee siiqqee X irra jiraniif humni f(x)=3×2-2x-2
fayyadamuun waanti tokko dhiibuun socho’e. Dalagni waanta kana x=2 gara x=4 sochoosuuf raawwate hammamii?
Furmaata
Dalagni raawwate W= = = (x3-x2-2x) =40 yuutii dalagaa ta’a.

Yaadota Guduunfaa

1. Bal’inni bal’insa giraafii faankishinii y=f(x), siiqqee X fi sararoota x=a fi x=b
   gidduutti argamu wal qixa ta’a.
2. Faankishinni f intervaalii [a,b] irratti itti fufaa fi neegatiivii yoo ta’e bal’inni
   bal’insa giraafii f, siiqqee X fi sararoota x=a fi x=b gidduutti argamu
   – ta’a.
3. Bal’inni bal’insa faankishinoota intervaalii [a,b] irratti itti fufoo ta’an f(x) fi
   g(x) fi sararoota x=a fi x=b gidduutti argamu wal qixa ta’a.
4. Faankishinni f(x) jijjiiramaa humnaa intervaalii [a,b] irratti itti fufaa yoo
   ta’e dalagni intervaalii [a,b] keessatti raawwatu W= ta’a.

Gilgaala Waliigalaa

1. Bal’ina bal’insa giraafii faankishinoota f(x), siiqqee X fi sararoota armaan
   gadiitti kennaman gidduutti argamu barbaadi.
   a) f(x)= -2x-x2 , x=-1 fi x=4
   b) f(x)= 3×2+4, x=-2 fi x=1
2. Bal’ina bal’insa giraafii faankishinoota f(x)=-4x+8 fi g(x)=-x2+4 gidduutti
   argamu barbaadi.
3. Bal’ina bal’insa giraafii faankishinoota f(x) fi g(x) armaan gadiitti
   ibsaman gidduutti argamu barbaadi.
   a) f(x)= fi g(x)=x2 b) f(x)=-2x-1 fi g(x)=x2-4x
   c) f(x)=|x| fi g(x)=x2 d) f(x)=x2 fi g(x)=x+5
   e) f(x)=cosx fi g(x)=sinx, intervaalii irratti
4. Bal’insi giraafii fi sararoota armaan gadiitti kennaman gidduu jiru siiqqee
   X irratti naanneessun uumamuuf qabee barbaadi.
   a) y=x2; x=-2 fi x=2 b) y= ; x=1 fi x=4
   c) y=sinx; x=0 fi x= d) y=x3+2×2+x; x=-1 fi x=0
5. Humni meeshaa tokko 10m sochoosuuf barbaachisu f(x)=10(1- )
   yoo ta’e dalagni raawwatu hammamii?
6. Mee dalagni spring tokko 1m uumamaa caalaatti dheeressuuf barbaachisu
   10Nm haa ta’u. ispringii kana dheerina uumamaa 1m caalaatti gara 3m
   dheeressuuf dalaga raawwatu barbaadi.
7. Cedheedhni dheerina uumaamaa 1m irraa gara 0.75m yoo summuugamu
   dalagni raawwatame meeqaa? (k=16N/m)

Kitaabilee Wabii

1. Abiye Kifle and Bisrat Dilneshu, A first course in calculus,
   Addis Abeba University
2. Ellis, Robert and Gulick, Denny, Calculus with Analytic geometry
   New York, Harcourt Brace Jovanovich, Inc., 1986
3. Project 17, Introduction to Calculius, Distance Education, Educational
   Media Agency, Ministry of Education, Addis Abeba, 2001
4. BBO. Seensa Kaalkulasii (maths 162), Bara 2002