Fundamental Concepts of Algebra – Math 222

YAAD-RIMEE BU`UURA ALJEBRAA
(FUNDAMENTAL CONCEPTS OF ALGEBRA)
Math221
Waytii Barnootaa- Sa’aa 4

Qopheesitoonni: KBB Fiichee
-Girmaa Tasamaa
– Adunyaa Ejeree
-Baanee Tolosaa
Gulaalan KBB Asallaa, Birtukaan Tashoomaa

                                                                                         Biiroo Barnoota Oromiyaa
                                                                              Guraandhala 2007.

Qabiyyee Koorsii
Qabiyyee Fuula
BOQONAA.TOKKO 4
LOOJIKII HERREGAA 4
1.1. Loojikii Himamaa 4
1.2 Loojikii Piridikeetii ( predecate Loogic) 5
1.3 Ibsitoota (Quantifers) 5
1.3.1. Hariiroo ibsituu jireenya fi ibsituu hundaa 5
1.3.2 Makoo Ibsootaa 6
1.3.3. Faallessa Makoo Ibsootaa 6
1.4. Raggaasa, Gat-qaba fi Seera Akeekuu (Arguments, validity and rule Of inference) 7
1.4.1 Seera Akeekuu. (Rule of inference) 9
1.5 Mirkana Herregaa (Mathematical proofs) 11
BOQQONNAA LAMA 16
YAAD-HIDDAMA TUUTAA 16
2.1. Hiikoo Tuutaa fi Hariiroo Tuuta 16
2.2 Tuutota Qoyyabuu 17
Amaloota Bu’uura Qoyyaboota Tuutaa 19
2.2 Hariiroo 23
2.2.2. Galagaltoo Hariiroo 24
2.2.3 Daangeessan (Restriction) Hariiroo 26
2.3 Hariiroo Waliigitaa 28
2.4. Hariiroo Tartiba (Order Relation) 30
2.3.1. Tuuta Tartiibaa Danaan Agarsiisuu(Ibsuu) 33
2.3.2 Tuta qoqooduu (partitioning a set). 36
2.4 Fankishinii fi galagaltoo fankishiinii 39
2.5 Gosootaa fi hamma tuutota (Classification of sets and Cardinelity) 42
Tuuta walii gitaa 42
2.5.1. Tuuta murta’a fi tuuta Itti fufaa 43
2.5.2. Tuuta lakkawamaa fi tuuta hin lakkawamine 44
BOQONNAA SADI. 47
CAASAA ALJEBIRIKAAWA(Aljebraic structure) 47
3.1 Qoyyab-lame(binary operation) 47
3.2. Caasaa aljebirikaawa 48
3.3 Moorifiziimii 53
Aysomoorfizimii 54
3.4 Gareewwan (groups) 56
3.4.1 Hiikoo fi fakkeenya garee 56
3.4.2 Amaloota salphoo Garee 57
3.4.3 Cita Garee (Sub groups) 59
3.5 Riingii 60
3.5.1 Hiikoo fi fakkeenyota Riingii 60
3.5.2 Gosoota Riingii 60
3.5.3 Amaloota Riingii muraasa 62
3.6 Hiikoo fi fakkeenyota fiildii 63
BOQONNA AFUR 65
SIRNA INTIIJARII 65
4.1 Amala sirna Lakkofsoota intiijarii. 65
4.2 Agiziyeemii tartiiba sirna tuuta intiijarii. 66
4.3 Agiziyeemii tartiiba sirrii (well –ordering Axiom ) 67
4.4 Mandhee inteegiraalii tartibeffamaa fi qaaccessaa sirna intiijarii. 68
(Agziyeemii mandhee intiigiraalii) 68
BOQONNAA SHAN 69
YAAD-HIDDAMA BU`URA LAKKOFSOOTAA 69
5.1 Hiruu fi Algoorizimii Hiru 69
5.2.Hunddeewwan Garagaraa 71
5.3 Hirmaataa waliinii guddichaa (HWG) 73
5.4 Algoorizimii Iwukiliidii fi fayyada Hirmaataa waliinii guddicha (HWG) 73
5.5 Hiramaa waliinii xiqqicha (HWX) 74
5.6. Mandhee hirmaatina yuniiknasii(The unique factorization domain) 75
BOQONNAA JAHA 77
LAKKOFSOTA RAASHINAALII 77
6.1 Ijaarsa lakkofsa raashinaalii 77
6.2. Amala caasaa lakkofsa raashinaalii 78
6.3 Lakkoofsaa raashinaalii Deesimaaliin diddiriirsuu 81
6.4 Jireenya lakkofsa al-raashinaalii 85
6.5 lakkoofsaa waligalaa 85
KITAABILEE WABII. 88

BOQONAA.TOKKO
LOOJIKII HERREGAA
Seensa
Barataan fedhii herregaa qabu kamiiyyuu yoo xiqqaate ka’umsaa fi faayidaa Waa’ee loojikii herregaa yeroo ammaa beekun isa irraa eeggama . Waa’een loojikii herregaa kan jalqabame toora dhuma walakkaa jaarraa 19ffaa hayyuu herreegaa dhalataa biyyaa Ingiliizii Joorji Boolee(George Boole) dhan jedhamee tilmaamama. Kana booda waa’een loojikii herregaa barnoota saayinsii keessatti baayyee fudhatama argachaa dhufee jira. Boqonnaa kana kan jalqabnu waa’ee loojikii herregaa koorsi math101 keessatti kan barattan himama herregaa irraa ka’uun loojikii herregaati fayyadamuun tiyooramoota adda addaa haala ittin mirkanneessinu fi seeraa akeeku fayyadamuun gat-qaba(validity), raggaasa (argument) yommu ilaalu gahee loojikiin herrega qabu maal akka ta’e ni hubanna.
Kaayyoolee
Xummura boqonnaa kanaatti kaadhimamittoonni:
iHiikoo loojikii heerrega, himama, himama banaa, ibsootaa ni kennu.
Loojikitii gargaaramuun tiyooramii adda addaa ni mirkanneessu.
hiikoo argumeentii ni kennu.
Seerota akeekuuttii gargaaramuun vaalidiitii argumentii ni xiinxalu.

   1.1. Loojikii Himamaa 

Hiikoo loojikii murtaawaan jiraachuu baatuus kanneen armaan gadii yaa ilaallu.
Hiikoo:
Loojikiin Saayinsii ga’umsaa fi bilchina yaadaa ittiin madaalaniidha.
Loojikiin Saayinsii sababeessuu ta’e waa’ee yaada fudhatama qabuu fi hin qabne addaan baasuuf gargaaran of-keessatti kan hammateedha.
Hiikoo:
i. Himama (proposition or statement) jechuun hima ta’ee kan gat-dhugooma dhugaa yookiin soba qabu ta’ee garuu al tokkotti lamaanuu ta’uu kan hin dandeenyedha.
ii. Himama banaa jechuun hima jijjirama ykn jijjiiramoota qabatee bakka jijjiiramaa (jijjiiramoota) wantootn bakka buusuudhaan gara himamaati jijjiiramuu danda’uudha.
Gochaa 1.1
1.Himoota armaan gaditti kennaman keessaa kanneen himama ta’an addaan baasuun gat – dhugooma isaani kenni.
Rog-sadee ABC fi Rog-sadee DEF’n lama kamiiyyuu wal-fakkaatoodha.
5 > 8
Maqaleen Itiyoophiyaa keessatti argamitti.
5 irra xiqqaa 4ti.
Oromiyaan haa misoomtu!
Eessaa dhufta?
2.Kanneen armaan gadii himama banaa kan ta’e adda baasuun gara himamaatti jijjiiri.
a) __ Haroowwan Itiyoophiyaa keessa isa guddaadha.
b) 3x+8 = 12
c) xy = 15

3. Hiikoo Himama salphaa fi himama dacha kenni.
   4.Walqabsiistota Himama herregaa( loojikii Herregaa) ta’an hunda tarreessuun seerota isaanii waliin ibsi.

1.2 Loojikii Piridikeetii ( predecate Loogic)
Hiikoo: Loojikii keessatti bakka bu’uma garee tokkoo wanti ibsu loojikii piriidikeetii jedhama.
Fkn.
i. Gurraacha jecha jedhu gargaaramuun wantoota akka namaa, konkolaataa fi k k f ibsuun ni danda’a.
ii. jechi “irra xiqqaa” ykn ” irra guddaa” jedhu”. Wantoota akka lakkoofsa agarsiisu ibsa.
Fkn.
a.8 irra xiqqaa 7 ti.
b.6 irra guddaa 2 ti.
1.3 Ibsitoota (Quantifers)
Himama banaa tokko osoo jijjiirama /ttoota gatii tokkoon bakka hin buusiin ibsootatti fayyadamuun gara himamaatti jijjiiruun ni danda’ama.
Barnoota Herregaa keessatti ibsoota lamatuu jira. Isaanis ibsituu jireenyaa fi ibsituu hundaa jedhamu. Mallattoon yammuu ibsinu
∃ – Ibstuu jireenyaa fi ∀ – Ibstuu hundaa.
Yoo P(x): Himama banaa ta’e, (∃x) P(x) yammuu dubbiffamu
i. “ P(x) kan dhugoomsu yoo xiqqaate xn tokko ni jira ” jenna. ii. (∀x)P(x) – yammuu dubbiffamu “x hundaaf P(x) dhugaa jenna. Fkn. Yoo p(x): 2x+1=0, x ta’e. Gat-dhugoomni (∃x) P(x) dhugaa yoo ta’u , (∀x) P(x) soba ta’a. 1.3.1. Hariiroo ibsituu jireenya fi ibsituu hundaa Yoo P(x) himama banaa ta’e, (∀x) P(x) himama ta’a. Fallaan himama (∀x) P(x), ( ∀x)P(x) ta’a. (∀x)P(x) soba ta’uu kan danda’u yoo xiqqaate xn tokko kan soba taasisu yoo jiraateedha.
Mee a’n Soba taasisa haajennu kana jechuun p(a) Soba ta’a jedhuudha. Kanaafuu P(a) dhugaa ta’a. Kun immoo (∃x) p (x) dhugaa ta’uu agarsiisa.Kanaafuu,
( ∀x) p(x) (∃x) P(x)ta’a.
Haalumakanaan, (∃x)p(x) (∀x) p(x)ta’a).
Fkn. x ℜ, yoo p(x): x^2≥0 ta’e.
i) (∀x) p(x) ≡(∃x )¬( x^2≥0) (∃x) (x^2<0) soba ta’a.
ii) (∃x ) p(x) (∀x)( (x^2≥0) (∀x) ( x^2<0) Soba ta’a.
Gocha1.3. Faallaa Himamoota armaan gadii kenni, U ℜ
a) (∀x)(x2-4=0) b) (∃x )(4x-3=-2x+1)
1.3.2 Makoo Ibsootaa
Mee p(x,y) himama banaa jijjiirramaa lamaati haa jennu. Ibsoota gargaaramuun p(x,y) gara himamaatti yommuu jijjiiru ibsituu lamaanuu walfaana gargaaramun ni danda’ama. Makoo ibsoota gargaaramun himama banaa p(x,y) gara himamaatti jijjiruuf haala armaan gadiitiin ibsina.
a) (∀x)( ∀y) p(x,y) ‘‘x fi y kamiyyuu yoo fudhanne p(x,y) dhugaa ta’a”.
b) (∃x)(∃y) p(x,y) ‘‘yoo xiqqaate x tokkoo fi y’n tokko kan p(x,y) dhugoomsan ni jiru”
c) (∀x) (∃y)p(x,y) “x hundaaf yoo xiqqaate y’n tokko kan p(x,y) dhugoomsu ni jira.”
d) (∃x)( (∀y)p(x,y) “yoo xiqqaate x’n tokko kan y hundaaf p(x,y) dhugaa taasisu ni jira.
Fkn1. yoo p(x,y): x<y, fi U= R ta’e, gat-dhugooma kannen armaan gadii barbaadi.
a) (∀x) (∃y) p(x,y)
b) (∃x)( ∀y)p(x,y)
c) (∀x))( ∀y) p(x,y)
d) (∃x)(∃y) p(x,y)
Furmaata.
a) ∀x ∊ ℜ yoo fudhanne yoo xiqqaate y∊ℜ tokko waan jiruuf (∀x) (∃y) p(x,y) dhugaa ta’a.
b) x∊ℜ ta’e kan lakkoofsoota miseensota waligalaa hundaa gadii ta’e waan hin jireef.
(∃x)( ∀y) p(x,y) Soba ta’a.
c) fi d) shaakali.
Fkn.2 Yoo U= N ta’e ,Gat-dhugooma himamoota armaan gadii barbaadi( shaakala)
a) (∀x) (∃y)(x+2=y) b) (∃x) (∀y)(x÷2=y)
c) (∀x) (∀y)(x-y)^2 = (x-y)(x+y) d) (∀x) (∃y)(xy=1)
1.3.3. Faallessa Makoo Ibsootaa
Mee p(x,y) himama banaa haa jennu. Falleessaan (∀x) (∃y) p(x,y) akka armaan gadii ta’a. Kunis , (∀x) (∃y) p(x,y) ≡(∃x) ((∃y) p(x,y))
≡ (∃x) (∀y) p(x, y).
Kanaafuu, (∀x) (∃y) p(x,y) ≡ (∃x) (∀y) p(x, y) ta’a, jechuun faalleessan ‘ (∀x) (∃y) p(x,y) ‘ (∃x) (∀y) p(x, y) ta’a. Haaluma walfakkaatun faalleessaan ‘ (∀x) (∀y)p(x, y)’ akka armaan gadiitti ta’a. Kunis,  (∀x) (∀y)p(x, y) ≡ (∃x) (∀y)p(x, y) .
≡ (∃x) (∃y) p(x ,y).
Kanaafuu Faalleessaan ‘(∀x) (∃y) p(x,y)’ (∃x) (∃y) p(x ,y) ta’a.

Fkn.
p(x , y): 2x-4y<7 x, y ∈R yoo ta’e, faalleessa armaan gadii barbaadi.

i. (∀x) (∃y) p(x,y)
ii. (∃x) (∃y) p(x, y).
iii. (∃x) (∀y) p(x ,y)
iv. (∀x) (∀y) p(x ,y).
Furmaata
i. p(x ,y): 2x-4y<7. (∀x) (∃y) p(x,y) =(∀x) (∃y) (2x-4y<7) yoo ta’u,
Faalleessi ‘(∀x) (∃y) (2x-4y<7)’  (∀x) (∃y)( 2x-4y<7) ≡ (∃x)  (∃y)( 2x-4y<7)
≡(∃x) (∀y)( 2x-4y≥7) ta’a.
iii. ‘(∃x) (∀y) p(x ,y)’ dhaaf faalleessi isaa, (∃x) (∀y) 2x-4y<7 ≡ ( ∀x) [(∀y) (2x-4y<7)]
≡ ( ∀x) (∃y) (2x-4y<7)
≡( ∀x) (∃y) (2x-4y≥7).
Kanaafuu faalleessi ‘(∀x) (∃y)( 2x-4y<7)’ ( ∀x) (∃y) (2x-4y≥7) ta’a.
ii fi iv shaakala.
Gilgaala
1) Mee U tuuta lakkofsa raashinaalii haa jennu. Gat-dhugooma kannen armaan gadii barbaadi.

( )(x2 ≠ x) 
( )(x – 1  x – 6) 
  (x^2 ≥|x^2 |) 
  (x3-1=x3+x+1) 

2.Faalleessa himamoota armaan gadii barreessi, yoo p(x, y): 〖 x〗^2-5≠ y^2 ta’e.

a) (∀x) (∀y) p(x,y)
c)
b)
d)

1.4. Raggaasa, Gat-qaba fi Seera Akeekuu (Arguments, validity and rule Of inference)
Mata duree kana jalatti haalli himamni tokko gat-qaba(valid) ta`u danda’uu loojikii ibsootaa gargaaramuun ni ilaala.
Hiikoo: Raggaasa(arguments) jechuun yaada dhugooma qabu tokko bira gahuuf himamoota haal-dureewwanitti (premises) p1,p2,…,pn. gargaaramuun sababeessun haala ittiin yaada guduunfaa Q (conclusion) bira gahamuudha. Mallattoon yoo ibsamu, p1, p2, p3,…, pn ⊢Q ta’a.
Fkn
i. Maatiin Boontuu Arsii jiraatu. Tolaan abbaa Boontuuti.. Kanaafuu Tolaan Arsii jiraata.
ii. Reektaangiliin rog-afreedha. Isakuweerin reektaangiliidha. Kanaafuu, Iskuweerin rog afreedha.
iii. Namni kamiiyyuu ni du’a. Gamachuun nama. Kanaafuu Gammachuun ni du’a.

Haala sababeessun irratti hunda’uun namni tokko guduunfa irra yoo gahe; raggaasichi qat-qaba(valid) ta’uu danda’a ykn gat-dhaba(Invalid) ta’uu danda’a.
Hiikoo: Raggaasni p1, p2,p3,…,pn ⊢Q gat-qaba kan jedhamu Q dhugaa ta’uuf yoo p1, p2,p3,…,pn dhugaa ta’an qofa. p1, p2,p3,…,pn dhugaa ta’anii Q dhugaa hin ta’u yoo ta’e garuu,
p1, p2, p3 ,…, pn ⊢Q gat-dhaba jedhama.
Hubadhu: p1, p2, p3 ,…, pn dhugaa yoo ta’an, p1∧ p2∧ p3 ∧…∧ pn dhugaa ta’a. Kanaaafuu, raggaasni p1, p2, p3 ,…, pn ⊢Q gat-qaba (valid) kan ta’u yoo ta’iinsi (p1∧ p2∧ p3 ∧…∧ pn) ⟹Q) himama dhugoo ta’e qofa. Yoo ta’uu baate garuu, raggaasichi gat-dhaba (invalid or fallacy) jedhama.
Raggaasni tokko gat-qaba ta’uu fi ta’uu dhiisuu adda baasuf karaa lamaan mirkaneessun ni danda’ama. Isaanis:
Gabatee gat-dhugoominaa(truth table)
Seerota akeekutti(rule of inference) gargaaramuun
Fkn.
i. p⟹q,q⟹r,p⊢r gat-qaba ta’uu fi ta’uu dhiisuu adda baasi.
Furmaata:
P Q r p⟹q q⟹r (p⟹q)(q⟹r) (p q)
(q⟹r) p [(p⟹q)(q⟹r) p] ⟹p
Dh Dh Dh Dh Dh Dh Dh Dh
Dh Dh S Dh S S S Dh
Dh S Dh S Dh S S Dh
Dh S S S Dh S S Dh
S Dh Dh Dh Dh Dh S Dh
S Dh S Dh S S S Dh
S S Dh Dh Dh Dh S Dh
S S S Dh Dh Dh S Dh

Akkuma gabatee irraa hubatamutti [(p⟹q)(q⟹r) p] ⟹p himama dhugoo waan ta`eef raggaasni p⟹q,q⟹r,p⊢r gat-qabaadha.
ii. p⟹ q, q⊢p gat-qaba ta’uu fi ta’uu dhiisuu agarsiisi.

Furmaata.
p q  p  q p⟹ q ( p⟹ q) q [( p⟹ q) q] ⟹p
Dh Dh S S S S Dh
Dh S S Dh Dh S Dh
S Dh Dh S Dh Dh Dh
S S Dh Dh Dh S Dh

     1.4.1 Seera Akeekuu. (Rule of inference)

Seera akeekuu jechuun himamoota vaalidiii ta’aan yoo ta’u faayidaan isaaniis arguumentiin tokkoo vaaliidii ta’uu fi dhiisuu isaa kan ittiin agarsiifamuudha.
Seerota akeekuu keessa muraasin:

(i) ‘modus ponens’ (ii) ‘modus Tollens’

(iii) seera siiloojiziimii (iv) seeraa addaan babaasuu

(v) seera ‘adjunction’
(a) (b)
(vi) ‘modus ponendo tollens’ (vii) ‘modus tollendo ponens’

(viii) seera wal-gitiinsaa (ix) seera bakka bu`insaa.

Hubachiisa . Raggaasnii tokko gat-qaba ta’uu mirkanneessuuf seeroota armaan olii irratti dabaltaan seeroota akka ‘Deemorgaansii’, waligitooma himamoota, koontiraa poosative…. kkf) gargaaramina.
Fkn. Raggaasota armaan gadii gat-qaba ykn gat-dhaba ta’uu agarsiisii.
p, p V q ⊢q
p v q, p⟹ r, q⟹r ⊢r
(p⟹q) ⊢p

p⟹q,⋎⟹ q⊢⋎p⟹r

Mirkana.
1) p, p v q ⊢q
i. p dhugaa ———— yaada kaumsaa ii. P v q dhugaa -------------- yaada kaumsaa
iii. p⟹ q dhugaa ————— p v q p⟹q
iv. q dhugaa ——————‘Modes pones’, tarkaafii i fi iii irraa
2) p v q, p ⟹r,q⟹r⊢ r
i. p v q dhugaa ———— yaada kaumsaa ii. p⟹q dhugaa -----------------------p v q p⟹q iii. p⟹⋎ dhugaa------------------Yaada kaumsa
iv. r⟹ p dhugaa———- r⟹ p p⟹r
v. r ⟹ q dhugaa——- seera siiloojizimii ,ii fi iv irraa
vi. q⟹r dhugaa ————- yaada ka`umsaa
vii. r ⟹ r dhugaa————- seera siiloojizimiimi tarkaafii v fi vi irraa .
viii. r v r≡r dhugaa ————— r ⟹ r ≡ r v r
ix. r dhugaa r v r r
x. r soba seera faallessaa
Kanaafuu, p v q, p⟹ r, q⟹r ⊢ r gat-dhaba ta’a.

3. (p⟹q) ⊢p
   i. (p⟹q) dhugaa… hayipootisi
   ii. p q dhugaa… (p⟹q) p q
   iii. p dhugaa…… seera adda baasuu (principle of detchement)
   Kanaafuu raggaasni (p⟹q) ⊢p gat-qaba ta’a
4. p⟹q, ⋎⟹ q ⊢⋎ p⟹ r
   i. p⟹q dhugaa … yaada kaumsaa ii. r ⟹ q dhugaa….. yaada kaumsaa
   iii. q⟹ r dhugaa ….. r⟹ q q⟹ r
   iv. p⟹ r dhugaa…. Pirinciple of syllogismii tarkaafii i fi iii irraa
   Kanaafuu raggaasni p⟹q, r⟹ p⊢p⟹ r gat-qaba ta’a.
   Gilgaala1
   Raggaasota armaan gadii gat-qaba ta’uu fi ta’uu dhiisuu mirkanneessi.
   a) p q , (q v r) ⟹ p ⊢ r
   b) P ⟹(q v r) , ( q v r), r, p⊢q
   c) q ⟹ p, r ⟹p, p ⊢ q

1.5 Mirkana Herregaa (Mathematical proofs)

Herrega keessatti himamoota herregaa mirkaneessuuf karaaleen adda addaa ni jiru. Himamoonni herregaa kunis tiiramoota, korolaarota (corollaries), leemaa (lemmas) k.k.f. ta’uu danda’u. Himama mirkaneessuu jechuun ammoo dhugummaa himamichaa agarsiisuu jechuu dha.
Tiiramii: Jechuun himama ta’ee hiikoo, tiramoota hiik-malee, pooschuleetota, tiiramoota tanaan dura mirkanaa’anitti gargaaramuun dhugummaa himamichaa agarsiisuu jechuudha. Mirkaneessuu jechuun adeemsa dhugummaa tiiramii tokkoo agarsiisuuf raawwatamuu dha.
Leemaa: Jechuun ‘gargaaraa tiiramii ‘ ykn tiiramii tokko mirkanneessuf ka’umsa nu barbaachisuu dha.
Korolaarii : Bu’aa tiiramii kan ta’e garuu mirkana kan barbaaduu dha.

Himama herregaa mirkaneessuuf mallonni fi tooftaaleen adda addaa ni jiru. Kanneen armaan gadii isaan beekamoodha.
a) Mirkana kalattii (Direct proof)
Tiiramiin bifa p⟹q tiin kenname tokko mirkanneessuuf himama p’n dhugaa ta’a jedhu fuudhachuun tarkaanfilee barbaachisan gargaaramuun himamni guduunfaa ‘q’ n dhugaa ta’uu agarsiisudha.
Fkn.
1) x∊Z,yoo x’n lakkoofsa guutuu ta’e, x2 lakkoofsa guutuu ta’uu agarsiisi.
Mirkana
Mee x’n lakkoofsa guutuu haa jennu.
hiikoo lakkoofsa guutuu irraa x = 2t, t∊ Z ta’a.
x2 = (2t)2 = 2(2t2) ta’a. Maaliif?
t∊ Z ⟹ 2t2 ∊ Z
yoo 2t2 = k jenne, x2 = 2k, k∊ Z
Kanaafuu, x2 ‘n lakkoofsaa guutuu ta’a.
b) Mirkana al-kallattii (Indirect proof)
Mala kanaan mirkanneessuuf karaa lamaan ilaaluun ni danda’ama.
Himama kenname
i. i Koontaraa poozatiivii p⟹q ti gargaaramuun mirkanneessu
ii. fallessuun (contradiction)
Fkn
i) Mee x∊ Z haa jennuu, x2 n lakkoofsa guutuu yoo ta'e, xn lakkoofsa guutudha.
Mirkana:
Mala koontiraa poozativii.
mirkaneessuuf q ⟹ p mirkanneessuun gaha ta’a.
Mee x lakkoofsa guutuu miti haa jennu.
Hiikoo lakkoofsa mangootiin, x = 2t+1, t∊ 𝐙
⟹ x2 = (2t+1)2 = 4t2+4t+1 = 2(2t2+ 2t)+1
⟹ mee k= 2t2 + 2t haa jennu
x2 = 2 k + 1 ta’a,
Kanaafuu, yoo xn lakkoofsa mango ta’e, x2 lakkoofsaa mango ta’a. Akka seera loojikiitiin p ⟹q q⟹ p waan ta’eef himamnii yoo x2 lakkoofsa guutuu ta’e, x’n lakkoofsa guutuu ta’a jedhuu dhugaa ta’uu agarsiisa. Fkn 2. lakkoofsa al-raashinaalii ta’uu agarsiisii. Mirkana. Mala faallessaan Mee lakkoofsa raashinaaliitii haa jennuu. ⟹ = , a,b ∊ 𝐙, yoo kan HWG(a,b)=1 fi b 0 Gama lamaan iskuweerii gochuun 2 = ta’a ⟹ 2b2 = a2 ⟹a^2’n lakkoofsa guutu ta’ ⟹ 'a ' lakkoofsa guutuu ta'a. Maaliif? Mee a= 2t, t 𝐙 haaa jennu ------(*) 2b2 = (2t)2 = 4t2 taa
b2 = 2t2 , t2 ∊ 𝐙
⟹ b2 lakkoofsa guutuu ta’a.
⟹ b’n lakkoofsa guutuu ta’a. Maaliif? ——–() (*) fi () irraa ‘a’ nis ‘b’nis guutuu waan ta’aniif yoo xiqqaate lamanuu 2f ni hiramu. Kun ammo HWG (a,b)=1 jedhu ni faallessa. Kanaafuu lakkoofsa raashinaalii osoo hin taane al-raashinaalii ta`a.
c) Indaakshiinii herregaa
Malli kun himamoota (tiiramoota) lakkoofsaota lakkawwiitiin walqabatan mirkaneessuuf gargaara. Kanas tarkaanfilee armaan gadii irratti hundaa’uun mirkaneessina.
Seer-hundeewwan idaakshiinii Herregaa (Principle of mathematichal induction)
Mee p (n) himama lakkoofsota lakkawwiitiin walqabate haa ta’u. Himamni kun lakkoofsota lakkawwii “n” hundaaf dhugaa ta’uu mirkaneessuuf tarkaanfilee lamaan armaan gadii fayyadamna. Isaanis:
Himamni p (n), n =1 dhugaa ta’uu agarsiisuu.
Ta’iinsi p (n) p(n+1) lakkoofsa lakkawwii hundaaf dhugaa ta’uu agarsiisuu.
Kana jechuun P(n), n = k’f dhugaa ta’uu fudhachuun, n = (k+1)’s dhugaa ta’uu agarsiisuu.
Yoo (i) fi (ii) dhugaa ta’an himamichi lakkoofsota lakkawwii hundaaf dhugaa ta’a.
Tarkaanfilee armaan olii keessatti:
a. “i” tarkaanfii bu’uuraa (basic step) ykn bu’uura indaakshiinii (basis of
Induction) jedhama.
b. “ii” tarkaanfii indaakshiinii (inductive step) jedhama.
P(n), n = k’f dhugaadha” jedhu ka’uumsa indaakshiinii (induction hypothesis)
Fakkeenya: Kanneen armaan gadii mirkaneessi.
Ida’amni lakkoofsota mangoo “n” duraanii n2 dha.
(1+3+5+— + (2n-1) = n2
p(n): 1+3+5+—+(2n-1) = n2
Mirkana
i. p(n), n=1 dhugaa dha. 1=1^2=1
ii. Mee p(n), n=k dhugaa haa ta’u. Kana jechuun 1+3+5+—+(2k-1)= k2
KAB P(n), n=k+1 dhugaa ta’uu. Kunis 1+3+5+—+(2k-1)+[2(k+1)-1]= (〖k+1)〗^2
(ii) irraa 1+3+5+—+(2k-1)= k^2 waan ta’eef
1+3+5+—+(2k-1)+[2(k+1)-1]= k^2+2(k+1)-1
=k^2+2k+2-1=k^2+2k+1=〖(k+1)〗^2
Kanaafuu, p(n), n=k+1 dhugaadha. Kanaaf P(n) lakkoofsota lakkawwii “n” hundaaf dhugaa ta’a.
P(n) ∶〖17〗^n-〖10〗^n hiramaa 7 ta’uu agarsiisi.
Mirkana
n=1 yoo ta’e P(1)= 〖17〗^1-〖10〗^1=17-10=7 hiramaa 7 ti.
Mee P(k) dhugaa dha haa ta’u. Kana jechuun 〖17〗^k-〖10〗^k hiramaa 7 ti.
KAB P(k+1) dhugaa ta’uu dha. Kunis 〖17〗^(k+1)-〖10〗^(k+1) hiramaa 7 ta’uu.
〖17〗^(k+1)-〖10〗^(k+1) =17. 〖17〗^k-10.〖10〗^k =(10+7) 〖17〗^k-10〖.10〗^k
=10. 〖17〗^k+7.〖17〗^k-10〖.10〗^k=10(〖17〗^k-〖10〗^k )+7.〖17〗^k.
⟹7.〖17〗^k hiramaa 7 ti Maaliif?
Tarkaanfii (ii) irraa ‘〖17〗^k-〖10〗^k’ hiramaa 7 ti.
Mee 7m=7.〖17〗^k fi 7r=〖17〗^k-〖10〗^k haa jennu. (7.〖17〗^k) +〖(17〗^k-〖10〗^k) =7m+7r=7(m+r) hiramaa 7ti. Kun ammoo kan agarsiisu, p(n), n= k+1 hiramaa 7 ta’uu isaati.
Kanaaf akka seera indaakshinii herregaati ‘n’ miseensa lakkoooofsa lakkaawwii hundaaf ‘ 〖17〗^n-〖10〗^(n ‘) hiramaa 7 ti.
〖P(n):4〗^2n-9 hiramaa 5 ta’uu agarsiisi n∈N yoo ta^’ e.
Mirkana.
n=1 yoo ta’e , P(1) =4^(2(1))-9=16-9=15 hiramaa 5 ti.
Mee P(n), n=k dhugaa dhaa haa jennu. Kunis 〖P(n):4〗^2k-9 hiramaa 5 ti.
Kan argisiisuu barbaadnu (KAB) P( n) n=k+1dhugaa ta’uu. Kunis 4^(2(k+1))-9 hiramaa 5 ta’uu.
4^(2(k+1))-9= 4^(2k+2)-9=4^2.4^2k-9=16.4^2k-9-4^2k+4^2k
=(16.4^2k-4^2k )+(4^2k-9)=4^2k (16.-1)+4^2k-9
=15. 4^2k+4^2k-9. 15 hiramaa 5 ti waan ta’eef 15. 4^2k hiramaa 5 ti.
〖’4〗^2k-9′ hiramaa 5 ti tarkaaffii 2 irraa.
⟹4^(2(k+1))-9 hiramaa 5ti.
Kanaafuu, akka seera indaakshinii herregaati ‘n’ miseensa lakkoooofsa lakkaawwii hundaaf 4^2n-9 hiramaa 5 ti.

2n < n! , n 4 

n =4, 24 < 4! 16< 24)
Mee 2k < k! — () k 4 2k+1 = 2k .2 < 2k (k+1) … (2 < (k+1) … (k4) < k! (k+1) — () irraa
= (k+1)! — (k! = 1x2x3x—xk)

5. n ∊ N, a – b hirmaata an – bn ta’uu agarsiisi.
   Mirkana.
   Mee p(n) = a – b hirmaata an – bn haa jennuu.
   i. n = 1 ta’e a1 – b1 = 1(a – b) dhugaa ta’a.
   ii. n= k ta’e p(n) dhugaa ta’a haa jennu. Kana jechuun,
   p(n), n=k : a-b hirmaata ak – bk ta’a.
   KAB p(n), n=k+1dhugaa ta’uu
   p(k+1) = ak+1 – b k+1 = a k+1 – abk + abk – bk+1 = a(ak – bk) +bk (a-b)
   ( ii) irraa ak – bk hiramaa a-b ti. Akkasumas ‘a-b’ hiramaa mataa isaati. Kanaaf a(ak – bk) hiramaa ‘a-b’ fi b^k (a-b) hiramaa ‘a-b’ ti. Kanaafuu a – b hirmaata a^(k+1)-b^(k+1).
   d) Mirkana jireenyaa (proof of existance)
   Yoo Tiyooramiin nuuf kenname kan bifa (∃x)p(x) qabaate. Tiiramii kana mirkanneessuuf fakkeenya Uumuun barbaachisa ta’a.
   Fkn
   Himamni banaa bifa ax+b = 0,yoo a≠o ta’e, lakkoofsa waligalaa (ℜ) keessatti tuuta furmaata ni qaba jedhu gat-dhugooma dhugaa qaba.
   sababa (∃x=- ∊ ℜ) (ax+b=0)
   e)Mirkana Fakkeenyaan agarsiisuu.
   Mirkana isaa fakeenya tokko himicha soba taasisu barbaaduun ta’a.
   Fkn
   (∀x ) (x2 > 0) x ∊ ℜ soba ta’a,sababni isaa x=0 yoo ta’e 02=0 ta’a.
   Gilgaala walii galaa
6. Yoo p(qr) soba taee p fi q dhugaa taan gat-dhugooma kannen armaan gadii barbaadi.
   i. pr
   ii. (pq)
   iii. r (qr)
   iv.(rp)(qr)
7. Mee gat- dhugoomni pq dhugaa haajennu. Yoo qn dhugaa tae , pq maal taa ? Yoo pn dhugaa tae (qp) q maali taa?
   3.Himamoonni armaan gadii himama dhugoo yookiin himam dharaa (contradiction) ta`uu mirkanneessi.

i. (pq)  (p) q
ii. (pq) q
iii. (pq)  (p)

4. Raggaasota armaan gadii keessaa kamitu gat-qabaadha.?
   i. (pq) , p  q
   ii. pq , p q
   iii. (pq)  r p r
   iv. p q , p, rq r
5. ∀x,y∈Z, x mangoo fi guutuu yoo ta’an, x+y lakkoofsa guutuu ta’a.
6. ∀x∈Z , x lakkoofsa mangoo ta’ee yoo ta’e x^2 lakkoofsa mangoo ta’a.
7. Indaakshinii herregaatti gargaaramuun kanneen armaan gadii mirkaneessi.
   3n 6
   P(n): 4^n+5, n∈N hiramaa 3 ta’uu agarsiisi.
   P(n): 3^2n-1,n∈N hiramaa 8 ta’uu agarsiisi.
   n  2, n2 >n ta’uu agarsiisi.
   P(n): 〖10〗^n-1, n∈N hiramaa 9 ta’uu agarsiisi
   P(n):7^n+4^n+1,n∈N hiramaa 6 ta’uu agarsiisi
   BOQQONNAA LAMA
   YAAD-HIDDAMA TUUTAA

Seensa.
Yaad-rimeen tuuta barnoota herrega keessatti bakka guddaa qaba. Boqonna kanna keessatti hariiroo loojikiin herregaa tuuta wajjiin qabus ni ilaalla. Tarmoonni akka tuutaa, miseensota tuutaa fi kkf aljebraa keessatti tarmoota hiikimalee jedhamu.
Kaayyoolee
Xummura boqonnaa kanaatti kaadhimamittoonni:
Hiikootti gargaaramuun tiiramoota Tuuta ni mirkanneessu.
Hiikoo hariiroo fi fankishiinni ni hubatu.
Fankishinota gargaaramuun gosoota tuuta addaan ni baafatu.
Maalummaa hariiroo tartiiba ni beeku.
Maalummaa hariiroo waliigitaa ni hubatu.
2.1. Hiikoo Tuutaa fi Hariiroo Tuuta
Hiikoo: Tuuta jechuun walitti qabama sirnawaa wantoota (well-defined) adda addaa yammuu ta’u wantoonni tuuta keessatti argaman miseensoota tuuticha jedhamu.
Fkn
1) Tuuta barattoota kutaa 10 kan bara 2002
2) tuuta lakkofsoota inteejarii
Hubadhu:
1/ Tuuta mogaasuuf qubee gurguddaatti Kanneen akka A,B,C fi kkf nitti gargaaramna.
x’n miseensaa tuuta A yoo ta’e mallattoon yammuu ibsinu x∈A jenna. x A, x’n miseensa tuuta A miti.
2/ Tuutnii miseensa hin qabne tuuta duwwa jedhama. Mallattoo ykn dha.
Fkn: i) Tuuta namoota miila afur qaban.
ii) Tuuta lakkoofsa intiijarii 5 fi 6 gidduutti argamu.
iii) S={x: x∈R ⋀ x^2+1=-4 }

Gocha
1) C= {1,2, {a,b, {1,2}, 7, 8}}, A∊B, B ∊ C fi A C yoo ta’e tuuta A fi tuuta B kenni. 2)Miseensoota tuutota armaan gadii tarreessi.
{x/x∊N fi x’n hirmaata 12}
{x∊Z//x/≥5}
{x/x∊W/|9-x|<7} 3) Tuuta haala meeqan ibsuu dandeenya? Tokkoo tokkoo isaanitiif fakkeenya gargaaramuun ibsi. 4) A fi B tuutota lama yoo ta’an: i) A⊆B kan ta’u yoom? ii) A⊂B kan ta’u yoom? iii) A=B kan ta’u yoom? 5) A = x : x = 10k , x, kZ fi B= x : x = 2m  x = 5n , x, m, n, Z } yoo taan A=B ta'uu agarsiisi. 6) Yoo A = fi B = taan, A  B ta’uu agarsiisi. 7) A  A = 8) Mee P(x) x’n lakkoofsa lakkawwii fi (x>5⟹x<9) haa jennu. Yoo A={x/P(x)} ta’e miseensota tuuta A barreessi.
Hub. Paaworii tuuta A kan jennu tuuta miseensonni isaa hunduu citoota tuuta A ta’aniidha.
Mallattoon yammuu ibsinu P(A)= { x/ x ⊆ A}.
Fkn. Mee A = {1,2,3} haa jennu.
Tuutni cita tuuta A ta’an : ,{1},{2},{3}, {1,2}{1,3),{2,3} fi A.
Kanaafuu, P(A) = { ,{1},{2},{3},{1,2}{1,3}{1,3}{2,3}, A} ta’a.
Hubadhu. Yoo bayinni miseensota tuuta A 'n' tae, baayinni miseensota cita tuutaa tuuta A, 2n yoo ta’u bayinni miseensota cita sirri tuuta A, 2n -1 ta’a. Akkasumas baay’inni miseensota paaworii A 2^n.
2.2 Tuutota Qoyyabuu
Hiikoo: Mee A fi B’n tuutota fi U = tuuta waliigalaati haa jennu. Akkasumas A,B⊆ U yoo ta’an,
i. Tuua A makuu tuuta B ykn AUB = {x/x∊A x∊B }.
ii. Tuuta A kipha tuuta Bykn A B= {x/ x∊A x∊B}.
iii. Guuchisa:
a. Guuchisa hanquu – Guuchisa A ( ) = {x/ x∊U x∉A} .
b Guuchisa hariiroo- A osoo hin tuqin B ykn A – B yookiin A/B yoo ta’u kana jechuun,
A-B = {x/x∊A x∉B}.
v. Yoo A fi B’n tuutota lama ta’an, A fi B osoo wal hin tuqin(symetric difference) , mallattoon A∆B yoo ta’u kunis, A∆B = (A – B) U (B-A)
= {x/(x∊A x∉B) ⋁ (x∊B x∉A)}
vi. Tuuta A qaxaamura tuuta B, mallattoon AxB yoo ta’u, AxB = {(x,y) (x∊A y∊B}ta’a.
Fkn
1) Yoo A={x:x^2+2x-8=0}, B={y: y^2 -y-6=0} fi U= {x: x∊ Z -6<x<6} yoo ta’an kaneen armaan gadii barbaadi.
a) AUB b) A B c) A’ d) B’ e) B-A f) A – B g) A∆B h) AxB fi BxA
Furmaata:
x^2+2x-8=0 y^2 -y-6=0
〖⟹x〗^2+4x-2x-8=0 ⟹ y^2+2y-3y-6=0
⟹x(x+4)-2(x+4)=0 ⟹ y(y+2)-3(y+2)=0
⟹(x-2)(x+4)=0 ⟹ (y-3)(y+2)=0
⟹ x-2=0 ykn x+4=0 ⟹y-3=0 ykn y+2=0
⟹ x=2 ykn x=-4 ⟹ y=3 ykn y=-2
Kanaafuu, A={2,-4}
Kanaafuu, B= {-2, 3}

a) AUB={2,-4} U{-2,3}= {2,3,-2,-4}
b) A B = {2,-4} {-2,3}=∅
c) A’=U-A={-5,-3,-2,-1,0,1,3,4,5}
d) shaakala
e) B-A= {-2,3}-{2,-4}= {-2,3}.
f) A-B= {2,-4}- {-2,3} ={2,-4 }
g) A∆B= (A-B)U(B-A)= {2,4}U{-2,3}={2,3,-2,-4}
h) shaakala
Fkn. Mee An = haa jennu. Kannen armaan gadii barbaadi.
a) c) e)
b) d)
Furmaata
Mee haa jennuu.
A1 =
A2 =
An =
a) = U (-∞,10)= (-∞,10)
d) = (-∞,4) U (-∞,5) U (-∞,6)U…U(-∞,∞)=(-∞,∞)
Hojii garee. b, c fi e gareen dalagaa.
Amaloota Bu’uura Qoyyaboota Tuutaa

1. Amala Jijjiirraa Iddoo
   Mee A fi B tuuta lama kamiiyyuu haa jennu
   a. A ⋃B = B⋃A
   b. A∩B = B ∩A shaakala
   c. AΔB = BΔA
2. Amala Jijjiirraa Iddoo Cuftuu
   a. (A⋃B) ⋃C = A⋃(B⋃C)
   b. (A∩B) ∩C = A∩(B∩C) shaakala
3. Amala Rabsaa
   Mee A, B fi C tuuta sadii kamiyyuu haa jennu
   a. A ⋃(B∩C) = ( A ⋃B) ∩(A⋃C)
   b. A∩ (B⋃C) = ( A ∩B) ⋃ (A∩C)
   Mirkana
   a. A ⋃(B∩C) = ( A ⋃B) ∩(A⋃C)
   Mee x ∈A⋃(B∩C) ⟹ x ∈A ykn x ∈ (B∩C)
   ⟹ x ∈A ykn [ x ∈B fi x∈ C ]
   ⟹ x ∈(A ⋃B) fi x∈(A ⋃C)
   ⟹ x ∈[(A ⋃B) ∩ (A ⋃C)]
   ⟹ A⋃(B∩C) ⊆ (A ⋃B) ∩ (A ⋃C)
   Mee y ∈ [(A ⋃B) ∩ (A ⋃C)] ⟹ y ∈ (A ⋃B) fi y ∈ (A ⋃C)
   ⟹ [ y∈A ykn y ∈B] ∧ [y∈A ykn y∈C]
   ⟹ y∈A ykn y∈(B∩C)
   ⟹ y ∈[A⋃(B∩C)]
   ⟹ (A ⋃B) ∩ (A ⋃C) ⊆ A⋃(B∩C)
   kanaaf A⋃(B∩C) = (A ⋃B) ∩ (A ⋃C)
   b. A∩ (B⋃C) = ( A ∩B) ⋃ (A∩C)
   Mirkana hojii garee
4. Seera Diimorganii
   Mee A fi B tuuta lama kammiyyuu haa jennu.
   a. (A⋃B) ‘ =A’ ∩B’
   b. (A∩B)’ = A’⋃ B’
   a. Mirkana hojii garee
   b. (A∩B)’ = A’⋃ B’
   Mirkana
   Mee x∈ (A∩B)’ ⟹ x ∉ (A∩B)
   ⟹ x∉ A ykn x∉ B
   ⟹ x∈A’ ykn x ∈B’
   ⟹ x∈(A’⋃B’ )
   ⟹ (A∩B)’ ⊆ (A’⋃B’)
   Mee y∈(A’⋃B’) ⟹ y∈ A’ ∨ y∈B’
   ⟹ y ∉ A fi y∉ B
   ⟹ y ∉ (A∩B)
   ⟹ y∈(A ∩B)’
   ⟹ (A’⋃B’ ) ⊆ (A ∩B)’
   Kanaaf (A∩B)’ = (A’⋃ B’ ).
   Tiiramii: Yoo A, B fi C tuutota sadii kamiiyyuu ta’an , kanneen armaan gadii mirkaneessi.
   C-(A∪B)=(C-A)∩(C-B)
   C-(A∩B)=(C-B)∪(C-B)
   Mirkana
   C-(A∪B)=(C-A)∩(C-B)
   Mee x∈ C-(A∪B) haa jennu.
   ⟺ x∈ C fi x∉(A∪B)
   ⟺ x∈ C fi [x∉A ykn x∉B]
   ⟺ x∈ C fi [x∉A fi x∉B]
   ⟺ x∈ C fi [x∈ A^’ fi x∈ B^’]
   ⟺[ x∈ (C ∩ A^’)] ∩ [x∈(C∩B^’)]
   ⟺[ x∈(C-A)∩[x∈(C-B)]
   Kanaaf C-(A∪B)=(C-A)∩(C-B)
   A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)
   Mirkana
5. Mee x∈ A-(B∩C) haa jennu. ⟺ x∈ A fi x∉(B∩C) ⟺ x∈ A fi ( x∉B ykn x∉C) ⟺(x∈ A fi x∉B) ykn (x∈ A fi x∉C) ⟺ (x∈ A fi x∈B^’) ykn (x∈ A fi x∈C^’) ⟺[ x∈( A∩B^’) ]∪[(x ∈A∩C^’)] ⟺ [x∈( A-B)] ∪ [x∈( A-C)] Kanaaf , A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C) Tiiramii: Tuuta A kamiifiyyuu (A΄)΄=A ta’a Mirkana:- x∊( A΄)΄⟺ ¬(x∊ A΄ )⟺ ¬(¬(x∊A)) x∊A Kanaafuu, (A΄ )΄=A Tiiramii: A fi B tuutoota lama kamiiyyuu yoo ta`an. A⊆B⟺ B΄⊆A’ Mirkana. A⊆B ⟺ ( x)(x∊A x∊B) ⟺ ( x) (x∊A) v (¬ (x∊A)) ⟺ ( x)( x∊B΄ x∊ A΄) ⟺ B΄ A΄ Tiiramii: A , B fi C tuutota sadii kamiiyyuu yoo ta’an A∩ (B-C)=(A∩B)-(A∩C) mirkaneessi. Mirkana Mee x∈ A∩ (B-C) ⟺ x∈ A fi x∈ (B-C) ⟺ x∈ A fi ( x∈ B fi x∉C) ⟺ x∈ A fi ( x∈ B fi x∈C^’) ⟺ (x∈ A fi x∈ B) fi (x∈ A fi x∈C^’) ⟺(x∈ A fi x∈ B) fi (x∈ A fi x∉C) ⟺[x∈ A∩B)] ∩[ x∉(A∩C)] Kanaafuu, A∩ (B-C)=(A∩B)-(A∩C) Gilgaala Kanneen armaan gadii mirkanneessi A⊆B AUB⊆ B A⋃B=B A∩B=A A∩B⊆ A⋃B 〖(A∪B)〗^’= A^’∩B^’ A∩ (B⋃C) = ( A ∩B) ⋃ (A∩C). A- B=A∩B΄ A = B ⟹ AUB = A∩B AU(B-A)=AUB (A-B)U(B-A)=(AUB)-(A∩B) Fakkeenya fudhachuudhan kanneen armaan gadii dhugaa ta’uu mirkaneesi. A- =A
   • A=
     A-A =
     (A- )-A=
     2.2 Hariiroo
     Gocha2.2
     H1= {(1, 2), (2,4), (3, 6) , (4, 8)} fi H2={1,2,3,4,6,8} yoo ta’an, H1 fi H2 garagarummaa ni qabuu? H1 keessatti (1,2) maal jedhama?
     Hariiroo jechuun maal jechuudha?
     H1 keessatti {1,2,3,4} fi {2,4,6,8 } maal jedhamu?
     A fi B tuutota tuuta duwwan ala yoo ta’anii fi H hariiroo yoo ta’e, ‘H’n hariiroo tuuta A irraa gara B ti kan jennu yoomi?
     Hariiroo H keessatti (x_1, y_1)fi (x_2, y_2) miseensota hariirichaa yoo ta’an, (x_1, y_1)= (x_2, y_2) kan ta’u yoom?

Baay’ataa Qaxxaamura (Cartesian Product)
Hiikoo: Baay’ataan qaxxaamuraan tuutota lamaa A fi B bifa A×B tiin kan barreeffamu , tuuta cimdii tartii qabate ta’ee, tartiiba cimdii keessatti kan jalqabaa miseensota tuuta A yoo ta’an kan lammaffaa ammoo miseensota tuuta B kan ta’eedha. Bifa mallattoo tuutan yoo ibsamu: A×B={(a,b):a∈A∧ b∈B}
Fkn

1. A= {1,2,3} fi B={ a,b,c} yoo ta’an, Kanneen armaan gadii barbaadi.
   i. AxB ii. BxA iii. AxB fi BxA walqixa ta’uu ni danda’uu?
   Furmaata.
   i. AxB= {(1,a), (1, b), (1, c), (2, a) ,(2, b), (2,c), (3, a), (3, b), (3, c)}
   ii. BxA= {( a,1), (a, 2), (a, 3), (b, 1) ,(b, 2), (b,3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}
   iii. Shaakala.
2. A fi B tuuta lama kamiiyyuu yoo ta’an AxB fi BxA walqixa kan ta’an yoom? Hojii garee.

Hubadhu: Mee H hariiroo yoo ta’e. Mandhee fi reenjii H akka armaan gadiitti ibsuu ni dandeenya.
Mandheen H = {x|(∃y) ∋(x,y) ∊H}
Reenjiin R={y| ( x) ∋ (x,y) ∊H}
Kanaafuu , H ⊆ ( Mandhee H) x(Reenjii H) ta’a jechuu dha.
Fkn.
Mee H={(a,c), (b,2), (1,3), (2,c)}, A={2,3,c) fi B={a,b,1,2} yoo ta’an, kan armaan gadii shaakali.
i. H : A⟶B ti moo H : B⟶A ti? Maaliif?.
ii. Hariiroo H keessatti madheen fi reenjii H barbaadi.
iii. H⊆ (Mandhee H)x(reenjii H) ni ta’aa? Maaliif? Shaakala.
Hubadhu! 1.Yoo H hariiroo A irra gara B ta’e, H= AxB yookiin H=Ø ta’uu ni mala.
2. Yoo H = AxB ta’e, H’n hariiroo waliigalaa ta’a.
3. Yoo A = B ta’e, hariiroon H hariiroo tuuta A (yookiin B) jedhama
4. Yoo H’n hariiroo fi (x,y) ∊ H bifa xHy tiin barreessuun ibsuun ni danda’ama.
5. Yoo A = B ta’e, hariiroon H tuuta A irra gara tuuta A, hariiroo tuuta A irratti jedhama.
2.2.2. Galagaltoo Hariiroo
Hiikoo: Galagaltoo hariiroo jechuun hariiroo tartiiba cimdii bakka/iddoo wal jijjiiruun argamu jechuu dha. Yoo H’n hariiroo ta’e, galagaltoon isaa mallattoo H^(-1) ibsama.

Mee Veen diyaagiraamii armaan gadii haa ilaallu. Hariiroo ‘H’ n tuuta A irraa gara tuuta B ti. hariiroo〖 H〗^(-1) garuu tuuta B irraa gara tuua A ti.
A H B B H^(-1) A

       Mandhee H        Reenjii H           Mandhee H^(-1)          Reenjii H^(-1)

Hubadhu: Hariiroo ‘H’ Kamiifuu :
Mandheen H= Reenjii H^(-1)
Reenjiin H= Mandhee H^(-1) ti
Reenjiin H-1 = Mandheen H ta’a.
Fkn
1. H= {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)}
H^(-1) = {(2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5)}
2. H={(x,y): y=2x+6;x,y∈R} yoo ta’e, H^(-1) barbaadi.
Furmaata
〖 H〗^(-1) ={(y,x):y=2x+6;x,y ∈R}
ykn
H={(x,y): y=2x+6;x,y∈R}
y=2x+6 irraa
Tarkaanffii 1ffaa: Jijjiiramoota waljala jijjiiruu. Kunis x=2y+6.
Tarkaanffii 2ffaa: Tarkaanffii 1ffaa irraa y bifa x tiin ibsuu. Kunis x-6=2y
⟹y=(x-6)/2
Kanaaf 〖 H〗^(-1) ={(x,y): y=(x-6)/2;x,y∈R} ta’a.

3. H={(x,y):y<4-2x fi y≥3x+8;x,y∈R} yoo ta’e 〖 H〗^(-1) barbaadi. Furmaata. 〖 H〗^(-1) ={(y,x):x<4-2y fi x≥3y+8;x,y∈R ykn H={(x,y):y<4-2x fi y≥3x+8;x,y∈R} y<4-2x fi y≥3x+8 irraa Tarkaanffii 1ffaa: Jijjiiramoota waljala jijjiiruu. Kunis x<4-2y fi x≥3y+8 Tarkaanffii 2ffaa: Tarkaanffii 1ffaa irraa y bifa x tiin ibsuu. Kunis x-4<-2y fi x-8≥3y ⟹(4-x)/2>y fi (x-8)/3≥y .
   Kanaaf 〖 H〗^(-1) ={(x,y): (4-x)/2>y fi (x-8)/3≥y ; x,y∈R ta’a.
   Gilgaala
   Galagaltoo Hariiroo armaan gadii barbaadi.
   H={(x,y): y=3^x;x∈R}
   H={(x,y): y=x^2-4;x∈R}
   H={(x,y) : x-3≤y≤3x+6}
   H={(x,y): y=x^2+2x-3}
   H={(x,y) :-3≤y≤3x}
   H={(x ,y): y-3>x fi 3y≤ 5x+15}
   2.2.3 Daangeessan (Restriction) Hariiroo Hiikoo :Yoo H’n hariiroo A irra gara B fi E⊆A ta’e, Daangeessan (Restriction) hariiroo H irraa gara tuuta E, mallattoon H/E yoo ta’u, kunis, H/E = {(x,y)/(x,y)∊ H x∊E}
   = H ∩ (E x Reenjii H) taa. Fakkaattiin (image) tuuta E hariiroo H jalatti, mallattoon H(E) yoo ta’u, kunis H(E) = Reenjii H/E = { y∊B/ (x,y)∊ H, ∃x∊E} taa.
   Fkn
4. Mee A = {2,4,6} fi B = {x,y,z,w}
   H = {(x, 2), (y, 6) (z, 2), (x, 4), (w, 4)} haa jennu. E = { x,z} , E⊆B yoo ta’e kanneen armaan gadii barbaadi.
   i. H/E ii. H(E)
   Furmaata.
   E= {x,z} fi Reenjin H= {2, 4, 6} fi H={(x, 2), (y, 6) (z, 2), (x, 4), (w, 4)}
   E x Reenjin H={(x, 2), (x, 4 ), (x, 6), (z, 2), (z, 4), (z, 6)}.
   H ∩(E x Reenjin H)= {(x, 2), (x, 4), ((z, 2)}.
   Kanaafuu, H/E = H ∩(E x Reenjin H)= {(x, 2), (x, 4), ((z, 2)}.
   ii. H(E)= Reenjii H/E ={2,4}.
5. Mee H= {(1,2), (3,4), (5, 6), (7,8),(9,4)}, A ={1, 3, 5, 7, 9}, B={2, 4, 6, 8, 10}
   fi E={3,7, 9} yoo ta’an Kanneen armaan gadii barbaadi.
   i. H/E
   ii. H(E)
   iii. H^(-1)
   iv. H^(-1)/E yoo E= {2,6,8}
   v. H^(-1) (E), yoo E= {2,6,8}
   Furmaata.
   i. H/E
   E={3,7, 9} , H={(1,2), (3,4), (5, 6), (7,8),(9,4)}
   ReenjiiH= {2, 4, 6, 8}.
   E x Reenjin H= {(3,2), (3,4), (3, 6), (3,8), (7,2), (7,4), (7, 6), (7,8), (9,2), (9,4), (9, 6), (9,8)}
   H ∩(E x Reenjin H)= {(3,4), (7,8), (9,4)}. Kanaafuu, H/E= {(3,4), (7,8), (9,4)}.
   ii. H(E)= Reenjii H/E= {4,8}.
   iii. 〖 H={(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,4)} ⟹H〗^(-1)={(2,1), (4,3), (6,5), (8,7), (4,9)}.
   iv. H^(-1)/E
   E= {2,6,8}fi Reenjiin H= {1,3,5,7,9}
   E xReenjiin H^(-1)= {(2,1), (2,3),(2,5),(2,7), (2,9), (6,1), (6,3),(6,5),(6,7), (6,9), (8,1), (8,3),(8,5),(8,7), (8,9)}
   〖 H〗^(-1)∩( E x Reenjiin H^(-1))= {(2, 1), (6,5), (8,7)}. Kanaafuu, H^(-1)/E = {(2, 1), (6,5), (8,7)}.
   v. H^(-1) (E)= Renjii H^(-1)/E = {1,5,7}.
   Gilgaala
   Mee A = {a,b,c} fi B = {1,2,3}, H = {(a,1), (a,2) (b,2), (c,3)} haa jennu fi
   E = { b,c} , E⊆A yoo ta’e kanneen armaan gadii barbaadi.
   H/E
   H(E)

b. Mee A= {i, -1, 0, i , 1}, B={2, -2, 4, -4} fi H={(i, 2), (0, -2), (-i, -4), (1,4), (-1, -2)} fi E= {0, i, 1} yoo ta’an, kanneen armaan gadii barbaadi.
H/E
H(E)
H^(-1)
H^(-1)/E yoo E= {2, 4} ta’e
v. H^(-1) (E) yoo E= {2, 4} ta’e.
2.3 Hariiroo Waliigitaa

Hiikoo: Mee H hariiroo cita tuuta AxA ta’e haa jennu
Yoo (x,x) ϵH ∀x∈A ta^’ e,〖 ‘H〗^’ n amala riifileexsivii qaba jenna.
Yoo (x,y) ϵH fi (y,x) ϵH ta’e ‘H’ n amala Simeetrikii qaba jenna.
Yoo (x,y) ϵH fi (y,z) ϵH ta’ee fi (x,z) ϵH ta’e amala darbaa darboo qaba jenna
Hariiroon H hariiroo waliigitaatii kan jennu yoo H’n Reefileeksivii, Simeetrikii fi darbaadarboo ta’e dha.
Fkn

1. H={(x,y) :’x-y ‘ hiramaa 2 , x,y∈N} yoo ta’e
   ‘H’n amala riifileexsivii ni qabaa?
   ‘H’ n amala Simeetrikii ni qabaa?
   ‘H’ n amala darbaa darboo ni qabaa?
   H hariiroo walgitaatii?
   Furmaata
   H={(x,y) :x-y hiramaa 2 , x,y∈Z}
   a. (x,x) :x-x=0. ‘0’ ammoo hiramaa 2 ti waan ta’eef (x,x) ∈H ti. Kanaaf ‘H’n amala riifileexsivii ni qabaa.
   b. (x,y): x-y=-(y-x) waan ta’eef y-x hiramaa 2 ti. (y,x) ∈H. Kanaaf amala Simeetrikii ni qabaa.
   c. (x,y): x-y hiramaa 2 fi (y,z): y-z hiramaa 2 ti. x-y+y-z = 2n+2m=2(m+n) hiramaa 2 ti. Kanaaf x-y+y-z=x-z hiramaa 2 ti. (x,z) ∈H ti waan ta’eef ‘H’ n amala darbaa darboo ni qaba.
   d. Kanaafuu, hariiroo H hariiroo walgiaataadha ulaagalee sadan waan guutef.
2. Mee T tuutota rog-sadee diriiroo irraa yoo ta’eefi hariiroo H yoo haala armaan gadiitin hiikame, H={(x, y) : x fi y rog-sadeewwan walitti galoo}. H hariiroo walgitaa ta’uu ni danda’aa? Mirkaneessi.
   Mirkana.
   x fi y rog-sadeewwaan diriiroo irraa yoo ta’an, (x, y) ∈H kan ta’u yoo Δx≡∆y ta’e qofa.
   i. Δx≡∆x, ∀x∈T waan ta’eef (x, x)∈H. Kanaafuu H rifleektiiviidha.
   ii.(x, y) ∈H. Kana jechuun Δx≡∆y dha. ⟹ Δy≡∆x. ⟹ (y, x) ∈H. Kanaafuu ‘H’n simeetriikiidha.
   iii. (x, y) ∈H fi (y,z) ∈H. Δx≡∆y fi Δy≡∆z. ⟹ Δx≡∆z ta’a. ⟹(x,z)∈. Kanaafuu H darbaadarboodha. Ulaagaalee sadan armaan olii irraa hariiroo H hariiroo walgitaa ta’a.
3. Mee S tuuta tuqaalee sarara lakkoofsaa irratti argaman haa jennu. Mee H hariiroo yoo ta’eefi tuqaalee lama a fi b kamiifuu (a,b) ∈H kan ta’u |a-b|≤1 yoo ta’e, H’n hariiroo walgitaa ta’uu ni danda’aa?
   Mirkana
   i. Tuuqan a fi tuqaa a irra yoo oole, jechuun |a-a|≤1⟹ 0≤1. ⟹ ∀a∈S, (a,a)∈H. Kanaafuu H rifleeksiiviidha.
   ii. (a,b)∈H jechuun, |a-b|≤1 ⟹ |b-a|≤1. ⟹ (b, a) ∈H. Kanaafuu H simeetrikiidha.
   iii. (a, b) ∈H fi (b, c) ∈H. ⟹ |a-b|≤1 fi |b-c|≤1. Garuu, |a-c|≤1 dhugaa ta’uu dhiisuu danda’a. . fkn a=2, b=3 fi c=4 |2-3|≤1 fi |3-4|≤1. Garuu |2-4|=2≤1→←
   ⟹ (a, c) ∉H. ⟹ hariiroo H darbaa darboo miti. Kanaafuu , hariiroo H hariiroo walgitaa miti.
   Hubadhu!
   1) Hariiroon H tuuta A irratti Reefleeksivii miti kan jennu yoo xiqqaatee xiqqaate a∊A jiraatee (a,a) ∉H ta’e.
   2) Hariiroon H tuuta A irratti simeeteriiki mitii kan jennu yoo a,b ∊A, a≠b (a,b)∊H garuu (b,a) ∉H ta’eedha.
   3) Hariroon H tuuta A irratti darbaa darboo mitii kan jennuu yoo a,b,c∊A jiraatee (a,b,fi c adda adda ta’u dhabu ni malu), (a,b) H (b,c) ∊H, garuu (a,c) ∉H yoo ta’ee dha.
   Fkn.
   Mee H = tuuta lakkofsa waliigalaa fi H = {(x,y)/ x<y, x,y∊ℜ} haa jennu.
   i. ∀x∊ℜ, x<x. Soba waan ta’eef H’n reefleeksivii miti.
   ii. H’n Seemeetiikii mitii. sababni (2,3) ∊H garu (3,2) H. Kunis,2<3 ⟹3<2, Soba waan ta’eef.
   iii/ x<y y<z⟹ x<z ⟹ xHz waan ta’eef H`n darbaadaroodha.
   2.4. Hariiroo Tartiba (Order Relation)

Hiikoo 2.3 . Hariiroon R tuuta tokko irratti antisimeetirikii kan jennu yoo (x,y) ∊ R (y,x) ∊R ⇒ x = y (i.e xRy∧yRx⇒x=y) taasisa ta`e.

Fkn
i. Mee A’n tuuta fi yoo R hariiroo tuuta paaworii tuutaa A= P(A) hariiroon ofitti hammataa ⊆ tuuta haa jennu. ⊆’n tuuta P(A) irratti antisimeetirikii ta’a. Sababiin isaa tuutota A fi B lama kamiifuu A⊆B ∧ B⊆A⇒ A=B waan dhugaa ta’eef.
ii. Mee H tuuta N irratti akka (a,b) ∊H ⇔ a|b(a^’ n ni hira b).hiikame haa jennu. H’n hariiroo antiseemetriiki ta`a. sababiin isaa (a,b) ∊H∧(b,a)∊H ⇒a|b∧ b|a⇒a=b waan dhugaa ta’eef. Kanaafuu H’n antisimeetirikiidha.
Hiikoo:Hariiroon H tuuta X irratti hariiroo tartiiba (order relation/partial ordering) kan jedhamu yoo:
aHa, ∀a∈X (Reefleeksiivii)
aHb bHa ⟹ a = b ,(Antisimeetikii)
aHy bHc⟹ aHc (darbaadarboo)

Hubadhu.   
Hariiroo tartiibaa ibsuuf mallattoo “≤”(hariiroo waliigitaa) gargaaramna.
Tuutnii X hariiroo tartiiba “≤” waliin  jechuun (X,≤)  tuuta gariin tartiiba (partically ordered set/poset) jedhama.
Yoo  a≤b  ta’e  a’n dursaa yookiin irra xiqqaa b ti fi b’n aansaa yookiin irraguddaa ati  ta’u.
Mallattoon a<b kan ibsu a<b  fi a≠b ta’uu fi yoo dubbisnus a’n guutummaatti b nidursa yookiin b’n guutummaati a nicaala jechuuni. 

Fkn.
Mee N ={1,2,3,…} yoo a≤b akka a|b(b^’ n hiramaa a ti) ta’uun hiikame, (N, ≤) tuuta gariin tartiiba (poset) ta’uu agarsiisi.
Furmaata:
‘ ≤ ‘ n rifileeksiiviidhaa?
∀a∈N a|a
⇒ (a,a) ∈N.
∴ ≤rifleeksiiviidha.
‘ ≤ ‘ n antisimeetirikiidhaa?
∀a,b∈N,a≤b ∧b≤a
⇒ a|b∧b|a
⇒a=b
⇒(a,b)∈N∧(b,a)∈N ⇒a=b
∴ ≤antisimeetirikiidha.
‘ ≤ ‘ n darbaadarboodhaa?
∀a,b,c∈N yoo a≤b ∧ b≤c ta’e
⇒a|b∧b|c⇔∃k,m∈N:b=ak fi c=bm
⇒c=bm=(ak)m=a(km)=an,n=km
⇒a|c
⇒(a,b)∈N∧(b,c)∈N ⟹(a,c)∈N
∴ ≤darbaadarboodha.
Walumaagalatti i. ii. fi iii. irra ‘(N, ≤)’ n tuuta gariin tartiiba (poset) ta’a.
Mee P(A) = paworii tuuta A haa jennu yoo A,B ∊ P(A) ta’an A ≤ B jechuun A ⊆ B(tuuta A cita tuuta B) jechuu yoo ta’e, (P(A), ≤) tuuta gariin tartiiba (poset) ta’uu agarsiisi.
Furmaata:
A ≤ A⟹ ∊ P(A) A ⊆ A ta’a.
⇒(A,A)∈P(A)
Kanaafuu ‘ ≤ ‘ rifleeksiiviidha.
A ≤ B B ≤ A
⟹ A⊆ B ∧ B ⊆A ⟹ A =B
⟹(A,B) ∈P(A) ∧ (B,A) ∈P(A) ⟹A=B
Kanaafuu, ‘≤’ n antiisimeetirikii ta’a.
A ≤ B ∧ B ≤ C
⟹ A⊆B ∧ B⊆C
⟹ A⊆ C
⟹(A,B) ∈P(A) (B, C) ∈P(A) ⟹(A,B) ∈P(A) ta’a.
Kanaafuu, ‘ ≤ ’n darbaa darboo ta’a.
Kanaafuu (P(A), ≤) tuuta gariin tartiibaatii (poset) ta’a.
Hiikoo:Tuutni gariin tartiibaa ‘≤’ tuuta A irratti tartiiba guutuu kan jennu yoo ta’ee ta’e a≤b yookiin b ≤ a ∀a,b∈A ta’edha.
Tuutni A tartiiba guutuu waliin tuuta tartiiba guutuu (chain) jedhama
Fkn
Tuutni lakkoofsota lakkaawwii N fi tuutni lakkoofsota waliigalaa R mallattoo hariiroo “≤” (irra xiqqaa yookiin waliqixa) waliin tuuta tartiiba guutuuti.
Sababiin x,y ∊N fi x,y ∊R, x≤y yookiin y ≤ x waan ta’eef
Kanaafuu (N, ≤ ) fi (R, ≤ ) tuuta tartiiba guutuuti(chain)dha.
Hariiroon ofkeessatti hammataa “⊆” P(A) keessatti gariin tartiiba malee tartiiba guutuu miti. Sababiin isaa mee A,B∊P(A) haa jennu A⊆B ykn B⊆A ta’uun dirqama miti
fakkeenya itti aanu ilaali. Mee A={1,2,3} haa jennu. Kannaaf
P(A)={ Ø,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},A} ta’a. Kana keessaa lama yoo fudhanne {1,2} ⊆ {2,3} yookiin {2,3} ⊆ {1,2} ta’uun hin danda’u.
Tuutni cita tartiiba guutuu tartiiba guutuu ta’a.Kana jechuun B⊆A ta’ee A’n tartiiba guutuu yoo ta’e, B’n tartiiba guutuu ni ta’a. mirkaneessi.
Mirkaana:
Mee (A,≤) tartiiba guutuu fi B ⊆ A tartiiba walfakkaatan haa jennu.
B ⊆ A, waan ta’eef
‘≤’ tuuta B irratti gariin tartiiba (poset) ni ta’a.
∀x,y ∊A, yoo ta’e x≤y yookiin y ≤x ta’uu nibeekna.(A’n chain)dha.
B ⊆ A, waan ta’eef ∀x,y∊B x≤y yookiin y ≤x ni ta’a.
kanaafuu ( B, ≤ ) hariiroo tartiiba guutuu (chain) ni ta’a.
2.3.1. Tuuta Tartiibaa Danaan Agarsiisuu(Ibsuu)
Akkuma hariiroo tuutotaa ibsuuf danaa Veenii gargaaramnu hariiroo tartiibaa ibsuuf danaa gargaaramuun nidandeenya. Mee (A, ≤ ) tuuta dhaabbataa gariin tartiibaa haa jennu. Yoo a<b ta’eefi miseensi xo tokkoollee kan a< xo <b taasisu hinjiru ta’e, sarara dhaabbataa a hanga b tti sararuun sararicharratti bakka miseensotni A argamanitti(a fi b irratti) mallattoo(tuqaa) taasisna.

                        Fakkeenyaaf  1.   A={1,2,3}     

fkn
Mee A={1,2,3,4,5,6} ta’ee R hariiroon A irratti akka
aHb ⇔a|b hiikame haa jennu. Kun ifatti kan nutti agarsiisu gariin tartiiba ta’uu isaati.

Hiikoo:Mee (A,≤) tuuta gariin tartiibaati haa jennu.
a ∊ A, miseensa duraa (xiqqicha) tuuta A kan jennu yoo ta’ee ta’e
a≤ x ∀x∊A, ta’edha. Kana jechuun a’n miseensota A duraa(xiqqicha)
b ∊ A, miseensa dhumaa (guddicha) tuuta A kan jennu yoo ta’ee ta’e x≤b ∀x∊A, kana jechuun b’n miseensota A keessaa hundaa oli.

Fkn
1.Fakkeenya armaan olitti hojjetame keessaa (1) keessatti ∅’n miseensa duraa yookiin(xiqqaa) yoo ta’u A={1,2,3} ammo tuuta dhumaa(guddaa) yoo ta’u fakkeenya (2) keessatti immoo miseensi duraa 1 yoo ta’u kan dhumaa garuu hin qabu.

2. Yoo A = {1,2} ta’e (P(A) ,≤ )= { Ø,{1}, {2}, {1,2}} ta’a. Ø miseensa duraa (xiqqicha) yoo ta’u {1, 2} immoo miseensa dhuma (guddicha) tuuta P(A) ta’a.
   Tiiramii : Miseensi duraas ta’ee miseensi dhumaa yoo jiratan tokko qofa ta’u.
   Mirkaana
   Mee ( A, ≤ ) tuuta gariin tartiibaati haa jennu.
   Mee a fi a’ miseensota duraa tuuta (A,≤) ta’u haa jennu. Kana jechuun
   a ≤ x, ∀x ∊A, fi a’ ≤ x, ∀x ∊A ta`a jechuudha.
   Akka yaada jalqabaatti a≤ a’ ta’a akka yaada lammaffaatti immoo a’ ≤ a ta’a. gama biraatiin ammo (X, ≤ ) antisimeetrikiidha. Kanaafuu a=a’ (miseensi xiqqaan tokko) qofa ta’a jechuudha. Haaluma walfakkaatuun miseensota dhumaa tokko qofa ta’uu agarsiisuun nidanda’ama.
   Gilgaala
   Mee A={a,b,c} fi B={1,2} haajennu (P(A), ⊆ ) fi (P(B), ⊆) danaan agarsiisi
   Yoo A={2,3,4,5,6,7,8,9} B= {1,2,3,4,12}, C= {2,4,5,8,15,45,60}, x≤y⇔y|x jedhuun hiikame meseensota duraa fi dhumaa akkasumas danaan agrsiisi.
   Tuuta rog-sadee irratti “walitti galoo” kan jedhu tuuta gariin tartiibaa ta’uu mirkaneessi.
   Tuuta lakkoofsota intiijerii keessatti “<” tuuta gariin tartiibaa ta’uu akka hin dandeenye mirkaneessi. Danaalee armaan gadii keessaa kamtu tuuta tartiiba guutuu(chain)ti?

2.3.2 Tuta qoqooduu (partitioning a set).

Hiikoo : Mee {Bi/i∊I } maatii tuutota tuuta (family of a set) tuuta duwwaatin ala kan ta’e fi citoota tuuta A ta’aniitii haa jennu. { Bi/i ∊I } qoqoodama tuuta A ti . (Partition of a set A) kan jennu yoo
i) A = Bi
ii)Tuutota Bi fi Bj kamifuu, Bi = Bj yookiin Bi Bj = Ø ta’a.

Fkn

1. Mee N = {1,2,3…} E = {2,4,6,8…}
   O = {1,3,5,7,…} haa jennu.
   N = E O fi E O = Ø waan ta’eef {O,E} qoqoodama tuuta N ta’a.
2. Mee A = { 1,2,3,…. 10} B1 = { 1,5}, B2 = { 2,3,6} , B3 = { 4,8,9} B4 = {7,10} haa jennu.
   A = B1 B2 B2 B4 = Bi fi Bi Bj =Ø , yoo i≠j ta’e waan ta’eef { B1, B2, B2, B4} qoqoodama tuuta A ta’a.
3. Mee X= {1,2,3,…9} fi p1={{1,3,6},{2,8}, {5,7,9}}
   p2={{1,5,7}, {2,4,8,9}, {3,5,6}}, p3={{2,4,5,8},{1,9},{3,6,7}} yoo ta’an ,qoqqodama tuuta X, kanneen armaan gadii keessaa kamtu qoqqoodama X ta’a? Kamtu hin taane? maaliif?
   i. p1 ii. p2 iii. p3
   Furmaata
   i. p1 qoqqoodama X hin ta’u. Sababni isaa 4∊X, p1 keesstti cita tuuta kamuu keessatti hin argamu waan ta’eef.
   ii. p2 qoqqoodama X hin ta’u. Sababni 5∊X, p2 keessatti cita tuutota lama keessatti argama waan ta’eef.
   iii. p3 qoqqoodama X ti. Sababni isaa tokkoon tokkoon miseensota X cita tuutota gargaraa keessatti argamu waan ta’eef.

Hiikoo: Mee H’n hariiroo waliigitaa tuuta A irrattifi a∊A haa jennu. Golli gitaa (equivalence class) a∊A tiin murta’an mallattoon a ̅ ykn [ a] yoo ta’u, a ̅= [a] = {x∊A/ xHa} = {x∊A/ (x,a) ∊H}.
Kana jechuun a ̅ tuuta miseensota A ta’an hunda fi a wajjiin hariiroo qaban kan hammateedha. Yoo R’n hariiroo waliigitaa tuuta A irratti ta’e, H’n tuuta A gara tuutota citoota A waliif alagaa ta`anitti (mutually disjoint subsets) qoqqooda.

Fkn

1. Mee Z=Tuuta intiijaroota fi H’n haala armaan gadiitiin hiikame haa jennu. xHy ⇔ x – y = 4m, m ∊ Z .
   kana jechuun H = { (x,y)/ x – y hiramaa 4 ti, ∀x,y ∊ Z }
   i) H’n hariiroo waliigitaa ta’uu agarsiisi
   ii) Goloota, a∊Z murta’an barbaadi. Furmaata
   i) ∀x ∊ Z, x – x = 0 = 4.0, waan ta’eef, (x, x)∊H ta’a.
   ⟹H’n Reefleeksivii
   ii) Mee (x, y) ∊H haa jennu.
   KAB (y, x) ∊H ta’u.
   (x, y) ∊H ⟹ x – y=4m, m∊H
   ⟹ y – x = 4 (-m), -m ∊H
   ⟹ ( y,x) ∊H ta’a. Kanaafuu H’n Seemeeteriikii dha.
   iii) Mee (x,y) ∊H (y,z) ∊H haa jennu.
   KAB (x,z) ∊ H ta’u. (x,y) ∊H
   ⟹ x – y = 4m y – z = 4m, m,n ∊ Z murasaaf.
   ⟹( x – y) + (y – z ) = 4 m + 4 n
   ⟹ x – Z = 4 (m+n), m+n ∊ Z
   ⟹ ( x,z) ∊ H
   ⟹ H’n darbaadarboo (transitivii) ta’a.
   Kanaafuu, tarkaanffi i), ii) fi iii) irra H’n hariiroo walii gitaati.
   ii) Golli gitoota, a ∊ Z murta’an barbaaduuf
   ∀x ∊ Z, seera algoonizimii hiruutti haa gargaaramnu.
   ∃q, r ∊ Z , x = 4q +r ( 0 ≤r < 4)
   ⟹ x – r = 4 q, (o r<4)
   ⟹ x ∊r ̅, r ̅= {x ∊A, xHr } = {x∊A ∊H}
   yoo r = 0,1,2,3 ta’e.
   Kanaafuu, goloonni gita 0 ̅,1 ̅,2 ̅,3 ̅ yoo ta’an,
   = {x∊Z xH o}= {x∊Z x-0 = 4k, k∊Z}
   = {……-12,-8 -4,0,4,8,12…}
   = {x∊Z x H 1} = {x∊Z x – 1 = 4k, k∊Z
   ={… ,-11,-7 ,-3,1, 5,9, 13, …}
   = {…, -10, -6, -2, 2, 6, 10, 14, …}
   = {…, -9, -5, -1, 3, 7, 11,15, ….}
   Hubadhu! i. Z =
   ii. = Ø
   Kanaafuu, hariiroo ‘H’ n, tuuta H gara citoota tuuta Z waliif alagaa ta’anitti qoqooda.
   2.4 Fankishinii fi galagaltoo fankishiinii
   Gocha
   Mee H1= {(1,2), (2,3) ,(4,6), (7,8),(5,7), (2,5) fi H2= {(1,2),(2,5),(4,6), (7,8),(5,7) yoo ta’an H1 fi H2 garaagarummaa ni qabuu? Yoo qabatan maal garagarummaan isaanii?
   H1= {(x,y) : x abbaa y ti.} fi H2= {(x,y): y abbaa x ti } yoo hariiroo ta’an waa’ee seentuu jalqabaa hariiroowwan kanaa maal jettu? Mee tokkoo tokkoo isaaniitiif miseensota isaanii hanga tokko tarreessaa.
   Hiikoo: Mee A fi B ≠ Ø haa jennu. Yoo f’n hariiroo A irra gara B ta’e, f’n fankishiniidha kan jennu yoo (x,y)∈f , (x, z) ∈f fi y=z ta’e qofa.

Fkn

1. f1={(2,5),(-3,5),(2,4),(5,6)} fakkishinii miti sababa (2,5),(2,4) ∊f1, garuu 5≠4 waan ta’eef.
2. f2={(2,4),(-3,5),(5,9)} fankishiniidha.Sababni isaa miseensonni f2 hundi isaanii seentuu jalqabaa kan gosa adda addaa qabu waan ta’eef.
3. Mee A = {1,2,3,4} B = { a,b,c,d} fi f 1={ (1,a), (1,b) , (2,c)} yoo ta’e.
   i. f1 fankishinii dha?
   ii. f1: A→B tii?
   Furmaata.
   i. ( 1,a) ∈ f1 fi (1,b)∈f1, garuu a ≠b. f1 Kanaafuu f1 fankishinii miti. Miseensonni f1 lama seentuu jalqabaa kan gosa tokkoo waliin qabu waan ta’eef.
   ii. Hojii dhuunfaa. Hiikoo:Mee A, B≠ Ø fi f’n fankishiinii haa jennu. f’n fankishiinii A irra gara B ti, mallatoon f: A→B kan jennu yoo
   f⊆ AxB, ta’e
   Mandheenf = A ta’e.

Fkn

1. Mee A={1,2,3,5,6}, B= {1,2,7} f={(1,2),(2,2),(3,1),(6,7)} haa jennu:
   Kana irraa kan hubannu f’n fankishiniidha akkasumas f⊆ A×B ti. Garuu, mandheen f = { 1,2,3,6} ≠ A .waan ta’eef f’n fankishinii A irraa gara B hin ta’u.
2. Mee A = {a, c, e, g, i), B = { 1,2,3 } f = {(a,2), (c,3), (e,1), (i,7), (g,3)} yoo ta’e, f fankishinii tuuta A irraa gara tuuta B ta’uu ni danda’aa?
   Furmaata.
   i.M(f)= { a, c, e, g, i}.
   ii. f⊈ AxB . Kanaafuu fankishinii f :A→B miti.
3. Mee A={2,3,4}, B={1} fi f={(2,1),(3,1),(4,1)} f’n fankishinii A irraa gara Bti.
4. Mee f = { x,y) ∊R ×R: y = 1/x } fankishiinii R irra gara R miti. Sababiin isaa ∄x∈R∋ (x,0)∈f.
   Hiikoo:Mee f: A→B fankishiinaa haa jennu.
   i. f’n fankishina tokkoof tokkooti kan jennu f(x) = f(y) ⟹ x = y ykn x≠y ⟹f(x)≠ f(y).
   ii. f‘n fankishiina irrattii (onto) kan jennu Reenjiin f = B ykn ∀y∈B ∃x∈A : y = f(x)
   iii. f’n fankishiina tokko-tokkoof gitaa (bijeektiivii) kan jennu , f’n yoo fan kishinii 1 – 1 fi fankishina irratti (onto) ta’e qofa.

Fkn
1 f: R ⟶ R; f(x)=x2, f(x) ‘n fankishinii tokkoof tokkoo miti. Sababiin isaa f(2) = f(-2) garuu 2≠ -2.

2. f: R ⟶ R, f(x)=x2, f(x) ‘n fankishinii irratti miti. Sababiin isaa ∃-3∈ R ∋ f(x)≠ -3
   ykn (∀y∈ R) (∄ x∈ R) ∋ f(x) = -3.
3. Mee f: R ⟶ R, f(x)= 5x-7 yoo ta’e ‘f ‘ n fankishinii tokkoof tokkootii? Fankishinii iraattiitii?
   Furmaata.
   Mee f(x) =f(y) haa jennu. ⟹ 5x-7=5y-7 ⟹ 5x=5y-7+7⟹5x=5y⟹x=y. Kanaafuu, f fankishinii 1-1 ti.
   (∀y∈ R)(∃x∈ R) ∋ f(x)= y ⟹ 5x-7=y⟹5x=y+7⟹x=(y+7)/5.
   Kanaafuu, f(x= (y+7)/5)=y waan ta’eef f fankishinii irrattiiti. f fan kishinii 1-1 fi irrattii waan ta’eef ‘f’ fankishinii tokko tokkoof gitaadha.
4. Mee Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} fi N={1,2,3,…} haa jennu f: Z⟶N
   f(x)= f’n 1-1 gitaati. Mirkaneessi. hojii garee.
   Hubadhu!
   i. Yoo A ≠ Ø ta’e, I:A→A bifa f(x) = x, ∀x∈A tiin hiikame I`n fankishina of taasisaa jedhama.
   ii. f: A →B, f(x) = k, ∀x∈A fankishinii dhaabbataa jedhama. 2.4.1 Galagaltoo fankishiinii
   Hiikoo: Mee f : A →B fankishiina haa jennu. fankishiinii hariiroo waan ta’eef galagaltoon fankishina f:A →B, mallattoon f :B →A yoo ta’u,
   f = {(y,x) (x,y) ∊f } ta`a.

Fkn.
1) Yoo f = {(2,3), (1,2), (5,7) ta’e f = {(3,2), (2,1), (7,5)} ta’a.
Hubadhu:1) Galagaltoon fankishiinii , fankishinii ta’uu dhiisuu danda’a.
Fkn
1.Yoo f = {(3,8), (6,7), (7,8)} ta’e, f = {(8,3), (7,6), (8,7)} fankishina miti. Sababni isaa miseensonni f lamatu seentuu jalqabaa kan gosa tokkoo waliin qaba.

2. Mee f(x)=3 haa fudhanu. f fankishinii dhaabbataadha. Galagaltoon f, x=3 ta’a. Kun ammoo fankishinii ta’uu hin danda’u. Meseensonni f dhuma hin qabnetu seentuu jalqaba gosa tokko(3) waliin qabu.
   Hubadhu: Yoo f’n fankishiinii 1-1 ta’e, f fankishinii ni ta’a.
   Fkn.
   Yoo f:ℜ → ℜ ta’e f(x) = 2x+5 ta’e f : ℜ→ ℜ, f^(-1) (x)= (x-5)/2 . f^(-1) fankishinii ta’uu agarsiisi.
   Furmaata.
   Mee f(x_1)=f(x_2) haa jennu. ⟹ 2x_1+5=2x_2+5 ⟹2x_1=2x_2+5-5=2x_2.
   ⟹ x_1=x_2. ⟹f(x) fankishinii 1-1 tokkoodha. Kanaafuu, f(x) 1-1 waan ta’eef galagaltoon isaas fankishiniidha.
   Gilgaala.
   Galagaltoo kanneen armaan gadii kenni
   i. f={(x,y):y=-4x+9}.f^(-1)fankishinii ni ta’aa?
   ii. R={(x,y):y<12x+32}.R^(-1) fankishinii ni ta^’ aa?
   iii. f={(x,y):y=x^2 }.f^(-1)fankishinii ni ta’aa?
   iv. f(x)=x/(x+2),x≠-2
   v. f(x)=3^x;x∈R}.
   2.5 Gosootaa fi hamma tuutota (Classification of sets and Cardinelity)
   Tuuta walii gitaa
   Hiikoo: Mee X fi Y’n tuutota haa jennu. Tuutni X fi Y kan walgitoodha (X~Y) kan jennu yoo fankishinii f: X → Y fankishina tokko tokkoof gitaa ta’eedha. Fkn.
3. Mee N = Tuuta lakkoofsa lakkaawwii M = Tuuta lakkoofsa lakkaawwii mangoo
   f: N→M :f(n)= 2n-1 yoo ta’e f fankishinii tokko tokkoof gitaa ta’uu agarsiisi.
   Furmaata.
   Mee f(x)= f(y) haa jennu.
   ⟹ 2x-1=2y-1
   ⟹2x= 2y
   ⟹x=y.
   Kanaafuu f fankishinii 1-1 dha. ( ) (∀y∈M)(∃x∈N): f(x)= y 2x-1=y ⟹ x= (y+1)/2 ⟹f(x= (y+1)/2)= 2((y+1)/2)-1=y+1-1=y. Kanaafuu f fankishinii irrattiiti. () () fi () irraa f fankishinii tokko tokkoof gitaadha waan ta’eef N~M.
4. Z=Tuuta lakkoofsa Intiijarii fi G=tuuta lakkoofsa hundaa guutuu yoo ta’an , Z~G ta’uu agarsiisi.
   Furmaata. Mee f: Z→G; f(n)= {█(2n yoo n>0 ta^’ e@0 yoo n=0 ta^’ e@-2n yoo n<0 ta^’ e)┤
   f fankishinii tokko tokkoof gitaa ta’uu agarsiisun Z~G ta’uu agarsiisun ni danda’ama. (shaakala)
5. Mee A = {a,b,c,d,e} haa jennu. N = {1,2,3,4,5,} fi B = { ,*, ,V, } tuutota tuuta A wajjiin waligitoodha.
   = = 5
   Hubachiisa: A fi B tuutota lama kamiiyyu yoo ta’anii fi yoo ta’e A fi B tuutota walgitoo ta’u.
   2.5.1. Tuuta murta’a fi tuuta Itti fufaa (Finite and infinite sets)
   Mee N = tuuta lakkoofsa lakkaawwii haa jennu. Akkasumas mee N_n= { x∈N: 1≤x≤n} haa jennu.

Hiikoo: Tuutni A kamiyyuu tuuta murta’aadha kan jennu yoo miseensonni tuutota A fi N_n tokko tokkoof gitaa ta’ee dha .
Tuutni tuuta murta’aa hin taane tuuta itti fufoo jedhama.

Fkn.
A=Tuuta qubeewwan Afaan Oromoo fi N_34= {1,2,3,…34} yoo fudhane, tuutni qubeewwan Afaan Oromoo tuuta murta’aadha.
Tiiramii :Tuutnii A tuuta itti fufaadha kan jennu yoo tuutni A cita sirrii isaa wajjiin kan waligitaa ta’eedha.
Mirkana
Mee B cita sirrii tuuta A ti haa jennu. Akkasumas tuutni A fi tuutni B tuutota walgitoo haa jennu. Mee ‘A’n tuuta itti fufaa miti haa jennu. B cita sirrii tuuta A waan ta’eef, tuutni B tuuta itti fufaa miti. |A|≠|B|. Kanaafuu A fi B walgitoo miti. ⟶⟵
Kanaafuu tuutni A tuuta itti fufaadha.
Fkn

1. Z fi N tuutota itti fufoodha sababni tuutnii Z fi N tuuta waligitoo waan ta’aniif.
2. Tuutni murta’an kamiyyuu cita sirrii mataa isaa wajjin wali hin gitu.
   2.5.2. Tuuta lakkawamaa fi tuuta hin lakkawamine (countable and un countable set)
   Hiikoo: Tuutnii tuuta lakkawwii wajjiin waliigitaa ta’e kamiyyuu tuuta tarreeffamaa (dunmer able) jedhama.
   Yoo A’n tuuta tarreeffamaa ta’e, =
   Fkn
   N fi Z tuuta tarreeffamaadha (dunmer able ).

Hiikoo:Tuutnii tokko tuuta lakkawamaadha kan jennu yoo tuuta murta’a yookiin tarreeffamaa ta’e qofa.

Hubadhu.
a) Tuutnii murta’an kamiyyuu, tuuta Ø dabalatee tuuta lakkawamaadha.
b) cita tuuta N kamiyyuu lakkawama.
c) Makoon tuutota lakkawamoo lakkawamoodha.Yoo A1 , A2, A3,… An,… tuutota lakkawamo ta’an, tuuta lakkawamaa ta`a.
d) Lakkofsi raashinaalii lakkawamadha.
Mirkana (d)
Mee dura lakkoofsa raashinaalii pozotiivii haa fudhannu. Lakkoofsi pozotiivii raashinaalii bifa p/q , ∀p,q∈Z^+ tiin ibsama. Mee dura lakkoofsa hundaa haa fudhannu. Kunis firaakshinii waamsisaan isaa 1 ta’e itti aansun kan waamsisaan isaa 2 ta’e, itti aansun kan waamsisaan isaa 3 ta’eefi haaluma kanaan akka armaan gadiitti yoo barreesinu.

1/1
2/1 3/1 4/1 5/1 ……
1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 …

1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 …

1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 ….

1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 …
… … … … …
Lakkoofsota kana kalaatti xiyya armaan olii kana hordofuun kan irra deddeebi’u dhiisun yoo walduraa duuba isaa eegne barreesine tokkoo tokkoon lakkoofsa raashinaalii posotiivin al tokko qofa kan argamuudha. Kanaafuu lakkoofsonni raashinaalii hundi isaanii akka armaan gadiitti barreefamu.
1,2,1/2, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4… ta’a. Yoo lakkoofsota kana akkaataa tartiibaa isaanitiin r_1, r_2, r_3, … bakka buufne, lakkoofsonni raashinaalii hundi haala 0,-r_1, r_1,-r_2,r_2 ,-r_3,〖 r〗_3… tin tartiibefamu.
1
2 3 4 5 6 7 …
0 -r_1 r_1 -r_2 r_2 -r_3 r_3 …
Akka fakkii armaan oliitti hariiroon lakkoofsota lakkaawwii fi lakkoofsota raashinalii gidduu jiru hariiroo tokko tokkoof gitaadha. Kana jechuun N ~Q ta’a jechuudha. Kanaafuu tuutni lakkoofsa raashinaalii lakkaawwamaadha.
Gilgaala
Mee p(A) = Paaworii tuuta A ti haa jennu.
∀x,y∊ p(A), x≤y⇔ x⊆y yoo ta`e.
(p(A), ≤) tuuta tartiibaa (poset) ta’uu mirkanneessi.
Yoo /A/ >/, ta’e (p(A), ≤) tuuta tartiiba guutuu (totally ordered set) ta’aa?
Yoo (A,≤) Cheeyinii B⊆A, (B,≤ )ta’uu mirkanneessi.
Mee X = {a,b,c} fi A≤B⇔ A⊆B, ∀A,B∊ p(X)
(p(X) , ≤ ) tuuta tartiibaa ta’uu mirkanneessi.
Danaa ‘Hasse’ gargaaramuun hariiroo miseensota (p(X),⊆) agarsiisi.
Miseensa xiqqicha fi miseensa guddicha (p(X),⊆) yoo jiraatan ibsi.
d) Miseensa guddaa (maximal element )fi miseensa xiqqa (minimal element) yoo jiraatan tarreessi.
e) Miseensi xiqqaa fi miseensii xiqqichii, akkasuma miseensii guddaa fi miseensi guddichii (p(x,),⊆)tokko ta’uu fi ta’u dhabuu addeessi.

3. fankishinoota armaan gadii fankishinii 1-1, irrattii, tokkoo fi tokkoo irrattii ta’uu agarsisi.
   i. f: R→R,f(x)=3x-2 11. h: R→[0,∞),h(x)=2^x
   iii. f: R→R,f(x)= 3^x
   BOQONNAA SADI.
   CAASAA ALJEBIRIKAAWA(Aljebraic structure) Kaayyoolee:Xumura mata duree kanaati kadhimamtoonni: Qoyyabni kenname qoyyab-lamee ta’uu ta’uu dhiisuu ni addaan ni baafatu.
   Caasaa aljebirikaawa maal akka ta’e ni hubatu..
   Hiikoo garee fi cita garee ni hubatu.
   Amaloota garee addaan ni baafatu.
   Caasaa algebirikaawaa morfiiziiimii uuman ni murteessu.
   Hiikoo fi amaloota riingii ni hubatu.
   Caasota aljebrikaawaa riingii uuman ni hubatu.
   Garaagarumaa,Riingii,Fildii fi mandhee inteegiraalii addaan ni baafatu.
   3.1 Qoyyab-lame(binary operation)
   Gocha
   Yoo ∀x,y ∈R,x∆y=3x+3y tae ∆’n qoyyab-lameedhaa? ∆’n miseensa oftaasisaa yoo qabaate barbaadi. Yoo hin qabne ta’e immo sababeessi. Miseensoonni R hundii galagaltoo niqabuu? ∀x,y ∈R x*y= 2x+y yoo ta'e, i. '*^' n qoyyab-lameedhaa? ii. '*' miseensa of taasisaa ni qabaa? iii. Galagaltoo hoo qabaa? Mee ∀x,y ∈R x*y=|x|y haa jennu *'n qayyab-lamee R tii? Miseensi oftaasisaa tuuta R qoyyaba *ni jiraa? Maaliif? Miseensotni R hundi galagaltoo ni qabuu? Maaliif? '*’ n R irratti amala jijjiirraa iddoo fi cuftuu ni qabaa? Haaluma walfakkaatuun kannen armaan gadii hojjadhu. ∀x,y ∈R-{1}, x*y=x-y-xy. Hiikoo: Mee A ≠ ϕ haa jennu. Tuuta A irratti ' ' qoyyab-lameedha kan jennu yoo : A x A A fankishiinii ta’e yookiin i. ii. =t tae.
   Yoo N = tuuta lakkoofsa lakkaawwii ta’e ‘+’ fi ‘ • ‘ N irratti qoyyab-lamee ni ta`u.
   Yoo S = ta’e :
   ‘+’ tuuta S irratti qoyyab-lameedhaa? Maaliif? Ibsi.
   ‘ • ‘ tuuta S irratti qoyyab-lameedhaa? Maaliif? Ibsi
   • -1 0 1
   -1 1 0 -1
   0 0 0 0
   1 -1 0 1

• -1 0 1
  -1 -2 -1 0
  0 -1 0 1
  1 0 1 2 Tuuta R irratti,’ +’,’ -‘, fi ‘x’ n qoyyab-lamee ni ta’uu? 3.2. Caasaa aljebirikaawa(Algebraic Structure)
  Hiikoo: Yoo 𝝓 ta’e, tuutni A qoyyab-lamee tokko yookiin lama wajjin jiru caasaa Aljebirikaawa (Algebic Structure) jedhama. Kana jechuun yoo ‘*’fi qoyyab-lamee tuuta A irratti ta’an: (A, *) Caasaa aljebirikaawa qoyya lamee tokkoo ta’a.
  (A, *, Caasaa aljebirikaawa qoyyab-lamee lamaa ta’a.
  Fkn
  ( N, •) Caasaa aljebirikaawati
  ( N,+) Caasaa aljebirikaawati.
  (R ,+, •) Caasaama aljebrawati.
  ( N,+,.) Caasaa aljebirikaawati
  ( Z,+,.) Caasaa aljebirikaawati
  Hiikoo:Mee Zn={0,1,2,3,…,n-1}n∈N haa jennu.
  Z3={0,1,2}
  Z5={0,1,2,3,4}
  Z2={0,1}
  Z1={0}
  Intiijerii irratti akka ⊕_n a,b∈Zn a⊕_nb=r, ta’ee r n haftee a+b n’f hirru fi ⊗_n Z irratti a⊗_nb=r’ yoo r’ n haftee ab n’f hirree argamu
  Fkn Z4 ⊕_4 〖 fi ⊗〗_4 irratti
  ⊕_4 0 1 2 3
  0 0 1 2 3
  1 1 2 3 0
  2 2 3 0 1
  3 3 0 1 2
  ⊗_4 0 1 2 3
  0 0 0 0 0
  1 0 1 2 3
  2 0 2 0 2
  3 0 3 2 1 (Zn, ⊕_n,⊗_n) ibsama aljebirakawaadha.

Hiikoo: Mee Caasaa aljebirikaawati haa jennu.
* ‘n amala jijjiirraa iddoo ni qaba kan jennu yoo x * y = y*x, ta’e qofa
*’n amala jijjiirraa cuftuu ni qaba kan jennu yoo x(yz)=(xy)z 〖 ta〗^’ e qofa,
Fkn
N keessatti + fi • amala jijjiirraa iddoo fi cuftuu ni qabu.
R keessatti + fi • amala jijjiirraa iddoo fi cuftuu ni qabu.
Fkn
Mee (R,) bifa xy≤x+y (intiijerii guddicha) mallattoo x•y=[x+y] haa jennu
*’n amala jijjiirraa iddoo qabaa?
*’n amala jijjiirraa cuftuu qabaa?
Furmaata
∀x,y ∈R x*y = [ x+y ]= [ y+x]= y * x
amala jijjiirraa iddoo ni qaba.
’n amala jijjiirraa cuftuu hin qabu. Fkn Mee x = 4.5,y = 0.2 fi z = 3.9 haa jennu. x(yz)=4.5(0.23.9)=4.5(4)=8,(xy)z=(4.50.2)3.9=(4)3.9=7 ∴x(yz)≠(xy)z(’n amala jijjiirraa cuftuu hinqabu)
Fkn
x,y tuuta intiijerii(Z) irratti akka x∆y=1/2 x+y yoo hiikame
i. ∆’n amala jijjiirraa iddoo qabaa?
ii. ∆’namala jijjiirraa cuftuu qabaa?(shaakala).

Hiikoo:Mee (S, ∆,∇ )ibsama aljerikawaa haa jennu
∆’n mirgaan ∇ irratti niraabsama kan jennu yoo ∀a,b,c∈S (a∆b)∇c=(a∇c)∆(b∇c) ta’e qofa
∆’n bitaan ∇ irratti niraabsama kan jennu yoo ∀a,b,c∈S a∇(b∆c)=(a∇b)∆(a∇c) ta’e qofa
∆’n ∇ irratti niraabsama kan jennu yoo karaa mirgaas ta’ee karaa bitaa irra raabsamee walqixa ta’e qofa.
Fkn
(N,+,.) keessatti ‘.’n bitaanis ta’ee mirgaan ‘+’ irratti ni raabsama.
Mee E≠∅ fi (P(E),∪,∩) ibsama aljebiraa haa jennu: ∪’n bitaanis ta’ee mirgaan ∩ irratti ni raabsama.
i. A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
ii. (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

Hiikoo: Mee caasaa aljebrawaati haa jennu.
e miseensa oftaasisaa tuuta S qoyyaba irratti kan jennu yoo
∀x∈S,x∆e=x=e∆x ta’e
x∈S galagaltoo ni qaba (invertable) kan jennu yoo jiraate fi
∃y∈S∋x∆y=e=y∆x ta’e .

Fkn
Miseensi oftaasisaa 1 ta’a. Sababni 1.x = x = x.1 waan ta’eef.
Miseensi oftaasisa (R,+) ,(Z,+) ta’a. Sababni ∀x∈Z∧ waan ta’eef.
miseensa oftaasisaa hin qabu. Sababnii 0 N waan ta’eef
Mee Caasaa aljebirikaawa (R,+) haafudhannu.
0’n Miseensa oftaasisaa (R,+), ∀x∈R ∃y=-x∈R∋x+y=0=y+x Waan ta’eef, miseensonii R hundinnuu masaanuu (galgaltoo) ni qabu.

⊕_4 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
⊗_4 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1

(Z4〖,⊕〗_4) caasaa aljebirikawaati. Miseensi oftaasisaa isaa 0 ta’a. galagaltoo miseensotaa murteessi.
(Z4, ⊗_4) caasaa aljebirikawaati. Miseensi oftaasisaa isaa 1 ta’a. galagaltoo miseensotaa murteessi.
e) Mee Z tuuta intiijerii ta’ee x∆y=max⁡(x,y) ∀x,y∈Z ∆’n miseensa oftaasisaa hinqabu. Sababiin isaa (e,x)=x taasisu( miseensi tuuta intiijerii hundaa gadi ta^’ e) hinjiru waan ta’eef.
Hubachiisa: Caasaan aljebirikawaa miseensa oftaasisaa hinqabne jiraachuu nidanda’a.
∆ 1 2
1 1 2
2 1 1
Fkn E={1,2} akka gabatee armaan gadiitti yoo keenname miseensi oftaasisaa E murteessi (gilgaala)

Tiiramii : Mee caasaa aljebirikawaati haa jennu
i. Miseensi oftaasisa tuuta S irratti yoo jiraate tokko qofa ta’a.
ii. Yoo amala jijjiirraa cuftuu qabaate fi miseensa oftaasisaa tuuta S ta’e galagaltoon yoo jiraate tokko qofa ta’a.
Mirkaana
i. Mee e fi e1 n miseensota oftaasisaa ti haajennu . KAB e = e’ ta’uu. e^' ∆e=e∆e^'=e …… * miseensa offitaasisaa waan taeef
e^’ ∆e=e∆e^’=e’ ……** e’n miseensa offitaasisaa waan ta`eef

• fi ** irraa kan hubannu e = ta’u.
  ii. Yoo amala jijjiirraa cuftuu qabaatee fi miseensa oftaasisaa tuuta S ta’ee fi mee y fi z galagaltoo x qoyyaba haajennu
  KAB y = z ta’uu.
  z = = z … x’n galagaltoo y waan ta’eef.
  = amala jijjiirraa cuftuu waan qabuuf
  = … z’n galgaltoo x waan ta’eef
  = y ⇒z=y
  Hubadhu: yoo ta’e fi amala jijjiirraa cuftuu qabaate, galgaltoon ta’ee barreeffama.
  Tiiramii: Mee (S, ∆) caasaa aljebirikaawati haa jennu. Yoo ∆’n amala jijjiirraa cuftuu qabaate fi e’ n miseensa oftaasisaa (S, ∆) ta’e.
  Yoo x^* galagaltoo x ta’e 〖(x^)〗^=x
  Yoo x^* fi y^* duraa duubaan galagaltoo x fi y ta’an galagaltoon x∆y ,〖 y〗^* ∆x^* ta^’ a. Kana jechuun 〖〖(x∆y)^=y〗^ ∆x〗^* ta’a.
  Mirkaana
  Yoo x^* galagaltoo x ta’e, x^galagaltoo yoo qabaate (〖x^)〗^* ta’ee barreffama.
  ⇒x^* ∆x=e=x〖∆x〗^* akkasumas 〖(x^)〗^ ∆x^=e= x^ ∆〖(x^)〗^ akka tiyooramii 3.1 tti galagaltoon yoo jiraate tokko qofa ta’a jedhu irraa 〖(x^)〗^=x ta’u.
  ∆^’ n amala cuftuu waan qabuuf
  (y^* ∆x^)∆(x∆y)=y^ ∆(x^* ∆x)y
  =y^* ∆e∆y
  =y^* ∆y
  =e
  〖(x∆y)∆(y〗^* ∆x^)=x∆(〖y∆y〗^ )∆x^*
  =x∆x^*
  =e
  Kana irraa kan hubatamu galagaltoon 〖(x∆y), (y〗^* ∆x^) ta’uu isaati (x∆y) galagaltoo yoo qabaate tokko qofa innis 〖(x ∆y)〗^ ta’ee barreeffama. kanaafuu〖〖〖 (x∆y)〗^=y〗^ ∆x〗^* ta’a.
  3.3 Moorifiziimii
  Hiikoo: Mee fi caasaa aljebirikaawati haa jennu.
  Yoo f: fankishina tuuta E irra gara tuuta F ta’e fi yoo,
  = ta’e f’n hoomomoorifizimii tuuta E irra gara F ti jenna.
  Hiikoo: Mee f’n hoomomorfizimii haa jennu.
  f’n epimorfizimii (surjective) kan jennu yoo f’n ‘fankishina irratii(onto) ta’e.
  f’n monomorphismii(injective) kan jennu yoo f’n fankishina tokko tokkoof (one-to-one) ta’e.
  f’n aaysoomofizimii(bijective) kan jennu yoo f’n fankishjiina tokko tokkoon gitaa (one-to- one correspondence) ta’e.
  Fkn.
  Mee R^+=tuuta lakkoofsota waliigalaa poosativii haa jennu. Yoo
  f:(R,+)→(R^+,.) f(x)=a^x,a>0 a≠1 ta’e f’n homomorfizimii ni ta’aa?
  Frmaata
  f’n hoomomorfizimii ta’u agarsiisuuf.
  ∀ x,y∈R,f(x+y)=a^(x+y)=a^x a^(y )=f(x)f(y)
  Kanaafuu f’n hoomomoorfizimii ni ta’a.
  f’n monomorfizimii fi epimorfizimii nita’aa? shaakala
  f:(R^+,.)→(R,+), f(x)=〖log〗^x f’n homomorfizimii ni ta’aa?
  Furmaata
  ∀ x,y∈R^+, f(xy)=logxy=logx+logy=f(x)+f(y)
  Kanaaf f’n hoomorifizimii ni ta`a.
  f’n monomorfizimii fi epimorfizimii ni ta’aa? shaakala
  Aysomoorfizimii
  Mee (E,∆) fi (F,∇)caasaa aljebirikawaa fi f:(E,∆)→(F,∇) aysomoorfizimii haa jennu
  ∆’n amala cuftuu yoo qabaate ∇’n n iqabaata.
  ∆’n amala jijjiirraa iddoo yoo qabaate ∇’n ni qabaata.
  Yoo e’n miseensa oftaasisaa (E,∆) ta’e f(e)’n miseensa oftaasisaa (F,∇) ta’a.
  x’n E, keessatti galagaltoo x* yoo qabaate fakkaatiin(image) isaa f(x) F keessatti galagaltoo niqabaata.f(x)=(f(x)) ta’a
  Mirkaana

1. Mee x^’,y^’ fi z^’∈F ta’an f(x)=x^’,f(y)=y^’ fi f(z)=z^’ haa jennu
   KAB x^’ ∇(y^’ ∇z^’ )=(x^’ ∇y^’)∇z’ ta’uu
   x^’ ∇(y^’ ∇z^’ )=f(x)∇[f(y)∇f(z)]
   =f(x)∇f(y∆z) f’n homomorfizimii waan ta’eef
   =f(x∆(y∆z)) f’n homomorfizimii waan ta’eef
   =f((x∆y)∆z) maaliif?
   =f(x∆y)∇f(z) maaliif?
   =[f(x)∇f(y)]∇f(z) maaliif?
   =(x’∇y’)∇z’
   kanaafuu, ∆^’ n amala cuftuu yoo qabaate ∇^’ nis amala cuftuu ni qabaata.
2. KAB: x^’ ∇〖y 〗^’=y’∇x’ ta’uu
   x^’ ∇y^’ =f(x)∇f(y)
   =f(x∆y) f’n homomorfizimii waan ta’eef
   =f(y∆x) maaliif?
   = f(y)∇f(x) maaliif?
   =y’∇x’
   Kanaafuu ‘∆’ n amala jijjiirra iddoo ni qabaata.
3. KAB x^’ ∇f(e)=x’ ta’uu
   〖 x〗^’ ∇f(e)=f(x)∇f(e)
   =f(x∆e)) maaliif?
   =f(x) maaliif?
   =f(e∆x) maaliif?
   =f(e)∇f(x) maaliif?
   =f(e)∇x’ maaliif?
   Kanaafuu, e^’ n miseensa oftaasisaa (E,∆)yoo ta^’ u f(e)’nmiseensa oftaasisaa(F,∇) ta’a.
   4.x∆x^=e=x^ ∆x maaliif?
   f(x∆x^* )=f(e)=f(x^* ∆x) maaliif?
   f(e)=f(x∆x^* )
   =f(x)∇f(x^) maaliif? =f(x∆x^ ) maaliif?
   =f(x^* ∆x) maaliif?
   =f(e) maaliif?
   Kanaafuu, f(x^) galagaltoo f(x) yoo ta’u gama biraatin ammoo galagaltoon f(x), 〖f(x)〗^ ta’ee barreefama. f(x^* )=〖f(x)〗^. ∴f(x^ )∇f(x)=f(e)=f(x)∇f(x^). Fkn f: (R,.)→(R,+), R* =R∖{0} f’n ayisoomorfizimii miti.
   f’n ayisoomorfizimii yoo ta’e f(1)=0 ta’uu qaba sababiin isaa 1 miseensa oftaasisaa ‘•’ yoo ta’u ‘0’n ammoo miseensa ‘+’ waaan ta’aniif.
   0=f(-1.-1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)
   ⇒f(-1)=0 kunis f(1)=0=f(-1) ta^’ a. f^’ n monomorfizimii akka hintaane agrsiisa
   Kanaafuu,f: (R,.)→(R,+) ayisomorfizimii ta’uu hindanda’u Fkn Mee f: (Z,+) →(E,+) akka f(x)=2x E’n tuuta lakkoofsota intiijerii haajennu f’n ayisomorfizimii ni ta’aa? KAB: i. f’n homomorfizimii ta’uu ii. f’n epimorfizimii ta’uu iii. f’n monomorfizimii ta’uudha. Mee x,y∈Z f(x+y)=2(x+y)=2x+2y=f(x)+f(y) F’n homomorfizimii nita’a. Mee y∈ E fi f(x)=y 2x=y x=y/2∈Z kana jechuun f(y/2)=y f’n epimorfizimiidha. Mee ,y∈Z f(x)=f(y) ⇒ 2x=2y ⇒x=y f’n monomorfizimiidha Kanaafuu , f’n ayisomorfizimiidha. Gilgaala f: (Q,+) →(Q, .) ayisomorfizimii ta’uu akka hindandeenye mirkaneessi(gilgaala)
   kanneen armaan gadii ayisomorfizimii kan ta’an addaan baasi.
   f: R→R,f(x)=3x+5
   g:[0,∞)→R,g(x)=3-√x
   f: R→R,f(x)=x^3
   h: R→R,h(x)=|x-2|
   3.4 Gareewwan (groups)
   3.4.1 Hiikoo fi fakkeenya garee
   Hiikoo: Mee G≠∅,(G,)caasaa aljebirikawaa haajennu (G,)’n garee dha kan jennu yoo agzeemota armaan gadii dhugaa ta’e qofa.
   ∀x,y∈G⇒xy∈G (al-alagoomsuu) (xy)z=x(yz)∀x,y,z∈G (amala cuftuu) (∃e∈G)(∀x∈G)∋xe=x=e=x (jiraachuu miseensa oftaasisaa)
   ∀x∈G∃x^∋xx^=e x^x (galagaltoo qabaachuu miseensotaa) Fkn (N,+) garee miti. Sababiin isaa meseensa oftaasisaa ‘+’ hin qabu. (Z , +) Garee ni ta`a. ∀x,y∈Z, x+y ∈Z (‘+’n Z hin alagoomsu) ∀ x,y,z∈Z, x+(y+z)=(x+y)+z (‘+’ amala jijjiirraa iddoo qaba) (∃0∈Z)(∀x∈Z)∋,x+0=x=0+x (0’n miseensa oftaasisaa ‘+’ ti) (∀x∈G)(∃-x∈Z), x+(-x)=0=-x+x (galagaltoo/masaanuu) (Z4, ⊕_4) garee ni ta’a. (Z, .) garee miti. maaliif? (Zn, ⊕_n) garee dha. (Z3, ⨂_3) garee miti. maaliif? Hubadhu: Yoo ∀ x,y ∈G, xy=y*x , ta’e Gareen, (G, *) Garee jijjiirraa iddoo ‘abelian’ ( garee abeliyaan) jedhama.
   Fkn
   (Z , +) garee abeliyaaniiti ∀x,y∈Z,x+y=y+x waan ta’eef.
   (Z4, ⊕_4) garee abeliyaaniiti. Maaliif? Ibsi.
   Yoo a,b∈R fi (R, ) irratti akka ab=ab/2 hiikoo qabaate (R, *) garee abeliyaanii ta’uu agarsiisi.
   S={1,i ,-1,-i} i=√(-1), (S, .) garee abeliyaanii ta’uu agarsiisi.
   3.4.2 Amaloota salphoo Garee
   Tiiramii: a,b,fi x miseensota garee G keessaa yoo fudhanne fi a≠0 yoo ta’e.
   i. ax=ay⇒x=y seera bitaan balleessuu.
   ii. xa=ya⇒x=y seera mirgaan balleessuu.
   Mirkaana
   i. ax=ay
   Mee a-1 galagaltoo a G keessatti yoo ta’e
   ax=ay
   ⇒a^(-1) (ax)=a^(-1) (ay) gam-lameen a^(-1)baa’isuun
   ⇒(a^(-1) a)x=(a^(-1) a) maaliif?
   ⇒ex=ey maaliif?
   ⇒x=y maaliif?
   ii. xa=ya
   Mee a-1 galagaltoo a G keessatti yoo ta’e
   xa=ya
   ⇒(xa) a^(-1)=(ya)a^(-1) gam-lameen a^(-1)baa’isuun
   ⇒x(〖aa〗^(-1) )=y(〖aa〗^(-1)) maaliif?
   ⇒xe=ye maaliif?
   ⇒x=y maaliif?
   Garee G keessatti〖 b^(-1) fi a〗^(-1) galagaltoo b fi a duraaduubaan yoo ta’e ∀a,b,∈G 〖(ab)〗^(-1) 〖= b^(-1) a〗^(-1) ta’a.
   Mirkana
   Mee a,b∈G fi 〖galagaltoon isaanii a〗^(-1) b^(-1 ) ta’a haajennu
   Amma (ab)( b^(-1 ) a^(-1 ) )=a(b b^(-1 ) ) a^(-1)
   =ae a^(-1 )=e fi
   (b^(-1 ) a^(-1 ) )(ab)= b^(-1 ) ( a^(-1 ) a)b
   = b^(-1 ) eb=e
   (ab)( b^(-1 ) a^(-1 ) )=e (b^(-1 ) a^(-1 ) )(ab)
   (b^(-1 ) a^(-1 ) ) galagaltoo (ab) ta’uu agarsiisa.
   Kanaafuu 〖(ab)〗^(-1)=b^(-1 ) a^(-1 )ta’a
   Gilgaala
   Kanneen armaan gadii mirkaneessi
4. Yoo G’n garee ta’ee fi e’n miseensa oftaasisaa G ta’e , ‘ e’n tokko qofa.
   2. Garee G kan miseensa oftaasisaa e qabu x^2=e ∀x∈G ta’eef G’n abeliyaanii ta’uu isaa mirkaneessi
   3. ∀x,y∈G (xy)^2=a^2 b^2 yoo ta’e G’n garee abeliyaanii ta’uu agarsiisi.
   4. Yoo G’n abeliyaanii ta’e 〖b^(-1) a〗^(-1) ba=e ta’uu mirkaneessi.
   3.4.3 Cita Garee (Sub groups)
   Hiikoo: Mee garee haa jennu ⊆ ta’e cita garee G (subgroup of G) kan jennu yoo garee ta’e. Mallattoon H<G tae barreeffama Gocha 1) Citoota garee garee beekamoo taan keessa sadi barreessi.
   2) Garaagarummaa cittoota garee sirrii fi citoota garee salphoo addeessi
   Tiiramii :Mee (G, ) garee fi H≠ ∅ H C G haa jennu. H < G x,y ∈H⟹xy∈H

Mirkana:
Mee H < G haa jennu hiikoo gareetiin
akkasumas .
Kanaafuu, H < G i) x,y
ii)
Mirkaana
Mee i) fi ii) dhugaa haa jennu. KAB H < G ta’uu
i. H ⊆ G waan taeef G’n garee waan taee ta’eef
tuuta H keessatti amala jijjiirraa cuftuu qaba.
ii. (ii) irraa . Akkasumas waan ta’eef ( i) fi (ii) irraa. Kanaafuu, H < G
Koroolarii: Mee garee fi H < G Haa jennu. H < G Mirkana (gilgaala)
Hiikoo:Tuutni kamiyyuu cita mataa ofii fi tuutni duwwaa cita tuuta fedheeti akkuma jedhamu . G’n garee kamiyyuu yoo ta’e G’n cita garee mataa ofiiti. Akkasumas tuutni miseensa oftaasisaa G qofa qabates cita garee garee Gti. Kanaaf gareen kamiyyuu cita garee lama niqabaata. Gareewwan kunniin cita garee salphoo yookiin sirrii hinta’iin(Trivial or improper subgroup) jedhamu. Gareen isaan lameen armaan oliitiin walqixa hinta’iin cita garee G ta’an ammoo cita garee sirrii jedhamu.
Fkn
Garee (Z6, ⊕_6) H1={0,3} fi h2={0,2,4} cita garee sirrii Gti.
3.5 Riingii
3.5.1 Hiikoo fi fakkeenyota Riingii
Hiikoo:Mee R’ tuuta duwwaa hinta’iin (R,, ) Caasaa aljebirikaawat haa jennu, (R,, ) Riingii kan jennu. yoo
(R,*) garee ‘ abeian’ ta’e
R qoyyaba qoyyaba lammaffaa( )`n hinalagoomuu ta’e.
( ) = qayyabni lammaffaa amala jijjiirraa cuftuu qabaate

   qayyabni lammaffaa isa tokkoffaarratti mirgaani ta’ee bitaan raabsama ta’e qofa.

Fkn
( Z ,+,•) riingii tauu agarsiisi. Furmaata (Z,+) garee abeliyaanii ta’uu ilaallee jirra Baay’isuun tuuta Z hinalagoomsu.(∀x,y∈Z,xy∈Z) Z keessatti •’n + irratti niraabsama(∀x,y∈Z x(y+z)=xy+xz) akkasumas (x+y)z=xz+yz nia’a. Kanaaf ( Z ,+,•) riingii dha. (Q,+,•) riingii ta’uu agrsiisi. Hubchiisa Yaad-hiddama Riingii keessatti yookiin ‘×’ bakka buusuun barreessuun ni danda’ama. Haala kanaan, miseensa oftaasisaa ‘*’, 0n yoo moggaaffamu kan immoo 1n moggaaffama. 3.5.2 Gosoota Riingii Hiikoo: 1.Mee Rn riingii haajennu. yoo a•b = b•a tae Rn riingii amala jijjiraa iddoo(riingii abeliyaanii)jedhama.

2. Yoo ∃1∈R∀a∈R∋a•1 = 1•a = a tae Rn riingii yuunitii jedhama 3. yoo a•b =0 ta`e riingii hirmaataa zeeroo jedhama.
3. R’n riingii ta’ee riingii hiruu kan jennu kanneen armaan gadii yoo guutedha.
   i. R’n yoo xiqqaate miseensa lama yoo qabaate.
   ii. R’n yunitii yoo ta’e.
   iii. Miseensotni R zeeroo hinta’iin hundi galagaltoo baay’isuu yoo qabaate. (∀x)(∃x^(-1))∋( x^(-1) x=1=xx^(-1))
4. Riingiin hirmaata zeerootiin alaa.(∀a,b∈R,a≠0,b≠0,ab≠0) mandhee inteegeraalii (integiral domain) kan jennu yoo kanneen armaan gadii guute dha.
   R amala jijjiirraa iddoo
   R’n riingii yunitii ta’uu
   Hirmaattota 0 alaa
5. (Z3〖,⊕〗_(3,) ⊗_3) mandhee integiraaliiti.
6. (Z6〖,⊕〗(6,) ⊗_6) mandhee integiraalii miti. Sababni isaa 〖2⊗〗_6 3=0 waan ta’eef. Fkn. ( Z ,+,•) riingii yuunitii amala jijjiiraa iddoo qabu tauu agarsiisi. ( Z ,+,•) mandhee inteegeraalii taa (Z6,+ •) mandhee inteegiraalii hirmaataa zeerootiin alaati. (maaliif?) (Z6〖,⊕〗(6,) ⊗_6) riingii abeliyaanii ta’uu agarsiisi.

⊕_6 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
⊗_6 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1

Qoyyaboonni lama tuuta intiijerii irratti akka armaan gadiitti  yoo hiikame

(∀x,y∈Z xy=x+y-1 fi x∘y=x+y-xy), (Z,,∘) riingii yunitii ta’uu agarsiisi.
3.5.3 Amaloota Riingii muraasa
Mee (R,+,.) riingii haajennu(∀a,b∈R
a.0=0.a=0(zeeroo)
a(-b)=-(ab)=(-a)b
(-a)(-b)=ab ta’a.
Mirkaana
i. (∀a∈R, a.0=a(0+0)=a.0+a.0 R’n riingii waan ta’eef .’+irra niraabsama
a.0=a.0+a.0⇒0=a.0 mirgaan balleessuun R’n riingii waan ta’eef.
Haaluma walfakkaatuun 0.a=0 ta’a.
Kanaafuu a.0=0=a.0 ta’a.
ab+a(-b)=a(b+(-b))=a(0)=0 R’n riingii waan ta’eef
a(-b)+ab=a(-b+b)=a(0)=0
kanaaf ab fi a(-b)galagaltoo(masaanuu)walii ta’u.
ab+(-a)b=(a+(-a))b=(0)b=0. Haaluma walfakkaatuun
(-a)b+ab=(-a+a)b=(0)b=0
kanaaf ab fi (-a)b galagaltoo(masaanuu)walii ta’u
gama biraatiin ab galagaltoo yoo qabaate tokko qofa qabaata innis -(ab) ta^’ eebarreeffama . Kanaafuu (-a)b=a(-b)=-(ab)ta’a.
(-a)(-b)+(-a)b=-a(-b+b)=-a(0)=0
(-a)b+(-a)(-b)=-a(b+(-b)=-a(0)=0
⇒(-a)(-b)fi (-a)b masaanuu walii ta’uu agrsiisa.
Masaanuun (-a)b ,ab ta’ee barreeffama.
Kanaafuu (-a)(-b)=ab ta,a.
3.6 Hiikoo fi fakkeenyota fiildii
Hiikoo: Mee Rn riingii yuunitii amala jijjiira iddo qabu haajennu. yoo , tae (R,+, ) fiildii jedhama
Fkn. fi fiildii ta`u.
(Z,+, •) fiildii miti. Sababni isaa hiramaa riingii miti.
Yaadadhu Hiramaan riingii jijjiirraa iddoo qabu fiildiidha.
t. no Hiramaa Riingii Mandhee integiraalii Fiildii
Yoo xiqqaate miseensa lama qabaata. Yoo xiqqaate miseensa lama qabaata. Yoo xiqqaate miseensa lama qabaata.
Riingii yuunitiiti riingii yuunitiiti riingii yuunitiiti
Riingii jijjiirraa iddoo miti. Riingii jijjiirraa iddooti. Riingii jijjiirraa iddooti.
Riingii hirmaataa 0 maleeti Riingii hirmaataa 0 maleeti Riingii hirmaataa 0 maleeti
0 malee miseensi hundi galagaltoo baay’isuu niqabu. 0 malee miseensi hundi galagaltoo baay’isuu ni qabu.

                            Gilgaala  
Mee ∆’n qoyyaba  tuuta lakkoofsota waliigalaa irratti akka  x∆y = x+y  itti haa  hiikamu. ∆’n qoyyab-lamee ℜ ni ta’aa?
∆’n miseensa of taasisaa yoo qabaate barbaadi. Yoo hin qabne ta’e immoo sababa dhabeef ibsi.
Miseensa  R ∆ irratti galagaltoo qabaa?
Mee ∀x,y∈R,x*y=x|y| haajennu kanneen armaan gadii mirkaneessi.
*’n qoyyab-lamee ℜ ti?
Miseensii oftaasisaa tuuta R qoyyab * yoo jiraate barbaadi yoo hin jirre sababeessi.
∀x∊R Galagaltoon qabaa? sababeessi
*’n tuuta ℜ irratti amala jijjiirraa iddoo fi cuftuu qabaa?
Haaluma armaan olitti(i-iv) kannen armaan gadii hojjadhuu.

∀x,y ∊ℜ-{1}, x*y = x-y-xy
∀x,y ∊ℜ,  x△y = 2x+2y

Mee B = {1,-1,0} haa jennuu yoo f:(ℜ)→ (B,) bifa
                      f (x) =     hiikame
f’n homomoorfizimii ta’u mirkanneessi.
f’n epimoorfiziimii ta’uu mirkanneessi. 
f’n isoomoorfizimii ta’aa? sababeessi.

Yoo ℜ* =ℜ-{0} ta’e(ℜ*;) →(ℜ,+) isoomoorfizimii ta’uu danda’aa? Maaliif?

BOQONNA AFUR
SIRNA INTIIJARII
Seensa
Koorsota herregaa hanga ammaa fudhate irraa tuuti laakkofsa intiijarii fi amaloota isaanii hubatanni jirtu. Boqonnaa kana keessatti kan illalu haala caasaa tuuta laakkofsota intiijarii fi amaloota isaanii agiziyoomota muraasa irratti hundaaun kan ilaalu taa.
Kaayyoo: Dhuma boqonna kanaatii kaadhimamitooni ;
Amaloota tuuta lakkofsoota intiijarii ni hubatu.
Caasaa tuuta lakkofsoota intiijarii ni beeku
Agiziyoomii tartiiba sirri ni hubatu.
Mandhee inteegiraalii tartiibaawaa taan ni hubatu. Mee amaloota tuutni intiijariin qabu irraa ka’uun itti yaa fufnu. Tuutni lakkofsota intiijarii Z = {…-2, 1,0,1,2…} yoo tau ,
(z,+,.) caasaa aljebirikaawa taa. akkasumas , (z,+,.) riingii yuunitii amala jijjiraa iddo qabu fi mandhee inteegiraalii tau boqonna 3 keessatti ilaaleera.
4.1 Amala sirna Lakkofsoota intiijarii.

1. Amala al-alagoomsuu(Closure properties )
   x, y Z  x + y  Z ,x-yZ fi x . y  Z.
2. Amala jijjiira iddoo( Commutativity property)
   x + y = y + x fi x . y = y . x,  x, .y  z
3. Amala jijjiraa hammattuu.(Associativity property)
   (x+ y) + z = x + (y + z) fi (x. y ).z =x .(y. z) , x. y  z
4. Jiraachuu miseensa of-taasisaa.(Existence of identity elements.).
   i. ( 0  Z) ( x  Z) (x + 0 = x = 0 +x)
   ii (1  z) ( x  z) (x .1 = x = 1.x)
   iii) 1  0
5. Masaanuu qabaachuu.(Existence of additive inverse)
   ( x  z) (- x  z) (x + (-x)) = 0 = (-x) + x
6. Amala raabsamaa(distributive property)
    x, y z  z ,x.(y + z) = x. y + x. z fi (y + z) .x = y .x + z. x
   Sirna intiijarii sirritti ibsuuf agiziyoomoni armaan olii qofa gaha waan hin taanneef amaloota agiziyemoota biroo ilaaluun barbaachisaa taa. Tiiramii i. Miseensi of-taasisaa tuuta Z qoyyaba ‘+’ 0 qofa taa.
   ii. Miseensoni intiijarii hundinuu masaannu tokko tokko qofa qabu.
   iii.  x, y, z  z , x + y = x + z  y = z
   Mirkana. (Z,+) garee waan uumuuf ( i), fi (ii) dhugaa tau. Mirkana iii. (z,+) garee waan ta’eef ( x  z) (- x  z) (x + (-x)) = 0 = -x + x ta’a.  x, y, z  z , x + y = x + z kennama ⟹-x+x+y = -x+x+z ⟹y = z ta’a Gacha. Kannen armaan gadii dhugaa tau mirkanneessi
   1) i -(-x) = x  x  z ii -(x + y) = -x –y  x, y  z.
   2)  x. y zZ , -(x – y) = -x + y
   3)  x  z, x . 0 = 0 = 0 . x
   4.2 Agiziyeemii tartiiba sirna tuuta intiijarii.
   Mee p = tuuta poozativa intiijarii haa jennu.Tuutni p  z amaloota armaan gadi qaba.
7. x , y  p  x + y  p
   2, x , y  p  x . y  p
8. yoo x  z, tae kannen armaan gadii keessaa tokko qofatu dhugaa taa.
   i) x = 0 ykn ii) x  p ykn iii) –x  p
   amaloota armaam olii irra amaloota tartiiba armaan gadii hubachuun ni dandaama. Hiikoo: Mee x , y  z haajennu. i) x  y  , x - y  p ii) x  y  , y - x  p ta’a. Hubadhu. Yoo x,y taan
   1, x  0  x  p 2 , x  0  -x  p
   3, Agiziyoomoni tariibaa armaan olii haala armaan gadiiti daangessuun ibsuu ni dandaama. a) x  0  y  0  x + y  0 b) x  0  y  0  x y  0 c) yoo x  z tae kannen keessa tokko qofatu dhugaa taa x = 0 ykn x  0 ykn x 0 Tiiramii: Too x, y, z, w  Z, taan,kanneen armaan gadii dhugaa ta’uu mirkaneessi.
   a) x  y  x + z  y + z b) x  y  y  z  x  z
   c ) x  y  z  0  x z  y z d) x  y  z  0  x z  y z
   e)x  y  z  w  x + z y + w f) x  y  – x  – y
   Mirkana. a) x  y  x – y  p
    x – y  0  x+z-(y+z) > 0  x+z-(y+z)  p  x+z > y+z
   x  y  y  z
    x – y  p Λ y – z  p  x – y + y – z  p  x-zp x > z
   (c)fi (d) mirkanni isaa gilgaala isiniif yaa ta’u.
   Tiiramii :  x  z, x2  0 taa. Mirkana. Mee haalota armaan gadii haa ilaalu. Yoo x = 0 ykn x  0 ykn x  0 i) x = 0  x. x = x2 = 0 ii ) x  0  x  p  x .x  p  x2  p  x2  0 iii) x 0  -x  p  (-x) (-x) p  x2  p  x2  0 Tiiramii : 1 lakkoofsa pozatiiva intiijariidha. Mirkana: 1= 1x1 = 12 > 0 fi 1 ≠ 0 waan ta’eef dhugaadha. Hiikoo : Mee S tuuta intiijariii miti tuuta duwwan ala haa jennu, x  S miseensa xiqqicha tuuta S kan jennu yoo x  y ,  y S taeedha.
   Fkn Mee S = 3, 4, 5, 6. 7 haa jennu 3 miseensa xiqqicha tuuta S taa sababni isaa 3  y,  y  S waan taeef. 4.3 Agiziyeemii tartiiba sirrii (well –ordering Axiom )
   Yoo P = tuuta intiijarii poozatiivii tae fi tae, S`n miseensa xiqqicha ni qabaata (Every non-empty set of positive integers has a least element ) .
   Gocha: Intiijariin pozatiiviin tokko gadi akka hinjire mirkanneessi

4.4 Mandhee inteegiraalii tartibeffamaa fi qaaccessaa sirna intiijarii.
(Agziyeemii mandhee intiigiraalii)
 x, y Z, x.y = 0 x = 0 ykn y = 0 ta’a.
Hiikoo : Mee M tuuta miti tuuta duwwaan ala taee ,  fi  qooyyab-lamee tuuta M haa jennu.Mandheen inteegiraalii (M, , ) mandhee inteegeraalii tartiibeffamaadha kan jennu yoo S c M taee, kan amaloota armaan gadii guutu taeedha. x, y  S  x  y  S x, y  S  x  y  S x  M, yoo e’n miseensa of-taasisaa qoyyaba  fi x-1 galaagaltoo x qoyyaba  M tae, kanneen keessa tokko qofatu dhugaa taa: x = e ykn x S ykn x-1  S Hiikoo: Mee x, y  M haa jennu. x > y  x  y-1  S x > y  y < x ta’a. Hiikoo: Yoo Sn cita tuuta mandhee inteegiraalii tartiibeffama taee Sn tartiiba sirriiti (well-ordered) kan jennu, yoo  x  X x  y , y  X ta`eedha.

Gilgaala
x = -x x = 0 , x Z ta’uu isaa mirkaneesi.
x + 1 > x x  Z ta’uu isaa agarsiisi.
kannen armaan gadii dhugaa ta`u mirkanneessi
a) i. -(-x) = x  x  z ii. -(x + y) = -x –y  x, y  Z.
b)  x. y zZ , -(x – y) = -x + y
c) x  Z, x . 0 = 0 = 0 . x
4.Kanneen armaan gadii mirkaneessi.
a ) x  y  z  0  x z  y z b) x  y  z  0  x z  y z
c)x  y  z  w  x + z y + w d) x  y  – x  – y

BOQONNAA SHAN
YAAD-HIDDAMA BUURA LAKKOFSOOTAA (Elementary theory of numbers) Seensa. Yaad-rimeen lakkofsota jiruu fi jireenya dhali namaa guyyaa guyyan gageessu wajjin kan walqabatee waan taeef amaloota laakkofsoota beekuun kan walnama gaafachiisu miti.
Boqonnaa kana keessatti kan ilaalu algoorizimii hiruu, hiramaa , hirmaata fi hundeewwan adda adda ,hariiroo HWG fi HWX waliin qaban fi …, kkf taa. Kaayyoo: dhuma boqonnaa kanaati kaadhimamitooni: Seera hiruu algoorizimii fayyadamuun lakkoofsota ni hiru. Hariiroo HWG fi HWX waliin qabaan ni hubatu. Hundeewwan adda addaa ni shallagu. Algoorizimii hiruu gargaarramuun HWG lakkofsotaa ni barbaadu. 5.1 Hiruu fi Algoorizimii Hiru Hiikoo:Yoo a,d Z ,d≠0 ta’e, d’n hirmaataa a kan jedhamu yoo n Z jiraachuun a = nd ta’eedha.karaa biraan d’n ni hira a ykn a’n d dhaan ni hirama jechuun ni danda’ama. Hubachiisa. 1. x  y jechuun xn , y ni qooda (yn hiramaa x) , fi X y jechuun xn , y hin qoodu jechuudha.
Mee tiyooramoota armaan gadii mirkana malee yaa ilaallu.
x y  y z  x y
x y  x -y fi x y  -x y
1 x fi -1 x, x  p fi
x 1 yookiin x -1  x =  1
x 0 x  0
x y  y x  x =  y yookiin x = y
x y  x  y
xv) x y  y Z  x un + Zm , n , m  Z
Tiiramii : ( Hiruu Algoorizimii)
yoo a, b  z , b > 0 taee , a = qb + r, 0  r < b kan taasisiisu lakkoofsa intiijarii q fi r tokko tokko qofatu jira. Mirkana. Mee S = {a – xb : a – xb  0  x  Z} haa jennu. (i) yoo S  tae , b  1.waan taeef a. b  a taa.
a + a. b > a + a  0
Kanaafuu yoo x = -a fudhane, a + a . b  S taa S  Akkasumas yoo 0  S tae , 0n miseensa xiqqicha S taa. Yoo 0  S ,tae S miti tuuta duwwaa fi cita tuuta intiijarii poozativii waan taeef agiziyoomii tartiiba sirritiin miseensa xiqqicha ni qabaata. Haaluma hundaanu Sn miseensa xiqqicha r  0 kan, q  z. tae
r = a – qb  a = qb + r taasisu ni qabaata.
ii) yoo r < b tae .Mee, r  b haa jennu. Kunis ,r – b  0,taa r – b = a – (q + 1)b waan taeef, r – b  S taa. garuu b > 0, r – b < 0 waan taeef kun imoo yaada rn miseensa xiqqicha S jedhu wajjiin waan wal-faallessuuf, r < b taa. iii) q fi rn tokko tokko qofa tau mirkanneessuuf mee q1 , r1  z kan a= q1b + r1 ,0  r1 < b taassisan haa jennu. qb + r = q1b + r  b(q – q1) = r1 – r  b(q – q1) = r1 - r 0  r < b fi 0  r1 < b , waan taeef
r1 – r < b taa . b q – q1 < b  q – q1 < 1  q – q1 = 0  q= q1 Kanaafuu , r1 – r = b (q – q1) = 0  r1 = r taa
Hubadhu: Tiiramii armaan olii keessatti lakkofsi qn gahee yoo tau r`n immoo haftee jedhama.

5.2.Hunddeewwan Garagaraa
Hundee Adda Addaa Irraa Gara Hundee Kudhaniitti Jijjiiruu
Hundeewwan biroo irraa gara hundee kudhaniitii jijjiiruuf lakkoofsicha hundee kennameen iddiriirsuu walitti ida’uu qabna.
Fakkeenya:
1) (452)_jaha=4 ×6^2+5× 6^1+2× 6^0=4×36+5×6+2×1=176 ta’a.
2) (10011)_lama=1× 2^4+0 ×2^3+0 ×2^2+1× 2^1+1× 2^0=16+2+1=19
3) (213.23)_afur=2× 4^2+1 ×4^1+3 ×4^0+2× 1/4^1 +3× 1/4^2
=32+4+3+1/2+3/16=39+11/16=39.6875=(39.6875)_kudhan
Hundee Kudhan Irraa Gara Hundee Biraatti Jijjiiruu
Hundee kudhan irraa gara hundee biraatti jijjiiruuf mee fakkeenya armaan gaditti kennanme haa ilaallu.
1) (576)_kudhan hundee shaniin barreessi.
Furmaata:
Adeemsa:Lakkoofsa kenname lakkoofsa shaniif hirun jalqabna.
576÷5=gaheen 115 fi hafteen 1=r_1
115÷5=gaheen 23 fi hafteeen 0=r_2
23÷5=gaheen 4 fi hafteen 3=r_3 ta’a. 4<5 waan ta’eef,mee4=r_4 haa jennu.
Itti aansuun hafteewwan argaman kanneen isa jalqabaa irra eegaluun mirgaa gara bitaatti barreessina.Haala kanaan,
(576)_kudhan=(r_4 r_3 r_2 r_1 )_shan=(4301)_shan ta’a.
2) (24.375)_kudhan gara hundee lamaatti jijjiiri.
Furmaata: 24.375=24+0.375 ta’a.
〖⇒(24.375)〗_kudhan=(24)_kudhan+(0.375)_kudhan ta’a.
24÷2=gaheen 12 fi hafteen 0=r_1
12÷2=gaheen 6 fi hafteen 0=r_2
6÷gaheen 3 fi hafteen 0=r_3
3÷2=gaheen 1 fi hafteen 1=r_4
Gaheen1<2 waan taateef mee 1=r_5 haa jennu.
Kanaafuu, (24)_kudhan=(r_5 r_4 r_3 r_2 r_1 )_lama=(11000)_lama ta’a.
(0.375)_kudhan gara hundee lamaatti jijjiiruuf mee jalqaba haal armaan gadiitiin haa ibsinu.
Mee (0.375)_kudhan=(0.a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7 a_8…)_lama
⇒0.375=a_1×1/2^1 +a_2×1/2^2 +a_3×1/2^3 +a_4×1/2^4 +⋯
Gama lamaanuu yoo lamaan baayifine,
⇒2(0.375)=2(a_1×1/2^1 +a_2×1/2^2 +a_3×1/2^3 +a_4×1/2^4 +⋯)
⇒0.75=a_1+a_2×1/2^1 +a_3×1/2^2 +a_4×1/2^3 +⋯ ⇒a_1=0
Ammas gama lamaanuu lamaan baay’isuun
⇒2(0.75)=2(a_2×1/2^1 +a_3×1/2^2 +a_4×1/2^3 +⋯)
⇒1.5=a_2+a_3×1/2^1 +a_4×1/2^2 +⋯ ⇒a_2=1
⇒〖0.5=a〗_3×1/2^1 +a_4×1/2^2 +⋯
Ammas gama lamaanuu lamaan baay’isuun,
〖⇒2(0.5)=2(a〗_3×1/2^1 +a_4×1/2^2 +⋯)
⇒3=a_3+a_4×1/2^1 +⋯
⇒a_3=3 ta’a.
Kanuma irrraa , (0.375)_kudhan=(0.a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7 a_8…)_lama
=(0.013)_lama
Kanaafuu,(24.375)_kudhan=(24)_kudhan+(0.375)_kudhan
=(11000)_lama+(0.013)_lama
=(11000.013)_lama ta’a.
Gocha
1 Hundeewwan kennaman gara deesimaaliiti jijjiri.

(101001) lama
(3201) afur
(1.2) afur
(7.12) shan

2. a) 542 gara hundee sadiiti jijjiiri.
   b) (213)afur + (1132)shan = ( )afur
   c) (322)afur + (1111)shan= ( )kudhan
   i) (1112)sadi ii) (2134) shan iii) (1612)torba

3) Hundee kenname lakkoofsa itti aanee dhufu lama barreessi.
i) (378)_Sagal ii) (2011)_Sadi iii) (1010)_lama iv) (444)_Shan
4). Sadan armaan keessaa kan caalu kami?
a) (155)sadi b) (151)afur c) (35)saddeet

5.3 Hirmaataa waliinii guddichaa (HWG)

Gocha
Koorsii math101 keessatti hiikoo hiramaa fi hirmaataa kenname yaadachuun gareen irraatti mari’adhaa.
Hiikoo: Intiijariin n hirmaata waliinii intiijaroota x fi y ti kan jennu yoo n / x  n / y tae ,kana jechuun yoo x fi yn haftee malee nf kan hiraman taeeedha.
Fkn.
Hirmaataan waliinii 12 fi 18 1,2,3,6,ta’an.
Hiikoo: i. a fi b keessa yoo xiqqate tokko 0 miti yoo tae hirmaata waliinii a fi b keessa inni guddan hirmaata waliinii guddicha (HWG) a fi b ,mallattoon HWG (a,b) jedhama. ii. Intiijarooni a fi bn waliif kophxiidha (relatively prime) kan jennu yoo HWG(a,b)=1 tae. 5.4 Algoorizimii Iwukiliidii fi fayyada Hirmaataa waliinii guddicha (HWG) Tiiramii: (Euclidean algorithm) Mee a fi bn lakkofsota intiijarii poozatiiviiti haa jennu. Algoorzimii hiruu irra deddeebine gargaaramuun himoota walqixaa armaan gadii ni argana.
a= qb + r a < r < b
b = q1r + r1 0 < r1 < r
r1 = q2r1 + r2 0 < r2 < r1
r2 = q3r2 + r3 0 < r3 < r2
ittifufa
.
.
.
rk-2 = qkrk – 1
rk-1 = qk + 1 rk 0 < rk < rk – 1
Haaluma kanaan ittifufuun yoo hafteen zero tae HWG(a,b)=rk taa.rk’n haftee dhumaa zeeroon ala ta’eedha.
Fkn
1. HWG (954 , 660) algoorzimii hiruu gargaaramuun barbaadi.
954 = 1 x 660 + 294
660 = 2 x 294 + 72
294 = 4 x 72 + 6
72 = 12 x 6 +0
kanaafuu, HWG (954, 660) = 6 taa. 2 . HWG (963 , 657) algoorzimii hiruu gargaaramuun barbaadi. 963 = 1 x 657 + 306 657 = 2 x 306 + 45 306 = 6 x 45 + 36 45 = 1 x 36 +9 36 = 4 x 9 + 0 kanaafuu, HWG (963, 657) = 9 taa.
5.5 Hiramaa waliinii xiqqicha (HWX)
Hiikoo: Mee a fi bn intiijaroota miti zeeroo taan haa jennu.Agiziyoomii tartiiba sirriitiin lakkofsi poozativii xiqqichi a fi b’n hiramu ni jiraata. Lakkofsi kun hiramaa walii xiqqicha a fi b mallattoon HWX[a,b] jedhama.
Fkn: HWX[12,18] meeqa ta’a?
Tiiramii : Yoo a fi b intiijaroota miti zeeroo taan HWG(a,b) x HWX[a,b] = abtaa.
Fkn
1:Yoo HWG(a,36)=12 fi HWX[a,36]=144 ta’e,gatii a barbaadi.
Furmaata:
a× 36=HWG(a,36)×HWX[a,36]
=12 ×144
⇒a=48 ta’a.

2: Algoorizimii Iwukiliidii fi tiiramii armaan olii fayyadamuun HWX[160,180] barbaadi.
Algoorizimii Iwukiliidiitin
180 = 1 x 160 + 20
160 = 7 x 20 + 20
20 = 1 x 20
HWG (160, 180) = 20 ta’a.
Tiiramii armaan oliitiin HWG (160, 180) x HWX[160, 180] = 160 x 180 ta`a
HWX [160, 180] = =1440 ta’a.
5.6. Mandhee hirmaatina yuniiknasii(The unique factorization domain)

Hiikoo : Intiijariin p >1lakkofsa kopixiiti kan jedhamu yoo hirmaataan d kan 1 < d < P taasisu hin jiru taeedha. P > 1 kopixii mitii yoo tae lakkofsa hammatto(kompoozitii) jedhama.
Lemaa: Mee pn lakkofsa kophxiitii haa jennu. Yoo P/xy, tae P/x yookiin P/y taa. Walumaagalatii yoo P/x1, x2 ,x3 ,. . . , xn, tae P/xi , i = 1, 2, 3, . . ., taa . Mirkana . haalota armaan gadii haa ilaalu. i )Mee P / xy haa jennu. Yoo P / a, tae HWG(a, P) = 1. taa kanaafuu P / b taa.
ii) indaakishinii herregaatiin
P / x1 b yoo b = x2, x3, . . . xn tae P / x, yookiin P / b taa.
Gilgaala
1.Seera hiruu algoorizimiitti fayyadamuun HWG lakkoofsota armaan gadii barbaadi.
a) 1350 fi 4500 b) 2450 fi 11844

2. Kannen armaan gadii mirkanneessi.
   Yoo ac / bc, tae a/ b taa.
   Yoo a / b fi c / d, tae ac / bd taa.
   Yoo(a,4) = 2 fi (b,4) = 2 ta’e (a+b,4) = 2
3. lakkoofsota pozatiivii intiijarii a fi b hunda kan (a,b) = 10 fi [a,b] = 100 ta’an barbaadi.
4. yoo HWG (a, b) = P, P lakkofsa kopixii tae, kannen armaan gadii maal taa?
   a) (a2, b2)?
   b) (a2, b)?
   c) (a3, b3)?
5. Algoorizimii Iwukiliidii fayyadamuun HWG fi HWX lakkofsota armaan gadii barbaadi.
   1356, 1100
   2860, and 6600
   3954, 2684

BOQONNAA JAHA
LAKKOFSOTA RAASHINAALII

Boqonnaa kana keessaatti hiika lakkoofa raashinaalii, amaloota lakkoofsa raashinaalii qoyyaboota ida’uu fi baay’isuu fi lakkoofsa raashinaalii bifa deesimaliitiin diddiiriirsuu kan ilaalu ta’a. Dabalatanis waa’ee lkkoofsa waligalaa fi jiraachuu lakkoofsa al-raashinaali kan ilaaluudha. .
Kaayyoolee
Xummraa boqonnaa kanaatti kaadhimamitoonni:-
Lakkoofsoota maalummaa lakkofsa raashinaalii ni beeku.
Lakkoofsota raashinaalii fi ni qoyyabu.
Deesimaalii dhaabbataa fi deddeebi’aa gara firaakshinitti ni jijjiiru.
Jiraachuu lakkoofsa al-raashinaalii ni hubatu.
Amaloota lakkoofsa waligalaa ni hubatu.
6.1 Ijaarsa lakkofsa raashinaalii
Gocha
Qoyyaboota + , x , fi – keessaa isaa kamtu tuuta lakkoofsa raashinaalii,lakkoofsa waliigalaa , al raashinaalii alagoomsuu gareen irratti mari’achuun dareef gabaasi.
Gareen ta’uun lakkoofsoota armaan gadii bifa tti jijjiirii .
A. 4.35 ̇46 ̇ B.
Caasaa aljebirikaawaa armaan gadii keessa kan lakkofsi raashinaalii tiin uumauu kam?
a) (Q,+) Garee taaa? b) (Q, .) Garee taaa? maaliif?
c) (Q,+, .) Riingii ta`aa? d) (Q,+, .) Filidii?
Hariiroo R tuuta tuuta duwwaan ala ta’e N irratti hariiroo walgitaadha kan jennu yoom?
Hiikoo: Mee R= {(a,b), a,b∈Z fi b≠0 haa jennu. Yoo hariiroo ‘~’ bifa
(m, n) ~(r,s)⟺ms=nr.
Gocha
Hiikoo armaan olii irraa hariiroo ‘~’ hariiroo walgitaa ta’uu ni danda’aa? Gareen ta’uun dalagaa.
Hubachiisa : [m,n] ={(x,y): nx=my, gola gitaa (x,y) ∈R kan mirkana’uudha.
Fkn. i. [4,3]= {(x,y): 3x=4y fi y∈Z, y≠0.
ii. [-6,8]= {(a,b): 8a=-6b fi b≠0.
Hiikoo: Mee H= {[mn]: (m n) ∈R}. Qoyyabni ida’uu(+) fi baay’isuu (.) tuuta H irratti akka armaan gadiitti hiikama.
i. [x,y]+[r,s]=[sx+ry,ys] fi
ii. [x,y].[r,s]=[xr,ys]
Leemaa: Ida’uu(+) fi baay’isuun(.) tuuta H irratti qoyyab-lameedha.
Mirkana.
i. Mee ([x,y], [r,s])= ([a,b], [c,d]) yoo ta’e [x,y]= [a,b] fi [r,s]= [c,d].
⟹ xb=ya ∧ rd=sc. ⟹ sd.xb=sd.bx ∧ yb.rd=yb.dr
⟹ (xs+ry)sd= (rd+sc)ys
⟹ (xs+ry,ys)= (rd+sc,sd)
⟹ [x,y]+[r, s]= [r, s]+[c, d]
Kanaafuu, ida’uun qoyyab-lameedha.
ii. [x, y]= [a, b] fi [r, s]=[c, d] ⟹ xa= ax ∧ rc=cr
⟹ xb. rd= ya. sc ⟹ [xr, ys]= [ac, bd]
⟹ [x, y]. [r, s]= [a, b]. [c, d]
Kanaafuu, baay’isuun (.) tuuta H irratti qoyyab-lameedha.
Hiikoo: H tuuta lakkoofsa raashinaaliti. Qubee Q tiin bakka buufama.
6.2. Amala caasaa lakkofsa raashinaalii
Mata duree darbe jalatti haala ijarsa isaa ilaallee jira . Amma immoo Amaloota caasaa lakkoofsa raashinaalii kana ilaallu ta’a.
Amalaa al-alagoomsuu (closure property)
Yoo [(x, y)] fi [(r, s)] goloota gitaa lakkoofsa raashinaalii yoo ta’an
i) [(x, y)] fi [(r, s)] miseensa Q ta’an [(x, y)] + [(r, s)] lakkoofsa raashinaalii ti.
ii) [(x, y)] fi [(r, s)] miseensaa Q, ta’an [(x, y)]  [(r, s)] lakkoofsa raashinaalii ti.
Mirkana.
∀ [(x, y)] , [(r, s)]∈Q. Akka hiikoo ida’uu(hiikoo. 6.2) armaan oliiti,
[(x,y)]+[(r, s)]=[(xs+ry, ys)] lakkoofsa raashinaalii ti.
∀ [(x, y)] , [(r, s)] ∈Q Akka hiikoo baay’isuu (hiikoo. 6.2) armaan oliitti,
[(x,y)]. [(r, s)]=[(xr,ys)] lakkoofsa raashinaalii ti.
Kun kan agarsiisuu Q’n ida’uu fi baayisuu irratti amalaa al- alagoomsuu ni qabaata.
Fkn.

1. [(1, -2)]=[(-2, 4)] fi [(2, 3)]=[(,-4, -6)] waan ta’eef,
   i. [(1,- 2)]+[(2, 3)]= [(1.3+(-2).2, (-2)(3)] = [(3-4, -6)] =[(-1, -6)]
   [(-2, 4)]+[(-4, -6)]= [(-2(-6)+4(-4), 4(-6)]=(12-16, -24)]=[(-4, -24)]
   ⟹ [(-1, -6)]= [(-4, -24)]
   ⟹ [(1,- 2)]+[(2, 3)]= [(-2, 4)]+[(-4, -6)]
2. [(1,- 2)].[(2, 3)]= [(-2, 4)].[(-4, -6)] ta’uu agarsiisi. shaakala
   Amalaa jijjiirraa Iddoo.
   ∀[x, y] fi [m, n] Miseensaa Q yoo ta’an
   i. [x, y] + [m, n] = [m, n] + [x, y]
   ii. [x, y]  [m, n] = [m, n]  [x, y]
   Mirkana.
   i. [x, y] + [m, n] = [xn + ym, yn]
   = [ym + xn, yn]
   =[my + nx, yn]
   = [m, n] + [x, y]
   ii. [x, y]  [m, n] = [xn, ym]
   = [nx, my]
   = [m, n]  [x, y]
   Kun kan agarsiisuu Q’n Amalaa hinalagoomnee Ida’uu fi baayisuu irratti ni qabaata.
   Amalaa jijjiirraa Cuftuu
   i. [x, y] , [m, n] fi [p, q] miseensa lakkoofsaa raashinaalii yoo ta’an
   ([x, y] + [m, n]) + [p, q] = [x, y] + ([m, n] + [p, q])
   ([x, y] . [m, n]) . [p, q] = [x, y] . ([m, n] . [p, q])
   Mirkana
   ([x, y] + [m, n]) + [p, q] = [xn + ym, yn] + [p, q]
   = [xnq + ymq + ynp, ynp] fi [x, y] + ([m, n] + [p, q]) = [x, y] + [mq + np, nq]
   = [xnq + ymq + ynp, ynp]
   Kanaafuu, ([x, y] + [m, n]) + [p, q] = ([x, y] + [m, n]) + [p, q]
   ([x, y] + [m, n]) + [p, q] = [xm, yn] . [p, q]
   = [xmp, ynq]
   = [x, y] . [mp, nq]
   = [x, y] . ([m, n] . [p, q])
   Kanaafuu, ([x, y] . [m, n]) . [p, q] = ([x, y] . ([m, n]) . [p, q])
   Miseensa of taasiisaa
   [x, y]∈ Q , [0, 1] + [x, y] = [0 + x, y] = [x, y] fi [x, y] + [0, 1] = [x + 0, y] = [x, y]
   Kana jechuun [0, 1] miseensa of taasiisaa qoyyaba ida’uu irratti ta’a jechuu dha.
   Akkasumas [x, y] ∈ Q , [x, y]. [1, 1]= [x.1, y.1]=[1.x, 1.y]= [1,1].[x, y]= [x, y].
   [x, y] ∈ Q , [1, 1] miseensa oftaasiisa qoyyaba baayisuu irratti ta’a.
   Hubachiisa. x∈Z fi x≠0 , [xa, bx]=[a, b] , (ax,bx)~(a, b). kunis axb=bxa.
   Kanaafuu, idauu irratti [0, x] of-taasisaa yoo ta’u, baay’isuu irratiiti ammoo [x, x] of-taasisaadha.
   Galagaltoo lakkoofsa raashinaalii
   i) [x, y] miseensa Q yoo ta’e, qoyyaba ida’uu irratti [–x, y] galagaltoo [x, y] ti. Kuniis sababnii isaa [x, y] + [–x, y] = [xy – xy,y2] = [0, y2] = [0, 1]
   ii) Lakkoofsa raashinaalii zeeroon ala ta’e [x, y] kamiifuu jechuun x  0 , y  0,
   [xy, yx] = [1, 1]
   [y, x] . [x, y] = [yx, xy] = [1, 1]
   Kana jechuun lakkoofsa raashinaalii [x, y] zeeroon ala ta’e kamiifuu qoyyaba baayisuu irratti [y, x] galagaltoo [x, y] ti.
   Hub:- [y, x] jechuun [x, y]-1 jechuu dha.

Amala Raabsamaa
[x, y] . ([m, n] + [p,q]) = [x, y] . [mq + np, nq]
= [xmq + xnp, ynq] = [xmq + xnp, ynp] . [y, q]
= [xmq + xnpy, y2nq]
= [xm, yn] + [xp, yq]
= [x, y] . [m, n] + [x, y] . [p, q]
Hub: – (Q, +, . ) ‘n caasaa qoyyab – lamee qoyyaboota lamaan + fi . irratti caasseeffamaa amaloota armaan gadii guutaniidha.

1. Amalaa al-alagoomuu
   i) [x, y] fi [m, n] ∈ Q yoo ta’an [x, y] + [m, n] miseensa Q ti
   ii) [x, y] fi [m, n] ∈ Q yoo ta’an [x, y] . [m, n] miseensa Q ti
2. Amalaa jijjiirraa hammattuu
   [x, y] fi [m, n] miseensa Q ti
   [x, y] + [m, n] = [m, n] + [x, y]
   [x, y] . [m, n] = [m, n] . [x, y]
3. Amalaa jijjiirraa hammattuu
   [x, y] , [m, n] miseensa Q ti
   ([x, y] , [m, n]) + [p, q] = [x, y] + ([m, n]) + [p, q])
4. Miseensa of taasiisaa
   [1, 1] = [0, b] kan b  0 fi
   [1, 1] = [b, b] kan b  0
5. Galagaltoo
   [x, y] ,miseensaa yoo ta’e , Q [-x, y] galagaltoo Q’n qoyyabaa ida’uu irraatti qabuu dha.
   [x, y] , miseensaa yoo ta’e, Q [y, x] galagaltoo Q’n qoyyabaa baayiisuu irraatti qabuu dha.
6. Amalaa raabsamaa
   [(x, y)] . ([(m, n)] + [(p, q)] = [(x, y)] . [(m, n)] + [(x, y)] . [(p, q)]
   Amaloota armaan olii 1 – 6 irraa ka’uun (Q, + . ) ‘n fiildii jedhama.
   Hub. Lakkoofsota intiijarii a fi b (b≠0) kamiifuu, lakkoofsi raashinaalii [(a, b)] bifa firaakshinii a/b tiin ibsuun ni danda’ama.
   Tiiramii : Mee Q+ = {  Q : xy > 0} haa jennu.
   Amaloonii armaan gadii hundi dhugaa dha? Hojii garee.
   i. ,  Q+  +  Q+
   ii. ,  Q+ .  Q+

Hiikoo : x, y  Q , x > y x – y  Q+

Tiiramii : x, y  Q+ , x < y , m  Q kan ta’e kan x < m < y jiraachuu mirkaneessi. Mirkana Mee r= (x+y)/2 haa jennu. Akka amala al-alagoomsu fi jirachuu galagaltootti, r Q x < y ⟹ y-x Q+ ⟹ y+x-x-x>0
⟹ y+x-2x>0
⟹ y+x>2x ⟹ (x+y)/2>x () Karaa biraatin y>x waan ta’eef y-x>0 ⟹ y+y-x-y>0 ⟹ 2y-(x+y)>0 ⟹ 2y> (x+y) ⟹ y>(x+y)/2 () ⟹ () fi () irraa x<(x+y)/2 y dhugaa taasisu ni jira.
Mirkana.
Mee x= r/s ,y= p/q , ∀p,q,r,s∈Z^+. n∈Z^+ yoo ta’e Mee n=ps haa jennu.
⟹ nrq=2rq.ps>ps,2rq>0 waan ta’eef.
⟹(nrq-ps)sq>0 . ( nrq-ps)/sq∈Q^+. Kunis nr/s-p/q∈Q^+.
⟹ nr/s-p/q>0
⟹n r/s>p/q
⟹ nx>y.
6.3 Lakkoofsaa raashinaalii Deesimaaliin diddiriirsuu
Lakkoofsi raashinaalii kamiiyyuu kan bifa ,q  0 tiin ibsamee deesimaaliin ibsuu yoo barbaane algoorizmii hiruu gargaaramna. Kana jechuun ‘p’ ‘q’ dhaaf mala hiruu dheeratti gargaaramne lakkoofsicha hundee 10 diddiirirsun ni danda’ama.
Hiikoo 6.3.0
Hiikoo: Lakkoofsa deesimaalii jechuun lakkoofsa bifa a_0.a_(1,) a_(2,) a_3… barreefamu ta’ee a_0 ϵW fi a_(1,) a_(2,) a_3 , … lakkoofsota bu’uuraa 0-9 jiraniin kan bakka bu’anii dha.
Fkn1. 90.4532, a0=90, a1 =4 , a2 =5 , a3=3 fi a4 =2
Fkn2. -2.44232323…
Lakkoofsa raashinaalii kamiiyyuu bifa deesimaalitiin ibsuun ykn barreessun ni danda’ama. Kunis kan raawwatamu mala hiruu dheeraatti fayyadamuun waamamaa waamsisaaf hiruudhan. Hiruutti gargaaramuun yommuu m⁄n bifa deesimaaliitiin ibsinu, hafteen hafuu danda’u lakkoofsota 0,1,2, …n-1 ta’a. Haala lamatu jira.
Haala1. Yeroo hirru adeemsa keessa hafteen keenya yoo zeeroo(0) ta’e, hiruu ni dhaabna. Kanaaf m⁄n keenya deesimaalii dhaabbataan ibsina ykn mul’ifna jechuudha.
Fkn1. 3⁄4= 0.75 15⁄25 =0.6 , 27⁄144 =0.1875.
Haala2. Adeemsa hiruu keessatti hafteen keenyaa yoomiyyuu zeeroo(0) hin ta’u taanan ykn adeemsi hiruu hin dhaabbatu taanan, adeemsa kana keessatti hafteen irra deddeebi’a. Kunis m⁄n deesimaalii dhaabbataa hin ta’iniin mul’ifna jechuu dha. Deesimaalii akkanaa kun deesimaalii deddeebi’aa jedhama.
Fkn1. 1⁄3 =0.333…. , 5⁄6 =0.8333… , 2⁄11= 0.181818…
Fk2. Mee ( 27)/4 haa fudhanu. Algoorzimii hiruutti gargaaramuun ’27’ yoo ‘4’f hirre kan argannu akka armaan gadiitti ta’a.
27= 4(6)+3; 0<3<4
3(10)= 4(7)+2; 0<2<4
2(10)= 4(5)+0
Kanaafuu, ( 27)/4 = 6+( 3)/4
( 3)/4 = ( 7)/10 +( 2)/4(( 1)/10)
( 2)/4 (( 1)/10)=(( 5)/〖10〗^2 )+0
( 27)/4= 6+7/10 +( 5)/〖10〗^2 .
Kunis ( 27)/4= 6.75 ta’a.
FKN.2 Mee ( 33)/7 haa fudhannu. Algoorizimii hiruuti gargaaramnee 33 yoo ‘7’f hirre akka armaan gadii ta’a.
33= 7(4)+5; 0<5<7.
5(10)= 7(7)+1; 0<1<7
1(10)= 7(1)+3;0<3<7
3(10)= 7(4)+2; 0<2<7
2(10)= 7(2)+6; 0<6<7
6(10)= 7(8)+4;0<4<7
4(10)= 7(5)+5;0<5<7
5(10)= 7(7)+1; 0<1<7
1(10)= 7(1)+3; 0<3<7
3(10)=7(4)+2; 0<2<7
2(10)= 7(2)+6;0<6<7
6(10)= 7(8)+4; 0<4<7 ….
( 33)/7 = 4+( 2)/7
( 2)/7 = ( 2)/10+( 6)/7(( 1)/10)
( 6)/7(( 1)/10)= 8/〖10〗^2 +4/7(1/〖10〗^2 )
4/7 (1/〖10〗^2 )= (5/〖10〗^3 )+5/7(1/〖10〗^3 )
5/7 (1/〖10〗^3 )= 7/〖10〗^4 +1/7(1/〖10〗^4 )
1/7 (1/〖10〗^4 )= 1/〖10〗^5 +3/7(1/〖10〗^5 )
3/7 (1/〖10〗^5 )=4/〖10〗^6 +2/7(1/〖10〗^6 )
2/7 (1/〖10〗^6 )=2/〖10〗^7 +6/7(1/〖10〗^7 )
6/7 (1/〖10〗^7 )= 8/〖10〗^8 +4/7(1/〖10〗^8 )
4/7 (1/〖10〗^8 )=5/〖10〗^9 +5/7(1/〖10〗^9 )
5/7 (1/〖10〗^9 )= 7/〖10〗^10 +1/7(1/〖10〗^10 )
1/7 (1/〖10〗^10 )= 1/〖10〗^11 +3/7(1/〖10〗^11 ) ….
Kanaaf yoo bakka buufne
( 33)/7 = 4+( 2)/10+8/〖10〗^2 +5/〖10〗^3 +7/〖10〗^4 +1/〖10〗^5 +4/〖10〗^6 +2/〖10〗^7 +8/〖10〗^8 +5/〖10〗^9 +7/〖10〗^10 +1/〖10〗^11 …
Kunis ( 33)/7=4.2857128571…=4.(28571) ̅ ta’a.
Fkn
Mee lakkoofsaa 19/8 gara lakkoofsa deesimaalitti , algooriizimii hiruu fayyadamuun jijjiiri.
19 = 8(2) + 3 , 0< 3 < 8
10(3) = 8(3) + 6 , 0 < 6< 8
10(6) = 8(7) + 4 , 0<4 < 8
10(4) = 8(5) + 0
Kanaafuu, yoo barreessinu.
19/8= 2 + 3/8
3/8= 3/10 + 6/8
6/8 = 7/〖10〗^2 + 4/8 (4/( 〖10〗^2 ))
= + 0
Yoo bakka buufne, 19/8= 2 + 3/10 + 7/〖10〗^2 + = 2.375
Kunis, 19/8 =2.375.
Gilgaala 6.3

1. Lakkoofsaa raashiinaalii isaan armaan gadii kennan barbaadi.
   a) 1.578
   b) 2.(342) ̅
   c) 21.89 ̇
2. Lakkoofsota raashinaalii armaan gadii bifa deesimaaliitin diddiriirsi. 17/5
   5/3
   101/9
   ( 37)/12

6.4 Jireenya lakkofsa al-raashinaalii
Akkuma lakkoofsa raashinalii sarara lakkoofsaa irratti mul’isuu dandeenyu lakkoofsa al-raashinaalitis sarara lakkoofsa irratti mul’isuun ykn agarsiisun ni danda’ama.
Fkn. √5 sarara lakkoofsaa irratti agarsiisi.
Furmaata.
Geengoo OABC raadiyesii isaa yuunitii tokko ta’e sarara lakkoofsaa irratti mul’isi. Handhuurri geengichaa sarara lakkoofsaa irratti O irra ta’uu qaba.
Kanaaf OB= √(1^2+1^2 ) =√2
BD dheerinni isaa yuunitii tokkoo kan ‘OB’f parpeendikulaarii ta’e ijaari.
Kanaaf OD =√((〖√2)〗^2+1^2 ) = √3. Ammas DE dheerinni isaa yuunitii tokkoo kan ‘OD’f parpeendikulaarii ta’e ijaari. Kanaaf OE= √((〖√3)〗^2+1^2 ) = √4 =2. Haaluma armaan oliitin EF dheerinni isaa yuunitii tokkoo kan ‘OE’ f parpeendikulaarii ta’e ijaari.
Kanaaf OF= √((〖2)〗^2+1^2 ) = √5. Kompaasitti gargaaramuun handhuura ‘O’ fi raadiyesiin OF, golboo sarara lakkoofsaa tuqaa R irraati tuqu ijaarun tuqaan R kun √5 akka bakka bu’u agarsiisun ni danda’ama. Kunis haala armaan gadiitin ibsuun ni danda’ama.

                            √(5 )sarara lakkoofsaa irratti mul'isuu  
 6.5 lakkoofsaa waligalaa

Hiikoo: Makoon lakkoofsa raashinaalii fi al-raashinaalii lakkoofsa lakkoofsa waliigalaa ta’a. R=Q∪Q^c.
Fakkeenyaaf 2.4871773339…. , 42 , −23/129, π fi kkf lakkoofsota waligalaati.
Lakkoofsi waligalaa hundinuu saraa irraati tuqaan bakka bu’uu ni danda’a. Sararri akkasii kun sarara lakkoofsaa jedhama. Sararri lakkoofsaa tuuta lakkoofsota waligalaa fi tuuta tuqoota sarara lakkoofsa irraa tokko tokkoon wal camaduu gidduu isaaniitti uuma.
Amaloota lakkoofsota waligalaa

1. Amalaa al-alagoomsuu
   i) [x, y] , [m, n] ∈ ⟹ [x, y] + [m, n] ∈ .
   ii) [x, y], [m, n] ∈ ⟹ [x, y] . [m, n] ∈ .
2. Amalaa jijjiirraa iddoo
   [x, y] , [m, n] ∈
   i. [x, y] + [m, n] = [m, n] + [x, y]
   ii. x, y] . [m, n] = [m, n] . [x, y]
3. Amalaa jijjiirraa hammattuu
   [x, y] , [m, n] ∈
   i. ([x, y]+ [m, n]) + [p, q] = [x, y] + ([m, n]) + [p, q])
   ii. ([x, y]. [m, n]) . [p, q] = [x, y] . ([m, n]) .[p, q])
4. Miseensa of taasiisaa
   i. [1, 1] = [0, b] kan b  0 fi
   ii. [1, 1] = [b, b] kan b  0
5. Galagaltoo
   [x, y] ∈ , [-x, y] galagaltoo ’n qoyyabaa ida’uu irraatti qabuu dha.
   [x, y] ∈, [y, x] galagaltoo ’n qoyyabaa baay’isuu irraatti qabuu dha.
6. Amalaa raabsamaa
   [x, y] . ([m, n] + [p, q] = [x, y] . [m, n] + [x, y] . [p, q].
   Amaloota 1-6 jirn kana ni guuta waan ta’eef ( , + .) ‘n fiildii dha.
7. Amala Guutama Lakkoofsa Waliigalaa(Completeness of Real Number)
   Hiikoo: Mee S⊂R fi S≠∅ yoo ta’e,
8. a∈R dangaa jalaa S ti kan jennu yoo a≤ x, ∀x∈S
9. Dangaan jalaa ‘h’ dangaa jalaa guddicha(DJG) S kan jennu, dangaa jalaa ‘a’ kamiifuu a≤h ta’e qofaa dha.
10. b∈R dangaa irraa ‘S’ kan jennu yoo x≤b, ∀x∈S.
11. Dangaa irraa ‘t’ n dangaa irraaxiqqicha (DIX) S kan jennu dangaa irraa b kamiifuu t≤a yoo ta’e qofaa dha.
    Hubadhu: Mee S⊂R fi S≠∅ yoo ta’e, ‘S’ n dangaa irraa ni qaba taanan dangaa irraa xiqqicha(DIX) ni qaba. Akkasumas ‘S’ n dangaa jalaa ni qaba taanan dangaa jalaa guddicha(DJG) ni qaba.
    Fkn1. Mee S={x: x∈ R fi x<4}
    Lakkoofsi waligalaa 4 fi 4 ol jiran hudi dangaa irraa S ta’u. Fakkeenyaf. 4, 4.001,4.1,4.6.4.6789, 7,78,90,1345,67890,79000000, fi kkf hundi dangaa irraa S ti. Lakkoofsota armaanolitti tarreefaman keessaa inni xiqqaan 4 dha. Kanaaf DIX ‘S’ 4 ta’a.
    Fkn2. S={ x : x∈ R fi 5≤x}
    Lakkoofsi waliigalaa 5 fi 5 gadi jiran hundi dangaa jalaa S ti. Fakkeenyaf: 5,4.99999,4.67,4.001,4,3√3,1,0,-1,-34,-456,-5678, fi kkf dangaa jalaa S ti. Lakkoofsota armaan olitti tarreefaan inni guddichi 5. Kanaaf 5 DJG S ti.
    Amalli guuchisa lakkoofsa waligalaa qofaaf kan dhaabateedha.
    Mee fakkeenya armaan gadii haa ilaallu.
    Fkn. Mee S= {x∈Q: √3 <x<√5 }.
    S≠∅ fi S⊆
    Q. S daangaa jalaa kan akka 0,1.2,1.5,1.56 fi kkf ni qaba.
    Akkasumas 2.75,3.5,4 ,5.5, 7 fi kkf dangaa irraa S ti. DJG S=√3∉ Q. DIX S= √5∉ Q.
    Hubadhu: Kanaaf , tuutni S kan cita tuuta Q ta’e DJG fi DIX kan miseensa Q hin ta’in qabaachuu danda’a.

KITAABILEE WABII.

Endalemaw Admas and Amanuel Koyachew, n.d. Fundamental Concept of Algebra: Gonder College of Teachers Education.
Dr. Demisu Gemeda, et al (1987) Fundamental Concept of Algebra, Addis Abeba University
Abubeker Aliy (2003) Fundamental concepts of algebra, Robe college of teachers Education.
Dr. Kulbhushan Parkash, A Text Book on Real Analysis, Laxmi publication (p)LTD, New Deli.
AwokeAndargie, et al. (2002), A sysytem of real numbers and elementary theory of numbers. Education media agency, Ministry of education, Addis Ababa.
Don R. Lick, The Advanced Calculus of One variable.
Frank Ayres, Jr. Ph.D Schaum’s Outline Series. Theory and problems of Abstract Algebra: Second Edition.
Girmaa Tashoomaa, (2000), Moojula Barnoota Herregaa kan imaammata haarawaa sagantaa dippiloomaaf qophaa’e;KBB Asallaa.
Sintaayyoo Danbii fi Gaashahuun Zawdee (2006), Moojula herrega bu’uuraa sagantaa dippiloomaaf qophaa’e, KBB Adoolaa.
B.S. VATASSA (1994) , Elements of Modern Algebra, Third Edition, Department of Mathematics, St. Jhon’s College.
An introductory mathematics course Alemayehu Haile and Yismaw Alemu