Gaaffilee Shaakalaa Furmaata Waliin Math 111
MoojuliiJi’oomeetirii Diriiroo
(Math111)
Sagantaa Dippiloomaa (10+3)f kan Qophaa’e
Qopheessitootni:
Sintaayyoo Danbii (M.Sc)…………………..KBBA
Gaashahuun Zawdee(M.Ed)…………………KBBA
Jiraataa Haweeraa(M.Sc)…………………..KBBA
Wax.2006
KBBA,AdoolaaBaafata Fuula
Seensaa ……………………………………………………………………………………………………….2
BOQONNAA-1 4
TARMOOTA HIIK-MALEE, HIIKKOOWWAAN FI AGZEEMOTA 4
Seensaa 4
1.1 Tarmoota Hiik-malee: Tuqaa, sarara, Diriiroo 4
1.2 Hikoollee:- sarara dhaabbataa,Xiyyaa fi Kofaa 6
1.3 Agziyeemota Ji’oomeetirii diriiroo keessaa 11
BOQONNAA – 2 22
SAFARRII JI’OOMEETRII DIRIIROO KEESSATTI 22
2.1 Yaad-rimee Safarrii fi Yuuniitotaa 22
2.2 Safarrii Dheerinaa 22
2.3 Safara Kofaa 23
2.4 Yuunitii Safarrii Bal’inaa Diriiroo 27
BOQONNAA 3 29
ROG-SADOOTA 29
3.1 Hiikoo rog-sadee 29
3.2 Gosoota Rog-sadee 29
3.3 Walittigalummaa rog-sadeewwanii 35
3.4 Tiiyoramoota Walitti Galummaa Irraa 36
3.5 Wal-fakkaatina rog-sadootaa 41
BOONNAA 4 53
ROG-BAAY’OOTA 53
4.1 Yaad-rimee daandii cufamaa salphaa 53
4.2 Ramaddii Rog-baay’ee 54
4.3 Kofoota keessoo fi kofoota alee Rog-baay’ee 55
4.4 Gosoota Rog-baay’ee 55
4.5. Rog-afroota(Kuwaadriilaateraaloota) 60
4.6 Wal-fakkaatinaa fi walitti galummaa Rog-baay’eewwaanii 65
4.7 Naannawaa fi Bal’ina Rog-baay’eewwanii 66
BOQONNAA-5 72
GEENGOO 72
5.1 Hiikoo Geengoo 72
5.1.1 Sararootaa fi sararoota dhaabbataa geengoon walqabatan 73
5.2 Naannawwaa fi Bal’ina Geengoo 93
5.3 Seektaarii fi Muraa Geengoo 95
BOQONNAA 6 98
IJAARSAWWAN BU’UURAA DANAALEE JI’OOMEETIRII 98
6.1 Sarara dhaabbataa fi kofa kenname tokkoof gita isaa ijaaruu 98
6.2 Kofa walakkaatti baqaqsuu fi sarara dhaabbataa walakkaatti hiruu 100
6.3 Sararoota parpandikulaarii ijaaruu 101
6.4 Rog-baay’oota ijaaruu 104
6.5 Kofoota Addaa Ijaaruu 106
6.6 Rog-sadee bal’inaan kuwaadirilaateraalii kenname wajjiin wal-qixa ta’e ijaaruu. 109
Kitaabilee Wabii 112
Seensaa
Ji’oometiriin damee herregaa ta’ee waa’ee bocootaa fi hamma wantootaa akkasumas amaloota fi hariiroo isaanii kan qoratu dha. Jechi “Geometry” jedhu kan argame jechoota Giriikii Lama irraa ti.Isaanis “geos” jechuun Lafa fi “metron” jechuun ammo Safara ta’uu seenaan ni ibsa.
Gibxoonni, Chaayinoonni, Baabiloononni, Roomaanonnii fi Giriikonni jabana durii ji’oomeetrii sarveeyingii, naavigeeshinii, astiroonoomii fi hojiiwwan qabatamoo biroof fayyaadamaa turaniiru.
Beekaan Giriik, Iyyukiliidii, haqoota ji’oomeetirii argaman kana Sirnaawaa akka ta’an fi Sababeessuuu Loojikaawaa hariiroo haqoota irratti hundaa’ee akka hojiirra oolu godhee ture. Kanaafuu,ji’oomeetiriin yeroo ammaa baratamu waggaa kumaa lamaa duraa namicha kanaan waan qindaaweef ji’oomeetirii Iyyukiliidii jedhame.
Koorsiin kun gosoota danaalee ji’oomeetirii diriiroo fi jaboo ni hammata. Danaalee ji’oometirii diriiroo kan inni hammatu yaadrimeewwaan bu’uuraa kanneen akka Tuqaa, sararaa fi diriiroo akkasumas safaraa fi yuunitoota safara dheerinaa, kofaa fi bal’inaa, danaalee diriiroo walitti galummaa fi walfakkatina rog-sadootaa fi rog-baay’otaa,bal’inaa fi naannawaa rog-baay’otaa, geengoo (haariiroo sararoota fi kofoota waaliin) , Marsaa fi bal’inaa geengooti. Akkasumas ji’oomeetirii jaboo keessaatti danaalee jaboo kan akka silindarootaa,pirizimootaa, koonotaa, Piraamidootaa,isfiiri (dunquuqulaa) bal’inaa dirraa(qaamaa ) fi qabee jaboo ni baaratu.
Kaayyoo
Leenjifamtoonni koorsii kana erga barataniin booda
Yaad-rimeewwaan bu’uura tuqaa, sarara fi diriiroo ni ibsu.
Safara fi yuunitoota safaraa ni ibsu.
Sarara dhaabbata, Xiyya fi Kofa ni hiiku.
Gosoota rog-baayota adda addaa ni hiiku.
Tarmii rog- baay’oota wajjiin walqabate kan akka varteksoota, rogoota,sarbiiwwaan wal duraa duuba, kofoota wal duraa duuba ,rogoota, kofoota fuullee, rogoota fuullee addaan ni baafatu.
Amaloota paraaleloogiraamii adda addaa ni ibsu.
Geengoo fi tarmii geengoo waliin walqabate ni hiiku.
Naannawaa fi bal’inaa danaalee diriiroo ni barbaadu.
Jaboowwan addaan ni baafatu akkasumas jaboo adda addaati ni qoodu.
Bal’inaa duraa (qaamaa) fi qabee jaboo ni barbaadu.
BOQONNAA-1
TARMOOTA HIIK-MALEE, HIIKKOOWWAAN FI AGZEEMOTA
Seensaa
Boqonnaan kun waa’ee tarmoota bu’uuraa ji’oomeetirii diriiroo Iyyukiliidii kan akka Tuqaa,Sararaa fi diriiroo irraa jalqaba. Akkasumas hiikoo tarmoota adda addaa ,maalummaa fi gosoota agzeemotaa ji’oometirii diriiroo irraatti xiyyeeffata.
Kaayyoo:-
Leenjifamtoonni boqonnaa kana barachuun
Yaada rimeewwan bu’uura tuqaa, sararaa fi diriiroo ni ibsu.
Barbaachisummaa tarmoota hiik-malee ji’oomeetirii Iyyukiliidii ni ibsuu.
Maalummaa agzeemotaa fi siistamii agzeemota ji’oomeetirii ni hubatu.
1.1 Tarmoota Hiik-malee: Tuqaa, sarara, Diriiroo
Ji’oometiriin sirna Loojikaawaa (logical/ Axiomatic System) kan ta’e fi tarmoota hiik-malee, hiikoowwan, pooschuleetota fi teeramotaan kan caaseffamedha.
Ji’oomeetirii Iyyukiliidii keessatti tarmoota muraasa kanneen akka tuqaa, sararaa, diriiroo fi samii akka hiika hin qabnetti fudhanna. Tarmoota biroo kanneen akka “ Kofa” fi “ Xiyyaa” hiikuuf hiik-maleewwan kana akka ka’umsaatti fayyadamna.
Tuqaa , sarara fi diriiroon hiika hin qabaatin malee amaloota isaanii ibsuun ni danda’ama.
Tuqaa:- Tuqaan dootiidhaan fakkeessamuu danda’a.
Dootiin hammaa ni qaba garuu tuqaa dootiidhaan bakka buufamu hamma homaa hin qabu. Kana jechuun tuqaa kallattii (dimensions) hin qabu. Tuqaan bakka waan tokkoo agarsiisa. Tuqaan qubee guddaadhaan moggaafama.
Fkn ·A ( Tuqaa A)
Sarara: Jechi sarara jedhu qabiyyee kana keessatti sarara qajeelaa jechuudha. Sararri tuuta tuqaalee dhuma hin qabneeti. Sararri dheerina qaba, dalgee fi olee hin qabu. Sararri qubee xiqqaan moggafama.
Fkn l A. .B
Sarara AB ykn (AB ) ⃡ Jedhama yookiin sarara “l” jedhama
Dheerinni sararaa dhuma hin qabu. Kana jechuun kallattii bitaa fi mirgaan itti fufaa dha.
Tuqaalee kolineerii(collinear points) jechuun tuqaalee sarara tokko irratti argamanii dha.
Fkn:- . A .B .C Tuqaalee A,B fi C Koliineerii dha.
.D .E
.F
Tuqaalee D,E fi F Koliineerii miti.
Sarara l .A .B .C akka armaan gadiitti moggasuu ni dandeenya.
(AB ) ⃡ , (BC ) ⃡ , (AC ) ⃡ , (BC ) ⃡ , (BA ) ⃡
Hubaadhu! (AB ) ⃡=(BA ) ⃡
Diriiroo: Tuuta Tuqaalee dhuma hin qabne walqabatee wanta kallatti hundaan babal’atudha.
Dirra baxxee kan ta’e, yoo tuqaa lama diriiroo keessaa fudhane, sararri tuqaa lama keessa darbu hedduu dha.
Dheerina dhuma hin qabne,dalgee dhuma hin qabnee fi oleen zeeroo ( furdina hin qabu).
Diriiroon kan moggaafamu fakkii roga afur qabun kan agarsiifamuu dha.
Diriiroo ABC ykn Diriiroo ∏ Jedhama.
Diriiroon dangaa hin qabu.
Diriiroon kan moggafamu qubee qenxee (∏) ykn tuqaalee sadii koliineerii hin taane fudhachuun ta’a.
Tuqaalee koppilaneerii jechuun tuqaalee diriiroo tokko irratti argamani dha.
Gocha 1.1
Sarara l armaan gadiif sarara RS ta’u danda’u tarreessi.
.R .S .T .U
Diriiroo M armaan gadiif tuqaalee kennaman irratti hundaa’uun diriiroo m ta’u danda’u tarreessi.
Fakkii armaan gadii irratti hundaa’uun gaaffilee itti aananii jiran deebisi.
Tuqaaleen E,F fi C Koliineriidha? Maaliif
Tuqaaleen A,C,D fi E Kopilaneriidha? Maaliif?
Diriiroo meeqatu fakkii irratti mul’ata? Maqaa isaanii tarreessii
Diriiroo Q'f maqaa biroo moggaasi.1.2 Hikoollee:- sarara dhaabbataa,Xiyyaa fi Kofaa
Hiikoo1. (Sarara dhaabbataa):-Sarara qajeelaa tokkorratti tuqaalee jiran lama giddutti tuutni tuqaalee argamu sarara dhaabbataa jedhama. Tuqaaleen kun lamaan tuqaalee fiixee jedhamu. Tuqaaleen fiixees miseensa sarara dhaabbataa sanaati. Sarara dhaabbataa mallatteessuuf tuqaalee fiixee lamaan gargaraamna.
A BTuqaaleen fiixee A fi B yoo ta’an sararri dhaabbataan (AB) ̅ ykn (BA) ̅ jedhamee mallatteeffama.
Dheerinni (AB) ̅ murtaa’aa dha.Jechuun fageenya tuqaa A ti hamma tuqaa B tti jiru jechuu dha.Dheerinni (AB) ̅ mallattoo S(AB) ykn AB tiin mallatteeffama.
Hiikoo2(Xiyyaa):-sarara tokko irratti tuqaa kennamu tokkorraa gara tokkotti kan hafu tuutni tuqaalee sararichaa xiyyaa jedhama.
A B
Yoo barreeffamu (AB) ⃗ ykn (BA) ⃖ yoo dubbifamu Xiyyaa A B jedhama. Tuqaan xiyyi irraa ka’u kun tuqaa eegala xiyyichaa jedhama. Tuqaan eegalaa miseensaa xiyyaa sanaati. Xiyyi akkuma sararaa dheerinni isaa murtaawoo miti. Garuu akka sarara fiixeewwaan lamaan hin dheeratu. Kallattii tokko qofaan itti fufaa dha.
Hubaachiisa (AB) ⃗ fi (BA) ⃖’ n adda addaa dha.
Hiikoo3. (Kofa): Xiyyooliin lama tuqaa tokkicharraa yommuu eegalan danaan uumamu kofa jedhama.
Xiyyooliin kunis rogoota kofichaa jedhamu. Tuqaan rogoonni lamaan irraa eegalan Varteksii kofichaa jedhama.
Kofa AOB
(OA) ⃗ fi (OB) ⃗ ‘n rogoota kofichaa dha.
O Varteeksii kofichaa dha.
(OA) ⃗ rogaa ka’umsaa fi (OA) ⃗ roga ga’umsaa dha.
Kofa AOB ykn Kofa BOA. Mallattoon yommuu bakka buufnu immoo
<AOB ykn <BOA
A B Ykn B A
Yammuu tokko tokko immoo qubee varteeksii irratiin mallatteessina <O ykn (kofa tokko qofatu varteeksii kanarra jira yoo ta’e).
Kofti tokko tuqaalee tuuta diriiroo bakka wal-hin kiphine saditti qooda.
Isaanis:
Tuutota Tuqaalee kofa keessatti argaman (tuqaa R’n keessoo A B tti argama)
Tuutota tuqaalee kofaan alatti argamanii (tuqaa M fi Q’n, ala A B tti argamu) fi
Tuutota tuqaalee kofa irratti argamanii (tuqaa A,P fi B’n kofa A B irratti argamu).
Hiikoo 4 (Kofoota maddii):- kofoonni lama kofoota maddii kan jedhaman yoo roga tokko waliin qabatanii tuqaa keessoo waaliinii kan hin qabnee fi varteeksii walitti qabatanii dha.
A B fi C B’n , B C fi C D’n kofoota maddiiti.
A C fi C D’n kofoota maddiitii? Maaliif?
A B fi C D’n kofoota maddiitii? Maaliif?
Gochaa 1.2
1) Tarmoota armaan gadii ibsi.
Sarara dhaabbataa
Xiyyaa
Kofa
Kofoota Maddii
2) Garaagarummaa sarara dhaabbataa, Xiyyaa fi sarara ibsi.
Hiikoo 5: (Kofoota waaliin duubaa): sararoonni lama yeroo wal qaxxaamuran kofootni lamaan maddii walii hin taane kofoota waaliin duubaa jedhama.
A
D
.P
B
C
(AB) ⃡ fi (CD) ⃡ yoo P irratti walqaxxaamuran A C fi D B kofoota waaliin duubaa jedhamu. Akkasumas A D fi C B’n kofoota waliin duubaa jedhamu.
Gilgaala 1
Ji’oomeetirii Iyyukiliidii keessatti jechoonni hiika malee maaliif akka barbaachisan dareef ibsi.
Ji’oometirii Iyyuukiliidii keessatti tarmoota hiikoo dhabeeyyii hamma tokko caqasuun amaloota isaan ni qabu jedhamee yaadamu bu’uurreeffachuun yaada walii gala isaanii kenni.
Yaada rime tuqaa, sararaa fi diriiroo irratti hundaa’uun jechoota armaan gadii waliin walitti firoomsi.
a. dirra minjaalaa c. roga sarartuu
b. Fiixee Mutaa d. dirra daawitii diriiraa
f. Urjii Samii irraa mul’atu. e. Waraqaa qulqulluu.
g. Shiboo elecktirikii poolii lamaan gidduu jiru
- Gaaffiiwwan armaan gadiitif deebii sirrii ta’e kenni.
(AB) ⃡ fi (BA) ⃡ ‘n garaagarummaa qabuu? Maaliif?
(AB) ⃗ fi (BA) ⃗’n garaagarummaa qabuu? Maaliif?
(AB) ̅ fi (BA) ̅ garaagarummaa qabuu? Maaliif?
A B fi B A garaagarummaa qabuu? Maaliif ? - Fakkii kanarratti hundaa’uun gaaffilee itti aanan deebisi. m A B s
.Q
P D
C
Maqaa diriiroo fakkii kanaa kenni .
Tuqaalee diriiroo kana irratti moggaafaman hunda tarreessi.
Tuqaalee diriiroo kana irratti moggafamanii fi sarara s irratti hin argamne tarreessi
Kofoota fakkii kana irraa tarreessi.
1.3 Agziyeemota Ji’oomeetirii diriiroo keessaa
Agziyeemii fi pooschuleetiin jechuun tokkuma.Isaanis himamoota muraasa osoo hin mirkaneessin dhugummaadhaan kan fudhataman ykn ofumaan of ibsani dha.
Herrega keessatti akkuma Saayinsii biroo sababeessa gosa lamatu jira. Isaanis sababeessa Indaaktivii fi sababeessa didaaktivii ti.
Sababeessaa Indaaktivii :- kara loojikaawaa ta’een yaadota muraasa sababeeffachuun yaada walii galaa yaadota kanaa yommuu fudhannu sababeessa indaaktivii jedhama.
Fakkeenya:
Allaattiin ani arge hundi ni balaliiiti.Kanaafuu,allaattonni hundinuu ni balali’u.Kun fakkeenya sababeesssa indaaktivii ti.Garuu namni guchii arge toko dadhabina sababeessa kanaa hubachuu danda’a.
2×-4=-8,1/2×-2=-1,… Kanaafuu,lakkoofsa neegativii fi poozatiivii yoo waliin baay’ifnu neegatiivii arganna.
Sababbeessa didaaktivii:- Haala Loojikaawaatiin yaada waliigalaa irraa ka’uun yaada murtaawoo yaada waliigalaa kanaa yommuu ittiin ibsinu sababbeessuu didaaktivii jedhama.`
Fakkeenya:
Lakkoofsa neegatiivii ta’an lama yo waliin baay’ifne poozatiivii arganna.Kanaafuu, -2×-11 deebii isaa poozatiivii ta’a,waan -2 fi -11 neegatiivii ta’aniif.
Gocha:
Fakkeenya himamoota indaaktiivii fi didaaktiivii lama lama barreessuun dareef dhiyeessi.
Hub:- Sirnaa Agziyeemota kamiyyuu keessatti yaanni wal faalleessu ykn wal mormuu jiraachuu hin qabu. 1.3.1 Agziyeemota Ji’oomeetirii Ukilidii
Guddina Ji’oomeetiriitiif agziyeemonni akka bu’uuraatti fudhatamu. Akkasumas agziyeemota ji’oomeetirii Iyyukiliidii kana keessatti ji’oomeetirii diriiroof bu’uura kan ta’an agziyeemoota gareewwan jahatu jiru.
Isaanis :- Agziyeemii wal qunnamtii, agziyeemii tartiibaa, agziyeemii wal-tarummaa , agziyeemii walitti galoo,agziyeemii walitti fufinsaa fi agziyeemii of ga’umsaati.
Agziyeemii Wal Qunnamtii (Axion of connetion or incidence)
Agziyeemiin kun agziyeemota wal qunnamtii tuqaalee, sararoota fi diriiroo irratti hundaa’an agziyeemota shan qabateera.
A1.1 Tuqaalee murtaawoo lama kennaman kamiyyuu keessa sarara tokkoo fi tokko qofaatu lufa.
A B L
Agziyeemiin kun kan inni dhugoomsuu A fi B’n tuqaalee murtaawoo kamiyyuu yoo ta’an haaluma fakkii kanaan sararri biroo L irrraa adda kan ta’ee fi tuqaalee A fi B keessa lufu akka hin jirre dha.
A1.2 Tuqaalee murtaawoo sadii sarara tokko irratti hin argamne kennaman kamiifuu, diriiroo tokkoo fi tokko qofaatu tuqaalee sadanuu qabate ( keessa lufa).
Fakkeenya: Diriiroo fuula waraqaa kana irrratti tuqoota sadii A , B fi C haa fudhannu.Haala agziyeemii kanaan:-
Tuqootiin kun diriiroo ∏ fuula waraqaa kanaa uumu.
Diriiroo ∏ malee diriiroon gara biro kan tuqoota kana sadan irra darbu akka hin jire agarsiisa.
A1.3 Tuqaaleen lama kan sarara tokkoo yoo diriiroo tokko irratti argaman tuqoonni sarara kanaa hundinuu diriiroo kana irratti argamu.
Mee tuqoota lama A fi B diriiroo armaan olii irraa haa fudhannu.Akka A1.1tti sarara tokko qofaatu Afi B keessa lufa; akka A1.3tti immoo sararrii A fi B keessa lufu akkuma jiruun diriiricha irratti argama.
A1.4 Diriironni lama π_1fi π_2 yoo kipha tuqaa tokko qabaatan, xinnaatee xinnaatu tuqaa gara biraa tokko waliin qabu.
Kunis π_1fi π_2 tuqaa A irratti yoo wal kiphan xinnaatee xinnaatu tuqaa gara baraa tokko tuqaa B’n kipha isaanii ta’a.
π_1
A B
π_2
A1.5 a.Sarara qajeelaa kamiirraayyuu xinnaatee xinnaatu tuqaalee lamatu jiru.
b.Diriiroo kamiirraayyuu xinnatee xinnaatu tuqaalee sadii koliinerii hin taanetu argamu.
c.Samii keessa xinnaatee xinnaatu tuqaalee afur koppilaanarii hin taanetu jiru.
Tiyooramii 1.1 Diriiroonni lamaa yoo wal qaxxaamuran sarara irratti wal qaxxaamuru ykn ammoo wal hin qaxxaamurani.
Mirkana!
Mee tuqaa P’n kipha diriiroota lama π_1fi π_2haa ta’u.
π_1fi π_2tuqaa gara biraa waaliinii Q qabaatu, A1 -4 irraa.
Tuqaalee lama kennaman P fi Q keessa sarara qajeelaa tokko (l) qofatu lufa, A1 -1 irraa.
Sararri l ‘n diriirota π_1fi π_2 lamanuu irratti argama. A1- 3 irraa. Jechuun π_1fi π_2sarara kana irratti walkiphu jechuu dha.
Irra dabrees, diriironni kun lamaan sarara kanaan alatti tuqaa gara biro kan walii qabaachuu hin danda’an yoo qabatan A1-2’n π_1fi π_2diriiroo tokko ta’u.
Tiyooramii 1.2 sararoonni wal qaxxaamuran lama diriiroo tokkoo fi tokko qofaa uumu.
Mirkana:-
Mee P’n tuqaa waliinii sararoota lamanii S_1fi S_2haa ta’u.
A1-5’n sarara S_1 irraa tuqaa P tiin adda kan ta’e P_1 ni jira.Akkasumas S_2 irraa tuqaa P tiin adda kan ta’e P_2 ni jira.
P2 sarara S_1’n alatti argama;akkasumas P_1 sarara S_2’n alatti argama.
A1-2’n irraa P, P_1 fi P_2 diriiroo tokkoo fi tokko qofaa uumu.
A1-3’n irraa immoo hundi tuqoota S_1 fi S_2 irra jiran diriiroo P, P_1 fi P_2’n uumame kana irratti argama.
Kanaafuu, Sararoonni wal qaxxaamuran lama diriiroo tokkoo fi tokko qofaa uumu.
Gilgaala 1.2
Gaaffilee armaan gadii haaluma gaaffii isaatiin deebisi.
Diriiroo tokko gubbatti sararoota meeqatu:
Tuqaa kenname tokko keessa lufa?
Tuqaalee kennaman lama keessa lufa?
Diriiroon tokko yoo xinnaate tuqaalee koliinerii hin taane meeqa qabata?
Samii Ukiliidi irraa xinnaate xinnaatu diriiroowwaan afur jirraachuu isaanii agarsiisi.
Samii Ukiliidi irraa xinnaatee xinnaatus sararoonni 6 jiraachuu isaanii agarsiisi.
Sararri tokko yoo xinnaate tuqaalee meeqa irraa uumama?
Diriiroon tokko yoo xinnaate sararoota meeqa irraa uumama?
Agziyeemii Tartiibaa
Agziyeemiin kun jecha gidduu jedhu gargaaramuudhaan tartiiba tuqootaa sarara irraa fi rabsama tuqoota walakkaa diriiroo ibsa. Akkasumas rabsama tuqootaa sararoota irraa, diriirota irraa fi samii keessaa irratti kan xiyyeeffatu ta’ee, tartiiba tuqoota sararoota fi diriiroota irraa ibsa.
A2-1 A,B fi C’n tuqoota sarara tokkoo yoo ta’anii fi B’n gidduu A fi C yoo ta’e akkasumas B’n gidduu C fi A ta’a.
A B CA2-2. Afi B,n tuqoota sarara tokkoo yoo ta’an, xinnaatee xinnaatu tuqaan tokko C’n sarara kanarra ni jira. B’n akka gidduuu A fi Ctti argamu kan taasisu.
A2.3. Tutaalee sadi sarara tokko irraa kamiifuu, tuqaa tokkoo fi tokko qofaatu sadan isaanii keessa gidduu warreen biroo lamaanitti argama.
A2-4.Tuqaaleen afur kamiyyuu sarara qajeelaa tokko irratti duraa duuba A,B, C fi D tiin yoo tarreeffaman, B’n gidduu A fi C fi gidduu A fi Dtti argama. Akkasumaas C’n immoo gidduu A fi D fi gidduu B fi Dtti argama.
A B C D
A2-5. (Agziyeemii diriiroo qooduu)
Sararri l ‘n diriiroo π irra jiru tokko tuqaaleewwan diriiroo kanaa sarara kanaan alaa bakka lamatti gamaa fi gamanaa (walakkaawwan diriiroo )tti qooda.
Haala kanaan yoo P_1 fi P_2 tuqaalee lama walakkaa diriiroo gama tokkoorra ta’an, sararri dhaabbataan (P_1 P_2 ) ̅ fi sararri l ‘n tuqaa waliinii hin qabani. Karaa biroo immoo yoo P_1 fi P_2walakkaawwaan diriiroo gamaa fi gamaan sarara kanaa jiru ta’an, sararri dhaabbataan (P_1 P_2 ) ̅ fi l ‘n tuqaa tokko waaliin qabu.
Tiyooramii 1-3:- Sararri dhaabbataan kamiyyuu xinnaatee xinnaatu tuqaalee fiixeewwaanii malee tuqaa tokko qabaata.
Mirkana:-
Mee A fi B’n fiixeewwaan (AB) ̅ haa jennu. Wanti as irraa mul’isnu tuqaan tokko A fi B gidduu jiraachuu isaati.
Himama Sababa
1.Sararrii (AB) ̅ qabatee jiru diriiroo irratti
argamu kana gamaa fi gamanatti qooda 1. A2-5 irraa
2.Yoo C’n diriiroo walakkaawwan keessaa
isa gama tokkoo irratti argame, sararri l_1,
A fi C keessa darbuun ijaarramu ni jira. 2.A1- 1 irraa
3.Tuqaan tokko D’n jira sarara l_1 irra tuqaa
C,A fi D gidduu kan taassisu. 3.A2- 2 irraa
4.l_2’n sarara qajeelaa D fi B keessa lufu
haa ta’u . 4.A1-1 irraa
5.Tuqaan tokko E’n sarara l_2 irra ni jira
tuqaa B gidduu D fi E kan taassisu. 5.A2- 2 irraa
6.Sararri l_3 tuqaalee C fi E keessa lufu
diriiroo kana diriiroo walakkeessa lamatti qooda. 6.A2-5 irraa
- Tuqaalee B fi D’n diriiroo walakkaa gama
tokko sarara l_3 tti argamu. (BD) ̅’n l_3 waliin
wali hinqaxxaamuru. 7.A2-5 irraa.
8.Tuqaalee A fi D’n diriirii walakkaa l_3’n
qooddame gamaa fi gamanatti argamu. 8.A2-5 irraa
9.Kana jechuun tuqaaaleen A fi B’n
diriiroo l_3’n irra gamaa fi gamana jiru
jechuu dha. 9.Tarkaanfilee 7 fi 8 irraa
10.(AB) ̅’n ni qaxxamura l_3tuqaa F irratti . 10.A2-5 fi tarkaaffii 9 irraa - Jechuun Xinnaatee Xinnaatu tuqaan
tokko ni jira haa jennu F,A fi B gidduu
(AB) ̅ irra 11.A2-5 fi tarkaaffii 9 irraa
Tayooramii 7-4: Agziyeemii paashee (Paschis axiom)
Mee A,B,C’n tuqoota sadi sarara tokko irra kan hin jirre yoo ta’anii fi sararri l ‘n ammo sarara diriiroo tuqoota A,B, fi C’n uumame irra kan jiruu ta’ee tuqoota kana sadan keessaa tokkoyyuu keessaa kan hin lufnee fi sarara dhaaabbaataa (AB) ̅ kan qaxxaamuru yoo ta’e sararoota dhaabbatoo ( AC) ̅ fi (BC) ̅ keessaa tokko qaxxaamura.
kunis haala armaan gadiitiin ibsama.
Himama Sababa
1.Mee l ‘n sarara diriiroo A,B fi C’n uumame
irra jiruu fi (AB) ̅ qaxxamuru haa ta’u. 1.Kennamsa irraa
- l ‘n tuqaa C keessa hin lufu. 2.Kennamsa irraa.
3.Haa jennuu l ‘n tuqaa D irratti
(AB) ̅ qaxxaamur 3.Tiyooramii 7-3 fi kennamsa irraa
4.A fi B’n gamaa fi gamana diriiroo walakkaa
l ‘n qoodamee irratti argamu. 4.A2-5 fi tarkanfii 2ffaa irraa
5.C’n diriiroo l ‘n qoodamerra gama A ykn gama B
tti argama. 5.Tarkaanfilee 1-4 fi A2-5 irraa
6.Yoo C’n gama A tti argame l ‘n (BC) ̅ qaxxaamura;
yoo C’n gama B tti argame immoo
l ‘n (AC) ̅ qaxxaamura. 6.Tarkanfii 5ffaa fi A2-5 irraa
Hiikoo:Tuqaan Q Sarara dhaabbataa P fi R giddutti argama yoo ta’ee ta’e (PQ) ̅+(QR) ̅=(PR) ̅.
Fakkeenya: M barbaadi, yoo tuqaa L sarara dhaabbataa N fi M giddutti argame, NL=6x-5,LM=2x+3 and NM=30
Furmaata:
(NM) ̅=(NL) ̅+(LM) ̅
30=6x-5x+2x+3
30=8x-2
32=8x
4=x
kanaafuu LM=2(4)+3=8+3=11
Gocha 2.
Tuqaaleen afur A,B,C fi D’n sarara qajeelaa tokko irra duraa duubaan (haala fakkii kanaan )yoo jiraatan himamoota jecha “gidduu” jedhuun tuqaaleewwan kanaan barreeffamuu danda’u hunda barreessi
Tuqaalee lama sarara tokko irra jiran gidduu tuqaaleen dhuma hinqabne akka jiran agarsiisi.
Agziyeemii wal-TarrummaaA3 Diriiroo tokko irratti sarara m kennameen altatti tuqaa tokko A yoo fudhanne, diriiroo kanarra sararri tuqaa A keessa lufee sarara m waliin wal-hinqaxxaamurre sarara tokkoo fi tokko qofaa dha.
Hikkoo 7.7 a. Sararootni lama waliif iskiwwu (skew) dha kan jedhamu yoo diriiroo tokko irra jiraachuu hin dandeenye dha.
b. Sararoonni lama wal-tarree kan ta’an yoo diriiroo tokkicharra ta’anii fi wal-hinqaxxaamurre dha.
Tiyooramii 7-5
Sararoonni sadii s1 , s2 fi s3 diriiroo tokko irra yoo ta’anii fi s1 fi s2 lamaanuu sarara S3 waliin wal-tarree yoo ta’an s1 fi s2 waliif wal-tarree ta’u (Mirkaneessuu gilgaala)
Agxiyeemota Walitti Galummaa
Gareen agziyeemota kanaa caalaatti kan xiyyeeffatu jecha (termii) walitti galoo jedhutti gargaaramuun hariiroo sararoota dhaabbatoo lamaa fi kofoota lama gidduu jiru irratti. As keessatti jechi walitti galoo jedhu sararoota dhaabbatoo fi kofoota hammaa fi boca tokko qaban ibsuuf gargaara. ”≡” mallattoo walitti galoo.
Hiikoo 7.8: Sararoonni dhaabbatoon lama yoo safarriin dheerina isaanii wal
qixa ta’e sararoota dhaabbatoo walitti galoo jedhamu.
A4-1 (Agziyeemii rifileexii walittigalummaa sararoota dhaabbatoo)
Sarara dhaabbatoo AB hundaaf (AB) ̅≡(AB) ̅(∀(AB) ̅,(AB) ̅≡(AB) ̅)
A4-2 (Agziyeemii darbaa darboo walitti galummaa sararoota dhaabbatoo)
Sararoota dhaabbatoo (AB) ̅,(CD) ̅ fi (EF) ̅ kamiifuu yoo (AB) ̅≡(CD) ̅ fi (CD) ̅≡(EF) ̅ ta^’ e (AB) ̅ ≡(EF) ̅ ta’a.
A4-3 (Agziyeemii ida’ama sararoota dhaabbatoo)
Mee (AB) ̅ fi (BC) ̅^’ n sararoota dhaabbatoo lama sarara qajeelaa tokkoorra gamaa
gamana tuqaa B tti argamu yo ta’ee fi (PQ) ̅ fi (QR) ̅ nis sararoota dhaabbatoo
lama sarara qajeelaa tokkorra gamaa gamana tuqaa Q tti argamu. Kanarraa
yoo (AB) ̅≡(PQ) ̅ fi (BC) ̅≡(QR) ̅ ta^’ e (AC) ̅≡(PR) ̅ ta’a.
(AB) ̅≡(PR) ̅ fi (BC) ̅≡(RQ) ̅ ⇒(AC) ̅≡(PQ) ̅
A4-4 (Agziyeemii ijaarsa sarara dhaabbataa)
Yoo (AB) ̅ ‘n sarara dhaabbataa tokko ta’ee fi A^’ immoo tuqaa sarara qajeelaa tokkorra ta’e , sarara qajeelaa kanarraa tuqaa tokkoo fi tokko qofaa B^’ tu jira gama tokko A^’ tiin (AB) ̅≡(A’B’) ̅ kan taassisu.
A4-5 (Agziyeemii rifleeksii kofoota walitti galoo)
Kofa ∠AOB kamiifuu A B≡A B
A4-6 (Agziyeemii darbaa darboo kofaata walitti galoo)
Kofo ∠ADB,∠A^’ D^’ B^’ fi ∠A^” D^” B^” kamiifuu, yoo ∠ADB≡∠A^’ D^’ B^’ fi
∠A^’ D^’ B^’≡∠A^” D^” B^” ta’ e ∠ADB≡∠A^” D^” B^” ta’ a.
Hiikoo 7.9:Kofoonni lama yoo safarri isaanii wal qixa ta’e kofoota walitti galoo jedhamu.
S(A B) safarrii kofa AOB jechuu dha.
S(C E) safarrii kofa CDE jechuu dha.
S(A B)=S(C E)⇒A B≡C E ta’a.
A4-7 (Agziyeemii ijaarsa kofoota)
∠ADB ‘n kofa haa ta’u ; s’n immoo sarara diriiroo tokko irra jiru yoo ta’ee fi (O^’ A^’ ) ⃗ xiyya sarara s jiruu fi tuqaan eegala isaa O’ yoo ta’e diriiricha irraa gama walakkaa tokkoon xiyya (O^’ D^’ ) ⃗ tokkoo fi tokko qofaatu jira kan eegallisa O’ ta’ee fi ∠ADB≡∠A’O’D’ taassisu.
∠ADB≡∠A’O’D’ .
A4-8 (Agzeemii walitti galoo RKR)
Yoo rog sadeewwan lama ∆ABC fi ∆DEF irraa (AB) ̅≡(DE) ̅,(AC) ̅≡(EF) ̅ fi ∠BAC≡∠EDF, ta’ e ∠ABC≡∠DEF fi ∠ACB≡∠DFE ta’a.
Gocha:Danaan agarsiisi.
(Ayziyeemii itti fufinsaa)
A5 Mee A1 tuqaa kamiyyuu ta’ee kan tuqoota lama sarara tokkoo A fi B gidduutti argamu haa ta’u; tuqoonni A2 ,A3 ,A4 , . . .An akka A1 gidduu A fi A2 , A2 gidduu A1 fi A3 , A3 gidduu A2 fi A4 kkf fi akka A A1= A1 A2= A2 A3 =A3 A4= .
. . =An-1An ta’utti yommuu fudhannu, tartiiba tuqoota kanaa keessatti tuqaan An tokko ni jira B gidduu A fi An kan taassisu.
l
Fakkii kana irraa A1 A2 = A2 A3 = A3 A4 = A4 A5 = A5 A6 . Haala kanaan hamma tuqaa B bira dabirrutti yommuu itti fufnu, agziyeemii itti fufinsaa nu dhugoomsa tuqaa A7 irratti B gidduu A7 fi A jiraachuusaa.
Agiyeemii of ga’umsaa
A6 Sirna tuqaalee, sarara qajeeloo fi diriiroowwan ji’oomeetrii Iyyuklidii keessatti, miiseensota gara biroo dabaluun agziyeemota shanan kan bakka bu’u Ji’oomeetirii haaraa uumuun hin danda’amu.
Gocha 3
Agziyeemii wal-tarrummaa irra deebiin ijaaruun dareef ibsi.
Gaafffilee a – c tti jiran sararoota wal-tarree ta’an cimdii meeqa ijaaruun akka danda’amu barbaadi.
Tuqoota sadii koliinerii hintaane.
Tuqoota afur koppilaanerii ta’anii fi sadan tuqootaa ammo koliinerii hin taane.
Tuqoota afur, sadan tuqootaa koliinerii hintaanee fi afran tuqootaa koppilaanerii hin taane.
BOQONNAA – 2
SAFARRII JI’OOMEETRII DIRIIROO KEESSATTI
2.1 Yaad-rimee Safarrii fi Yuuniitotaa
Safartoonni dheerinaa, bal’inaa fi kofaa jireenya dhala namaa keessatti karaa adda addaatiin bal’inaan kan hojiirra oolani dha.
Gocha:
Faayidaalee safartoonnii dheerinaa, bal’inaa fi kofaa qabanii fi akkamiin akka hojiirra oolan irratti mari’achuun dareef ibsaa.
Wanta tokko safaruuf tarkaanfilee bu’uuraa sadi fayyadamna. Isaanis:
Yuunitii filachuu/ murteeffachuu.
Wanta safaramu sanaa fi yuunitii filatame waliin madaaluu.
Wanti safaramu sun yuunitii filatametti si’a meeqa akka deddeebi’u lakkaa’uu.
2.2 Safarrii Dheerinaa
Amalli walitti galummaa sararoota dhaabbatoo yuuniitii safarrii dheerina ibsuuf nu gargaara. Dheerinaa safaruuf dheerina sarara dhaabbataa tokkoo akka yuuniitiitti fudhachcuun kanneen biroo dheerina isaanii safara dhaabbaticha kanaan madaalla. Mee sararoota dhaabbatoo armaan gadii dheerina (AB) ̅ akka yuuniitiitti fudhachuun dheerina (CD) ̅ fi (EF) ̅ haa safarru.
Dheerina (CD) ̅ yommuu kan (AB) ̅ waliin madaallu si’a afur kan (AB ) ̅ ta’a. kanaafuu dheerinni (CD) ̅ Yuunitii 4 ta’a.Akkasumas dheerinni (EF ) ̅ walakkaa dheerina (AB ) ̅ti. Kanaafuu dheerinni (EF) ̅ yuunitii □(1/2) ta’a.Dheerinni sarara dhaabbataa kamiyyuu yuunitii dheerinaa ta’ullee yuunitiin waltawaa ta’e tokko qabaachuu qabna.
Fakkeenyaaf, Siistamii meetirikiitti meetirri yuunitii waltawaa dha. Yuunitoonni dheerinaa biroo hariiroo meetiraa waliin qabaniin firaakshinoota (cm,mm,dm) ykn baay’atoota (dam, hm, km) isaatiin ibsamu.
Hiikoo 2.1.1 Siiistamii koordineetii sarara l tokkoo irraatti tuunni tuqaalee sarara l irraa fi tuunni lakkoofsa walii galaa tokkoo fi tokkoon walitti firoomu; kunis O fi U tuqaalee cimdii sarara l irraa 0 fi 1 waliin duraa duubaan bakka walii bu’u yoo ta’e, dheerinni sarara dhaabbataa tuqaalee lamaa P1 fi P2 gidduu sarara l irraa cimdii yuunitii tuqaalee {O,U} biratti gatii sirrii garagarummaa lakkoosotaa warren bakka P1 fi P2 bu’anii ta’a.
Fakkii kanarraa mee O fi U’n tuqaalee cimdii yuunitii sarar l fi P1 fi P2 immoo tuqaalee gara biroo lama sarara l irraa haa ta’ani.
Yoo a fi b’n Lakkoofsota tuqaalee P1 fi P2 duraa duubaan bakka bu’an ta’an:dheerinni (P_1 P_2 ) ̅ = L((P_1 P_2 ) ̅)= P_1 P_2= | a-b|ta’a.
Haala kanaan dheerinni L sarara dhaabbataa amaloota armaan gadii qaba.
L((P_1 P_2 ) ̅) ≥0, Zeeroo kan ta’ u P1 fi P2 yoo walirra bu’an ykn iddoo tokko ibsan ta’ee yoo ta’e dha.
L((P_1 P_2 ) ̅) = L((P1p2) ̅) tuqaalee lama P1 fi P2 kamiifuu.
L((P_1 P_2 ) ̅)+ L ((P_2 P_3 ) ̅)= L((P_1 P_3 ) ̅)tuqaalee sadii P1,P2,P3 sarara qajeelaa tokkorra ta’anii fi P2 gidduu P1 fi P3 ta’e kamiifuu.
2.3 Safara Kofaa
Akkuma kan dheerinaa amala walitti galummaa kofootaa irraa ka’uun kofa feene akka yuunitii kofaatti fudhachuu ni dandeenya.
Fakkeenyaaf fakkiiwwan kana irratti kofa ∠ABC akka yuunitiitti fudhannee kofa ∠DEF yoo ittiin safarre kofni ∠DEF kofa ∠ABC tti si’a 3 ta’a.
kanaafuu ∠DEF safarriin isaa yuuntii 3 ta’a.
Yuunitoota kofaa maqaalee kennamaniif keessaa baay’ee kan beekkaman tokko digrii dha. Meeshaan kofa safaruuf tajaajilu pirotiraakteerii jedhama. Innis walakkaa bal’insa geengoo fudhachuun marsaa golbina isaa bakka wal qixaa 180 tti qoqooduun handhuura irraa kaasuun xiyyoota ykn raadiyeesota tuqaalee qoodaman keessa darban sararra. Haala kanaan kofti raadiyeesota (Xiyyoota) walitti aanuun sararamaan gidduutti uumamu digrii tokko jedhama.
Yuunitiin waaltawaa kofaa digrii yommuu ta’u mallattoo “° ” bakka bu’a.
Yunitoonni kan biroon sekoondii, daqiiqaa fi raadiyaanii dha. Isaanis hariiroo digrii waliin qabaniin akkanaan ibsamu.
Daqiiqaan Mallattoo”’ ”ttiin bakka bu’a
1’=(1/60)ffaa Digrii tokkoti .
Sekoondiin Mallattoo” ” ” bakka bu’a.
1”=(1/60)ffaa daqiiqaa tokkoti =(1/360)ffaa digirii tokkooti.
Raadiyaaniin tokko digrii (180/π) bakka bu’a. kunis
πraadiyaaniin=180o dha.
1o=(π/180)raadiyaaniidha.
Yeroo digirii tokko firakshinii kenname, dursine deesimalii ibsun digrii, daqiiqaa fi sekondiitti jijjiirra.Hiikoo daqiiqaa tokko mallatteffamu 1′, jechuun 1/60 ffaa digirii jechudha.
1°=60′
Sekondii tokko, yeroo mallatteffamu 1” jechuun 1/60 ffaa daqiiqaa dha
Hubachiisa: i) 1’=(1/60)° ykn 1°=60′
ii) 1” =(1/60)’ ykn 1’=60”
iii) 1°=60′ =3600”
Fakkeeyaa:
1) kanneen armaan gadii digrii, daqiiqaa fi sekondiin ibsi.
62.5°
Furmaata: 62.5°=62°+0.5°
Tarkanfii 1ffaa 0.5° daqiiqan ibsu.
0.5°=(0.5)x60′
=30′
Kanafuu,62.50= 62°30′
75.75°
Furmaata: 75.75°=75°+0.75°
Tarkanfi 1ffaa: 0.75 gara daqiqatti jijjiru.
0.75°=(0.75°x60)’
=45′
Kanafuu, 75.75°=75°+0.75°=75°+〖45〗^’=75°〖45〗^’
2) 32°15’25” desimalii digriin ibsi.
Furmaata: 37°+〖15〗^’+〖27〗^”=37°+(15/60)°+(27/3600)°
=37°+(0.25)°+(0.0075)°
=37.2575°
Gocha 1) Kanneen armaan gadii digirii, daqiqa fi sekondiin ibsi
75.2° b. 37.45° c. 0.325° d. 23.125°
2) Kanneen armaan gadii deesimalii digiriin ibsi.
a.22°30’36” b. 38°00’6” c. 40°30’45”
Digrii irraa gara raadiyaaniitti jijjiiruuf, π/180 baay’isu dha.
Raadiyaanii π/180× digrii
Raadiyaanii irraa gara digrii tti jijjiruf, 180/π baay’isu dha.
Digrii 180/π× raadiyaanii
Fakkeenyaa:
Digirii 30° gara raadiyaanii jijjiri.
Furmaata: 30°x π/180=π/6 raadiyaanii
Gocha:
Digrii armaan gadii raadiyaaniin ibsi
60° b. 90° c. 45° d. 270° e. 300°
Fakkeenyaa:
Raadiyaanii 2/3 π digiriitti ibsi.
Furmaata
Digirii 2π/3 x 180/π=120°
Gocha
Raadiyaanii armaan gadii digriin ibsi
3/2 π b. 11/6 π c. 4/3 π d. π/8
Pooschuleetota kofa
Pooschuleetii sarara kofoota: Kofa A C kamiifuu hamma isaa kan ta’e lakkoofsi waligalaa “r” tokko ni jira.
Lakkoofsi waliigalaa “r’’n kun safara kofa A C jedhama. Mallattoon
s(A C )=r°
Pooschuleeti ida’ama kofaa: yoo tuqaa D’n keessoo <ABC tti argame,
s(∠ABC )=s(∠ABD)+s(∠DBC ) ta’a.
Akkaata safara irraatti hunda’un akaakuu kofa garagaratu jira.
Hub:
Yoo S(<A) =90° ta’e, <A’n kofa sirrii dha.
Yoo 90<s(<A)<180° ta’e, <A’n kofa obtiyuusii dha.
Yoo S(<A) walqixa 180° ta’e, <A’n kofa qajeela dha.
Yoo 180°< S(A)<360° ta’e, <A’n kofa rifileeksii
Yoo S(<A)+S(<B)=90° ta^’ e, <A’n fi <B’n kofoota guufachisoo jedhamu.
Yoo 0<S(<A)<90° ta^’ e, <A’n kofa akkiyuutidha.
S(<A)+S(<B)=180° ta^’ e, <A’n fi <B’n kofoota Sappilimentarii (hirkoo) dha.
Gochaa
Yoos(<G) kofa akkiyuuti fi S(<G)= x°+16°, ta’e gatii “x°” ta’u danda’u barbaadi.
Mee s(<T)≅S(<s), S(<T)=12n-6 fi S(<s)=4n+18,S(<T) akkiyuutii, kofa sirrii ykn qajeela dha?
Mee S(<T) fi S(<u) kofa guuchisoo haata’u, yoo S(< T)=16x°- 9° fi S(<U)=4x°+ 3° ta’e S(< T) fi S(<U) barbaadi.
2.4 Yuunitii Safarrii Bal’inaa Diriiroo
Bal’inni danaalee ji’oomeetirii adda addaa yuuniitota safara adda addaatiin safarama. Yuuniitonni bal’inaa yeroo baay’ee itti fayyadamnu, Iskuweerii saantiimeetirii fi iskuweer meetirii dha. Amma ammoo akkataa itti yuuuniitii tokko gara yuuniitii biraatti jijjiiruu dandeessu ilaalla.
Bal’inaa iskuweer-meetirii 1 ta’e fudhadhu.
1m2 =1m.1m
=100cmx100cm (1m=100cm waan ta’eef )
= 10,000cm2
Kanaaf, iskuweer-meetiri 1=iskuweer saantimeetira 10,000
1m2= 10,000cm2
Bal’ina iskuweer santimeetira 1 fudhadhu.
1cm2 = 1cm. 1cm
=10mm.10mm
= 100mm2
Kanaaf,iskuweer santiimeetira 1=iskuweer millimeetira 100
1cm2=100mm2
Heektarri 1, iskuuweer meetirii 10,00 waaliin walqixaa dha.
Heektarri 1=10,000m2
1hek =10,000m2
Bal’inaa iskuweer -kiloomeetrii 1 ta’e fudhadhu.
1km2 =1km.1km
=1000m.100m
=1,000,000m2
Kanafuu 1km2 =1,000,000m2
BOQONNAA 3
ROG-SADOOTA
3.1 Hiikoo rog-sadee
Hiikoo 3.1 : Daandiin cufaa sararoota dhaabbataa sadi irraan ijaaramu rog-sadee jedhama. Sararoonni dhaabbataa rog-sadee rogoota yommuu jedhaman tuqaan rogootni rog-sadootaa irratti wal-kiphan immoo varteksii jedhama.
Fakkeenya:
C Rog-sadeen CDE bifa ∆CDE tiin barreeffama.
E ∆CDE ‘n qaamota armaan gadii qaba.
D rogoota: (CD) ̅ , (DE) ̅ , (CE) ̅ ;varteksoota: C ,D ,E
kofoota: ∠CDE yookiin ∠D, ∠CED yookiin ∠E, ∠DCE yookiin ∠C
Rogni fuullee ∠C , (DE) ̅ dha, kofni fuullee (CE) ̅, ∠D dha. ∠E kofa fuullee (CD) ̅ dha.
Hub:
Yommuu kofoota ∆CDE jennu,kofoota keessoo ∆CDE jechuu keenya.
Rog-sadeen tokko kofoota sadii,rogoota sadii fi bal’ina qaba.
3.2 Gosoota Rog-sadee
Haala kofootaa fi rogoota isaanii irratti hundaa’uun rog-sadoonni akaakuu adda addaatti qoodamu.
Ro-sadeen haala rogoota isaanii irratti hundaa’uun akaakuu saditti ramadamu.Isaanis:- rog-sadee iskeelenii, rog-sadee aysoosilasii fi rog-sadee ikulaateraalii ti.
i) Rog-sadeen rogootni isaa hundinuu wal-qixa hintaane rog-sadee iskeelenii jedhama.
ii) Rog-sadeen yoo xiqaate rogootni isaa lamaan walitti galoo ta’an rog-sadee aysoosilasii jedhama.
iii) Rog-sadeen rogootni isaa hundinuu walitti galoo ta’an rog-sadee ikkulaateraalii jedhama.
Mallattooleen rogoota rog-sadee irratti argaman kan baay’inni isaanii wal-qixa ta’e, rogoota walitti galoo ta’an agarsiisan.
rogootni hunduu yoo xiqqaate rogootni rogootni rog-sadee
rog sadee iskeelenii lamaan rog-sadee aysoosilasii ikkulaateraalii hundi
walitti galoo miti. wal-qixaa dha. walitti galoo dha.Akkaataa safara kofoota isaaniitiin rog-sadootni akka armaan gadiitti qoodamu.
1) Rog-sadeen kofootni isaa hunduu akkiyuutii ta’an, rog-sadee akkiyuutii jedhama.
2) Rog-sadeen kofoota walitti galoo sadi qabu rog-sadee kofoota wal-qixaa jedhama.
3) Rog-sadeen kofa sirrii tokko qabu rog-sadee kofa sirrii jedhama.
4)Rog-sadeen kofa obtiyuusii tokko qabu rog-sadee obtiyuusii jedhama.
60° 48° 104° 51°
72° 70° 46° 39° 90°rog-sadee akkiyuutii keessatti, rog-sadee obtiyuusii keessatti, rog-sadee kofa sirrii
kofootni hunduu akkiyuutii dha. kofti tokko obtiyuusii dha. keessatti, kofti tokko
kofa sirrii dha.
60°
60° 60°Rog-sadeen akkiyuutii kofootni hunduu walitti galoo ta’anii, rog-sadee kofoota wal-qixaa ti.
Gocha 3.1.
- Gosoota rog-sadee safarri kofoota isaanii akka armaan gadiitti kennamanii adda baasi.
a) 30° , 20°, 130°
b) 45° , 45°, 90°
c) 60° , 60°, 60°
d) 85° , 45°, 50° - a ) ∆ABC keessatti yoo (AB) ̅ ≡(BC) ̅ fi AB=5x fi BC=3x+18 ta’e, AB fi BC barbaadi.
b) Yoo D(2,6), A(4,-5) fi R(-3,0) varteksoota ∆DAR ta’an, ∆DAR ‘n iskeelenii ta’uu isaa agarsiisi.
Hubachiinsa:
Rogootni rog-sadee kofa sirrii maqaa addaa qabu. Isaanis: rogni fuullee kofa sirrii ta’e haypootanasii yommuu jedhamu, rogootni kofa sirrii uuman immoo miilota jedhamu.
haypootanasii
miila
miila
Gocha 3.2
Danaa armaan gadii irratti hunda’uun gaaffilee armaan gadii deebisi.
O M
D
S
E
i) Rog-sadee ikkulaateraalii adda baasi.
ii) Haypootenasii adda baasi.
iii) Rog-sadee aysoosilasii adda baasi.
Sararoota dhaabbataa rog-sadoota keessaa
- Sararri dhaabbataa varteksii rog-sadee tokko tuqaa walakkeessaa roga fuullee isaa waliin wal-qunnamsiisu miidiyaanii rog-sadee jedhama.
∆ JKL tiif, (JM) ̅ , (KN) ̅ fi (LD) ̅ ‘n miidiyaanota dha.
Rog-sadeen kamiyyuu miidiyaanota sadi qaba.
2.Sararri dhaabbataa varteksii rog-sadee tokko irraa perpendikulaarii roga fuullee isaatti sararamu yookiin varteksii tokko irraa perpendikulaarii dheerinna roga fuullee isaatti sararamu iiroo rog-sadee jedhama.
C G R
iiroo iiroo iiroo
A D B E F H T S
Rog-sadeen kamiyyuu iiroo sadi qaba.- Sararri dhaabbataa kofa rog-sadee tokko walakkeesuudhaan roga fuullee isaa irratti kan dhaabbatu yoo ta’e, walakkeessituu kofaa jedhama.
L
C B ∆LMN tiif, (LA) ̅ , (MB) ̅ fi (NC) ̅ ‘n walakkeessitootaa kofaa dha.
M A N
- Sararri sarara dhaabbataa tokko sararrota dhaabbataa walitti galoo ta’an lamatti kan qoodu yoo ta’e walakkeessituu sarara dhaabbataa jedhama. Walakkeessituun sarara dhaabbataa sarara dhaabbaticha waliin yoo kofa sirrii uume walakkeesituu parpendikulaarii jedhama.
Gocha 3.3.
- Sararoota dhaabbatoo addaa sadan keessaa isa kamtu rog-sadeen alatti jiraachuu akka danda’u murteessi. Fakkeenya isaas danaadhaan agarsiisi.
- E
A SR Y T∆RTE keessatti, AE=3x-11 , AR=x+5, RY=2z-1 , YT=4z-11 ,
s(∠RTE)=4y-17 , s(∠ATE)=3y-4 fi s(∠RST)=2x+11 yoo ta’e,
a) (RS) ̅ ‘n iiroo ∆RTE yoo ta’e, gatii x barbaadi.
b) Yoo (TA) ̅ ‘n kofa walakkeessituu ∠RTE ta’e, s(∠RTA) barbaadi.
c) (EY) ̅ ‘n midiyaanii ∆RTE yoo ta’e, RT baarbaadi.
3.2.1 Kofoota rog-sadee keessaa safaruu
Tiiramii 3.1.(Tiiramii ida’ama kofaa): Ida’amni safara kofoota keessoo rog-sadee tokkoo 180° dha.
Mirkaneessa:
Kennama : ∆PQR T P W
Kan Mirkanaa’u:
s(∠R) + s(∠RPQ) + s(∠Q) = 180° Q R
Himama Sababa - ∆PQR Kennama
2.sarara wal-tarree (QR) ⃡ tuqaa P keessa darbu
ijaari. Agziyeemii ijaarsa sararoota wal-tarree - ∠TPQ ≅∠Q Kofoota keessaan cinaachaa
- ∠WPR ≅∠R Kofoota keessaan cinaachaa
- s(∠TPQ) + s(∠RPQ) + s(∠WPR) = 180° Kofoota hirkoo
- s(∠Q) + s(∠RPQ) + s(∠R) = 180° Tarkaanfilee 3ffaa,4ffaa fi 5ffaa.
Fakkeenya:
Mee A, B fi C ‘n varteksoota rog-sadee haa ta’an. Yoo s(∠A)=41° fi s(∠C)=74° ta’e, s(∠B) barbaadi.
B
41° 74°
A Cs(∠C) + s(∠A) + s(∠B) = 180°
74°+41°+s(∠B)=180°
s(∠B)=65°
Tiiramii 3.2. (Tiiramii kof-alee): Safarri kof-alee rog-sadee ida’ama safara kofoota keessoo fuulleetti argamaniiti.
Mirkaneessa:
Kennama : ∆ABC C
Kan Mirkanaa’u:
s(∠CBD) = s(∠A) + s(∠C) A B D
Himama Sababa
- ∆ABC Kennama
- s(∠A) + s(∠ABC) + s(∠C) = 180° Tiiramii ida’ama kofoota keessoo rog-sadee irraa
- s(∠CBD) + s(∠ABC) = 180° Kofoota hirkoo
- s(∠A) + s(∠ABC) + s(∠C) = s(∠CBD) + s(∠ABC) Tarkaanfilee 2ffaa fi 3ffaa irraa
- s(∠A) + s(∠C) = s(∠CBD) Tarkaanfilee 4ffaa irraa
Fakkeenya:
Danaa armaan gadii keessatti saffara kofoota lakkoofsaan kennamanii barbaadi.
65° 82°
46° 1 3 142°
2 4
5Furmaata:
s(∠1) = 46°+65°
= 111°
s(∠1) + s(∠2) = 180°
111° + s(∠2) = 180°
s(∠2) = 69°
s(∠3) + 82° = 142°
s(∠3) = 60°
∠3 fi ∠4 kofoota waliin duubaa waan ta’aniif s(∠4) = 60°
s(∠2) + s(∠4)+s(∠5) = 180°
69° + 60°+s(∠5) = 180°
s(∠5) = 51°
Tiiramii 3.3: Kof-aleen rog-sadee kamiyyuu kofoota keesaa fuulleetti argaman lamaan tokkoon tokkoon saaniitiin ni caala.
Mirkaneessa: gilgaala.
3.3 Walittigalummaa rog-sadeewwanii
Rog-sadee tokko keessatti qaamolee jahattu argama. Isaanis: kofoota sadii fi rogoota sadi dha.
Hiikoo 3.2. Qamooleen jahan rog-sadee tokkoo qaamolee walitti dhufoo jahan rog-sadee biraa wajjiin walittigaloo ta’ee yoo ta’e rog-sadootni lamaan walitti galoo ta’an.
Kana jechuun gara biraatiin:
L P N M R Q
(LM) ̅ ≅(PQ) ̅ , (MN) ̅ ≅ (QR) ̅ , (LN) ̅ ≅(PR) ̅ , ∠L ≅∠P , ∠M ≅∠Q , ∠N ≅∠R ta’e yoo ta’e
∆LMN ≅ ∆PQR ta’a.
(LM) ̅ ↔ (PQ) ̅ , (MN) ̅ ↔ (QR) ̅ , (LN) ̅ ↔ (PR) ̅ , ∠L ↔ ∠P , ∠M ↔ ∠Q , ∠N ↔∠R
Mallattoo ↔ jechuun walitti dhufoo jechuu dha.
Mallattoo ≅ jechuun walitti galoo jechuu dha.
3.4 Tiiyoramoota Walitti Galummaa Irraa
Pooschuleetii RKR: Rog-sadee tokko keessatti rogootni lamaa fi kofni rogoota kanneeniin hammatamee akkaataa tartiiba isaaniitiin rogoota lamaanii fi kofa rogota kanaatiin hammatamee kan rog-sadee biraa keessa jiran wajjiin walitti galoo yoo ta’an, rog-sadoonni lamaan walitti galoo dha.
Fakkeenya:
Danaa armaan gadii keessatti X ‘n tuqaa walakkeessaa (BD) ̅ fi (AC) ̅ ti. ∆DXC ≅ ∆BXA ta’uu mirkaneessi.
D A
X
C B
Mirkaneessuu:
Himama Sababa
- (DX) ̅ ≅(BX) ̅ Hiikoo tuqaa walakkeessaa
- (CX) ̅ ≅(AX) ̅
Hiikoo tuqaa walakkeessaa - ∠DXC ≅∠BXA Kofoota waliin duubaa
- ∆DXC ≅ ∆BXA Agziyeemii RKR
Tiiramii 3.4.(Tiramii rog-sadee aysoosilasii)
Yoo rogootni lama kan rog-sadee tokkoo walitti galoo ta’an, kofootni rogoota kanaaf fuullee ta’an walitti galoo dha. Yookiin kofootni hundee rog-sadee aysoosilasii walitti galoo dha.
Mirkaneessuu:
Mee ∆PQR’n rog-sadee (PQ) ̅≅(RQ) ̅ ta’e haa ta’u.
Q
Kan mirkana’u: ∠P ≅∠R
P R
Himama Sababa
- (PQ) ̅≅(RQ) ̅ Kennama
- ∠Q ≅∠Q Amala rifleksivii
- (RQ) ̅≅(PQ) ̅ Kennama
- ∆QPR ≅ ∆QRP Agziyeemii RKR
- ∠P ≅∠R
Cimdoolii tartibaa kofoota rog-sadee walitti galoo.
Gocha 3.4
- Rog-sadee ikkulaateraaliin kamiyyuu rog-sadee kofoota wal-qixaa ta’uu isaa mirkaneessi.
- Walakkeessituun kofa varteksii rog-sadee aysoosilasii hundee rog-sadichaa bakka wal-qixa lamatti qooduu isaa mirkaneessi.
- Walakkeessituun kofa varteksii rog-sadee aysoosilasii hundee rog-sadichaatiif parpendikulaarii ta’uu isaa mirkaneessi.
Gilgaala 3.1. - Yoo rog-sadee aysoosilasii KLM keessatti , T ‘n tuqaa walakkeessaa (KL) ̅ fi (KR) ̅≅(LS) ̅ ta’e, (TR) ̅≅(TS) ̅ ta’uu isaa mirkaneessi.
M
R SK T L - ∆ABC keessatti yoo (CA) ̅≅(CB) ̅ fi s(∠A)=70° ta’e, s(∠B) meeqa ta’a?
- Yoo ∆ABC keessatti, (AB) ̅≅(BC) ̅ fi s(∠A)=5x fi s(∠C)=3x+70° ta’e, s(∠A) fi s(∠C) barbaadi.
Tiiramii 3.5. Ida’amni rogoota lamaa kan rog-sadee kamiyyuu roga isa sadaffaa ni caala.
Mirkaneessuu: E
D Yoo ABC’n rog-sadee ta’e,
A AB+BC>AC
AB+AC>BC
B C AC+BC>AB ta’a.
Mirkaneessa:
Himama Sababa - roga BA gara tuqaa E tti dheeressuun bakka AD=AC ta’utti kuti. Ijaarsa agziyeemii sarara dhaabbatoo
- (DC) ̅ wal-qabsiisi. Tuqaaleen lama sarara tokko ijaaru.
- ∆ACD irraa AD=AC Ijaarsa tokkoffaa irraa
- ∆ACD ‘n aysoosilasii dha. Tarkaanfilee 1ffaa fi 3ffaa irraa
- s(∠ACD) = s(∠ADC)
Kofoonni hundee rog-sadee aysoosilasii walitti galoo dha. - s(∠BCD) > s(∠ADC) s(∠BCD) > s(∠ADC) waan ta’eef.
- s(∠BCD) > s(∠ADC) Tarkaafilee 5ffaa fi 6ffaa irraa
- BD>BC Rogni fuullee kofa isa guddaa irra guddaa roga fuullee kofa isa xiqqaa waan ta’eef.
- Garuu BD=AB+AC AC=AD waan ta’eef.
- AB+AC>BC Tarkaanfilee 8ffaa fi 9ffaa irraa
Haaluma kanaan ida’amni rogoota lamaa warreen hafaniif roga sadaffaa ni caalu.
Gocha 3.5.
1.Kanneen armaan gadii keessaa dheerinna rogoota rog-sadee ta’uu kan danda’anii fi ta’uu kan hindandeenye adda baasi.
a) 21, 32, 18 b) 11, 6,2 c) 18,45,21 d) 18, 45,52
2.Safarri dheerinna rogoota lamaa rog-sadee tokkoo akka armaan gadiitti kennamee jira. Safarri dheerinna roga sadaffaa lakkoofsota kami gidduutti argamuu danda’a?
a ) 21 fi 27 b) 5 fi 11 c) 30 fi 30
Tiiramii 3.6. ( KRK: kofoota lamaa fi roga isaan gidduu)
Rog-sadee tokko keessatti kofootni lamaa fi rogni kofoota kanneeniin hammatamee akkaataa tartiiba isaaniitiin kofootni kun lamaanii fi roga kofoota kanaatiin hammatamee rog-sadee biraa keessa jiran wajjiin walitti galoo yoo ta’an, rog-sadoonni lamaan walitti galoo dha.
Mirkaneessuu:
Mee ∆ABC fi ∆DEF ‘n rog-sadootaa fi ∠A ≅∠D , (AB) ̅≅(DE) ̅ fi ∠B ≅∠E haa ta’u.
C F
R A B D E
KMB: ∆ABC≅∆DEF ta’uu
Mee rog-sadoonni ∆ABC fi ∆DEF’ armaan olitti fudhanne kun walitti galoo miti haa jennu.Kana irraa rogoota walitti dhufan keessaa kan walitti hin galle jira jechuu dha.Mee AC≠DF haa jennu.Yoo AC≠DF ta’e, AC>DF yookiin AC<DF ta’a jechuu dha.Karaa lachuutinuu yaaduma tokko waan ibsinuuf mee AC<DF haa fudhannu.
Himama Sababa - (DF) ̅ gubbaa tuqaan tokko R’n ni jira F irraa adda kan ta’ee fi (DR) ̅≅(AC) ̅ Agziyeemii ijaarsa sarara dhaabbataa
- (AB) ̅≅(DE) ̅ fi ∠A ≅∠D Kennamaa
- ∆ABC ≅ ∆DER Agziyeemii RKR irraa
- ∠ABC ≅ ∠DER Cimdoolii tartibaa kofoota rog-sadee walitti galoo.
- ∠ABC ≅∠DEF
Kennama - ∠DER≅∠DEF Agziyemii darbaa darboo walitti galummaa kofaa
- ∠ABC ‘n kofoota lama adda ta’an ∠DEF fi ∠DER walitti galoo ta’uu hindanda’u. Agziyeemii ijaarsa kofootaa
8.kun kanutti agarsiisu R fi F bakka tokko ta’uu isaanii fi ∆ABC ≅ ∆DEF ta’uu agarsiisa. Tarkaanfilee 1-7
Tiiramii 3.7.(RRR)( Roga-Roga-Roga)
Rogootni sadan rog-sadee tokkoo akkaataa tartiiba isaaniitiin rogoota sadan rog-sadee biraa wajjiin walitti galoo yoo ta’an rog-sadoonni lamaan walitti galoo dha.
Mirkaneessuu: Mee ∆ABC fi ∆DEF ‘n rog-sadootaa fi (AB) ̅≅(DE) ̅ , (BC) ̅≅(EF) ̅ fi (AC) ̅≅(DF) ̅ haa ta’an.
Kan mirkaneessinu: ∆ABC ≅ ∆DEF ta’uu
B E
A H C
E’ D F
G
Himama Sababa- xiyyi (AG) ⃗ ‘n tokko ni jira ∠CAG ≅ ∠FDE kan ta’u B fi G ‘n gamaa fi gamana (AC) ̅ haa ta’an Agziyeemii ijaarsa kofootaa.
- tuqaan tokko E’ , (AG) ⃗ irra ni jira (AE’) ̅≅(DE) ̅ kan ta’u. Agziyeemii ijaarsa sarara dhaabbataa.
- ∆AE’C ≅ ∆DEF kana irraa ∆DEF ‘n jala ∆ABC itti ijaarame jechuu dha. Agziyeemii RKR tiin
- ABE’ irratti, (AB) ̅≅(AE’) ̅ (kana irraa ∆ABE^’ aysoosilasii dha.) Tarkaanfilee 2ffaa irraa fi darbaa darboo rogoota walitti galoo
- ∠ABE’ ≅∠AE’B
Kofoota fuullee rogoota walitti galoo rog-sadee aysoosilasii. - ∆BCE’ irraa (BC) ̅≅(E’C) ̅ Tarkaanfii 3ffaa irraa (E’C) ̅≅(EF) ̅, fi (EF) ̅≅(BC) ̅ (darbaa darboo)
- ∠CBE’≅∠CE’B Kofoota fuullee rogoota walitti galoo rog-sadee aysoosilasii
- s(∠ABE’) + s(∠CBE’) = s(∠AE’B) + s(∠CE’B) Agziyeemii ida’ama kofootaa
- ∠ABC≅∠AE’C Tasrkaanfii 8ffaa irraa
- ∆ABC ≅ ∆AE’C Agziyeemii RKR fi tark. 9ffaa
- kanaafuu, ∆ABC ≅ ∆DEF Tarkaanfilee 3ffaa, 10ffaa fi darbaa darboo irraa.
Fakkeenya:
Miidiyaaniin rog-sadee aysoosilasii gara hundee isaatti yoo sararame miidiyaanichi rog-sadicha rog-sadoota walitti galoo ta’anitti akka qoodu mirkaneessi.
Mirkaneessuu: A
Kennama: rog-sadee aysoosilasii ABC ,
(AB) ̅≅(AC) ̅ fi (AD) ̅ ‘n miidiyaanii dha. B D C
Kan mirkanaa’u: ∆BAD ≅ ∆CAD ta’uu isaa.
Himama Sababa
- Rog-sadee aysoosilasii ABC keessatti, (AB) ̅≅(AC) ̅ Keennama
- D’n tuqaa walakkaa hundee (BC) ̅ ti. Kennama
- (BD) ̅≅(DC) ̅ Hiikoo miidiyaanii irraa
- (AD) ̅≅(AD) ̅ Amala riffileksivii
- ∆BAD ≅ ∆CAD Kennama
Gilgaala 3.2.
- ∆ABC fi ∆DBC rog-sadoota aysoosilasii lama hundee tokko (BC) ̅ kan qabani, gamaa gamana (BC) ̅ argamu yoo ta’e ∠ABD≅∠ACD ta’uu mirkaneessi.
- Yoo rog-sadeen tokko rogootni isaa hundi walitti galoo ta’an, kofootni isaa sadanuu walitti galoo ta’u.( mirkaneessi).
- Yoo ∆ABC ‘n rog-sadee ikkulaateraalii ta’e s(∠A) = s(∠B) = s(∠C) = 60° ta’uu agarsiisi.
- ∆ABC keessatti yoo AB≅AC fi s(∠A) = 60° ta’e, ∆ABC ikkulaateraalii ta’uu isaa agarsiisi.
3.5 Wal-fakkaatina rog-sadootaa
3.4.1. Yaad-rimee reeshoo fi piroopporshinaalii Ji’oomeetirii keessatti
Hiikoo 3.4. Wantoota wal-fakkaatoo lama hamma saanii yuuniitii gosa tokko qaban wal-cinaa qabuun ( bifa firaakshiniin) yommuu ibsinu reeshoo jedhama.
Hiikoo 3.5. Wal-qixxoomni reeshoowwan lamaa piroopporshinii jedhama.
Hiikoo 3.6. Rog-baay’een lama baay’inni rogoota isaanii wal-qixa ta’e, wal-fakkaatoo kan ta’an kofootni walitti dhufoon isaanii walitti galoo yoo ta’ee fi rogootni walitti dhufoon isaanii piroopporshinaalii ta’ee yoo ta’ee dha.
Mallattoon: Rog-baay’een ABCDE ~ rog-baay’ee A’B’C’D’E’ kan ta’u: Yoo
1. ∠A≅∠A’ , ∠B≅∠B’ , ∠C≅∠C’ , ∠D≅∠D’ , ∠E≅∠E’
FI
2. AB/(A^’ B^’ )=BC/(B^’ C^’ )=CD/(C^’ D^’ )=DE/(D^’ E^’ )=EA/(E^’ A^’ ) ta’ee dha.
Fakkeenya: ∆ABC~∆A’B’C’ yoo ta’e, AB/(A^’ B^’ ) fi gatii x fi y barbaadi.
Furmaata: A A’
15 20 5 y
B’ x C’
B 10 C - AB/(A^’ B^’ )=15/5=3/1
- Rogootni walitti dhufoo rog-baay’eewwan wal-fakkaatoo piroopporshinaalii erga ta’an:
AB/( A^’ B^’ )=BC/(B^’ C^’ ) fi AB/( A^’ B^’ )=AC/(A^’ C^’ )
15/( 5)=10/x fi 15/( 5)=20/y
15x= 50 fi 15y= 100
x=10/3 fi y=20/3
Gocha.3.6.
Danaalee armaan gaditti tarreeffaman keessaa si’a hundumaa wal-fakkaatoo kan ta’an isaan kamii? - Rog-sadee kofa sirrii lama isaan kamiyyuu.
2.Rog-afroota walitti galoo isaan kamiyyuu. - Rog-sadoota ikkulaateraalii lama isaan kamiyyuu.
- Rog-sadee aysoosilasii lama isaan kamiyyuu.
- Roombosoota lama isaa kamiyyuu.
- Rog-sadee fi rog-afree kamiyyuu.
3.4.2. Tiiramoota Wal-fakkatina rog-sadootaa
Tiyooramoota waa’ee wal-fakkatina rog-sadootaa mirkaneesuuf kan gargaaru tiyooramii armaan gadii mirkaneessoo malee haa ilaallu.
Tiiramii 3.8. Sararoonni wal-tarree sadi yookiin sadii ol ta’an sararoota dagalee lama kan qaxxaamuran yoo ta’e, sararoota dalgalee piroopporshinaaliitti qoodu.
F
E
D
A
B
C
Danaa armaan olii keessatti, (AD) ⃡∥(EB) ⃡∥(FC) ⃡ dha. Sararoonni dagalee (AC) ⃡ fi (DF) ⃡ sararoota dagalee piroopporshinaalitti qoodamaniiru. Piroopporshinaalootni muraasni armaan gaditti tarreefamaniiru.
AB/BC=DE/EF, AC/DF=BC/EF, AC/BC=DF/EF
Hubachiinsa. Yoo sararri tokko rog-sadee tokko waliin wal-tarree ta’uun rogoota hafan lamaan qaxxaamura ta’e rogoonni qaxxaamuraman kun piroopporshinaaliitiin qooddamu.Innis fakkii ∆ABC irratti yoo D fi E’n tuqoota (AB) ̅ fi (AC) ̅ haaluma duraa duuba isaaniitiin ta’anii fi (DE) ⃡∥(BC) ⃡ ta’e AD/AB=AE/AC ta’a.
A
D E
B CTiiramii 3.9. ( Tiiramii wal-fakkaatina KK)
Rog-sadoota lama kessatti kofootni lama kan isa tokkoo kofoota walitti dhufoo lamaan kan isa lammataa wajjiin walitti galoo yoo ta’an, rog-sadeen lamaan wal-fakkaatoo dha.
Mirkaneessuu:
Mee ∆ABC fi ∆DEF A D
kennamaniiran haa jennu. H K
E F
B C
Kennama keessatti ∠A≅∠D fi ∠B≅∠E ti haa jannu ∠C≅∠F maaliif?
Kan Agarsiisuu Barbaannu(KAB): AB/DE=AC/DF=BC/EF tas’uu isaa.
Ijaarsa: (AB) ̅ fi (AC) ̅ irratti (AH) ̅ fi (AK) ̅ bifa (AH) ̅ ≅ (DE) ̅ fi (AK) ̅ ≅ (DF) ̅ ta’uun ijaari.
(HK) ⃡∥(BC) ⃡ ta’uu agarsiisuuf.
∆AHK≅∆DEF RKR((AH) ̅ ≅ (DE) ̅ , (AK) ̅ ≅ (DF) ̅ fi ∠A≅∠D)
⟹ ∠ABC≅∠DEF
∠AHK≅∠ABC … kan ijaarree fi kanname irraa.
AB/DE=AC/DF waan AH=DE fiAK=DF ta’aniif.
Akkanumatti (BA) ̅ fi (BC) ̅ muruun AB/DE=BC/DF arganna.
AB/DE=AC/DF=BC/EF
kanaafuu , ∆ABC~∆DEF ta’a.
Tiiramii wal-fakkaatinaa KK tti fayyadamuun tiiyooramii armaan gadii kana mirkaneessii.
Tiiramii 3.10. Sararri wal-tarree roga rog-sadee tokkoo ta’ee rogoota kanneen biroo mure darbu, rog sadicha yoo ∆ABC irratti, tuqoonni M fi N’n rogoota (AB) ̅ fi (AC) ̅ irra akkuma duraa duuba isaaniitiin ta’anii fi (MN) ⃡∥(BC) ⃡ ta’e, ∆ABC~∆AMN ta’a.
A
M N
B CMirkaneessuu: ( Hojii Daree)
Tiiramii 3.11.( Tiiramii wal-fakkaatinaa – RKR)
Rog-sadoota lama keessatti, cimdooliin rogoota walitti dhufoo lama piroopporshinaalii fi kofootni ( jidduu isaanii jiran) walitti galoo yoo ta’an rog-sadeen lamaan wal-fakkaatoo dha.
Mirkaneessuu:
Mee ∆ABC fi ∆LMN keessatti AB/LM=AC/LN fi ∠A≅∠L haa ta’u.
KAB : ∆ABC~∆LMN ta’uu
A L
K T
M N
B C
Tuqaa K , (AB) ̅ irraa bifa (AK) ̅ ≅ (LM) ̅ ta’utti filadhu.
K keessa darbuun (AK) ̅ ‘f wal-tarree , (AC) ̅ tuqaa T irratti akka kutee darbutti ijaari.
∴∆AKT~∆ABC maaliif.
AK/AB=AT/AC=LN/AC tarkaanfilee armaan olii fi kennamsa.
⟹ (AT) ̅ ≅(LN) ̅ … Agziyeemii reeshoo irraa.
∆LMN~∆AKT ta’a … Tiiramii walitti galoo RKR
∴∆LMN~∆AKT~∆ABC
∴∆LMN~∆ABC ta’a( amala darbaa darboo).
Tiiramii 3.12( tiiramii wal-fakkaatinaa RRR)
Rogootni walitti dhufoon sadan rog-sadoota lamaa yoo piroopporshinaalii ta’an rog-sadeen lamaan wal-fakkaatoo dha.
Kan kenname : ∆BAC fi ∆QPR irraa PQ/AB=QR/BC=RP/CA ta’uu.
KAB : ∆BAC~∆QPR ta’uu
B Q
D E
A C P RMirkaneessuu: (AB) ̅ irratti tuqaa D , (DB) ̅ ≅(PQ) ̅ akka ta’utti kaa’i. Akkasumassi sarara tuqaa D keessa darbuu fi wal-tarree (AC) ̅ ta’e((DE) ⃡∥(AC) ⃡) ijaari.
Himama Sababa- DB/AB=QR/BC=RP/CA Waan (DB) ̅ ≅(PQ) ̅ ta’eef.
- ∠BDE≅∠A fi ∠BED≅∠C Waan (DE) ⃡∥(AC) ⃡ ta’eef.
- ∆BDE~∆BAC Tiyooramii wal-fakkatina KK
- DB/AB=BE/BC=ED/CA Hiikoo rog-sadee wal-fakkaatoo
- QR/BC=BE/BC fi RP/CA=ED/CA Darbaa darboo fi bakka buusuu
- (QR) ̅ ≅(BE) ̅ , (RP) ̅ ≅(ED) ̅ fi (DB) ̅ ≅(PQ) ̅ Tarkaanfilee 4,5 fi darbaa darboo irraaa
- ∆BDE≅∆QPR Tiiramii walitti galoo RRR
- ∠B≅∠Q fi ∠BDE≅∠P Hiikoo rog-sadee walitti galoo
- ∠A≅∠P Tarkaanfii 2ffaa ,8ffaa fi darbaa darboo
- ∆BAC~∆QPR Tarkaanfilee 8ffaa ,9ffaa fi Tiiramii KK irraa
Fakkeenya.
Danaa armaan gadii keessatti, (FG) ̅ ≅(EG) ̅,BE=15, CF=20 , AE=9, DF=12 yoo ta’e, rog-sadeewwan kami wal-fakkaatoo akka ta’an adda baasi.
C
B
G
A F E DFurmaata:
(FG) ̅ ≅(EG) ̅ kan agarsiisu, ∠GFE≅∠GEF ta’uu isaa ti. Sababni isaas yoo rogootni lama kan rog-sadee tokkoo walitti galoo ta’an, kofootni rogoota kanaaf fuullee ta’an walitti galoo dha. Yoo rogootni walitti dhufoo kofa hammatan piroopporshinaalii ta’an ,rog-sadoonni wal-fakkaatoo dha.
AE/DF=9/12 yookiin 3/4 fi BE/CF=15/20 yookiin 3/4 .
Darbaa darboon , AE/DF=BE/CF
Kanaafuu, tiiramii wal-fakkaatina rog-sadoootaa( KRK) tiin ∆ABE~∆DCF ta’a.
Gilgaala 3.3.
- Danaa armaan gadii keessaatti, (AB) ⃡∥(CD) ⃡ , AB=4, AE=3x+4, CD=8 fi
ED=x+12 yoo ta’e, AE fi DE barbaadi.
A C
3x+4
4 E 8
B x+12
D
2.Sararri tuqaalee walkkeessoo rogoota lamaa rog-sadee tokkoo wal-qabsiisu:
i) roga sadaffaa waliin wal-tarree ta’uu
ii) walakkaa roga sadaffaa ta’uu isaa mirkaneessi. - Danaa armaan gadii keessaatti,
A
i) t = __ t 12
D E
ii) q = _ 18
25 30 q
B M C
4.Tiraappiziyeemii ABCD keessatti, (AB) ⃡∥(DC) ⃡ , saarboonni lamaan tuqaa O irratti yoo wal-qaxxaamuran , OA:OC=OB:OD ta’uu mirkaneessi.
3.5. Tiiramoota sararoota konkerentii irratti
Hiikoo 3.3. Sararoonni sadii fi sanii ol ta’an tuqaa tokko keessa yoo darbaan sararoota konkerentii jedhamu.
l_1
l_2
Q l_3
l_4
sararoonni l_1, l_2, l_3 fi l_4 tuqaa Q irratti konkarantii dha.
Tiiramii 3.13.
Miidiyaanoonni rog-sadee tokkoo tuqaa fageenya 2/3 tokkoon tokkoo varteksoota irraa gara walakkaa roga fuullee isaanii irratti wal-qaxxaamuran( konkarantii ta’an).
Mirkaneessuu:
Mee (AE) ̅ fi (DC) ̅ ‘n miidiyaanota ∆ABC tuqaa O irratti kan wal-qaxxaamuran haa ta’u.
BD E G H O C F A l Himama Sababa - ∆ABC keessatti, (AB) ̅ fi (DC) ̅ miidiyaanota tuqaa O irratti wal-qaxxaamuran .
Keennama - (DE) ̅ ijaari Ijaarsa.
- (AC) ̅ gara tuqaa G tti dheeressuun (EG) ̅ kan (DC) ̅ f wal-tarree ta’e ijaari. Ijaarsa
- Tuqaan F , (AC) ̅ irratti ta’ee (EF) ̅ wal-tarree (AB) ̅ ijaari. Ijaarsa
- Tuqaan H ,(AB) ̅ irratti ta^’ ee (FH) ̅ wal- tarree (DC) ̅ ijaari.
Ijaarsa - A keessa darbuun (DC) ̅ f wal-tarree kan ta’e sarara l ijaari. Ijaarsa
- AFED fi CGED ‘n paaraleeloogiraamota roga waliinii (DE) ̅ qaban Tarkaanfilee 3ffaa fi 4ffaa irraa
- Kanaafuu, AF=DE=CG Tarkaanfii 7ffaa
- DE=1/2 AC=AF Tarkaanfii 1ffaa irraa ∆ABC~∆DBE.
- AF=FC=CG Tarkaanfilee 8ffaa fi 9ffaa irraa
- (AG) ̅ ‘n sararoota wal-tarree l, (HF) ̅ , (DC) ̅ fi (EG) ̅ tiin bakka wal-qixa saditti qoodama. Tarkaanfilee 3ffaa ,5ffaa fi 10ffaa irraa
- (AE) ̅ ‘n sararoota wal-tarree l, (HF) ̅ , (DC) ̅ fi (EG) ̅ tiin bakka wal-qixa saditti qoodama. Tarkaanffii 11ffaa fi amaloota sararoota wal-tarree irraa. Kanaafuu, OE= 1/3 AE,AO=2/3 AE
Midiyaanoonni (DC) ̅ fi (AE) ̅ ‘n tuqaa O irratti OA=2/3 AE akka ta’e mirkaneessinee jirra. Haaluma wal-fakkaatuun miidiyaannoonni (AE) ̅ fi (BF) ̅ ‘n tuqaa O irratti akkaa wal-qaxxaamuranii fi OA=2/3 AE ta’uu isaa agarsiisi.
Fakkeenya:
Danaa armaan gadii keessatti, (AN) ̅, (CM) ̅ fi (BL) ̅ ‘n miidiyaanota ∆ABC. Yoo AN=12sm,
OM=5sm fi BO=6sm ta’e, BL, ON fi OL barbaadi. C
Furmaata:
Tiiramii 3.13 ‘n L N
BO= 2/3 BL fi AO=2/3 AN O
6= 2/3 BL bakka buusi. A M B
AO= 2/3×12
Kanaafuu, BL= 9sm fi AO= 8sm ta’a.
BL= BO+OL,
OL= BL-BO=9-6=3sm.
amma immoo, AN= AO+ON ni kenna
ON= AN-AO=12-8=4sm.
∴BL=9sm,OL=3sm fi ON=4sm ta’a.
Tiiramii 3.14. Walakkeessitoonni parpendikulaarii rogoota rog-sadee kamiyyuu tuqaa vartekasoota rog-sadichaa hunda irraa wal-qxa fagaatu irratti konkarentii dha.
Mirkaneessuu:(gilgaala)
Tiiramii 3.15. Iiroon rog-sadee sadan konkarantii dha.
Mirkaneessuu:
Mee (EA) ̅, (BF) ̅ fi (CD) ̅ ‘n C’ B A’
iiroowwan ∆ABC haa ta’an. D E
Rog-afroonni ABA’C, ABCB’ fi AC’BC n A F C
paaraleelogiraamotaa dha.(maaliif ?) B’
ABA’C n paaraleelogiraamii waan ta’eef , AC=BA’ ta’a. Ammas ACBC’ n paaraleelogiraamii waan ta’eef , AC=BC’ ta’a.Kanaafuu, BC’=BA’ fi (BF) ̅ ‘n (A’C’) ̅ bakka wal-qixa lamatti qooda.
Akkasumas, (BF) ̅ ‘n parpendikulaarii (AC) ̅ fi walakkeessituu perpendikulaarii (A’C’) ̅ ta’a. Haaluma wal-fakkaatuun (CD) ̅ fi (AE) ̅ ‘n duraa duubaan walakkeessituu perpendikulaarii (A’B’) ̅ fi (B’C’) ̅ akka ta’an agarsiisuun ni danda’ama.
Kanaafuu, iiroowwan ∆ABC walakkeessitoota parprndikulaarii rogoota ∆A’B’C’ wajjiin tokkoo dha. Walakkeessitootni parpendikulaarii rog-sadee kamiyyuu konkarentii dha. Kanaafuu, iiroowaan rog-sadee konkarentii dha.
Tiiramii 3.16. Walakkeessitootni kofa rog-sadee kamiyyuu tuqaa rogootni rog-sadichaa hundi wal-qixa fagaatan irratti konkarentii dha.
Mirkaneessuu:
Kofa walakkeessitootni rog-sadee kamiyyuu tuqaa tokko irratti akka wal-tuqan agarsiisuuf kofa walakkeessitoota ∠A fi ∠C tuqaa O irratti wal-qaxxaamuran ijaari.
B
A’ O B’
C
A C’
Papendikulaarota (OA’) ̅, (OB’) ̅ fi (OC’) ̅ ijaari. ∆OBB’≅∆OBA’ (maaliif ? )
Kana irraa ∠OBB’≅∠OBA’ ta’a.
Kanaafuu , walkkeessituun kofaa ∠B s tuqaa O keessa darba.
Kanaafuu, walakkeessitootni kofaa ∆ABC tuqaa rogootni rog-sadichaa hundi wal-qixa fagaatan irratti konkarentii dha.
Gilgaala 3.4.
- Mee A(0,0) ,B(6,0) fi C(0,4) varteksoota ∆ABC haa ta’an.
i) tuqaa miidiyaanoonni ∆ABC irratti wal-qaxxaamuran barbaadi.
ii) gaaffii (i) keessatti tuqaan argame 2/3 ffaa fageenya varteksii tokkoon tokko irraa gara tuqaa walakkaa roga fuullee isaatti akka ta’e agarsiisi.
2.Fakkii armaan gadiirratti hundaa’uun:
i) c ii) d iii) e iv) f barbadi.
3.Rog-sadee kofa sirrii ABC keessatti kofi sirrii A irratti yoo ta’e fi (AD) ̅ ‘n ⊥ rii haypootinasiitti yoo ijaarame:
i) BA^2=(BC)(BD)
ii) CA^2=(CB)(CD) ta’uu mirkaneessi.
Cunfaa Boqonnaa
- Akkaataa baay’inna rogoota walitti galoo isaaniitiin rog-sadoonni bakka saditti qoodamu. Isaanis:- rog-sadee iskeelenii, rog-sadee aysoosilasii fi rog-sadee ikulaateraalii ti.
i) Rog-sadeen rogootni isaa hundinuu wal-qixa hintaane rog-sadee iskeelenii jedhama.
ii) Rog-sadeen yoo xiqaate rogootni isaa lamaan walitti galoo ta’an rog-sadee aysoosilasii jedhama.
iii) Rog-sadeen rogootni isaa hundinuu walitti galoo ta’an rog-sadee ikkulaateraalii jedhama. - Akkaataa saffara kofoota isaaniitiin rog-sadootni akka armaan gadiitti qoodamu.
1) Rog-sadeen kofootni isaa hunduu akkiyuutii ta’an, rog-sadee akkiyuutii jedhama.
2) Rog-sadeen kofoota walitti galoo sadi qabu rog-sadee kofoota wal-qixaa jedhama.
3) Rog-sadeen kofa sirrii tokko qabu rog-sadee kofa sirrii jedhama.
4)Rog-sadeen kofa obtiyuusii tokko qabu rog-sadee obtiyuusii jedhama. - Sararri dhaabbataa varteksii rog-sadee tokko tuqaa walakkeessaa roga fuullee isaa waliin wal-qunnamsiisu miidiyaanii rog-sadee jedhama.
- Sararri dhaabbataa varteksii rog-sadee tokko irraa perpendikulaarii roga fuullee isaatti sararamu yookiin varteksii tokko irraa perpendikulaarii dheerinna roga fuullee isaatti sararamu iiroo rog-sadee jedhama.
- Yoo rogootni lama kan rog-sadee tokkoo walitti galoo ta’an, kofootni rogoota kanaaf fuullee ta’an walitti galoo dha. Yookiin kofootni hundee rog-sadee aysoosilasii walitti galoo dha.
- Ida’amni rogoota lamaa kan rog-sadee kamiyyuu roga isa sadaffaa ni caala.
BOONNAA 4
ROG-BAAY’OOTA
4.1 Yaad-rimee daandii cufamaa salphaa
Hiikoo 4.1. Tuqaa tokko irraa ka’uudhaan osoo addaan hinkutiin qubeessaadhaan sararuun yommuu ijaarru danaan uumamu daandii jedhama.
Fakkeenya:
Hiikoo 4.2. Daandiin wal-hiqaxxaammurre daandii salphaa jedhama.
Fakkeenya:
Hiikoo 4.3. Daandii cufamaa ta’ee kan wal-hinqaxxaamurre, daandii cufamaa salphaa jedhama.
Fakkeenya:
4.1.1 Rog-baay’ee
Hiikoo 4.4. Danaan diriiroo daandii cufamaa ta’ee sarara dhaabbattoota irraa ijaarame rog-baay’ee jedhama.
4.2 Ramaddii Rog-baay’ee
Rog-baay’een bakka lamatti qoodamu. Rog-baay’ee salphaa fi rog-baay’ee salphaa hinta’iin jedhamu. Kunis rog-baay’ee salphaa kanjedhamu:
i) Rogooni isaa kan wal-hinqaxxaamurre.
ii) Varteeksii lamaan isaanii kan wal-hin tuqne.
iii) Varteeksiin tokko kan roga isa biraa hin jirre yoo ta’e dha.
R og-baay’een amaloota rog-baay’ee salphaa hinguunne rog-baay’ee salphaa hintaane jedhamu. Rog-baay’ee salphoon safara kofoota keessaa isaanii irratti hundaa’uun bakka lamatti qoodamu.
Kofoota rog-baay’ee keessaa safarri kofa tokkoo yoo 180° ol ta’e rog-baay’ee ” konkeevii” jaedhama.Safarri kofootaa marti(tokkoo tokkoon isaanii) yoo 180° gadi ta’e rog-baaay’een kun rog-baay’ee “konkeevii” jedhama.
Yookiin:
Rogni rog-baay’ee tokkoo rog-baay’icha keessatti tuqaa keessoo yoo hinqabaanne, rog-baay’ichi rog-baay’ee “konveksii” jedhama. Rog-baay’een konkeevii hintaane rog-baay’ee baay’ee konkeevii jedhama.
Rog-baay'oota konkeevii4.3 Kofoota keessoo fi kofoota alee Rog-baay’ee
Hiikoo 4.5. Kofootni keessaa rog-baay’ee kofoota rogoota walitti aanan rog-baay’ichaatiin ijaaramanii fi keessoon rog-baay’ichaatti kan argamani dha.
Hiikoo 4.6. Kof-aleen rog-baay’ee tokkoo varteksii irraa roga sarara dhaabbataa isa tokko dheeressuun kofa roga-dheeratee fi roga rog-baay’ee gidduutti uumamu dha.
Fakkeenyaa:
Fakkii armaan olii irratti ∠1, ∠3 , ∠5 ,fi ∠9 kofoota keessaa rog-baay’ee ABCD ti, ∠2, ∠4 , ∠6 fi ∠8 immo kofoota alaa rog-baay’ee ABCD ti.
4.4 Gosoota Rog-baay’ee
Rog-baayoonni lakkoofsa(baay’ina) rogoota isaanii irratti hundaa’uun maqaalee addaa addaa qabu.
Baay’ina rogootaa Maqaa Rog-baay’ichaa Maqaa addaa
3 Rog-sadee
4 Rog-afree Kuwaadriilaateraalii
5 Rog-shanee Peentaagoonii
6 Rog-jahee Heksaagoonii
7 Rog-torbee Heptaagoonii/ Septaagoonii
8 Rog-sadee Oktaagoonii
9 Rog-saglee Nonaagoonii
10 Rog-kurnee Deekaagoonii
Hiikoo 4.7.Rog-baay’ee tokko keessatti tuqaan bakki fiixeen rogootaa lamaan wal-tuqan(kiphan) varteksii jedhama.
Hiikoo 4.8. Sararri dhaabbataan varteksoota walitti hin aanne lama walqunnamsiisuu sarbii jedhama.
Fakkeenya:
A , B, C, D, E fi F ‘n varteksoota yommuu ta’an (AD) ̅ , (AE) ̅, (AC) ̅ , (BF) ̅, (BE) ̅ , (BD) ̅, (CF) ̅, (CE) ̅ , (DF) ̅ ‘n saarbiiwwan rog-baayichaa ti.
Hiikoo 4.9.
- Rog-baay’een tokko kofootni isaa hundumtuu walitti galoo yoo ta’an rog-baay’ee kofaan walitti galoo jenna( equiangular polygon).
Fkn: Roktaanglii - Rog-baay’een tokko rogootni isaa hundumtuu walitti galoo yoo ta’an rog-baay’ee rogaan walitti galoo jenna( equiangular polygon). Fakkenya: Roombasii
- Rog-baay’een tokko kofaan walitti galoo fi rogaan walitti galooyoo ta’e rog-baay’ee wal-qixaa ykn rog-baay’ee sirnawaa jenna( regular polygon).
Fakkenya Hiikoo 4.10. Bal’iinsa salphaa danaalee diriiroo jechuun tuuta tuqaalee kanneen daandiiwwan irraa fi daandiiwwan keessaa hunda qabatuu dha.
Fakkeenya:Bakki dibame keessoo rog-baay'ee ABCDEF ti.Hiikoo 4.11. Danaaleen diriiroo kan rogoota rog-baay’een hincufamiin aloo rog-baay’ee jedhama. Fakkii armaan olii irraa tuqaalee R fi T ‘n duraa duubaan keessoo fi aloo rog-baay’ee ABCDEF irratti argamu.
Gocha 4.1. - Gabatee armaan gadii guuti.
Baay’ina rogoota
Rog-baay’ee Baay’ina saarboota varteeksii tokko irraa ijaaraman Baay’ina rog-sadoota sarboota varteksii tokko irraa ijaaramaniin uumamu Baay’na saarboota hundaa kan baay’ichaa
4 1
5 3 5
6 9
7 4
8 6
9 27
20
30
40
N - Rog-baay’een rogoota 100 qabu saarboota meeqa qaba?
3.Rog-baay’een baay’nni roga isaa n ta’e:
a)Baay’inni saarboota varteeksii tokko irraa ijaaramanii meeqa?
b) Baay’inni rog-sadoota saarboota varteeksii tokko irraa ijaaramaniin uumamu meeqa?
c) Baay’iini saarboota hundaa kan rog-baay’ichaa meeqa?
Hub. Rog-baay’een tokko baay’inni rogoota isaa n yoo ta’e:
i) Baay’inni saarboota varteeksii tokko irraa ijaaramanii (n-3) ta’a.
ii) Baay’inni rog-sadoota saarboota varteeksii tokko irraa ijaaramaniin uumamu ( n-2) ta’a.
iii) Baay’iinni saarboota hundaa kan rog-baay’ichaa (n(n-3))/2 ta’a.
4.3. Saffara ida’ama kofoota keessaa rog-baay’ootaa
Tiiramii 4.1. Ida’amni saffara kofoota keessaa rog-baay’ee konveksii fi konkeevii , (n-2)180° dha.
Fakkenya.
Ida’ama saffara kofoota keessaa rog-baay’ee baayinni rogoota isaa 5 ta’ee barbaadi.
Furmaata:
S ‘n ida’ama saffara kofoota keessaa rog-baay’ichaa yoo ta’e, S=(n-2)180°, n=5
S=(n-2)180°
S=(5-2)180°
S=180°(3) ykn 540°
Korolaarii 4.1. Safarri tokkoon tokkoo kofoota keessaa rog-baay’ee sirnaawaa yookiin rog-baay’ee kofaan walitti galoo , (180°(n-2))/n dha.
Fakkeenya: Safarri tokkoon tokkoo kofoota keessaa rog-baay’ee sirnaawaa baay’inni rogoota isaa 6 ta’e meeqa?
Furmaata: n=6
Saffara tokkoon tokkoo kofoota keessaa = ((n-2)180°)/n
= ((6-2)180°)/6 = (180×4)/6 = 120°
4.4. Saffara ida’ama kofoota alaa rog-baay’ee
Tiiramii 4.2. Ida’amni saffara kofoota alaa rog-baay’e tokkoo kan baay’inni rogoota isaa n ta’e, yoo kofa tokko varteksii tokkoon tokkoo irraa fudhanne 360° ta’a.
Hub.
1.Ida’amni saffara kofoota keessaa fi alaa tokkoon tokkoo varteksii rog-baay’ichaa irratti argamanii, 360° dha. - Ida’amni saffara kofoota alaa rog-baay’e kamiyyuu kan baay’inni rogoota isaa n ta’e, 360° dha.
Korolaarii 4.2. Safarri tokkoon tokkoo kofoota alaa rog-baay’ee sirnaawaa baay’inni rogoota isaa n ta’e , (360°)/n dha.
Fakkeenya:
Saffara tokkoon tokkoo kofoota alaa rog-baay’ee sirnaawaa baay’inni rogoota isaa 12 ta’e barbaadi.
Furmaata:
Kennama: n=12
Safarri tokkoon tokkoo kofoota alaa rog-baay’ee sirnaawaa baay’inni rogoota isaa n ta’e =(360°)/n
=(360°)/12
=30°
Gilgaala 4.1. - Ida’ama saffara kofoota keessaa rog-baay’oota armaan gadii barbaadi:
a) Peentaagoonii b) Heksaagoonii c) Oktaagoonii d) Oktaagoonii e) Nonaagoonii
f) Deekaagoonii - Ida’amni saffara kofoota keessaa rog-baay’ee heksaagoonii 600° yoo ta’e, safarri kofa keessaa isa jahaffaa meeqa ta’a?
3.Baay’ina rogoota rog-baay’ee saffarri tokkoon tokkoo kofoota alaa isaa kanneen armaan gadii ta’ee barbaadi.
a) 30° b) 40° c) 45° d) 60° e) 90° - Ida’amni safara kofoota keessaa rog-baay’ee tokkoo afur baay’isuu ida’ama kofoota alaa rog-baay’ichaa yoo ta’e, baay’nni rogootaa rog-baay’ichaa meeqa dha?
4.5. Rog-afroota(Kuwaadriilaateraaloota)
4.5.1. Tiraappiziyeemii
Hiikoo 4.12.Rog-afreen rogoonni isaa lamaan qofti wal-tarree ta’an tiraappiziyeemii jedhama.
Fakkii armaan olii keessatti, rog-afreen ABCD tiraappiziyeemii dha. Rogootni (AD) ̅ fi (BC) ̅ ‘n rogoota wal-tarree hintaane kan rog-afree ABCDS ti.
Hub. Yoo rogootni (AD) ̅ fi (BC) ̅ tiraappiziyeemii ABCD walitti galoo ta’an,tiraappiziyeemichi tiraappiziyeemii aysoosilasii jedhama.
4.5.2. Paaraleloogiraamii
Hiikoo 4.13.Rog-afreen cimdiin rogoota fuullee isaa wal-tarree ta’an paaraleelogiraamii jedhama.
Danaa armaan olii keessatti,rog-afreen ABCD paaraleloogiraamii dha. (AB) ̅∥(DC) ̅ fi (AD) ̅∥(BC) ̅ dha.
Amalootni paaraleelogiraamii tiiremii armaan gadii keessatti ibsamanii jiru.
Tiiremii 4.3.
a. Rootni fuullee paaraleelogiraamii walitti galoo dha.
b.Kofotni fuullee paaraleelogiraamii walitti galoo dha.
c.Saarbiiwwan paaraleelogiraamii walakaatti wal-qoodu.
d.Rogootni fuullee rog-afree tokkoo walitti galoo yoo ta’an, rog-africhi paaraleelogiraamii dha.
e. Saarbiwwan rog-afree tokkoo walakaatti kan wal-kutan yoo ta’e, rog-africhi paaraleelogiraamii dha.
f. kofootni fuullee rog-afree tokkoo walitti galoo yoo ta’an, rog-africhi paaraleelogiraamii dha.
Mirkaaneessuu:( a) fi ( b)
Kennama: paaraleelogiraamii ABCD
Kan Agarsiifamuu Barbaadame: (AB) ̅≅(CD) ̅ fi (BC) ̅≅(DA) ̅ ta’uu isaa.
Himama Sababa- Saarbii (AC) ̅ ijaari. Tuqaalee lama gidduu sarara tokkoof tokkoqofatu jira.
- (AC) ̅≅ (CA) ̅ Roga waliinii
- ∠CAB ≅∠ACD
∠ACB≅∠CAD Kofoota keessaan cinaachaa - ∆ABC ≅∆ CDA Tiiramii KRK irraa
- (AB) ̅≅ (CD) ̅ fi (BC) ̅≅ (DA) ̅ , fi ∠ABC≅∠CDA Hiikoo rog-sadoota walitti galoo
Mirkaneessuu: (c)
Kennama: Paaraleloogiraamii ABCD keessatti , saarbootni (AC) ̅ fi (BD) ̅ ‘n tuqaa O irratti wal-qaxxaamuran.
Kan Agarsiifamuu Barbaadame: (AO) ̅≅ (OC) ̅ fi (BO) ̅≅ (DO) ̅ ta’uu isaa. Himama Sababa - (AB) ̅≅ (CD) ̅ Tiiramii 4.3. irraa
- ∠CAB ≅∠ACD fi ∠ABD≅∠CDB .kanaafuu,
∠OAB≅∠OCD fi ∠ABO≅∠CDO Kofoota keessaan cinaachaa - ∆AOB≅∆ COD Tiiramii KRK
- (AO) ̅≅ (CO) ̅ fi (BO) ̅≅ (DO) ̅ Hiikoo rog-sadoota walitti galoo
Mirkaneessuu: ( f )
Kennama: Rog-afree ABCD keessatti , ∠A ≅∠C fi ∠B ≅∠D
Kan Agarsiifamuu Barbaadame: ABCD ‘n paaraleloogiraamii ta’uu isaa.
Himama Sababa
- s(∠A) + s(∠B) + s(∠C) + s(∠D)=360° Ida’amni kofoota keessaa rog-afrootaa 360° dha.
- s(∠A)=s(∠C) fi s(∠B)=s(∠D)
Kennama. - 2s(∠A)+2s(∠D)=360°
Tarkaanfilee 2ffaa fi 3ffaa. - s(∠A)+s(∠D)=180°
Salphisuu
5.Kanaafuu, (AB) ̅∥(DC) ̅ ∠A fi ∠D kofoota keessoo sarara dalgee (AD) ̅ tiin gama tokkotti argamanii dha. - s(∠A)+s(∠B)=180° Tarkaanfii 2ffaa fi 4ffaa irraa.
7.Kanaafuu, (AD) ̅∥(BC) ̅ ∠A fi ∠B kofoota keessoo sarara dalgee (AB) ̅ tiin gama tokkotti argamanii dha.
8.ABCD ‘n paaraleloogiraamii dha. Hiikoo paaraleloogiraamii fi tarkaanfilee 5ffaa fi 7ffaa irraa. 4.5.2 Rektaanglii
Hiiko 4.14. Paaraleloogiraamiin kofti isaa tokko kofa sirrii ta’e, rektaangilii jedhama.
Danaa armaan gadii keessatti, paaraleloogiraamiin ABCD’n rektaangilii kofti isaa
tokko ( kofi D) kofa sirrii dha. Saffarri kofoota biraa rektaangilii ABCD maal ta’a?Amaloota muraasa rektaangiliii) Rektaangiliin amaloota paaraleloogiraamiin qabu hunda qaba.
ii) Tokkoon tokkoo kofootni keessoo rektaangilii kofa sirrii dha.
iii) Sarbiiwwan rektaangilii walitti galoo dha.
4.5.3. Roombasii
Hiikoo 4.15. Paaraleloogiraamii rogoota maddii walitti galoo lama qabu rombosii jedhama .
Fakki armaan olii keessatti paaraleloogiraamiin ABCD roombasii dha.
Amaloota muraasa rombasii
i) Rombosiin amaloota paaraleloogiraamiin qabu hunda qaba.
ii) Roombosiin rog-afree rogaan walitti galoo dha.
iii) Sarbiiwwan rombosii parpendikulaarii walii ti.
iv) Sarbiiwwan rombosii kofoota isaa walakkaatti qoodan.
4.5.4. Iskuweerii
Hiikoo 4.16. Rektaangiliin rogootni maddii isaa walitti galoo ta’an iskuweerii jedhama .
Fakki armaan olii keessatti rektaangiliin ABCD iskuweerii dha.
i) Iskuweeriin amaloota rektaangiliin qabu hunda qaba.
ii) Iskuweeriin amaloota rombasiin qabu hunda qaba.
Gocha 4.2.
- Walitti dhufeenyaa fi garaagarummaan paaraleelogiraamii,rektaangilii fi iskweerii gidduu jiru maal?
2.Paaraleelogiraamii ABCD keessatti, AB=3x-4 , BC=2x+7 fi CD=x+18 yoo ta’e, ABCD ‘n paaraleelogiraamii gosa kamiiti?
Gilgaala 4.2. - ABCD ‘n paaraleloogiraamii dha, P’n tuqaa walakkaa (AB) ̅ fi Q’n tuqaa walakkaa (CD) ̅ ti. APCQ’n paraleloogiraamii ta’uu isaa mirkaneessi.
2.Tuqaaleen walakkaa rogoota rektaangilii varteksoota rog-afree ti. Rog-afreen uumamu rog-afree gosa kamiiti ? Deebii kee mirkaneessi. - Tuqaaleen walakkaa rogoota paaraleloogiraamii varteksoota rog-afree ti. Rog-afreen uumamu rog-afree gosa kamiiti ? Deebii kee mirkaneessi.
4.Kanneen armaan gadii mirkaneessi:
a) Sarbiiwwaan paaraleloogiraamii walitti galoo yoo ta’an,paraleloogiraamichi rektaangilii dha.
b) Sarbiiwwaan rog-afree tokkoo yoo wal-walakkeesanii fi kofti rog-africhaa tokkkoch kofa sirrii yoo ta’e, rog-africh rektaangilii dha.
c) Sarbiiwwaan roombasii parpendikulaarii waliiti.
4.6 Wal-fakkaatinaa fi walitti galummaa Rog-baay’eewwaanii
Mata duree wal-fakkaatinaa fi walitti galummaa rog-sadeewwanii jalatti hiikoleen wal-fakkaatinaa rog-baay’eewwanii fi walitti galummaa rog-sadeewwanii kennamuusaa ni yaadatta. Akkasummas mata dureewwan kana jalatti tiyooramoonni adda addaa hiikolee fi agziyeemta irratti hudaa’uun mirkaneeffamaniiru. Mee yaadota kana bu’uureffachuun gocha armaan gadii hojjadhu.
Gocha 4.3.
1.Rog-baay’eewwan lama walitti galoo dha kan jennu yoomi? - Rog-baay’eewwan lama wal-fakkaatoo dha kan jennu hoo yoomi?
- Rog-baay’eewwan sirnaawoo lama kanneen baay’inni rogoota isaanii wal-qixa ta’an wal-fakkaatoodha?
4.Himoota armaan gadii sadan keessaa kamtu sirrii dha?
i) Iskuweerii lama kamiyyuu wal-fakkaatoo dha.
ii) Roombosoonni lama kamiyyuu wal-fakkaatoo dha.
iii) Rog-baay’eewwan sirnaawaa baay’ina rogaa wal-qixa qaban kamiyyuu walitti galoodha. - Wal-fakkaachuu rog-sadeewwanii jalatti tiyooramii RRR ilaallee turre. Yaanni kun rog-baay’ee baay’inni rogoota isaa sadii ol ta’eef oola? Fakkeenyaaf iskuweerii fi roombaasii yoo fudhanne, rogootni isaanii piroopporshinaalii dhaa? wal-fakkaatoodhaa?
Gilgaala 4.2
1.Rog-afree ABCD fi PQRS keessatti ∠A≅∠P , ∠B≅∠Q, ∠C≅∠R akkasumas
AB:BC=PQ:QR yoo ta’e ABCD~PQRS ta’uu mirkaneessi. - Fakkii armaan gadii keessatti, dheerinna kanneen qubeewwaniin bakka bu’amanii barbaadi.
3.Tiiramoota armaan gadii lamaan mirkaneessi.
Tiyooramii (1): yoo rog-sadeewwan lama wal-fakkaatoo ta’anii fi reeshoon rogoota walitti dhufoon k ta’e, reeshoon bal’ina bal’insa isaanii k2 ta’a.
4.7 Naannawaa fi Bal’ina Rog-baay’eewwanii
Naannawaan rog-baay’ee roga “n” qabuu fi dheerinni rogoota isaa R1,R2, R3,…,Rn ta’e ida’ama dheerina rogoota kanaa ti. Kunis :
N=R_1+R_2+R_3+⋯+R_n N ‘n naannawaa bakka bu’a.
Fkn: ABCDE’ n rog-baay’ee armaan gadiiti haa jennu. Yoo AB=R_1, BC=R_2 , CD=R_3, DE=R_4 fi EA=R_5 ta’e, naannawaan rog-baay’ee ABCDE, N=R_1+R_2+R_3+R_4+R_5 ta’a.
Gocha 4.4.- Naannawaa iskuweerii saarbiin isaa 3√2 ta’ee barbaadi.
- Naannawaa roombasii saarbiiwwan isaa 18sm fi 24sm ta’e barbaadi.
- Naannawaa rog-sadee ikkulaateraalii walakkeessi isaa h kan ta’ee barbaadi.
- Mee ABCD’n rog-afree tokko haa ta’u (AC) ̅ fi (BD) ̅ ‘n saarbiiwwani haa jennu. Yoo AC=20sm fi BD=10sm ta’an, naannawaa rog-afree varteeksoonni isaa tuqaa walakkeessoo rog-afree ABCD ta’ee barbaadi.
- Naannawaan roombasii tokkoo 52sm yoo ta’ee fi dheerinni saarbii tokkoo immoo 10sm yoo ta’e, dheerina saarbii isa biroo barbaadi.
Bal’ina Bal’insa Rog-Baay’eewwanii
Tuuta tuqaalee kanneen rogootaa fi rogoota rog-baay’ee keessa jiran walitti qabatee bal’insa rog-baay’chaa jedhama. Bal’ina rog-baay’ee ennaa jennu immoo safara bal’iinsa rog-baay’ichaa ti.
Pooschuleetiin afran armaan gadii pooschuleetii bal’inaa jedhamu.Tiyooramoota waa’ee bal’insaa mirkaneessuuf nu gargaaru.
PB1: Bal’inni bal’insa rog-baay’ee kamiifuu lakkoofsi waliigalaa poozatiivii tokko ni jira.
PB2: Rog-baay’een lama walitti galoo yoo ta’an, bal’inni bal’insa isaanii wal-qixa ta’a.
PB3: Yoo rog-baay’eewwan lama tuqaalee keessoo waliin hinqaban(wal irra hinciifne) ta’e bal’insi makoo isaanii ida’ama bal’ina lamaan isaanii ta’a.
RB4: Bal’inni bal’insa iskuweerii tokkoo iskuweerii dheerina roga isaa ta’a.
Fkn:
Yuuniitii 1Yuunitii 1Kana akka iskuweerii yuunitii tokkootti fudhanna.
Tiiramii 4.4
Bal’inna reektaangilii hundee isaa fi dheerina isaa waliin baay’isuun arganna.
Mirkaneessuu: Mee ABCD’n rektaangilii haa ta’u.
D C Mee: (AB) ̅ hundee(dalgee) isaa haa ta’u.
h (BC) ̅ immoo dheerina isaa haa ta’u.
AB= b, BC= h
A b B KAB: B( ABCD)=bh
1.Rektaangilii ABCD irratti
L N F
b
D M h + b
h
A b B h E
b+h - ABCD fi MFNC reektaangiloota walitti galoo dha.(maalif ?) Kanaafuu:
Bal’inni ABCD = Bal’inna CMFN ta’a PB2.
3.B(AEFL)=B(ABCD)+B(MFNC)+B(DCNL)+B(BEMC) … PB3 irraa.
〖(b+h)〗^2=B(ABCD)+B(MFNC)+b.b+h.h
b^2+bh+bh+h^2=B(ABCD)+B(MFNC)+b^2+h^2
∴B(ABCD)=bh
Koroolaarii 4.3. Bal’inni bal’insa rog-sadee kofa sirrii hundee isaa b ta’ee fi dheerinni isaa h ta’e, Bal’inni = 1/2 bh ta’a. ( mirkaneessi)
Koroolaarii 4.4. Bal’inni bal’insa rog-sadee rogoonni lamaan wal-maddii “a” fi “b” ta’anii fi kofti rogoota lamaaniin hammatame θ ta’e, Bal’inni =1/2 〖ab sin〗θ ta’a.
B
a
A C
b
Foormulaa Heroon ykn Heroo: Bal’ina rog-sadee barbaaduuf formulaa kanatti fayyamuun ni danda’ama.(Mirkaneessi)
Bal’inni rog-sadee dheerinni rogoota isaa a,b fi c ta’ani walakkaa naannawaa isaa S=((a+b+c))/2 yoo ta’e, B=√(S(S-a)(S-b)(S-c)) ta’a.
Hiikoo 4.17. Iiroon paaraleloogiraamii dheerina sarara dhaabbataa (⊥) varteksii tokko irraa gara roga fuullee isaatti sararame dha.
Tiiramii 4.5 Bal’inni bal’insa paaraleloogiraamii hundee isaa fi iiroo waliin baay’isuun arganna.
Mirkaneessuu: (gilgaala)
D E CA BKoroolarii 4.5. Bal’inni bal’insa paaraleloogiraamii dheerinni rogoota lamaa walitti aanan “a” fi “b” yoo ta’ee fi kofti gidduu isaanii θ yoo ta’e, B=ab sinθ ta’a.
Bali’ina tiraappiziyeemii:- Mee ABCD’n tiraappiziyeemii haa jennu ((AB) ̅∥(CD) ̅ ) , akkasumas haaluma fakkii kanaan iiroowwan ijaari.
Mee dheerinni rogoota wal-tarree ta’anii A a B
AB=a , CD=b haa jennu. Iiroon
AF=h haa jennu. h
B( ABCD) = B(∆ABC )+B(∆ADC ) D F b E C
B( ABCD) = 1/2 ah+1/2 bh
B( ABCD) = 1/2 h(a+b)
Gocha 4.5.
i) Miidiyaaniin tiraappiziyeemii maali?
ii) Tiraappiziyeemiin aysoosilasii maali?
iii) Miilli tiraappiziyeemii maali?
iv) Tiraappiziyeemii iiroo isaa h ta’ee fi miidiyaanii isaa m kan ta’e, bal’inn isaa “mh” ta’uu agarsiisi.
Bal’ina Rog-baay’ee sirnaawaa Rogoota n fi Geengoo
Bal’ina rog-baay’ee sirnaawaa rogoota “n” qabu argachuuf rog-baay’ee geengoon marsuun ykn geengoo rog-baay’een marsuun haala itti aanu kanaan argachuu dandeenya.
i) Mee rog-baay’ichi geengoo handhuurri O ta’e keessatti iniskiraaybidii ta’eera ykn marfameera haa jennu. Raadiyesii geengichaa ” r” haa jennu.
Mee (QR) ̅ ‘n roga isa tokko haa ta’u, n immoo baay’inna rogoota rog-baay’ee haa ta’u. Kanaafuu: S(∠QOR)=2π/n=(360°)/n ta’a.
B(∆QOR) = 1/2 r.r sin〖2π/n=1/2 r^2 sin〖2π/n〗 〗
∴ Bal’inni bal’insa rog-baay’ee sirnawaa rogoota “n”
B=1/2 n^2 sin〖(360°)/n〗 ta’a.
ii) Mee rog-baay’ee n sirnawaa geengoo handhuura “O” raadiyasii “r” tti moxobduu( tanjantii) ta’uun marse haa jennu.
iii) Bal’inni dheerina rogootaan ibsuun ni danda’ma.
Mee BC= S haa ta’u
ON=S/2 cot〖(180°)/n〗
∴B(OBC )=1/4 s^2 cot〖(180°)/n〗
∴ Bal’inni rog-baay’ichaa =1/4 ns^2 cot〖(180°)/n〗 ta’a.
Gilgaala 4.3.
1.Bal’inni roombasii walakkaa baay’ina sarboota isaa ta’uu mirkaneessi.
2.Bal’inni kaaytii walakkaa baay’ina saarboota isaa ta’uu mairkaneessi.
3.Bal’ina rog-sadee dheerinni rogoota isaa 4sm,6sm, fi 8sm ta’anii barbaadi.
4.Bal’ina rog-sadee ikkulaateraalii miidiyaanii isaa 2√2 ta’ee barbaadi.
5.Bal’ina roombasii dheerinni rogoota isaa kan tokkoo 10sm fi saarbiin tokko 16sm ta’ee barbaadi.
- Rog-baay’een sirnaawaa rogoota 7 qabu yoo geengoo raadiyaasii 5sm ta’een marfame bal’ina isaa barbaadi.
BOQONNAA-5
GEENGOO
5.1 Hiikoo Geengoo
Tuutni tuqaalee diriiroo tokkoo irratti argaman kanneen tuqaa kenname tokko irraa walqixa fagaatan Geengoo jedhamu.Tuqaan kenname kun handhuura geengoo jedhama.Sararoonni dhaabbataa handhuura geengoo irraa walqixa fagaatan raadiyasii geengoo jedhamu.
O’n handhuura,(OA) ̅ fi (OB) ̅ raadiyasoota geengoo ti.
Hub.Geengoon armaan olii yommuu dubbiffamu handhuura isaatiin “geengoo O” yookiin tuqaalee sadii geengicha irratti argamuun “geengoo ABC” jechuu dandeenya.
Hub.Geengooleen lama walitti galo dha kan jennu yoo raadiyasiin isaanii walqixa ta’ee dha.
Geengoon diriiroo irratti argamu tuutota tuqaalee wal hinkiphinne saditti qooda.Isaanis Tuqaalee keessoo geengoo,tuqaalee geengoo irraa fi tuqaalee geengoon alaa jedhamu.
Tuqaan tokko fageenyi inni handhuura geengoo irraa qabu yoo raadiyasii geengoodha gadi ta’e,tuqaan kun tuqaa keessoo geengoo jedhama.
Tuqaan tokko fageenyi inni handhuura geengoo irraa qabu yoo raadiyasii geengootiin walqixa ta’e,tuqaan kun tuqaa geengoo irraa jedhama.
Tuqaan tokko fageenyi inni handhuura geengoo irraa qabu yoo raadiyasii geengoo caale tuqaan kun tuqaa geengoo alaa jedhama.
5.1.1 Sararootaa fi sararoota dhaabbataa geengoon walqabatanHiikoo 5.2 Sararri dhaabbataan tuqaalee geengoo irratti argaman kamiyyuu kan walqabsiisu koordii geengoo jedhama.
(AB) ̅ fi (PQ) ̅’n koordoota geengoo O ti.
(AB) ̅ diyaameetirii geengoo O ti.
Gocha 1:Hiikoo 5.2 fayyadamuun hiikoo diyaameetirii geengoo kenni.
Hiikoo 5.3: Gar-tokkeen geengoo golboo geengoo jedhama.
Golboo AC,golboo BC,golboo ACB gar-tokkee geengoo O ti.
Hiikoo 5.4 Golboon handhuura kofa sirrii irratti haguugame kurmaana geengoo(quarter of a circle)
Hub.Geengoo keessatti safarri digirii golboo tokkoo safara digrii kofa handhuura isaan hammatame wajjiin walqixa.
Hub. Tuqaalee sadii golbicha irratti argaman fudhanne keessaa tuqaaleen lama fiixee golbichaa yoo ta’an,mallattoo ka’uun golboo moggaasuu dandeenya.
Fakkeenya:Golboo AC karaa gabaabaan (AC) ̂ jennee barreessina.
Golboon geengoo tuqaalee fiixeewwan diyaameetirii geengoodhaan uumamu walakkaa geengoo(semi circle) jedhama.Hiikoo 5.4 armaan oliitti,A fi B’n tuqaalee fiixee diyaameetirii (AB) ̅ ti.Golboon AB fi golboon ACB walakkaa geengoo O ti.
Mee O’n handhuura geengoo fi A fi B immoo tuqaalee geengoo kanneen fiixee diyaameetirii hin ta’iin haa jennu.
Tuutni tuqaalee A,B fi tuqaalee geengichaa A fi B gidduutti argaman hunda qabatee kofa xiqqaa AOB'n hammatame golboo xiqqaa(minor arc) jedhama.Kana jechuun golboon walakka geengoo gadi ta'e jechuu dha. (AXB) ̂ 'n golboo xiqqaaAB
Makaan tuqaalee A fi B fi tuqaalee geengichaa irraa kanneen ala kofa AOB golboo guddaa AB jedhama.Kana jechuun golboon walakkaa geengoo caaluu jechuu dha. (AYB) ̂ 'n golboo guddaa AB fi O'n handhuura geengooti.Gocha 2: Golboowwan geengoo armaan gadii ijaari.
a. walakkaa geengoo b. sadii afraffaa geengoo
Sarara Seekaantii fi Sarara Taanjantii Geengoo
Gocha 3:
Baay’ina tuqaalee sararri fi geengoon itti waltuqan(tuqaa waliin qabaan) ibsuu dandeessaa?
Sararoota qajeelooo geengoo qaxxaamuran ykn tuqaan ijaaruu akka danda’amu ykn akka hin danda’amne ibsi.
Sararri qajeelaan tokko geengoo kenname kan tuqu yoo ta’e baay’ina tuqaa isaan waliin qabaachuu danda’an murteessi.Baay’na tuqaalee isaan waliin qabaachuu danda’an barreessi.
Hiikoo 5.5 Sararro qajeelaa fi geengoon tokko diriiroo tokicha irra yoo jiraatan hariiroowwan armaan gadii keessaa tokko qofa qabaachuu danda’u.
Sararri qajeelaan tokko geengoo kenname wajjiin osoo wal hin tuqiin darbuu ni danda'a.
Sararri qajeelaan tokko geengoo kenname bakka lamatti wal tuqu.Sararri akkasii kun sarara seekaantii geengoo jedhama.
Sararri qajeelaan tokoo fi geengoon tokko tuqaa tokko irratti wal tuqu.Sararri akkasii kun sarara taanjentii geengoo jedhama.Tuqaan waliinii bakka sararri fi geengoon itti wal tuqan kun tuqaa taanjentummaa jedhamaa.
Sararri geengoolee lamaaf olii taanjeentii ta'e sarara taanjeentii kan walii(common tangent line)Hub.Sararri seekaantii kamiyyuu koordii geengoo of keessaa qaba.Raadiyaasiin geengoo sarara taanjentii kamiifuu tuqaa taanjentummaa irratti parpandikulaarii dha.
Gocha 4:
Geengoo tokko xiqqaatee xiqqaatu tuqaalee meeqaan ijaarra?
Geengooleen lama yoo walkiphan tuqaalee meeqa irratti wal kiphu?
Tiyooramii 5.6 Tuqaalee sadii kan sarara tokko irra hin taaneen geengoo tokko arganna(ijaarra).
Mirkana:Mee A,B fi C’n tuqaalee sadan sarara tokko irratti hin argamne haa jennu.
Waan agarsiisuu barbaadnu(WAB):
Tuqaalee A,B fi C geengoo tokko uumuu isaanii
Kana mirkanneesuuf,tuqaa tokko kan tuqaaleeA,B fi C irraa walqixa fagaatan ijaarsaan argachuu dha.
Kana gochuufis tuqaalee sadan kanneen keessa sararoota dhaabbataa AB,BC fi AC walqabsisuun sararoota kanneen iddoo walqixaatti baqaqisee parpandikulaarii ta’u sarara ijaaru dha.
Mee sararoota l1 fi l2 kan sararoota dhaabbatoo AB fi CB tuqaa P fi Q irratti duraa duubaan iddoo walqixatti baqaqisee parpandikulaarii ta’e ijaari.
l1 fi l2 wal qaxxaamuruu danda’uu?
Mee l1 fi l2 wal hin qaxxaamuran haa jennu.Kanaafuu, l1 fi l2 waltarree dha.Kanuma irraa tuqaaleen P,B fi Q’n kolinerii dha.Akkasumas,A,B fi C’n kolinerii dha.Kun garuu hayipootesisii tiyooramii faalleessa.Kanaafuu, l1 fi l2 walqaxxaamuru.Mee l1 fi l2 tuqaa O irratti walqaxxamuru haa jennu.
O’n tuqaalee A,B fi C irraa fageenya walqixa fagaachuu isaa agarsiisi.
Himama Sababa
- (OA) ̅, (OB) ̅, (OC) ̅ ijaari 1.ijaarsa
2.ΔOAP≅ΔOBP 2.Maalif? - (OA) ̅≅ (OB) ̅ 3.maaliif?
- ΔOBQ≅ΔOCQ 4.maaliif?
- (OB) ̅≅ (OC) ̅ 5.maaliif?
- (OA) ̅≅ (OB) ̅≅ (OC) ̅ 6.amala darbaa darboo
- OA=OB=OC 7.maaliif?
Kanaafuu,O’n tuqaa barbaadamu kan tuqaalee A,B fi C irraa fageenya walqixa ta’e irratti argamuu dha.Kanaafuu,geengoo O,raadiyasiin OA=OB=OC ijaaruu ni dandeenya.
Tiyooramii 5.7 Sararri geengoo irratti fiixee raadiyasiif parpandikularii ta’e geengoof taanjentii ta’a.
Mee sararri qajeelaan L raadiyasii (OA) ̅ tiif tuqaa A irratti geengoo O’ f parpandikularii haa ta’u.
Kan agarsiisuu barbaannu(KAB):Sararri L’n tuqaaa A irratti geengoo O’f taanjeentii ta’uu isaa
Kana gochuuf tuqaa biroo sarara L irratti argamu B,kan A irra adda ta’e haa fudhannu.Asi irra,B’n tuqaa geengoo alaa ta’uu isaa agarsiisuu dha.
Himama Sababa
- (OB) ̅ ijaari 1.ijaarsa
- ΔAOB kofa sirrii dha 2.maaliif?
- (OB) ̅ haayipotinasii rog-sadee kofa sirriiti 3.maaliif?
- OB>OAB 4.maaliif?
5.B’n tuqaa alaa geengoo O ti 5.maaliif?
Kanaafuu,sararri L’n tuqaa A qofa geengoo O waliin qaba.Kanaafuu,L’n tuqaa A irratti O’f parpandikularii dha.
Tiyooramii 5.8 Sararri diriiroo geengoo irratti argamu kamiyyuu geengoo waliin yoo baay’atee baay’ate tuqaalee lama irratti walkipha.
Mirkana(Gilgaala)
Tiyooramii 5.9 :Sararri geengoodhaaf taanjeentii ta’uu raadiyesii geengoo waliin tuqaa tanjeentummaa irratti parpandikulaarii dha.
Mirkana: Mee L geengoo O’f tuqaa P irratti parpandikularii haa jennu.
Kan agarsiisuu barbaannu:Raadiyasiin (OP) ̅ sarara L waliin tuqaa P irratti parpandikulaarii ta’uu isaa.
Mee (OP) ̅ sarara L waliin parpandikukarii miti haa jennu. Mee R tuqaa sarara L irraa P irra adda ta’e haa jennu.Tuqaalee lama kennaman kamiyyuu keessa sarara tokkoo fi tokko qofatu lufa.Kanaafuu,P fi R keessa sarara tokko qofatu darba.
Sararri tuqaa sarara irra hin jirre keessa darbuun sarara kenname tokkoof parpandikulaarii ta’u tokkoo fi tokko qofa.kanumarra,sarara tokkoo fi tokko qofatu tuqaa O keessa lufuun L’f parpandikulaarii ta’a.Mee miiloon sarara L parpandikulaarii ta’ee R haa jennu.
Himama Sababa
1.∆ORP rog-sadee kofa sirrii dha 1.maaliif?
2.(OP) ̅ haayipotinaasii rog-sadee∆ORP 2.maaliif?
3.OR<OP 3.maaliif?
4.R tuqaa keessoo geengoo O ti 4.sababa OR<OP(raadiyasii)
Yoo R tuqaa keessoo geengoo O ta’e,sararri L’n sarara seekantii malee sarara taanjeentii ta’uu hin danda’u.
Kanaafuu,R tuqaa keesoo geengoo O hin ta’u.
Tiyooramii 5.10 Sararoonni dhaabbatoo tuqaa geengoon ala kenname irraa ka’uun geengoodhaaf parpandikularii ta’an walitti galoo dha.
Mirkana:Mee l1 fi l2 sararoota taanjeentiii geengoo O,tuqaalee P fi Q irratti duraa duuban ta’aniin tuqaa R irratti wal kiphu haa jennu.
Himama Sababa
1.OP=OQ 1.Raadiyasota geengoo O ti 2.∠OQR≡ ∠OPR 2.maaliif?
3.RO=RO 3.maalif?
- ΔOQR≡ΔOPR 4.maaliif? 5.QR=PR 5.maaliif?
Gocha 5:
Fakkii amaan gadii keessatti AB=CD yoo ta’e kanneen armaan gadii mirkaneessi.
i) (AB) ̅≡(DC) ̅ ii) S(∠APC=S((AC) ̂)
Hiikoo 5.11: kofni verteeksiin isaa handhuura geengoo irra ta’ee rogoonni isaa ammoo raadiyesota geengoo ta’e kofa handhuuraa(central angle) jedhama.
Fakkeenya,danaa arman olii kessatti yoo O’n handhhura geengoo ta’e, ∠AOB kofa handhuuraa ta’a. ∠AOB’n golboo AB hammate jenna.Karaa biraa ammoo golboon AB , ∠AOB aguuge jenna.
Yommuu ∠AOB’n kofa handhuuraa ta’e, safarri kofa(∠AOB) safara golboo((AB) ̂) wajjiin walqixa.Kana jechuun, s(∠AOB)=s((AB) ̂).
Hiikoo 5.12: Kofti veerteeksiin isaa geengoo irra ta’ee golboo geengichaatiin aguugame,kofa itti marfamaa rogootni isaa koordota lamaa ta’e jedhama.
Danaaa armaan olii keessatti ∠ABC kofa itti marfamaa dha.Sababiin isaas veerteeksiin B’n geengoo O irra ta’ee rogootni koordota lamaan (BA) ̅ fi (BC) ̅ dha.Kanas golboon ADC kofa ABC(∠ABC) geengoo O irratti aguuge Yookiin kofti itti marfamaa ∠ABC golboo ADC ((ADC) ̂) geengoo O’n hammate dha.
Wailitti dhufeenyi safara golboo ADC fi Kofa ABC maal ta’a?
Tiyooramii 5.13 Safarri kofa itti marfamaa walakkaa safara golboo isa aguugeeti.
Mirkana:mee ∠ABC kofa itti marfamaa geengoo O golboo ADC’n aguugame haa jennu.
Kan agarsiisuu barbaannu: s(∠ABC)=1/2 s((AC) ̂)
Yoo handhuurri O geengoo kennamee roga ∠ABC irra ta’e:
Mee (OC) ̅ ijaari.
Himama Sababa
- ΔBOC rog-sadee ayisoosilasii dha 1.rogootni OB=OC
- ∠OBC≅∠OCB 2. maaliif?
- s(∠AOC)≅s(∠OBC)+s(∠OCB) 3.maaliif?
- s(∠AOC)=2s(∠ABC) 4.Taarkaanfii 2 fi 3
- s(∠ABC)=1/2 s(∠AOC)=1/2 s((AC) ̂ ) 5.Hiikoo 5.11
Gocha 6:Handhuurri geengoo O’n keessoo fi ala ∠ABC yoo ta’e:
s(∠ABC)=1/2 s((AC) ̂ ) ta’uu agarsiisi.
Fakkeenya: Danaa armaan gadii keessatti yoo s((ADC) ̂ )=〖74〗^° ta’e, s(∠ABC) barbaadi.
s(∠ABC)=1/2 s((ADC) ̂ )=1/2 (〖74〗^° )=〖37〗^°
Tiyooramii 5.14 :Kofoonni handhuuraa walitti galoo ta’anii geengoo tokko keessatti argaman yookiin geengoolee walitti galoo ta’an keessatti argaman goloolee walittigaloo ta’an keessaa marafatu.
∠AOB fi ∠A^’ O^’ B^’ kofoota handhuuraa walitti galoo geengoolee O fi O^’ duraa duubaan yoo ta’an yookiin ∠AOB fi ∠COD kofoota handhuuraa walitti galoo geengoo O yoo ta’an, golboolee (AB) ̂ fi (A^’ B^’ ) ̂ walitti galoo fi (AB) ̂ fi (CD) ̂ walitti galoo dha.
Tiyooramii 5.15 :Golbooleen walitti galoo ta’anii geengoo tokko irra jiran yookiin geengoolee walittigaloo ta’an irra jiran kofoota handhuuraa walitti galoo ta’an geengoo yookiin geengoolee keessatti haguugu.
Yoo (AB) ̂≅(A^’ B^’ ) ̂ ⇒∠AOB≅∠A^’ O^’ B^’ ta’a.Akkasumas, Yoo (AB) ̂≅(CD) ̂ ⇒∠AOB≅∠COD ta’a.
Poschuuleetii:Yoo A,B fi C tuqaalee sadii adda addaa golboo tokko irratti argaman fi B’n ammoo tuqaalee A fi C gidduu yoo ta’e:
s((AC) ̂ )=s((AB) ̂ )+s((BC) ̂ )
s((AB) ̂ )=s((AC) ̂ )-s((BC) ̂ )
s((BC) ̂ )=s((AC) ̂ )-s((AB) ̂ )
Tiyooramii 5.16 :Golbooleen walittigaloo geengoo tokko irra jiran yookiin geengoolee walitti galoo ta’an irra jiran koordoota walitti galoo ta’nan haguugu.
Mirkana:Mee O fi O’ geengoolee walitti galoo fi (AB) ̂ fi (A^’ B^’ ) ̂ golboolee walitti galoo geengoolee kanneenii haa jennu.
KAB:(AB) ̅≅(A^’ B^’ ) ̅
(AB) ̅ fi (A^’ B^’ ) ̅ ijaari.
(AB) ̂≅(A^’ B^’ ) ̂ ⇒∠AOB≅∠A^’ 〖O^’ B〗^’ ta’a.Ijaarsaa fi walittigalummaa geengoolee O fi O’ irraa,
(OA) ̅≅(OB) ̅≅(O^’ A^’ ) ̅≅(O^’ B^’ ) ̅ .Kanumarraa, ΔAOB≅ ΔA^’ 〖O^’ B〗^’ (RKR)
Kanaafuu, (AB) ̅≅(A^’ B^’ ) ̅(rogoota walitti dhufoo rogsadoota walitti galoo).
Tiyooramii 5.17 :Koordoonni walitti galoo geengoo tokko keessatti argaman yookiin geengoolee walitti galoo ta’an keessa jiran golboolee walitti galoo ta’an geengoolee kana keessatti haguugu.
Mirkana:(Gilgaala)
Tiyooramii 5.18 :Kofoota handhuuraa walitti galoo geengoo tokko keessatti argaman yookiin geengoolee walitti galoo ta’an keessatti argaman koordoota walitti galoo ta’an geengoo yookiin geengoolee kana keessatti haguugu.
Mirkaneessi.
Tiyooramii 5.19 : Sararri handhuuraa geengoo keessa darbee koordii geengootiif parpandikulaarii ta’u koordichaa fi golboo fiixeewwan tuqaalee koordichaa iddoo walqixaatti kuta.
Mirkana:
Mee (OP) ⃡ koordii (AB) ̅ ‘f tuqaa R irratti parpandikulaarii fi roga AB iddoo C irratti kuta haa jennu.
KAB: i) (AR) ̅≅(BR) ̅ ii) (AC) ̂≅(CB) ̂
(AO) ̅ fi (BO) ̅ ijaari.
Himama Sababa
- (OP) ̅⊥(AB) ̅ 1.kennamaa
- ∠ARO≅∠BRO 2. Lachuu rogsadoota sirrii dha
- (AO) ̅≅(BO) ̅ 3.raadiyasoota geengoo O ti
- (OR) ̅≅(OR) ̅ 4.amala rifileekisii walittigalummaa
- ∆ORA≅∆ORB 5.(Raadiyasii,olee fi rogaan)
- (AR) ̅≅(BR) ̅ 6.maaliif?
- ∠AOC≅∠BOC 7.maaliif?
- (AC) ̂≅(CB) ̂ 8.maaliif?
Tiyooramii 5.20 :Koordoonni walitti galoo geengoo tokko keessatti argaman yookiin geengoolee walitti galoo ta’an keessa jiran handhuuraa geengoo irraa walqixa fagaatu.
Tiyooramii 5.21 :Koordoonni geengoo tokko keessatti yookiin geengoolee walitti galoo ta’an handhuura geengoo irraa walqixa fagaatan walitti galoo dha.
Tiyooramii 5.22 :Koordoonni geengoo lama geengoo keessatti yoo walkiphani kofti uumaamu walakkaa ida’ama safara golboolee kofoota waliin duubaa haguuganiiti.
a) s(∠APD)=1/2 [s((DA) ̂ )+s((CB) ̂ )]
s(∠APC)=1/2 [s((AC) ̂ )+s((BD) ̂ )]
Himama Sababa
- (AC) ̅ fi (BD) ̅ ijaari 1.ijaarsa
- ∠BAC≡ ∠BDC 2.maaliif?
- s(∠BAC)=1/2 s((CB) ̂ ) 3.maaliif?
- ∠ACD≡ ∠ABD 4.maaliif?
- s(∠ACD)=1/2 s((DA) ̂ ) 5.maaliif?
- s(∠APD)=s(∠BAC)+s(∠ACD) 6.maaliif?
- s(∠APD)=1/2 s((CB) ̂ )+1/2 s((DA) ̂ ) 7.tarkaanfii 3 fi 4
=1/2 [s((CB) ̂ )+s((DA) ̂ )]
Gocha 8:
Haaluma kanaan (ii) armaan olii mirkaneessi.
Koordootni geengoo lama (AB) ̅ fi (CD) ̅ yoo walkiphan kofa sirriiUumu. s(∠BAC)=〖35〗^° yoo ta’e, s(∠ABD) barbaadi.
Tiyooramii 5.23 :Sararoonni waltarree ta’an lama yoo geengoo tokkoof seekaantii ta’an golboo walitti galoo ta’an uumu.
Mirkana:Mee L1 fi L2 sararoota waltarree seekaantii geengoo O irraa haa jennu.
Kan agarsiisuu barbaannu: (BD) ̂ ≅(AC) ̂
(AD) ̅ ijaari.
Himama Sababa
- ∠ADC≡ ∠DAB 1.maaliif?
- s(∠ADC)=1/2 s((AC) ̂ ) fi s(∠BAD)=1/2 s((DB) ̂ ) 2.maaliif?
- 1/2 s((AC) ̂ )=1/2 s((DB) ̂ ) 3.maaliif?
- s((AC) ̂ )=s((BD) ̂ ) 4.maaliif?
- (AC) ̂≡(BD) ̂ 5.maaliif?
Tiyooramii 5.24 :Kofti sararoota seekaantii lamaan,sarara seekaantii fi sarara taanjeentiin,yookiin sararoota taanjeentii lama geengooon alatti walkiphanin uumamu walakkaa caalmaa golboolee haguuganiiti.
Mirkaneessi(gocha 9)
Tiyooramii 5.25 :Koordonni geengoo lama geengoo keessatti walkiphan,baayyataa gartokkee rogoota koordii tokkoo irratti argamu baayyataa gartokkee rogoota koordii isa biroo irra jiru wajjiin walqixa.
Mirkana:
WAB:(AP)(PB)=(CP)(PD)
(AC) ̅ fi (BD) ̅ ijaari
Himama Sababa
- ∠BDC≡ ∠CAB 1.maaliif?
- ∠APC≡ ∠DPB 2.maaliif?
- ΔACP~ΔDBP 3.maaliif?
- AP/DP=CP/BP 4.maaliif?
- (AP)(BP)=(PD)(CP) 5.maaliif?
Tiyooramii 5.26 : Sararoonni seekaantii lama tuqaa geengoon alaa irratti yoo walkiphu ta’e,baayyataa seekaantii tokkoo fi roga geengoo alaa baayyataa seekaantii isa biroo fi roga isa geengoon alaati.
Mirkaneessi!
Gocha 10:
Sararri kenname tokko sarara taanjeentii geengoof tuqaa taanjeentummaa irratti parpandikulaarii ta’uu handhuuraa geengichaa keessa darbuu isaa mirkaneessi.
Sararoonni fiixee diyaameetirii geengoo gama lamaan irratti argaman waltarree ta’uu isaani mirkaneessi
Dheerinni koordii geengoo tokkoo 10sm fi fageenyi handhuura geengoo irraa qabu ammoo 4sm yoo ta’e,dheerinni koordii biroo handhuura geengoo irraa 3sm fagaatu barbaadi.
Geengooleen walqixa ta’an lama tuqaalee lama irratti walkiphu.Koordiin tuqaalee kanneen giddutti uumamu dheerinni isaa 10sm,fageenyi handhuuroota geengoolee kanneen gidduu jiru 6sm yoo ta’e,raadiyasoota geengolee lamaanii barbaadi.
5.2 Naannawwaa fi Bal’ina Geengoo
Hiikoo 5.27 Fageenyi marsaa geengoo tokkoo dheerina naannawwaa geengoo jedhama.
Geengoon raadiyesiin isaa r ta’e kamiyyuu naannawwaan N isaa N=2πr ta’a.Haaluma walfakkaatuun,geengoon diyaameetirii d qabu marsaan isaa πd ta’a.
Kunis, N=πd yookiin N=2πr sababa d=2r
Hiikoo 5.28 Dheerinni golboo L geengoo raadiyesiin isaa r ta’ee fi safarri kofa handhuura isaa θ ta’e
L=2πrθ/〖360〗^° =πrθ/〖180〗^° ta’a.
Fakkeenya:
1.Naannawwaa geengoo 36πsm ta’eef dheerina isaa barbaadi.
2.Dheerina golboo geengoo raadiyesiin isaa yuunitii 2 fi safarri kofa handhuuraa golboo keessa marfatee 〖60〗^° ta’e barbaadi.
Furmaata:1) N=2πr⇒ 2πr=36πsm ⇒r=18sm ta’a.
2) L=πrθ/〖180〗^° ⇒L=(π×2×〖60〗^°)/〖180〗^° =2π/3
Gocha 11:
1.Safarri golboo geengoo tokkoo 〖40〗^° fi dheerinni golboo isaa yuunitii 20π ta’e raadiyesii isaa barbaadi.
2.Diyaameetiriin goommaa konkaalaataa tokoo 50sm dha.Goommaan konkolaataa kanaa si’a 20 yoo naanna’e,konkolaataan kun bakka ka’e irraa hagam fagaata?
3.Naannawwaa yookiin marsaa bocoota danaalee armaan gadii barbaadi.
Hikoo 5.29 Raadiyesiin geengoo r yoo ta’e bal’inni geengoo B=πr^2 ta’a.
5.3 Seektaarii fi Muraa Geengoo
Bal’insa raadiyasoota lamaa fi golboo raadiyasonni kun keessaa marfatan giddutti argamu seektaarii geengoo jedhama.
Raadiyasiin geengoo r fi safarri kofa handhuuraa geengoo kennamee θ yoo ta’e,
Bal’ina seektaarii =(πr^2 θ)/〖360〗^° ta’a.
Bal’insa golboo geengoo fi koordii fiixee golboo kanaan uumamu muraa geengoo(segment of a circle) jedhama.
Mee danaa armaan gadii ilaali.
Bal’ina mura geengoo =Bal^’ ina seektaarii-Bal^’ ina(∆AOB)
Fakkeenya: Bal’ina bal’insa seektaarii fi muraa geengoo raadiyasota lamaan giddutti argamu yoo safarri kofa handhuura geengoo 〖60〗^° fi raadiyasiin geengoo 6sm ta’e barbaadi.
Furmaata:
Bal’ina seektaarii =(πr^2 θ)/〖360〗^° =(π〖 ×6〗^2×〖60〗^°)/〖360〗^° =6πsm^2
Bal’ina mura geengoo =Bal^’ ina seektaarii-Bal^’ ina(∆AOB)
=6πsm^2-1/2 r^2 sinθ=6πsm^2-1/2 6^2 sin〖60〗^°=(6π-9√3)sm^2
Gocha 12:
Bal’ina geengoo diyaameetiriin isaa yuuniitii 4 ta’e barbaadi.
Bal’inni geengoo iskuweerii yuuniitii 72π yoo ta’e raadiyasii,diyaameetirii fi naannawaa geengoo barbaadi.
Marsaan geengoo yuuniitii 6 yoo ta’e,bal’ina isaa barbaadi.
Koordiin geengoo 20sm dheeratu handhuura geengoo irraa 10sm fagaatu bal’ina muraa geengoo isaa barbaadi.
Kanneen armaan gadiitiif bal’ina bal’insa seektaarii fi muraa geengoo raadiaasota lamaaniin uumaman barbaadi.
Kofa handhuraa 〖30〗^° fi raadiyasiin geengoo 6sm ta’e
Kofa handhuraa 〖60〗^° fi diyaameetiriin geengoo 3sm ta’e
Kofa handhuraa 〖45〗^° fi marsaan geengoo 12πsm ta’e
BOQONNAA 6
IJAARSAWWAN BU’UURAA DANAALEE JI’OOMEETIRII
Ji’oomeetirii diriiroo keessatti danaa barbaadame yookiin gaafatame “fakkuu” yookiin “ijaaruu” jechuun hiika wal-fakkaataa kan qaban fakkaatu. Haa ta’u malee adda addummaa qabu. Adda addummaa isaanis beekuun barbaachisaa dha. ” Fakkuu” yeroo jennu meeshaa barbaanneen danaa barbaadne tokko fakkeessinee hojachuu jechuu dha. Sirriitti (guutuumaadhaan) fakkaachuu dhabuu ni danda’a.
“Ijaaruu” yennaa jennu danaa barbaachise sirriitti hojjechuu dha.Ijaarsa danaalee ji’oomeetirii diriiroo keessatti meeshaalee fayyadamuu qabnu kompaasii fi sarara qofa. Sarartoon sarara qajeelaa tuqaalee lama keessa lufu ijaaruuf nu gargaara.Kompaasiin immoo geengoo raadiyaasii kennameen ijaaruuf nu gargaara.
6.1 Sarara dhaabbataa fi kofa kenname tokkoof gita isaa ijaaruu
6.1.1. Sarara dhaabbataa kennameef tokkoof gitaa isaa isaanii
Mee sarara dhaabbataa AB fi tuqaa A sarara l irra jira haa jennu. Kan ijaaramu sarara dhaabbataa A’B’ sarara l irratti (AB) ̅≅ (A’B’) ̅ ta’ee dha.
Fiixee kompaasii isaa tokko A irra, isa biroo immoo B irra gochuun raadiyaasii kompaasii AB taasifna. Raadiyasii kompaasii utuu hin jijjiiriin fiixee isaa A’ irra gochuun golboo handhuurri A’ ta’e sarara l bakka B’ qaxxaamuru ijaari.
6.1.2. Kofa kenname tokkoof gita isaa ijaaruu
Mee ∠ABC ‘n kofa kenname tokko haa ta’u. Kofa ∠ABC ‘f wajjiin wal-gita ta’e ijaaruuf tarkaanfilee armaan gadii haa xiyyeeffannu.
Tarkaanfii 1ffaa : xiyya B’A’ rog-qajeelaan ijaari.
Tarkaanfii 2ffaa : B handhuura taasisuun fi raadiyasii barbaanneen golboo xiyya BA fi xiyya BC tuqaa P fi Q wal-duraa duubaan qaxxaamuru ijaari.
Tarkaanfii 3ffaa: Handhuura B’ taasisuun fi raadiyaasii tarkaanfii 2ffaa tti fayyadamteen ( jala yookiin gubbaa(irra) (A’B’) ⃗ ) , golboo xiyya B’A’ bakka tuqaa P’ tti qaxaamuru ijaari.
Tarkaanfii 4ffaa: Tuqaa P’ handhuura taasisuun fi raadiyaasii PQ wajjiin wal-qixa ta’e fayyadamuun golboo tarkaanfii 3ffaa tuqaa Q’ wal-qaxxaamuru ijaari.
Tarkaanfii 5ffaa : Sarara qajeelaa fayyadamuun (B’Q’) ⃗ ijaari.
Kanaafuu, ∠ABC≅∠P'B'Q'6.2 Kofa walakkaatti baqaqsuu fi sarara dhaabbataa walakkaatti hiruu
6.2.1. Kofa walakkaatti baqaqsuu
Mee ∠ABC ‘n kofa kenname tokko haa ta’u. Kofa kana wal-qixatti baqaqsuuf akkaataa armaan gadiitti itti fufna.
Tarkaanfii 1ffaa : Handhuura tuqaa B taasisuun fi raadiyaasii barbaadne fudhachuun golboo xiyya BC fi xiyya BA tuqaa P fi Q wal-duraa duubaan qaxxaamuru ijaari.
Tarkaanfii 2ffaa: Tuqaalee P fi Q handhuura taasisuun fi raadiyaasii walii kan walakkaa PQ caalu fudhachuun golboo lama kan wal-qaxxaamuru tuqaa R irratti ijaari.
Tarkaanfii 3ffaa :sarara rog- qajeelaa fayyadamuun xiyya BR ijaari.
Kanaafuu, xiyya BR kan ∠ABC walakkaatti baqaqsa.
Gocha: Maaliif ijaarsa kofa kenname walakkaatti baqaqsu keessatti tarkaanfii 2ffaa irratti raadiyaasii golboo irra xiqqaa PQ/2 hintaane fudhanna?
6.3 Sararoota parpandikulaarii ijaaruu
Sarara kenname tokkoof tuqaa sararicha irra jiruu fi sararichaan ala jiru keessa darbuun sarara papendikulaarii ta’e ijaaruudhaaf kompaasii fi roga qajeelaatti fayyadamuun ni danda’ama.
6.3.1. Sarara kenname tokkoof tuqaa sararicha irra jiru keessa darbuun parpendikulaarii sarara ta’e ijaaruu.
Ijaarsa : Mee t’n sarara kennamee fi C ‘n immoo tuqaa t irraa kenname haa ta’u. Sarara parpendikulaarii C keessa darbee t itti ta’u ijaaruuf akkaataa armaan gadiitti itti fufna.
1ffaa: Fiixee kampaasii C irratti godhuun bitaa fi mirga tuqaa C tti golboolee sarara t tuqaalee A fi B irratti qaxxaamuran ijaari.
A C B t2ffaa: Dheerinna AC ‘n ol ta’een kompaasii baniitii fiixee kompaassii tuqaa A irra godhuun sarara t ‘n ol golboo ijaari .
A C B t3ffaa: Haaluma tarkaanfii 2ffaa tiin wal-fakkaatuun amma immoo fiixee kompaasii tuqaa B irratti godhuun golboo tarkaanfii 2ffaa keessatti ijaarame tuqaa D irratti kan qaxaamuru golboo biraa ijaari.
D
A C B t 4ffaa: Roga qajeelaatti fayyadamiitii (CD) ⃡ ijaari.
D
A C B tIjaarsaan, (CD) ⃡ ‘n tuqaa C irratti parpandikulaarii sarara t dha. ( mirkaneessi.)
6.3.2. Sarara kenname tokkoof tuqaa sararichaan ala ta’e irraan parpandikulaarii ijaaruu.
Ijaarsa : Mee m’n sarara kenname tokko haa ta’u. Z ‘n immoo tuqaa sarara m tiin alatti kenname haa ta’u. Sarara Z keessa darbuun m tti parpandikulaarii kan ta’u ijaaruuf akkaataa armaan gadiitiin itti fufna.
1ffaa: Fiixee kompaasii tuqaa Z irratti godhuun golboo sarara m tuqaalee garaagara lama irraatti qaxxaamuru ijaari. Tuqaalee kanas X fi Y jedhii moggaasi.
2ffaa: Fageenya 1/2 XY tiin ol ta’ee kopmpaasii bani. Fiixee kompaasii tuqaa X irratti godhuun sarara m jalatti golboo ijaari.
3ffaa : Haaluma tarkaanfii 2ffaa tiin wal-fakkaatuun amma immoo fiixee kompaasii tuqaa Y irratti godhuun golboo tarkaanfii 2ffaa keessatti ijaarame tuqaa A irratti kan qaxaamuru golboo biraa ijaari.
4ffaa: Roga qajeelaatti fayyadamuun (ZA) ⃡ ijaari.
Ijaarsaan, (ZA) ⃡ ‘n parpandikulaarii sarara m dha. ( mirkaneessi.)
6.4 Rog-baay’oota ijaaruu
Kompaasii fi Roga qajeelaatti fayyadamuun heksaagoonii sirnawaa ijaaruu.
1ffaa: Kompaasiitti fayyadamuun geengoo P ijaari. P ‘n tuqaa handhuuraa geengoo fi heksaagonichaa ta’a.Raadiyasiin geengoo P raadiyasii heksaagonii ti, akkasumas walitti galoo roga heksaagonii ti.
2ffaa: Haaluma baniinsa kompaasii tarkaanfii 1ffaa wal-fakkaatuun fiixee kompaasichaa geengoo irratti godhuun golboo ijaari.Tuqaa golbichi geengicha itti qaxxaamuru A jedhi moggaasi.
3ffaa: Fiixee kompaasii tuqaa A irratti godhuun golboo biraa ijaari. Tuqaa golboon geengoo waliin wal-qaxxaamure tuqaa B jedhii moggaasi.
4ffaa : Adeemsa kana itti fufuudhaan tuqaalee golbooleen geengoo waliin wal-qaxxaamuran ammoo C, D E, fi F jedhii moggaasi. Tuqaan F bakka fiixeen kompaasii tuqaa A agrsiisu irratti ta’uu qaba.
5ffaa: Roga qajeelaatti fayyadamuun duraa duubaan tuqaalee A,B,C,D,E, fi F wal-qabsiisi.
Gocha : Haaluma wal-fakkaatuun rog-torbee, rog- saddeeti, rog-saglee hojjadhu.
6.5 Kofoota Addaa Ijaaruu
Kofoota addaa keessaa muraasni isaanii 30°, 45°, 60° fi 90° akkaataa ittiin ijaaramu ni ilaalla.
6.5.1. Kofa 90° ta’e ijaaruu
Kofa 90° ijaaruuf, tarkaanfilee armaan gadiitti fayyadamna.
Tarkaanfii 1ffaa : Sarara l roga qajeelaan ijaari.
Tarkaanfii 2ffaa : Sarara l irra tuqaa P akka handhuuraatti fudhachuun raadiyaasii barbaadneen golboo sarara l tuqaalee A fi B irratti qaxxaamuru ijaari.
Tarkaanfii 3ffaa: A fi B akka handhuuratti fudhachuudhaan wal dura duubaan golboolee tuqaa “Q” irratti wal-qaxxaamuran ijaari.
Tarkaanfii 4ffaa: Roga qajeeladhaan tuqaalee Q fi P keessa darbu sarara ijaari.
s(∠APQ)=s(∠BPQ)=90°
Gocha :Ijaarsa kana mirkaneessi.
6.5.2. Kofa 45° ta’e ijaaruu
Kofa 45° ijaaruuf, kofa 90° walakkaatti baqaqsuun arganna. Akkuma armaan dura kofa 90° ijaarre irratti hundoofnee kofa 45° ijaari. Kunis tarkaanfii kofa kenname ∠ABC walakkaatti baqaqsuun itti fayyadamii kofa 45° ijaari.
Kanaafuu, s(∠SPT)=s(∠RPT)=45°
Gocha : Kofa 45° irra deebi’ii ijaari.
6.5.3. Kofa 60° ta’e ijaaruu
Kofa 60° ijaaruuf, duraan dursinee roga kenname tokkoon rog-sadee ikkulaateraalii ijaaruu dha.
Mee (AB) ̅ ‘n sarara dhaabbataa kenname haa ta’u. Roga ikkulaateraalii sarara dhaabbataa AB tiin ijaari.
Tarkaanfii 1ffaa: sarara dhaabbataa AB walgitu sarara l irratti ijaari.
Tarkaanfii 2ffaa: A’ fi B’ akka handhuuratti fi raadiyaasii AB= A’B’ fudhachuun golboo lama tuqaa C’ irratti wal-qaxxaamuru ijaari.
Tarkaanfii 3ffaa: rog-qajeelaadhaan fayyadamii (A’C’) ⃗ ijaari.
l
Kanaafuu, s(∠B’A’C’)=60°
6.5.4. Kofa 30° ta’e ijaaruu
Kofa 30° ijaaruuf, kofa 60° walakkaatti baqaqsuun ni arganna.
Gocha. kofa 30° ta’e ijaari.
6.6 Rog-sadee bal’inaan kuwaadirilaateraalii kenname wajjiin wal-qixa ta’e ijaaruu.
Mee rog-sadee bal’ina iskuweerii kenname wajjiin wal-qixa ta’e haa ijaarru. Meeshaaleen ijaarsa kanaaf fayyadu rog-qajeelaa fi kompaasii qofa dha.
Mee ABCD iskuweerii kenname haa ta’u:
Tarkaanfii 2ffaa: Rog-qajeelaa fayyadamuun roga AD tuqaa A olitti dheeressi
Tarkanfii 2ffaa: Fiixee kompaasii hanga tuqaa A irraa tuqaa B tti banii osoo hinjijjiiriin tuqaa A akka handhuurratti fayyadamii golboo roga dheerate tarkaanfii 1ffaa keessatti bakka tuqaa ” P ” itti qaxxaamuru ijaari.
Tarkaanfii 3ffaa: Rog-qajeelaadhaan fayyadamii tuqaalee P fi C wal-qabsiisi, bakki roga AB itti qaxxaamuramu tuqaa ” E” haa jennu.
Kanaafuu, Bal’inni ∆DPC wal-qixa bal’ina iskuweerii ABCD ti.
Gocha: Bal’inni rog-sadee APE wal-qixa bal’inaa rog-sadee BCE ta’uu isaa mirkaneessi.
Kitaabilee Wabii
Eshetu Geremew:1999E.C,Basic concepts of algebra & Geometry,Aster Nega Publishing Enterprise
BBO;Bu’uuraalee Ji’oomeetirii
Lecture notes in Solid and Plane Geometry,pdf formats from internet
Mesay Demesie:Understanding Sec
Secondary School Mathematics,1999E.C, Mega Publishing Enterprise