Basic Mathematics I – Math 101

Gaaffilee Shaakalaa Waliigalaa Deebii Waliin Math 101

Boqonnaa-1
Loojikii fi Tiyoorii Tuutaa
1.1.Seensa loojikii Herregaa
Seensa
Boqonnaa kana jalatti mata duroota gurguddoo lama ilaalla. Isaanis seensa loojikii herregaa fi yaad-hiddama tuutaa ti. Kanamalees mata duroota xixiqqoo kanneen loojikii herregaatiif tuutaan walqabatan hedduu ilaalla. Mata duroota kanneen hiikoowwan, fakkeenyota, giraafotaa fi diyaagiraamota adda addaa fi gochoota akkasumas gaaffilee adda addaa hirmaachisoo ta’anitti fayyadamuun haala ifa ta’een dhiyeessuuf yaalameera.
Gocha 1.1: Kanneen armaan gadii ibsi. Fakkeenyotas kenniif.
Himama
Walqabsiistota himamaa
Faallessaa , hidhaa , filaa , ta’iinsa, fi ta’iinsa dachaa
Seera faallessaa , seera hidhaa , seera filaa , seera ta’iinsaa fi seera ta’iinsa dachaa
Gat- dhugoomaa fi gabatee gat-dhugoomaa
Koonvarsii , invarsii fi kontiraapoozatiivii ta’iinsaa
Himama salphaa(leexaa) fi himama dachaa( himama xaxaa)
Himama dhugoo , himama dharaa fi himamoota waliigitaa
Akkaataa gat-dhugooma himamoota dachaa itti barbaadan
Tartiiba walqabsiistotaa
Himama banaa fi ibsoota
Loojikii: Jechi loojikii jedhu afaan Giriikii kan “ loojos” jedhu irraa kan dhufe yoo ta’u akka afaan Giriikiitti ”loojos” jechuun yaada ,sababa ta’uu danda’a. Loojikii haala armaan gadiitiin hiikuun ni danda’ama.
Loojikiin saayinsii ittiin yaada madaalanii dha.
Loojikiin saayinsii (adeemsa) ittiin sababa dhiyeessanii dha.
Loojikiin saayinsii gahumsaa fi bilchina yaadaa ittiin madaalanii dha.
Loojikiin walfalmuuf walmormuu fi sirriitti sababa dhiyeessanii waliigaluuf dandeettii ittiin yaadanii dha.
Loojikiin herregaa jaarraa 19ffaa (1815 – 1864) keessa namticha lammii biyya Ingiliizii qo’ataa herregaa kan ta’e Joorji Booliin (George Boole) jalgabame. Sanii asittis hayyoonni adda addaa hiika loojikii akka armaan oliitti kennaniiru.
Loojikiin herregaa faayidaa hedduu qaba. Fakkeenyaaf isaan armaan gadii ilaaluun ni danda’ma.
Beekumsa cimsuu fi dandeettii yaada haarawa saayinsii uumuu fi guddisuuf
Yaadota xaxaa ta’anii hubatuuf nama rakkisan sirnaan qindeessanii akka namaaf galu taasisuuf
Amaloota pirobleemonni herregaa adda addaa kophaa kophatti fi waliin qabaatan qoratanii akkaataa amaloota isaanii kanatti sirnaan qindeessuun barumsa herregaa xaxaa ta’e salphisuuf k.k.f gargaara.
1.1.1.Himama Herregaa fi Walqabsiistoota Himamootaa
Himama Herregaa
Garagarummaan himaa fi Himamaa maal?
Hima jechuun kuusa jechoota ta’ee haala ajajaa,raajeffannoo,gaaffii,hawwii,abdii fi kkf kan dhiyaatuu dha.Hima kenname tokkoof jechoota “Dhugaa” yookiin “Soba” jedhu yoo fayyadamine himichi gat-dhugooma qaba jenna.
Hubachiisa:Hima kenname kamiifuu gat-dhugooma lama qofa qabna.Isaanis Dhugaa fi Soba yommuu ta’uu dhugaa isaa jechuuf ‘dh’ akkasumas soba jechuuf immoo ‘s’ fayyadamna.Himoonni tokko tokko gat-dhugooma hin qaban.
Fakkeenya:Himoota armaan gadii hubadhu.
Namni ni dhalata.
Jimmaa magaala guddoo Oromiyaati.
Balbala cufi!
6+9=18.
Gati-dhugoomni i fi iv dhugaa yoo ta’u ii) immoo soba dha.iv) gat-dhugooma hin qabu.Kana jechuun dhugaa yookiin soba jechuu hin dandeenyu.
Hiikoo:Himama(proposition or statement) jechuun hima ta’ee kan gat-dhugooma dhugaa yookiin soba qabuu dha.Garuu kan al tokkotti lamaanuu ta’uu hin dandeenye dha.
Fakkeenya:
1) 0-1=1 ( himama yommuu ta’u gat-dhugoomni isaa soba.)
2) Suudan Itoophiyaa ni dangeesiti.(himama gat-dhugoomni isaa dhugaa ta’e)
Hubachiisa:
1)Himootni jechoota kanneen akka hawwiii,abdii, gaaffii, ajaja fi ilaalchaa(attitude) ibsaman himamoota ta’uu hin danda’an.
Fakkeenya:
1) Himoota armaan gadiitti kennamaniif dhugaa kan ta’an dhugaa,kanneen soba ta’an soba,kan lamaanuu hintaane dhugaa yookiin soba jechuu hin dandeenyu jechuun adda baasi.
Namni ni du’a.
4+5=3
Yeroo oli seentu balbala cufi.
Umuriin keeti meeqa?
Baga gammade!
Maqaan keeti eenyu?
Qormaata Baayooloojii ni dabarta.
Deebii:1 dhugaaa ,2 soba yommuu ta’u 3,4,5,6,fi 7 lamaanuu jechuu hin dandeenyu.
2) Himoota armaan gaditti kennaman keessaa kanneen himama ta’anii fi hin taane erga addaan baafte booda kanneen himama ta’aniif gat-dhugooma isaanii kenni.
Harmeen too waan gaarii akka naaf hawwitu nan abdadha.
Iskuweeriin lakkoofsa lakkawwii kamiyyuu poozatiivii dha.
Qorumsi Keemistirii baay’see namatti tola.
1+1=1
Rabbi nama jaallata.
Tapha kubbaa miilaa hunda caalaa nan jaalladha.
Doktara ta’uu fedha.
y’n lakkoofsa kamiyyuu yoo ta’e,x^2-2=(x-√2)(x+√2).
Dhaabbadhu!
Qoyyaboota bu’uuraatti fayyadamne akkkuma lakkoofsota qayyabnu himamoota qayyabuun ni danda’ama.Himamoota qoyyabuun kan danda’amu himama yaada salphaa tokko qofa ibsan lama walitti fiduun himama dachaa ijaaruun ni danda’ama.Kanuma irratti hunda’uudhaan qoyyaboonni himamoota qoyyabuuf fayyadan walqabsistoota himamootaa jedhamuun waamamu.
Qoyyaboonni beekamoo ta’nis shanii dha.Isaanis:
i) miti ii) fi iii) yookiiin iv) yoo ta’e v) ta’ee yoo ta’e.
Walqabsiistota Himamaa
Walqabsiistonni himamaa jechoota himamoota lamaa yookiin lamaa olii walqabsiisanii himama haarawa uumanii dha. Isaanis shanii dha.
Miti
Fi
Yookiin
Yoo ta’e
Ta’ee yoo ta’e(yoo ta’ee ta’e)
Walqabsiistota himamaa kanneenitti fayyadamnee himamoota adda addaa uumuu ni dandeenya. Himamoonni kunis akka armaan gadiitti ibsaman ta’u.
Faallessaa (Negation)
Himamni walqabsiiftuu himamaa ˝miti˝ jedhu of keessaa qabu faallessaa jedhama.
Mallattoo: Himamni kenname p yoo ta’e faallessaa isaa ¬p jennee barreessina. Yoo dubbifnu miti p jenna.
Fakkeenya:

  1. p ≡ 2 lakkoofsa guutuu dha.
    ¬p ≡ 2 lakkoofsa guutuu miti.
  2. q ≡ Shaashamanneen Keeniyaa keessatti argamti.
    ¬q ≡ shaashamanneen Keeniyaa keessatti hin argamtu. (tan argamtuu
    miti).
    Seera Faallessaa: Himamni kenname dhugaa yoo ta’e faallessaan isaa soba ta’a. Himamni kenname soba yoo ta’e faallessaan isaa dhugaa ta’a.

Seera kana akk salphaatti haala armaan gadiitiin ibsuu ni dandeenya.
p ¬p
dh s
s dh

Hub: Faallessaa himama kennamee yoo barreessinu of-eeggannoo godhuun barbaachisaa dha. Kunis garaagarummaa faallessaa fi masaanuu (opposite) hubachuu gaafata. Mee fakkeenyaaf himamoota lamaan armaan gadii haa ilaalluu.
Lakkoofsi lakkawwii kamiiyyuu lakkoofsa mangoo dha.
Himamni kun soba dha. Faallessaa himama kanaa barreessuu dandeettaa? Faallessaan isaa himama ˝Lakkoofsi lakkawwii kamiiyyuu lakkoofsa mangoo miti˝ kan jedhuu dha jettee barreessuu dandeetta. Garuu of-eeggannoon godhamuu qabu asirratti dha. Kunis himamni kenname soba yoo ta’u faallessaan jedhamee barreeffames soba dha. Garuu seera faallessaatiin kun ta’uu hin danda’u. Kanaafuu himamni kun faallessaa osoo hin ta’in masaanuu himama kennamee ti. Waa’ee faallessaa maal jetta ree? Deebiin himama ˝Lakkoofsonni lakkawwii tokko tokko lakkoofsa mangoo miti yookiin Lakkoofsonni lakkawwii kanneen lakkoofsa mangoo hin ta’n ni jiru˝ jedhuu dha.
Gat-dhugooma himama kana Kenni.
2 > o. Himamni kun dhugaa dha. Faallessaan isaa ˝2 ≤0˝ kan jedhu yoo ta’u masaanuun isaa ammoo ˝2 < 0˝ kan jedhuu dha. Asitti faallessaa fi masaanuun soba dha.
2 lakkoofsa guutuu dha. Himamni kun dhugaa dha. Faallessaan isaa ˝2 lakkoofsa guutuu miti˝ kan jedhuu dha. Masaanuunis kanuma. Lamaanuu soba dha.
Akkuma himamoota sadan armaan olii irraa hubanutti himamni kennamee fi masaanuun isaa gat-dhugooma tokko qabaachuu ni danda’u. Faallessaa fi masaanuun himama kennamee gat-dhugooma tokkicha yookiin kan adda addaa qabaachuu ni danda’u. Garuu himamni kennamee fi faallessaan isaa gonkumaa gat-dhugooma tokkicha qabaachuu hindanda’an. Himamni faallessaa fi himamni masaanuu tokko ta’uu danda’u.

Hidhaa (Conjunction)

Himamoonni lamaa walqabsiiftuu˝ fi˝ jedhuun walqabatanii himama haarawa yoo uuman himamni uumame kun hidhaa loojikii jedhama.
Mallattoo: p fi q himamoota yoo ta’an hidhaa isaaniin uumamu pq jennee barreessina. Yoo dubbifnu p fi q jenna.
Fakkeenya: p: 5 > 4 fi q: 1 + 5 = 11 yoo ta’an hidhaan ammoo
pq: 5 > 4 fi 1 + 5 = 11ta’a.
Seera Hidhaa: Himamoonni lamaa walqabsiiftuu fi jedhuun walqabatanii himama dhugaa ta’e kennuu kan danda’an yoo lamaanuu dhugaa ta’an qofaa dha.
Seera kana akka armaan gadiitti ibsuu ni dandeenya.
p q pq
dh dh dh
dh s s
s dh s
s s s

Seera hidhaa: Kanneen armaan gadii tokkuma:-
P fi q (p and q)
P akkasumas q ( p also q)

Filaa (Disjunction)

Himamoonni lamaa walqabsiiftuu ˝yookiin˝ jedhuun walqabatanii himama haarawa yoo uuman himamni uumame kun filaa loojikii jedhama.
Mallattoo: p fi q himamoota yoo ta’an filaa isaaniin uumamu p q jennee barreessina. Yoo dubbifnu p yookiin q jenna.
Fakkeenya:
p: 5 > 7 fi q: 11 + 1 = 13 yoo ta’an filaan ammoo
pvq : 5>7 yookiin 11+1 = 13 ta’a.

Seera Filaa: Himamoonni lamaa walqabsiiftuu yookiin jedhuun walqabatanii himama soba ta’e kennuu kan danda’u yoo lamaanuu soba ta’an qofaa dha.
p q P q

dh dh dh
dh s dh
s dh dh
s s s
Seera kana haala armaan gadiitiin ibsuu ni dandeenya.

  1. Ta’iinsa (implication)
    Himamoonni lamaa walqabsiiftuu ˝yoo ta’e˝ jedhuun walqabatanii himama haarawa yoo uuman himamni uumame kun ta’iinsa loojikii jedhama.
    Mallattoo: p fi q himamoota yoo ta’an ta’iinsa isaaniin uumamu p q
    jennee barreessina. Yoo dubbifnu p yoo ta’e q jenna.
    Fakkeenya:
    p ≡ 3 kopxii dha.
    q ≡ 5 kompoozitii dha.
    p q ≡ 3 kopxii yoo ta’e 5 kompoozitii dha. (Ta’iinsa)

Seera Ta’iinsaa: p fi q’n himamoota yoo ta’an himamni p q soba kan ta’u yoo p’n dhugaa ta’ee q’n ammoo soba ta’e qofaa dha. Kana jechuun himamni duraa dhugaa ta’ee inni itti aanee dhufu soba yoo ta’e qofaa dha.

Seera kana akka armaan gadiitti ibsuu ni dandeenya.
p q p q

dh dh dh
dh s s
s dh dh
s s dh

            Seera Ta’iinsaa
  1. Ta’iinsa Dachaa (Bi-implication)
    Himamoonni lamaa walqabsiiftuu ˝ta’ee yoo ta’e˝ jedhuun walqabatanii himama haarawa yoo uuman himamni uumame kun ta’iinsa dachaa loojikii jedhama.
    Mallattoo: p fi q’n himamoota yoo ta’an ta’iinsa dachaa p q jennee
    barreessina. Yoo dubbifnu p ta’ee yoo ta’e q jenna.
    Fakkeenya:
    p ≡ 1 < 3 fi q ≡ 3 < 6 yoo ta’an p q ≡ 1 < 3 ta’ee yoo ta’e 3 < 6. (Ta’iinsa dachaa)
    Seera Ta’iinsa Dachaa: p fi q’n himamoota yoo ta’an himamni p q dhugaa kan ta’u yoo lamaanuu dhugaa yookiin lamaanuu soba ta’an qofaa dha. Kana jechuun yoo lamaanuu gat-dhugooma tokkicha qabaatan qofa p q dhugaa ta’a. Yoo gat-dhugooma adda addaa qabatan p q soba ta’a.

Seera kana akka armaan gadiitti ibsuu ni dandeenya.

p q p q

dh dh dh
dh s s
s dh s
s s dh

Seera Ta’iinsa Dachaa

Hiikoo 1.2. p fi q’n himamootaa fi p q ta’iinsa yoo ta’e
q p koonvarsii p q ti.
¬p ¬q invarsii p q ti.
¬q ¬p kotiraapoozaatiivii p q ti.
Hiikoo armaan olii irraa kan hubannu ta’iinsa kenname tokko irraa ta’iinsota biraa uumuun akka danda’amuu dha. Kunis Koonvarsii(converse) , invarsii (inverse) fi kotiraapoozaatiivii (contrapositive) dha.
Fakkeenya:
Koonvarsii , invarsii fi kotiraapoozaatiivii ( 0 ≥2 ) (0 >2) barbaadi.
Deebii: i. Koonvarsii: (0>2 ) ( 0 ≥2 ).
ii. Invarsii: ¬( 0 ≥2 ) ¬(0 >2) ≡ ( 0 < 2) (0 ≤ 2). iii .Kotiraapoozaatiivii: (0 ≤ 2) ( 0 < 2). Gocha 1.2. p: 5+7 > 9 fi q: 3 lakkoofsa guutuu dha. Himamoota kanneen irratti hundaa’uun isaan armaan gadii jechaan (himaan) barreessi.

p q
¬( p q)
¬(p  q)
¬p ¬q
p  ¬q
¬q   ¬p


  1.1.2. Himama Salphaa fi Himama Dachaa (himama xaxaa)
             Simple propositions and Compound or Complex Propositions

Hiikoo 1.3.
i. Himamni walqabsiiftuu himamaa kamiiyyuu of-keessaa hin qabne yookiin
himamni yaada tokko qofa ibsu himama salphaa (simple proposition)
(himama leexaa- single proposition) jedhama.
ii. Himamoonni salphaan lama yookiin lamaa olii walqabsiiftuu tokkoon
yookiin tokkoo oliin walqabatanii himama haarawa yoo uuman himamni
uumame kun himama dachaa (compound proposition) yookiin himama
xaxaa (complex proposition) jedhama.
Fakkeenya:

  1. 2 lakkoofsa guutuu dha. (Himama salphaa)
  2. 3 kopxii yoo ta’e 2 > 5 yookiin 4 guutuu dha. (Himama xaxaa)
    Himamoota xaxaa quboota gurguddoo kanneen akka P, Q, R k.k.f fayyadamuun mallatteessina.

Gocha 1.3 Fakkeenyota himamoota salphaa fi himamoota dachaa shan shan kennuun gat-dhugooma isaanii kenni.

 Gabateewwan gat-dhugoomaa fi Fayyadaalee Isaanii
     Truth tables and their applications

Gat-dhugooma Himama Dachaa akkamitti murteessina?
Gat-dhugooma himama dachaa murteessuuf haalota lama ilaaluu qabna. Isaanis:
Gat-dhugoomni himamoota leexaa kanneen himama xaxaa kenname keessa jiran yoo kenname ta’e gat-ghugooma himama xaxaa kanaa murteessuuf gat-dhugooma himamoota salphaa iddoo buusuu dha.
Gat-dhugoomni himamoota salphaa yoo hin kennamne ta’e gat- dhugooma himama xaxaa gabatee fayyadamuun murteessina. Gabateen kunis gabatee gat-dhugoomaa jedhama. Kana jechuun gabateen
gat-dhugooma himama dachaa tokkoo murteessuuf gargaaru gabatee
gat-dhugoomaa jedhama.
Fakkeenya:

  1. Gat-dhugoomni p, q, fi r tartiibaan (duraa duubaan) dhugaa, soba fi dhugaa
    yoo ta’an gat-dhugooma kanneen armaan gadii barbaadi.
    (¬p q) ¬(q r)
    (¬p q) ¬r
    (¬(p q) [¬p (p ¬r)]
    [p (¬p q)]  (p ¬r)

Deebii
a. Kan kenname: p ≡ dhugaa, q ≡ soba fi r ≡ dhugaa
Kan barbaadamu gat-dhugooma (¬p q) ¬(q r)
(¬p q) ¬ (q r) ≡ (¬dh s) ¬(s dh)
≡ (s s) ¬dh
≡ dh s
≡ dh
Haaluma armaan oliitti hojjatameen kanneen hafan hojjadhu.

Gat-dhugooma himama dachaa murteessuuf seerota shanan barannoo dabran keessatti ilaalle beekuun murteessaa dha.

  1. Gat-dhugooma kanneen armaan gadii murteessi.
    p (¬q p)
    (p q) r
    Deebii: Amma gat-dhugoomni himamoota salphaa waan hin kennamneef gabatee gat-dhugoomaa fayyadamna. Yeroo kana baay’inna haalota gabatee keessa galuu qaban (gat-dhugooma himamoonni leexaan qabaachuu malu) beekuuf foormullaa 2n (n- baay’inna himamoota salphaa kanneen himama dachaa keessaa jiranii) fayyadamna.
    n = 2 (himamoota leexaa lamatu jiru- p fi q). Kanaafuu haalota 2n = 22 = 4 qabna.

p
q
¬q
¬q p
p (¬q p)

dh dh s s s
dh s dh dh dh
s dh s s dh
s s dh s dh
Gabatee gat-dhugoomaa p (¬q p)
Tartiiba Walqabsiistotaa
Akkuma qoyyaboonni bu’uuraa tartiiba ittiin qoyyabaman qaban walqabsiistonni himamaas tartiiba qabu. Walqabsiistonni lamaa yookiin lamaa ol ta’anii himama tokko keessatti argamuu danda’u. Yeroo kana tartiiba armaan gadii hordofuun hojjatna.
Dura ¬ (miti) hojjatna.
Itti aansuun v yookiin  hojjatna.
Itti aansuun hojjatna
Dhuma irratti hojjatna.
Hammattuun (cuftuun) yoo jiraate isa cuftuu keessaa dursinee hojjatna. Kana booda tartiiba armaan oliitti fayyadamna.
Gocha 1.4. Seera tartiiba walqabsiistotaa hordofuun gat-dhugooma himama
“ 7 kopxii yoo ta’e 0≤7 yookiin 4 mangoo ta’ee yoo ta’e 3 hirmaataa 8 miti fi
-1≥ -2” barbaadi.

 Himama dhugoo fi himama dharaa(tautology and contradiction

Hiikoo 1.5
i. Himamni dachaan gat-dhugooma himamoonni salphaan isa keessa jiran
qabaachuu danda’an maraafuu gat-dhugoomni isaa dhugaa ta’e
himama dhugoo (tautology) jedhama.
ii. Himamni dachaan gat-dhugooma himamoonni salphaan isa keessa jiran
qabaachuu danda’an maraafuu gat-dhugoomni isaa soba ta’e himama
dharaa (contradiction) jedhama.

Fakkeenya:
Kanneen armaan gadii himama dhugoo yookiin himama dharaa ta’uu isaanii adda baasi.
q (¬p q) b. ( p  q)  ¬( p q)
Deebii: a.
p q ¬p ¬p q
q (¬p q)

dh dh s dh dh
dh s s s dh
s dh dh dh dh
s s dh dh dh
Kanaafuu haalota arfaniifuu gat-dhugoomni q (¬p v q) dhugaa waan ta’eef himamni kun himama dhugoo dha.
p q p  q p q
¬( p q)
( p  q)  ¬( p q)

dh dh dh dh s s
dh s s dh s s
s dh s dh s s
s s s s dh s
b.

Kanaafuu haalota arfaniifuu gat-dhugoomni (p  q)  ¬ (p q) soba waan ta’eef himamni kun himama dharaa ti.
Amma ammoo akkaataa himama dhugoo fi himama dharaa itti uumnu ilaalla. Kanneen armaan gadii sirriitti hubadhu.
i. Mala Iddoo Buusuu
Himama dhugoo kenname kamiiyyuu keessatti himama salphaa himama dachaa biraatiin yoo bakka buufne himamni uumamu himama dhugoo ta’a.
Fakkeenya:
a. p v ¬p himama dhugoo dha. Himama salphaa p himama dachaa r t yoo
bakka buufne (r t) ¬(r t) arganna. Himamni kun himama dhugoo
dha. Mirkaneessi.
b. Haaluma walfakkaatuun himamoota dhugoo (p  q) p, q (p q) fi
(p q)(q p) irraa himamoota dhugoo biraa uumi.
ii. Hidhaan himamoota dhugoo lamaa himama dhugoo dha.
Faallessaan himama dhugoo himama dharaa ti. Akkasumas faallessaan himama dharaa himama dhugoo dha.

Hubachiisa 1.4: Himamni salphaan himama dhugoo fi himama dharaa ta’uu hin danda’u.
1.1.5.Himamoota walgitaa
Himama Walgitaa:Himamootni lama p fi q’n walgitan kan jedhaman gat-dhugooma walfakkaatu yoo qabatanii dha. Mallattoo walgitaa”≡” fayyadamna.
Kanis bifa mallattoo p≡q tiin ibsina.
Hubachiisa:Himamoota p fi q kamiifuu,
p⇒q≡p∨q
p⇔q=(p⇒q)∧(q⇒p)
p⇒q≡q⇒p
(p⇒q)≡p∧q
(p⇒q)≡p∧q
Mee gabatee dhugoomaa fayyadamuun (i) himamoota wal-gitaa ta’uu isaa haa agarsiifnu.
p q p p⇒q p∨q

Dh Dh S Dh Dh
Dh S S S S
S Dh Dh Dh Dh
S S Dh Dh Dh
Gocha:P fi q’ himamoota kamiiyyuu yoo ta’an gabatee dhugoomaa fayyadamuun kanneen armaan gadii himamoota wal-gitaa ta’uu fi dhiisuu isaanii agarsiisi.
p⇔q=(p⇒q)∧(q⇒p)
p⇒q≡q⇒p
(p⇒q)≡p∧q
(p⇒q)≡p∧q

Fakkeenya: p⇒q≡q⇒p
gabatee dhugoomaa hojjechuun agarsiisi.

P q p q p⇒q q⇒p
Dh Dh S S Dh Dh
Dh S S Dh S S
S Dh Dh S Dh Dh
S S Dh Dh Dh Dh
1.1.6. Amaloota walqabsiistotaa (Aljebraa himamootaa)
(Properties of logical connectives)
p, q fi r himamoota kamiiyyuu yoo ta’an kanneen armaan gadii dhugaa ta’u. Gabateetti fayyadamuun mirkaneessuun ni danda’ama.
Amala idempotaantii (idempotent property)
p p ≡ p b. p p ≡ p
Amala jijjiirraa iddoo
p q ≡ q p b. p  q ≡ q  p c. p q ≡ q p
Amala jijjiirraa cuftuu
p (q r) ≡ (p q) r b. p  (q  r) ≡ (p  q) r
Amala raabsamaa
p (q r) ≡ ( p q)  (p r) b. p (q r) ≡ (p  q) ( p  r)
Seera Demorgaansii( Demorgan’s Rule)
¬ (p q) ≡ ¬ p ¬q b. ¬( p  q) ≡ ¬ p ¬ q
Amala Guuchisaa(complement properties)
p ¬ p ≡ dh b. p ¬ p ≡ s
Amala of-taasisaa(identity properties)
Yoo dh, dhugaa fi s ammoo soba ta’e akkasumas p himama ta’e:
p dh ≡ dh c. p dh ≡ p
p s ≡ p d. p s ≡ s

Seera kontiraapoozaatiivii (law of contrapositive)
       p  q ≡ ¬q   p

    Gocha 1.5:
            a.   fi   amala idempotaantii qabuu? Maaliif?
            b.    fi   amala jijjiirraa cuftuu qabuu? Maaliif?
            c. Seerri Demorgaansii   fi   hojjataa? Ibsa itti kenni.
            d.   amala jijjiirraa iddoo qabaa? Ibsa itti kenni.

Hubachiisa:Yoo p fi q’n himamoota ta’an,
q⇒p garagaltoo p⇒q jedhama.
p⇒q galagatoo p⇒q jedhama.
q⇒p kontiraa poozatiivii p⇒q jedhama.
p∧q faallaa p⇒q ti.
1.1.7.Himama Banaa fi Ibsoota
Hiikoo:Himama banaa jechuun hima jijjiiramaa(jijjiiramoota) qabaatee bakka/iddoo jijjiiramaa(jijjiiramootaa) wantoota yookiin lakkoofsota bakka buusuudhaan gara himamaatti jijjiiramuu danda’uu dha.
Fakkeenya:Mee himoota armaan gadii haa fudhannu.
x’n magaalaa guddoo Oromiiyaati.
x+y=2
x^2≥0
Himootni armaan olitti kennaman hundinuu jijjiiramoota of keessa qabu.Hamma gatii jijjiiramoota kanaa barrutti gat-dhugooma isaanii kennuu hin dandeenyu.Walumaagalatti himootni armaan olii hunduu himama banaa jedhamu.
Fakkeenyaaf,i) keessatti jijjiiramaa x magaala Adaaman yoo bakka buusine hima ta’a.
Hubachiisa:Himama banaa jijjjiiramaa wajjiin kenname bifa biraatiin barreessuu ni dandeenya.
Fakkeenya:Himama banaa x+5=2 jedhu bifa p(x):x+5=2 jennee barreessuu ni dandeenya.Akkasumas x+y=2 isa jedhu immoo p(x):x+y=2 jennee barreessina.
Himama banaa tokko osoo jijjiiramaa/jijjiiramttoota gatii tokkoon bakka hin buusin ibsootatti fayyadamuun himamatti jijjiiruun ni danda’ama.
Herreega keessatti ibsoota gosa(akaakuu) lamatu jira.Isaanis
Ibsituu jireenyaa fi
Ibsituu hundaa jedhamu.
Mallattoon yommuu bakka buufaman haala armaan gadii ta’u.
∃- Ibsituu jireenyaa
∀- Ibsituu hundaa
Mee amma immoo akkaataa himama banaa waliin walqabsiisnee barreessinuu fi dubbifnu haa ilaallu.
P(x) himama banaa yoo ta’e,
(∃x)P(x)- ” P(x) kan dhugaa taasisu yoo xiqqaate x’n tokko ni jira.”
(∀x)P(x)-” x hundaaf P(x) dhugaa ta’a.”
Fakkeenya: Mee P(x):x^2-9=0 fi Q(x):x^2≥0,x∈R haa fudhannu.
(∃x)P(x)
(∀x)P(x)
(∀x)Q(x)
(∀x)Q(x)
(∃x)P(x)⇒(∀x)Q(x)
(∀x){P(x)∨Q(x)}
(∃x){(P(x)⇔Q(x))∧Q(x)}
(∃x)P(x)⇒(∃x)Q(x)
Furmaata:i) dhugaa dha.Yoo x=3 fudhanne (∃x)P(x) dhugaa ta’a.
ii) Soba sababa yoo x=4 fudhanne P(4):4^2-9=16-9=7≠0 waan taasisuuf.
v) dhugaa ta’a.
Kanneen hafan hojjedhu!
2) Mee P(x)={x∈R:x>4} fi Q(x)={x:x∈N} yoo ta’an,gat-dhugooma kanneen armaan gadii barbaadi.
P(2)∧Q(-4)
P(47)⇒Q(1)
P(64)⇔Q(-8)
P(4)⇒Q(7)∨Q(7)
Deebii:a) P(2)≡2>4≡ soba(s) , Q(-4)≡-4∈N≡ soba(s)
P(2)∧Q(-4)=s∧s≡s ta’a.
Gocha:Himamoota armaan gaditti kennamaniif gat-dhugooma isaanii barbaadi.
(∃x∈R)(x/x=1)
Deebii:Yoo x=2 ta’e, (∃x∈R)(x/x=1) dhugaa ta’a sababa 2/2=1 ta’uu hin dandeenyeef
(∀x∈R)Q(x/x=1)
(∃x∈R)(5^x=1)
(∃x∈Z)(x^2≥0)
(∀x∈Z)(x^2≥0)
(∃x∈R)(x^2+1=0)
(∀x∈R)(x^2+1=0)
(∃x∈R)(x^2-2x+1=0)
(∀x∈R)(x^2-2x+1=0)
Hariiroo Ibsituu Jireenyaa fi Ibsituu Hundaa
Mata duree kana jalatti akaataa ibsitoota lamaan walitti fiduun hariiroo isaanii uumuu dandeenyu ilaalla.Kana gochuuf jalqaba mee himama banaa haa fudhannu.
Mee P(x)’n himama banaa haaa jennu.Faallaa himama (∀x)P(x) bifa (∀x)P(x) tiin baarreesina.Himamni (∀x)P(x) soba ta’uu kan danda’uu yoo xiqqaate x’n tokko kan soba taasisu yoo argame qofa dha.Mee a’n soba taasisa haa jennu. p(a)’n soba yoo ta’e p(a)’n immoo dhugaa ta’a jechuu dha.Kun immoo (∃x)p(x)’n dhugaa ta’uu isaa agarsiisa.
Kanaafuu, (∀x)P(x)≡(∃x)p(x) ta’a.
Haaluma walfakkaatuun , (∃x)P(x)≡(∀x)p(x) ta’a.
Fakkeenya: a) Mee x∈R, p(x):x^2+1<0 haa jennu. Gat-dhugoomni (∀x)P(x)≡(∀x)(x^2+1<0 ) soba ta’a. (∀x)P(x)≡(∀x)(x^2+1<0 ) dhugaa ta’a. (∃x)p(x)≡(∃x)(x^2+1<0)≡(∃x)(x^2+1≥0) dhugaa ta’a. Kanaafuu, (∀x)(x^2+1<0 )≡(∃x)(x^2+1<0)≡(∃x)(x^2+1≥0) ta’a. b) Mee x∈R, p(x):x^2-2=0 haa jennu. Gat-dhugoomni (∃x)p(x)≡(∃x)(x^2-2=0 ) dhugaa waan ta’eef gat-dhugoomni (∃x)P(x)≡(∃x)(x^2-2=0 ) soba ta’a. (∀x)p(x)≡(∀x)(x^2-2=0 ) soba. Kanaafuu, (∃x)P(x)≡(∃x)(x^2-2=0 )≡(∀x)(x^2-2=0 ). c) Mee P(x):x’n lakkoofsa poozatiivii fi q(x):x>3 yoo ta’e,faallaa (∀x)[q(x)⇒p(x)] barbaadi.
Furmaata: (∀x)[q(x)⇒p(x)]≡(∃x)[q(x)⇒p(x)]
≡(∃x)[q(x)∨p(x)]
≡(∃x)[q(x)∧p(x)]

Gocha:Faallaa himamoota armaan gaditti kennamanii barbaadi.
(∀x∈R)(x≥x)
(∃x∈R)(x<x)
(∀x∈R)(√(x^2 )=x)
(∀x∈Z)(x^2≥0)
(∃x∈R)(x=x)
(∀x∈Z)(x=x)

  Mirkana Herregaa / mathematical proof/

Herrega keessatti himamoota herregaa mirkaneessuuf karaaleen adda addaa ni jiru. Himamoonni herregaa kunis tiiramoota, korolaarota (corollaries), leemaa (lemmas) k.k.f. ta’uu danda’u. Himama mirkaneessuu jechuun ammoo vaaliditummaa (dhugummaa) isaa agarsiisuu jechuu dha.
Mata duree kana jalatti faayidaa loojikiin tiiramii herregaa mirkaneessuu keessatti qabu ilaalla. Tiiramii jechuun himama gat-dhugoomni isaa dhugaa ta’ee fi dhugoomni isaa kan mirkana barbaadu jechuu dha. Mirkaneessuu jechuun adeemsa dhugummaa tiiramii tokkoo agarsiisuuf raawwatamuu dha.
Tiiramii tokko mirkaneessuuf yaad-rimeewwan barbaachisan hiikoo, termoota hiik-malee, agzeemota (pooschuleetota) fi tiiramoota tanaan dura mirkanaa’an (yoo jiraatan) k.k.f. dha.
Himama herregaa mirkaneessuuf mallonni fi tooftaaleen adda addaa ni jiru. Kanneen armaan gadii isaan beekamoodha.
Mikrana kallachaa (direct proof)
Mirkana al-kallachaa (indirect proof)
2.1. Mirkana kontiraapoozatiivii (proof by contrapositive)
2.2. Mirkana faalla ( proof by contradiction)
2.3. Mirkana jireenyaa (proof by existence)
2.4. Haalota fudhachuun mirkaneessuu (proof by cases)
2.5. Fakkeenya soba godhu fudhachuun al-mirkaneessuu (disprove by a counter example) (Mirkana fakkeenyaan agarsiisuu)
Mirkana indaakshiinii herregaa

Mirkana kallachaa

Mala kana himamoota bifa “p q “barreeffamu danda’an mirkaneessuuf itti fayyadamna. p q mirkaneessuuf “p” akka dhugaatti fudhannee pooschuleetota, hiikoowwan akkasumas tiiramii mijaa’oo ta’etti fayyadamuun “q” mirkaneessina. Sababani “p” akka dhugaa ta’eetti fudhannuuf yoo p’n soba ta’e p q yeroo maraa dhugaa waan ta’eef wanti mirkaneessinu hin jiru.
Fakkeenya: Kanneen armaan gadii mirkaneessi.
 x, y  Z, x fi y lakkoofsa guutuu yoo ta’an xy lakkoofsa guutuuti.
a’n hiramaa b fi b hiramaa c yoota’e a hiramaa c ti.
 x, y  Z, x fi y lakkoofsota mangoo yoo ta’an xy lakkoofsa mangooti.
x’n intiijeerii guutuu yoo ta’e x2 intiijeerii guutuudha.
Mirkana: a. Mee x fi y lakkoofsota guutuu haa ta’u. Kan mirkaneessuu barbaadnu xy lakkoofsa guutuu ta’uu isaa ti.
x fi y lakkoofsoota guutuu waan ta’aniif bifa x = 2n akkasumas y= 2m
(n, m ∈ Z) ibsuu dandeenya.
Kanaafuu xy = (2n (2m) = 2(2mn) = 2k (k = 2mn). Kanarraa kan hubanuu xy lakkoofsa guutuu ta’uu isaa ti.
(b) – (d) yaali.
Mirkana al-kallachaa
Mirkana kontiraapoozatiivii
Ta’iinsaa fi kontiraapoozatiiviin isaa himamoota waliigitaa waan ta’aniif
“p q” mirkaneessuu jechuun “  q  p” mirkaneessuu jechuudha.
Fakkeenya: Kanneen armaan gadii mirkaneessi.
n  Z fi n2 lakkoofsa guutuu yoo ta’e “n” lakkoofsa guutuudha.
n  Z fi n2 lakkoofsa mango yoo ta’e “n” lakkoofsa mangoo ti.
x fi y intiijeerota lama kan baay’atann isaanii lakkoofsa guutuu ta’e yoo ta’an yoo xiqqaate lamaan keessaa tokko guutuu ta’uu qaba.
Mirkana: a. Ta’iinsa kenname mirkaneessuu jechuun kontiraapoozatiivii isaa mirkaneessuu jechuu dha. Kanaafuu “n lakkoofsa guutuu miti yoo ya’e n2 lakkoofsa guutuu miti” kan jedhu mirkaneessina.
Mee n lakkoofsa guutuu miti haa jennu.
n lakkoofsa mangoo ti.
n = 2k +1
n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 +2k) +1 = 2m +1 (m = 2k2 + 2k)
n2 lakkoofsa mangoo ti.
n2 lakkoofsa guutuu miti.
n lakkoofsa guutuu miti yoo ta’e n2 lakkoofsa guutuu miti.
Kanaafuu n2 lakkoofsa guutuu yoo ta’e n lakkoofsa guutuu dha.
(b) fi (c) yaali.
Mirkana Faallaa
Mala kanatti fayyadamnee p q yammuu mirkaneessinu “p” fi  q akka dhugaatti fudhannee yaada soba ykn dhugaa (haqa) jiru faallessu ilaalla.
Fakkeenya: Kanneen armaan gadi mirkaneessi.
(a) – (c) (2.1) jala jiran.
x,y N yoo ta’an x2 – y2≠1
a  Q fi b  Qc yoo ta’an a + b  Qc
√(2 ) al- raashinaaliidha.
Mirkana: a. Mee n2 lakkoofsa guutuu fi n lakkoofsa guutuu miti haa jennu.
n lakkoofsa mangoo dha.
n = 2k + 1
n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) +1= 2m + 1
(m= 2k2 +2k)
Kanaafuu n2 lakkoofsa mangoo ti.
Kun garuu yaada (kennama) n2 lakkoofsa guutuu dha jedhu faallessa.
Kanaafuu n2 lakkoofsa guutuu yoo ta’e n lakkoofsa guutuu dha.
Kanneen hafan mirkaneessi.

Mirkana jireenyaa 

Tiiramii (x) p(x) mirkaneessuuf fakkeenya dhugaa taasisu ijaaruun gahaadha.
Fakkeenya:
Tuunni cita tuutaa tuuta kamiiyyuu ta’e ni jira. ( Ø)
Himni walqixaa bifa ax+b = 0, a≠ 0 kamiiyyuu lR keessatti furmaata ni qaba.(x =-b/a )
Haalota fudhachuun mirkaneessuu
Mala kana tiirramii bifa (p  r) q qabu mirkaneessuuf itti fayyadamna. Tiiramii kana mirkaneessuuf p q fi r q qophaa qophatti fudhannee mirkaneessina.
(p  r) q ≡ ¬(p  r)  q ≡ (¬p ¬r)  q ≡ (¬pq)  ( ¬r q)
≡ (p q)  ( r q)
Fakkeenya: Kanneen armaan gadii mirkaneessi.
 n  Z, 3n2 – n lakkoofsa guutuudha.
Haala i: Mee “n” lakkoofsa guutuu haata’u.
Haala ii: Mee “n” lakkoofsa mangoo haata’u.
Haala i: Mee n lakkoofsa guutuu haa ta’u.
n = 2k, k∈ Z
3n2 – n = 3(2k) 2 – 2k = 12k2 – 2k = 2(6k2 –k) = 2m,
m= 6k2-k
Haala kanaaf 3n2 –n lakkoofsa guutuu dha.
Haala ii: Mee n lakkoofsa mangoo haa ta’u.
n = 2k + 1, k∈ Z
3n2 – n = 3(2k +1)2 – (2k + 1) = 3(4k2 + 4k + 1) – 2k-1=
12k2 +12k + 3 – 2k -1= 12k2+ 12k -2k +2 = 2(6k2 +6k –k +1)
= 2m (m= 6k2 +6k –k +1)
Haala kanaafis 3n2 –n lakkoofsa guutuu dha.
Kanaafuu  n  Z, 3n2 – n lakkoofsa guutuudha.  n  Z “n lakkoofsa guutuu ykn lakkoofsa mangoo yoo ta’e 3n2 – n lakkoofsa guutuudha.
Hub: Indaakshiinii herregaa fayyadamuu ni dandeenna. Akkamitti?
Mee n  N, n > 4 haa ta’u. n, 4’f hirree hafteen argamu mangoo yoo ta’e n2-1 hiramaa 4 ta’a.
Lakkoofsa lakkawwii n >4 ta’e 4’f yoo hirre hafteen argamu 0, 1, 2 yookiin3 dha. Garuu kennama irratti hafteen argamu mangoo waan ta’eef 1 yookiin 3 ta’a. Kanaafuu haalota lama fudhannee ilaalla.
Haala i: Mee hafteen 1 haa ta’u.
n = 4k+1, k∈N
Haala ii: Mee hafteen 3 haa ta’u.
n = 4k+3, k∈N
Xumuri!
x  Z yoo ta’e x+1 fi x-1 al-tokkotti guutuu ykn al-tokkotti mangoo ta’u.
Baay’ataan intiijeerota walitti aanan lama kamiiyyuu lakkoofsa guutuudha. (x. (x+1) or (x-1). (x))
Fakkenya soba godhu fudhachuun al- mirkaneessuu
Fakkeenya:
 n  N, n! < n3 e. (x lR) (x2>x)
(n = 6) (x= ½)
x2 > y2 x>y – (x= -4, y = -3)
a,b  Q a/b  Q , (b = 0)
( x  Z) ( 2x  x2) . ( x = 3)
f.Ida’amni lakkoofsota al-raashinaalii lama kamiiyyuu al-raashinaaliidha.

Indaakshiinii herregaa 

Malli kun himamoota (tiiramoota) lakkoofsaota lakkawwiitiin walqabatan mirkaneessuuf gargaara. Kanas tarkaanfilee armaan gadii irratti hundaa’uun mirkaneessina.
Seer-hundeewwan idaakshiinii Herregaa
(Principle of mathematichal induction)
Mee p (n) himama lakkoofsota lakkawwiitiin walqabate haata’u. Himamni kun lakkoofsota lakkawwii “n” hundaaf dhugaa ta’uu mirkaneessuuf tarkaanfilee lamaan armaan gadii hordofna:
Himamni p (1) (himamichi n =1) dhugaa ta’uu agarsiisuu.
Ta’iinsi p (n) p(n+1) lakkoofsa lakkawwii hundaaf dhugaa ta’uu agarsiisuu.
(Himamichi n = k’f dhugaa ta’uu fudhannee n = (k+1)’s dhugaa ta’uu agarsiisuu)
Yoo (i) fi (ii) dhugaa ta’an himamichi lakkoofsota lakkawwii hundaaf dhugaa ta’a.
Tarkaanfilee armaan olii keessatti:
a. “i” tarkaanfii bu’uuraa (basis step) ykn bu’uura indaakshiinii (basis of
Induction) jedhama.
b. “ii” tarkaanfii indaakshiinii (inductive step) jedhama.
Yaadni “himamichi n = k’f dhugaadha” jedhu ka’uumsa indaakshiinii (induction hypothesis) jedhama( kan “ii” irra jiru)
Mirkanni kun tarkaanfilee lama qaba.
Himamichi n =1 dhugaa ta’uu mirkaneessi.
k’n lakkoofsa lakkawwii kamiiyyuu yoo ta’e n = (k+1)’s dhugaa ta’uu mirkaneessi.

Indaakshiinii Herregaa waliigalaa

(Extended pricnciple of mathematical induction)
Yeroo tokko tokko himamni lakkoofa lakkawwiitiin walqabatan n = 1 soba ta’uu ni mala. Akkasumas gatiiwwan “n” muraasaaf soba ta’ee warra gatiiwwan kanneenii ol jiran hundaaf dhugaa ta’uu ni mala. Fakkeenyaaf
2n> n2 kan jedhu n = 2, 3, 4 soba. Garuu n5 dhugaa ta’a.
Himamoota akkanaa seer-hundee armaan gadiitti fayyadamnee mirkaneessina.
Mee “t” lakkoofsa lakkawwii murtaa’aa haa ta’uu.
Himamichi n = t dhugaa ta’uu mirkaneessi.
Himamichi n = k  t dhugaa yoo ta’e n=(k+1)’s dhugaa ta’uu mirkaneessi.
yoo (i) fi (ii) dhugaa ta’uu mirkaneessine himamichi lakkoofsota lakkawwii kanneen irra guddaa yookiin walqixa “t” maraaf dhugaa ta’a.
Fakkeenya: Kanneen armaan gadii mirkaneessi.
1+2+3+— +n = n(n+1)/2
Ida’amni lakkoofsota mangoo “n” duraanii n2 dha.
(1+3+5+— + (2n-1) = n2
p(n): 1+3+5+—+(2n-1) = n2
p(1): dhugaa dha(1=1)
Mee p(k) dhugaa haata’u.
Kan mirkaneessuu barbaadnu p(k+1) dhugaa ta’uudha.
1+3+5+—+(2k-1)+(2k+1)= [1+3+5+—+(2k-1] + (2k+1)
= k2 +(2k+1) — (ii) irraa
= k2 +2k+1 = (k+1)2
∴ p(k+1) dhugaadha. Kana waan ta’eef p(n) lakkoofsota lakkawwii “n” hundaaf dhugaa ta’a.
12 + 22 + — +n2= n(n+1)(2n+)/6 ,n 1
i. n =1, 12 = (1(1+1)(2+1))/(6 ) 1=1
ii. Mee 12 + 22 + — + k2 = (k(k+1)(2k+1))/6
12 + 22 + — + k2 + (k+1)2 = (k(k+1)(2k+1))/6 +(k+1)2
(= (k+1) [(k+1) + 1] [2(k+1)+1] )/6
n+10  2n n N, n4
i. n =4, 1416
ii. Mee k+10  2k — () (k+1) +10 = (k+10) +1  2k +1 – () irraa
 2k+2k, (1< 2k) = 2.2k = 2k+1 3n 6 (3.2) fayyadam)
2n < n! , n 4
n =4, 24 < 4! 16< 24)
Mee 2k < k! — () k 4 2k+1 = 2k .2 < 2k (k+1) … (2 < (k+1) … (k4) < k! (k+1) — () irraa
= (k+1)! — (k! = 1x2x3x—xk)
8n – 3n hiramaa 5ti
i. n = 1 8-3 = 5. 5 hiramaa 5ti .
ii. Mee 8k – 3k hiramaa 5 haa ta’u (*)
8k+1 – 3k+1 hiramaa 5 ta’uu agarsiisuu qabna.
8k+1 – 3k+1 = 8k.8 – 3k+1
= 8k(5+3) – 3k+1
= 5(8k) + 3(8k) – 3K+1
= 5(8k) + 3(8k- 3k)
= 5( 8k) + 3(8k-3k)
= 5(8k+3m) = 5p — (p= 8k+3m)
8k+1 – 3k+1 hiramaa 5ti.
∴ Seer-hundee indaakshiinii herregaatiin, 8n – 3n hiramaa 5 ta’a ( n  N)

  1. n 5, 2n – 4>n -n = 5 6 > 5
    • Mee 2k-4 > k, k > 5
      2(k+1)-4 = 2k + 2 -4 = 2k – 4 +2 > k +2 > k+1(1<2) Kanaafuu n 5, 2n – 4>n
  2. n  2, n2 >n -n = 2 4>2
    • Mee k2 > k.
      (k +1)2= k2 +2k +1 > k+1+2k > k+1
      Kanaafuu n  2, n2 >n
  3. 13 + 23 + 33 + — +n3 = (n^2 (〖n+1)〗^2)/4
    i. n = 1, 1= (1^2 (1+1)2)/4=1
    ii. Mee 13 + 23+ 33+ — + k3 = (k^2 (〖k+1)〗^2)/4
    13 + 23+ 33+ — + k3+(k+1)3= (k^2 (〖k+1)〗^2)/4 +(k+1)3
    = (〖(k+1)〗^2 [(〖k+1)+1]〗^2)/4
    Kanaafuu 13 + 23 + 33 + — +n3 = (n^2 (〖n+1)〗^2)/4

1.2. Yaad-hiddama Tuutaa (set Theroy)
Seensa
Dameewwan herregaa hunda keessatti yaad-rimeen tuutaa bu’uuraa dha. Qo’annaa herregaa qaroomaa (modern mathematics) keessatti tuunni
yaad-rimee bu’uura ta’ee dha. Jireenya guyyaa guyyaa keessatti yaad-rimee tuutaa itti fayyadamna.
Mata duree kana jalatti yaad-rimeewwan bu’uuraa tuutotaa, ibsama tuutotaa, tuutota addaa, tuutota dhaabbataa fi tuutota fufaa, hariiroowwan tuutotaa, qoyyaboota tuutotaa fi amaloota isaanii akkasumas fayyadaalee tuutotaa ilaalla.
1.2.1. Yaad-rimeewwan Bu’uuraa Tuutaaa (Basic notions of sets)

Tuutaaf hiika kennuu hindandeenyu. Garuu amala inni qabuun ibsuu dandeenya.
Tuunni walitti qabama wantoota sirnaan hiikamaniiti (set is a collection of well defined objects)

Hubachiisa 1.2.1: Hiikoo kana keessatti “wantoota sirnaan hiikaman” gaaleen jedhu yaada armaan gadii ibsa.
Tuunni “A” fi wanti “a” yoo kennaman a’n guutumaan guututti “A” keessa yookiin guutumaan guututti “A” keessaa miti jennee murteessuu ni dandeenya
jechuudha. Kana jechuun seerri wanti tokko miseensa tuuta kennamee ta’uu fi ta’uu dhabuu ittiin beeknu jiraachuu qaba jechuu dha.
Mallattoo bu’uuraa
Wantoonni walitti qabaman miseensota tuutaa kanaa jedhamu . Wanti a’n miseensa tuuta “A” yoo ta’e “aA” jennee barreessina. Yoo dubbifnu, “a’n miseensa Ati” ykn “a’n tuuta “A” keessatti argama” jenna.
ii . a’n miseensa tuuta “A” miti yoo ta’e “a A” jennee barreessina. Yoo
dubbifnu, “a’n miseensa A miti” ykn “a’n tuuta A keessatti hin
argamu” jenna.
Tuuta qaboota gurguddoon yammuu ibsinu miseensi tuuta
kennamee qubee yoo ta’e qubeen kun qubee xiqqaa ta’uu qaba.
Fakkeenya:
A = Tuuta dubbachiiftuu quboota Ingiliizii = {a,e,i,o,u}
B = Tuuta lakkoofsoota kopxii kanneen 20 gadii = {2,3,5,7,11,13,17,19}
Guyyaa tokko Obsaa fi Caaltuun gabayaa deeman. Obsa qubeessaa, qalamaa fi dabtara yoo bitu Caaltuun ammoo dinnichaa, timaatimii fi kaarotii bitte. Mee O tuuta wantoota Obsa bitee fi C tuuta wantoota Caaltuun bittee haa ta’u.
O = {qubeessaa, qalama, dabtara}
C = {dinnichaa, timaatimii, kaarotii}
Mee S = {1, {1}, {2}, {{3}}}. Miseensota tuuta kanaa ibsi.
1.2.2. Ibsama Tuutotaa (Description of sets)
Tuutonni karaa sadii beekamoo ta’aniin ibsamuu danda’u. Isaanis tarreessuun ibsuu, jechaan (himaan) ibsuu fi seera ijaarsa tuutaatiin ibsuu dha.
Himaan ibsuu
Fakkeenya:
Tuuta lakkoofsota kopxii
Tuuta qubeewwan dubbachiiftuu afaan oromoo
Tuuta lakkoofsota raashinaalii
Tuuta barattoota mana barumsa tokkoo
Gocha 1.2.1: Fakkeenyota biroo kenni.
Tarreessuu /listing method or roster or tabular method
Miseensota tuuta kennamee tarreessuun tuuta kana ibsuu ni dandeenya. Miseensota tuutaa karaa lamaan tarreessina.
i. Hunda Tarreessuu/complete listing method/
Miseensota tuuta kannamee hunda tarreessinee fixuu ni dandeenya yoo ta’e karaa kanatti fayyadamnee tuuta kenname ibsuu dandeenya. Mala kanatti fayyadamnee tuuta kenname ibsuu kan dandeenyu yoo miseensota tuuta kanaa hunda tarreessuun ni danda’ama ta’e qofaa dha.
Fakkeenya:
A= Tuuta lakkkoofsota hundaa kanneen 10 gadii.
= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B = Tuuta dubbachiiftuu qubee afaan Oromoo
= {a, e, i, o, u}
Gocha 1.2.2: Tuutota armaan gadii mala kanatti fayyadamnee ibsuu
dandeenyaa? Maaliif?
Tuuta lakkoofsota hundaa.
Tuuta lakkoofsota raashinaalii kanneen 0 fi 1 jidduu.
Tuuta lakkoofsota lakkawwii kanneen 7 gadi jiran.

ii. Gar-tokkeen Tarreessuu /Partial listing method
Miseensota tuuta kennamee tokko hunda tarreessinee fixuu hin daneenyu yoo ta’e yookiin hunda tarreessuuf dadhabsiisaa yoo ta’e yookiin yoo hunda tarreessuun hin barbaachisu ta’e miseensota muraasa tarreessuun warra hafan ammoo tuqaalee sadiin agarsiifna.
Fakkeenya:
T = Tuuta intiijeerootaa
= { … , -3, -2 , 0 ,1 , 2 , 3, … }
S = Tuuta lakkoofsota hundaa dhibban duraanii
= {0, 1, 2, 3, 4,… 99}
A = Tuuta lakkoofsota hundaa kanneen 10 gadii
= {0, 1, 2, 3,…, 9}

Tuuta kenname tokko keessatti miseensa tokko si’a tokkoo ol barreessuun akkasumas tartiiba miseensotaa jijjiiruun tuuticha hin jijjiiru. Kanaafuu miseensa tokko si’a tokkoo ol barreessuun hin barbaachisu.
Fakkeenyaaf A = {a, b, c, a, a} ={c, b, a} = {a, b, c}.
Seera Ijaarsa Tuutaa(Set builder method)
Mala kanatti fayyadamnee tuuta kenname ibsuuf miseensota tuuta kanaa amala isaaniitiin ibsuu yookiin haala wanti tokko miseensa tuuta kanaa ta’uuf guutuu qabu ibsuu qabna. Himama banaatti fayyadamna. p(x) himama banaa yoo ta’e {x p(x)} tuuta kenname ta’a. Miseensonni tuuta kanaa kanneen p(x) dhugaa taasisan hundaadha. p’n amala miseensonni tuuta kennamee qabanii dha.
Fakkeenya:
A = {xx’n lakkoofsota kopxii kanneen 20 gadii}
Mee p(x) : xN fi (x>6 x<10)
Mee A = {xp(x)}
Miseensonni “A” lakkoofsota lakkawwii kanneen p(x) dhugaa taasisanii dha.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
B = {x: x lakkoofsa guutuu dha.}
T= {y:y∈Q fi 0 < y < 1}

Gocha 1.2.3:
Miseensota tuuta armaan gadii tarreessi.
A = {{0,1,2} , { 1,3}, {2,0}}
B = {xN x>1 x<20} C = {x:x =4n+1, 1 8 fi x < 6}
Lakkoofsi waliigalaa kan iskuweeriin isaa -1 ta’e waan hin jirreef tuunni A miseensi hin qabu. Haaluma walfakkaatuun lakkoofsi raashinaalii kan
al-tokkotti irra guddaa 8 fi irra xiqqaa 6 ta’e waan hin jirreef tuunni B miseensa hin qabu. Tuunni akkasii maqaa qaba.

   Hiikoo 1.2.2  Tuutni miseensa hin qabne tuuta duwwaa jedhama. Tuunni kun mallattoo  ∅ yookiin { } agarsiifama.

Tuutni kun seera ijaarsa tuutaatiin ibsamuu danda’a. Kunis , ∅ = {x: x ≠ x}.
Fakkeenya:
Tuuta intiijeerotaa kanneen guutuu fi mangoo ta’an.
A = {x ∈ Q: x2 = 3}
B = {x ∈ Z: 3×2 = 9}
Tuuta hiramoota 0.
Tuuta namoota ija kudhan qabanii.

Gocha 1.2.4: Fakkeenyota biroo shan kenni.

Tuunni duwwaan tokko qofatu jira. Kana jechuun A fi B lamaanuu tuutota duwwaa yoo ta’an A = B. Lamaanuu miseensa hin qaban waan ta’eef.
Tuunni miseensa tokko qofa qabu tuuta miseensa tokkee (singleton) jedhama.
A tuuta miseensa tokkee fi a∈A yoo ta’e A = {a} ta’a. a fi {a} garaagarummaa qabu . {a} tuuta miseensa a qofa qabu yoo ta’u “a” ammoo miseensa {a} ti.
Fakkeenya:
A = {x: x lakkoofsa guutuu kan kopxii ta’ee dha.} = {2}
ii. Tuuta walii galaa (universal set)
Hojii yookiin sirna murtaa’aa tokkoof tuunni guddichi kan miseensota tuutota biroo kanneen hojii kanaaf barbaachisan hunda qabate tuuta waliigalaa jedhama. Tuuta kana U agarsiifna.
Mee tuutota armaan gadii haa fudhannu.
A = Tuuta barattoota mana barumsa tokkoo
B = Tuuta barattoota dhiiraa mana barumsa kanaa
C = Tuuta barattoota dubaraa mana barumsa kanaa
D = Tuuta barattoota mana barumsa kanaa kanneen daree 1 keessa jiranii
Tuutonni B, C, D hundinuu citoota tuutaa A ti.
Sirna (fakkeenya) kanaaf A akka tuuta waliigalaatti fudhatamuu danda’a.
Pirobleemii murtaa’aa tokkoof tuunni U tuuta waliigalaa kan ta’u yoo tuutonni pirobleemii kanaa hundinuu citoota tuutaa U ta’an qofaa dha.
Tuuta waliigalaa jechuun tuuta wantoota jiran hunda qabate jechuu miti.
Tuunni U kan pirobleemii tokkoof tuuta waliigalaa ta’e pirobleemii biraatiif tuuta waliigalaa ta’uu dhiisuu mala.
Tuutota armaan gadii keessaa isaa kamtu isaan birootiif tuuta waliigalaa ta’a?
A = {x: x lakkoofsa waliigalaa}
B = {y: y intiijeerii nagatiivii}
C = {z: z lakkoofsa lakkawwii}
Furmaata: Akkuma hubatamuun danda’amutti tuutoonni B and C lamaanuu citoota tuutaa A. Kanaafuu A tuuta waliigalaa pirobleemii kanaa ti.
Fakkeenya:
Tuunni {1,2,3,4,…,15} tuutota {2,3,6} fi {1,4,11,14} akka tuuta waliigalaatti fudhatamuu ni danda’a.
Tuutota {3,5,7} , {1,2,3} , fi {2,4,6}’f tuunni {1,2,3,4,5,6,7} yookiin tuunni {1,2,3,4,,5,6,7,8,9,10} yookiin N akka tuuta waliigalaatti fudhatamuu danda’u.
1.2.4. Tuutota dhaabbataa fi tuutota fufaa (finite and infinite sets)
Mee tuuta armaan gadii haa fudhannu.
A = {1, 2, 3, 4} C = { } T = Tuuta quboota jecha herrega jedhu keessa jiranii
B = {3,{4,5},6} D = {1,2,3,4,…}
Baay’inni miseensota tuuta kanneenii meeqa? Baay’inni miseensota A = 4, baay’inni miseensota B = 3, kan C = 0 akkasumas kan T = 5 dha. Kan D?

   Hiikoo 1.2.3:

Mee n∈W haa ta’u. Tuutni tokko tuuta dhaabbataa dha kan jedhamu yoo baay’inni miseensota isaa n ta’e qofaa dha. Yoo ta’uu baate ammoo tuuta fufaa jedhama. Kana jechuun yoo lakkoofsi hundaa n kan baay’inna miseensota tuuta kanaa ibsu hin jirre ta’e tuutni kun tuuta fufaa jedhama.
Asitti “n” baay’inna miseensota tuuta kanaa jedhama.
A’n tuuta dhaabbataa yoo ta’e baay’inna miseensota isaa n(A) jennee ibsina.
Yammuu dubbifnu baay’inna miseensota tuuta A jenna.
Fakkeenya:
Tuutota armaan olii keessaa A,B fi T tuutota dhaabbataa yoo ta’u D’n tuuta fufaa dha. Sababnis lakkoofsi hundaa kan baay’inna miseensota D ibsu waan hin jirreef.
Tuunni intiijeerotaa tuuta fufaa dha.
A = {x∈Q: 0<x<1} tuuta fufaa dha. Maaliif?
B = {x∈Z: 2<x<3} tuuta dhaabbataa dha. Maaliif?
Fakkeenyota mataa keetii kan tuutota dhaabbataa fi tuutota fufaa shan shan kenni.

Gocha 1.2.5:
Kanneen armaan gadii tuuta fufaa yookiin tuuta dhaabbataa jechuun ibsi. Sababas kenni.
A = {x∈W: x<0}
B = {x∈R:-5≤ x ≤ 5}
Tuuta namoota Finfinnee keessa jiraatanii
C = {x∈Z: x≤ 1 x2<2}

1.2.5. Hariiroo Tuutotaa (set relationships)
Hariiroon tuutota lama jidduu jiraachuu malu isaan armaan gadiiti.
Cita tuutaa 4. Tuutota walmaadaalan
Cita sirrii tuutaa 5. Paawurii tuutaa
Tuutota walqixaa
Mee A fi B’n tuutota lama haa ta’u.
A’n cita tuutaa tuuta B ti kan jennu yoo miseensonni A hundinuu miseensota B ta’an qofaadha. Yeroo kana A’n, B keessatti ammatama ykn B’n, A ammata jenna. Kunis mallattoon yoo ibsamu A  B ta’a. Yammuu dubbifnu A’n cita tuutaa B ti jenna. Gama biraatiin
A B  (x) (x ∈ A x B)
A fi B tuutota walqixaa kan jedhaman yoo miseensonni A hundinuu miseensota B ta’aniifi miseensonni B hundinuu miseensota A ta’an qofaa dha. Kunis mallattoon yammuu ibsamu
A = B ta’a. Gama biraatiin, A = B  A  B  B  A
 (x) (xA  xB)
A’n cita sirrii tuutaa tuuta B ti kan jennu yoo A  B fi A ≠ B ta’e qofaadha. Kana jecuun A’n cita sirrii tuuta B ti kan jennu yoo A’n cita tuutaa B ta’ee fi yoo xiqqaate miseensi B tokko kan A keessa hin jirre yoo jiraatee dha. Hariiroo kana A B jennee mallatteessina.
A fi B’n tuuta wal madaalan kan jennu yoo n(A) = n(B) ta’e dha. Mallattoon yoo ibsinu A B yookiin A B.
Fakkeenya:
A = {-2,2} , B = {x∈Z: x2 -4= 0} , C = {x∈Z:1≤x≤4}
A = B, A fi B tuutota walmadaalan, A  B, B  A, A B (Maaliif?)
A  C fi B  C akkasumas A C , B C.
A fi C akkasumas B fi C tuutota walmadaalanii miti. Maaliif?
Mee A tuuta barattoota mana barumsa tokkoo fi B tuuta barattoota mana barumsa kanaa kanneen daree 1 haa ta’anii.
B  A, A≠B, B A, A B.
Mee amma ammoo garaagarummaa fi ∈ haa xiinxallinnu:
A = {1, 2, 3} yoo ta’e 1 miseensa A ti. Garuu 1 cita tuutaa A miti. Tuunni
B = {1}, kan miseensi isaa 1 qofa ta’e cita tuutaa A ti. Sababnis ulaagaa tuunni tokko cita tuutaa tuuta biraa ta’uuf guutuu qabu waan guuteef dha. Kunis:
x ∈ A yoo ta’e x ∈ B ta’a. Kanaaf 1≠ {1} akkasumas {1} ≠{{1}}.
1 miseensa {1} yoo ta’u 1 cita tuutaa {1} miti. {1} miseemsa {{1}} yoo ta’u {1} cita tuutaa {{1}} miti.
Amaloota cita tuutaa (Amaloota hariiroo )
Tuuta A kamiiftuu Ø  A . Kana jechuun tuunni duwwaan cita tuutaa tuuta kamiiyyuu ti.
Mirkana:
Akka hiikootti ∅ cita tuutaa A kan jennu yoo miseensonni ∅ hundinuu miseensota A ta’an qofaa dha. ∅ miseensa waan hin qabneef haalli kun salphaadhumatti dhugaa dha. Haalli armaan gadiittis mirkaneessuu ni dandeenya.
x kamiifuu x  Ø yeroo hundaa soba waan ta’eef (x) (xØ xA ) kan jedhu dhugaa ta’a. Kanaafuu Ø  A ta’a.
Gama biraatiin Ø  A haala armaan gadiitiin mirkaneessuu ni dandeenya.
Mee tuunni duwwaan cita tuutaa A miti haa jennu. Kana jechuun miseensi Ø jiraatee garuu A keessa hin jirre jiraachuu qaba. Garuu akka hiikoo tuuta duwwaatti miseensi wayiituu Ø keessa hin jiru. Kanaafuu yaadni ka’uumsaa fudhanne dogoggora waan ta’eef faallaan isaa dhugaa ta’a. Kanaafuu Ø  A.
Tuuta A kamiifuu, A A. Kana jechuun tuunni kamiiyyuu cita tuutaa mataa isaa ti.
Mirkana:
Akka hiikootti A cita tuutaa A kan ta’u yoo miseensi A kamiiyyuu miseensa A ta’e qofaa dha. A = A waan ta’eef kun dhugaa dha.
A B fi B C yoo ta’e A C.
Mirkana:
Kan mirkaneessuu barbaadnu A C. Kennama irraa A B fi B C arganna. Mee x ∈ A haa ta’u. Kunis x ∈ B ta’u agarsiisa (kennama irraa)
Kana irraa x ∈ C ta’uu arganna (B C waan ta’eef).
Kanaaf A C.
A  A ta’uu agarsiisi.
Tuutonni lamaa walqixa kan ta’an yoo A B fi B A ta’ee dha. Kanaafuu tuutonni lamaa A fi B walqixa ta’uu agarsiisuuf A B fi B A ta’uu agarsiisuu qabna.
Tuunni kan tuuta duwwaa hin ta’in kamiiyyuu yoo xiqqaate citoota tuuta lama qaba. Isaanis tuuta duwwaa fi mataa isaa ti.
Hariiroo tuutotaa danaa veeniitiin (Venn diagram) agarsiisuu ni dandeenya. Danaan Veenii waa’ee tuutotaa, hariiroo tuutotaa fi qoyyaboota tuutotaa ilaalchisee odeeffannoo barbaachisaa ta’e kennuuf meeshaa ijoo ta’ee dha. Danaan kun jalqaba kan wixine Ayilar (Euler) yoo ta’u kan fooyyesse nama beekamaa lammii Ingiliizii hayyuu loojikii (logician) Joon Veen (John Venn) dha. Danaa kun tuutotaa fi qoyyaboota tuutotaa bifa ji’oomeetiriitiin (danaatiin) ibsuuf gargaara.
Mala kana irratti tuutonni bal’insa cufamaa diriiroo irraa kanneen akka bal’insa geengoo yookiin illipsii yookiin rektaangulaawaatiin ibsamu (agarsiifamu). Kanaaf bal’insi rektaangulaawaa tuuta walii gala kan ibsu yoo ta’e tuutonni biroo ammoo bal’insa geengootiin kan bal’insa rektaangilii keessatti argamuun ibsamu.
Fakkeenyaaf danaan armaan gadii A  B akkasumas A B agarsiisa.

Tuunni citoota tuutaa tuuta A hunda qabate paawurii tuuta A jedhama. Mallattoo p(A).
 p(A) = {S S  A}

Fakkeenya: a. A = {1 , 2} yoo ta’e p(A)= { Ø , {1} , {2} , {1 , 2}}.
b. P (Ø) = Ø. Ø walqixa {Ø} miti.

Fakkeenya:
A = { Ø , {Ø} , 0 ,{0}} yoo ta’e baay’inna citoota tuutaa A , baay’inna citoota sirrii tuutaa A fi n(P(A)) barbaadi.
Akkaataa foormullaan armaan olii itti argame ibsi. Fakkeenyota adda addaa fudhachuun. Gocha 1.2.6: a. Hariiroo tuutota armaan gadii jidduu jiraachuu malu ibsi.
A = {x: x lakkoofsota kopxii kanneen irra guddaa 10 ta’an}
B = {x:x lakkoofsota mangoo kanneen irra guddaa 10 ta’an}
C = Tuuta lakkoofsota lakkawwii
D = Tuuta lakkoofsota raashinaalii
E = { 1 , 5 , 7 , 11}
F = { 1 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13}
b. P = {x∈ N: x < 10 fi Q = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10} jidduu hariiroo
jiraachuu malu ibsi.
A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11} citoota tuutaa fi citoota sirrii tuutaa meeqa qaba? n(p(A)) barbaadi.
1.2.6. Qoyyaboota Tuutotaa fi Amaloota isaanii (Set operations and
their properties)
Qayyaboonni tuutotaa isaan armaan gadiiti.
Makoo 5. Caalamaa simeetirikii
Kipheessa 6. Baay’ataa Qaxxaamuraa
Guuchisa hanquu
Guuchisa hariiroo
Makoo tuutotaa
Makoon tuutota A fi B tuuta miseensota A yookiin miseensota B hunda qabatee dha. Tuunni miseensota A yookiin B yookiin A fi B keessa jiran hunda qabate makoo A fi B jedhama. Mallattoon yoo ibsinu AB ta’a.
A makoo B jennee dubbifna. Seera ijaarsa tuutaatiin yammuu ibsinu:
AB = {xxA v xB} yookiin A ∪ B= {x: x ∈A -B or x∈B -A or x∈ A∩B}
A  AB, B  AB. Mirkaneessi.
Kipheessaa tuutotaa
Kipheessaan A fi B tuuta miseensota A fi B lamaanuu keessa jiran hunda qabatee dha. Mallattoon yoo ibsinu A  B ta’a. A kipha B jennee dubbifna.
Seera ijaarsa tuutaatiin yoo ibsinu A  B = {xx A  x B} ta’a.
AB  A, AB  B. Mirkaneessi.
Tuutonni lama A fi B tuutota alagaa kan jedhaman yoo A  B = Ø ta’ee dha. Fakkeenna kenni.
Mee “ U” tuuta waliigalaa fi A , B  U haa ta’u.
Guuchisni hanquun tuuta “A” tuuta miseensota U kanneen A keessa hin jirre qabateedha.
A´ = {x ∈U: x A}
Guuchisni hariiroo (caalmaan) tuutota A tuuta B irraa cita tuuta U ti.
Tuunni kun tuuta miseensota A kanneen B keessa hinjirre hunda qabatee dha. Mallattoon A – B yookiin A \ B jennee yoo agarsiifnu A irraa B jenna.
A – B = {x  A  x B}. A irraa B foo’uu (A ala B)
B – A = {x B  x  A}
A fi B cita tuutaa walii ta’uu baatanis A – B fi B – A barbaaduu ni dandeenya. A’ barbaaduuf garuu A cita tuutaa tuuta waliigalaa wayii ta’uu qaba.
Osoo wal hin tuqin (symmetric difference) tuutota A fi B tuuta miseensota A kanneen B keessa hin jirree fi miseensota B kanneen A keessa hin jirre hunda qabatee dha. A fi B tuutota lama yoo ta’an caalmaan simeetirikii tuutota lamaan kanaa tuuta miseensota A yookiin miseensota B hunda qabatee fi miseensota A fi B keessa jiran kan hin qabannee dha.
A  B = (A\B)  (B\A) = {x: x∈ A-B v x∈ B-A}
= (AB) \ (A  B) = {x: x AB  x  A  B}
Baay’ataa qaxxaamuraa tuutotaa
Baay’ataan qaxaamuraa tuutota A fi B tuuta miseensonni isaa cimdii tartii ta’eedha. AxB tuuta cimdoolii tartii (a,b) hunda qabate ta’ee seentuun duraa miseensa A fi seentuun 2ffaa ammoo miseensa B ti.
AxB = {(a, b): a A, bB}
Fakkeenya:
Mee M tuuta barattoota dhiiraa fi F tuuta barattoota dubaraa yuuniversiitii tokkoo haa ta’u. U tuuta barattoota yuuniversiitii kanaa yoo ta’e MF = U akkasumas M  F = Ø. Sababnis barataan (barattuun) M fi F keessa jiru (jirtu) waan hin jirreef.
U = {xW: x ≤ 10}, A = {xU: x guutuu dha}, B= {0, 1 ,6,9,10}
i. AB = {0, 1, 2, 4, 6, 8, 9, 10}
ii. A  B = {0, 6, 10}
iii. A – B, A’, B – A, A  B, B’ fi A x B barbaadi.
Qoyyaboota tuutaa danaa veeniitiin agarsiisuu ni dandeenya.
Fakkeenyaaf danaalee veenii armaan gadii ilaali. Fakkeenya kanarratti hindaa’uun danaa veenii kanneen hafanii barbaadi.
A  B

            AB

A’, B’, A-B, B-A fi A  B danaa veeniitiin agarsiisi.

Hubachiisa 1.2.4:
i. A fi B keessaa tokko yoo Ø ta’e AxB = Ø
ii. A fi B tuuta duwwaa miti yoo ta’aniif lamaan keessaa tokko
tuuta fufaa taanaan AxB tuuta fufaa ta’a.
iii. n (A) = m fi n (B) = n yoo ta’an n(AxB) = mn
Makoo fi kipheessaa tuutota lamaa ol ta’anii
Mee A1, A2, … , An tuutota haa ta’u.
i. A1  A2 …,  An = ⋃(i=1)^n▒Ai ii. A1  A2 ….  An = ⋂(i=1)^n▒A i
Fakkeenya:
Mee A1 = {1 , 2 , 3 , 4}, A2 = {3 , 4 , 5 , 6} , A3 = {3 , 4 , 6 , 7} fi A4 = {3,4,7,8} haa ta’u.
i. ⋃(i=1)^4▒Ai = A1 A2  A3 A4 = {1,2,3,4,5,6,7,8} ii. ⋂(i=1)^4▒Ai = A1  A2  A3 A4 ={3,4}

Gocha 1.2.7:
Ai = {xz x+i >2 x = 3} yoo ta’e kanneen armaan gadii barbaadi.
i. ⋃(i=1)^11▒Ai ii. ⋂(i=1)^5▒Ai

Amaloota Qoyyaboota tuutotaa
A, B fi C citoota tuutotaa tuuta waliigalaa yoo ta’an kanneen armaan gadii dhugaa ta’u. Muraasa isaanii mirkaneessuuf ni yaalla. Kanneen hafan ati yaali.
a. 1. A  Ø = A 4. A  B = B  A
2. A  A = A 5. A  (B  C) = (A  B)  C – – – (Amala makoo)
3. A  U = U 6. A  A´ = U
b. 1. A  Ø = Ø 4. A  B = B  A
2. A  A = A 5. A  (B  C) = (A  B)  C – – – (Amala “”)
3. A  U = A 6. A  A´ = Ø
c. 1. A (B  C) = (A  B)  (A  C)
2. A (B  C) = (A  B)  (A  C) – – – (Hariiroo  fi )
3. A (A  B) = A  (A  B) = A
d. 1. (A´)´ = A 3. (AB)´ = A´B´ 5. Ø´ = U
2. (AB) ´ = A´B´ 4. U´ = Ø
e. 1. A-(BC) = (A-B)  (A-C) 4. A(B – C) =(A  B) – (A  C)
2. A-(B  C) = (A-B) (A-C) 5. A (B – C) = (A  B) – (A  C)
3. A-B =AB´
f. 1. AB = BA 5. A (BC) = (AB)  (AC)

  1. AØ = A 6. A  B AB = B – A
  2. AA = Ø 7. A  B = Ø AB = A  B
  3. A (BC) = (AB)C
    g. 1. Ax (BC) = (AxB)  (AxC)
    1. Ax (BC) = (AxB)  (AxC)
    2. Ax (B-C) = (AxB) – (AxC)
      A  B = B  A , A  B = B  A fi AB = BA amala jijjiirraa iddoo  ,  fi  ti
      A  (B  C) = (A  B)  C , A  (B  C) = (A  B)  C fi
      A (BC) = (AB)C amala jijjiirraa cuftuu  ,  fi  ti
      A (B  C) = (A  B)  (A  C) fi A (B  C) = (A  B)  (A  C) amala raabsamaa  qoyyaba  irratti qabuu fi amala raabsamaa  qoyyaba  irratti qabu agarsiisa.
      (AB)´ = A´B´ fi (AB) ´ = A´B´ seera Demorgansii (DeMorgan’s laws) jedhamu.
      A  A = A fi A  A =A seerota idempotaantii (Idempotent Laws) dha.
      A  Ø = Ø , A  U = A, A  Ø = A fi A U =U seerta of-taasisaa(identity Laws)
      A  Ac = U , Uc = Ø , A  Ac = Ø fi Øc = U seerota guuchisaa (complement laws)
      Mirkana:
      Mee A U. Kan agarsiisuu barbaadnu A ∩ A = A, A ∪ A = A, A ∩ ∅ fi A ∪ ∅ .
  4. A ∩ A = {x ∈ U: x ∈ A fi x ∈ A} = {x ∈ U: x ∈ A} = A.
    A ∪ A = {x: x ∈ A yookiin x ∈ A} = {x: x ∈ A} = A.
  5. A ∩ ∅ = {x: x ∈ A fi x ∈ ∅}. ∅ miseensa waan hin qabneef A ∩ ∅ =∅.
    A ∪ ∅ = {x: x ∈ A v x ∈ ∅}. Ammas ∅ miseensa waan hin qabneef wanti A tti
    daballu hin jiru. Kanaafuu A ∪ ∅ = A.
  6. A ∩ B = B ∩ A, fi A ∪ B = B ∪A.
    A ∩ B = {x: x ∈ A x ∈ B} = {x: x ∈ B x ∈ A} = B ∩ A …..(Amala tiin)
  7. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) fi (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪C)
    Mee x ∈ (A∩B)∩C. Akka hiikoo ∩ tti x ∈ A∩B fi x ∈C. x miseensa A∩B waan ta’eef x ∈ A fi x ∈ B ta’a. Kanaaf x ∈ A fi x ∈ B fi x ∈ C arganna. Kunis
    x ∈ A ∩ (B ∩ C) ta.uu agarsiisa. Kanaaf (A ∩ B) ∩ C  A ∩ (B ∩ C) ……… (i)
    Mee x ∈ A∩ (B∩C). Akka hiikoo ∩ tti x ∈ A x ∈ B∩C. x ∈ B∩C waan ta’eef
    x ∈ B x ∈ C . x ∈ (A ∩ B) ∩ C. Kanaaf A ∩ (B ∩ C)  (A ∩ B) ∩ C . …….(ii)
    Kanaafuu (i) fi (ii) irraa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
    Kanneen hafanis haaluma kanaan mirkaneessi.
    1.2.7. Fayyada Tuutotaa (Application of Sets)
    A, B, fi C tuutota dhaabbataa kamiiyyuu yoo ta’an foormulloonni armaan gadii dhugaa ta’u.
    n(A ∪ B) = n(A) +n(B) – n(A ∩ B) = n(A-B) + n(B-A) + n(A ∩ B)
    n(A ∪ B ∪ C) = n(A) +n(B) +n(C)– n(A ∩ B) –n (A ∩ C) -n (B ∩ C)+n(A∩B∩C)
    n(A-B) = n(A) – n(A ∩ B)
    n(B-A) = n(B) – n(A ∩ B)
    n(Ac) = n(U) – n(A)
    A ∩ B = ∅ yoo ta’e n (A ∪ B) = n (A) +n (B).
    A ∪ B = A ∪ (B-A) = B ∪ (A-B). A∩ (B-A) = B ∩ (A-B) = ∅ ta’uu hubattee?
    Kanaaf n (A ∪ B) = n (A) + n (B-A) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B). (2) mirkaneessuuf (1) fayyadamna. Foormulloota armaan olii fayyadamnee pirobleemota tuutotaan walqabatan heddu furuu ni dandeenya.
    Fakkeenya:
    Barattoota 200 keesaa barattoonni 130 herrega , barattoonni 125 fiiziksii kan baratan yoo ta’u barattoonni 55 ammoo lamaanuu kanneen hin barannee dha. Kanneen armaan gadii barbaadi.
    Barattoota herrega yookiin fiiziksii fudhatu.
    Barattoota barumsa lamaanuu baratu.
    Barattoota herrega qofa fudhatu.
    Barattoota fiiziksii qofa fudhatu.
    Deebii:
    Mee H = Tuuta barattoota herrega baratan fi F = Tuuta barattoota fiiziksii baratanii haa ta’u.
    n (H) = 130, n (F) = 125 fi n (H ∪F) ´ = 55
    n(H ∪F) ´ = n(U) – n(H ∪F)
    55 = 200 – n (H ∪F). n (H ∪F) = 145.
    Kanaafuu barattoonni herrega yookiin fiiziksii fudhatu 145 dha.
    n(H ∪F) = n(H) + n(F) – n(H ∩ F)
    145 = 130 + 125 – n (H ∩ F). n (H ∩ F) = 110.
    Kanaafuu barattoonni barumsa lamaanuu fudhatan 110 dha.
    n (H-F) = n (H) – n (H ∩ F) = 130 – 110 = 20.
    Kanaafuu barattoonni herrega qofa fudhatu 20 dha.
    n (F-H) = n (F) – n (H ∩ F) = 125 – 110 = 15.
    Kanaafuu barattoonni fiiziksii qofa fudhatu 15 dha.
    Namoota 100 keessaa kanneen aannan dhugan 28, kanneen bishan dhugan 30 fi kanneen daadhii dhugan 42 dha. Namoonni aannaniif bishan dhugan 8, kanneen bishaniif daadhii dhugan10, kanneen aannaniif daadhii dhugan 5 akkasumas kanneen dhangala’oo sadanuu dhugan 3 yoo ta’an kanneen armaan gadii barbaadi.
    Namoota aannan qofa dhugan
    Namoota aannaniif daadhii dhuganii bishan hin dhugne.
    Namoota dhangala’oo sadanuu hin dhugne.
    Deebii:
    Mee A = Tuuta namoota aannan dhugan
    B = Tuuta namoota bishan dhugan
    D = Tuuta namoota daadhii dhuganii haa ta’u.
    n(A) = 28 , n(B) = 30 , fi n(D) = 42 , n(A ∩ B) =8 , n(B ∩ D) = 10 , n(A ∩ D) =5
    fi n (A ∩B∩ D) = 3
    n(A-(B ∪ D)) = n(A) – n(A∩( B ∪ D))
    = n (A) – [n (A∩B) ∪ (A∩D)]
    = n (A) – [n (A∩B) +n (A∩D)-n ((A∩B) ∩ (A∩D)]
    = n (A) – [n (A∩B) +n (A∩D) – n (A∩B∩D)]
    = 28 – [8 +5 -3]
    = 28 – 10 = 18 Kanaafuu namoonni aannan qofa dhugan 18 dha.
    ∩[( A∩D) – B)] = ∩( A∩D) – n(A∩D∩ B) = 5- 3 = 2
    Kanaafuu namoonni aannaniif daaghii dhuganii bishan hin dhugne 2 dha.
    c. 100 – n(A ∪B∪ D) = 100-[n(A)+n(B)+n(D)-n(A∩B)-n(A∩D)-n(B∩D)+n(A∩D∩ B)]
    = 100- [28+30+42-8-5-10+3) = 20.
    Kanaafuu namoonni dhangala’oo sadanuu hin dhugne 20 dha. Gocha 1.2.8:
    Pirobleemota armaan olii danaa veeniitti fayyadamii furi.
    Barattoota daree tokkoo 70 keessaa barattoonni 30 qormaata herregaa kan fudhatan yoo ta’u barattoonni 10 ammoo herrega fudhatanii keemistirii hin fudhanne. Barattoota herregaa fi keemistirii fudhatan barbaadi.
    Namoota walga’ii irratti hirmaatan 120 keessaa namoonni buddeena nyaatan 65, namoonni marqa nyaatan 45, namoonni dhangaa nyaatan 42, kanneen buddeenaa fi marqa nyaatan 20 , kanneen buddeenaa fi dhangaa nyaatan 25 , kanneen marqaa fi dhangaa nyaatan 15 akkasumas kanneen sadanuu nyaatan 8 yoo ta’n kanneen armaan gadii barbaadi.
    Namoota yoo xiqqaate nyaata sadan keessaa tokko nyaate.
    Namoota buddeenaa fi marqa nyaatanii dhangaa hin nyaatne.
    Namoota buddeenaa fi dhangaa nyaatanii marqa hin nyaatne.
    Namoota marqaa fi dhangaa nyaatanii buddeena hin nyaatne.
    Namoota buddeena qofa nyaatan
    Namoota marqa qofa nyaatan.
    Namoota dhangaa qof nyaatan.
    Namoota nyaata sadanuu hin nyaatne.

Gilgaala

  1. Himoota himama hin ta’in shan barreessii maaliif akka himama
    hintaane ibsi.
  2. Mee p: 2 lakkoofsa guutuu dha.
    q: 1 ≥3 fi r: 0 ≤1 haa ta’u.
    Kanneen armaan gadii himaan barreessi.
    ¬p v q c. ¬(pq)
    (¬q)¬r d. (pq) r
  3. Fakkeenyota himamoota banaa waliigitaa kenni.
  4. Kennama lakk (2) irratti hundaa’uun Koonvarsii , invarsii fi
    kontiraapoozatiivii ¬q ¬r barbaadi.
  5. Faallessaa himamoota armaan gadii barreessi.
    a. pq b. p v q c. p r d. p q
    e. Allaattiiwwan hundinuu kooluu ni qabu.
    f. Qotiyyoon tokko tokko gaafa hin qabu.
    g. x fi y kamiifuu 2x-3y = 9.
  6. Kanneen armaan gadii mirkaneessi.
    a. n3 +2n hramaa 3ti, n N.
    b. 4 hiramaataa 7n – 3n ti, n N.
    c. a-b hirmaataa an –bn, nN .
  7. Kanneen armaan gadii himama ta’uu fi ta’uu dhabuu isaanii
    adda baasi.
    Senegaal Afiriikaa keessatti argamti.
    Atileetiin Faaxumaan dhalattee bultii 15ffaa tti kiloogiraama 20 ulfaatte.
    Umrii dheeraa siif hawwa.
    Oromiyaan haa lalsitu!
    Eessa deemaa jirta?
    Bara 2020 Itoophiyaan qabeenyaa looniitiin Afrikaa keessaa 1ffaa ni taati.
    Intiijeeriin kamiiyyuu hiramaa 5 ti.
    Boru ni rooba.
  8. Mee U = tuuta lakkoofsota waliigalaa haa ta’u. Gat-dhugooma
    kannen armaan gadii barbaadi.
    (∋x)(x2 = x) e.
    (∋x)(x – 1  x – 6) f.
    (x2 = ) g.
    d. (x3-1=x3+x+1)
  9. Faallaa himamoota gaaffii (9) kanneen (a) – (g) jiranii
    barreessi.
  10. U = {x: x ∈ Z  -3 ≤ x ≤ 3}
    A = {x ∈ U: |x| = 1}
    B = {0, 1, 2} yoo ta’e kanneen armaan gadii barbaadi.
    A  B e. B´ i. A  B´
    A  B f. AB j. A x B
    A-B g. A´ B´
    A´ h. A´ B
    Paaworii tuuta {{1, 2, 3}, {1, 3}, {1, 2,}} barbaadi.
    Yoo A, B fi C`n tuuta kamiiyyuu ta’an kanneen armaan gadii mirkaneessi.
    a.Yoo A B fi B C ta’e, A C ta’a.
    b. Seerota Demorgaansii.
    c. A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪ C)
    d. A∩B A∪B
    e. A C fi B C A∪B C
    f. A B fi A C A B C
    g. A B A B B
    h. A B =B A B=A

Boqonnaa 2
Sirna lakkoofsota Waliigalaa
2.1.Lakkoofsota Hundaa
Tuutni lakkoofsota hundaa mallattoo W ibsama.
Tuutni lakkoofsota hundaa duwwaa(0) irraa jalqaba.Kanaafuu, W={0,1,2,3,…}
2.1.1.Lakkoofsota Lakkaawwii
Seenaa dhala namaaa keessatti lakkoofsa yeroo jalqabaa uumamee dha.
Tuutni lakkoofsota lakkaawwii mallattoo N tiin ibsama.
Tuutni lakkoofsota lakkaawwii cita-tuuta lakkoofsota hundaati.
Tuutni lakkoofsota lakkaawwii , N={1,2,3,…} ibsama.
Gocha
1.Qoyyaboota +, x, – fi ÷ keessaa kamtu W alagoomsa?
2. .Qoyyaboota +, x, – fi ÷ keessaa kamtu amala jijjiirraa iddoo qaba?
3. .Qoyyaboota +, x, – fi ÷ keessaa kamtu amala jijjiirraa cuftuu qaba?
4. W keessatti +’n x irratti amala rabsamaa ni qabaa?
5. W keessatti x’n + irratti amala rabsamaa ni qabaa?
2.1.2.Qoyyabootaa Lakkoofsota hundaa irrattii fi amaloota isaanii
Qoyyaboota bu’uuraa afran keessa qoyyabni tuuta lakkoofsota hundaa alagoomsan hiruu fi hir’isuu dha.
∀a,b∈W ⇒a+b∈W fi ab∈W ta’a.
Fakkeenya: a=3,b=8∈W ⇒3+8=11∈W fi 3×8=24∈W ta’a.
Amala Ida’uun Tuuta Lakkoofsota Hundaa Irratti Qabu
Amala jijjiirraa Iddoo
∀a,b∈W,a+b=b+a .
Fakkeenya: a=14,b=5∈W,14+5=5+14
Amala jijjiirraa cuftuu
∀a,b,c∈W⇒(a+b)+c=a+(b+c) .
Fakkeenya: a=1,b=2,c=3∈W⇒(1+2)+3=1+(2+3)
Amala miseensa oftaasisaa
∀a∈W,a+0=a=0+a ⇒0’n miseensa oftaasisaa qoyyaba ida’uu jedhama.
57∈W,57+0=57=0+57
∀a∈W,a×1=a=1×a ⇒1 miseensa oftaasisaa qoyyaba baay’isuu jedhama.
Fakkeenya: 4∈W,4×1=4=1×4
Amala raabsamaa
∀a,b,c∈W⇒a(b+c)=ab+ac fi (a+b)c=ac+bc
Fakkeenya: a=1,b=3,c=5∈W⇒1(3+5)=1×3+1×5
fi (1+3)5=1×5+3×5
2.1.3.Lakkoofsota Hundaa guutuu,mangoo,kophxii fi Hammatoo (composite)
Lakkoofsa guutuu:
Lakkoofsi lakkoofsa guutuu jedhamu lakkoofsicha bifa 2n tiin , n∈N yoo ibsamee dha.
Lakkoofsa haftee malee 2’f hiramuu dha.
Lakkoofsa dijiitiin mana tokkee isaa guutuu ta’ee dha.
Fakkeenya:2=2×1,4=2×,6=2×3,8=2×4,10=2×5 fi kkf
Lakkoofsa mangoo:
Lakkoofsi lakkaawwii lakkoofsa mangoo kan jedhamu lakkoofsichi bifa 2n+1 tiin , n∈W yoo ibsamee dha.
Lakkoofsa haftee malee 2’f hiramuu hin dandeenye dha.
Fakkeenya:3=2×1+1,5=2×2+1,7=2×3+1,9=2×4+1, fi kkf
Gocha1: Lakkoofsoota armaan gadii guutuu, mangoo, kophxii fi hammattoo jedhii addaan baasi.
0,1,2,3,4,9,15,17,18,33,21,23
2. Lakkoofsi lakkaawwii kophxiin guutuu ta’e meeqatu jira?
Amaloota lakkoofsota guutuu fi mangoo
Ida’amni lakkoofsota guutuu lamaa lakkoofsa guutuu dha.
Kunis, guutuu + guutuu=guutuu.
Ida’amni lakkoofsota mangoo lamaa guutuu dha.
Kunis,mangoo + mangoo=guutuu.
Ida’mni lakkoofsa guutuu fi mangoo lakkoofsa mangoo dha.
Kunis,guutuu + mangoo =mangoo.
Lakkoofsa kophxii:Lakkoofsa kophxii jechuun lakkoofsa lakkaawwii kan irra guddaa tokko(1) ta’ee hirmaattota lama,1 fi mataa isaa qofa qabu jechuu dha.Fakkeenya:2,3,5,7 fi kkf
Lakkoofsa Hammatoo:Lakkoofsa hammatoo jechuun lakkoofsa lakkaawwii irra guddaa tokko(1) ta’ee kan hirmaattota lamaa ol qabu jechuu dha.Fakkeenya:4,6,10 fi kkf
Hubachiisa:Lakkoofsi tokko(1) lakkofsa kophxiis lakkoofsa hammatoos hin ta’u.
Hubachiisa:Lakkoofsota hammatoo kamiyyuu bifa lakkoofsota kophxii waliin baayifamiin yoo ibsine lakkoofsa kophxiin diddirirsine jenna.
Fakkeenya:1) 4=2×2=2^2
2) 27=3×3×3=3^3
3) 20=4×5=2×2×5=2^2×5
2.1.4. Lakkoofsota Hundaa Hirmaattessuu
Lakkoofsi hundaa tokko lakkofsa lakkaawwii biraaf ni hirama kan jennu,ga’een adeemsa hiruu kanaa lakkoofsa lakkawwii irra guddaa yookiin walqixa 1 ta’ee,hafteen isaa ammoo yoo zeeroo ta’ee dha.
Fakkeenya:56,7 ni hirama.Jecha biraatiin,7 hirmaataa 56 ti jechuu dha.Sababni isaas,56÷7=8 waan ta’eef dha.
Mee a fi b’n lakkoofsota hundaati haa jennu.a’n ,b’f hiramuu isaa gaafachuu jechuun,adeemsa hiru keessatti a÷b,kun haftee zeero qabaachuu isaa agaafachuu jechuu dha.
Seerota Hiramummaa
Seera 1: 2’f hiramuu lakkoofsotaa madaaluu
Lakkoofsi hundaa tokko haftee malee 2’f kan hiramu yoo dijiitiin mana tokkee lakkoofsa kanaa lakoofsa guutuu ta’e dha.Dijiitiin mana tokkee kunniin yoo 0,2,4,6 yookiin 8 ta’ee dha.
Fakkeenya:54,64,28,32 fi kkf
Seera 2: 3’f hiramuu lakkoofsotaa madaaluu
Lakkofsi hundaa tokko haftee malee 3’f hiramu kan danda’u yoo ida’amni dijiitoota lakkoofsa kanaa 3’f hirama ta’ee dha.
Fakkeenya:75,4815,1845

Seera 3:  5'f hiramuu lakkoofsotaa madaaluu

Lakkofsi hundaa tokko haftee malee 5’f kan hiramu yoo dijiitiin mana tokkee 0 yookiin 5 qofaa dha.
Fakkeenya:3600,245,600
Seera 4: 6’f hiramuu lakkoofsotaa madaaluu
Lakkoofsi hundaa tokko haftee malee 6’f kan hiramu,lakkoofsichi 2’f yookiin 3’f kan hiramu yoo ta’ee dha.
Fakkeenya:108,72
Seera 5: 9’f hiramuu lakkoofsotaa madaaluu
Lakkkoofsi hundaa tokko 9’f haftee malee kan hiramu yoo ida’amni dijiitootaa lakkoofsa kanaa 9’f hiramee dha.
Fakkeenya:720,630
Seera 6: 10’f hiramuu lakkoofsotaa madaaluu
Lakkoofsi tokko haftee malee 10’f kan hiramu yoo dijiitiin mana tokkee 0 ta’ee dha.
Fakkeenya:20,740,5600
Gocha 1.Hirmaattoota 6 keessaa shan tarreessi.
2. Hirmaattoota 8 keessaa kudhan tarreessi.
3. Lakkoofsoota armaan gaditiif hirmaattoota isaanii hunda tarreessi.
a. 6 b. 25 c. 32 d. 90 e. 400 f. 1000
2.1.5.Hiramootaa fi Hirmaattota Lakkoofsota Lakkaawwii
Hiikoo:Mee a,b∈N haa jennu. a’n hiramaa b ti kan jedhamu yoo c∈N jiraatee a=b×c ta’ee dha.
a=b×c keessatti:
a-hiramaa b jedhama
a-hiramaa c jedhama
b fi c’n hirmaataa a jedhamu.
Lakkoofsota waliin baay’isuu keessatti lakkoofsoni waliin baay’atan hirmaattota yoo jedhaman firiin isaanii ammoo baaay’ataa(hiramaa) jedhama
Fakkeenya:
1) 7 hiramaa 2 miti sababa ∃a∈N fi 2a=7 ta’uu waan hin dandeenyeef.
2) 6 hiramaa 2ti sababa ∃3∈N fi 2× 3=6 waan ta’eef.
3)Hiramoota 4:4,8,12,16,…
4)Hiramoota 5:5,10,15,20,…
5)Hirmaattota 24:1,2,3,4,6,8,12,24
6)Hirmaattota 3: 1 fi 3 dha.
Hiramaa(firii) Hirmaataa Hirmaataa
15 = 3 × 5
Hubadhu! a’n hiramaa b ti jechuun,yoo xiqqaate lakkoofsi lakkaawwii bira haa jennu c,kan
a=b×c dhugaa taasisu jira jechuu dha.(a,b fi c’n lakkoofsotaa hundaa yookiin lakkaawwiiti)
Lakkoofsi akkasii,c’n kan hima a=b×c dhugoomsu yoo hin jirre ta’e,a’n hiramaa b miti.
Fakkeenya: 19 hiramaa 7 miti sababa lakkoofsi hundaa/lakkaawwii 19=7×c jedhu dhugoomsu waan hin jirreef.
Hubachiisa:
Lakkoofsi hudaa/lakkaawwii kamiiyyuu hiramaa 1 ti.
Fakkeenya: 1× 4=4 ,19=1 ×19 kkf
Lakkoofsi hundaa/lakkaawwii kamiyyuu hiramaa mataa isaati.(Zeeroo malee)
Fakkeenya: 7=7×17 ,14=14 ×1 kkf
Zeeroon hiramaa lakkoofsota hundaa/lakkaawwii hundumaati.Garuu hiramaa zeeroo miti.
Fakkeenya:0=321×0 ,0=114 ×0 kkf
Lakkoofsi lakkaawwii tokko yoo nuuf kenname,hirmaattota isaa hunda tarreessanii xumuruun ni danda’ama.Fakkeenyaaf,hirmaattota 12 barbaaduuf,lakkoofsa cimdii,kan bay’ataan isaani 12 ta’e barbaaduu qabna.Kanas mala damee hirmaattotaati fayyadamuun argachuun ni danda’ama.
Gocha:Hiramootaa fi hirmaattota lakkoofsota armaan gadii barbaadi.
i) 50 ii) 14 iii) 480 iv) 205
Hirmaataa Walii Guddicha:Hirmaataa walii lakkoofsota poozatiivii keessa isa guddicha yoo ta’u bifa gabaabaan yommuu barreeffamu HWG ta’a.
Hirmaataa Walii Guddicha(HWG) lakkoofsota hundaa lamaa fi lamaa olii barbaaduuf tarkaanfiiwwan armaan gadii hordofuu qabna.
Hirmaattota lakkoofsotaa hundaa isaanii tarreessi.
Hirmaataa walii(waliinii) ta’an adda baasi(fo’i).
Hirmaatota walii kana keessa isa guddaa filadhu.
Fakkeenya:1) Hirmaataa Walii Guddicha kan 48 fi 30 barbaadi.
Furmaata:Hirmaattota 48:1,2,3,4,6,8,12,24,48
Hirmaattota 30:1,2,3,5,6,10,30
Hirmaattota walii kan 48 fi 30: 1,2,3 fi 6
Hirmaataa walii inni guddaan 6 ta’a.
Fakkeenya 2)Hirmaataa Walii Guddicha(HWG) 12,54 fi 90 barbaadi.
Furmaata:
Hirmaattota 12:1,2,3,4,6,12
Hirmaattota 54:1,2,3,6,9,18,27,54
Hirmaattota 90:1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90
Hirmaattota walii kan: 1,2,3,6
Hirmaattota walii kanneen keessa inni guddaan 6 ta’a.
Kanaafuu,HWG(12,54,90)=6 ta’a.
Malli inni biraa kan HWG ittiin barbaadnu lakkoofsa hammatoo kenname bifa kophxiin diddiriirduun lakkoofsa kophxii keessaa kan eksipoonantii xiqqaa fudhachuuun kan walii ta’an adda baasuu ta’a.
48=16× 3=2^4×3 fi 30=2×3×5
lakkoofsa kophxii keessaa kan eksipoonantii xiqqaa fudhachuuun kan walii ta’an 2×3=6.
Huachiisa:Lakkoofsota lakkaawwii a fi b kamiifuu,HWG mallattoon yommuu barreeffamu
HWG(a,b)=(a,b) .
Hiikoo:Lakkoofsonni lakkaawwii lama hirmaataa walii 1 irraa adda ta’e yoo hin qaban ta’an lakkoofsoni kun waliif kophxi jedhamu.
Fakkeenya:4 fi 5 waliif kophxii dha.Sababni isaas,
Hirmaattonni 4=1,2,4
Hirmaattoni 5=1,5
Hiramaataan walii isaanii 1 dha.Hirmaataa walii 1 irraa adda ta’e hin qaban.Kanafuu,4 fi 5 lakkoofsota waliif kophxii dha.
Gocha:Lakkoofsota cimdii armaan gadii keessa kan waliif kophxii ta’an adda baasi.
i) 78 fi 6 ii) 45 fi 3 iii) 11 fi 19 iv) 36 fi 23
Hiramaa Walii:Hiramaan walii lakkoofsota lamaa yookiin lamaa olii,lakkoofsa hiramaa lakkoosota kennaman hudaa ta’ee dha.
Fakkeenya:Hiramoota walii 8 fi 10 barbaadi.
Hiramoota 10: 10,20,30,40,50,60,70,80,…
Hiramoota 8:8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,…
Kanaafuu,Hiramaan walii 8 & 10=40,80,…
Hiramaa Walii Xiqqicha:
Hiramoota poozatiivii walii lakkoofsota keessaa isa xiqqaa yooo ta’u bifa gabaabaan yommuu barreeffamu HWX ta’a.
HWX lakkoofsota lakkaawwii lamaa fi lamaa olii,lakkoofsa lakkaawwii xiqqicha kan hiramaa lakkoofsota kennaman hudaa ta’ee dha.
Fakkeenya:Hiramaa walii xiqqicha 10 fi 24 barbaadi.
Hiramoota poozatiivii 10:10,20,30,40,…
Hiramoota poozatiivii 24:24,48,72,96,120,…
Hirmoota waliin 10 fi 24:120,…
Hiramaa walii xiqqichi 10 fi 24: 120 ta’a.
Hubachiisa:Lakkoofsota lakkaawwii a fi b kamiifuu,HWX mallattoon yommuu barreeffamu
HWX(a,b)=[a,b].
Itti aansuun akkaataa itti HWG fi HWX lakkoofsota hundaa/lakkaawwii lamaa yookiin lamaa olii barbaaduu danda’amu ilaalla.
HWG lakkoofsota hundaa/lakkaawwii lama barbaaduuf tarkaanfilee armaan gadii hordofna.
Lakkoofsota lakkaawwii hirmaattota kophxiitiin diddiriiirsi.
Hirmaattota kophxii waliinii baasi.
Hirmaattota kophxii waliinii kana waliin baay’isuun HWG lakkoofsotaa argadhu. lakkoofsota kophxii keessaa kan eksipoonantii guddaa fudhachuun hiramaa walii xiqqicha argadhu.
Yookiin
Hirmaattota lakkoofsa kennamanii hundaa tarreessi.
Hirmaattota walii kan ta’an filachuu
Hirmaattota walii keessaa isa guddaa kan ta’e HWG lakkoofsota kennamanii dha.
Fakkeenya: 10=2×5 fi 24=2^3×3 ta’a.
kanaafuu,lakkoofsota kophxii keessaa kan eksipoonantii guddaa fudhachuun hiramaa walii xiqqichi =2^3×3×5=120 .
lakkoofsota kophxii kan waliinii keessaa kan eksipoonantii xiqqaa fudhachuun hiramaataa walii guddicha argadhu.
Kanaafuu,HWG(10,24)=2.
HWX Lakkoofsota hundaa/lakkaawwii lamaa barbaaduuf tarkaanfilee armaan gadii hordofna.
Hiramoota lakkoofsota kennamanii tarreessuu
Hiramoota walii kan ta’an filachuu
Hiramoota walii keessaa isa xiqqaa kan ta’e HWX dha.
Gocha:Lakkoofsota armaan gaditti kennaman lakkoofsota kophxiin diddirirsuun erga barreessiteen booda HWG fi HWX barbaadi.
i) 274 fi 144 ii) 36 fi 72
Hariiroo HWX fi HWG
Yoo a fi b’n lakkoofsota lakkaawwii ta’an,a×b=(a,b)[a,b]=HWG(a,b)×HWX(a,b) ta’a.
Fakkeenya:Yoo HWG(a,36)=12 fi HWX(36,x)=144 ta’e,gatii a barbaadi.
Furmaata: a× 36=HWG(a,36)×HWX(36,a)
=12 ×144
⇒a=48 ta’a.
2.2.Intiijaroota
2.2.1.Tuuta Intiijaroota
Mallattoon Tuuta intijarootaa ittiin ibsinu Z dha.
Tuutni intiijarootaa tuuta lakkoofsota lakkaawwii,faallaa(masaanuu) isaanii fi zeeroo kan qabate dha.
Kanas, Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} ta’a.
Akkuma asirraa hubanutti N⊆ W⊆Z ta’a.
2.2.2.Qoyyaboota Intijaroota irrattii fi Amaloota Isaanii
Qoyyabni tuuta intijarootaa alagoomsu hiruu qofaa dha.Kana agarsiisuuf fakkeenya armaan gadii haa ilaallu.
2,5∈Z ta’e, 2÷5=0.4∉Z.
Amala al-alagoomsuu(amala hin alagoomnee): jechuun lakkoofsota intiijerii lama yookiin lamaa ol yoo walitti idaane yookiin walitti baay’fine firiin argamu lakkoofsa intiijeri ta’e dha.Kanaafuu,lakkoofsota intiijerii a fi b hundaaf, a+b∈Z fi ab∈Z
Fakkeenya: 2,5∈Z ⇒2+5=7∈Z fi 2×5=10∈Z
Amala jijjiirraa iddoo
∀a,b∈Z ⇒■(a+b=b+a @ab=ba)
Amala jijjiirraa cuftuu
∀a,b,c∈Z ⇒(a+b)+c=a+(b+c) ta’a.
Amala raabsamaa
∀a,b,c∈Z ⇒■(a(b+c)=ab+ac@(a+b)c=ac+bc)
Amala miseensa oftaasisaa
Intiijarii a kamiifuu ⇒a+0=a=0+a.Kanaafuu,0 miseensa oftaasisaa qoyyabaa ida’uu jedhamuun beekama.
Intiijarii a kamiifuu ⇒a×1=a=1×a.Kanaafuu,1 miseensa oftaasisaa qoyyabaa baay’isuu jedhamuun beekama.
Intiijarii a kamiifuu, a-0=a garuu 0-a≠a.
Hiikoo: a,b∈Z fi a+b=0 yoo ta’an,a fi b’n masaanuu walii jedhamu.kunis -a masaanuu a ta’uu isaa nutti agarsiisa.
Fakkeenya:1) 3+(-3)=0 waan ta’eef 3 fi -3 masaanuu waliiti.
2) 8+(-8)=0 waan ta’eef 8 fi -8 masaanuu waliiti.
Hubachiisa:Lakkoofsa intiijarii keessaa kan masaanuu mataa ofii qabu 0 qofa dha.Kana jechuun masaanuun zeeroo,zeeroo dha.
Hiikoo: a,b∈Z fi a×b=1 yoo ta’an,a fi b’n fuggisoo walii jedhamu.
Hubachiisa:1) Lakkoofsota intijarii keessaa fuggisoo kan qaban -1 fi 1 qofa dha.
2) a fi b’n intiijaroota yoo ta’an, ■(a-b=a+(-b)@a-(-b)=a+b) ta’a.
3) a’n intiijarii yoo ta’e, a+1 intiijarii a tti aanee dhufuu dha.

2.2.3.Intiijaroota guutuu,mangoo,kophxii fi kompoozitii
Intiijaroota guutuu:Intiijaroota bifa 2n ,n∈Z tiin barreefaman dha.Intiijaroota haftee malee 2’f hiramuu danda’ani dha.Walumaagalatti tuutni intiijaroota guutuu {…,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,…} ta’a.
-8=2×-4 , 6=2×3
Intiijaroota mangoo: Intiijaroota bifa 2n±1 ,n∈Z tiin barreefaman dha.Walumaagalatti tuutni intiijaroota mangoo {…,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,…} ta’a.
-7=2×-3-1 , 5=2×2+1
Intiijaroota kophxii: Intiijaroota hirmaattota lama qofa qaban dha.Walumaagalatti tuutni intiijaroota kophxii {…,-13,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,13,…} ta’a.
Intiijaroota kompooziitii: Intiijaroota hirmaattota lama ol qaban dha.Walumaagalatti tuutni intiijaroota kompooziitiii {…,-12,-10,-9,-8,-6,-4,4,6,8,9,10,12,…} ta’a.
2.2.4.Tartiiba tuuta intijarootaa irratti
Hiikoo:lakkoofsota intiijarii a fi b kamiifuu,a=b⇔a-b=0 yoo ta’ee dha.
Amma mee amaloota armaan gadii haa ilallu.
Amala Trikootoomii:Miseensota tuuta intijarii a fi b kamiifuu kanneen armaan gadii keessa tokko dhugaa dha.
i) a=b ii) a>b iii) ab fi b>c yoo ta’e,a>c ta’a.
Fakkeenya: 2,3,4∈Z,2<3 fi 3<4⇒2<4 ta’a. Amala Ida’uu: Miseensota tuuta intijarii a,b fi c kamiifuu yoo ■(a>b ⇒ a+c>b+c@a-6⇒5+(-11)>-6+(-11)
⇒-6>-17.
Amala baay’isuu: Miseensota tuuta intijarii a,b fi c kamiifuu yoo
■(a>b ⇒ ac>bc ,yoo c>0@abc ,yoo c<0 @a=b ⇒ ac=bc ,∀c∈Z ) . Haa ta’u malee yoo c=0 ta’e, a>b ⇒ ac>bc =0>0(soba ta^’ a)
Fakkeenya: a=12,b=7∈Z,12>7.Yoo c=2 ta’e, 12×2>7×2⇒24>14 ta’a.
Yoo c=-2 ta’e, 12×-2>7×-2⇒-24<-14 ta’a. Yoo c=0 ta’e, 120>7×0⇒0<0(soba) ta’a. ∀a,b∈Z ,a0 fi b>0 ta’an,
0 a b Yoo a<0 fi b<0 , a<b ta’an, a b 0 Intiijarooni karaa mirgaa 0 jiran intiijaroota poozatiivii dha. -2 -1 0 1 2 Intiijaroonni karaa bitaa 0 jiran intiijaroota neegatiivii dha. zeeroon handhuuura dha. Gocha: ∀a,b∈Z ,a>b ta’e, sarara lakkoofsaa irratti agarsiisi.
2.3.Lakkoofsota Raashinaalii
Waggoota 5000 dura,Misirri durii lakkoofsota barreessuf barreeffama heroogilifikisitti fayayadamaa akka turan seenaan ni hima.Firakishinootni Misirri durii itti fayadamaa turan firakishinoota waamamaa isanii lakkoofsa tokko(1) ta’e qofa dha.
2.3.1.Tuuta lakkoofsota Raashinaalii
Tuutni lakkoofsota raashinaalii mallatoo Q ibsama.
Lakkoofsi kamiiyuu kan bifa a/b (a,b∈Z,b≠0) tiin barreeffame lakkoofsa raashinaalii jedhama.
Tuutni lakkoofsota raashinaalii haala ramaan gadiitiin ibsama.
Q={a/b:a,b∈Z fi b≠0} .
Fakkeenya: 4/5 , 1/3 ,-5 ,-4/7 , 6∈Q.
Hubadhu! 1) 6=6/1 jenne barreessu dandeenya.
2) Hiikoo lakoofsa raashinaalii a/b keessatti b≠0 akka ta’e dagachuu hin qabnu.Kunis waan lakkoofsa zeeroof hiruun hiika hin qabneef.
Hubachiisa:1) Tarmii a/b jedhu keessatti ■(a-waamamaa @b-waamsisaa) jedhamu.
2) N⊆ W⊆ Z⊆Q
∀a∈Z ⇒a=a/1∈Q
⇒a∈Q
⇒Z⊆Q ta’a.
Fakkeenya: 2∈Z ⇒2=2/1∈Q
⇒2∈Q
2.3.2.Qoyyaboota Tuuta Lakkoofsa Raashinaalii irrattii fi Amaloota Isaanii
Yoo a/b fi c/d ,b≠0∧d≠0 lakkoofsota raashinalii ta’an,
a/b=c/d ⇔a/b-c/d=0⇔ad=bc⇔ad-bc=0.
a/b+c/d=(ad+bc)/bd
a/b-c/d=(ad-bc)/bd
a/b×c/d=(a×c)/(b×d)
a/b÷c/d=a/b×d/c=ad/bc ,c≠0
Fakkeenya:Fakkeenya armaan gadii ilaali.
2/5+3/4=(2×4+3× 5)/(5 ×4)=(8+15)/20=23/20
2/5-3/4=(2×4-3× 5)/(5 ×4)=(8-15)/20=(-7)/20
2/5×3/4=(2×3)/(5 ×4)=6/20=3/10
2/5÷3/4=2/5×4/3=(2×4)/(5 ×3)=8/15
2/5=4/10 ⇔2× 10=4× 5.
Gocha:Kanneen armaan gadii qoyyab.
2/5+3/5=____________
2/3-1/5=____________
2/5×5/2=_____________
2/5÷2/7=_____________
Hubachiisa:Qoyyaboota afran(ida’uu,hir’isuu,hiruu fi baay’isuu) keessaa kan tuuta lakkoofsota raashinaalii alagoomsu hiruu dha.
Ida’uu fi Baay’isuun tuuta lakkoofsota raashinaalii irratti amaloota armaan gadii qabu.
Amala al-alagoomsuu: ∀a/b,c/d∈Q ⇒a/b+c/d=(ad+bc)/bd=p/q∈Q.Kana jechuun ida’amni lakkoofsota raashinaalii lama lakkoofsa raashinaalii ti.
Fakkeenya: 1/3,1/2∈Q ⇒1/3+1/2=(1×2+3×1)/(3×2)=5/6∈Q
Akkasumas , ∀a/b,c/d∈Q ⇒a/b×c/d=ac/bd=r/s∈Q.Kana jechuun baayataan lakkoofsota raashinaalii lama lakkoofsa raashinaalii ti.
Fakkeenya: 7/9,1/5∈Q ⇒7/9×1/5=(7×1)/(9×5)=7/45∈Q.
Amala jijjiirraa iddoo fi jijjiirraa iddoo cuftuu :
a/b,c/d∈Q ⇒■(a/b+c/d=c/d+a/b@a/b×c/d=c/d×a/b) .
Akkasumas ∀a/b,c/d,e/f∈Q ⇒ ■(a/b+(c/d+e/f)=(a/b+c/d)+e/f@a/b×(c/d×e/f)=(a/b×c/d)×e/f)
Fakkeenya:a/b= 1/3,c/d=1/2,e/f=2=2/1∈Q ⇒1/3+(1/2+2)=(1/3+1/2)+2
⇒1/3+5/2=5/6+2 yookiin 17/6=17/6 .Akkasumas
1/3×(1/2×2)=(1/3×1/2)×2
⇒1/3×1=1/6×2
⇒1/3×1=1/3×1 .
Amala raaabsamaa : ∀a/b,c/d,e/f∈Q ⇒■(a/b (c/d+c/d)=a/b×c/d+a/b×c/d@(a/b+c/d)×e/f=a/b×e/f + c/d×e/f)
Fakkeenya kennuun agarsiisi.(hojii manaa!)
Jiraachuu miseensa oftaasisaa: ∀a/b∈Q ⇒a/b+0=a/b=0+a/b .
Fakkeenya: 5/7∈Q ⇒5/7+0=5/7=0+5/7
⇒0’n miseensa oftaasisaa jedhama.
Akkasumas ∀a/b∈Q ⇒a/b×1=a/b=1×a/b .
⇒1 miseensa oftaasisaa jedhama.
Fakkeenyaaf, 1/10∈Q ⇒1/10×1=1/10=1×1/10
Galagaltoo qabaachuu miseensotaa: ∀a/b∈Q ,b≠0 ⇒a/b+c/d=0=c/d+a/b .Kana keessatti c/d’n galagaltoo(masaanuu) a/b ta^’ a.
Fakkeenya: 2/5+(-2/5)=0=-2/5+2/5 .
Kanaafuu,- 2/5’n galagaltoo(masaanuu) 2/5 ti.
Akkasumas, ∀a/b∈Q,b≠0 ⇒a/b×c/d=1=c/d×a/b (c/d∈Q,d≠0 ) .Kana keessatti c/d’n galagaltoo(fuggisoo) a/b ta^’ a.
Fakkeenya: 2/5×5/2=1=5/2×2/5 .Kanaafuu, 5/2’n galagaltoo(fuggisoo) 2/5 ti.
Hubachiisa:Miseensota tuuta Q keessaa kan fuggisoo hin qabne duwwaa dha.
Gocha:Miseensota tuuta lakkoofsota raashinaalii keessaa kan masaanuu hin qabne jiraa? Yoo jiraate isa kamii dha? Gareen mar’achuun dareef ibsi.
*Lakkoofsa raashinaalii a/b kamiyyuu sarara lakkoofsota irratti tuqaa barbaaadeen walsimsiisuun ni danda’ama.
Hiikoo:Lakkoofsi raashinaalii a/b’n salphateera kan jedhamu yoo HWG(a,b)=1 ta’e qofa dha.
Fakkeenya:1) 24/36=2/3, HWG(2,3)=1
2) 48/60=4/5, HWG(4,5)=1
3) 4/8=1/2, HWG(1,2)=1
Gocha:
1) Lakkoofsa raashinaalii armaan gaditti kennameef kan walqixa ta’e a/b,kan HWG(a,b)=1 barbaadi.
i) 14/68 ii) 10/80 iii) 32/34
2) Kanneen armaan gaditti kennama qoyyabi.
5/8+1/7=_
5/8-1/7=_
6/11×5/7=_
5/18÷11/24=_
2/17(9/13+1/4)=_
0+1/2=_
1×1/2=_
2/1×1/2=_
2.3.3. Tartiiba tuuta lakkoofsota raashinaalii irratti
Hiikoo:1) ∀a/b,c/d∈Q , a/b=c/d⇔a/b-c/d=0 yookiin ad=bc yoo ta’e dha.
Fakkeenya: 2/3,6/(9 ) ∈Q
2/3=6/(9 )⇔2/3-6/(9 )=0 yookiin 2×9=3×6 dha.
2) ∀a/b,c/d∈Q , a/b0
3) Firaakshiniin tokkoo fi kan waamamaa fi waamsisaan firaakshinichaa lakkoofsa lakkaawwii tokko ta’een baay’atee argamu firaakshinoota walgitan jedhamu.
Fakkeenya: 3/4 tiif firaakshinii walgita ta’e barbaaduuf,waamamaa fi waamsisaa lakkoofsa lakkaawwii tokko ta’een haa baay’ifnu.
3/4=3/4× 2/2=(3×2)/(4×2)=6/8.Kanaafuu, 3/4 fi 6/8 firaakshinoota walgitanii dha.
Hubachiisa:
Firaakshinii tokko firaakshinii walgitanitti jijjiiruuf,waamamaa fi waamsisaa isaa lakkoofsa lakkaawwii tokko ta’een baay’isuu qabna.
Firaakshinoonni walgitaa lama yookiin lama ol ta’an waamamootaa fi waamsisoota adda addaa qabaatanillee gatii tokko qabu.
Fakkeenya: 5/6=(5×2)/(6×2)=10/12=(5×3)/(6×3)=15/18=(5×4)/(6×4)=20/24=⋯ firaakshinoota walgitanii dha.
4) Firaakshinoota waamsisoota adda addaa qaban lama ykn lamaa oli waliin madaaluuf yoo barbaanne,tokkoon tokkooon isaanii gara firaakshinii walgitaa waamsisaa tokko ta’e qabanitti jijjiirra.Kanaafuu, firaakshiniin irra guddaa ta’e firaakshinii walgitaa isaa kan waamamaan irra guddaa ta’e dha.
Fakkeenya: 3/4 fi 5/6 keessaa kamti caalaa?
Furmaata: 3/4<5/6 sababa 3<5 ta’eef Hubachiisa:Firaakshinoota waamsisaa walqixaa qabaniif,inni waamamaa guddaa qabu irra guddaa dha.Kana jechuun, lakkoofsota lakkaawwii a,b,fi c kamiifuu, a/bc/(d ) kan ta’u a>c ta’ee dha.
Fakkeenya: 9/10 fi 8/9 isa kamti guddaa dha?
Furmaata: 9/10 fi 8/9 waamsisoota adda addaa waan qabaniif gara firaakshinii walgitaa waamsisaa tokko qabanitti jijjiiruu qabna.
9/10=(9×9)/(10×9)=81/90 fi 8/9=(8×10)/(9×10)=80/90 ta’u. 81/90>80/90 ta’a.
Itti aansuun mee amaloota tartiita lakkoofsota raashiannalii irraa haa ilaallu.
Amala Trikootoomii:Miseensota tuuta raashinaalii a/b fi c/d kamiifuu,kanneen armaan gadii keessa tokko dhugaa dha.
1) a/b=c/d 2) a/b>c/d 3) a/b0@a/b×e/f>c/d×e/f ,yoo e/f<0@a/b yookiin < guuti.
i) -2/3_________-3/4 ii) 2/9_________3/11 iii) -4/5_________-3/5
2.3.4.Deesimaalota,Dhibbantaa,Reeshoo fi Piroopporshininii
Deesimaalota
Lakkoofsa raashinaalii bifa deesimaalii dhaabbataa fi deesimaalii irra deddeebi’aan ibsamuu ni danda’ama.
Lakkoofsota hundee kudhanii dijiitii kamiyyuu barreessuuf lakkoofsota 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 gargaaramna.
Yoo tuqaan (.) bakka tokkotti gidduu lakkoofsota kanaatti argame lakkoofsichi kun deesimaalii jedhama.
Fakkeenya:Lakkoofsa lakkaawwii 564 haa fudhannu.Dijiitoota lakkoofsa kanaa gidduu bakka tokko tokkotti mallattoo tuqaa”.” yoo barreessine lakkoofsi tuqaa kana irraa gara mirgaa deesimaalii tokkoo gadi ta’a.Fakkeenyaaf,5.64 yoo dubbifnu shan tuqaa jaha-afur jenna.Tuqaan kun ammoo tuqaa deesimaalii jedhama.
Lakkoofsa raashinaalii a/b waamamaa (a) waamsisaaf (b) hiruun gara deesimaaliitti jijjiiruu ni danda’ama.
Lakkoofsi kamiiyyuu dijiitii tokko yookiin tokkoo ol ni qabaata.
Lakkoofsa bifa istaandaardiin ta’e tokko keessatti dijiitiin tokkoon tokkoon iddoo adda ta’e ni qabaata.
Gatii iddoowwanii dijiitonni qabatanitti fayyadamuun lakkoofsa dubbifna.
Gatiin iddoo tokkoon tokkoon dijiitii lakkoofsa bifa istaandaardiitiin barreeeffame keessati qabu gatii bakkaa(mana lakkoofsaa) jedhama.
Fakkeenya:1) 2546 yoo dubbifamu kuma 2 fi dhibba 5 fi afurtmii 4 jedhameeti.Kana jechuun lakkoofsa 2546 keessa kumoota 2,dhibboota 5 ,kurnee 4 fi tokkee 6 tu jira jechuu dha.kanaafuu,gatiin bakka 2 kuma(1000),gatiin bakka 5 dhibba(100),gatiin bakka 4 kudhna(10) fi gatiin bakka 6 tokko(1) dha.
Hubachiisa:
Deesimaalota kennaman keessatti dijiitonni tuqaa deesimaalii booda jiran gatii bakkaa qabu.Fakkeenyaf,dijiitin tuqaa deesimaaliitti aanu gatii bakka kurnaffaa qaba jenna.
Fakkeenya:Deesimaalii 745.321 keessatti
Gatiin bakka dijiitii 3 kurnaffaa dha.
Gatiin bakka dijiitii 2 dhibbaffaa dha.
Gatiin bakka dijiitii 1 kumaffaa dha.
Fakkeenya:1) 14.23 lakkoofsa deesimaalii yoo ta’u yommuu dubbifamu kudhanii afur qabxii lama ,sadi jechuudhaan.
14.23 keessatti ■(■(1-mana kudhaniiti@4- mana tokkooti)@2-mana kurnaffaati@3-mana dhibbaffaati)
Lakkoofsota Deesimaalii kamiyyuu diddiriirsuun barreessuu ni danda’ama
Fakkeenya: 14.23=1×〖10〗^1+4×〖10〗^0+2×1/〖10〗^1 +3×1/〖10〗^2
=1×10+4×1+2×1/〖10〗^1 +3×1/〖10〗^2
2) 4/5 gara deesimaaliitti jijjiiri.
Furmaata:Waamamaa(4) waamsisaaf(5) hiruun
4/5=0.8 ta’a.
Gocha:1) Manneen lakkoofsota dijiitoota armaan gadii himi.
i) 254786 ii) 485736.145
2) Lakkoofsota raashinaalii armaan gadii gara deesimaaliitti jijjiiri.
i) 3/5 ii) 2/3 iii) 22/7 iv) 1/5
3) Lakkoofsota armaan gadii diddirirsuun barreessi.
i) 3654.145 ii) 1789.02504
Dhibbantaa:
Jechuun firaakshinii yookiin lakkoofsa waamsisaan isaa dhibba(100) ta’e jechuu dha.
Gar-tokkeewwan waan guutuu tokkoo bakka walqixaa 100 tti qoqqoodame jechuu dha.
Mallattoo “%” dhibbantaaf fayyadamna.
Mallattoon: a/100=a% yommuu dubbifamu dhibbantaa a jenneeti.
Fakkeenya:1) 42/100=42%-dhibbantaa afurtamii lama
2) 33/100=0.33%-dhibbantaa tuqaa sadi sadi.
3) 75% firaakshiniin ibsi.
Furmaata: 75%=75/100=(3×25)/(4×25)=3/4 ta’a.
Hubachiisa:
Lakkoofsa raashinaaliin (firaakishiniin) kenname hundaa dhibbantatti jijjiiruu ni danda’ama.
Hubachiisa:Firaakshinii yookiin deesimaalii gara dhibbantaatti jijjiiruuf firaakshinii yookiin deesimaalii kenname 100% ‘n baay’isuu dha.
Firaakshinii kenname tokko gara dhibbantaatti jijjiiruuf wanti godhamuu qabu waamsisaa firaakshinichaa 100 taasisuu dha.Kana gochuuf waamsisaa fi waamamaa firaakshinichaa lakkoofsa mijataa ta’een baay’isuu qabna.Deesimaalii kenname tokko gara dhibbantaatti jijjiiruuf,firaakishinicha 100/100 tiin baay’isuu qabna.
Fakkeenya: 4/5 dhibbantaan ibsi.
Furmaata:Mee x’n lakkoofsa dhibbantaan kenname haa jennu.
4/5= x/100⇔5x=400
⇔x=80
Kanaafuu, 4/5= 80/100=80% ta’a.
Yookiin waamamaa fi waamsisaa firaakshinichaa lakkoofsa walfakkaataa ta’een baay’isi.
Kanaafuu, 4/5=4/5 ×1=4/5×20/20=80/100=80%
2) Dhibbantaan soddomii shanii lakkoofsa 1000 meeqa ta’a?
Furmaata:35% ×1000=35/100×1000=350 ta’a.
3) Shantamni dhibbantaa meeqaan digdama caala?
Furmaata:(50-20)/50×100%=30/50×100%=60%
4) Barattootab 4800 keessaa 75% qorumsa baayooloojii yoo darban barattoota meeqattu osoo hin darbin hafan?
Furmaata:Kan qorumsa darban 4800 ×75%=3600
Kan qorumsa hin darbine: 4800-3600=1200 dha.
5) 36/100 dhibbantaan ibsi.
Furmaata:36/100=36×1/100=36%
Hubachiisa:Deesimaalota dhaabbatoo gara dhibbantaatti jijjiiruuf,deesimaalicha 100’n baay’isii 100’f hiri.Kuni waamsisaa dhibbatti ni jijjiira.Haaluma walfakkaatuun, Deesimaalota dhaabbatoo gara firaakishiniitti jijjiiruuf,deesimaalicha 10,100,100,10000,… tiin baay’isuu fi hiruu irratti kan hudaa’e dha.
Fakkeenya: Deesimaalii 2.45 gara dhibbantaa fi gara firaakshiniitti jijjiiri.
Furmaata:Deesimaalicha gara dhibbantaatti jijjiiruuf, 100/100’n baay’isi.
2.45=2.45×100/100=245/100=245% ta’a.
Deesimaalicha gara firaakshiniitti jijjiiruuf,deesimaalichi tuqaa deesimaalii booda dijiitoota lama waan qabuuf(hanga gatii bakka dhibbaatti waan qabuuf),deesimaalicha 100/100 tiin baay’isi.
2.45=2.45×100/100=49/20 ta’a.
Hubadhu! Deesimaalii dhaabbataa tokko gara dhibbantaatti jijjiiruuf deesimaalicha 100/100 tiin baay’isi.
Gocha:1) Kanneen armaan gadii dhibbataan barreessi.
i) 1/5 ii) 2/3 iii) 3/4
2) Dhibbantaa digdamii shanii lakkoofsota armaan gadii barbaadi.
i) 300 ii) 250 iii) 10000
3) Barattoota 56 qormaata barnoota herregaa fudhatan keessa 70%’n qabxii sagalii fi isaa ol yoo argatan barattoota meeqatu sagalii gadi argatan?
4) Afurtamni dhibbantaa meeqaan soddoma caalaa?
5) Firaakshinoota armaan gadii gara dhibbantaatti jijjiiri.
i) 44/100 ii) 11/50 iii) 13/7
6) Deesimaalota armaan gadii firaakshinitti jijjiiri.
i) 0.22 ii) 0.72 iii) 0.025
7) Dhugaa yookiin soba jedhi.
i) 0.25=25/100=25%=1/4 ii) 7/25=28% iii) 1/10=10%
8) Buufata Fayyaa tokko keessatti namoota 4000 qoratameera.Isaan kana keessa vaayirasiin eedsii dhiiga isaanii keessatti argame 15% yoo ta’a,
Namoonni vaayirasii kanaan qabaman meeqa ta’u?
Namoonni vaayirasii kanaan hin qabamne meeqa ta’u?Dhibbantaan hoo?
Reeshoo
Mala wantoota yuuniitii tokko qaban waliin madaaluuf nu gargaaruu dha.Fakkeenyaaf dhiiroota 6 fi re’oota 8 yookiin 10kg fi 20sm waliin madaaluu hin dandeenyu.s
Reeshoon lakkoofsota poozatiivii lamaa a fi b bifa a/b yookiin a:b tiin ibsama.
Lakkoofsotni a fi b’n tarmii reeshichaa jedhama.
Reeshoo “a gara b yommuu” jennu a:b barreessina.
Tarmiin jalqabaa a’n waamamaa fi tarmiin lamaffaa b’n ammoo waamsisaa jedhamu.
Hubadhu! 1) Reeshoon wantoota lamaa a fi b yeroo baay’ee karaa sadiin barreeffamuu danda’u.
Jechaan a gara b tti
a:b
a/b (bifa firakshiniin)
2) Reeshoon a:b salphateera kan jennu yoo tarmoonni lamaan hirmaataa waliinii 1 malee hin qaban ta’e dha.Kunis HWG(a,b)=1 yoo ta’e qofa.
Fakkeenya:1) Daree barnootaa tokko keessa barattota dhiiraa 24 fi barattoota dhalaa 36 tu jira.
i) reeshoo dhalaa gara dhiiraatti barbaadi.
ii) reeshoo dhiiraa gara dhalaatti barbaadi.
Furmaata:
i) reeshoo dhalaa gara dhiiraa=36:24=3:2
ii) reeshoo dhiiraa gara dhalaa =24:36=2:3
2) Mana barumsa Doolee keessa barsiisota 40 fi barattoota 800 tu jira.Reeshoo barsiisotaa gara barattootaatti barbaadi.
Furmaata:Reeshoon baay’ina barsisotaa gara baay’ina barattootatti 40:800.Kana yeroo salphifnu 1:20 ta’a.Reeshoon 1:20 jechuun,tokkoo tokkoo barsiisaa mana barumsaa Dooleef,barattoota 20 tu jira yookiin baay’inni barsiisotaa 1/20 ffaa baay’ina barattootaati jechuu dha. Hubadhu!
Reeshoon wantoota lamaa duraa duubaan kan nutti agarsiisu hammam wanti duraa isaa lammaffaa keessatti argamu yookiin harka meeqan wanti duraa isaa lammaffaa keessatti akka argamu yoo ta’u,bifa hiruutiin ibsama.
2) Obbo Tolaan maallaqa ta’e tokko ijoollee isaanii Bunoo,Xaroo fi Sukureef reeshoo 4:5:1 tti hireef.Bunoo yoo qarshii 36 argatte,gahee Xaroo fi Sukuree barbaadi.
Furmaat:Mee x’n baay’ina qarshii haa ta’u.
Ida’ama tarmoota reeshoo kennamee:4+5+1=10 ta’a.Kanaaf,
Gaheen Bunoo: 4/10 ×x=36 ⇒x=(36× 10)/4=90 ta’a.
Kanaafuu,
Gaheen Xaroo: 5/10 ×90=45 fi Gaheen Sukuree: 1/10 ×90=9 ta’a.
Gocha:
1) Daree tokko keessa barattoota 654 tu jira.Yoo reeshoon barattoota dhiiraa gara barattoota dubaraatti 5:3 ta’e ,baay’ina barattoota dhiiraa fi dubaraa barbaadi.
2) Yoo a:b=3:5 fi y:z=2:3 ta’e, x:z barbaadi.
Reeshoo kenname tokko keessatti,tarmoonni isaa lamaan lakkoofsa zeeroo hin ta’iin tokkichaan yoo baaay’ifne yookiin hirre,reeshoon kun hin jijjiiramu.Fakkeenyaaf, 18:24 walqixa 6:8 fi 3:4 ti.Walqixxummaa kana maal jettee yaadda?Kana irraa ka’uun hiikoo waliigalaa piropporshiniitti deemna.
Pirooporshinii
Pirooporshinii jechuun walqixummaa reeshoo lamaati.Kunis reeshoowwan lama a/b fi c/d keessatti yoo a:b=c:d ta’e,a,b,c fi d’n piropporshiniin jiru jechuu dha.
Fakkeenya:18,a,36 fi 50 piropporshiniin jiru yoo ta’e,gatii a barbaadi.
Furmaata: 18/a=36/50 ⇒a×36=18 ×50
⇒a=25 ta’a.
Piropporshinii a:b=c:d keessatti a fi d ‘n fixeewwan yoo ta’an b fi c ‘n ammoo giddu galeessota jedhamu.
Gocha:Piropporshinii 8:12=24:36 keessatti fixeewwaanii fi gidddu galeessota isaa kenni
Hubachiisa:Yoo a:b=c:d ta’ e ad=bc ta’a.Kunis baay’ataa qaxxaamuraa piropporshinii jedhama..
Fakkeenya:1) Adde Boontuun sa’atii tokko hojjechuun qarshii 75 yoo argatan reeshoo kanaan hojjechuun sa’atii meeqa yoo hojjatan qarshii 750 argachuu danda’u?
Furmaat:Mee qarshii 750 argachuuf sa’atii x hajjatan haa jennu.
1/75=x/750⇔x=10 .Kanaafuu,sa’atii 10 hojjetan jechuu dha.
2) Warshaan kophee oomishu tokko guyyaa 30 keessatti kophee cimdii 7500 oomisha.Guyyaa 5 keessatti warshaan kun kophee cimdii meeqa oomishuu danda’a?
Furmaata:Akka guyyaan hir’achaa deemuun,lakkoofsi kophee cimdii oomishamus hir’achaa deema.
Lakkoofsa kophee cimdiin Lakkoofsa guyyaa
7500 30
a 5
Reeshoowwan lamaan walqixxeessun:
7500:a=30:5 ⇔ 7500/a=30/5
⇔x×30=7500×5
⇔a=1250
Kanaaf,guyyaa 5 keesatti kophee cimdii 1250 tu omishamuu danda’a.
Gocha:
1) Lafa 〖1m〗^2 gabbisuuf xaa’oo 2.5kg yoo barbaachise ,xaa’oon 45kg lafa ballina hammamii gabbisuu danda’a?
2) Gatii jijjiiramaa armaan gadii barbaadi.
i) a:3=7:12 ii) 5:a=2:11
2.4.Lakkoofsota Waliigalaa
2.4.1.Lakkoofsota Raashinaalii bifa deesimaaliitiin ibsuu
Lakkoofsota Dessimaalii
Hundee kudhan gargaaramuun mallattoole lakkoofsaa 0 , 1, 2 ,3 ……9 fi maallattoo dessimaalii “.” Altokko qofaa fayyadamuun yoo ibsinu dessimaali jedhama.Lakkoofsa bifa dessimaaliin barreessuuf seera mana lakkoofsatti gargaaramuun dirqama ta’a.
…. Mana kuma dhibbaa Mana kuma kudhani Mana kumaa Mana dhibbaa Mana kudhanii Mana tokkoo . Mana kurnaffaa Mana dhibbaffaa Mana kumaffaa Mana kuma kurnaffaa …. Fakkeenya 234.567 keessatti
2 mana dhibbaa
3 mana kudhanii
4 mana tokkoo
5 mana kurnaffaa
6 mana dhibbaffaa fi
7 mana kumaffaa ta’a.
Gocha Manneen lakkoofsota armaan gadii ibsi
3 ,456, 721 b) 465. 9278 c) 5.27143 d) 0.5634 Firaakshinii tokko gara deesimaalitti yoo jijjiirru deesimaaliin argamu dhaabbataa yookiin irra deddeebi’aa ta’uu danda’a.
i) Deesimaalii dhaabbataa
Lakkoofsa tokko lakkoofsa biroof yommuu hirru bakka tokkotti hafteen isaa yoo zeeroo ta’e dha.
Deesimaalota tuqaa desimaalii booda dijiitota baa’inni isaanii murtaa’aa ta’e irratti dhaabbatanii dha
Fakkeenya:i) 4/5=0.8 ii) 2/5=0.4
ii) Deesimaalii irra deddeebi’aa:
Lakkoofsa tokko isa biroof osoo hiraa jirruu hafteen zeeroo ta’uu baannaan tuqaa booda dijiitoota jiran keessaa bakka/iddoo tokkotti isuma duraa irra deddeebi’aa dhufa yoo ta’ee dha.
Deesimaalii tuqaa deesimaalii booda haala dhuma hin qabneen itti fufuu dha.
Fakkeenya:1) 1/3=0.33333…=0.3 ̅
2) 1/9=0.111111…=0.1 ̅
3) 1/11=0.09090909…=0.(09) ̅
Firaakshinii gara deesimaaliitti karaa lamaan jijjiiruu dandeenya.
Firaakshinicha kenname waamsisaa isaa 10,100,1000,10000, kkf akka ta’u gochuun barreessi.Kana gochuuf,waamamaa fi waamsisaa firaakshinichaa lakkoofsa mijawaa ta’een baay’isuu qabna.Achiin booda gara deesimaaliitti jijjiirra.
Fakkeenya: 7/20 gara deesimaaliitti jijjiiri.
Furmaata: 7/20=(7×5)/(20×5)=35/100=0.35 ta’a.
Hirutti fayyadamuun
iii) Deesimaalonni kanneen dhabbatoo fi irra deddeebi’oo hin taanes ni jiru.Deesimaalonni kunniin deesimaalota lachuun ala ta’anii dha.
Fakkeenya: √11 , √5 fi kkf
Gocha:
1) Firaakshinoota armaan gadii gara deesimaaliitti jijjiiri.
i) 3/8 ii) 2/7
Lakkoofsa raashinaaliin (firaakishiniin) kenname hundaa deesimaaliitti jijjiiruu ni danda’ama.
Fakkeenya:1/3=0.33333….=0.3 ̅
2/3=0.666666….=0.6 ̅
Hubachiisa:
1) Deesimaaliin dhaabbatoon kamiyyuu lakkoofsa raashinaalii dha.
Fakkeenya:0.8=4/5∈Q
2) Deesimaaliin irra deddeebi’oon kamiyyuu lakkoofsa raashinaalii dha.
Fakkeenya: 0.33333….=0.3 ̅=1/3∈Q
3)Deesimaaliin kamiyyuu lakkoofsa raashinaalii hin ta’u.
Fakkeenya: 0.040440444044440…∉Q Deesimaalota dhaabbatoo gara firaakishinii(lakkoofsa raashinaaliitti) jijjiiruu
Yoo d’n deesimaalii dhaabbatoo kan tuqaan booda baay’ina dijiitii n qabu ta’e,
d=(d 〖×10〗^n)/〖10〗^n ta’a.
Fakkeenya:3.246=(3.246 〖×10〗^3)/〖10〗^3 =3246/1000=1623/500
Gocha:Kanneen armaan gadii bifa a/b tiin barreessi.
i) 2.45 i) 0.0063
Deesimaalota irra deddeebi’oo gara firaakishinii(lakkoofsa raashinaaliitti) jijjiiruu
Yoo d’n deesimaalii irra deddeebi’oo kan tuqaan booda baay’inni dijiitoota dhaabbatoo k fi baay’inni dijiitoota irra deddeebi’oo p qabu ta’e,foormulaan d gara lakkoofsa raashinaaliitti jijjiiruuf nu gargaaru
d=(d(〖〖10〗^(p+k)-10〗^k))/〖〖10〗^(p+k)-10〗^k ta’a.
Fakkeenya:Lakkoofsa 24.1(35) ̅ bifa a/b tiin ibsi.
Furmaata:Mee d=24.1(35) ̅ haa jennu.
⇒k=1 (baay’ina dijiitii tuqaan booda dhaabbatoo ta’anii) fi
p=2 (baay’ina dijiitoota tuqaan booda irra deddeebi’oo ta’anii)
24.1(35) ̅=(24.1(35) ̅(〖〖10〗^(2+1)-10〗^1))/〖〖10〗^(2+1)-10〗^1
⇒24.1(35) ̅=(24.1(35) ̅(1000-10))/(1000-10)
⇒24.1(35) ̅=(24.1(35) ̅×1000-24.1(35) ̅×10)/990
⇒24.1(35) ̅=(24135.(35) ̅-241.(35) ̅)/990
⇒24.1(35) ̅=23894/990=11947/495 ta’a.
Gocha:Kanneen armaan gadii bifa a/b tiin barreessi.
i) 5.43 ̅ ii) 0.(63) ̅ iii) 11.(11) ̅
2.4.2.Lakkoofsota al-raashinaalii
Hiikoo:Tuutni deesimaalota dhaabbatoo hin taanee fi irra deddeebi’oo hin taane hunduu tuuta lakkoofsota al-raashinaalii (irrational) jedhamu.
Tuuta lakkoofsota al-raashinaalii mallattoo Q^c ibsina.
Lakkoofsota bifa a/b tiin barreessuu hin dandeenyee dha.
Fakkeenya:√2=1.414213562373…,0.121221222122221…,π lakkoofsota al-raashinaalii dha.
Hubachiisa:1) Qoyyabootni bu’uuraa(ida’uu,hir’isuu,hiruu fi baay’isuu) hunduu tuuta lakkoofsota
al-raashinaalii ni alagoomsu.
2) Ida’amni lakkoofsa raashinaalii fi al-raashinaalii yeroo hudaalakkoofsa al-raaashinaalii dha.
Fakkeenya: √2+(-√2)=0∉Q^c
√2 ÷√2=√2× 1/√2=√2/√2=1∉Q^c
√2 ×√2=√(2×2)=√4=2∉Q^c
0.212112111211112…+0.010110111011110…=0.2222222=0.2 ̅
2.4.3.Tuuta lakkoofota waliigalaa
Tuuta lakkoofsota waliigalaa mallattoo R ibsina.
Tuutni lakkoofsota waliigalaa tuuta baay’ee bal’aa ta’ee dha.
N⊆ W ⊆Z ⊆Q ⊆R ta’a.
Tuutni lakkoofsota waliigalaa makoo tuuta lakkoosota raashinaaliii fi al-raashinaalii ti.Mallattoo tuutan yommuu ibsinu:
R=Q ∪Q^c
={x:x∈Q ∨x∈Q^c } .
Fakkeenya: √3 ,1,0,-6,√5/2 ,-1/2,5/16 ,π/2 k.k.f fakkeenya lakkoofsota waliigalaati.
Tuutni lakkoofsota waliigalaa qoyyaboota ida’uu fi baay’isuu keessatti amaloota armaan gadii qabu.
Lakkoofsota dessimaaliin ibsaman hundee kudhaniin diddiriirsuun ni danda’ama.
Fakkeenya 1
472.654 = 4×102 +7×101 + 4×100 + 6/10 + 5/100 + 4/1000
Fakkeena 2
3×103 +5×100 + 5/10 + 7/1000 = 3005.507
Lakkoofsi raashinaalii a/b , b ≠0 lakkoofsa dessimaaliin ni ibsama
Innis; Lakkoofsa a lakkoofsa b tiif hiruun ta’a.Hafteen argamus 0 , 1, 2, 3 … b-1 ta’uu danda’a. Yoo hafteen zeeroo ta’e hiruun kun ni dhaabbata. Dessimaaliin akkasiis dessimaali dhaabbata jedhama.
Fakkeenya
1/4 = 0.25, 49/20 = 2.45, 1/8 = o.125, 137/40 = 3.425
Adeemsa hiruu kana keessatti yoo tuqaa boodadhaabbi tokko malee deeddebi’uun ni mul’ata ta’e,dessimaaliin akkasii dessimaalii deddebi’oo jedhama.
Fakkeenya
3/7 = 0.428571423572… = 0. (428571) ̅
14/11 = 1.272727… = 1. (27) ̅
Hubachiisa 1. Lakkoofssi dessimaalii dhaabbata kamiyyuu raashinaali dha.
Fakkeenya Mee d= 2.345 haajennu dx 〖10〗^3/〖10〗^3 = 2.345x〖10〗^3/〖10〗^3 = 2345/1000 = 469/200 ta’a.
Dessimaaliin deddebi’oon kamiyyuu raashinaalii dha.
Mee d’n dessimaali deddebi’adha haa jennu. Yoo n’n baayyina dijiti deddebi’oo , m’n immoo baayyina dijiiti deddebi’o hin taane ta’e,
d= dx1 =d (〖10〗^(m+n)- 〖10〗^m)/(〖10〗^(m+n)- 〖10〗^m ) = (〖d10〗^(m+n)- 〖d10〗^m)/(〖10〗^(m+n)- 〖10〗^m )
Fakkeenya
23.40(67) ̅ =23.40(67) ̅ ( (〖10〗^(2+2)- 〖10〗^2)/(〖10〗^(2+2)- 〖10〗^2 ) ) =231727/9900
3) Lakkoofsa raashinaalii bifa a/b , b ≠0 ,kan HWG (a,b) = 1 ta’e dessimaali dhaabbata kan ta’u, ta’ee yoo
ta’e, b = 2n x 5m. n,mϵ N.
4) Dessimaaliin raashinaalii ta’u hindandeenye ni jiru.
Fakkeenya
0.21221222122221….
0.123456789100110001…
Lakkoofsotni dessimaali dhaabbatoo fi deddebi’oo hin taane lakkoofsa alraashinaali jedhamu.
Fakkeenya
1.1011001110001111…
√2, √3, √5
Tuuti lakkoofsa alraashinaalii Qc . Tuutni lakkoofasa alraashinaalii qoyyaboota;
Ida’uu ,hir’isuu ,baay’isuu fi hiroo tiin ni alagooma.
Gilgaala
Manneen dijitota lakkoofsota armaan gadii ibsi
7005
13002
3500
13.4
4.34
Kanneen armaan gadii diddiriirsi.
30052
700103
6.75
23.671
Kanneen asiin gadii gara dessimaalitti jijjiiri.
6×103 +7×102 + 3×10 + 1
3×102 +2×10 + 1 + 7/10 + 2/100
5×103 +4/10 + 5/100 + 6/1000
Kanneen asiin gadii lakkoofsa dessimaalitti jijjiiri
a) 4/9 b) 11/7 c) (-13)/8 d) 1/99 e) 3 2/15 f) -5 2/3
5. Dessimalota deddebi’o armaan gadii gara bifa a/b jijjiiri.
a) 0. (6718) ̅ b) 0.027 ̅ c) 1.32(56) ̅ Kanneen asiin gadii alraashinaalita’u isaani agarsiisi.
a) √3 b) √5 c) 6√3 d) 2 + √3 e) √3 – 4 f) 2 +3√5
2.4.3.1 Sarara Lakkoofsotaa fi Amaloota tartiiba Lakkoofsota Waliigalaa
Sarara Lakkoofsota Waliigalaa
Lakkoofsi waliigalaa hundinu sarara irratti tuqaa ittiin bakka bu’an niqabaatu.Sararri akkasi kun sarara lakkoofsaa jedhama.
…-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5…
Mee a fi blakkoofsota waliigalaa adda addaa lama ,k ammo lakkoofsota lakkaawwi isa xiqaadha haajennu. Mee ak ≠ bk haajennu. a < b yoo ta’ee yoo ta’e ak < bk . a < b jechuun bifa ji’omeetiritiin lakkoofsa a gara bitaa lakkoofsa b tti argama jechuudha. a b (a < b) Fakkeenya Mee : a = 1.012345678910111213… b = 1.012345678910211213… a13 ≠ b13 ⇒ a13 < b13 , Kunis a = 1.012345678910111213…, b = 1.012345678910211213… 1< 2 Hub. Mee: a = a0a1a2a3 fi b = b0b1b2b3 haata’anu. a = b kan ta’u yoo a0 = b0 , a1= b1 , a2 = b2 fi a3 = b3 ta’e dha. 2.4.4. Qoyyaboota bu’uuraa tuuta lakkoofsota waliigalaa irrattii fi amaloota isaanii Amala al-algoomsuu ∀a,b∈R ⇒a+b∈R fi ab∈R. Kana jechuun ida’amnii fi baay’ifamni lakkoofsota waliigalaa lama lakkoofsa waliigalaa ta’a. Fakkeenya, 3,√5∈R ⇒3+√5∈R fi 3×√5=3√5∈R. Amala jijjiirraa iddoo ∀a,b∈R ⇒a+b=b+a fi ab=ba . Fakkeenya:-3,7∈R ⇒-3+7=7+(-3) fi -3×7=7×-3 . Amala jijjiirraa cuftuu ∀a,b,c∈R ⇒■((a+b)+c=a+(b+c)@a(bc)=(ab)c) Fakkeenya: 2,5,√3∈R ⇒■((2+5)+√3=2+(5+√3)@2(5×√3)=(2×5) √3) Amala raabsamaa ∀a,b,c∈R ⇒■(a(b+c)=ab+ac@(a+b)c=ac+bc) Fakkeenya: 2,5,9∈R ⇒■(2(5+9)=2×5+2×9@(2+5)9=2×9+5×9) Jiraachuu miseensaa oftaasisaa ∀a∈R ⇒a+0=a=0+a ⇒0’n miseensa oftaasisaa qoyyaaba ida’uu jedhama.Akkasumas ,∀a∈R ⇒a×1=a=1×a ⇒1 miseensa oftaasisaa qoyyaaba baay’isuu irraa jedhama. Fakkeenya: √3∈R ⇒√3+0=√3 a=0+√3 .Akkasumas √3∈R ⇒√3×1=√3=1×√3 Galagaltoo qabachuu miseensotaa ∀a∈R ,∃b∈R fi a+b=0 yoo ta’e,b’n galagaltoo a jedhama. Fakkeenya:5+(-5)=0 waan ta’eef -5 galagaltoo(masaanuu) 5ti. Akkasumas, ∀a∈R ,∃b∈R fi a×b=1 yoo ta’e,b’n galagaltoo(fuggisoo) a jedhama. Fakkeenya:5×1/5=1 waan ta’eef 1/5 galagaltoo(fuggisoo) 5ti. 2.4.5.Amala Tartiiba Lakkoofsota Waliigalaa fi Sarara lakofsotaa Lakkoofsota waliigalaa tartibeessuf amaloota armaan gadiitii fayadamuu ni dandeenya.Isaanis: Amala Tiraayikootoomii ∀a,b∈R ,kanneen armaan gadii keessa tokko dhgaa dha. i) a=b ii) a>b iii) a<b
Amala darbaa darboo
∀a,b,c∈R;a<b fi b<c ⇒a<c
Fakkeenya: a=1,b=3,c=5∈R;1<3 fi 3<5 ⇒1<5 Amala Ida’uu
∀a,b,c∈R;a0@ac>bc ,yoo c<0@soba yoo c=0) ta’e. Gocha:Fakkeenya kennuun 4) dhugaa ta’uu isaa agarsiisi. Hubachiisa ∀a,b,c∈R;a-1/3} yoo ta’e,lakkoofsotni waliigala irra xiqqaa yookiin walqix-1/3a ta’an hunduu dangaa jalaa tuuta A ti.Fakkeenya:-1/3,-1,-1.5,-2,-4,… .Kanneen keessaa inni guddichi -1/3 dha.Kanaafuu,DJG A =-1/3 .
1) Mee N={1,2,3,…} haa jennu.
Lakkoofsotni waliigalaa irra xiqqaa yookiin walqixa 1 ta’an hunduu dangaa jalaa tuuta N ti.Kanneen keessaa muraasni:1,0.99,-1,-3,…
2.4.7.Intarvaalota
Intarvaaliin cita-tuuta lakkoofsa waliigalaati.
Intarvaaliin kamiiyyuu cita-tuuta lakkoofsa waliigalaati.
Akaakuu I ntarvaalotaa
Akaakuu lamatu jira.Isaanis:
Intarvaaalii dangeffamee fi
Intarvaalii hin dangeffamne dha.
Intarvaaloota dangeffame
Intarvaaliin dangeffame gosa afuritu jira.
Miseensota lakkoofsota waliigalaa a fi b kamiifuu,
[a,b]={x∈R:a≤x≤b}-Intarvaalii cufamaa
Fakkeenya: [-4,5]
(a,b)={x∈R:a-2}
(-∞,b]={x∈R:x≤b}
Fakkeenya: (-∞,14]={x∈R:x≤14}
(-∞,b)={x∈R:x<b}
Fakkeenya: (-∞,1)={x∈R:x<1}
(-∞,∞)={x:x∈R}
Intarvaalii kamiyyuu sarara lakkoofsaa irratti agarsiisuu ni dandeenya.
Fakkeenya: [1,4) sarara lakkoofsaa irratti agarsiisi. 1 4 Gocha:1) Kanneen armaan gadii sarara lakkoofsotaa irratti agarsiisi.
i) [-2,3] ii) (-2,3) iii) [-2,3) iv) (-2,3]
2)Tuutoota armaan gaditti intarvaaliin kennaman mallattoo tuuta gargaaramuun barreessi.
i) [5,7] ii) (5,7) iii) [5,7) iv) (5,7]
3) Kanneen armaan gadii intarvaalii fayyadamuun ibsi.
i) {x∈R:2x-5<3} ii) {x∈R:x≠0} iii) {x∈R:x^2-1≠0}
iv) {x∈R:3x+4≠0}
Lakkoofsotaa fi Lakkaawwii
Addunyaa har’aa nuti keessa jiraannu keessatti,bakka saayinsii fi teeknoolojiin hiika qabeessa olaanaa qabanitti,wantoota naannoo keenya keessatti xiqqoo fi baay’ee guddaa ta’an lamaanuu ibsuun ni danda’ama.Kana gochuuf sirna lakkoofsotaa fi lakkaawwii qo’achuun baay’ee barbaachisaa dha.
Lakkaawwii jechuun mallattoo lakkoofsa moggasuuuf itti gargaaramnuu dha.
Seera namoonni waa’ee lakkoofsota ittiin walii galanii dha.
Sirna lakkaawwii:-seera moggaasa lakkoofsotaa ti.Sirni lakkaawwii baay’inaan itti fayyadamnu sirna lakkaawwii Hinduu Arabaati.
Mallattooleen sirna lakkaawwii Hinduu Arabaa kudhan dha.Isaanis dijiitoota jedhamu.Dijiitootni kudhan kunneen 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.Kanaafuu,sirni lakkaawwii Hinduu Arabaa dijiitoota kanneen irratti kan hunda’ee dha.Sirna Hinduu Arabaa keessatti manneen lakkoofsota iddoo guddaa qaba.
Fakkeenya:lakkoofsa 56324 keesstti:
5-mana kuma kudhaniiti
6-mana kumaati
3-mana dhibbaati
2-mana kudhaniiti
4-mana tokkoti
Hubachiisa:Lakkoofsa tokko karaan ittiin ibsinu baay’etu jira.Isaan keessa muraasni kanneen armaan gadiiti.
1) lakkoofsa kenname tokko hundee kudhan gargaaramnee manneen diddiirirsuun barreesuu ni danda’ama.Lakkoofsa tokko hundee kudhan gargaaramuun yoo barreessine lakkoofsichi i deesimaalaa jedhama.
Fakkeenya:2463=2× 〖10〗^3+4 ×〖10〗^2+6 ×〖10〗^1+3 ×〖10〗^0.
71.62=7 ×〖10〗^1+1 ×〖10〗^0+6 ×1/〖10〗^1 +2 ×1/〖10〗^2 .
2) Lakkoofsa kenname tokko bifa mallattoo Saayinsaawwaatiin(Scientific notation) barreessuu ni danda’ama.Mallattoo Saayinsaawaa kana keessatti,lakkooficha akka baay’ataa paawuroota 10(10,100,1000,10000,…) fi deesimaaliiitti barreessina.Wayita kana,deesimaalichi tuqaa deesimaalii dura dijiitii 0 irraa adda ta’e tokko qofaa qabaachuu qaba.
Fakkeenya:1) 2463 mallattoo saayisaawaatiin yoo ibsinu
2463= 2.463× 〖10〗^3 ta’a.
2) 0.7563 mallattoo saayinsaawaatiin yoo ibsinu 0.7563=7.563× 〖10〗^(-1)
Gocha:1) lakkoofsota armaan gadii hundee kudhaniin diddiirirsi.
i) 25634 ii) 4789.636
2) Lakkoofsota armaan olii bifa mallattoo Saayinsaawwaatiin barreessi.
3) Lakkoofsota armaan gadii deesimaaliin barreessi.
i) 5× 〖10〗^5+7 ×〖10〗^1+1 ×〖10〗^0+4 ×1/〖10〗^1 +4 ×1/〖10〗^3
ii) 6× 〖10〗^3+4 ×〖10〗^1+3×〖10〗^0+4 ×1/〖10〗^2 +4 ×1/〖10〗^4
2.5.Hundeewwan Adda Addaa
2.5.1.Yaad rimee Hundeewwanii
Waan tokko hundee kudhaniin qoqqooduun yommuu lakkoofsnu hundee kudhan gargaaramna.Akkasumas lama lamaan,sadi sadiin,afur afuriin,shan shaniin,…. fi kkf qoqqooduun lakkaa’uu ni dandeenya.
Hundeewwaan Dijiitoota hundicha barreessuuf gargaaran
2 0,1
3 0,1,2
4 0,1,2,3
5 0,1,2,3,4
6 0,1,2,3,4,5
7 0,1,2,3,4,5,6
8 0,1,2,3,4,5,6,7
9 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Fakkeenya: 23 jahaan qoqoodi. * * * * * * * * * * * * * * * * *
* ta’a. Qoodaan kun abbaa jahaa sadii fi abbaa tokkoo shan ta’a.Barreeffamaan ( 3×6)+5=23 arganna.
Mallattoon gargaaramuun yommuu barreessinu (35)_jaha jennee barreessina.
23 kudhaan yoo qoqoonne, * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
*** ta’a. Qoodaan kun abbaa kudhanii lamaa fi abbaa tokkoo sada ta’a.Barreeffamaan ( 2×10)+3=23 ta’a. Mallattoon gargaaramuun yommuu barreessinu (23)_jaha jennee barreessina.
Fkn. Tuuta miseensota 28 qabu kudhaniin,saddeetiin fi shaniin gareessi.
1.yammuu 28 kudhaniin gareessinu
XXXXXXXX
-Kanarraa kan hubannu abbaa kudhanii lamaa fi abbaa saddeetii tokko.
2.yammuu 28 saddeetiin gareessinu
XXXX
-Kunis abbaa saddeetii sadii fi abbaa afurii tokko ta’uu agarsiisa.
3.yammuu 28 shaniin gareessinu XXX Hub: 1.Hundee kudhan keessatti mallattoolee 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 2.Hundee saddeet keessatti mallattoolee 0,1,2,3,4,5,6,7 3. Hundee shan keessatti mallattoolee 0,1,2,3,4 fayyadamna. Gocha. Kanneen armaan gadii hundeewwaniin gareessi.
a.27,hundee 5 fi 4 b.45,hundee 6,2 fi 7 Hubachiisa: (23)_jaha=23
Gocha: 1) 23 hundee torbatti gargaaramuun barreessi.
57 hundee 11 fi 12’n barreessi. 2.5.2.Hundeewwan Adda Addaa Shallaguu
Hundee Adda Addaa Irraa Gara Hundee Kudhaniitti Jijjiiruu
Hundeewwan biroo irraa gara hundee kudhaniitii jijjiiruuf lakkoofsicha hundee kennameen iddiriirsuu qabna.
Fakkeenya:
1) (452)_jaha=4 ×6^2+5× 6^1+2× 6^0=4×36+5×6+2×1=176 ta’a.
2) (10011)_lama=1× 2^4+0 ×2^3+0 ×2^2+1× 2^1+1× 2^0=16+2+1=19
3) (213.23)_afur=2× 4^2+1 ×4^1+3 ×4^0+2× 1/4^1 +3× 1/4^2
=32+4+3+1/2+3/16=39+11/16=39.6875=(39.6875)_kudhan
Gocha:Kanneen armaan gadii gara hundee kudhaniitti jijjiiri.
i) (7548)_sagal ii) (111011.1101)_lama iii) (235.401)_jaha
Hundee Kudhan Irraa Gara Hundee Biraatti Jijjiiruu
Hundee kudhan irraa gara hundee biraatti jijjiiruuf mee fakkeenya armaan gaditti kennanme haa ilaallu.
1) (576)_kudhan hundee shaniin barreessi.
Furmaata:
Adeemsa:Lakkoofsa kenname lakkoofsa shaniif hirun jalqabna.
576÷5=gaheen 115 fi hafteen 1=r_1
115÷5=gaheen 23 fi hafteeen 0=r_2
23÷5=gaheen 4 fi hafteen 3=r_3 ta’a. 4<5 waan ta’eef,mee4=r_4 haa jennu.
Itti aansuun hafteewwan argaman kanneen isa jalqabaa irra eegaluun mirgaa gara bitaatti barreessina.Haala kanaan,
(576)_kudhan=(r_4 r_3 r_2 r_1 )_shan=(4301)_shan ta’a.
2) (24.375)_kudhan gara hundee lamaatti jijjiiri.
Furmaata: 24.375=24+0.375 ta’a.
〖⇒(24.375)〗_kudhan=(24)_kudhan+(0.375)_kudhan ta’a.
24÷2=gaheen 12 fi hafteen 0=r_1
12÷2=gaheen 6 fi hafteen 0=r_2
6÷gaheen 3 fi hafteen 0=r_3
3÷2=gaheen 1 fi hafteen 1=r_4
Gaheen1<2 waan taateef mee 1=r_5 haa jennu.
Kanaafuu, (24)_kudhan=(r_5 r_4 r_3 r_2 r_1 )_lama=(11000)_lama ta’a.
(0.375)_kudhan gara hundee lamaatti jijjiiruuf mee jalqaba haal armaan gadiitiin haa ibsinu.
Mee (0.375)_kudhan=(0.a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7 a_8…)_lama
⇒0.375=a_1×1/2^1 +a_2×1/2^2 +a_3×1/2^3 +a_4×1/2^4 +⋯
Gama lamaanuu yoo lamaan baayifine,
⇒2(0.375)=2(a_1×1/2^1 +a_2×1/2^2 +a_3×1/2^3 +a_4×1/2^4 +⋯)
⇒0.75=a_1+a_2×1/2^1 +a_3×1/2^2 +a_4×1/2^3 +⋯ ⇒a_1=0
Ammas gama lamaanuu lamaan baay’isuun
⇒2(0.75)=2(a_2×1/2^1 +a_3×1/2^2 +a_4×1/2^3 +⋯)
⇒1.5=a_2+a_3×1/2^1 +a_4×1/2^2 +⋯ ⇒a_2=1
⇒〖0.5=a〗_3×1/2^1 +a_4×1/2^2 +⋯
Ammas gama lamaanuu lamaan baay’isuun,
〖⇒2(0.5)=2(a〗_3×1/2^1 +a_4×1/2^2 +⋯)
⇒3=a_3+a_4×1/2^1 +⋯
⇒a_3=3 ta’a.
Kanuma irrraa , (0.375)_kudhan=(0.a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7 a_8…)_lama
=(0.013)_lama
Kanaafuu,
(24.375)_kudhan=(24)_kudhan+(0.375)_kudhan
=(11000)_lama+(0.013)_lama
=(11000.013)_lama ta’a.
Hundeewwan Adda addaan Shallaguu
Lakkoofsa dijiitiin kenname tokkoo yommuu qoyyaboota arfan (Ida’uu,Hir’isuu,Baayyisuu fi Hiruu) fayyadamuun ibsinu shallaguu lakkoofsotaa jenna.
Fakkeenya 1. (6+5)torba =[(6+1)+4]torba=(10+4)torba =(14)torba
2.(24)shan +(12)shan =(2×5+4)kudhan +(1×5+2)kudhan =(3×5+4+2)kudhan =(15+6)kudhan
=(21)kudhan
=(41)shan
3.(101)lama +(325)jaha =(5)kudhan +(125)kudhan =(130)kudhan
4.(53)jaha-(35)jaha =(4×10+13)jaha –(3×10+5)jaha = [(4×10-3×10)+(13-5)]jaha
5.(5)torba x (6)torba (6+6+6+6+6)torba =[(6+1)+(6+1)+(6+1)+(6+1)+2]torba
=(10+10+10+10+2)torba
6.(1131)afur ÷(3)afur= (3)afurx(133)afur
7.(3240)shan÷(23)shan =(23)shanx(114)shan+(3)shan
Gocha:
1) Hundee kenname lakkoofsa itti aanee dhufu lama barreessi.
i) (378)_Sagal ii) (2011)_Sadi iii) (1010)_lama iv) (444)_Shan
2) Kanneen armaan gadii hundee kudhanitti jijjiiri.
i) (1221)_sadi ii) (354.6)_torba iii) (10110.1101)_lama
3) Yoo (x21)_Sadi=(x7)_Sagal ta’e,gatii x barbaadi.
Gilgaala: 1 Kanneen armaan gadii hundee 10 ibsi
a) (1011)lama b) (342)shan c) (2102)sadi d) (666)torb
e)(11.11) lama f) (12.21)sadi
2.Sadan armaan keessaa kan caalu kami?
a) (5)jaha b) (11)afur c) (101)sadi
a) (122)sadi b) (112)afur c) (76)saddeet Cuunfaa Boqonnaa
Hirmaataa walii lakkoofsota poozatiivii keessa isa guddicha yoo ta’u bifa gabaabaan yommuu barreeffamu HWG ta’a.
HWX lakkoofsota lakkaawwii lamaa fi lamaa olii,lakkoofsa lakkaawwii xiqqicha kan hiramaa lakkoofsota kennaman hudaa ta’ee dha.
Yoo a fi b’n lakkoofsota lakkaawwii ta’an,a×b=(a,b)[a,b]=HWG(a,b)×HWX(a,b) ta’a.
Lakkoofsi kamiiyuu kan bifa a/b (a,b∈Z,b≠0) tiin barreeffame lakkoofsa raashinaalii jedhama.
Gatiin iddoo tokkoon tokkoon dijiitii lakkoofsa bifa istaandaardiitiin barreeeffame keessati qabu gatii bakkaa(mana lakkoofsaa) jedhama.
dhibbantaan lakkoofsa waamsisaan isaa dhibba ta’e dha.
Reeshoon mala wantoota yuuniitii tokko qaban waliin madaaluuf nu gargaaruu dha.
Pirooporshiniin walqixummaa reeshoo lamaati.  
Boqonnaa 3
Ibsamoota Aljabiraa, Himoota Walqixaa fi Walcaalmaa
3.1. Ibsamoota Aljabiraa
3.1.1. Hiikoo Ibsama Aljabiraa
Jijjiiramoota, tarmii fi Ibsamoota
Hiikoo
Tarmiin lakkoofsota ykn jijjiramoota baay’isuu ykn/fi hiruun walqabsiifamani dha.Tarmiin qaamolee lama qaba;1 )maxxantuu(lakkoofsa dhaabbata) fi 2) jijjiramaa/jijjiramoota.
Fakkeenya : 4 = 4×0 yoo x ≠0, 4x ,x = 1x, xy, 7xy/3 , 10×2 , -6ax tarmoota dha.
Hiikoo3.1.2
Qindoominni tarmii tokkoo ykn isaa olii qoyyaboota ida’uu fi/ykn hir’isuutti
fayyadamuun ibsamu ibsama aljabraa jedhama.
Fakkeenya : 3×2 -2xy + c, b2 -4ac, (x^2-3)/(y^3+ 2) fi πr2 ibsamoota aljabiraati
Shaakala 1
1 . Fakkeenya tarmii sadi barreessi Tokkoon tokkon ibsamoota aljabiraa armaan gadii tarmoota meeqa of keessa qabu?
a. r + 5 b. 1000 c. x5 + 3x-2yz +1 d. (2-y)/(x-5)
3.1.2. Ibsamoota Aljebiraa Salphisuu
Herrega keessatti yaada dogoggorsaa shallaga keessaa hanbisuuf seerota tartiiba qoyyabotaatti fayyadamuu qabna.Kanas akka tartiiba armaan gadiitti tarreeffamaniin gargaaramna.
Yoo hammattuun(cuftuun) jiraate dura isa hamattuu keessaa hojjenna.Yoo hammattuu lamaa ol qabaate isa gara keessaa jiru irraa jalqabna.
Paaworii hojjedhu.
Yoo baay’isuu yookiin hiruun jiraate bitaa irraa gara mirgaatti qoyyabi.
Ida’i yookiin hir’isi.
Fakkeenya:Salphisi:80-[(3+4)^2÷3]+2
Furmaat: 80-[(8+4)^2÷3]+2=80-[〖12〗^2÷3]+
=80-[144÷3]+2
=80-48+2=34
Ibsamooni Aljebiraa lama walgita kan jedhamu yoo inni tokko seera herregaaa fudhatama qabuun isa biraa irraa maddee dha.
Fakkeenya:1) 2(2x+y)=4x+2y
Kanaaf, 2(2x+y) fi 4x+2y bsamoota aljebiraa walgitaa ta’anii dha.
Garuu 3(x-1) ≠ 3x-1,sababi isaa3(x-1) keessatti,3 amala raabsamaa baay’isuun ida’uu irratti qabuun tarmoota lamaan hammattuu keessa jiran baay’isuu qabna.
Gocha:Ibsamoota aljebiraa armaan gadii salphisi.
i) x(2-(2x+2)) ii) x÷x-x+x
1)Ibsamoota aljebiraa armaan gadii salphisi.
i) 2/(x^2-1)+3/(x+1) ii) (2/(x^2-4)+3/(x+2))/((x-2)/x)
Furmaata: i) 2/(x^2-1)+3/(x+1)=(2+3(x-1))/(x^2-1)=(2+3x-3)/(x^2-1)=(3x-1)/(x^2-1) ta’a.
2) Yoo x=8,y=5 ta^’ e,(((x-y)^2+3x-20/y))/4 shallagi.
Furmaata: (((x-y)^2+3x-20/y))/4=(((8-5)^2+3×8-20/8))/4=(((3)^2+24-20/8))/4=((9+24-20/8))/4=61/8
Kanneen armaan gadii salphisi.
3) 6 – ( 2x + 3)
4) -(2/3 x-1/4)+3x
5) 3(2a – 5) – 3(b – 6) – 4a
Furmaata:
3) 6 – ( 2x + 3)= 6 – 2x – 3
= – 2x + 3
4) -(2/3 x-1/4)+3x = -2/3 x+1/4+3x
= -2/3 x+3x+1/4
= 7/3 x+1/4
5) 3(2a – 5) – 3(b – 6) – 4a = 6a – 15 – 3b + 18 – 4a
= 6a – 4a – 3b – 15 + 18
= 2a – 3b +3
Gocha: Kanneen armaan gadii tarmii meeqa akka qaban himi
a. 5(a+b) b. 2(abc + ac + bc) c. (5a+3ab^2)/(3a-2)
d. 〖(3x+5y)〗^2/(x-y) e. (2a^2+3ab+c)(2c+5a^2-ab) Kannen armaan gadii salphsi
a. 3/(x+1)+7/(x-1 ) ,x≠-1,1
b. y/(x-y)+3/(x^2-y^2 ) ,x≠ ±y
c. (x/(x-y) – y/(x+y))/(x/(x+y) + y/(x-y)) ,x≠ ±y
Ibsamoonni aljebiraa walmakaa lakkoofsotaa fi jijjiiramootaati.
Tarmii:Tarmiin qaama ibsamoota aljebiraa ta’e(mallattoo isaa waliin) kan mallattoo ida’uun yookiin mallattoo hir’isuun walqabatanii dha. Jijjiiramootni ida’aaman yookiin hir’ifaman kan akka x+y,yookiin x-y keessatti wantootni “+” ykn “-” irratti adda ta’an dha.
Hubadhu!
Ibsamni aljebiraa tarmoota tokko ykn tokkoo ol irraa uumama.
Tarmootni walfakkaatoo : tarmoota jijjiiramoota fi ekispoonantii gosa tokko qabanii dha.
Fakkeenya: 2x fi 3x tarmoota walfakkaatoo dha.
Gosa Ibsamoota aljebiraa
Tarmi-tokkee:
Ibsama aljebiraa tarmii tokko qofa qabuu dha.
gosa tarmi salphaa baay’ataa lakkoofsa fi jijjiiramoota salphaan irraa hojjatamee dha.
Maqaa biraa moonoomiyaalii jedhamuun waamama.
Fakkeenya:x,3xy,x^2 kkf
Tarmi-lamee:
Ibsama aljebiraa tarmoota lama ofkeassa qabuud dha.
Ida’ama tarmi-tokkeewwan lamaa ti.
Maqaa biraa baayinoomiyaalii jedhamuun waamama.
Fakkeenya:〖5x〗^3+2x,3x+xy,5x^2+5
Tarmi-sadee: Ibsama aljebiraa tarmota sadi ofkeessa qabuud dha.
Fakkeenya: 〖2x〗^2 y-x+2〖2x〗^11,3xy+x-y,5x^2+5x+3
Tarmi-baay’ee:Ibsama aljebiraa tarmoota sadi ol ofkeessa qabu dha.
Jijjiiramoota wantoota bakka buusuuf formuulaaa adda addaa keessatti fakkeenyaaf bal’ina danaalee ji’oomeetirii fi qaamolee fiiziikaalawaa kan akka tempireecheraa keessaatti fayyadamna.
Hubadhu!
Baay’ataa lakkoofsotaa fi jijjiiramootaa keessatti lakkoofsi maxxantuu jedhama
Maxxantuun tarmii tokko keessatti lakkoofsa jalqaba dhufuu dha.
Fakkeenya:Tarmi-tokkee 〖2x〗^2 y keessatti,maxxantuun x^2 y ,2,maxxantuun x^2, 2y fi maxxantuun lakkoofsa ta’e immoo 2 dha.
3.2.Himoota Walqixaa
3.2.1.Hiikoo fi Amaloota Himoota Walqixaa
Hima ibsamootni aljebiraa lama walqixa ta’uu isaanii agarsiisu dha.
Hima herregaa mallattoo “=” of keessaa qabu dha.Himoonni walqixaa jijjiiramoota tokkoo olis qabaachuu ni danda’u.
Fakkeenya: 4x + 3 = 2x – 4 , hima walqixaa ti.
Yaadachiisa
Piroobileemota jechaa himoota walqixaatiin ibsuu ni dandeenya.
Himootni walqixaa dhugaa yookiin soba kan ta’an,yoo jijjiiramootni isaanii gatiwwaniin bakka bu’anii dha.
Himni walqixaa tokko jijjiiramaa yoo qabaate,furmaatni hima walqixaa lakkoofsota bakka jijjiiramaa bu’uun himicha dhugaa taasisuu dha.
Hubachiisa:Himni walqixaa tokko qaama lama qaba.Isaanis:
Tokko mallattoo walqixaa irraa gara bitaatti fi
inni biraa ammoo mallattoo walqixaa irraa gara mirgaatti argamu
Qaamni mallattoo walqixaa irraa gara bitaatti argamu gama harka bitaa hima walqixaa jedhama.Qaamni mallattoo walqixaa irraa gara harka mirgaatti argamu gama harka mirgaa hima walqixaa jedhama.
Fakkeenyaaf,x+3=4x-6.Kana keessatti
gama harka bitaa =x+3
gama harka mirgaa =4x-6
3.2.2.Himoota walqixaa liniyaarii(digirii 1ffaa) kan jijjiiramaa tokko qaban
Yoo a fi b’n lakkoofsota waliigalaa ta’anii fi a≠0, himni walqixaa bifa ax+b=0 tti jijjiiramu hima walqixaa liniyaarii(digirii 1ffaa) jedhama.
Fakkeenya: 2x+3=7 ,4x-5=0 ,x+1=4 kkf himoota walqixaa liniyaarii dha.
Himni walqixaa liniyaarii furrmaata yoo qabaate, ruutii yookiin zeeroo yookiin tuuta furmaataa tokko qofa qabaatu.
Fakkeenya:x+2=5 furmaata x=3 waan qabuuf,tuutni furmaataa isaa {3}.
Gocha: Kanneen armaan gadii keessaa hima walqixaa kan ta’eef kan hin taane addaan baasi
a. 3x + 5 = 2x – 7 b. x + 2 ≥ 3 c. 4x – 6 = (8x-12)/2 d. 3x – 5 ≥10
Hima walqixaa liyiineerii keessatti gatii jijjiiramaa x argachuuf hima wal qixaa kenname sana gara hima walgitaa salphaatti sadarkaa sadarkaan jijjiiruudhaan hamma x’n adda bahuutti hojjechuu dha.
Hubachiisa:
Jijjiiramaa bakka bu’uun hima walqixaa kenname kan dhugaa taasisu, furmaata himichaa jedhama.Furmaatni kunis himicha ni dhugoomsa.
Fakkeenya:x=5 furmaata hima walqixaa x+10=15
Hima walqixaa furuu jechuun,gatii jijjiiramaa hima walqixaa kenname dhugoomsu barbaaduu jechuu dha.
Fakkeenya: 4x+3=27 furi.
Furmaata: 4x+3=27 ⇒4x=27-3
⇒4x=24 ⇒x=6
Kanaafuu, tuutni furmaataa,{6} ta’a.
Gocha:Kanneen armaan gadii furi.
a) 8x+3=-5 b) 2x-15=7
Tuutni furmaata hima walqixaa qabate tuuta furmaataaa jedhama.
Tuutni lakkoofsota inni gatiin jijjiiramaa keessa filatamu mandhee jedhama.
Hiikoo:Himoonni walqixaa liniyaarii ta’an lama,mandhee kenname keessatti tuuta furmaataa toko yoo qabaatan himoota walqixaa walgitaa(wal-madaaloo) jedhamu yookiin Himootni walqixaa tuuta furmaataa tokkicha(walqixaa) qaban himoota walgitan jedhamu.
Fakkeenya:1) x-1=4 ,x+1=6 ,x-3=2 himoota walgitan dha.
2) x-5=9 fi x=14 himoota walqixaa wal gitaati.
3.2.3.Hima walqixaa digrii 2ffaa jijjiiramaa tokko qabu
baayyataa liniyaarii(digrii tokkoffaa) lamaa kan ta’ee dha.
maqaa biraa kuwaadraatikii jedhamuun ni waamamu.
walumagalatti himni kun bifa ax^2+bx+c,a≠0 tiin ibsamu.
yoo a=0 ta’e,himni walqixaa digrii lammaffaa ax^2+bx+c=0 hima walqixaa digrii tokkoffaa kan bifa bx+c=0 qabu ta’a.
Fakkeenyaaf, x^2+2x+1, x^2+5x+6 hima walqixaa kuwaadraatikii(digrii 2ffaa) ta’u.
Maloota hima walqixaa ax^2+bx+c=0,a≠0 ittiin furuuf fayyadamnu keessaa muraasni kanneen armaan gadii ti.
a) Mala Hirmaatteessuu(Factorization method)
b) Mala iskuweerii gatii sirrii(completing square method)
c) Mala Foormulaa walgalaatti fayyadamuun(using quadratic formula)
a) Mala Hirmaatteessuu(Factorization method)
Mee a fi b’n lakkoofsota waligalaa haa ta’an.
ab=0 ⇔a=0 yookiin b=0 yookiin lachuu zeeroo yoo ta’anii dha.
i)Hima walqixaa kuwaadratikii bifa ax^2+bx hirmaatteessuu
Himni walqixaa kun bifa ax^2+bx+c=0,c=0 kan ta’ee dha.
Fakkeenya: x^2+6x hirmaattessi.
Furmaata : x^2+6x=x(x+6) ta’a.
ii) Yoo a≠0,b=0 fi c<0 ta’an yeroo kana mala a^2-b^2=(a-b)(a+b) tti fayyadamna. Fakkeenya : x^2-36 hirmaattessi. Furmaata: x^2-36=x^2-6^2=(x-6)(x+6) ta’a. Fakkeenyaaf,hima x^2+5x+6=0 furi. Furmaata:x^2+5x+6=0 ⇒⏟(x^2+2x)┬ +⏟(3x+6)┬ =0 ⇒(x^2+2x)+(3x+6)=0 ⇒x(x+2)+3(x+2)=0 ⇒(x+2)(x+3)=0 ⇒x=-2 yookiin x=-3. Kanaafuu,-2 fi -3 ruutota hima x^2+5x+6=0 ta’u. b) Mala iskuweerii guuchisoo (competing the square method) Fakkeenyaaf,hima x^2+8x+12=0 furi. Furmaata:Jalqaba x^2+8x+12=0 bifa x^2+8x=-12 tiin erga barreessineen booda,ibsama gara bitaa jiru akka iskuweerii sirrii ta’u 16 gama lamaanuutti idaana.Kunis akka armaan gadiitiin raawwatama. x^2+8x=-12 ⇒x^2+8x+16=-12+16 ⇒(x+4)^2 =4 ⇒x+4=±√4=±2 ⇒x+4=2 yookiin x+4=-2 ⇒x=-2 yookiin x=-6. Kanaafuu uutotni hima x^2+8x+12=0 -2 fi -6 ta’u. c) Mala Foormulaa Kuwaadiraatikii Himni walqixaa kuwaadiraatikii digrii lammaffaa waan ta’eef,tuutni furmaataa isaa bifa sadi of keessatti kan hammatee dha. i) tuuta furmaata hin qabne yookiin tuuta duwwaa ii) tuuta furmaataa ruutii tokko qofa qabuu fi iii)tuuta furmaataa ruutota lama qabuu dha. Ruutotni hima ax^2+bx+c=0,a≠0 yoo jiraatan x=(-b±√(b^2-4ac))/2a ta’u. Mirkaana:Mee ax^2+bx+c=0,a≠0 haa jennu. ⇒ax^2+bx=-c ⇒x^2+b/a x=-c/a ⇒x^2+b/a x+(b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^2 ⇒x^2+b/a x+(b/2a)^2=-c/a+〖b/(4a^2 )〗^2 ⇒ (x+b/2a)^2=(-4ac+b^2)/(4a^2 ) ⇒ x+b/2a=±√((-4ac+b^2)/(4a^2 )) ⇒ x+b/2a=±√(b^2-4ac)/2a ⇒x=-b/2a+±√(b^2-4ac)/2a yookiin x=(-b±√(b^2-4ac))/2a ta’a. Zeeroowwan hima polinoomiyaalii digrii 2ffaa barbaaduu keessatti ibsamni b^2-4ac ,a,b,c∈Q,addaan baaftuu hima kuwaadraatikii yookiin Diskiriminaantii jedhama.Gatii ibsama kanaa irratti hunda’uun ruutota himichi qabaachuu danda’uu haala armaan gadiitti addaan baasuun ni danda’ama. i) yoo b^2-4ac=0 ta’e,himichi ax^2+bx+c=0,a≠0 ruutii lakkoofsa waligalaa tokko qofa (single root) qaba. ii) yoo b^2-4ac>0 ta’e,himichi ax^2+bx+c=0,a≠0 ruutota waligalaa waqixa hin taane(unequal roots) lama qaba.
iii) b^2-4ac<0 ta’e,himichi ax^2+bx+c=0,a≠0 ruutii lakkoofsa waligalaa ta’e hin qabu. Fakkeenyaa: i) x^2+10x+25=0 ii) x^2+8x+15=0 iii) x^2+x+2=0 Furmaata: i) x^2+10x+25=0 : a=1,b=10,c=25 b^2-4ac=100-4(1)(25)=100-100=0 . Kanaafuu,sababa b^2-4ac=0 ta’eef himni walqixaa kenname ruutii tokkoo qofa qaba.Kunis x=-b/2a=-10/(2(1))=-5 ta’a. ∴ t.f ={-5} ii) x^2+8x+15=0 : a=1,b=8,c=15 b^2-4ac=64-4(1)(15)=64-6=4>0 waan ta’eef himni walqixaa kenname ruutota adda addaa lama qaba.Kunis
r_1=(-b+√(b^2-4ac))/2a yookiin r_2=(-b-√(b^2-4ac))/2a ⇒r_1=(-8+√4)/(2(1)) fi r_2=(-8-√4)/(2(1))
⇒r_1=(-8+2)/2 fi r_2=(-8-2)/2
⇒r_1=-3 fi r_2=-5 ta’a.
∴ t.f ={-3,-5}
iii) x^2+x+2=0 : a=1,b=1,c=2
Waan b^2-4ac=1-4(1)(2)=1-8=-7<0 ta’eef himni qalqixaa kenname tuuta furmaataa hin qabu.
∴ t.f ={ } yookiin ∅ ta’a.
Gocha:
1.Kanneen armaan gadii foormulaa waligalaatti fayyadamuun furi.
a) x^2-7x+15=0 b) x^2-4x+4=0 c) x^2+6=5x
2.Kanneen armaan gadii hirmaattessuun furi.
a) x^2-8x+12=0 b) 3x^2=-x+4 c) x^2-x+42=0
3.2.4. Himoota Walqixaa Walfaanaa fi Furmaata Isaanii
Himootni walqixaa akaakuu akkanaa jijjiiramoota lama of keessa qabu.Yoo a_1,a_2,b_1,b_1,c_1,c_2 lakkoofsota dhabbatoo ta’an,himni walqixaa saaymaltaanasii bifa
■(a_1 x+b_1 y=c_1@a_2 x+b_2 y=c_2 ) tiin barreeffama.
Fakkeenya:
a. {█(2x+3y=1@x-2y=3)┤ b. {█(3x-2y=2@9x-6y=5)┤ c. {█(x+y=3@2x+2y=6)┤ himootaa walqixa saaymaltaanessii ti.
Tuutni furmaataa himoota walqixaa armaan olii tuuta bifa tartii cimdoolii ibsama.
Hiikoo :Tuutni furmaataa himoota walqixa saaymaltaanasii jijjiiramaa lamaa jechuun tuuta cimdii tartii ( x,y) kan himoota lachuu dhugoomsuu danda’u of keessatti qabatee dha.
Fakkeenya:
Tuuta furmaata hima walqixa saaymaltaanasii armaan gadii murteessi.
{█(2x+3y=8@5x-2y=1)┤
Furmaata:
Tuutni {(0,8/3),(1,2),(2,4/3),(3,2/3),(4,0)} , furmaata hima walqixa liiniyeerii 2x+3y=8 qabata.
Tuutni{(0,(-1)/2),(1,2),(2,9/2),(3,7),(4,19/2)}, furmaata hima walqixa liiniyeerii 5x-2y=1
qabata.
Hiikoo armaan olii irraa tuutni furmaataa himoota walqixa armaan olii lachuu al tokkotti
dhugoomsuu danda’u (1,2) dha. Kanaafuu, Tuutni furmaataa {(1,2)} dha.
Himni walqixaa bifa akkanaa kun tuuta furmaataa akaakuu sadi of keessa qaba.Isaanis:
i) tuuta furmaata hin qabne yookiin tuuta duwwaa
ii) tuuta furmaataa ruutii tokko qofa qabuu fi
iii)tuuta furmaataa ruutota lama qabuu dha. Hubachiisa:
Yoo a_1/a_2 =b_1/b_2 ≠c_1/2 ta’e,himichi tuuta furmaataa hin qabu.
Yoo a_1/a_2 ≠b_1/b_2 ta’e,himichi tuuta furmaataa tokko qofa qaba.
Yoo a_1/a_2 =b_1/b_2 =c_1/2 ta’e,himichi tuuta furmaataa murtaawuu hin dandeenye qaba.
Mala Furmaataa I
Himoota walqixa akkasii furuuf ,jalqabarratti lakkoofsa barbaachisaa ta’een himoota lachuu baay’isuu fi walitti fiduun , jijjiiramaa tokko balleessuu ni dandeenya;kanaa booda hima walqixaa arganne kana furuudhaan gatii argame himoota walqixaa lamaan keessaa isa tokkicha keessaatti busuudhaan hima walqixaa biroo jijjiiramaa tokkoo arganna, tuutni furmaataa hima walqixa lammaffaa kanaa gatii jijjiiramaa hafee kenna.
Fakkenya: Tuuta furmaata kannen armaan gadii barbaadi
1. {█(2x-3y=5 …………………1@6x+15y=3…………………2)┤
Hima walqixaa (1) – 3’n baay’isuu fi himoota walqixa lachuu walitti ida’uun
{█(-6x+9y=-15@6x+15y=3)┤/( 24y=-12)
y = (-1)/2 nuu kenna.
Hima walqixaa (1) keessatti (-1)/2 y’n bakka buusuu nuu keena:
2x – 3((-1)/2) = 5
2x = 5 – 3/2
2x = 7/2
x = 7/4
Kanaafuu, tuutni furmaataa {(7/4,(-1)/2 )} ta’a. {█(7x+5y=11 …………………1@-3x+3y=-15…………………2)┤
Hima walqixa (1) 3’n baay’isuu fi hima walqixa (2) 7’n baay’isuun fi walitti ida’uun
{█(21x+15y=33…….(1)@-21x+21y=-10…….(2))┤/(36y=-72)
y = -2
Hima walqixa (1) keessatti y -2’n bakka buusuudhaan:
7x + 5( -2) = 11
7x = 21
x =3
Kanaafuu, tuutni furmataa {(3,-2 )} ta’a.
Mala Furmaataa II
Hima walqixa saaymaltanasii x fi y’n kenname tokko furuuf , jalqaba irratti y dhaaf erga furreen booda gatii argame x furuuf gargaaramna; dhuma irratti gatii x himoota walqixa lamaan keessaa isa tokkicha keessatti buusuudhaan gatii y barbaaduun ni danda’ama.
Fakkeenya: Kanneen armaan gadii furi {█(3x+8y=8……………….(1)@-2x-6y=-1…………….(2))┤
y ‘f yommuu furru:
{█(y=(-3)/8 x+1……………(1)@y=-1/3 x+1/6…………………(2))┤
Himoota walqixa lamaanuu yoo walitti qabnu
(-3)/8 x+1=-1/3 x+1/6
(-3)/8 x+1/3 x=1/6-1
(-9x+8x)/24=(1-6)/6
(-x)/24=(-5)/6
x=(-5)/6 (-24)=20
Hima walqixa (1) keessatti bakka buussuun:
y = (-3)/8 (20)+1
y = (-60)/8+1=(-60+8)/8
y = (-52)/8=(-13)/2
Kanaafuu, tuutni furmaataa {(20,(-13)/2)} ta’a. {█(6x+6y=-3……………(1)@-2x+4y=4………………..(2) )┤
{█(y=-x-1/2………………(1)@y=1/2 x+1………………..(2))┤
-x-1/2=1/2 x+1
x =-1 , hima walqixa (2) keessatti buusuun
y = (-1)/2+1=1/2
Kanaafuu, tuutni furmaataa {(-1,1/2)} ta’a. Gocha: Kanneen armaan gadii furi
a. {█(4x-3y=6@2x+3y=12)┤ b. {█(x+3y=1@2x+5y=2)┤ c. {█(3x-0.5y=6@-2x+y=4+2y)┤ d. {█(2/x+3/y=-2@4/x-5/y=1)┤ Ida’amni dijiitoota lakkoofsa dijiitii lamaa 9. Tartiiba dijiitoota lakkoofsa kanaa yoo jijjiirre lakkoofsichi 27’n hir’ata. Lakkoofsichi meeqa?
Gosoota tuuta furmaataa sadan irratti hundaa’un:
Fakkeenya:1) ■(3x+4y=19@2x-y=9) furi.
Furmaata: a_1=3,a_2=2,b_1=4 ,b_2=-1
a_1/a_2 =3/2≠b_1/b_2 =4/(-1) ⇒himni kenname tuuta furmaataa tokko qofa qaba.Tuuta furmaataa barbaaduuf,hima jalqaba 1’n akkasumas hima 2ffaa 4’n yoo baay’ifne
■(3x+4y=19@8x-4y=36) .
Himoota lamaanuu walitti ida’uun 11x=55 ⇒x=5.
Kanuma irraa, 2x-y=9 ⇒2(5)-y=9 ⇒y=1 ta’a.
Kanaafuu,tuutni furmaata {(5,1)} ta’a.
2) ■(x+3y=5@2x+6y=2)
Furmaata: a_1=1,a_2=2,b_1=3 ,b_2=6
a_1/a_2 =1/2=b_1/b_2 =3/6≠5/2=c_1/c_2 ⇒himni kenname tuuta furmaataa hin qabu.Kanaafuu,
t.f=∅
3) ■(x+2y=1@3x+6y=3)
Furmaata: a_1=1,a_2=3,b_1=2 ,b_2=6,c_1=1 ,c_2=3
a_1/a_2 =1/3=b_1/b_2 =2/6=1/3=c_1/c_2 ⇒himni kenname tuuta furmaataa baay’ee qaba.
Kanaafuu,t.f={(x,y):x+2y=1}
Gocha:Kanneen armaan gadii furi.
i) ■(3x+4y=3@2x+5y=-5) ii) ■(x+5y=5@3x+2y=2)
3.3. Himoota Walcaalmaa
3.3.1 Hiikoo fi Amaloota himoota walcaalmaa
Himni kan biroo aljabiraa keessatti beekamu hima walcaalama ti.Himni walcaalmaa hima mallattoolee <, > , ≤ ,≥ ,ykn≠ keessa tokko of keessa qabu dha.Karaa biro hima walcaalmaa jechuun ibsamoota aljabiraa lama gidduu mallattoolee asiin olii shaman keessa tokko giddu isaani yoo galu jechuu dha.
Fakkeenya : x-2< 0 , 5x+ 4 >2-2x , (y+2)/(2y-4) ≥0 x2 -2x < 3 himoota walcaalma ti. Amaloota himoota walcaalmaa Yoo a, b, c fi d lakkoofsota waligalaa ta’an 1) Amala darbaa darboo: a < b fi b < c ⇒a < c 2) Ida’ama hima walcaalamaa: a < b fi c < d ⇒ a + c < b + d 3) Ida’ama lakkoofsa dhaabbataa c: a < b ⇒ a + c < b + c 4) Baayyataa lakkoofsa dhaabbataa c:yoo c > 0 ta’e, a < b ⇒ ac < bc c < 0 ta’e, a < b ⇒ ac > bc
Hub. Amalootni asiin olitti jiranu kun yoo < ‘n mallattoo ≤ tiin ykn > mallattoo ≥ tiin bakka bu’es
dhugaadha.
3.3.2. Himoota Walcaalmaa sararaawaa/liiniyarii/ jijjiramaa tokkee
Himoota wal caalma keessa himni walcaalma sararaawa isa salpha dha.
Fakkeenya: 3x -4 < 4 fi x + 5 ≥ 4x +1 himoota walcaalmaa sararaawadha. Adeemsa hima walcaalma furuu keessatti gama lamaan hima walcaalma kennamee lakkoofsa /ibsama /negaatiivii fi walqixaan yoo baay’isne ykn lakkoofsa /ibsama/ negaatiivii fi walqixaaf yoo hirre mallattoon walcaalmaa kallattii isaa ni jijjiira. fkn <’n gara > tti jijjirama.
Fakkeenya1. Himoota walcaalma armaan gadii furi
5x -7 > 3x + 9
1 – 3x/2 ≥ x -4
Furmaata
5x -7 > 3x + 9
5x – 3x > 9 + 7
2x > 16
x > 8
x + ∝
7 8 9 10
kanaafuu T.F = {x: x > 8} intervaaliin yoo ibsamus (8 , + ∝ )
1 – 3x/2 ≥ x -4
1 + 4 ≥ x + 3x/2
5 ≥ (3x+2x)/2
5 ≥ 5x/2
10 ≥ 5x
2 ≥ x
x ≤ 2
T .F = ( -∝ , 2 ] 3.3.3 Himoota walcaalma digirii lammaffaa jijjirama tokkee
Hima walcaalma digirii lammaffaa furuuf maloota asiin gadi keessa kan mijata ta’e tokko filachuun raawwachu dandeenya.
Mala I
Mala haala irratti hundaa’u
Fakkeenya: x2 +5x +6 < 0 furi Hima walcaalma akkasi furuuf dura gamtokkee hima walcaalma kennamee zeero taasisuun gama zero hin ta’in hafe hirmaattessu dha. x2 +5x +6 < 0 ⇔x2 + 2x + 3x +6 <0 ⇔x(x + 2) +3(x + 2) <0 ⇔(x +2 )(x + 3) < 0 Haala I yoo X + 2 < 0 fi x +3 > 0 ta’e , (x +2 )(x + 3) < 0 ta’u danda’a. ⇔x < -2 fi x > -3
Kana irraa tuutni furmaa kan ta ‘u kipha lamaan isaaniti.
Innis ; T.F 1 = (-3 , -2) ta’a
Haala II
Yoo X + 2 > 0 fi x +3 < 0 ta’e , (x +2 )(x + 3) < 0 ta’u danda’a ⇔x > -2 fi x < -3 Garuu x > -2 fi x < -3 kipha waliini hin qabanu ⇒T.F2 = ∅ Kanaafu walumagalatti tuuta furmaata x2 +5x +6 < 0 kan ta’u T.F 1 U T.F2 =(-3 , -2) U ∅ = (-3 ,-2) ta’a. MalaII Mala Mallattoo Chaartii Mala kanatti kan gargaaramnu yoo ta’e tarkaanfiile asiin gadii akka ka’umsaatti yaada keessa galchuun faayida guddaa qaba. Gamtokkee hima walcaalma kennamee salphisuun zeeroo taasisuu Gamtokkee hima walcaalma osoo zeeroo hin ta’in hafe immoo yoo kan hirmaattessamu ta’e hirmaattessuun lakkoofsa zeero taasisuun barbaaduu. Lakkoofsa /sota tarkaanfii 2ffaa irratti argatte xiyya lakkoofsa irratti mul’isudhaan qixxuma lakkoofsa mul’ifte kanaan intervaalii uumuu. Tarkaanfii 2ffaa irratti irratti hirmaattonni argatte intervaali uumte keessatti mallattoolee isaan qabaatanu addaan baasuun xumura irrattis kan hima walcaalma kennamee addaan baasu ta’a. Fakkeenya 2. Hima x2 +5x < -6 tiif tuuta furmaata isaa barbaadi. Furmaata: x2 +5x +6 < -6 + 6 ……….gamtokkee himicha zeerotaasisuuf ⇔ x2 +5x +6 < 0 ⇔(x +2 )(x + 3) < 0 ……..hirmaattessuun (x +2 ) = 0 ⇔ x = -2 ……zeeroo hirmaattotaa (x + 3) = 0 ⇔ x = -3 -∞ -3 -2 +∞ X+2 _ _ 0 + x + 3 _ 0 + + (x+2) (x + 3) + 0 _ 0 + Gabatee mallattoo asiin oli irraa kan hubannu intervaali irratti (x+2) (x + 3) negaatiivi ta’u jechuun intervaali irratti ibsamichi zero gadi ta’u dha. Kanaafuu (x+2) (x + 3) < 0 kan ta’u (-3 ,-2) irratti dha. T.F = (-3 ,-2) 3.4. Gat-sirrii 3.4.1. Hiikoo fi amaloota gat-sirrii Hiikoo 3.4.1 Gat-sirriin lakkoofsa waliigalaa x mallattoo |x|ta’ee akka armaan gaditti hiikama. |x| = {█( x yoo x>0@ 0 yoo x=0@-x yoo x<0)┤ Fakkeenya: |4| = 4 |-4|= -(-4) |0|= 0 Amaloota gat-sirrii |a| = √(〖(a)〗^2 ) |ab| = |a||b| |a + b| ≤ |a| + |b| Mirkana; |a|2 = a2 ni beekama waan a2 negativii ta’uu hin dandeenyeef, |a| = √(〖(a)〗^2 ) |ab| = √(〖(ab)〗^2 ) amala gat-sirrii 1ffaa = √(〖a^2 b〗^2 ) seera ekisponantii = √(a^2 ) √(b^2 ) seera ekisponanti fi amala 1ffaa asiin olii = |a||b| Amala gat-sirrii 1ffaa asiin olii Mirkana 3ffaan gilgaala 3.4.2. Hima Walqixaa Gat-sirrii of keessa Qabu Seera tokkoffaa :- |x| = a ⇔ x = ±a Fakkeenya 1. |2x + 5| = 3 furi. Furmaata : 2x + 5 = ±3 2x + 5 = 3 ykn 2x + 5 = -3 2x = 3 -5 ykn 2x = -3 -5 2x = -2 ykn 2x = -8 x = -1 ykn x = -4 kanaafu furmaatni hima walqixaa |2x + 5| = 3 x= -4 fi x =-1 ta’a 3.4.3. Hima Walcaalma Gat-sirrii of keessa Qabu Seera lammaffaa:- |x| < a ⇔ -a < x < a Fakkeenya 1 . Tuuta furmaata |x – 2|< 3 barbaadi. |x – 2|< 3 ⇔-3 < x -2 < 3 ⇔-3 +2 < x < 3 +2 ⇔ -1 < x < 5 Kanaafuu, T.F = {x : -1 < x < 5} Seera sadaffaa |x|> a ⇔ x<-a ykn x >a
Fakkeenya |x-3| > 5 ⇔ x -3 >5 ykn x -3<-5 ⇔ x > 8 ykn x< -8 Gilgaala Ibsamoota aljabraa asiin gadii salphisi 3x2z – 4yz + 3xy –[x2z –(x2z -3yz)-4yz -7z] –m-[m + (m +n -2m – (m – 2n)) –n Himoota walqixaa armaan gadii furi 5x – 5 = 3x + 3 c) 3(x + 2) = 3x -2 2x/3 + 1/2 = 3x – 1/2 d) 1/2 (- 8x + 1) = -4x + 1/2 Himoota walqixaa cimdii armaan gadii furi {█(x-2y= -4@3x+2y=9)┤ {█(2a+3b= 9@4a +b=13)┤ Lakkoofsota lama kanneen ida’amni isaani 15 fi garagarummaan isaani 4 ta’e barbaadi. Avereejiin lakkoofsota lamaa 7 fi dachaan sadii garagarumma isaanii 18 . Lakkoofsota lamaan barbaadi. Yeroo ammaatti namni umuriin isaa umuri mucaa isaa dacha 4 ta’e ,waggaa 6 ‘n dura umuriin isaa dacha 10 kan mucaa isaa ture .Umuriin tokkoon tokkoon isaani tero amma meeqa ta’a? Himoota kanaan gaditti jiranuuf furmaata isaani barbaadi x2 + 2x -2 =0 b) 3x -4 = 2×2 c) x(1 – 2x) + 5 = 1 d)|8x – 2| = 4 e). |4x – 2| + |2x – 1| = 0 f) |6x + 2| > 4 g) |x – 1| < |9x + 3| Boqonnaa 4
Hariiroo fi Fankishinii
4.1.Hariiroowwan
Yaad rimeen hariiroo jireenya namaa keessatti iddoo guddaa kan qabuu dha. Jireenya guyyaa keenya keessatti hariiroo kan ibsan kan akka oboleessaa fi obboleettii, barsiisaa fi barataa, kkf nu qunnamuu danda’u. Haaluma walfakkaatuun, Herrega keessattis hariirowwan adda addaa kan akka lakkoofsi a irra xiqqaa lakkoofsa b ti, kofti α irra guddaa kofa β ti, tuutni A cita- tuuta B ti, fi kkf nu qunnamuu danda’u.Kana jechuun hariiroon walitti dhufeenya wantoota lama yookiin lamaa ol gidduu jiru kan ibsu dha. Haalota hundaa kana keessatti hariiroon cimdii waantootaa of keessatti akka qabatu arginee jirra. Boqonnaa kana keessatti , cimdii wantoota tuutota lamaa akkaataa walitti dhufan fi hariiroo jidduu isaanii jiru ni baratta. Akkasummas waa’ee hariiroo addaa kan ta’e waa’ee faankishinii ni baratta.
4.1.1.Baayyataa Qaxxaamuraa
Hiikoo: Baay’ataan qaxxaamuraa tuutota lamaa A fi B bifa A×B tiin kan barreeffamu , tuuta cimdii tartii qabate ta’ee : miseensi jalqabaa tartii cimdii tuuta A irraa fi miseensi lammaffaa immoo tuuta B irraa kan ta’e dha. Bifa mallattoo tuutan:
A×B={(a,b):a∈A∧ b∈B}
Hubachiisa:
A×B≠B×A
Yoo b(A)=n fi b(B)=m ta’e,b(A×B)=b(A)× nb(A)=n×m
b(A×B)=b(B×A)
Yoo B=∅ ta’e, A×B=∅ fi b(A×B)=0 ta’a.
Fakkeenya: 1) Mee A={0,1,3} fi B={a,b} yoo ta’an,
A×B={(0,a),(0,b),(1,a),(1,b),(3,a),(3,b)}
B×A={(a,0),(a,1),(a,3),(b,0),(b,1),(b,3)}
2) 2. Mee A={a,b} haa jennu, A×A hojjedhu.
Furmaata: A×A={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}
Gocha: Yoo A={2,3} fi B={2,4} ta’an, A×B fi B×A barbaadi. 4.1.2.Yaad rimee Hariiroowwanii fi Fakkeenyota Isaanii
Hiikoo1:Hariiroo jechuun tuuta miseensonni isaa tartii cimdii ta’ee dha.Yoo H’n hariiroo ta’ee fi (a,b) miseensa hariirichaa ta’e,mallattoo (a,b)∈H barreessina.
Fakkeenya:
H={(2,2),(3,6),(4,7)}
H={(2,0),(2,0),(1,3)}
Hiikoo 2:Mee A fi B’n tuutota haa jennu. H’n hariiroo tuuta A irra gara tuuta B ti kan jennu hariirichi cita-tuuta A×B yoo ta’e dha.Kanas mallattoon yommuu ibsinu H⊆A×B ta’a.
Fakkeenya:
1) Mee A={a,b} fi B={1,3} haa jennu.
A×B={(a,1),(1,3),(b,1),(b,3)} .
Yoo H=A×B hariiroo tuuta A gara tuuta B ta’e, H={(a,1),(1,3),(b,1),(b,3)} ta’a.
Kanaafuu, H⊆A×B ta’a.
2) Mee C={a,b,c} fi D={-5,-2} haa jennu.
C×D={(a,-5),(a,-2),(b,-5),(b,-2),(c,-5),(c,-2)} ta’a.
Yoo H=C×D hariiroo tuuta C gara tuuta D ta’e, H={(a,-5),(a,-2),(b,-5),(b,-2),(c,-5),(c,-2)} ta’a.
Kanaafuu, H⊆C×D ta’a.
Garuu, H={(-5,a),(a,-2),(b,-5),(b,-2),(c,-5),(-2,c)} hariiroo tuuta C irra gara tuuta D miti sababa (-5,a), ,(-2,c)∈C×D .
Kanaafuu, H⊈C×D Mee A = {1,2,3,4} fi B = {1,3,5}
H_1= {(1,1),(1,5),(2,3),(2,5),(3,5),(4,5)} hariiroo A irraa gara B ti waan H_1⊆ A×B ta’eef.
H_1 hariiroo B irraa gara A ti? Dareef ibsi. Mee A = {1,2,3}
H_2={(1,2),(1,3),(2,3)} hariiroo A irraa gara A ti.
3) Tuuta tartii hundaa (a,b) kan lakkoofsota intiijarii ta’e yoo b’n hirmaataa a ta’e,kanneen armaan gadii keessa miseensa (a,b) ta’e adda baasi.
(-5,-10) miseensaa miti sababa -10 hirmaataa -5 hin taaneef
(-5,-5) miseensa, -5 hirmaataa -5 waan ta’eef
(1,1) miseensa , 1 hirmaataa 1 waan ta’eef
(15,3) miseensa, 3 hirmaataa 15 waan ta’eef
(48,16) miseensa , 16 hirmaataa 48 waan ta’eef
Gocha: Mee A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} haa jennu. Tartii cimidii (x,y) kan himoota armaan gadii dhugoomsuu danda’an hunda tarreessi, yoo x,y ∈A
a. y’n hiramaa x ti. b. x ‘n iskiweerii y ti. c. x ‘n irra xiqqaa y ti.
d. x ‘n hirmaataa kophxii y ti.
2) Mee H={(x,y):y^’ n obboleessa x ti} hariiroo yoo ta’e,kanneen armaan gadii keessa kan dhugaa ta’e adda baasi.
(x,x)∈H
(y,y)∈H
Yoo (x,y)∈H ta’e, (y,x)∈H ni ta’a.
Yoo (x,y)∈H fi (y,w)∈H ta’e, (x,w)∈H ni ta’a.
4.1.3.Mandhee fi Reenjii Hariiroo
Hiikoo:Cimdiin tartii (a,b) miseensa hariiroo H yoo ta’e,a’n seentuu jalqabaa yommuu jedhamu b’n immoo seentuu lammataa jedhama.
Mandhee jechuun tuuta seentota jalqabaa hariiroo tokkooti.
Reenjii jechuun tuuta seentota lammataa hariiroo tokkooti.
Fakkeenya:
1) Hariiroo H={(4,3),(0,b),(5,a),(1,b),(3,6),(3,7)} keessatti,
Tuutni seenta jalqabaa ={4,0,5,1,3} fi
Tuutni seentuu lammataa ={3,b,a,6,7}.
Kanaafuu,
Mandheen H ={4,0,5,1,3}
Reenjiin H ={3,b,a,6,7}.
2) Mee A={2,3,4,5} tuutaa fi H={(x,y):x+y=4 fi x,y∈A} hariiroo haa jennu.Kanneen armaan gadii barbaadi.
Miseensota H ii) mandhee iii) reenjii
Deebii: x+y=4⇒y=4-x
Yoo x=2,⇒y=2 , x=3,⇒y=1 fi x=1,⇒y=3 qofa dha.Kanaafuu,
H={(2,2),(3,1),(1,3)}
Mandhee ={1,2,3} fi reenjii ={1,2,3}.
3) H = {(1,5),(2,10),(3,15),(4,20),(5,25)}
Mandheen H ={1,2,3,4,5}
Reenjiin H ={5,10,15,20,25}
4) H={((x,y))⁄(y= 2x+1 ;x,y∈R)}
Mandheen H ={x:x∈R}
Reenjiin H ={y:y∈R}
5) Mee A = {1,2,4,6,7} fi B = {5,12,7,9,8,3}
Mandhee fi reenjii hariiroo H={((x,y))⁄(x∈A,y∈B,x>y)} barbaadi.
Furmaata:
Hariiroo H miseensota hunda tarreessuun yoo ibsine, H = {(4,3),(6,3),(7,3),(6,5),(7,5)}
arganna.
Kanaafuu, Mandheen H ={4,6,7}
Reenjiin H ={3,5} ta’a.
Gocha:
Mandhee fi reenjii hariiroo H={(3,3),(0,1),(5,-5)} barbaadi.
Mee H={(x,y):3x+y=11 fi x,y∈N} hariiroo yoo ta’e kanneen armaan gadii barbaadi.
Miseensota hariirichaa
mandhee
reenjii
Hariiroo bifa danaa veeniitiin ibsuu ni danda’ama.
Mee A={1,2,3} fi B={a,b} tuutotaa fi
H={(1,a),(2,b),(3,b)} hariiroo tuuta A irra gara tuuta B ti haa jennu. H A B 1 a 2 b 3</code></pre></li> Gocha:Hariiroo H={(1,5),(2,3),(3,5),(4,7),(0,8)} bifa danaa veeniitiin ibsi.
4.1.4.Galagaltoo Hariiroo
Hariiroo H'n tuuta A irraa gara tuuta B ti yoo ta'ee, tartii cimidii hariiroo kanaa waljala dabarsuun hariiroon kan biroo uumamu galagaltoo hariirichaa jedhama. Hariiroon argannu kunis tuuta B irraa gara tuuta A tti ta'a.
Galagaltoo hariiroo jechuun hariiroo tartii cimdii bakka/iddoo wal jijjiiruun argamu jechuu dha.
Yoo H'n hariiroo ta'e,galagaltoon isaa mallattoo H^(-1) ibsama.
H^(-1) -galagaltoo hariiroo H jedhamee dubbifama.
Fakkeenya Hariiroo danaa veenii armaan gadii haa fudhannu.
A H B B H^(-1) A Mandhee Reenjii Mandhee Reenjii Tartiin cimidii hariiroo H, (9,81),(8,64) fi (7,49) fi tartiin cimidii hariiroo galagaltoo (H^(-1)) (81,9),(64,8) fi (49,7) ta'a.
H'n hariiroo A gara B ti ; H^(-1) n immoo hariiroo B irraa gara A ti.
Hariiroo H fi H^(-1) gidduu jiru:
Hariiroo H kamiifuu ,yoo H^(-1) galagaltoo H ta'e:
Mandhee H=Reenjii H^(-1)
Reenjii H=Mandhee H^(-1)
(H^(-1) )^(-1)=H
Fakkeenya:Mee H={(0,2),(1,4),(3,8),(5,9),(3,6),(7,11)} yoo ta'e,
H^(-1)={(2,0),(4,1),(8,3),(9,5),(3,66,3),(11,7)}
Mandhee H={0,1,3,5,7}=reenjii H^(-1)
Reenjii H={2,4,6,8,9,11}=Mandhee H^(-1)
Gocha:Yoo H={(a,3),(a,6),(3,2),(2,4),(2,7),(7,201)} hariiroo ta'e,kanneen armaan gadii barbaadi.
H^(-1)
Mandhee H^(-1) fi reenji H^(-1)
4.1.5.Giraafii Hariiroo
Hariiroo kenname akkamitti akka bifa tuutan ibsinu baraneerra.Mata duree kana jalatti akkaataa hariiroo tokko giraafiin ibsuu akka dandeenyu ilaalla.
Giraafii hariiroo hima walcaalmaa qabate hojjachuuf,kanneen armaan gadii hordofuun barbaachisaa dha. Sarara ykn sararoota hariiroo keessatti argaman diriiroo lakkoofsotaa irratti ijaari. Yoo mallattoon walcaalmaa ≤ ykn ≥ ta'e, sarara guutuu ( sarara hinciccitne) ; yoo < ykn > ta'e sarara ciccitaa fayyadami. Tartii cimdii tuqaan moggaafaman keessaa tuqaalee gamaa gamana sarara ijaaramerra fudhadhu. Itti aansuudhaan tartii cimidii fudhatte keessaa kamtu hariiroo keenname akka dhugoomse murteessi. Gama ( naannoon) tartii cimidii hariioo dhugoomsee giraafii hariirichaa ta'a. Hiikoo
Giraafiin hariiroo H, tuuta tuqaalee ko’ordineetii diriiroo irraa kan cimdii tartiin isaa miseensota hariirichaa ta’eedha.
Fakkeenya: 1. Mee Hariiroo H= haa ta’u. Giraafiin Hariiroo kanaa kan armaan gadii ta’a. Hariiroon hima akka x=y2 tiin ibsamuu ni dand’a. Kunis, G= ta’a. Furmaatni isaa giraafiidhaan akka armaan gadiitti bakka buufama. Fakkeenya:1) Mee H={(x,y):y<x ;x,y∈R} yoo ta'e,gartokkee miseensota H erga tarreessiteen booda giraafii hariirichaa ijaari.
Furmaata: H={…,(5,0),(6,0),…}.Giraafii ijaaruuf sarara y=x jedhu diriiroo koordineetii xy irratti sararri. x<y waan ta'eef sararri y=x sarara ciccitaa(broken line) ta'a. y y=x 0 H x . 2) Giraafii hariiroo H={(x,y):y≥x+2} hojjedhu.
Furmaata Giraafii sarara y=x+2 hojjedhu. Mallattoon walcaalmaa ≥ waan ta'eef sarara guutuu fayyadami. Tuqaalee lama gamaa gamana sarara ijaaramee irraa filadhu. Fakkeenyaaf, (0,5) fi (2,0). Tuqaalee kana keessaa (0,5) hariiroo kenname ni dhugoomsa. H={(x,y):y≥x+2} , waan 5 ≥ 0+2 ta'eef. Naannoo tuqaa (0,5) qabate gurraacheessi. Kanaafuu, giraafiin hariiroo H={(x,y):y≥x+2} isa gurracha'e ta'a jechuu dha. y (0,5) 5 y=x+2 H 4 3 2 1 (2,0) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x Gocha:Giraafii hariiroo H={(x,y):y>2-x ;x,y∈R}
4.2.Fankishinii
Yaad rimee Fankishinootaa fi Fakkeenyaoota Isaanii
Gocha Hariiroon kamiyyuu faankishinii ta'uu ni danda'aa? Faankishiniin kamiyyuu hariiroo ta'uu ni danda'aa? Gaaffiwwaan 1-2 armaan olii irratti mari'achuun dareef gabaasa dhiyeessi. Hariiroo H={(2,3),(3,4),(4,1),(0,5)} fi hariiroo H={(4,4),(-2,3),(4,2),(3,4),(0,-1)} gidduu garaagarummaa jiru ibsi. isa kamitu faankishinii dha? Maaliif?
Hiikoo:Fankishiniin hariiroo ta'ee miseensonni isaa lama seentuu jalqabaa gosa tokko qabaachuu kan hin dandeenye dha.
Mee f'n hariiroo dha haa jennu.f'n fankishiniidha kan jennu (x,y) fi (x,w) miseensa f taanaan y=w yoo ta'ee dha.
Fakkeenya: H={(1,3),(4,3),(5,3),(0,3)} faankishinii dha. H={(x,y):y^' n abbaa x ti} faankishinii dha. H={(x,y):y=x^2 } faankishinii dha.
Hubachiisa:
Hariiroon fankishinii ni ta'a.
Hariiroon kamiyyuu fankishinii ta'uu hin danda'u.
Fankihiniin kamiyyuu hariiroo dha.
Fankishiniin hariiroo dha.
Fakkeenya:
1) f={(2,-1),(4,3),(0,1)} fankshinii dha.
2) H={(1,2),(2,2),(1,3),(4,4)} fankshinii miti sababa (1,2)(1,3)∈H ,2≠3 ta'eef
3) H={(x,y):y^' n obboleessa x ti} fankshinii hin ta'u sababa x'n obboleessa tokko ol qabaachuu waan danda'uuf.
4) H={(x,y):y^' n harmee x ti} fankshinii dha sababa namni kamiiyyuu harmee tokko qofa waan qabuuf
5) H={(x,y):x<y ;x,y∈R} fankshinii hin ta'u.Maaliif?sababa kenni! Danaalee xiyyaa armaan gadii fudhadhu:
R_2 R_3
R_1 R_3 Hariiroowwan kanneen keessaa kamitu faankishinii dha?
Furmaata:
〖 R〗_1 faankishinii dha. ( maaliif?)
〖 R〗_2 faankishinii miti, 1 fi 3 gara lakkoofsota lamatti waan ijaaramaniif dha.
〖 R〗_3 faankishinii dha. ( maaliif?)
Gocha:Hariiroo armaan gaditti kennaman keessaa kanneen fankshinii ta'an adda baasi.
H={(1,2),(2,2),(3,2),(4,2)}
H={(-1,2),(2,2),(1,2),(14,0)}
H={(1,2),(2,2),(3,3),(4,4)}
H={(x,y):x>y}
H={(x,y):x+y=1;x,y∈N}
H={(x,y):y^' n abbaa x ti}
Hubachiisa: Fakshinii bifa danaaa veeniitiin ibsuun ni danda'ama.
Fakkeenya: Hariiroon danaa veeniitiin armaan gaditti mul'ifame fankishinii dha. f A B 1 0 3 2 5 4.2.2.Mandhee fi reenjii fankishinii
Faankikishiniin gosa hariiroo addaa waan ta'eef mandhee fi reenjiin faankishinii haaluma walfakkaatuun barbaadama.
Fankshinii kenname tokko keessatti tuutni seentuu jalqabaa hunduu mandhee jedhama
Fankshinii kenname tokko keessatti tuuttni seentuu lammaffaa hunduu reenjii jedhama. Bifa mallattoo tuutan:
Mandheen faankishinii f, {x: (x,y)∈f } yommuu ta'u
Reenjiin faankishinii f , {y: (x,y)∈f } ta'a.
Fakkeenya:Fankshinii f={(1,4),(2,5),(3,6),(4,11)} keessatti,
Mandhee={1,2,3,4} fi reenjii ={4,5,6,11} .
4.2.3.Makoo Fankishinoota
Hiikoo:Mee f fi g'n fankishinoota gatiin isaanii lakkoofsa waliigalaa ta'ee kan mandheen isaanii wal-duraa duubaan A fi B ta'e haa jennu.Yoo A∩B≠∅ ta'ee,f+g,f-g,fg fi f/g
I. Ida'ama Faankishinootaa
Mee f fi g'n faankishinoota haa jennu. Ida'amni faankishinoota kanneenii f + g 'n yommuu ibsamu, (f+g)(x)=f(x)+g(x) ta'a.
Fakkeenya: Yoo f(x)=3-x fi g(x)=3x+1 ta'an, ida'amni faankishinoota kanaa
(f+g)(x)=(3-x)+(3x+1)=2x+4 ta'a.
Mandheen f=R fi mandheen g=R
Akkasumas mandheen faankishinii (f+g)(x)=2x+4,R dha. Mee f(x)=2x fi g(x)=√2x
a. f+g b. mandhee f+g barbaadi.
Furmaata
a. (f+g)(x)=f(x)+g(x)=2x+√2x b. mandheen f+g={x:x≥0}
II. Garaagarummaa Faankishinoota
Mee f fi g'n faankishinoota haa jennu. Garaagarummaan faankishinoota kanneenii f- g 'n yommuu ibsamu, (f-g)(x)=f(x)-g(x) ta'a.
Fakkeenya Yoo f(x)=3x+2 fi g(x)=x-4 ta'an garaagarummaan faankishinoota kanaa
(f-g)(x)=(3x+2)-(x-4)=2x+6 ta'a.
Mandheen f=R fi mandheen g=R
Akkasumas mandheen faankishinii f-g ,R dha. Mee f(x)=2x fi g(x)=√(1-x)
a. f-g b. mandhee f-g barbaadi.
Furmaata
a. (f-g)(x)=f(x)-g(x)=2x+√(1-x) b. mandheen f-g={x:x≤1}
III.Baay'ataa Faankishinootaa
Mee f fi g'n faankishinoota haa jennu. Baay'ataan faankishinoota kanneenii f g 'n yommuu ibsamu, (fg)(x)=f(x)g(x) ta'a.
Fakkeenya
Yoo f(x)=2x fi g(x)=3-x ta'an baay'taan faankishinoota kanaa
(fg)(x)=f(x)g(x)=(2x)(3-x)=6x-2x^2 ta'a.
Mandheen f=R fi mandheen g=R
Akkasumas mandheen faankishinii fg ,R dha.
IV. Qoodama Faankishinootaa
Mee f fi g'n faankishinoota fi g≠0 haa jennu. Qoodamni faankishinoota kanneenii f/g 'n yommuu ibsamu, (f/g)(x)=f(x)/g(x) ta'a.
Fakkeenya
Yoo f(x)=3 fi g(x)=2+x ta'an qoodamni faankishinoota kanaa
(f/g)(x)=f(x)/g(x) =3/(2+x) fi mandheen f/g=R|{-2}┤ ta'a.
Fakkeenya
Mee f(x)=8-3x fi g(x)=-x-5
a. 2f+g b. 3g-2f c. (3f)g d. 4g/3f barbaadi.
Furmaata
a. 2f(x)+g(x)=2(8-3x)+(-x-5)=11-7x
b. 3g(x)-2f(x)=3(-x-5)-2(8-3x)=-3x-15-16+6x=3x-31
c. ( 3f(x))g(x)=3(8-3x)(-x-5)=9x^2+21x-120
d. (4g(x))/(3f(x))=(4(-x-5))/(3(8-3x))=(-4x-20)/(24-9x)
Gocha: Mandhee faankishinoota gaaffii (2) keessatti argamanii barreessi. Mee f(x)=3x-3 fi g(x)=2/(x-1)
a. 2fg(2) b. (f/g-2f)(3) c. (f-g)(4)
Hubachiisa:Fankishinoota lama, f fi g, gatiin isaanii lakkoofsa waliigalaa,mandheen isaanii immoo A∩B(A^' nmandhee f fi B ammoo mandhee B) ta'an haala armaan gadiitiin ibsuu ni dandeenya.
f+g={(x,y):x∈A∩B ∧y=(f+g)(x)=f(x)+g(x)}
f-g={(x,y):x∈A∩B ∧y=(f-)(x)=f(x)-g(x)}
f×g={(x,y):x∈A∩B ∧y=(f×g)(x)=f(x)×g(x)}
f÷g={(x,y):x∈A∩B ∧y=(f÷g)(x)=f(x)÷g(x)}
Fakkeenya:Mee f={(1,0),(5,4),(9,8)} fi g={(1,1),(5,9),(9,25)} haa jennu.
f+g={(1,0+1),(5,4+9),(9,8+25)}={(1,1),(5,13),(9,33)}
f-g={(1,0-1),(5,4-9),(9,8-25)}={(1,-1),(5,-5),(9,-17)}
f×g={(1,0×1),(5,4×9),(9,8×25)}={(1,0),(5,36),(9,200)}
f÷g={(1,0÷1),(5,4÷9),(9,8÷25)}={(1,0),(5,4/9),(9,8/25)}
-g={(1,-1),(5,-9),(9,-25)}
f×f=f^2={(1,0×0),(5,4×4),(9,8×8)}={(1,0),(5,16),(9,64)}
2f={(1,2×0),(5,2×4),(9,2×8)}={(1,0),(5,8),(9,16)}
Gocha:
1) Yoo f={(2,0),(1,4),(7,6)} fi g={(-1,1),(5,-9),(9,4)} ta'an,
f+g,2f,f+4g,-3f,f-g,f×g fi f/g barbaadi.
2) Yoo f={(1,2),(-3,2),(2,5)} fi g={(2,4),(1,5),(3,2)} ta'e:
a. f+g fi f-g b. mandhee (f+g) barbaadi.
3) Mee f={(2,3),(4,9),(3,-8)} fi g={(1,2),(2,5),(3,10),(4,17)}.
a. -2f b. fg c. fg(2) d. g^2 4.2.4.Giraafii Fankishinii
Giraafii Fankishinii Liniyaarii(digrii 1ffaa)
Yoo a fi b'n lakkoofsota waliigalaa fi a≠0 ta'e, x∈R hundaaf f(x)=ax+b'n faankishinii liniyaarii jedhama. Yoo a=0 ta'e, f(x)=b 'n faankishinii dhaabbataa jedhama. Yeroo tokko tokko faankishiniin liiniyeeriin bifa y=ax+b tiin ni barreeffama.
Hubachiisa: f(x)=y ta'a.
Fakkeenya: f(x)=x+7:a=1,b=7 ,f(x)=2x-3:a=2,b=-3 ,f(x)=x fi kkf
Yoo a=0 ta'e,f(x)=b fankishinii dhaabbataa jedhama.
Fakkeenya: f(x)=4,f(x)=-2, fi kkf
Tooftaalee Giraafii Fankishinii Liniyaarii Ijaaruuf Hordofuu Qabnu
Qaxxaamura siiqqeewwan barbaaduu.Qaxxaamura siiqqee y barbaaduuf,x=0 akkasumas qaxxaamura siiqqee x barbaaduuf, y=0 gochuun raawwanna.
Gabatee gatii qopheessuu.
Tuqaalee tartii cimdooleetti fayyadamuun giraafii ijaari.
Fakkeenya:1) Giraafii faankishinii liiniyaarii f(x)=-2x+3 hojjedhu.
Furmaata
a. Jalqaba irratti mandhee irraa gabatee gatii ijaari.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 9 7 5 3 1 -1 -3
b. Kanaa booda tuqaalee kana diriiroo lakkoofsotaa irratti agarsiisudhaan sarara tuqaalee kana keessa darbu ijaari. Sararri kun giraafii faankishinii liiniyeerii f(x)=-2x+3 ta'a.
y
. 5
4
3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-2
-3 y=-2x+3 2) Giraafii fankishinii f(x)=x-2 ijaari.
Furmaata: Jalqaba mee qaxxaamura siiqqeewwanii haa barbaannu.
Qaxxaamura siiqqee y: x=0 ⇒y=-2,qaxxaamura siiqqee x: y=0
⇒0=x-2 ykn x=2
Itti aansuun gabatee gatii haala armaan gadiitiin haa qopheessinu.
X -2 -1 0 1 2 3
y=f(x)=x-2 -4 -3 -2 -1 0 1 Y y=x-2 O 2 X -2 3) Giraafii faankishinii dhaabbataa
f(x)=2 hojjedhu.
Furmaata:
Gabatee gatii faankishinichaa ijaari.Giraaficha argachuuf tartii cimidii agarsiisuun sarara tuqaalee kana keessa darbu ijaari. X -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 2 2 2 2 2 2 2
y 3 2 f(x) = 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x Faankishinoota liiniyaarii f(x)=ax+b keessatti , a'n maxxantuu x jedhama. Akkasumas a'n kun dhundhula giraafii faankishinii liniyaarii ti. Giraafota armaan olitti keennaman irraa, wanti ati hubachuu qabdu:
i. Giraafotni faankishinoota liiniyaarii sararoota qajeeloo dha.
ii. Yoo a>0 ta'e, giraafiin faankishinii liiniyarii f(x)=ax+b daddabaloo ta'a.
iii. Yoo a<0 ta'e, giraafiin faankishinii liiniyaarii f(x)=ax+b gad-bu'oo ta'a.
iv. Yoo a=0 ta'e, giraafiin faankishinii dhaabbataa f(x)=b sarara dalgee ta'a.
v. Yoo x=0 ta'e, f(0)=b ta'a. Kana jechuun (0,b)'n giraafii faankishinichaa irratti oola,
akkasumas giraafich tartii cimidii (0,b) keessa darba. Tuqaan kun qaxxaamura y ( y-intercept) jedhama. Tuqaa giraafich siiqqee y itti qaxxaamuruu dha.
vi.Yoo f(x)=0 ta'e, 0=ax+b⟹x=(-b)/a ta'a. Kana jechuun, ((-b)/a,0)'n giraafii faankishinichaa irratti oola, akkasumas giraafich tartii cimidii ((-b)/a,0) keessa darba. Tuqaan kun qaxxaamura x jedhama. Tuqaa giraafich siiqqee x itti qaxxaamuruu dha.
Fakkeenya: Giraafii f(x)=4x-4 hojjedhu.
Furmaata
Qaxxaamurri x,tartii cimidii y=0 waliin ta'a. Kana jechuun, (1,0) dha.
Qaxxaamurri y,tartii cimidii x=0 waliin ta'a. Kana jechuun, (0,-4) dha.
Qaxxaamuroota kana diriiroo lakkoofsotaa irratti agarsiisuudhaan sarara isaan keessa darbu
ijaari. y
f(x)=4x-4
3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-1
-2
-3
.-4 Giraafii faankishinii liiniyeerii f(x)=-3x+1 hojjedhu.
Furmaata
Dhundhulli faankishinii liiniyeerii f(x)=-3x+1 , -3 dha. Akkasumas qaxxaamurri y , (0,1) dha.
Yoo qaxxamura y irraa tarkaanfii 3 gara gadii fi tarkaanfii tokko gara mirgaa sochoote, tuqaa (1,-2) argatta. Sararri tuqaalee (0,1) fi (1,-2) giddu darbu giraafii f(x)=-3x+1 ti.
y
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
-1 f(x)=-3x+1 Gocha: Faankishinootni armaan gadii liiniyeerii ta'uuf dhiisuu isaanii adda baasi.
a. f(x)-1=3x b. 3=x-2y c. x+y=1-3x d.2x^2-2x=y
2.Giraafota armaan gadii qaxxaamurootatti fayyadamuun ijaari.
a. 3x-5=y b. 4=4x-2y c. f(x)=1-7x d. y=1 Giraafota armaan gadii gatii dhundhulaatti fayyadamuun ijaari.
a. 3y-3x-5=4 b. f(x)=4x+2 c.3x-4=5x-2y
Fankishinii Digrii 2ffaa(Kuwadiraatikii)
Lakkoofsota waliigalaa a,b fi c kamiifuu,f(x)=ax^2+bx+c,a≠0 fankishinii kuwadiraatikii (digrii 2ffaa) jedhama.
f(x)=ax^2+bx+c,a≠0 keessatti, a'n tarmii dursituu(leading coefficient) jedhama.
Yoo a>0 ta'e,giraafiin f(x) golboo ol garagalaa(upward praabola) fi a<0 ta'e ammoo giraafiin f(x) golboo gad-garagalaa(downward parabola) ta'a. Tuqaa varteeksii(turning point) kan giraafiin fankishinichaa itti ol garagalu yookiin gad-garagalu ((-b)/2a ,(4ac-b^2)/4a) ta'a. Fakkeenya:Giraafii fankishinii f(x)=x^2+5x+6 ijaari. Furmaata: f(x)=x^2+5x+6 ;a=1,b=5,c=6. a=1>0 waan ta'eef giraafiin fankishinichaa golboo olgaragalaa dha.Tuqaan giraafichi itti ol garagalu ((-b)/2a ,(4ac-b^2)/4a)=((-5)/(2×1) ,(4×1×6-5^2)/(4×1))=((-5)/2 ,(-1)/4) ta'a.
Itti aansuun qaxxaamura siiqqeewwanii barbaad:
Qaxxaamura siiqqee y:(0,6) fi qaxxaamura siiqqee x barbaaduuf,y=0 .
0=x^2+5x+6 ⇒(x+2)(x+3)=0 ⇒x=-2 ykn x=-3. Y f(x)=x^2+5x+6 6 X-3 -2 O ((-5)/2 ,(-1)/4)</code></pre></li> Hubachiisa: Giraafii kennme tokko fankishinii ta'uu yookiin ta'uu dhabuu isaa kan mirkaaneessinuun sarara olee(vertical line) sararuun ta'a.Sararri olee giraafii tokko iddoo tokko olitti yoo qaxxaamure giraafichi fankishinii ibsuu hin danda'u.
Fakkeenya:Hariiroon H={(x,y):x=y^2 } fankishinii ta'uu dhabuu isaa giraafii ijaaruun agarsiisi. Y x=y^2 O X sarara olee Giraafiin kun fankshinii hin ta'u.
Sararri olee giraaficha iddoo lamatti waan qaxxaamureef giraafichi fankishinii hin ta'u.
Gocha:Giraafii fankishinii armaan gadii ijaari.
i) f(x)=x^2 ii) f(x)=x^2-4 iii) f(x)=-x^2
Giraafota faankishinii kuwaadiraatikii bifa f(x)=ax^2 fi f(x)=ax^2+c , a≠0,c∈R irraa :
Haala 1: yoo a>0 ta'e, Giraafichi gara olii banama. Varteksiin f(x)=ax^2, (0,0) yommuu ta'u kan f(x)=ax^2+c immoo (0,c) dha. Mandheen lakkoofsota waliigalaa ti. Reenjiin f(x)=ax^2 , {y:y≥0} yommuu ta'u reenjiin f(x)=ax^2+c immoo {y:y≥c} dha. Sararri olee varteksii keessa darbu siiqqee paaraboollaa ti.
Haala 2: yoo a<0 ta'e, Giraafichi gara gadii banama. Varteksiin f(x)=ax^2, (0,0) yommuu ta'u kan f(x)=ax^2+c immoo (0,c) dha. Mandheen lakkoofsota waliigalaa ti. Reenjiin f(x)=ax^2 , {y:y≤0} yommuu ta'u reenjiin f(x)=ax^2+c immoo {y:y≤c} dha. Sararri olee varteksii keessa darbu siiqqee paaraboollaa ti.
Gocha: Faankishinoota kuwaadiraatikii armaan gadiittiif , a,b fi c barbaadi.
a. f(x)=2+3x-2x^2 b. f(x)=3x^2-4x+1 c. f(x)=(x-3)(2-x) Giraafii faankishinoota armaan gadii gabatee gatii qopheessuun ijaari.
a. f(x)=-3x^2 b. f(x)=7x^2-3 c. f(x)=2x^2+6x+1 Faankishinoota armaan gadiitiif mandhee fi reenjii isaanii barbaadi.
a. f(x)=3+4x-x^2 b. f(x)=x^2+2x+1 c. f(x)=(x-3)(x-2)
d. f(x)=-3x^2-2 e. f(x)=3x^2+2 Cunfaa Boqonnaa
Hariiroo keessatti wantootni lama gaalee walitti isaan fiduun firooman.
Afaan herregaatiin, hariiroo jechuun tuuta tartii cimdii ti. A fi B 'n yoo tuutota ta'an hariiroon tokko A irraa gara B ti kan jennu hariirichi cita- tuuta A×B yoo ta'ee dha. Kana jechuun H'n hariiroo A gara B ta'ee yoo ta'e H ⊆ A×B ta'a.
Mandheen faankishinii f, {x: (x,y)∈f } yommuu ta'u
Reenjiin faankishinii f, {y: (x,y)∈f } ta'a.
Yoo a fi b'n lakkoofsota waliigalaa fi a≠0 ta'e, x∈R hundaaf f(x)=ax+b'n faankishinii liiniyeerii jedhama. Yoo a=0 ta'e, f(x)=b 'n faankishinii dhaabbataa jedhama. Yeroo tokko tokko faankishiniin liiniyeeriin bifa y=ax+b tiin ni barreeffama.
Yoo f(x)=ax+b , a≠0, fi x∈R ta'e, a'n dhundhula bakka bu'a, (0,b)'n qaxxaamura y baaka bu'a, ((-b)/a,0)'n qaxxaamura x bakka bu'a.
Faankishiniin akkaataa f(x)=ax^2+bx+c 'n ibsamu, yoo (a,b,c∈R fi a≠0) ta'e, faankishinii kuwaadiraatikii jedhama. a'n maxxantuu dursituu jedhama. Kitaabilee Wabii
"Dawod Adem ,Mathematics For Grade 9 , 10 & 12 Student text book, New Curriculum."
"Abraham Kumsaa,Barnoota Herregaa kitaaba barataaa Kutaa5,6 ,7 fi 8, imaammata haarawaa."
Girmaa Tashoomaa,Moojula Barnoota Herregaa kan imaammata haarawaa sagantaa dippiloomaaf qophaa'e;KBB Asallaa,2000.

Share this

Leave a Comment

Your email address will not be published.